Anlisis de sistemas a dinmicos lineales a

Anlisis de sistemas a dinmicos lineales aOscar G. Duarte V.Profesor asociado del Departamento de Ingeniera Elctrica y Electrnica e o

A quienes trabajan por la democratizacin del conocimiento o

ContenidoContenido Lista de guras Lista de tablas Prefacio 1. Introduccin al modelamiento de sistemas o 1.1. Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 1.1.3. Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Construccin de los modelos matemticos o a 1.1.5. Clasicacin de los modelos matemticos o a 1.1.6. Modelos matemticos a utilizar . . . . . . a 1.2. Sistemas f sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Grafos de enlaces de potencia Bond Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Elementos bsicos . . . . . . . . . . . . . a 1.3.2. Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Obtencin de las ecuaciones . . . . . . . . o 1.3.4. Procedimientos espec cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IX XV XXI XXIII

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1 1 1 2 2 3 4 8 9 11 11 17 18 20 21 21 21 22 23 24 27 27 29 31 32

2. Preliminares matemticos a 2.1. Ecuaciones diferenciales y de diferencia . . . . . . . . . . . 2.1.1. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Ecuaciones de diferencias nitas . . . . . . . . . . 2.1.3. Ecuaciones diferenciales y de diferencias lineales . 2.1.4. Mtodos de solucin de E.D. lineales . . . . . . . . e o 2.2. Transformadas de Laplace y Z . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Parejas de transformadas . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Utilizacin de la tabla de parejas de transformadas o ix

OSCAR G. DUARTE

2.2.5. Transformadas inversas por expansin de fracciones paro ciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Solucin de E.D. lineales mediante o transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Introduccin al anlisis de sistemas dinmicos o a a 3.1. Respuestas de estado cero y de entrada cero . . 3.1.1. Sistemas continuos . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . 3.2. Funciones de transferencia . . . . . . . . . . . . 3.3. Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Diagramas de ujo de seal . . . . . . . . . . . n 3.4.1. Regla de Mason . . . . . . . . . . . . . 3.5. Respuesta al impulso . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 39 43 43 43 45 47 48 48 52 55 56 59 65 66 68 70 71 73 73 75 76 78 80 80 82 82 83 83 87 89

4. Sistemas de primer y segundo orden 4.1. Sistemas continuos de primer orden . . . . . . . . . 4.2. Sistemas discretos de primer orden . . . . . . . . . 4.3. Sistemas continuos de segundo orden . . . . . . . . 4.3.1. Regin de estabilidad . . . . . . . . . . . . o 4.3.2. Regin de tiempo mximo de asentamiento o a 4.3.3. Regin de frecuencia mxima de oscilacin o a o 4.3.4. Regin de sobrepico mximo . . . . . . . . o a 4.3.5. Regin de diseo . . . . . . . . . . . . . . . o n 4.4. Sistemas discretos de segundo orden . . . . . . . . 4.4.1. Regin de estabilidad . . . . . . . . . . . . o 4.4.2. Regin de tiempo mximo de asentamiento o a 4.4.3. Regin de Frecuencia mxima de oscilacin o a o 4.4.4. Regin de sobrepico mximo . . . . . . . . o a 4.4.5. Regin de diseo . . . . . . . . . . . . . . . o n 4.5. Efecto de los ceros. Sistemas de fase m nima . . . . 4.6. Polos dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Sistemas realimentados simples 5.1. Tipo de sistema y error de estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Estabilidad y criterios de estabilidad en sistemas continuos 5.2.1. Arreglo y criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . 5.2.2. Lugar geomtrico de las ra e ces . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Diagramas y criterio de Bode . . . . . . . . . . . . . 5.2.4. Diagrama y criterio de Nyquist . . . . . . . . . . . . 5.3. Estabilidad y criterios de estabilidad en sistemas discretos . x

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91 91 92 93 94 101 107 112 122

CONTENIDO

5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.3.4. 5.3.5.

Transformacin bilineal . . . . o Arreglo y criterio de Jury . . . Lugar geomtrico de las ra e ces Diagramas y criterio de Bode . Diagrama y criterio de Nyquist

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122 124 128 129 133 137 137 140 140 144 146 154 157 159 163 165 172 176 180 181 183 183 184 185 185 186 186

6. Representacin en variables de estado o 6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.2. Algunos resultados de algebra lineal . . . . 6.2.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . 6.2.2. Valores y vectores propios . . . . . . 6.2.3. Forma cannica de Jordan . . . . . . o 6.2.4. Funciones de matrices cuadradas . . 6.3. Variables de estado . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. El concepto de estado . . . . . . . . 6.3.2. Representacin de estado a partir de o 6.4. Sistemas continuos libres . . . . . . . . . . . 6.4.1. Retratos de fase . . . . . . . . . . . 6.4.2. Espacio de estado . . . . . . . . . . 6.4.3. Matriz de transicin de estado . . . o 6.5. Sistemas discretos libres . . . . . . . . . . . 6.5.1. Matriz de transicin de estado . . . o 6.6. Sistemas continuos excitados . . . . . . . . 6.6.1. Matriz de funciones de transferencia 6.6.2. Variables de estado en el tiempo . . 6.7. Sistemas discretos excitados . . . . . . . . . 6.7.1. Matriz de funciones de transferencia 6.7.2. Variables de estado en el tiempo . . 6.8. Introduccin al control por o variable de estado . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . 6.8.2. Observabilidad . . . . . . . . . . . .

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7. Introduccin a los sistemas no lineales o 7.1. Prdida de superposicicin y proporcionalidad . e o 7.2. Mltiples puntos de equilibrio . . . . . . . . . . u 7.3. Estabilidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Orbitas peridicas no sinusoidales . . . . . . . . o 7.5. Ciclos l mite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Orbitas homocl nicas . . . . . . . . . . . . . . . 7.7. Bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Comportamientos caticos . . . . . . . . . . . . o xi

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A. Demostraciones de las Transformadas de Laplace y Z A.1. Propiedades de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1. Linealidad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.2. Diferenciacin: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o A.1.3. Desplazamiento en la frecuencia: . . . . . . . . . A.1.4. Multiplicacin por t: . . . . . . . . . . . . . . . . o A.1.5. Teorema de valor inicial: . . . . . . . . . . . . . . A.1.6. Teorema de valor nal: . . . . . . . . . . . . . . . A.1.7. Convolucin: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o A.1.8. Desplazamiento en el tiempo: . . . . . . . . . . . A.2. Propiedades de la transformada Z . . . . . . . . . . . . A.2.1. Linealidad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2. Diferencia positiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.3. Escalamiento en la frecuencia: . . . . . . . . . . . A.2.4. Multiplicacin por k: . . . . . . . . . . . . . . . . o A.2.5. Teorema de valor inicial: . . . . . . . . . . . . . . A.2.6. Teorema de valor nal: . . . . . . . . . . . . . . . A.2.7. Convolucin: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o A.3. Parejas de transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . A.3.1. Escaln unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . o A.3.2. Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.3. Sinusoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.4. Sinusoides amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . A.3.5. Rampas, parbolas y monomios de t . . . . . . . a A.3.6. Exponenciales por tn . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.7. Sinusoides por t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.8. Sinusoides amortiguadas multiplicadas por t . . . A.4. Parejas de transformadas Z . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.1. Escaln unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . o A.4.2. Series geomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . e A.4.3. Sinusoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.4. Sinusoides amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . A.4.5. Rampas, y monomios de k . . . . . . . . . . . . . A.4.6. Series geomtricas por k n . . . . . . . . . . . . . e A.4.7. Sinusoides por k . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.8. Sinusoides amortiguadas por k . . . . . . . . . .

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B. Diagramas de Bode para sistemas continuos 229 B.1. Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 o B.2. Construccin de los diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . 230 o C. Carta de Nichols 235 C.1. M -circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 C.2. N -circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 C.3. Carta de Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 xii

CONTENIDO

D. Apuntes de lgebra lineal a D.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.1.1. Estructuras algebricas bsicas . . . . . . . . a a D.1.2. Denicin de espacio vectorial . . . . . . . . o D.1.3. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.1.4. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . D.2.1. Transformaciones y cambios de base . . . . . D.3. Normas de vectores y matrices . . . . . . . . . . . . D.4. Sistemas de ecuaciones algebricas . . . . . . . . . . a D.5. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . D.5.1. Valores propios diferentes . . . . . . . . . . . D.5.2. Valores propios repetidos . . . . . . . . . . . D.5.3. Obtencin de vectores propios generalizados . o D.6. Forma cannica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . o D.7. Forma cannica real de Jordan . . . . . . . . . . . . o D.7.1. Bloques de Jordan de tamao 1 . . . . . . . . n D.7.2. Bloques de Jordan de tamao mayor que 1 . n D.8. Funciones de matrices cuadradas . . . . . . . . . . . D.8.1. Polinomios de matrices . . . . . . . . . . . . D.8.2. Funciones como series de potencias . . . . . . D.8.3. Denicin de funciones mediante polinomios . o Bibliograf a Indice anal tico

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xiii

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xiv

Lista de guras1.1. Sistema y Seales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 1.2. Sistemas y Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Construccin de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.4. Clasicacin de los Modelos Matemticos de Sistemas . . . o a 1.5. Sistema Dinmico Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.6. Sistema Dinmico Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.7. Elementos de un puerto para grafos de enlaces de potencia . 1.8. Elementos de dos puertos para grafos de enlaces de potencia 1.9. Elementos multipuerto para grafos de enlaces de potencia . 1.10. Grafos de enlace de potencia. Diagrama del ejemplo 1.1 . . 1.11. Grafos de enlace de potencia. Esquema del ejemplo 1.1 . . . 1.12. Grafo de enlaces de potencia del ejemplo 1.1 . . . . . . . . . 1.13. Enlaces con marcas de causalidad . . . . . . . . . . . . . . . 1.14. Grafo causal de enlaces de potencia del ejemplo 1.1 . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4 5 8 8 13 13 14 15 15 16 17 19 28 29 34 34 43 45 47 47 49 50 51 52 53 54 56 56 57

Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones cont nuas segn la ubicacin de sus polos en el plano s u o Funciones discretas segn la ubicacin de sus polos en el plano s u o

3.1. Sistema Dinmico Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.2. Sistema Dinmico Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.3. Diagrama de bloques m nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Diagrama de ujo de seal m n nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Equivalencias de los Diagramas de Bloques . . . . . . . . . . . . 3.6. Diagrama de Bloques del ejemplo 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Solucin del ejemplo 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.8. Equivalencias de los Diagramas de de Flujo de Seal . . . . . . . n 3.9. Deniciones de Diagramas de Flujo de Seal . . . . . . . . . . . . n 3.10. Diagrama de Flujo de Seal del ejemplo 3.3 . . . . . . . . . . . . n 3.11. Funcin Impulso Unitario discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.12. Sistema Dinmico Discreto estimulado con el impulso unitario . . a 3.13. Relacin entre la respuesta al impulso y la funcin de transfereno o cia. Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

