Teoría Preliminar

Identificar conceptos de cálculo diferencial e integral aplicables a las ecuaciones

diferenciales

Derivadas Parciales

Son aquellas derivadas que se realizan a una función que contiene varias

variables considerando únicamente a una literal como variable y al resto se

considera constante.

Algoritmo de solución:

1. Derivar las variables la ecuación respecto a las funciones indicadas (x, y, z).

2. Encontrar la función respecto a X, se va a derivar solo donde se contengan

variables de X.

3. Encontrar la función respecto de Y, se va a derivar la ecuación solo donde

contenga las variables de Y.

4. Encontrar la función respecto de Z, se va a derivar la ecuación solo donde

contenga las variables de Z.

Ejercicio:

𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑧 + 3𝑦𝑧

𝝏𝒚

𝝏𝒙= 𝟔𝒙𝒚 + 𝟐𝒛

𝝏𝒚

𝝏𝒙= 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒛

𝝏𝒚

𝝏𝒙= 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚

Integral por Partes:

Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente. La regla

que corresponde a la regla del producto para derivación se llama regla para

Integración por partes. Permite calcular la integral de un producto de dos

funciones aplicando la fórmula:

∫ 𝑢 ∙ 𝑣´ 𝑑𝑥 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑢´ ∙ 𝑣 𝑑𝑥

Las funciones logarítmicas, arcos y polinómicas se eligen como “u”.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno se eligen

como v´.

Fuentes:

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integraci%C3%B3n_por_partes.htm

l

http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integral_partes.html

Algoritmo de solución:

1.- Definir la ecuación de la integral

2.- Identificar U y DV

3.- Dividir en una tabla a U y derivar la función de U hasta llegar a 0

4.- De lado contrario de la tabla DV integrar la función de DV hasta igualar a 0 de

U.

5.- El primer término de U se juntara con el segundo término de DV de manera

que se unan en forma diagonal.

Ejercicio:

∫ 𝟑𝒙𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙𝒅𝒙

U DV

3x2 cos x

6x sen x

6 -cos x

0 -sen x

𝑅 = 3𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 6𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 – 6 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶

Ecuación diferencial

Identificar la definición y solución de una ecuación diferencia

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que cuenta con diferenciales en su

estructura y su resultado es una ecuación

Una ecuación diferencial se puede clasificar por su forma y estructura:

a) Ecuación diferencial ordinaria

Es aquella ecuación que cuenta únicamente con 2 variables (dependiente e

independiente)

𝑑𝑦 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑑𝑥 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

b) Ecuación diferencial parcial

Cuenta con una variable dependiente y dos o más variables independientes que

pueden considerarse como variables o incógnitas dependiendo de los requisitos

de la ecuación

Derivada parcial

𝜕𝑦2

𝜕𝑥−

𝜕𝑦

𝜕𝑥+ 𝑦 = 0

Una ecuación diferencial puede clasificarse según su grado el cual se determina

por la diferencial de mayor grado de la ecuación

Algoritmo de solución: 1.- Se identifica el tipo de ecuación es. 2.- Se deriva acorde al tipo de ecuación que era según el grado 3.- Se utiliza el último resultado y se le resta el término mayor multiplicado por el término original

4.- Si el resultado igualado a cero cumple la igualación es una solución correcta

