apuntes calculo vectorial 2011

7/21/2019 Apuntes Calculo Vectorial 2011

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CALCULO ING. ELECTRONICA

1 ING. JULIO MELENDEZ

Unidad1

Algebra devectores.

1.1 Defnicin de !n vector en "#$ "% & s!

Inter'retacin geo()trica.

Un vector es un objeto matemtco con !recc"n # ma$ntu!. La%a&abra vectores se re'ere a &os e&ementos !e cua&(uer Rn. En R1 ) Re& vector es un %unto* (ue &&amamos esca&ar. En R2 e& vector es !e&a +orma # en R, e& vector es !e &a +orma

EnR2-

&a suma !e !os vectores se !e'ne %or- sean a # b vectoresen R2* entonces

e& %ro!ucto esca&ar se !e'ne %or- sea / R # a un vectoren R2* entonces-

$n'ca!o $eomtrco !e &a suma !e vectores # e& %ro!uctoesca&ar en R2. '$. 1.13


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# ING. JULIO MELENDEZ


(a1 + b1, a2 + b2)

a

b

4$.1.1

Observemos (ue s * entonces &asuma !e &os vectores

E& cua& se obtene tras&a!an!o &a re%resentac"n !e &os vectores a # b.5e manera* (ue se %ue!e obtener a 6 b !bujan!o un %ara&e&o$ramo.A esta re$&a !e suma se &e &&ama &a re$&a !e& %ara&e&o$ramo. '$. 1.23

.a

a

4$.1.2


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% ING. JULIO MELENDEZ


7ara e& %ro!ucto esca&ar a* se %ue!e observa (ue s sea&ar$a o se acorta e& vector a %or un +actor . se nverte &a!recc"n !e& vector a.

En R,-

La suma !e vectores se !e'ne %or- sean a* b / R,* entonces

E& %ro!ucto esca&ar se !e'ne %or- sea / R # a un vector en R, * entonces

5e'nc"n- ean a # b vectores en Rn* ta& (ue 88 . E& %ro!ucto nterno !e a # b re%resenta!o %or a 9 b " :a* b;

esca&ar (ue se obtene mu&t%&can!o &os com%onentes corres%on!entes !e &osvectores #suman!o &ue$o &os %ro!uctos resu&tantes* esto es-

8 8

Los vectores a # b se &&aman orto$ona&es s su %ro!ucto nterno es $ua& a cero.

5e'nc"n- ea 8 un vector en Rn* &a norma ma$ntu! o

&on$tu!3

!e& vector* re%resenta!a !e &a +orma


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* ING. JULIO MELENDEZ


&a ma$ntu! es vector a& ?ab&amos !e uncam%o vectora&.

En $enera& tanto &os cam%os esca&ares como &os vectora&es son +unc"n!e& %unto # !e& tem%o. Cuan!o &os cambos no !e%en!en !e& tem%o se

!ce (ue son esttcos o estaconaros.
http://estudiarfisica.wordpress.com/2008/10/04/fisica-general-1-repaso-y-una-ligera-ampliacion-de-vectores/http://estudiarfisica.wordpress.com/2008/10/04/fisica-general-1-repaso-y-una-ligera-ampliacion-de-vectores/http://estudiarfisica.wordpress.com/2008/10/04/fisica-general-1-repaso-y-una-ligera-ampliacion-de-vectores/


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Los cam%os esca&ares se vsua&>an me!ante &as su%er'ces !e nve& oso@esca&ares* (ue son e& &u$ar $eomtrco !e &os %untos !e& es%aco%ara &os cua&es &a +unc"n esca&ar toma e& msmo va&or* %or ejem%&o-

Cuan!o estas su%er'ces se cortan %or un %&ano se converten en &as&&ama!as curvas !e nve& o soesca&ares* (ue se$n &a ma$ntu! +=sca(ue re%resentan recben un nombre %artcu&ar- &as sotermas se !e'nen%or-