OSCAR G. DUARTE

3.14. Respuesta al Impulso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15. Descomposicin de una seal discreta . . . . . . . . . . . . . . . o n 3.16. Funcin d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.17. Funcin Impulso Unitario Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.18. Area bajo la curva f (t)d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.19. Sistema Dinmico Cont a nuo estimulado con el impulso unitario . 3.20. Relacin entre la respuesta al impulso y la funcin de transfereno o cia. Caso cont nuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Respuesta al paso de un sistema continuo de primer orden . . . . 4.2. Regiones de estabilidad e inestabilidad para un sistema continuo de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Respuesta al paso de un sistema continuo de primer orden, polo negativo en a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Regin de tiempo de asentamiento mximo para un sistema cono a tinuo de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Respuesta al paso de un sistema discreto de primer orden . . . . 4.6. Regiones de estabilidad e inestabilidad para un sistema discreto de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Regiones de tiempo de asentamiento mximo para un sistema a discreto de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Ubicacin de los polos de un sistema continuo de segundo orden, o con polos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Respuesta al paso de un sistema continuo de segundo orden, wn = 1 4.10. Respuesta al paso de un sistema continuo de segundo orden, = 0.5 4.11. Respuesta al paso de un sistema continuo de segundo orden . . . 4.12. Regin de Estabilidad para un sistema continuo de segundo orden o 4.13. Regin de Tiempo mximo de asentamiento para un sistema cono a tinuo de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14. Regin de Frecuencia mxima de oscilacin para un sistema cono a o tinuo de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15. Sobrepico en funcin de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.16. Sobrepico en funcin de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.17. Regin de Sobrepico mximo para un sistema continuo de seguno a do orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18. Regin de Diseo para un sistema continuo de segundo orden . . o n 4.19. Ubicacin de los polos de un sistema discreto de segundo orden, o con polos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.20. Respuesta al paso de un sistema discreto de segundo orden, a = 1.2, b = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.21. Respuesta al paso de un sistema discreto de segundo orden, a = 3, b = 0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.22. Regin de Estabilidad para un sistema discreto de segundo orden o 4.23. Regin de tiempo de asentamiento mximo para un sistema diso a creto de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

58 60 61 61 62 62 63 66 67 67 68 69 69 70 71 72 72 72 73 74 74 76 77 77 78 79 80 81 81 82

LISTA DE FIGURAS

4.24. Regin de Frecuencia mxima de oscilacin para un sistema diso a o creto de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.25. Curvas de Amortiguamiento jo para un sistema discreto de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.26. Regin de Amortiguamiento m o nimo para un sistema discreto de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.27. Regin de Diseo para un sistema discreto de segundo orden . . o n 4.28. Respuesta al paso de un sistema continuo de segundo orden, con cero real b = = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.29. Sistema continuo de orden 4 con polos dominantes . . . . . . . .

83 84 84 85 86 87

5.1. Sistema continuo retroalimentado simple . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2. Sistema discreto retroalimentado simple . . . . . . . . . . . . . . 90 5.3. Arreglo de Routh. Primeras dos l neas . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.4. Arreglo de Routh. Dos l neas genricas . . . . . . . . . . . . . . . 95 e 5.5. Arreglo de Routh del ejemplo 5.4. Primeras dos l neas . . . . . . 96 5.6. Arreglo de Routh del ejemplo 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.7. Arreglo de Routh del ejemplo 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.8. Arreglo de Routh del ejemplo 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.9. Arreglo de Routh del ejemplo 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.10. Arreglo de Routh con cero en la primera columna. Arreglo incompleto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.11. Arreglo de Routh con cero en la primera columna. Aproximacin 100 o 5.12. Arreglo de Routh con cero en la primera columna. Arreglo completo100 5.13. Arreglo de Routh con terminacin prematura. Arreglo incompleto 100 o 5.14. Arreglo de Routh con terminacin prematura. Arreglo completo . 101 o 5.15. Root-ocus (en rojo) y root-locus complementario (en azul) del ejemplo 5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.16. Diagramas de Root Locus para el ejemplo 5.10 . . . . . . . . . . 104 5.17. Root-locus (en rojo) y root-locus complementario (en azul) del ejemplo 5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.18. Relacin entre el root-locus y los diagramas de Bode . . . . . . . 110 o 5.19. Diagramas de Bode para un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.20. Determinacin grca del valor de una funcin de transferencia o a o racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.21. Plano s y Plano F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.22. Plano s y Plano F en una trayectoria cerrada que no encierra el cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.23. Plano s y Plano F en una trayectoria cerrada que encierra el cero 116 5.24. Plano s y Plano F en una trayectoria cerrada que no encierra el polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.25. Plano s y Plano F en una trayectoria cerrada que encierra el polo 117 5.26. Trayectoria de Nyquist para el caso general . . . . . . . . . . . . 118 5.27. Trayectoria de Nyquist con polos en el eje imaginario . . . . . . . 118 5.28. Diagrama de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.29. Diagrama de Nyquist para el ejemplo 5.13 . . . . . . . . . . . . . 121 xvii

OSCAR G. DUARTE

5.30. Transformacin Bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.31. Arreglo de Routh para el sistema transformado . . . . . . . . . . 5.32. Arreglo de Jury. Primeras dos l neas . . . . . . . . . . . . . . . . 5.33. Arreglo de Jury del ejemplo 5.15. Primeras dos l neas . . . . . . 5.34. Arreglo de Jury del ejemplo 5.15. Primeras cuatro l neas . . . . . 5.35. Arreglo de Jury del ejemplo 5.15. Arreglo completo . . . . . . . . 5.36. root-locus (en rojo) y root-locus complementario (en azul) para el ejemplo 5.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.37. Relacin entre el root-locus y los diagramas de Bode para el caso o discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.38. Diagramas de Bode para el ejemplo 5.19 . . . . . . . . . . . . . . 5.39. Trayectoria de Nyquist para el caso discreto general . . . . . . . 5.40. Trayectoria de Nyquist para el caso discreto con polos en la circunferencia unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.41. Diagrama de Nyquist para el ejemplo 5.20 . . . . . . . . . . . . . 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. Sistema Continuo de mltiples entradas y mltiples salidas . . . u u Sistema Discreto de mltiples entradas y mltiples salidas . . . . u u Cambio de base de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de Matthew vacio simple . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de Bloques de un sistema cont nuo en representacin o de espacio de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Diagrama de Bloques de un sistema discreto en representacin de o espacio de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Circuito RLC serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Motor DC controlado por campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Construccin de una trayectoria en el Plano de Fase . . . . . . . o 6.10. Retrato de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11. Retratos de Fase Estables t picos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12. Retratos de Fase Inestables t picos . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13. Ejemplos Retratos de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.14. Retrato de Fase de un Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15. Retrato de Fase de un Ejemplo en la base de los vectores propios 6.16. Realimentacin por Variable de Estado . . . . . . . . . . . . . . . o 6.17. Realimentacin por Variable de Estado de un sistema cont o nuo . 6.18. Realimentacin por Variable de Estado de un sistema discreto . . o 6.19. Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.20. Realimentacin por Variable de Estado con Observador . . . . . o 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. No Linealidades Estticas ms frecuentes . . . . . . . . . . . . . a a Sistema No Lineal con dos entradas escaln . . . . . . . . . . . . o Sistema No Lineal con una entrada escaln y una sinusoide . . . o Diagrama del pndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Retrato de Fase del pndulo simple con a = b = 1 . . . . . . . . . e Retrato de Fase del pndulo simple alrededor de un punto de e equilibrio del tipo sifn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o xviii

123 124 125 126 126 126 130 131 132 133 134 136 138 138 143 151 158 159 160 161 173 173 174 175 177 180 181 188 188 189 191 192 196 198 198 200 200 202

LISTA DE FIGURAS

7.7. Retrato de Fase del pndulo simple alrededor de un punto de e equilibrio del tipo punto de silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Retrato de Fase del Sistema de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . 7.9. Retrato de Fase del Oscilador de Van der Pol con = 1 . . . . . 7.10. Retrato de Fase del Oscilador de Dung con k = 0 . . . . . . . . 7.11. Funcin discreta que origina un sistema catico . . . . . . . . . . o o 7.12. Respuesta de un sistema discreto catico a tres entradas difereno tes: xa = 0.445 + 1 1011 (negro), xb = 0.445 + 3 1011 (azul) y xc = 0.445 + 5 1011 (rojo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1. Resumen de los diagramas de Bode aproximados para sistemas continuos de primer orden (los cuatro primeros casos son exactos) B.2. Resumen de los diagramas de Bode aproximados para sistemas continuos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3. Diagrama de Bode de magnitud para un sistema continuo de segundo orden con distintos factores de amortiguamiento . . . . . B.4. Diagrama de Bode de fase para un sistema continuo de segundo orden con distintos factores de amortiguamiento . . . . . . . . .

202 203 204 205 207

207 231 232 233 234

C.1. Diagrama de Nichols en coordenadas rectangulares . . . . . . . . 238 C.2. Diagrama de Nichols en coordenadas polares . . . . . . . . . . . 238 D.1. Cambio de base de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2. Rotacin de 90o en sentido horario . . . . . . . . . . . . . . . . . o D.3. Circunferencias Unitarias para diferentes normas . . . . . . . . . D.4. Norma de una matriz basada en 1 . . . . . . . . . . . . . . . D.5. Norma de una matriz basada en 2 . . . . . . . . . . . . . . . D.6. Norma de una matriz basada en . . . . . . . . . . . . . . . D.7. Codominio y rango de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . D.8. Codominio y Rango del Operador Lineal del ejemplo D.27 . . . . D.9. Codominio y Rango del Operador Lineal del ejemplo D.27 . . . . D.10.Codominio, espacio nulo, rango y nulidad de un operador lineal . D.11.Espacios Nulos de (A I)i y cadenas de vectores propios generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.12.Espacios Nulos del ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.13.Diagrama de Matthew vac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o D.14.Diagrama de Matthew vac simple . . . . . . . . . . . . . . . . . o D.15.Diagrama de Matthew lleno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 249 252 254 255 255 257 258 258 259 270 272 273 274 274

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Lista de tablas1.2. Variables y parmetros de sistemas f a sicos . . . . . . . . . . . . . 1.4. Variables F sicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia . 2.1. Comparacin entre ecuaciones diferenciales y de diferencia . . . . o 2.2. Mtodos elementales de solucin de Ecuaciones diferenciales y de e o diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Comparacin de las deniciones de las transformadas de Laplace o yZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Propiedades de las transformadas de Laplace y Z . . . . . . . . 2.5. Tabla de parejas de transformadas elementales . . . . . . . . . . 2.6. Tabla de parejas de transformadas elementales multiplicadas por el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Ubicacin de los polos en los planos complejos y funciones en el o tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. 5.2. 5.3. 5.5. 10 12 23 25 29 31 32 33 33