𝑥′′ + 16𝑥 = 0

a) 𝑥 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠4𝑡

a) 𝑥 = 𝐶1𝑐𝑜𝑠4𝑡

𝑥′ = −4𝐶1𝑠𝑒𝑛4𝑡

𝑥′′ = −4 ∗ 4𝐶1𝑐𝑜𝑠4𝑡

∴= 𝐶1𝑐𝑜𝑠4𝑡

−16𝐶1𝑐𝑜𝑠4𝑡 + 16𝐶1𝑐𝑜𝑠4𝑡 = 0

0 = 0

b) 𝑥 = 𝐶2 𝑠𝑒𝑛4𝑡

c) 𝑥 = 𝐶2𝑠𝑒𝑛4𝑡

𝑥′ = −4𝐶2𝑐𝑜𝑠4𝑡

𝑥′′ = −4 ∗ 4𝐶2𝑠𝑒𝑛4𝑡

𝑥′′ = −16𝐶2𝑠𝑒𝑛4𝑡

−16𝐶2𝑠𝑒𝑛4𝑡 + 16𝐶2𝑠𝑒𝑛4𝑡 = 0

0 = 0

Familia de curvas de una ecuación diferencial

Una ecuación diferencial cuenta con una solución general que contienen una

constante de integral y un número indefinido de soluciones particulares.

Para encontrar una solución particular se debe identificar el valor de la constante

sustituyendo el punto por donde se desea pase la gráfica de la solución general.

Algoritmo de solución:

1. Haciendo uso de la solución general se procede a identificar con que puntos

será evaluada.

2. Cada punto dado es un sistema de coordenadas (x,y)

3. En la solución general existirá alguno de estos datos x,y y serán sustituidos por

los valores del punto

4. Una vez sustituidos los valores se continuara a realizar la operación para

obtener C

5. El valor de C corresponde al valor de los puntos en el eje de las Y

6. Ahora se procederá a tabular los datos

7. Se escogerá un rango de números para x ,(3,2,1,0,-1,-2,-3)

8. Y con la formula resultado de C se procede a realizar la operación con respecto

a cada punto de X sustituyendo a esta misma en la formula si es necesario

9. Con todos los datos de ambos ejes se procede a graficar los datos.

10. Se repite el proceso según el número de puntos dados.

Ejemplo:

Solución general: 𝑦 = 𝐶 ∗ 𝑋

grafique la familia de curvas que pase por los siguientes puntos:

(1,1)

(1,3)

(4,2)

PUNTO (1,1)

y=C*X

1=C*1

C=1/1

C=1

X Y=1*X

-3 -3

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1

2 2

3 3

PUNTO (1,3)

y=C*X

3=C1

C=3/1=3

X Y=3X

-3 -9

-2 -6

-1 -3

0 0

1 3

2 6

3 9

PUNTO (4,2)

y=C*X

2=C*4

C=2/4=1/2=.5

X Y=.5X

-3 -1.5

-2 -1

-1 -.5

0 0

1 .5

2 1

3 1.5

Ecuaciones diferenciales de variables separables

Las ecuaciones diferenciales de primer orden (grado) se pueden clasificar por su

estructura en:

a) Ecuaciones diferenciales de variables separadas:

Son aquellas donde puede separarse en cada miembro de la ecuación una

variable y se presenta de la forma

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

g(x)

ℎ(𝑦)

Algoritmo de solución:

1. Dada la ecuación, se procede a sustituir ya prima por derivada de y con

respecto a la derivada de x.

2. Se despeja la variable x pasándola al otro lado de la igualdad y

colocándole el signo opuesto y se hace lo mismo con la derivada con

respecto a x.

3. Se integran los términos que están a los costados de la igualdad

aplicando la fórmula de integración pertinente tomando en cuenta que una

integración de una derivada se eliminan o es igual a 0.

4. Una vez verificando que la ecuación está completa, ya se obtuvo la

solución general, en caso contrario se procede a completarla para

obtenerla.

𝑦´ − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0

Ejemplo:

𝑦´ − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑐𝑜𝑠𝑥

1) 𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

2) ∫ 𝑑𝑦 = cos ∫ 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑣 + 𝑐 fórmula para integrar

3) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 solución general

Ecuaciones diferenciales de variables separables

Graficar la solución particular de una E.D.V.S.

