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| PROFESOR: ANA MARIA TAPIA

Producto Cartesiano Dados dos conjuntos A y B no vacíos, podemos formar un nuevo conjunto que contenga todos los pares ordenados con primera componente en A y segunda en B. Este nuevo conjunto se define como producto cartesiano de A y B y se denota A X B Definición: ( ){ }AXB= x,y / x A y B∈ ∧ ∈ de la definición podemos deducir que:

- El producto cartesiano no es conmutativo. - Si # A = m y # B = n , entonces # AXB = m·n.

Ejemplo: 1.- Si consideramos los conjuntos: A = { }1,2,3 ; B = { }0,6

Observamos que: # A = 3 y # B = 2, entonces, al efectuar A X B vemos que tiene exactamente 3·2 = 6 elementos y podemos obtener los productos A X B y B X A A X B = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }1,0 , 1,6 , 2,0 , 2,6 3,0 , 3,6

B X A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,1 , 0,2 , 0,3 , 6,1 6,2 , 6,3

Fácilmente vemos que estos dos conjuntos son ≠ ,porque no tienen los mismos elementos.

Relación: Sean A y B conjuntos no vacíos , llamaremos relación R, de A en B , a cualquier subconjunto R de A X B. Escribiremos R: A → B Algunos conceptos importantes a definir son: Dominio de una relación R : Dom (R) = { }x A / y B, (x,y) R∈ ∃ ∈ ∈

Recorrido de la relación R : Rec(R) = ( ){ }y B / x A, x,y R∈ ∃ ∈ ∈

Observación: - Codominio de la relación R : corresponde al conjunto B - Cuando definimos una relación R de un conjunto A en si mismo decimos que R es una relación definida en A. - Diremos que los elementos x e y están en la relación R , si (x,y) ∈R y escribimos ( )x,y R x R y y = R(x)∈ ∨ ∨

Ejemplo: Consideremos los conjuntos: A = { }1,2,3 ; B = { } { }/ es par < 10 2, 4, 6, 8x x∈ =ℕ

Podemos tener entre otras la siguientes relaciones de A a B. R1= ( ){ }, / 2x y y x= R2= ( ){ }, /x y x y= R3= ( ){ }2 2, / 9x y x y+ ≤ R4= ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 2,2 , 3,2

Vemos que: R1 = ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 2,4 , 3,6 DomR1 = { }1,2,3 = A Rec R1 = { }2,4,6

R2 = ( ){ }2,2 DomR2 = { }2 RecR2 = { }2

R3 = ( ) ( ){ }1,2 , 2,2 DomR3 = { }1,2 RecR3 = { }2

R4 = ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 2,2 , 3,2 DomR4 = { }1,2,3 = A RecR4 = { }2

Ejercicio 1a: Dadas las siguientes relaciones, indique algunos elementos de cada una de ellas, graficar e indicar en cada caso dominio, codominio y recorrido de cada una de ellas.

( ) { }{ } ( ){ }( ){ } ( ){ }

21 2

2 23 4

R , / , 0 , R , / , ,

R , / , , x + 1 , / , , 2

x y x y y x x y x y y x

x y x y y R x y x y y x

= ∈ ∪ = = ∈ =

= ∈ = = ∈ = −

ℕ ℝ

ℝ ℝ

Función NOTA : Muchas situaciones tanto en ciencias como en otras de la vida diaria exigen restringir una relación de tal forma que cada elemento del conjunto de partida pertenece al dominio y cada elemento del dominio sólo puede relacionarse con un único elemento del codominio , una relación así restringida se llama función. Definición : Sean A y B conjuntos no vacíos, llamamos función de A en B, a una relación en AXB , tal que : - Dom R = A - A, ! y B / x R yx∀ ∈ ∃ ∈

2

Notación : : A B / y = ( )f f x→ ( y es la imagen de x por la función f ) El conjunto A , se llama dominio de la función El conjunto B , se llama codominio de la función, El conjunto formado únicamente por todos los elementos de B, que son imagen de al menos un elemento de A, bajo f se denomina Recorrido o rango de la función ( Rec f ) es. ( ) { }Rec f = y B / A / y = f(x)x∈ ∃ ∈

Observaciones: - El recorrido de f es subconjunto de B: Rec f ⊂ B - Todas las funciones son relaciones ,pero existen relaciones que no son funciones. Ejemplos: 1.-Sea : A Bf →