Error de estado estacionario para sistemas continuos . . . . . . . 92 Error de estado estacionario para sistemas discretos . . . . . . . 93 Polos de la funcin de transferencia del ejemplo 5.8 . . . . . . . 102 o Reglas de construccin para el root-locus y el root-locus compleo mentario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.6. Transformacin bilineal de algunos puntos sobre la circunferencia o unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

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Prefacio

Este texto de anlisis de sistemas dinmicos se ha preparado como maa a terial de apoyo para el curso de igual nombre impartido en la Facultad de Ingenier de la Universidad Nacional de Colombia. Existe una versin eleca o trnica en la pgina del proyecto Universidad Virtual de la misma universidad o a (http://virtual.unal.edu.co) que est acompaada de aplicaciones de softa n ware, enlaces y documentacin utiles para la aprehensin de los conceptos aqui o o presentados. Se ha supuesto un lector con conocimentos m nimos de ecuaciones diferenciales y cuyo inters en el tema est cercano al control de sistemas dinmicos. En e e a general, es adecuado como gu para cursos de pregrado en ingenier aunque a a, el apndice D tiene un nivel ms avanzado. e a El cuerpo principal del texto se organiza asi: El cap tulo 1 delimita el tipo de sistemas que se estudiarn en el texto y presenta las ideas bsicas sobre a a cmo obtener las ecuaciones matemticas que describen su comportamiento. o a Esta tarea (la obtencin de las ecuaciones) es fundamental para el anlisis y o a control de sistemas, y amerita un estudio mucho ms profundo que el destinado a en este cap tulo introductorio; en los restantes cap tulos se asume que ya se cuenta con las ecuaciones de los sistemas a estudiar. Los fundamentos matemticos para solucionar dichas ecuaciones se resumen a en el cap tulo 2; especial nfasis se hace en los mtodos de las transformadas de e e Laplace y Z. Los herramientas ms usuales de anlisis de sistemas se presentan a a en el cap tulo 3 y el cap tulo 4 se dedica al estudio de los sistemas de primer y segundo, que resultan ser fundamentales pues presentan los comportamientos bsicos que pueden aparecer en cualquier sistema dinmico. a a La realimentacin, estrategia fundamental del control de sistemas dinmicos, o a se explora en el cap tulo 5. Un enfoque diferente al anlisis de sistemas, el espacio a de estado, se aborda en el cap tulo 6. Finalmente, el cap tulo 7 presenta algunos comportamientos que pueden aparecen en los sistemas no lineales, y que no pueden existir en los sistemas lineales. Adicionalmente, se han incluido cuatro apndices: El apndice A contiene las e e xxiii

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demostraciones de las propiedades y parejas de las transformadas de Laplace y Z que se enuncian en el cap tulo 2 y se emplean a lo largo del texto. Los apndices B y C estn dedicados a los diagramas de Bode y a la carta de Nichols, e a respectivamente. El apndice D es una presentacin rigurosa de los conceptos e o de algebra lineal que se enuncian en el cap tulo 6. Este texto no habr sido posible sin la colaboracin directa e indirecta de a o muchas personas. Quiero agradecer en primer lugar a los alumnos de los cursos de pregrado y posgrado de anlisis de sistemas dinmicos cuyas observaciones y a a sugerencias han sido extremadamente valiosas; ellos han sido adems la principal a motivacin de este trabajo; a los profesores Hernando Diaz y Estrella Parra o por sus aportes y permanente est mulo. Agradezco tambien a la Universidad Nacional de Colombia por su apoyo en la publicacin del texto; a la comunidad o A de desarrolladores y usuarios del programa L TEX sin cuyo aporte ste y muchos e libros ser quimeras; a Alfredo Duplat Ayala por sus comentarios en el campo an editorial; por ultimo, pero no menos importante, a Tatiana y a Laura por su cario y paciencia. n

Oscar G. Duarte

xxiv

Captulo 1 Introduccion al modelamiento de sistemas

1.1.

Conceptos preliminares

Iniciamos el estudio del anlisis de sistemas dinmicos lineales con la prea a sentacin de los siguientes conceptos bsicos: o a

1.1.1.

Sistemas

No es fcil encontrar una denicin exacta de sistema, quizs porque el tra o a e mino es utilizado en muy diversos contextos. En un sentido amplio, podemos entender por sistema aquello que se va a estudiar. Tal denicin es extremao damente vaga pero pone de maniesto la necesidad de delimitar el objeto de estudio, de imponerle unas fronteras precisas. Dividimos el universo en dos partes: El sistema y todo lo dems; esto ultimo lo denominamos el Entorno del a Sistema. Podemos imaginar sistemas de tipos muy diferentes de acuerdo a qu es lo e que se va a estudiar; si se desea conocer cmo se nutre un determinado animal o estariamos deniendo un sistema biolgico, mientras que si lo que se quiere es o conocer la variacin de la poblacin en una determinada ciudad a travs de los o o e aos deniriamos un sistema sociolgico. Pueden plantearse tambin sistemas n o e abstractos, como por ejemplo el conjunto de los nmero enteros o las estrategias u de comunicacin ling o usticas. El propsito de este curso no es, por supuesto, abordar cualquier tipo de o sistema, sino que se limita al estudio de un tipo espec co de sistemas que suelen denominarse en el contexto de la f sica, la matemtica y la ingenier Sistemas a a 1

OSCAR G. DUARTE

Dinmicos Lineales. Para precisar qu tipo de sistemas son stos requerimos a e e primero de la presentacin de los conceptos dese ales y modelos. o n

1.1.2.

Seales n

Las seales son el medio a travs del cual el sistema interacta con su entorno. n e u En la gura 1.1 se visualiza esta interaccin: El sistema, est representado por o a un rectngulo, lo que da a entender que tiene sus fronteras denidas en forma a precisa; este sistema recibe del entorno unas se ales de entrada, representadas n por echas, y entrega a su entorno unas se ales de salida, tambin representadas n e por echas. En las aplicaciones t picas de ingenier las seales de entrada y salida son a, n variables (f sicas o abstractas) que camb en el tiempo, como por ejemplo, an fuerzas, velocidades, temperaturas, etc.

Entradas

Sistema

Salidas

Figura 1.1: Sistema y Se ales n

Cuando un sistema recibe una unica seal de entrada y produce una unica n seal de salida, se dice que es un sistema SISO (del ingls Single Input Single n e Output), mientras que si recibe varias entradas y produce varias salidas, se dice que es un sistema MIMO (del ingls Multiple Input Multiple Output). Tambin e e existen las denominaciones MISO para sistemas de varias entradas y una sla o salida, y SIMO para el caso con una entrada y varias salidas, ste ulimo poco e frecuente.

1.1.3.

Modelos

Para entender un sistema debemos hacer una representacin abstracta de l; o e tal representacin es el modelo del sistema. La gura 1.2 visualiza la diferencia o que existe entre sistema y modelo. El sistema existe, y de l hacemos una o e varias abstracciones para poder comprenderlo. Las representaciones abstractas pueden ser de muchos tipos (ecuaciones, grcas, etc.) algunos de los cuales son: a

Modelos mentales: son representaciones presentes en nuestro cerebro; tenemos, por ejemplo, una representacin mental de nuestro cuerpo que nos o permite controlarlo para caminar, saltar, etc. Modelos ling usticos: son representaciones con palabras; este prrafo, por a ejemplo intenta explicar con palabras qu es el sistema denominado modelo e lingstico. u 2

1.1. CONCEPTOS PRELIMINARES

Modelos grcos: en ocasiones empleamos tablas y/o grcas como modelos; a a los catlogos de productos de ingenier suelen contener muchos ejemplos a a de este tipo de modelo. Modelos matemticos: estos modelos son ampliamente usados en areas como a la f sica, la ingenier la econom etc.; generalmente se trata de ecuaa, a, ciones que muestra las relaciones existentes entre las variables que afectan un sistema; Modelos de software: en ocasiones es posible desarrollar programas de computador que representen a sistemas complejos.

Modelo1

Modelo4

Sistema

Modelo2

Modelo3

Figura 1.2: Sistemas y Modelos

Es importante destacar que un mismo sistema puede ser representado por muchos modelos diferentes. Este hecho plantea el interrogante cul es el mejor a modelo de un sistema dado? No es sensato aspirar a obtener un modelo perfecto de un sistema real, porque existirn siempre fenmenos que se escapen a nuestra capacidad de abstraccin, a o o por lo tanto, la respuesta debe darse en trminos de la utilizacin del modelo; e o el mejor modelo es aquel que sea util para nuestros propsitos particulares, y o dentro de todos los modelos utiles, preferiremos el ms sencillo. La utilidad del a modelo tambin determinar el grado de sosticacin que se requiera. e a o

1.1.4.

Construccin de los modelos matemticos o a

En general, la construccin de modelos se basa en la observacin del sistema. o o Existen algunos caminos bsicos para obtener un modelo (ver gura 1.3): a Modelamiento de sistemas: Esta estrategia consiste en descomponer (abstractamente) el sistema en subsistemas ms simples, cuyos modelos sean a 3

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factibles de obtener gracias a la experiencia previa. Una vez obtenidos estos submodelos, se buscan las relaciones que existen entre ellos, para interconectarlos y obtener el modelo del sistema original. Esta estrategia busca una descripcin desde adentro del sistema, geneo ralmente basada en el conocimiento de las leyes que rigen los sistemas simples. El modelo asi obtenido se conoce como modelo de caja blanca o modelo interno. Identicacin de Sistemas: Esta estrategia consiste en acumular un nmero o u suciente de observaciones sobre las seales de entrada y salida del sistema, n con el propsito de emplearlas para construir un modelo del mismo. No se o centra en lo que existe al interior del sistema, sino en su comportamiento respecto al entorno. El modelo asi obtenido se conoce como modelo de caja negra o modelo entrada - salida. Estrategia h brida: Existe una tercera estrategia, que realmente es una combinacin de las anteriores: Al igual que en la estrategia de modelamiento, o se emplea el conocimiento que est a la mano acerca de la estructuta ine terna del sistema y las leyes que rigen su comportamiento, y se emplean observaciones para determinar la informacin que haga falta. El modelo o asi obtenido se conoce como modelo de caja gris.

Modelamiento de Sistemas c Modelos de caja blanca d d Modelos de caja gris

Identicacin o de Sistemas c Modelos de caja negra

Figura 1.3: Construccin de Modelos o

1.1.5.