La solución particular de una ecuación diferencial es aquella que se presenta con

una condición inicial (se conoce un punto por donde pasa) como muestra el

siguiente ejemplo:

Algoritmo de solución:

1. Se sustituye y´ (prima) por derivada de y con respecto a la derivada de x. 2. Se despeja la variable x pasándola al otro lado de la igualdad y colocándole el signo opuesto y se hace lo mismo con la derivada con respecto a x. 3. Se integran los términos que están a los costados de la igualdad, tomando en cuenta que una integración de una derivada se eliminan o es igual a 0. 4. Una vez verificando que la ecuación está completa, ya se obtuvo la solución general, en caso contrario se procede a completarla para obtenerla. 5. Se procede entonces a espejar la constante de integración c para saber su valor. 6. Sabiendo el valor de c, se sustituye en la solución general y se proceda a graficar sustituyendo la variable x por los valores que van desde -3 hasta +3 para obtener la gráfica.

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑦(1) = 2, 𝑥 = 1, 𝑦 = 2

x=1 y=2

𝑦´ − cos 2𝑥 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥− cos 2𝑥 = 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑐𝑜𝑠2𝑥

∫ 𝑑𝑦 = 1

2∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥2𝑑𝑥

𝑦 =1

2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑐 Solución general

𝑐 = 𝑦 −1

2𝑠𝑒𝑛 2𝑥

𝑐 = 2 −1

2𝑠𝑒𝑛 2(1)

𝑐 = 2 −1

2𝑠𝑒𝑛 2

𝑐 = 1.5453

𝑓(𝑥) = 𝑦

𝑦 =1

2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 1.5453 Solución particular

x y

-3 1.0850

-2 1.9237

-1 1.0937

0 1.5453

1 1.9999

2 1.1668

3 1.4055

Ecuaciones diferenciales de variables separables

Resolver soluciones particulares de una E.D.V.S. y sus aplicaciones

Algoritmo de solución

1. Dada la ecuación, se procede a sustituir y´ (prima) por derivada de y con respecto a la derivada de x. 2. Se despeja la variable x pasándola al otro lado de la igualdad y colocándole el signo opuesto y se hace lo mismo con la derivada con respecto a x. 3. Se integran los términos que están a los costados de la igualdad aplicando la fórmula de integración pertinente tomando en cuenta que una integración de una derivada se eliminan o es igual a 0. 4. Se verifica que la ecuación está completa, ya se obtuvo la solución general, en caso contrario, se completa para obtenerla. 5. Una vez obtenida la solución general, se procede a espejar la constante de integración c para saber su valor. 6. Sabiendo el valor de c, se sustituye en la solución general y se proceda a graficar sustituyendo la variable x por los valores que van desde -3 hasta +3

Ejemplo:

Graficar la solución particular cuando

F (1)=2, F (2)=4, F (3)=2

𝑋𝑦2 𝑦1 − 𝑥2 − 𝑥 = 0

𝑋𝑦2 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝑥2 − 𝑥 = 0

𝑋𝑦2 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥2 + 𝑥

𝑋𝑦2 𝑑𝑦

𝑑𝑥= (𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑥

𝑦2 𝑑𝑦 =𝑥2 + 𝑥𝑑𝑥

𝑥

∫ 𝑦2 𝑑𝑦 = ∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥

𝑦3

3=

𝑥2

2+ 𝑥 + 𝑐

𝑦 = √(𝑥2

2+ 𝑥 + 𝑐)

33 Solución general

F (1)=2

X = 1 y = (2)

𝑐 =𝑦3

3=

𝑥2

2− 𝑥

𝑐 =8

3−

1

2− 1

𝑐 = 7

6

𝑦 = √((𝑥)2

2+ 𝑥 +

7

6)

33

x y

-3 2

-2 1.5182

-1 1.2599

0 1.5182

1 2.0

2 2.3207

3 2.5712

F (2)=4

X = 2 y = (4)