Las s"baras se!e'nen %or-

'$.1.,

Los cam%os vectora&es re%resentan ma$ntu!es !e carcter vectora&-Entrestos cabe ctar e& cam%o !e ve&oc!a!es en un

+&u!o- 8

5e manera an&o$a a &os cam%os esca&ares* se !ce (ue uncam%o vectora& esestaconaro cuan!o &a ma$ntu! caracter=stca !e& msmo no es +unc"n!e& tem%o* como %or ejem%&o e& $ravtatoro- $ # e&e&ectrosttco-


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Entre &os cam%os vectora&es son es%eca&mente m%ortantes &oscam%os !e +uer>as.

e !ce (ue en una certa re$"n !e& es%aco ?a# un cam%o !e +uer>ascuan!o en to!o %unto !e &a msma ?a# una +uer>a (ue toma un va&or

!+erente %ara ca!a %unto # en ca!a nstante !e tem%o. A %artr !ea?ora nos re+erremos a &os cam%os esttcos !e +uer>as.


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1.% La geo(etr+a de las o'eraciones vectoriales.

u m a ! e v e c t o r e s

7ara sumar !os vectores &bres # se esco$en como re%resentantes!os vectores ta&es (ue e& eBtremo 'na& !e uno conc!a con e& eBtremoor$en !e& otro vector.

Regla del paralelogramo

e toman como re%resentantes !os vectores con e& or$en en comn*

se tra>an rectas %ara&e&as a &os vectores obtenn!ose un%ara&e&o$ramo cu#a !a$ona& conc!e con &a suma !e &os vectores.

7ara sumar !os vectores se suman sus res%ectvas com%onentes.

"esta de vectores


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7ara restar !os vectores &bres # se suma con e&o%uesto !e .

Las com%onentes !e& vector resta se obtenen restan!o &ascom%onentes !e &os vectores.

7ro!ucto !e un nmero %or unvector

E& %ro!ucto !e un nmero %or un vector es

otro vector- 5e $ua& !recc"n (ue e& vector .

5e& msmo sent!o (ue e& vector s es

%ostvo. 5e sent!o contraro !e& vector

s es ne$atvo. 5e m"!u&o

Las com%onentes !e& vector resu&tante se obtenen mu&t%&can!o %or D&as com%onentes !e& vector.


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Cons!eremos &os vectores #

. (ue s # s"&o s

1.* O'eraciones con vectores & s!s 'ro'iedades.

I$ua&!a!

5os vectores son $ua&es s tenen* en e& msmo or!en* &os msmos com%onentes.

5e'nc"n-

.

EJEMPLO 1

ea # * entonces .


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Suma y r est a

La suma # resta se ?ace com%onente a com%onente

5e'nc"n

Cons!eremos &os vectores #

.

EJEMPLO

ea * entonces


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Multiplicacin por un escalar

Un esca&amento !e un vector* %or un +actor * se &o$ra mu&t%&can!oca!a com%onente %or e& msmo nmero rea&

Defnicin

Cons!eremos e& vector # e& esca&ar

* entonces


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EJEMPLO

ea entonces

1., Desco('osicin vectorial en % di(ensiones.

An&o$amente* &os e&ementos se asocan con %untosen e& es%aco tr!mensona& !e'n!o con tres rectas mutuamente%er%en!cu&ares. Estas rectas +orman

&os ejes !e& sstema !e coor!ena!as rectan$u&ares 8


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Los vectores se %ue!en re%resentar me!ante se$mentos !e recta!r$!os* o ec?as* en # en . La !recc"n !e &a ec?a n!ca &a!recc"n !e& vector # &a &on$tu! !e &a ec?a !etermna su ma$ntu!.

Un vector en e& es%aco es cua&(uer se$mento orenta!o (ue tene suor$en en un %unto # su eBtremo en e& otro.