Clasicacin de los modelos matemticos o a

En el ambito de este texto se emplearn modelos de tipo matemtico, es de a a cir, nuestros modelos sern ecuaciones y el anlisis de los sistemas asi modelados a a estar ligado a la solucin de dichas ecuaciones. Las siguientes deniciones ayua o darn a puntualizar qu tipo de modelos matemticos son los que se pretenden a e a estudiar, segn se observa en la gura 1.4. u Modelos causales y no causales: El estado de un sistema causal depende slo de las condiciones presentes y pasadas, pero no de las futuras, es o decir hay una relacin de causalidad. Los sistemas f o sicos son causales, pero se pueden concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean. En el texto se estudiarn slo sistemas causales a o 4

1.1. CONCEPTOS PRELIMINARES

Modelos Matemticos a

cNo Causales

cCausales

cEstticos a

cDinmicos a

cEstocsticos a

cDetermin sticos

c

c

Parmetros a Parmetros a Distribuidos Concentrados

cNo Lineales

cLineales

Variantes en tiempo

c

Invariantes en tiempo

c

cDiscretos

cContinuos

Figura 1.4: Clasicacin de los Modelos Matemticos de Sistemas o a

5

OSCAR G. DUARTE

Modelos estticos y dinmicos: El estado de un sistema esttico depende a a a slo de las condiciones presentes y no de las pasadas. En contraposicin, o o el estado de un sistema dinmico depende de lo que haya sucedido en el a pasado, generalmente debido a que en el sistema hay algn tipo de almau cenamiento de energ Los sistemas dinmicos tambin se conocen como a. a e sistemas con memoria. Los modelos de sistemas dinmicos son ecuacioa nes diferenciales o de diferencia. En el texto se estudiarn slo sistemas a o dinmicos. a Modelos estocsticos y determin a sticos: En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema, pero no es posible predecir el valor que stas puedan tomar; una de las alternativas para hacer frente a estos casos e consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar tcnicas basae das en la teor de probabilidades para analizar el sistema. Un modelo que a incluya variables aleatorias es un modelo estocstico, mientras que modea los exentos de aleatoridad se denominan modelos determin sticos. Estos ultimos sern los que se estudien en este texto. a Modelos de parmetros concentrados y distribuidos: La mayor de los a a fenmenos f o sicos ocurren en una regin del espacio, pero en muchas ocao siones es posible representar ese fenmeno como algo puntual; por ejemplo, o para estudiar la atraccin entre el sol y la tierra es posible representar toda o la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un unico punto (su centro de gravedad). Sin embargo, otros fenmenos como la transmisin de ondas electromago o nticas o las olas en el mar requieren una representacin que considere e o qu est sucediendo en cada punto del espacio, en este caso se necesita e a un modelo de parmetros distribuidos en el espacio, en contraposicin de a o los modelos de parmetros concentrados. Los modelos de parmetros disa a tribuidos implican ecuacines diferenciales con derivadas parciales y no o sern estudiados en este texto; por su parte los modelos de parmetros a a concentrados, requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias. Modelos lineales y no lineales: La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones; realmente se trata de dos propiedades agrupadas bajo un mismo nombre. Dada una funcin y = f (x) ests propiedades son: o a 1. Proporcionalidad: Es igual calcular la funcin en un argumento amo plicado por un factor que calcularla sobre el argumento y luego amplicar el resultado por ese mismo factor: f (x) = f (x) En trminos prcticos, esto signica que en los modelos lineales al e a duplicar las entradas se duplican las salidas. 6

1.1. CONCEPTOS PRELIMINARES

2. Superposicin: Es igual calcular la funcin en la suma de dos arguo o mentos que calcularla por separado en cada uno de los argumentos y sumar los resultados. f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) En trminos prcticos, esto signica que en los modelos lineales de e a varias entradas, las salidas pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados. En este texto se estudiarn los modelos lineales, y tan slo en el cap a o tulo 7 se mencionarn algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir a en los sistemas no lineales. Modelos variantes e invariantes en el tiempo: Un modelo se dice invariante en el tiempo cuando las propiedades del sistema modelado se consideran constantes en el tiempo. En caso contrario se dice variante en el tiempo. Ntese que la variacin se reere a las propiedades (parmetros) o o a del sistema, no de las seales que le afectan (variables). En la mayor parte n de este curso se considerarn sistemas invariantes en el tiempo. a Modelos continuos y discretos: Para describir el comportamiento de sistema dinmicos es posible denir la variable tiempo en dos formas distintas: a Tiempo continuo: Se considera que el tiempo t es una variable continua que puede tomar cualquier valor real, aunque generalmente se restringe a los valores positivos (t R+ ). Las variables resultan ser descritas por funciones que van de los reales positivos a los reales (f : R+ R). Tiempo discreto: Se considera que el tiempo k es una variable discreta, es decir, que slo toma valores en ciertos puntos de la recta real. o Usualmente estos instantes estn espaciados de forma regular en un a intervalo T . En este texto se considera adems T = 1, en unidades a de tiempo adecuadas, que pueden ser aos, d microsegundos, etc. n as, De esta forma k es una variable entera, generalmente positiva (k Z+ ). Las variables resultan ser descritas por funciones que van de los enteros positivos a los reales (f : Z+ R), es decir, son sucesiones. En este texto se considerarn ambos tipos de modelos, pero en forma ina dependiente, es decir, no se considerarn sistemas h a bridos que tengan una parte descrita en forma continua y otra en forma discreta. Estos sistemas son de amplio inters en las aplicaciones de control digital y en tratamiene to digital de se ales (particularmente el efecto del periodo T del tiempo n discreto resulta ser importante), pero no son tratados en este texto.

7

OSCAR G. DUARTE

1.1.6.

Modelos matemticos a utilizar a

De acuerdo con lo presentado en la seccin 1.1.5, y resumido en la gura 1.4, o en este curso se emplearn modelos matemticos causales, dinmicos, determia a a n sticos, de parmetros concentrados, lineales, invariantes en el tiempo, para dos a casos diferentes: tiempo continuo y tiempo discreto. Para un sistema continuo de una unica entrada y una unica salida, como el de la gura 1.5, el modelo empleado corresponde a una ecuacin diferencial o ordinaria de coecientes constantes: an dn y dy + + a1 + a0 y(t) = dtn dt bm

du dm u + + b1 + b0 u(t) n m (1.1) m dt dt

Por su parte, un sistema discreto de una unica entrada y una unica salida, como el de la gura 1.6, tendr por modelo una ecuacin de diferencias nitas a o ordinaria de coecientes constantes: an y(k + n) + + a1 y(k + 1) + a0 y(k) = bm u(k + m) + + b1 u(k + 1) + b0 u(k) n m (1.2) E E y(t)

u(t)

Sistema

Figura 1.5: Sistema Dinmico Continuo a

u(k)

E

Sistema

E y(k)

Figura 1.6: Sistema Dinmico Discreto a

La condicin n m de las ecuaciones (1.1) y (1.2) asegura modelos causales. o En efecto, podemos suponer una ecuacin de diferencias que viole esta condicin, o o por ejemplo y(k) = u(k + 1) ; es obvio que para cualquier k la salida del sistema depende de una condicin futura de la entrada, (por ejemplo para k = 0 se tiene o y(0) = u(1)), lo que viola la condicin de causalidad. o Otro tipo de ecuaciones diferenciales que se emplearn relacionan vectores a de variables mediante matrices. Para el caso continuo se muestra un ejemplo en (1.3) y para el caso discreto en (1.4) a11 x1 x2 = a21 a31 x3 a12 a22 a32 8 x1 a13 a23 x2 x3 a33

(1.3)

1.2. SISTEMAS F ISICOS

a11 x1 (k + 1) x2 (k + 1) = a21 a31 x3 (k + 1)

a12 a22 a32

a13 x1 (k) a23 x2 (k) a33 x3 (k)

(1.4)

1.2.

Sistemas f sicos

Los modelos matemticos de las ecuaciones (1.1) y (1.2) pueden ser utiles a para representar el comportamiento de diversos tipos de sistemas en areas de la f sica, ingenier biolog econom sociolog etc. Por lo tanto las tcnicas de a, a, a, a, e anlisis que se explicarn en este texto son de amplia aplicabilidad. No obstante, a a centramos aqui nuestra atencin en los fundamentos necesarios para obtener o modelos continuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenier a. La tabla 1.2 resume las Variables y Parmetros de algunos de estos sistemas. a Para cada caso se han identicado dos variables que permiten analizar algunos fenmenos; estas variables se han identicado como Esfuerzo E y Flujo F , y o pueden interpretarse como las variables que causan un fenmeno y la forma en o que ste fenmeno se maniesta; dicha interpretacin, sin embargo, es arbitraria e o o y corresponde tan slo a la metfora que se haya empleado para entender el o a fenmeno f o sico. Para resaltar este hecho, en la tabla 1.2 se presentan los sistemas elctricos con dos posibles interpretaciones. e De todos los posibles fenmenos f o sicos existentes, en la tabla 1.2 se presentan aquellos que tienen un modelo matemtico que corresponde a uno de los a siguientes casos: Resistencia: El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo, resultando en una ecuacin de la forma E = RF o Inductancia: El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacin del Flujo, o resultando en una ecuacin de la forma E = L dF o dt Capacitancia: El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacin del o Flujo, resultando en una ecuacin de la forma E = C F dt o Ntese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 1.2 o han sido seleccionadas tomando como unico criterio el que permitan escribir los modelos matemticos de ciertos fenmenos f a o sicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores; podr seleccionarse otras variables para describir otros an fenmenos. o Dado que las descripciones matemticas de estos fenmenos son semejantes, a o es posible establecer analog entre los tipos de sistemas que dependern de as a las variables seleccionadas como Esfuerzo y Flujo; por ejemplo, ser posible a establecer una analog entre los resortes lineales de los sistemas traslacionales a y las inductancias de los sistemas elctricos (columnas 2 y 4 tabla 1.2), pero e tambin puede establecerse una analog entre el mismo tipo de resorte y las e a capacitancias de los sitemas elctricos (columnas 3 y 4 tabla 1.2). e

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OSCAR G. DUARTE

Elctrico A e Esfuerzo E Flujo F Resistencia 10 E = RF Inductancia E = L dF dt Capacitancia E = C F dt i = Ge Capacitancia i = C de dt Inductancia i=1 L

Elctrico B e Tensin o e Corriente i Resistencia

Corriente i Tensin o e Conductancia

Mecnico a traslacional Fuerza f Velocidad v Amortiguamiento viscoso f = Bv Masa de inercia f = M dv dt Resorte f =K vdt

Mecnico roa tacional Torque Velocidad angular Amortiguamiento viscoso rotacional = B Momento de inercia = J d dt Resorte torsional = KT dt

Hidralico u (Tanques) Caudal q Nivel de l quido h Resistencia Hidralica u

Trmico e Diferencia de temperatura Flujo de calor qc Resistencia trmica e

e = Ri Inductanciadi e = L dt Capacitancia 1 e = C idt

q = RH h Area de tanque q = A dh dt

= RT qc

edt

Capacitancia trmica e = CT qc dt

Tabla 1.2: Variables y parmetros de sistemas f a sicos

1.3. GRAFOS DE ENLACES DE POTENCIA BOND GRAPHS

1.3.