Dom f = { }a,b,c,d Codominio= B= { }m, n, s , r, p, q Rec f = { }m, p, r

2.- Dados los conjuntos: A ={ a, e, i } B= {1, 3, 5, 7 } y sea f ={(a,3 ), (e,7), ( i,7) } Dom f =A ={a,e,i } Codom f = B= {1,3,5,7} Rec f = {3, 7 } Este último es el conjunto de las imágenes de A bajo f . Ejercicio 2a : Determine el dominio de las siguientes funciones:

a) 1

( )6

f xx

=− b) 2

( )2

xf x

x x=

− − c) ( ) 2 1g t t= −

d) ( ) 3 5h x x= + e) 1

( )i rr

= f) 2

2( )

1k s

s=

+

Tipos de Funciones Función Inyectiva : Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x, y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

babfafDomfbainyectivaesf =⇒=∈∀⇔ )()(:, Ejemplos: Determinar si la siguientes funciones son o no inyectivas:

1.- ( ) 2: , 2f f x x→ = −ℝ ℝ 2.- ( ) 3: ; 1f f x x→ = −ℝ ℝ

Función Biyectiva : Una función es biyectiva; si es inyectiva y sobreyectiva.

Por ejemplo, la función dada por ( ) 6 9f x x= + es claramente biyectiva.

Función Inversa : Dada una función :f A B→ , biyectiva, se denomina función

inversa de f , y se escribe: ABf →− :1 a la función que cumple la siguiente

condición: ( ) ( )1f y x y f x− = ⇔ =

Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la existencia de la función inversa es que sea biyectiva. Por tanto, las afirmaciones - Existe función inversa de f y - f es biyectiva son lógicamente equivalentes.

Composición de Funciones: Si f y g son funciones, la composición de f con g

es la función f g� definida por: ( )( ) ( )( )f g x f g x=�

( ) ( ) ( ) ( ){ }:Dom f g x x Dom g g x Dom f= ∈ ∈ ∧ ∈� ℝ

Es decir, para que f g� esté definida, se debe cumplir que Rec g ⊆⊆⊆⊆ Dom f. Ejercicios:

1. Sea f y g funciones reales definidas por: 1

1)(

−=

xxf 3)( 2 −= xxg

3

Determine el dominio de: f , g , f g� y g f� .

Observaciones: Si una función no es biyectiva, podremos definir inversa sólo si se restringe

2.- Para la función: 1

: ; ( )1

f A f xx

⊆ → =−

ℝ ℝ Determine el recorrido de f y

decida si f es biyectiva. Si no lo es restrinja su codominio, de tal modo que exista 1f − y encuentre una fórmula para

1f −.

3.- Si :f A B→ es una función biyectiva y 1 :f B A− → es su inversa

entonces se verifican las siguientes propiedades:

( ) ( )1 1( ) ( )f f x x x A f f x x x B− −= ∀ ∈ = ∀ ∈� �

Composición de funciones

Sean : A y : Bf g⊆ → ⊆ →ℝ ℝ ℝ ℝ funciones reales . Se define la función compuesta de g y f , que denotamos por: gof

( )( ) ( )( ) ( ){ } : / gof x g f x Dom gof x x Dom f f x Dom g= ∈ ∧ ∈

Observación: para que la función compuesta de g y f esté definida es necesario que ( ) ( )Rec f Dom g⊆ , salvo que se hagan las restricciones necesarias en las

funciones f y g para cumplir con esta exigencia. Ejercicio 3.- Considere las siguientes funciones :

a) :f →ℝ ℝ , definida por ( ) 2 3

5

xf x

+=

b) { }: 0g − →ℝ ℝ ,definida por ( ) 5xg x

x

−=

c) ( ) [ [: 2,h x +∞ →ℝ ,definida por ( ) 2h x x= −

i) Determine recorrido de cada una de las funciones . ii) Averigüe la existencia de las funciones ; ; ; ; ;f o g g o f f o h ho f g o h h o g en caso necesario restringir para definir ejercicios 1.- Los defensores del medio ambiente han estimado que el nivel promedio de monóxido de carbono en el aire es: ( ) ( )1 0,6M p p= + partes por millón cuando el

número de personas es p-miles. Si la población en miles en el momento t (años) es ( ) 2400 30 0,5P t t t= + + ,

a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo. b) Calcule el nivel de monóxido de carbono en t = 5. Sol: a) Para expresar el monóxido de carbono en función del tiempo se requiere establecer la función compuesta

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

2 2

2

400 30 0,5 1 0,6 400 30 0,5

0,09 18 241

Mop t M p t M t t t t

M p t t t

= = + + = + + +

= + +

b) Se pide evaluar la función compuesta en t = 5.