Componentes de un vector enel espacio

&as coor!ena!as !e A # F son- Las

coor!ena!as o com%onentes !e& vector son &as coor!ena!as !e&


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eBtremo menos &as coor!ena!as !e& or$en.


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5etermnar &a com%onentes !e &os vectores (ue se %ue!en tra>ar e&e& trn$u&o !e vrtces

1.- Ec!aciones de rectas & 'lanos.

7ara !etermnar un %&ano se necestan un %unto 8 8 8 8 # u

vector

norma& a& %&ano. La ecuac"n !e& %&ano vene entonces !a!a %or &a re&ac

8 8 8

5on!e 8 8

8

e %ue!en cons!erar varos casos %artcu&ares se$n (ue uno o !os !e &oscoe'centes !e&a ecuac"n sean n


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a3 7&ano %ara&e&o a& eje O. e tene A ) 0 # &a ecuac"n toma &a +orma-

en!o e& vector !rector norma& a&%&ano !e &a +orma-

b3 7&ano %ara&e&o a& eje OH. e tene F ) 0 # &a ecuac"n $enera& toma &a +orma-

en!o e& vector !rector norma&a& %&ano !e &a +orma-

c3 7&ano %ara&e&o a& eje O. e tene C ) 0 # &a ecuac"n $enera& toma &a +orma-

en!o e& vector !rector norma& a&%&ano !e &a +orma-


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!3 7&ano (ue %asa %or e& or$en. e tene 5 ) 0 # &a ecuac"n $enera& toma &a +orm

e3 7&ano %er%en!cu&ar a& eje O. e tene en este caso A ) 0* F ) 0 # &aecuac"n $enera& toma &a +orma-

8

Esta ecuac"n %ue!e cons!erarsetambn como &acorres%on!ente a un %&ano%ara&e&o a& %&ano OH.

+3 7&ano %er%en!cu&ar a& eje OH o* &o (ue es $ua&* %ara&e&o a& %&ano O.e tene en este caso # &a ecuac"n $enera& toma &a+orma-

8

$3 7&ano %er%en!cu&ar a& eje O o* &o (ue es $ua&* %ara&e&o a& %&ano HO.e tene en este caso # &a ecuac"n $enera& toma &a +orma-

8


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1. A'licaciones /+sicas & geo()tricas

A'licaciones /+sicas 0rabao2

J

8

8 con res%ecto a &a %osc"n

8

A'licaciones geo()tricas2

C&cu&o !e &a %ro#ecc"n !e un vector sobre otro-


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34lc!lo del 4ng!lo 5!e /or(an dos vectores2

aber s !os vectores son %er%en!cu&ares-

Prod!cto vectorial2

A%&cacones +=scas-

Komento an$u&ar o momento cntco-

Komento !e &a +uer>a-

Ve&oc!a! tan$enca& con res%ecto a &a ve&oc!a! an$u&ar en un movmento crcu


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Aplicacionesgeomtricas

a&&ar un vector %er%en!cu&ar a otros !os. Cuan!o se (uere ?a&&ar unvector (ue es %er%en!cu&ar a otros !os a& msmo tem%o* un mo!o mu#

senc&&o !e ?acer&o ut&>a e& %ro!ucto vectora&. 5a!o (ue en ,!mensones s"&o eBste una recta %er%en!cu&ar a !os vectores no%ara&e&os a& msmo tem%o* s ?a&&amos e& vector untaro !e&%ro!ucto vectora& !e &os !os vectores* ?a&&aremos e& vector untaro !eesa !recc"n. 7or &tmo* basta con mu&t%&car e& vector untaro %ore& m"!u&o !e& vector (ue %reten!emos ca&cu&ar %ara obtener &ascoor!ena!as !e& vector.

@ a&&ar e& rea !e& %ara&e&o$ramo !e&mta!o %or!os vectores-

7o!emos observar c"mo &a base !e& %ara&e&o$ramo se corres%on!e cone& m"!u&o !e un vector # &a a&tura con e& m"!u&o !e& otro vectormu&t%&ca!o %or e& va&or abso&uto !e& seno !e& n$u&o (ue +orman* !eta& manera (ue conocen!o e& rea !e un %ara&e&o$ramo-


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Unidad#

3!rvas en "# & ec!aciones'ara()tricas.