Grafos de enlaces de potencia Bond Graphs

La construccin de modelos matemticos a partir de las relaciones de la tabla o a 1.2 puede ser una tarea complicada para sistemas complejos en los que existan combinaciones de sistemas de diferente tipo. Una de las estrategias que facilita la construccin de tales modelos se denomina tcnica de los Bond Graphs. o e Los Bond Graphs son grafos basados en las relaciones de potencia que existen en los sistemas f sicos, y por esa razn los llamaremos grafos de enlaces de o potencia, aunque sta no es una traduccin literal, ni es ampliamente empleada. e o La representacin de las relaciones de potencia se hace en funcin de una o o pareja de variables, Esfuerzo e(t) y Flujo f (t) que se seleccionan adecuadamente segn el tipo de sistema a modelar, de tal manera que la potencia p(t) se calcule u como p(t) = e(t)f (t) (1.5)

Las variables empleadas se relacionan en la tabla 1.41 . Adicionalmente, se consideran las integrales respecto al tiempo del Esfuerzo y el Flujo, P y Q respectivamente. En los ejemplos de este cap tulo se considerarn unicamente a ejemplos de sistemas elctricos y mecnicos. e a

1.3.1.

Elementos bsicos a

Los siguientes son los elementos bsicos de un grafo de enlaces de potencia: a Elementos de 1 puerto: Estos elementos representan sistemas en donde so lo interviene una variable de Esfuerzo y una variable de Flujo. La gura 1.7 muestra los distintos elementos de un puerto, su s mbolo y la relacin o existente entre las variables de Esfuerzo y Flujo. Los tres primeros elementos, R, C, I, son elementos pasivos, ya que no contienen fuentes de energ mientras que los dos ultimos, Se y Sf , son elementos activos que a, suministran energ (son fuentes de Esfuerzo y Flujo respectivamente). a Elementos de 2 puertos: Estos elementos son conversores de potencia, es decir, reciben potencia, la transforman y la entregan sin prdida alguna. Por e uno de los puertos reciben potencia y por el otro la entregan; en cada puerto hay una variable de Esfuerzo y una de Flujo. La gura 1.8 muestra los dos tipos de elementos de dos puertos que existen, sus s mbolos y las relaciones matemticas que los rigen. a Elementos multipuerto (Uniones): Estos elementos representan la ley de continuidad de potencia, y sirven para describir las relaciones topolgicas o del sistema y as relacionar elementos de uno o dos puertos entre s La .1 ntese que no necesariamente son las mismas variables Esfuerzo y Flujo relacionadas en o la tabla 1.2, aunque algunas coinciden

11

OSCAR G. DUARTE

Sistema Elctrico e Mecnico a traslacional Mecnico roa tacional Hidralico u Trmico A e Trmico B e Qu mico A Qu mico B Magntico e

Esfuerzo Tensin elctrica o e Fuerza Torque Presin o Temperatura Presin o Potencial qu mico Entalp a Fuerza magnetomotriz

e v F P T P m h em

Flujo Corriente elctrica e Velocidad Velocidad angular Variacin de ujo o volumtrico e Variacin de difeo rencia de entrop a Variacin de camo bio de volumen Variacin de ujo o molar Variacin de ujo o msico a Flujo magntico e

f i dQ/dt ds/dt dV /dt dN/dt dm/dt

Tabla 1.4: Variables F sicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia

gura 1.9 muestra los dos tipos de uniones existentes, sus s mbolos y las relaciones matemticas que los rigen. a

Ejemplo 1.1 La gura 1.10 muestra el diagrama de un elevador, compuesto por un motor elctrico, un eje, una polea, un cable y un vagn. En el motor hay un circuito e o elctrico que incluye una resistencia, una inductancia y la tensin contraelectromoe o triz; el eje se considera r gido, sin masa y con friccin viscosa; la polea tiene un o momento de inercia; el cable es elstico y el vagn est directamente acoplado al a o a cable. La gura 1.11 muestra el sistema en forma esquematica, resaltando la existencia de diferentes dominios de energ elctrico, rotacional y traslacional. La gura 1.12 a: e muestra el grafo de enlaces de potencia del sistema completo: en la primera unin o se representa el circuito elctrico en serie (unin tipo 1 porque el ujo es comn); e o u el rotador representa la conversin de energ elctrica en rotacional; la siguiente o a e unin representa el comportamiento de la polea; el transformador muestra el cambio o del dominio de energ rotacional al traslacional; y la ultima unin representa los a o fenmenos mecnicos en el vagn, incluida la atraccin de la gravedad. En este o a o o grafo se han numerado todos los enlaces, para facilitar su identicacin. o 12

1.3. GRAFOS DE ENLACES DE POTENCIA BOND GRAPHS

Tipo de Elemento

S mbolo

Relaciones e = Rf R f= e=C C f=e R

Elemento R

e f

Elemento C

e f

f dt1 de C dt

Elemento I

e f

I

e = I df dt f=1 I

edt

Fuente de Esfuerzo

Se

e f

e = Se

Fuente de Flujo

Sf

e f

f = Sf

Figura 1.7: Elementos de un puerto para grafos de enlaces de potencia

Tipo de Elemento

S mbolo e1 f1 e2 f2

Relaciones e1 = ke2 f1 =f2 k

Transformador

TF : k

Rotador

e1 f1

GY : k

e2 f2

e1 = kf2 f1 =e2 k

Figura 1.8: Elementos de dos puertos para grafos de enlaces de potencia

13

OSCAR G. DUARTE

Tipo de Elemento

S mbolo

Relaciones

e2 f2 Unin o Tipo 0 e1 f1 0 f4 e4 e3 f3 e1 = e 2 = e 3 = e 4 f1 = f 2 + f 3 + f 4

e2 f2 Unin o Tipo 1 e1 f1 f4 1 e4 e3 f3 e1 = e 2 + e 3 + e 4 f1 = f 2 = f 3 = f 4

Figura 1.9: Elementos multipuerto para grafos de enlaces de potencia

14

1.3. GRAFOS DE ENLACES DE POTENCIA BOND GRAPHS

+ v(t)

Figura 1.10: Grafos de enlace de potencia. Diagrama del ejemplo 1.1

Re

L k Rb

Dominio Rotacional J D/2 Dominio Traslacional

+

us

Dominio Elctrico e

Ce

m

mgFigura 1.11: Grafos de enlace de potencia. Esquema del ejemplo 1.1

15

OSCAR G. DUARTE

I :L e2 f2 S.. e us e1 f1 e3 f3 GY .. k e5 f5

I:J e6 f6 e7 f7 TF : D 2

1 f4 e4 R : Re

1 f8 e8

f9 e9 R : Rb C : Cel f10 e10 0 f11 e11 Se : mg e13 f13

1 f12 e12 I:m

Figura 1.12: Grafo de enlaces de potencia del ejemplo 1.1

16

1.3. GRAFOS DE ENLACES DE POTENCIA BOND GRAPHS

Salida de Flujo e f f = g(e)

Salida de Esfuerzo e f e = g(f )

Figura 1.13: Enlaces con marcas de causalidad

1.3.2.

Causalidad

En las guras 1.7 y 1.8 se observa que las relaciones entre esfuerzo y ujo pueden escribirse de dos formas diferentes para algunos de los elementos: Salida de Esfuerzo: se calcula e en funcin de f , por ejemplo e = g(f ). o Salida de Flujo: se calcula f en funcin de e, por ejemplo f = g(e). o La gura 1.13 muestra cmo se modica el s o mbolo del enlace cuando se toma cada una de las dos alternativas, agregando unas marcas de causalidad en alguno de los extremos del enlace. El anlisis de causalidad permite determinar cul de los dos tipos de relacioa a nes debe emplearse en cada enlace. Para ello, es necesario denir las siguientes relaciones de causalidad: Causalidad ja: En ocasiones slo es posible un tipo de causalidad, como o por ejemplo en las fuentes de Esfuerzo y Flujo; en estas situaciones la causalidad est predeterminada. a Causalidad condicionada: En los elementos de ms de un puerto la causalia dad est condicionada por las siguientes reglas: a En un rotador cada uno de sus puertos debe tener una causalidad diferente En un transformador ambos puertos deben tener la misma causalidad En las uniones tipo 0 slo hay una marca de causalidad en el lado de o la unin. o En las uniones tipo 1 slo hay una marca de causalidad que no est o e del lado de la unin. o Causalidad preferida: En los elementos cuya relacin esfuerzo-ujo puede o ser una integral o una derivada, en este texto se preere la relacin de o derivacin2 , por lo tanto se tiene que o2 La

integracin es preferible para la utilizacin de mtodos numricos. o o e e

17

OSCAR G. DUARTE

Para elementos tipo C se preere la causalidad de salida de ujo. Para elementos tipo I se preere la causalidad de salida de esfuerzo. Causalidad Indiferente: En las relaciones estticas, como la de los elementos a R se obtiene el mismo tipo de ecuacin con cualquiera de las dos causalio dades, y por lo tanto sta es indiferente. e Para determinar la causalidad de un grafo, se emplea el siguiente procedimiento: 1. Asignar una causalidad ja y propagarla a travs de las causalidades cone dicionadas. Repetir el procedimiento con todas las causalidades jas. 2. Asignar una causalidad preferida y propagarla a travs de las causalidae des condicionadas. Repetir el procedimiento con todas las causalidades preferidas. 3. Asignar una causalidad indiferente y propagarla a travs de las causalie dades condicionadas. Repetir el procedimiento con todas las causalidades indiferentes. Ejemplo 1.2 Retomando el ejemplo 1.1, cuyo grafo de enlaces de potencia se muestra en la gura 1.12, el procedimiento de asignacin de causalidades permite obtener o el grafo causal de la gura 1.14

1.3.3.