( )( ) ( ) ( )25 0,09 5 18 5 241 33.325M p ppm= + ⋅ + =

A los 5 años el monóxido de carbono es de 33.325 partes por millones de personas. 2.- En un cierto lago, el pez róbalo se alimenta del pez pequeño gobio, y el gobio se alimenta de plankton. Supongamos que el tamaño de la población del róbalo es una función f(n) del número n de gobios presentes en el lago, y el número de de gobios es una función g(x) de la cantidad x de plankton en el lago. Exprese el tamaño de la población del róbalo como una función de la cantidad de plankton, si

( ) ( )50 4 3150

nf n g x x= + = + . Sol: ( )( ) ( ) 4 3

50 50150 150

g x xf g x

+= + = +

4

3.- Un charco circular de agua se está evaporando y disminuye lentamente su

tamaño. Después de t minutos, el radio del charco mide 18

2 3t + pulgadas; en otras

palabras, el radio es una función del tiempo. El área A del charco está dado por 2A rπ= , es decir, el área es una función del radio r. ¿Cuál es el área del charco en

cualquier momento y ¿cuál es el área del charco después de 10 minuto

Sol: 2

18

2 3A

tπ = +

Podemos expresar el área como una función del tiempo a los 10

minutos el área es: 1,941 pulgadas cuadradas 4.- Se conoce que la población de ranas R calculada en miles en una determinada región depende de la población de insectos m en millones. La población de insectos I a su vez varía con la cantidad de lluvia c dada en centímetros. Si la población de

ranas es ( ) 658

mR m = + y la población de insectos es I(c) = 43c + 7.5.

(a) Exprese la población de ranas como una función de la lluvia y (b) estime la población de ranas cuando la lluvia es de 1.5 centímetros.

Función Inversa Sea f una función biyectiva, diremos que es invertible, si existe función g tal que

f o g I g o f I= ∧ = , g es la función inversa de f y se denota por 1g f −=

Nota : I es la función idéntica, que se define por: ( )A A / .I I x x= ⊆ → =ℝ

Álgebra de funciones

Sean : Af ⊆ →ℝ ℝ y : Bg ⊆ →ℝ ℝ a partir de estas funciones podemos definir las siguientes funciones :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

{ ( ) ( ) } ( ) ( )( )

( ) ( )

: A B /

: A B /

: A B / 0 /

: A / ,

f g f g x f x g x

f g f g x f x g x

f xf fx g x x

g g g x

k f k f x k f x k

+ ∩ → + = +

∩ → =

∩ − = → =

⊆ → = ∈

ℝ

i ℝ i i

ℝ

i ℝ ℝ i i ℝ

Nota : ( ) ( ) 21 1 f f f g f g f f f− = − − = + − = i

Ejercicio 4 Considere las funciones :

] ] ( ) [ ] ( ) 2: ,2 / 2 : 10,10 / 1f f x x g g x x−∞ → = − − → = +ℝ ℝ

a) Calcular : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )214 ; ; 2 4 0 ; 2 ; 6 ; 5

2

ff f g f g f g f

g − + − − −

i

b)Defina , si es posible las funciones : 22 4 ; ; ; ;f

f g f g f g fg

− + i

c) Sean las funciones:2( )f x x= ; ( ) 3g x x= , calcule ( )( ),f g x+

( )( ), ( )( ), ( )f

f g x f g x xg

− ⋅ e indique el dominio en cada una de ellas.

Gráfico de una función real Como una función real es una relación que es un subconjunto del producto cartesiano ×ℝ ℝ , podemos representar una función mediante un conjunto de

puntos en el plano. ( ) ( ) ( ) ( ){ }, : ,Gr f x y x Dom f y f x= ∈ × ∈ =ℝ ℝ

Y Recorrido

y=f(x)

5

a b X Dominio

FUNCIONES LINEALES Son aquellas que corresponden a una recta. Su dominio y recorrido son los

números reales. A excepción que la recta sea horizontal, donde el recorrido será el valor puntual que tome y el dominio seguirán siendo los números reales. Ejemplos:

1.- ( ) 2 3f x x= − + Dom f = R Rec f = R 2.- ( ) 5g x = − Dom g = R Rec g = {-5}

Ejercicio: Dadas las funciones :

1.- ( ) 3 3f x x= − Dom(f) = ____ ; Rec(f) = ___

2.- ( ) 2g x x= − Dom(g) = ____ ; Rec(g) = ___

3.- ( ) 1

2h x = Dom(h) = ____ ; Rec(h) = ___

Forma Principal de la Recta : La forma principal de la ecuación de la recta está

dada por ( )y f x m x b= = ⋅ + donde: m: pendiente de la recta

b: coeficiente de posición (corresponde a la intersección de la recta con el eje Y) En las siguientes casos, determine m y b:

a) ( ) 7f x x= − + b) ( ) 7

2 2

xf x = − c) ( ) 5f x x= +

Grafico : Para graficar una recta se necesita 2 puntos, donde uno puede ser el coeficiente de posición y el otro punto se puede determinar arbitrariamente. Observaciones importantes: _ Si m es positivo la gráfica de la función es una recta creciente Si m es negativo la gráfica de la función es una recta decreciente

_ La recta interfecta al eje X en el punto ,0b

m

−

La recta interfecta al eje Y en el punto ( )0,b

_ Si en dos funciones lineales los valores de m son iguales las gráficas de estas funciones serán dos rectas paralelas (no se intersectan) _ Si en dos funciones lineales al multiplicar los valores de sus m se obtiene (-1) entonces las gráficas de las funciones son dos rectas perpendiculares. _ Para determinar el punto donde se intersectan dos funciones lineales con gráficas no paralelas, basta con resolver el sistema de ecuaciones formado por las dos funciones.

Ejemplo: ( ) 2 5f x x= + La recta intersecta al eje Y en 5, y para obtener el otro

punto le damos un valor a x cualquiera, por ejemplo si x = 2, entonces y = f(2) = 2·2 + 5 = 9, se obtiene el punto (2,9), con los 2 puntos anteriores se puede graficar la recta.

Listado de Ejercicios : 1.- Despejando y, escribir las siguientes ecuaciones en la forma pendiente intersección. En cada uno de los casos determine el valor de la pendiente m y el de la intersección en y, b. Trace las rectas. a) 4 3 0x y− = b) 2 7 0x y+ = c) 5 3 7x y+ =

d) 8 4x y− = e) 7 11 9x y− = f) 6x y+ = 2.- En cada problema siguiente escriba la ecuación de la recta determinada por la pendiente m y la intersección en y, b. Grafique.

6

a) m = 0; b = -6 b) m = -5; b = 0 c) m = -1/2; b = -8 d) m = 0; b = 0 e) m = -3/8; b = 0 3.- Raggs Ltda. una empresa de confecciones, determina que sus ingresos totales a partir de la venta de x vestidos son dados por la función:

( ) 200 50I x x= +

a) Calcule I(5), I(10) b) ¿Cuáles son los ingresos cuando la empresa no fabrica ningún vestido? c) Indique cual es la pendiente m, y el coeficiente de posición b de la función de ingreso. d) Grafique la función de ingreso. 4.- La actividad física produce a largo plazo un aumento del peso del hígado y volumen del corazón. Suponga que se tiene un hígado de 280 gramos cuyo volumen cardíaco es de 850 ml, y que para un hígado de 350 gramos el volumen cardíaco es de 990 ml. Suponiendo que existe una relación lineal entre la masa hepática y el volumen del corazón, determine la función del volumen cardíaco en términos de la masa hepática. 5.- Un paciente con cáncer recibirá terapia mediante fármacos y radiación. Cada centímetro cúbico de medicamento que se usará contiene 200 unidades curativas, y cada minuto de exposición a la radiación proporciona 300 unidades curativas. El paciente requiere 2400 unidades curativas. Si d centímetros cúbicos de la droga y r minutos de radiación son administrados, determine la función lineal que relaciona d y r . Grafique e interprete resultados. 6.- En cierto experimento de aprendizaje involucrando repetición y memoria, se estimó que la proporción p de elementos recordados se relacionaba linealmente con un tiempo de estudio efectivo t (en minutos). Para un tiempo de estudio efectivo de 5 minutos, la proporción de elementos recordados fue de 0.32. Por cada minuto más en el tiempo de estudio, la proporción recordada aumentaba en 0.059. Encuentre la función lineal de p en términos de t . Grafique e interprete resultados. 7.- Las ventas de una fabrica de productos químicos local crecieron de $6 500 000 en 1980 a $ 11 000 000 en 1990. Suponiendo que las ventas se aproximan a una función lineal (V(t) = mt + b), exprese las ventas S como una función de tiempo t. Sol: V(t) = 450000t + 500000. 8.- Una nutricionista desea mezclar granos de $10.00 el kilo, con otros de $25, con el, fin de obtener 100 kilos de una mezcla de $ 15 el kilo. ¿Cuánto de cada uno de los granos debe ir en la mezcla? Sol: 66,7K de 10.00 y 33,3 k de 25, 9.- ¿Qué cantidad de aceite con contenido de 0.5% de azufre debe mezclar un químico, en 100 litros con 0.8% de azufre para conseguir un aceite que contenga 0.6% Sol:200 litros