#.1 Ec!acin 'ara()trica de la l+nea recta.

R ect as en el es pacio

Cons!eremos &a recta (ue %asa %or # %or M. Esta recta

es %ara&e&a a& vector * %or &o tanto* !a!o un %unto

* se !ebe cum%&r (ue

5e !on!e- .

5e'nc"n

es una recta (ue %asa %or &os %untos

* # s %onemos entonces

La ecuac"n vectora& !e es


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5es%ejan!o obtenemos &as ecuacones %aramtrcas !e

ca!a * !es%ejan!o obtenemos &as ecuacones smtrcas !e

Como %o!emos esco$er !os %untos cua&es(uera !stntos3 !e unarecta %ara obtener una ecuac"n* &a ecuac"n !e una recta no esnca.

EJEMPLO

Cons!eremos &a recta (ue %asa %or #

. En este caso * &ue$o


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Ecuac"n vectora&-

Ecuacones %aramtrcas-

Ecuacones smtrcas-

Observe (ue e& se$mento (ue va !e a es e& conjunto !e %untos

En %artcu&ar* s * obtenemos e& %unto me!o !e& se$mento

A %artr !e &a ecuac"n vectora&-

Rea&>an!o &as o%eracones n!ca!as se obtene-

La $ua&!a! !e vectores se !es!ob&a en &as !os $ua&!a!es esca&ares-


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Una recta %asa %or e& %unto A@1* ,3 # tene un vector

!rector ) 2*3. Escrbr sus ecuacones %aramtrcas.

#.# 3!rvas

'lanas.

Una curva $eomtrcamente ?ab&an!o !remos (ue ntutvamente*es e& conjunto !e %untos (ue re%resentan &as !stntas %osconesocu%a!as %or un %unto (ue se mueve s se usa e& trmno curva %oro%osc"n a recta o &=nea %o&$ona&* ?abr=a (ue eBc&ur !e esta noc"n &oscasos !e* a(ue&&as &=neas (ue camban contnuamente !e !recc"n* %ero!e +orma suave* es !ecr* sn +ormar n$u&os. Esto &as !stn$ue !e &as&=neas rectas # !e &as (uebra!as. Estar=an +uera !e esta noc"n &os casos!e movmento rect&=neo. n embar$o* ut&>an!o &a !e'nc"n

matemtca* una &=nea recta es un caso %artcu&ar !e curva.

Curva- Es e& caso &=mte !e %o&$ona& en (ue &os sa&tos !scretos !e &osse$mentos son n'ntesma&es. Tambn en este caso se !ce curva%&ana* tambn &&ama!a !e sm%&e curvatura %or e& n$u&o !econtn$enca* s tene to!os sus %untos en un msmo %&ano # curvaa&abea!a* &&ama!a !e !ob&e curvatura %or &os !os n$u&os e& !econtn$enca # e& !e tors"n* en caso (ue to!os sus %untos no estn en

un msmo %&ano.La recta secante !e una curva es &a (ue une !os %untos !e &acurva se%ara!os una !stanca 'nta. E& or!en !e una curva es e&nmero mBmo !e %untos !e corte con una secante. En &a '$ura semuestra una curva !e PQ or!en.


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La recta tan$ente a una curva en un %unto es e& &=mte a (ue ten!e &asecante cuan!o &os !os %untos !e corte ten!en a con+un!rse.

5e esta +orma &a tan$ente %ue!e ser !e %rmera es%ece cuan!o e& %unto!e tan$enca est (ueto # e& otro se a%roBma a& %rmero* !e se$un!aes%ece cuan!o &os !os %untos se a%roBman smu&tneamente ?aca e&!e tan$enca.