Obtencin de las ecuaciones o

A partir de un grafo causal se pueden derivar las ecuaciones diferenciales que describen el sistema con el siguiente procedimiento: 1. Obtener las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones algebricas de cada a uno de los elementos del grafo. 2. Eliminar las ecuaciones algebricas. a Ejemplo 1.3 Las ecuaciones del grafo causal de la gura 1.14 (Ejemplos 1.1 y 1.2) se obtienen asi: Enlace 1: e1 = us Enlace 2: e2 = Ldf2 /dt Enlace 4: f4 = e4 /Re Primera unin: f1 = f2 = f3 = f4 o Rotador: e3 = Kf5 Enlace 6:e6 = Jdf6 /dt Enlace 8:f8 = e8 /Rb 18 f3 =1 K e5

e1 = e 2 + e 3 + e 4

1.3. GRAFOS DE ENLACES DE POTENCIA BOND GRAPHS

I :L e2 f2 S.. e us e1 f1 e3 f3 GY .. k e5 f5

I :J e6 f6 e7 f7 TF : D 2

1 f4 e4 R : Re

1 f8 e8

f9 e9 R : Rb C : Cel f10 e10 0 f11 e11 Se : mg e13 f13

1 f12 e12 I:m

Figura 1.14: Grafo causal de enlaces de potencia del ejemplo 1.1

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OSCAR G. DUARTE

Segunda unin: f5 = f6 = f7 = f8 o Transformador: e7 = D e9 2 Enlace 10: f10 = Cel de10 /dt Tercera unin: e9 = e10 = e11 o Enlace 12: e1 2 = mde12 /dt Enlace 13: f13 = mg Cuarta unin: f11 = f12 = f13 o

e5 = e 6 + e 7 + e 82 f7 = D f9

f9 = f10 + f11

e12 = e11 + e13

1.3.4.

Procedimientos espec cos

Se consignan aqui dos procedimientos espc cos, utiles para la obtencin o de grafos de enlaces de potencia para circuitos elctricos y sistemas mecnicos e a traslacionales, respectivamente. Circuitos elctricos e 1. Crear una unin tipo 0 por cada nodo del circuito. o 2. Para cada elemento del circuito crear una unin tipo 1, adicionarle a esa o unin un enlace que represente al elemento y enlazar la unin con las dos o o uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que est conectado a el elemento. 3. Asignar las direcciones de potencia a los enlaces. 4. Si hay un nodo de referencia, eliminar la unin tipo 0 correspondiente y o los enlaces adyacentes. 5. Simplicar el grafo. Sistemas traslacionales 1. Crear una unin tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relatio vas). 2. Para cada fenmeno que genere una fuerza, crear una unin tipo 0, adicioo o narle a esa unin un enlace que represente al fenmeno y enlazar la unin o o o con las dos uniones tipo 1 correspondientes; considerar las inercias. 3. Asignar las direcciones de potencia a los enlaces. 4. Eliminar la unin tipo 1 correspondiente a velocidad cero. o 5. Simplicar el grafo.

20

Captulo 2 Preliminares matemticos a

2.1.2.1.1.

Ecuaciones diferenciales y de diferenciaEcuaciones diferenciales

Una ecuacin diferencial es una ecuacin en la que intervienen derivadas (y/o o o integrales). La variable que mide el tiempo (t) var cont a nuamente (t R). Un ejemplo sencillo es el siguiente dx = 2x(t) (2.1) dt La solucin de una ecuacin diferencial es una funcin f (t) t R que satizfao o o ga la ecuacin. Cualquiera de las siguientes funciones es solucin de la ecuacin o o o (2.1): f1 (t) = e2t ya quedf1 dt

= 2e2t = 2f1 (t) = 4e2t = 2f2 (t) = 6e2t = 2f3 (t)

f2 (t) = 2e2t ya que f3 (t) = 3e2t ya que

df2 dt df3 dt

Para poder establecer una unica solucin de la ecuacin, es preciso conocer o o unas condiciones auxiliares. El nmero de estas condiciones necesarias es igual al u grado de la ecuacin (n). Usualmente, en las aplicaciones de anlisis de sistemas o a dinmicos, estas condiciones se determinan para el instante de tiempo t = 0, por a lo que se denominan condiciones iniciales, y corresponden al valor de la funcin o desconocida y de sus derivadas en t = 0 ... f (0), f(0), f(0), f (0), , f (n) (0) Por ejemplo, al establecer f (0) = 1 como condicin adicional para la ecuacin o o (2.1), la unica solucin vlida es f1 (t) = e2t o a 21

OSCAR G. DUARTE

2.1.2.

Ecuaciones de diferencias nitas

Una ecuacin de diferencias es una ecuacin en la que intervienen diferencias o o nitas. La variable que mide el tiempo (k) var discretamente . En general, exisa ten tres posibilidades para considerar la forma en que se produce esta variacin o discreta: k = 1, 2, 3, k = T, 2T, 3T, T Rk = k1 , k2 , k3 , ki R

En la primera opcin el tiempo es una variable entera (k Z), mientras o que en la segunda es una variable real que slo toma ciertos valores espaciados o uniformemente. En este texto se adoptar la primera opcin. No obstante, debe a o aclararse que la segunda opcin es muy empleada en aplicaciones de control o digital y tratamiento de seales, en las que la eleccin adecuada del valor de T n o resulta de extrema importancia1 . El siguiente es un ejemplo sencillo de una ecuacin de diferencias o x(k + 1) = 2x(k) (2.2)

Ntese la similitud con el ejemplo de la ecuacin 2.1, en el que la derivada de o o primer orden ha sido remplazada por la diferencia nita de primer orden. Como el tiempo no es cont nuo, no tiene sentido hablar de derivadas e integrales de las funciones, pues las variables no son continuas en ningn punto. u La solucin de una ecuacin de diferencias es una funcin f (k) k Z que o o o satizfaga la ecuacin. Cualquiera de las siguientes funciones es solucin de la o o ecuacin (2.2): o f1 (k) = 2k = 1, 2, 4, ya que f1 (k + 1) = 2k+1 = 2f1 (k) f2 (k) = 2(2k ) = 2, 4, 8, ya que f2 (k + 1) = 2(2k+1 ) = 2f2 (k) f3 (k) = 3(2k ) = 3, 6, 12, ya que f2 (k + 1) = 3(2k+1 ) = 2f3 (k) Para poder establecer una unica solucin de la ecuacin, es preciso conocer o o unas condiciones auxiliares. El nmero de estas condiciones necesarias es igual al u grado de la ecuacin (n). Usualmente, en las aplicaciones de anlisis de sistemas o a dinmicos, estas condiciones se determinan para el instante de tiempo k = 0, a por lo que se denominan condiciones iniciales, y corresponden al valor de la funcin desconocida y de sus diferencias en k = 0: o f (k), f (k + 1), f (k + 2), f (k + 3), , f (k + n) es decir f (0), f (1), f (2), f (3), , f (n) Por ejemplo, al establecer f (0) = 1 como condicin adicional para la ecuacin o o (2.2), la unica solucin vlida es f1 (k) = 2k o a1 En general el problema surge al considerar que un mismo sistema puede describirse por ecuaciones diferenciales y de diferencia en forma simultnea. En este texto se considerarn a a slo sistemas continuos o discretos, pero nunca una mezcla de ambos. o

con k = 0

22

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES Y DE DIFERENCIA

Ecuaciones diferenciales Intervienen derivadas El tiempo (t) var cont a nuamente (t R) La solucin es una funcin f (t) t o o R que satizfaga la ecuacin. o Para poder establecer una unica so lucin de la ecuacin se emplean o o tantas condiciones iniciales como orden tenga la ecuacin. o Las condiciones iniciales son y(0), y(0), y (0),

Ecuaciones de diferencia Intervienen diferencias nitas. El tiempo (k) var discretamente a (k Z). La solucin es una funcin f (k) k o o Z (una sucesin) que satizfaga la o ecuacin. o Para poder establecer una unica so lucin de la ecuacin se emplean o o tantas condiciones iniciales como orden tenga la ecuacin. o Las condiciones iniciales son y(0), y(1), y(2),

Tabla 2.1: Comparacin entre ecuaciones diferenciales y de diferencia o

La tabla 2.1 resume una comparacin entre las ecuaciones diferenciales y de o diferencia. Debido a las grandes semejanzas entre los dos tipos de ecuaciones, en ocasiones nos referiremos a ambas simultneamente empleando la sigla E.D. a

2.1.3.

Ecuaciones diferenciales y de diferencias lineales

Linealidad La linealidad es una propiedad de algunas funciones. Para poseer esta propiedad es necesario satisfacer dos condiciones. Sea la funcin f (x) : U V , o para x1 , x2 U y a un escalar, las dos condiciones son: 1. superposicin: f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) o 2. proporcionalidad: f (ax1 ) = af (x1 ) Las derivadas, las integrales y las diferencias nitas son operaciones lineales. La funcin f (x) = ax + b no es una funcin lineal, a menos que b sea cero 2 . o o E.D. lineales Las ecuaciones diferenciales lineales son de la forma an (t) dy dy n + a0 (t)y(t) = + + a1 (t) n dt dt dum du bm (t) m + + b1 (t) + b0 (t)u(t) (2.3) dt dt

2 Efectivamente, f (x + x ) = m(x + x ) + b es diferente de f (x ) + f (x ) = (mx + b) + 1 2 1 2 1 1 1 (mx2 + b)

23

OSCAR G. DUARTE

mientras que las ecuaciones de diferencia lineales son de la forma an (k)y(k + n) + + a1 (k)y(k + 1) + a0 (k)y(k) = bm (k)u(k + m) + + b1 (k)u(k + 1) + b0 (k)u(k)

(2.4)

En este texto se estudian slo ecuaciones con coecientes constantes, es decir, o los casos en los que las ecuaciones (2.3) y (2.4) se convierten en (2.5) y (2.6), respectivamente. Estas ecuaciones representarn el comportamiento de sistemas a dinmicos como los de las guras 3.1 y 3.2 en los que la variable u estimula al a sistema, y la respuesta de ste se maniesta en la variable y. Adems slo se e a o estudiarn aquellos casos en los que n m. a an dy n dy dum du + + a1 + a0 y(t) = bm m + + b1 + b0 u(t) n dt dt dt dt (2.5)

an y(k + n) + + a1 y(k + 1) + a0 y(k) =

bm u(k + m) + + b1 u(k + 1) + b0 u(k) (2.6)

2.1.4.