𝑐 =𝑦3

3=

𝑥2

2− 𝑥

𝑐 =64

3− 2 − 2

𝑐 = 52

3

𝑦 = √((𝑥)2

2+ 𝑥 +

52

3)

33

x y

-3 3.8372

-2 3.7325

-1 3.6962

0 3.7325

1 3.8372

2 4

3 4.5712

F (3)=2

X = 3 y = (2)

𝑐 =𝑦3

3=

𝑥2

2− 𝑥

𝑐 =8

3−

9

2− 3

𝑐 = 29

6

𝑦 = √((𝑥)2

2+ 𝑥 −

29

6)

33

x y

-3 -2.1544

-2 -2.4384

-1 -2.5198

0 -2.4384

1 -2.1544

2 -1.3572

3 2

Aplicaciones de crecimiento y decrecimiento

Cuando se tienen fenómenos de incrementos o decrementos el comportamiento

no es lineal, este se comporta de forma exponencial aplicando la siguiente relación

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝐾𝑇 Regla de crecimiento

Cuando se tienen problemas de crecimiento se deben conocer condiciones

iniciales las cuales se deben sustituir para identificar la solución particular del

problema como muestra

Algoritmo de solución

1.- Se sustituyen las variables correspondientes al problema en la fórmula de la

regla de crecimiento

2.- Se procede a integrar los términos tomando en cuenta que una integración de

una derivada que se encuentra en una fracción se convierte en logaritmo natural y

una simple integración de una derivada se eliminan o es igual a 0.

3.- Se despeja la variable que se desea obtener el valor tomando en cuenta que al

despejar logaritmo natural, al pasarlo al otro lado de la igualdad se convierte en

Euler.

4.- Una vez obtenida la ecuación de crecimiento correspondiente al problema, se

procede a organizar los datos dados en el problema para saber cuáles son las

incógnitas a resolver.

5.- Cuando se tienen claras todas las incógnitas y los datos ya dados en el

problema, se procede a sustituir los valores en la ecuación de crecimiento.

6.- Se despeja la variable de la cual se desea obtener el valor y se resuelve la

ecuación para obtener el resultado al problema.

Ejemplo:

La población de una ciudad ha aumentado un 50% en los últimos 6 años indique el

tiempo que tardara en alcanzar el doble de tamaño

Indique la población que tendrá en 3 años si inicialmente tenían 100 mil habitantes

∫𝑑𝑃

𝑃= 𝐾 ∫ 𝑑𝑡

𝑒[ln 𝑃 = 𝐾𝑡 + 𝑐]

𝑃 = 𝑒𝑘𝑡+𝑐

𝑃 = 𝑐𝑒𝑘𝑡

𝑃(𝑡) = 𝑐𝑒𝑘𝑡 Ecuación de crecimiento

Ecuación particular

𝑃(𝑡) = 𝑃0 𝑒 [ln 1.5

6] 𝑡

T=? cuando 2 P0

2𝑃0 = 𝑃0𝑒 [𝑙𝑛1.5

6] 𝑡

ln [2 = 𝑒 [𝑙𝑛1.5

6] 𝑡]

ln [𝑙𝑛1.5

6] 𝑡

𝑡 = 𝑙𝑛2

[ln 1.5

6]

= 10.2570 𝑎ñ𝑜𝑠

La población alcanzara el doble de tamaño en 10.2570 años

La población que tendrá en 3 años (𝑙𝑛1.5

6)

3

Población (3 años)= 100000e

Total= 122474.4

𝒍𝒏[𝟏. 𝟓 = 𝒆𝒌]

𝒍𝒏 𝟏. 𝟓 = 𝟔𝒌

𝒌 = 𝒍𝒏𝟏. 𝟓

𝟔

Condiciones iniciales T0 años = 𝑷𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

T6 años =1.5 𝑷𝟎 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎

P0=𝒄𝒆𝒌(𝟔) C=P0

1.5 P0 = P0 𝒆𝒌(𝒆)