#.% Ec!aciones 'ara()tricas de alg!nas c!rvas & s!

re'resentacin gr4/ica.

Circun!erencia

ea &a crcun+erenca !e centro en O # ra!o a. sean a!ems KB*#3 un%unto !e &a curva #)n$OK.

e tene* como ecuacones %aramtrcas !e &a crcun+erenc

)


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cos8

)

sn8


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Cicloide

Es &a curvatura !escrta %or un %unto 'jo !e una crcun+erenca (uerue!a* sn resba&ar* a &o &ar$o !e una recta 'ja.

T"mese a& eje B como &a recta 'ja O sobre &a cua& se ?ace ro!ar &acrcun+erenca !e centro C # ra!o r* # sea K e& %unto 'jo (ue !escrbe &acurva.

En e& momento en (ue comen>a a ro!ar &a crcun+erenca* e& %untoK conc!e en e& or$en con T* %unto !e contacto !e &a crcun+erencacon O. Cuan!o K # T &&e$uen a A* ca!a %unto ?abr ?ec?o un recorr!o$ua& a 2Sr* es !ecr* en to!o nstante $enrco* &a !stanca OT es $ua&a& arco TK. Tenen!o %resente (ue cuan!o &a me!!a !e& n$u&o se !aen ra!anes* e& arco es $ua& a& ra!o mu&t%&ca!o %or e& nmero (uem!e e& n$u&o* se%ue!e escrbr- 888 88 88

8 8 88888 - 8 88 88 8 888 (ue son &as ecuacones %aramt!e &a

cc&o!e.

"ipocicloide

Es &a curvatura (ue !escrbe un %unto 'jo !e una crcun+erenca (ue

rue!a* sn resba&ar* %ermanecen!o sem%re tan$ente nterormente aotra crcun+erenca 'ja.


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ean a e& ra!o !e &a crcun+erenca 'ja !e centro O* b e& ra!o !e &acrcun+erenca menor* !e centro O* (ue rue!a* %ermanecen!o sem%retan$ente a &a crcun+erenca ma#or* K e& %unto 'jo !e &a crcun+erencamenor (ue !escrbe &a ?%occ&o!e* # T e& %unto !e tan$enca.

Astroide

&os ra!os !e &as crcun+erencas (ue ntervenen en &a $enerac"n !e&a ?%occ&o!e son nconmensurab&es* &a curva no vue&ve a %asar %or e&%unto nca& A. 7ero* s &os ra!os a # b son conmensurab&es* resu&ta unacurva cerra!a.

En e& caso %artcu&ar !e a* se obtene una curva&&ama!a astro!e.

Las ecuacones %aramtrcas !e esta curva se !e!ucen !e &as !e &a?%occ&o!e* susttu#en!o b %or # !es%us re!ucen!o (ue!a-

88 8 8

8 8

Mue son &as ecuacones %aramtrcas!e& astro!e.


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#, ING. JULIO MELENDEZ

#.* Derivada de !na /!ncin dada 'ara()trica(ente.

una curva suave C est !a!a %or &a ecuacones B)+t3 # #)$t3* entonces &a%en!ente !eC en B*#3 es-

Esto se !a #a (ue cum%&e con e& teorema (ue %ro%orcona &ascon!cones necesaras %ara obtener &a !erva!a !e una +unc"n !a!a en+orma %aramtrca-

8 8 8 888 88 8 8 8 8 8 8 88 88 88 88 81*2 . 8888888 888 88 8 8 8 88 88 8 8 8 8 8 88 88 88.888888 8 8 88888 88 8 8 0* 8 88 8

)+* )8 8 888 8 88 88 88 888 "8 8 8 8 8 8 88 ) 8 * 8

)

5erva!as !e or!en su%eror %ara una +unc"n !a! en +orma %aramtrca

888 8 8 8888 8 8 888 8888 8 2 88 88 8 88

8 88 -#., 3oordenadas 'olares.