Mtodos de solucin de E.D. lineales e oycompleta (t) = yhomognea (t) + yparticular (t) e y(t) = yh (t) + yp (t)

La solucin de una E.D. lineal tiene dos componentes: o (2.7)

o en el caso discreto ycompleta (k) = yhomognea (k) + yparticular (k) e y(k) = yh (k) + yp (k) (2.8)

Existen varios mtodos de solucin para las E.D. Lineales. Aunque en general e o emplearemos los mtodos de las transformadas de Laplace y Z, inicialmente e presentamos uno ms elemental y dispendioso, resumido en la tabla 2.2: a Ejemplo 2.1 Obtener la solucin de la ecuacin diferencial lineal: o o y + 3y + 2y = f(t) donde f (t) = t2 + 5t + 3 y las C.I. son y(0) = 2 y(0) = 3 1. Obtener la solucin homognea El polinomio caracter o e stico es: P () = 2 + 3 + 2 P () = ( + 2)( + 1) 24 (2.9)

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES Y DE DIFERENCIA

Ecuaciones diferenciales 1. Obtener la solucin homogo e nea con el siguiente procedimiento: Se escribe el polinomio caracter stico de la ecuacin. o Se obtienen las ra ces i del polinomio caracter stico. Se construye la solucin o yh (t) = c1 e1 t + + c n e n t 2. Obtener una solucin particuo lar yp (t). Generalmente se procede probando una solucin o similar a la funcin de entrao da, u(t) 3. Construir la respuesta completa y(t) = yh (t) + yp (t), remplazar las condiciones iniciales, y obtener los coecientes c1 , , c n

Ecuaciones de diferencia 1. Obtener la solucin homogo e nea con el siguiente procedimiento: Se escribe el polinomio caracter stico de la ecuacin. o Se obtienen las ra ces i del polinomio caracter stico. Se construye la solucin o yh (k) = c1 k + + cn k 1 n 2. Obtener una solucin particuo lar yp (t). Generalmente se procede probando una solucin o similar a la funcin de entrao da, u(k) 3. Construir la respuesta completa y(k) = yh (k) + yp (k), remplazar las condiciones iniciales, y obtener los coecientes c1 , , c n

Tabla 2.2: Mtodos elementales de solucin de Ecuaciones diferenciales y de e o diferencia

25

OSCAR G. DUARTE

La solucin homognea es o e

Las ra de P () son 1 = 1 2 = 2 ces yh (t) = c1 et + c2 e2t

(2.10)

2. Obtener una solucin particular: o Dado que f (t) es un polinomio de grado 2, probamos una solucin particular o de esa misma forma: yp (t) = 2 t2 + 1 t + 0 Calculamos yp (t), yp (t) y f(t): yp (t) = 22 t + 1 yp (t) = 22 f(t) = 2t + 5 Remplazamos en la E.D.: 22 + 3(22 t + 1 ) + 2(2 t2 + 1 t + 0 ) = 2t + 5 que podemos agrupar as : 22 t2 + (62 + 21 )t + (22 + 31 + 20 ) = 2t + 5 Al igualar coecientes, obtenemos un sistema de tres ecuaciones y tres incgo nitas: 22 =0 62 + 21 =2 22 + 31 + 20 = 5 cuya solucin es 2 = 0 1 = 1 0 = 1, y por lo tanto la solucin particular o o es: yp (t) = t + 1 (2.11)

3. Construir la respuesta completa, y obtener los coecientes de la respuesta homognea e La respuesta completa es: y(t) = yh (t) + yp (t) = c1 et + c2 e2t + t + 1 y su primera derivada es: y(t) = c1 et 2c2 e2t + 1 26

2.2. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y Z

Al evaluar en t = 0 obtenemos las condiciones iniciales y(0) = c1 e0 + c2 e0 + 0 + 1 = c1 + c2 + 1 = 2 y(0) = c1 e0 2c2 e0 + 1 = c1 2c2 + 1 = 3 Con estas dos ecuaciones se obtienen los valores de c 1 y c2 c1 = 4 c2 = 3 Por lo tanto, la solucin completa de la ecuacin diferencial es: o o y(t) = 4et 3e2t + t + 1 Ejemplo 2.2 Sea la Ecuacin de diferencias: o 2y(k + 2) 3y(k + 1) + y(k) = f (k) (2.13) (2.12)

en donde f (k) = k 2 y las condiciones iniciales son y(0) = 2, y(1) = 1 Para obtener la solucin de esta ecuacin podriamos proceder con el mtodo o o e propuesto; en lugar de ello, vamos a presentar una alternativa numrica, que consiste e en despejar de la ecuacin la diferencia ms grande, y calcularla iterativamente: o a De la ecuacin podemos despejar y(k + 2) o y(k + 2) = 1 (f (k) + 3y(k + 1) y(k)) 2 y(k + 1) y(1) = 1 y(2) = 1/2 y(3) = 3/4 . . . y(k + 2) y(2) = 1/2 y(3) = 3/4 y(3) = 23/8 . . .

Con esta expresin podemos construir la siguiente tabla o k 0 1 2 . . . f (k) 0 1 4 . . . y(k) y(0) = 2 y(1) = 1 y(2) = 1/2 . . .

2.2.2.2.1.

Transformadas de Laplace y ZDeniciones

Transformada de Laplace Dada una funcin f (t) de los reales en los reales, o f (t) : R R Existe una funcin L denominada transformada de Laplace que toma como o argumento f (k) y produce una funcin F (s) de los complejos en los complejos. o F (s) : C C 27

OSCAR G. DUARTE

f (t) ' RR

L L

E1

F (s)

CC

Figura 2.1: Transformada de Laplace

La funcin L1 denominada transformada inversa de Laplace toma como o argumento F (s) y produce f (t), tal como se visualiza en la gura 2.1 La transformada de Laplace se dene3 como . F (s) = L {f (t)} = 0

f (t)est dt

(2.14)

Existe una denicin alternativa, conocida como la transformada bilateral de o Laplace, cuyos l mites de integracin son ( y ): o . Fb (s) = L {f (t)} =

f (t)est dt

(2.15)

Debido a que nuestro inters se centra en el comportamiento de las seales e n a partir del instante de tiempo t = 0, trabajaremos con la versin unilateral de o la transformada. Transformada Z Dada una funcin f (t) de los enteros en los reales, o f (k) : Z R Existe una funcin Z denominada transformada Z que toma como argumeno to f (t) y produce una funcin F (s) de los complejos en los complejos. o F (s) : C C La funcin Z 1 denominada transformada inversa Z toma como argumento o F (z) y produce f (k), tal como se visualiza en la gura 2.2 La transformada Z se dene4 como . F (z) = Z {f (k)} =

f (k)z k

(2.16)

k=0

3 La integral que dene la transformada de Laplace puede no converger para algunos valores de la variable compleja s,lo que establece una regin de convergencia para la transformada de o una determinada funcin. Este hecho es irrelevante para nuestras aplicaciones de soluciones o de E.D. lineales. 4 De forma semejante al caso de la transformada de Laplace, la sumatoria que dene la transformada Z puede no converger para algunos valores de la variable compleja z, establecindose asi una regin de convergencia para cada funcin. Este hecho es irrelevante para e o o nuestras aplicaciones de soluciones de E.D. lineales.

28

2.2. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y Z

f (k) ' ZR

Z Z

E1

F (z)

CC

Figura 2.2: Transformada Z

Transformada de Laplace

Transformada Z f (k) ' ZR Z Z E1

f (t) ' RR

L L

E1

F (s)

F (z)

CC

CC

La transformada de Laplace se dene como . F (s) = L {f (t)} F (s) = 0 f (t)est dt Transformada bilateral de Laplace: . Fb (s) = Lb {f (t)} Fb (s) = f (t)est dt

La transformada Z se dene como . F (z) = Z {f (k)} F (z) = f (k)z k k=0 Transformada bilateral Z:

. Fb (z) = Zb {f (k)} Fb (z) = k= f (k)z k

Tabla 2.3: Comparacin de las deniciones de las transformadas de Laplace y Z o

Existe una denicin alternativa, conocida como la transformada bilateral o Z, cuyos l mites de integracin son ( y ): o . F (z) = Z {f (k)} = k=

f (k)z k

(2.17)

Debido a que nuestro inters se centra en el comportamiento de las seales e n a partir del instante de tiempo k = 0, trabajaremos con la versin unilateral de o la transformada. La tabla 2.3 muestra una comparacin entre las deniciones de las transforo madas de Laplace y Z

2.2.2.

Propiedades

Las transformadas de Laplace y Z satisfacen ciertas propiedades que son muy similares para una y otra transformada; algunas de estas transformadas se listan en la tabla 2.4, y sus demostraciones se presentan en el apndice A. De e estas propiedades destacamos los siguientes hechos: 29

OSCAR G. DUARTE

1. La propiedad de linealidad permite que la aplicacin de estas transformao das a la solucin de E.D. lineales sea bastante simple. Por el contrario, o estas transformadas no suelen ser utiles para solucionar E.D. No Lineales. 2. Las propiedades de diferenciacin y diferencias positivas son las que pero miten convertir Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones de Diferencia, respectivamente, en Ecuaciones Algebricas. a 3. Hay una diferencia sutil pero importante entre las propiedades de diferenciacin y diferencias positivas: las condicin inicial f (0) est multiplicada o o a por z en el caso discreto, mientras que en el caso cont nuo no est multia plicada por s. Este hecho origina algunas diferencias en la forma de las parejas de funciones y sus transformadas (ver seccin 2.2.3) y en la forma en que se emplea o la expansin en fracciones parciales para calcular las transformadas invero sas(ver seccin 2.2.5). o 4. La propiedad de multiplicacin por el tiempo tiene una expresin directa o o en el caso continuo (multiplicacin por tn ) mientras que en el caso discreto o tiene una expresin iterativa (multiplicacin por k n ). Este hecho se ve o o reejado en la tabla 2.6 5. La propiedad de convolucin pone de maniesto que la transformada del o producto de dos funciones NO es el producto de las transformadas individuales. Transformada de Laplace Sean f (t), f1 (t), f2 (t) tres funciones cuyas Transformadas de Laplace son, respectivamente F (s), F1 (s), F2 (s), y a un escalar (real o complejo). Se cumplen las siguientes propiedades: Linealidad: L {f1 (t) + f2 (t)} = F1 (s) + F2 (s) L {af (t)} = aF (s) Diferenciacin5 : o L df (t) dt = sF (s) f (0+ ) Transformada Z Sean f (k), f1 (k), f2 (k) tres funciones cuyas Transformadas Z son, respectivamente F (z), F1 (z), F2 (z) y a un escalar (real o complejo). Se cumplen las siguientes propiedades: Linealidad: Z {f1 (k) + f2 (k)} = F1 (z) + F2 (z) Z {af (k)} = aF (z) Diferencia positiva: Z {f (k + 1)} = zF (z) zf (0)

5 El

super ndice

(i)

indica la derivada de orden i: f (i) =

di f dti

30

2.2. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y Z

L

dn f (t) = sn F (s) dtn n1 ni1 (i) + f (0 ) i=0 s

Z {f (k + n)} = z n F (z) n1 i=0 z ni f (i) Escalamiento en la frecuencia: Z ak f (t) = F (z/a)

Desplazamiento en la frecuencia: L e f (t) = F (s a) Multiplicacin por t: o L {tn f (t)} = (1)n dn F (s) dsnat

Multiplicacin por k: o Z {k n f (k)} = z d Z k (n1) f (k) dz

Teorema de valor inicial:t0+

Teorema de valor inicial: f (0) = l F (z) mz

l f (t) = l sF (s) m ms

Teorema de valor nal:t

Teorema de valor nal:k

l f (t) = l sF (s) m ms0

l f (k) = l (z 1)F (z) m mz1

Convolucin: o L {f1 (t) f2 (t)} = F1 (s)F2 (s) f1 (t) f2 (t) = 0

Convolucin: o Z {f1 (k) f2 (k)} = F1 (z)F2 (z) f1 (k) f2 (k) = k=0

f1 (t )f2 ( )d

f1 (k)f2 (h k)

Tabla 2.4: Propiedades de las transformadas de Laplace y Z

2.2.3.

Parejas de transformadas

La tabla 2.5 muestra las parejas de transformadas para las funciones elementales ms importantes en el anlisis de sistemas dinmicos. El contenido de la a a a tabla se demuestra en el Apndice A. De estas parejas destacamos los siguientes e hechos: 1. En cada uno de los casos de las tablas 2.5 y 2.6, las transformadas (de 31

OSCAR G. DUARTE

Transformada de Laplace f (t) (t) eat sin t cos t et

F (s)1 s 1 sa s2 + 2 s s2 + 2 (s)2 + 2 (s) (s)2 + 2

f (k) (k) ak sin ak cos ak bk sin ak bk cos ak

Transformada Z F (z)z z1 z za z sin a z 2 2z cos a+1 z 2 z cos a z 2 2z cos a+1 zb sin a z 2 2bz cos a+b2 2 z zb cos a z 2 2bz cos a+b2

sin t

et cos t

Tabla 2.5: Tabla de parejas de transformadas elementales

Laplace o Z) son fraccciones de polinomios en la variable compleja (s o z). 2. Al comparar estos polinomios en funciones anlogas (por ejemplo eat y a ak ) notamos que el orden del denominador es el mismo; en el numerador, sin embargo, sucede que el orden de los polinomios de la transformada Z siempre es superior en 1 al de su contraparte en la transformada de Laplace. 3. Si centramos nuestra atencin en la tabla 2.5, podemos notar que la ubio cacin de los polos de las funciones transformadas en el plano complejo o determina el tipo de funcin en el dominio del tiempo. Este hecho se resalta o en la tabla 2.7 y en las guras 2.3 y 2.4 4. Las funciones reseadas en la tabla 2.6 tambin estn asociadas a una n e a ubicacin espec o ca de los polos en el plano complejo, pero cuando stos e se repiten.

2.2.4.

Utilizacin de la tabla de parejas de transformadas o

Para emplear las tablas 2.5 y 2.6 para obtener la transformada inversa de una funcin, primero hay que expresar sta ultima como alguno de los casos que o e aparecen en dichas tablas. Suele ser util recordar que las transformaciones de Laplace y Z son funciones lineales. Ejemplo 2.3 Para obtener la transformada inversa de Laplace de F (s) = primero reescribimos la F (s) como: F (s) = 1 4 =4 s3 s3 324 s3 ,

2.2. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y Z

Transformada de Laplace f (t) t(t) tn (t) teat

F (s)1 s2 n! s(n+1) 1 (sa)2 n! (sa)(n+1) 2s (s2 + 2 )2 s2 2 (s2 + 2 )2 2(s) ((s)2 + 2 )2 (s)2 2 ((ssigma)2 + 2 )2

f (k) k(k) k n (k) kak

Transformada Z F (z)z (z1)2

iteraraz (za)2

tn eat t sin t t cos t tet

k n ak k sin ak k cos ak kbk sin ak kbk cos ak

iterarz 3 sin az sin a [z 2 2z cos a+1]2 [z 3 +z] cos a2z 2 [z 2 2z cos a+1]2 z 3 b sin azb3 sin a [z 2 2bz cos a+b2 ]2 [bz 3 +b3 z] cos a2b2 z 2 [z 2 2bz cos a+b2 ]2

sin t

tet cos t

Tabla 2.6: Tabla de parejas de transformadas elementales multiplicadas por el tiempo Caso Cont nuo Ubicacin o de Funcin o los polos Origen Semieje real positivo escaln o exponenciales crecientes Caso Discreto Ubicacin o de Funcin o los polos (1, 0) Intervalo (1, ) del eje real Intervalo (, 1) del eje real Intervalo (0, 1) del eje real Intervalo (1, 0) del eje real Eje imaginario Complejos en el semiplano derecho sinusoidales funciones sinusoidales amplicadas por una exponencial creciente sinusoidales amplicadas por una exponencial decreciente circunferencia unitaria Complejos fuera del c rculo unitario escaln o series geomtricas e crecientes no alternantes series geomtrie cas crecientes alternantes series geomtrie cas decrecientes no alternantes series geomtrie cas decrecientes alternantes sinusoidales. sinusoidales amplicadas por una serie geomtrica e creciente sinusoidales amplicadas por una serie geomtrica e decreciente

Semieje real negativo

exponenciales decrecientes

Complejos en el semiplano izquierdo

Complejos dentro del c rculo unitario

Tabla 2.7: Ubicacin de los polos en los planos complejos y funciones en el tiempo o

33

OSCAR G. DUARTE

Figura 2.3: Funciones cont nuas seg n la ubicacin de sus polos en el plano s u o

Figura 2.4: Funciones discretas seg n la ubicacin de sus polos en el plano s u o

34

2.2. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y Z

La expresin s3 es de la forma o 1 e . Aplicando linealidad tenemos:at

1 sa ,

cuya transformada inversa de Laplace es

f (t) = L1 {F (s)} = L1 4

1 s3

= 4L1

1 s3

= 4e3t

Ejemplo 2.4 Para obtener la transformada inversa de Laplace de F (s) = s2s+2 , +s+1 primero destacamos que el denominador de F (s) es de segundo orden, y por tanto es similar al que aparece en las transformadas de Laplace de las sinusoides amortiguadas. Con esto presente, buscamos reescribir F (s) con el denominador en la forma (s )2 + 2 . Para ello, ntese que o (s )2 + 2 = s2 2s + 2 + 2 Igualando los coecientes podemos identicar 2 = 1 (y por tanto = 1/2) y 2 + 2 = 1 (y por tanto 2 = 3/4). En consecuencia, podemos reescribir F (s) como F (s) = s+ s+3 1 2 + 2 1 2 3 +4 2

s+2 s+2 = 1 2 s2 + s + 1 s+ 2 + s+ s+1 2 2 1 2 3 2 2 )

3 4 3 2 1 2 + 2

F (s) =

=

+(

+

3

s+

(

3 2 2 )

e

t

Los dos sumandos corresponden a transformadas de la forma e t cos(t) + sin(t), por lo tanto: f (t) = L1

{F (s)} = e

1t 2

1t 3 3 t) + 3e 2 sin( t) cos( 2 2

Este resultado puede reescribirse utilizando la identidad trigonomtrica: e A cos + B sin = C cos( + ) con C = A2 + B 2 y = tan1 f (t) = e 2 t cos 1

B A.

Por lo tanto, f (t) resulta ser:

3 3 t + 3 sin t 2 2 3 3 t tan1 2 1 3 t 60 2

f (t) = e 2 t

1

1 + 3 cos

f (t) = 2e 2 t cos

1

35

OSCAR G. DUARTE

2.2.5.

Transformadas inversas por expansin de fracciones o parciales

Una de las estrategias que pueden emplearse para obtener la transformada Inversa de Laplace (o Z) de una funcin racional de polinomios en s (o z): o F (s) = m s m + + 1 s + 0 n s n + + 1 s + 0

consiste en reescribir F (s) (o F (z)) como suma de funciones ms sencillas, cua yas transformadas inversas sean posibles de obtener mediante la lectura de las tablas de parejas. Este procedimiento se conoce como la expansin en fracciones o parciales. El procedimiento general puede enumerarse como sigue: 1. Si m n entonces se realiza la divisin hasta obtener una fraccin en la o o que el grado del polinomio del denominador sea mayor al del numerador; en los siguientes puntos se trabaja slo con la fraccin. o o Ejemplo 2.5 F (s) = 3 2s2 + s + 2 = 2s 1 + s+1 s+1

2. Identicar las ra del polinomio del denominador (pi ), y cuntas veces ces a se repite cada una de ellas (ri , o multiplicidad de la raiz). F (s) = N (s) N (s) = D(s) (s p1 )r1 (s p2 )r2 (s pk )rk

Evidentemente la suma de las multiplicidades ser n, el grado del polinoa mio D(s) 3. Escribir la fraccin como suma de de fracciones parciales: o F (s) = A11 A1r1 A21 Akrk N (s) = + + + ++ D(s) (s p1 ) (s p1 )r1 (s p2 ) (s pk )rk

4. Obtener los coecientes Aij Este sencillo procedimiento tiene dos puntos de dicultad, el primero de los cuales es cmo encontrar las ra o ces de D(s), y el segundo cmo obtener los o coecientes Aij . Para la obtencin de las ra o ces suponemos que disponemos de algn tipo u de procedimiento (anal tico o computacional) para ello. Para la obtencin de o los coecientes Aij , por su parte, pueden seguirse los siguientes procedimientos, segn sea el caso: u 1. Polos de multiplicidad 1 Si el polo pi tiene multiplicidad 1, el coeciente Ai1 de la expansin podr calcularse como: o a Ai1 = {(s pi )F (s)}|s=pi 36 (2.18)

2.2. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y Z

Ejemplo 2.6 F (s) = 3s + 1 A11 A21 = + (s + 2)(s + 4) s+2 s+4 3s + 1 (s + 4) 3s + 1 (s + 2) 7 2 13 2

A11 = A21 =

(s + 2)

3s + 1 (s + 2)(s + 4)

=s=2

=s=2

3s + 1 (s + 4) (s + 2)(s + 4) F (s) =

=s=4

s=4

=

7/2 13/2 3s + 1 = + (s + 2)(s + 4) s+2 s+4

2. Polos de multiplicidad mayor que 1 Si el polo pi tiene multiplicidad ri , el coeciente Aij de la expansin podr o a calcularse como: Aij = 1 dri j {(s pi )ri F (s)} (ri j)! dsri j (2.19)s=pi

Esta expresin tambin es vlida para ri = 1, si se considera que 0! = 1, o e a y que la derivada de orden cero es la misma funcin. o Ejemplo 2.7 F (s) = 4s2 1 A11 A12 A13 = + + 3 2 (s + 2) (s + 2) (s + 2) (s + 2)3

A13 = A12 = A11 =

1 d0 (0)! ds0 1 d1 (1)! ds1 1 d2 (2)! ds2

(s + 2)3 (s + 2)3 (s + 2)3

4s2 1 (s + 2)3 4s2 1 (s + 2)3 4s2 1 (s + 2)3

s=2

= 4s2 1

s=2

= 15

s=2

= 8s|s=2 = 8(2) = 16 = 1 8| =4 2 s=2

s=2

F (s) =

4s2 1 4 16 16 = + + 3 2 (s + 2) (s + 2) (s + 2) (s + 2)3

El procedimiento anterior tambin es vlido cuando las ra e a ces del denominador son complejas: 37

OSCAR G. DU