7ara +ormar e& sstema !e coor!ena!as %o&ares en e& %&ano* se 'ja un%unto O* &&ama!o %o&o u or$en3* # a %artr !e O* se tra>a un ra#o nca&&&ama!o eje %o&ar*

a ca!a %unto 7 en e& %&ano se &e as$nan coor!ena!as %o&ares r*0 3* como s$ue.


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En coor!ena!as rectan$u&ares* ca!a %unto B*#3 tene una re%resentac"n ncaEsto nosuce!e con &as coor!ena!as %o&ares. 7or ejem%&o* &as coor!ena!as r*3 #

r*2886883

re%resentan e& msmo. Tambn* como r es una !stanca !r$!a* &as coor!ena!%ue!enre%resentar e& msmo %unto.

En $enera&* e& %unto %ue!e eB%resarse como-

8 8 888 8 8 8

8 8

5on!e n es cua&(uer entero. A!ems* e& %o&o est re%resenta!o %or 0*3* !on

escua&(uer n$u&o.

#.- Gra/icacin de c!rvas 'lanas en coordenadas 'olares.

Rosa !e cuatro ?ojas%ta&os

Este t%o !e $r+co se conoce como Rosa !e cuatro %ta&os. Es +c&ver c"mo se +orma una '$ura %arec!a a una rosa con cuatro %ta&os. La+unc"n %ara este $r+co es-


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Rosa de tres#o$as%ptalos

7resentamos a?ora e& $r+co &&ama!o Rosa !e tres %ta&os.Ana&"$camente a& $r+co !e &a rosa !e cuatro %ta&os* este $r+co es

%arec!o %ero tene s"&o tres ?ojas o %ta&os en su +orma $r+ca. Unejem%&o es e& s$uente-

Rosa de oc#o

#o$as%ptalos

E& s$uente $r+co es como &os !os anterores* %ero a?ora con oc?o?ojas o %ta&os* ta& como &o vemos en &a s$uente +unc"n $ra+ca!a-


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&na rosa dentrode otra

Un caso nteresante # es%eca& (ue se %ue!e !ar es e& (ue se muestra en&a $r+ca (ue vemos a contnuac"n* !on!e se a%reca una rosa !e tres

%ta&os %recsamente !entro !e otra rosa !e tres %ta&os u ?ojas.Veamos-

Cardiodes

A contnuac"n se %resenta e& t%o !e $r+co (ue se !enomnacar!o!e. 7ara este ejem%&o se %resenta una car!o!e smtrca conres%ecto a& eje %o%&ar # (ue a%unta ?aca &a !erec?a. 7o!emos observar(ue se !stn$ue una '$ura como !e un c o r a > " n * ra>"n %or &a cua& se&&ama este $r+co car!o!e. La +unc"n (ue &o ?a $enera!o es-
http://www.monografias.com/trabajos5/ancar/ancar.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/ancar/ancar.shtml


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aben!o vsto e& %rmer $r+co !e una car!o!e* se %resenta otro$r+co !e este t%o %ero a?ora a%unta ?aca arrba* ta& como &o vemos aen e& $r+co !e &a s$uente +unc"n-

L'MACO(ES OCARACOLES

LmaWon vene !e& &at=n &maB (ue s$n'ca caraco&. E& caraco& !e7 a s c a&* &o !escubr" Etenne 7asca& %a!re !e F&ase 7asca& en &a %rmeramta! !e& s$&o VII # e& nombre se &o !o Roberva& en 1X0 cuan!o &a

us" como ejem%&o %ara mostrar su mt o !o %ara tra>ar tan$entes. Un&maWon o &as $ r + c a s %o&ares (ue $eneran &maWones son &as +unconesen coor!ena!as %o&ares con &a +orma-

8

88

A?ora veamos un ejem%&o concr eto !e un $r'co !e este t%o* !on!ese muestra uncaraco& (ue a%unta ?aca &a !erec?a # (ue tene un &a>o nteror. La+unc"n %ara este $r+co es &a s$uente-
http://www.monografias.com/trabajos5/estat/estat.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/estat/estat.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/estadi/estadi.shtml#METODOShttp://www.monografias.com/trabajos/histoconcreto/histoconcreto.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/estat/estat.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/estadi/estadi.shtml#METODOShttp://www.monografias.com/trabajos/histoconcreto/histoconcreto.shtml


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Otro $r+co !e una +unc"n (ue tene como resu&ta!o un caraco& con

un &a>o nteror %ero (ue a !+erenca !e& $r+co anteror* este a%unta?aca abajo. Veamos-


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Contnuan!o con &a $r+ca !e caraco&es o &macones* ?a# otro t%o (uees e& caraco& con ?en!!ura o caraco& con concav!a!. Como %o!remosobservar* este no tene &a>o* # est !r$!o ?aca &a >(uer!a. Veamosa contnuac"n e& $r+co (ue resu&ta* e& cua& a%unta ?aca &a >(uer!a-

Un $r+co $ua& a& anteror con &a !+erenca (ue a?ora est !r$!o?aca &a !erec?a* !e mo!o (ue tenemos un &ma@ con o caraco& con?en!!ura o concav!a! (ue est !r$!o ?aca &a !erec?a-


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Otro $r+co !+erente a &os otros* (ue es conoc!o como caraco&conveBo o caraco& ova&a!o* e& cua& est a%untan!o ?aca arrba* como &ovemos en e& $r+co s$uente-

Circun!erencia

Esta nueva +unc"n nos %resenta una +orma conoc!a %or to!os # es%recsamente &a crcun+erenca* &a cua& ser +orma!a en e& $r+co %o&arme!ante &a s$uente +unc"n-


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A?ora veamos una nueva $r+ca (ue resu&ta en una crcun+erenca* con&a nca !+erenca (ue a?ora a%arece arrba !e& ra#o nca& o !e& eje B(ue to!os conocemos3* a !+erenca !e& $r+co anteror* (ue &acrcun+erenca a%arec=a abajo !e& r a! o nca&. La +unc"n con su $r+coes esta-

Lemniscata

En matemtc a s * una &emnscata es un t%o !e curva !escrta %or &as$uente ecuac"n en coor!ena!as %o&ares-

La re%resentac"n $r+ca !e esta ecuac"n $enera una curva sm&ar a. La curva se ?a convert!o en e& s=mbo&o !e& n'nto # es

am%&amente ut&>a!a en matemtcas. E& s=mbo&o en s= msmo es* aveces* &&ama!o &emnscata. Un ejem%&o !e esta +unc"n con su res%ectvo$r+co &o a%recamos a contnuac"n-
http://www.monografias.com/trabajos13/radio/radio.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/radio/radio.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtml


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Tenemos otro ejem%&o !e &emnscata* %ero a?ora a%arece a &o &ar$o

!e& eje B o en sent!o ?or>onta&-


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4na&mente se muestra un $r+co como &os !os anterores* !on!ea%arece una &emnscata* con &a nca !+erenca (ue a?ora se muestra ensent!o vertca&. Veamos-

La ne!roide de!reet#

Esta es una curva mu# recente s ?ab&amos re&atvamente a &as !ems.a# curvas %o&ares (ue tenen varos s$&os !e eBstr* mentras (ue esta(ue trataremos en este momento es bastante recente* %ues +ue!esarro&&a!a %or e& matemtco n $ &s T.Y. 4reet?* (uen !escubr" estacurva en 1Z[\. Un ejem%&o se a%reca en este $r+co-
http://www.monografias.com/trabajos16/manual-ingles/manual-ingles.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/manual-ingles/manual-ingles.shtml


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Concoides denicmenes

Nc"menes nac" sobre e& a]o 2Z0 antes !e Crsto en G r eca #mur" ene& a]o 210 a.C. e sabe mu# %oco !e su v!a %ero es +amoso %or su

^Las &=neas !e &a Conco!e^. Veamos un $r+co en coor!ena!as %o&ares!e &a conco!e !e Nc"menes-

Un nuevo ejem%&o !e una conco!e !e Nc"menes. La $r+ca anterorest ?aca &a !erec?a* mentras (ue &a (ue se %resenta a contnuac"ntene una !r ec c "n ?aca arrba. Veamos-
http://www.monografias.com/trabajos/histogrecia/histogrecia.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/histogrecia/histogrecia.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml


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Un tercer ejem%&o !e Conco!e !e Noc"menes &o tenemos en e& $r+co(ue se muestra a contnuac"n* !on!e su +orma se ve !+erente a &os !os$r+cos anterores !e este msmo t%o !eb!o a (ue se &e est restan!oun nmero uno a &a +unc"n. E& msmo $r+co ver=amos s se &e estuverasuman!o uno a &a +unc"n. E& $r+co (ue!ar as=-

Cisoide dediocles

Esta es una curva mu# +amosa # t& en e& c&cu&o. 4ue ut&>a!a %or un

$re$o &&ama!o 5oc&es %ara reso&ver e& %rob&ema !e &a !u%&cac"n !e&cubo. E& $r+co a%arece !e esta +orma-


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Par)*ola

Esta '$ura es mu# conoc!a en e& mun!o !e& C&cu&o. Ta& como%o!emos $enerar +uncones !e %arbo&as en coor!ena!as cartesanas*

&o %o!emos ?acer tambn en coor!ena!as %o&ares. Veamos e& ejem%&o-

Espir

al

Este $r+co tene &a +orma !e una es%ra&* ta& como su nombre &o n!ca.La es%ra& ms sm%&e &a %o!emos encontrar a& mrar una cuer!aenro&&a!a sobre s= msma. La +orma !e una es%ra& &a vemos en unaser%ente enro&&a!a %or ejem%&o.

E& $r+co (ue se %resenta a contnuac"n es tambn conoc!o comoEs%ra& !e A r (u=me!es* %recsamente en ?onor Ar(u=me!es* (uen+ue un notab&e +=sco # matemtco $re$o (ue a& ser +ascna!o %or &a

be&&e>a !e esta curva* rea&>" un estu!o %ro+un!o sobre sus %ro%e!a!esmatemtcas en su escrto ttu&a!o obre &as es%ra&es* escrto en e& s$&oIII antes !e Crsto.

7ara mostrar e& $r+co (ue se +orma* %resentamos &a s$uente +unc"nen coor!ena!as %o&ares (ue +ormar &a es%ra& %o&ar s$uente-
http://www.monografias.com/trabajos32/pascal-arquimedes-bernoulli/pascal-arquimedes-bernoulli.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos32/pascal-arquimedes-bernoulli/pascal-arquimedes-bernoulli.shtml


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Veamos a?ora otra $r+ca es%ra& conoc!a como es%ra& !e 4ermat*%ues +ue eBamna!a %or 4ermat en 1\,X. u ecuac"n es r_ ) a_ 6 .En e& s$uente ejem%&o se muestra una +unc"n # su res%ectva $r+ca(ue nos %ermten conocer &a es%ra& !e 4ertat-


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Un se$un!o $r+co es%ra& &o tenemos en &a +unc"n (ue veremos a?ora*(ue %o!r=amos encontrar&a con !os nombres re'rn!ose a& msmo$r+co. Ambos nombres e(uva&en a &o msmo como %o!remos a%recar. 5c?os nombres con &os (ue se conoce a esta es%ra& son- es%ra&rec=%roca o es%ra& ?%erbo&ca. Ten!remos entonces-

Otro caso (ue se %ue!e !ar es &a es%ra& &o$ar=tmca* (ue se &ustra

me!ante &a s$uente +unc"n # su res%ectvo $r+co-

apuntes calculo vectorial 2011

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