4.- Considere la recta L1 de ecuación 5 2 6 0x y+ − = a) Escriba la ecuación en la forma principal. b) Determine la pendiente m y el coeficiente de posición b de la recta. c) ¿El punto (1 , 1) pertenece a la recta L1? d) ¿El punto (-4 , 13) pertenece a la recta L1?

5.- Una empresa de importación y venta de autos determina que sus ingresos totales I(x) en miles de dólares a partir de la venta de x autos son dados

por la función: ( ) 2 3I x x= +

a) Calcule I(1), I(8) b) ¿Cuáles son los ingresos cuando la empresa no fabrica ningún auto? c) Indique cual es la pendiente m, y el coeficiente de posición b de la función de ingreso.

7

e) Grafique la función de ingreso. 6.- La temperatura Tc medida en grados centígrados es una función lineal de la temperatura TF medida en grados Fahrenheit y puede ser representada por la relación , , contantesC FT mT n m n= + Determine:

a) m y n , sabiendo que el punto de congelación y de ebullición del agua es (0°C y 32°F) (100°C y 212°F) respectivamen te. b) La temperatura en grados centigrados sabiendo que en grados Fahrenheit es

de 104°F 7.- La natalidad de una región ha diminuido en forma lineal. En 1985 fue de 35 nacimientos por cada 1000 habitantes. En 1990 fue de 33 por cada 1000 personas. Suponiendo que N es natalidad por cada 1000 personas y T representa el tiempo medido en años desde 1985. Determine;

a) La función lineal de natalidad b) Interprete el significado de pendiente c) Si el modelo lineal se mantiene ¿Cuál será la natalidad esperada en el año

2015.

8.- Una vasija contiene inicialmente 10cm3 de un ácido y se empieza a vaciar más ácido dentro de ella. Cinco segundos después ella contiene 30cm3 de ácido. Si q representa la cantidad de ácido en la vasija y T el tiempo, y se sabe que q varía respecto a T según la ecuación q=aT+b

a) Escriba la ecuación que relaciona a q y T b) ¿Qué representa la pendiente en este ejemplo? c) ¿Qué representa el coeficiente de posición? d) Suponga que la capacidad de la vasija es un litro. ¿En cuánto tiempo se llenará?

FUNCIONES CUADRATICAS

Es una función especial de segundo grado, definida por una ecuación de la forma

( ) 2 , 0f x ax bx c a= + + ≠ La gráfica es una parábola.

los principales elementos de la parábola son:

a) Eje de simetría : recta de ecuación 2

bx

a

−=

b) Vértice 24

, ,2 4 2 2

b ac b b bf

a a a a

− − − − =

c) Valor máximo o mínimo de f(x): Máximo si a < 0, (la parábola se abre hacia abajo) Mínimo si a > 0, (la parábola se abre hacia arriba) d) Dominio: Son todos los números Reales e) Recorrido :

Si la parábola se abre hacia arriba (a > 0) es

+∞−,

4

4 2

a

bac

Si la parábola se abre hacia abajo (a < 0) es

−∞−a

bac

4

4,

2

f) Intersección eje Y corresponde al valor c. g) Intersección eje X, se obtiene al resolver la ecuación cuadrática:

2 0ax bx c+ + =

LISTADO DE EJERCICIOS

1.- Dadas las funciones cuadráticas, determinar: vértice, dominio, recorrido, intersecciones con los ejes y graficar:

a) ( ) 2 6 11f x x x= + − b) ( ) 2 6 11f x x x= − + −

8

c) ( ) 2 8 14f x x x= − + d) ( ) 2 10 24f x x x= − − −

e) ( ) 212

2f x x x= + f) ( ) 22 8 2f x x x= − − −

g) ( ) 22 12 14f x x x= − + h) ( ) 2 4f x x x= − +

2.- En una empresa se producen x unidades de un artículo, obteniéndose el

costo: ( ) 2 8 5C x x x= − +

a) Indique el valor de a y el significado gráfico. b) Indique el valor de c y el significado gráfico. c) Calcule C(-3), C(3); d) Grafique C e) ¿Cuál es el costo cuando se producen 0 unidades? f) ¿El costo es 0 con alguna cantidad producida? g) ¿Con que cantidad producida se minimiza el costo? h) ¿Cuál es el costo mínimo? 3.- Suponer que se estima que la cantidad de desperdicios echados a un río es una función cuadrática del tiempo. Si se tiraron 11.5 ton en un periodo de 5 días, y 20.8 ton después de 8 días, hallar la cantidad tirada en t días. Sol: ( ) 20,1 1,8f t t t= +

3.- Considere la parábola de ecuación 642)( 2 ++−= xxxf : a) Señale cual es el valor de a, ¿gráficamente que indica este valor? b) Señale cual es el valor de c, ¿gráficamente que indica este valor? c) Calcule f(4), f(-2). d) Determine el vértice. e) Determine los puntos de intersección con el eje X. f) Grafique la parábola. 4.- Se sabe que la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre en el vacío está dada por la fórmula

20

0

1 d=v ,

2:velocidad inicial, t: tiempo de descenso, g:aceleración de gravedad

t gt

v

+

Calcular el tiempo que necesita un cuerpo para descender 100 metros en el vacío si su velocidad inicial es de 18 (metros/segundo) y g es 9,8(metros/segundos ) 5.- El número aproximado de bacterias en un cultivo en un tiempo t (horas) está

dado por: 2N(t)=5000+3000t-2000t

a) ¿Cuál es el número inicial de bacterias? b) ¿Cuántas bacterias hay luego de una hora? c)¿En qué tiempo desaparece la población? d) ¿En qué tiempo la población de bacterias es máxima? 6.-Un gallinero es atacado por una epidemia. Desde que se detectó el mal y se le empezó a atacar, la mortalidad diaria se dio de acuerdo a la ley:

2 f(t)= -t 30t +99,

t: tiempo en días f(t): muertes diarias

+ Determinar:

a) ¿Cuántos animales murieron el día que se detecto el mal? b) ¿En que día se produjo la mortalidad máxima?¿Cuánto fue? c)¿Cuántos días duró la plaga desde que se detecto? d)¿Qué día se supone que empezó la epidemia? FUNCIONES RACIONALES

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Cualquier función real en que la variable independiente x aparezca en el denominador es una función racional y debemos tener en cuenta que su dominio no contiene los reales en donde el denominador se hace 0. Los valores de x en donde el denominador se hace 0 representan rectas verticales que se llaman asíntotas verticales. Al encontrar el Recorrido en estas funciones, veremos que hay valores de y que no son imágenes es decir no pertenecen al recorrido.Los valores de y que no son imágenes, representan rectas horizontales que se llaman asíntotas horizontales. Ejemplo:

Sea 3

: ,1

xf A y

x

−⊆ → =+

ℝ ℝ ( ) { }1Dom f = − −ℝ

Para determinar el recorrido, despejando la y en términos de x , tenemos: 3

1

yx

y

+=− Por lo que ( ) { }Re 1c f = −ℝ

Se tienen entonces x = -1 es asíntota vertical. y = 1 es asíntota horizontal. Gráfico de la función:

Ejercicios: En cada función determine su Dominio y recorrido. Bosqueje el gráfico e indique las asíntotas.

a)x

xf+

=1

3)( b)

3

2)(

+−=

x

xxf c)

9

1)(

2 −−=

xxf d)

1

3)(

−−=

x

xxf

Funciones definidas por tramos : Está definida por más de una expresión

Ejemplo:

1, 1 1

( ) 0 , 1 2

3 , 2 8

si x

f x si x

x si x

− ≤ <= ≤ ≤ − < ≤

El dominio de f es : [ ]1,8x ∈ .

Calcular f(0), f(2), f(7). Además determinar el recorrido y graficar

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Función Valor Absoluto : La función xxf =)( es la función valor absoluto.

Recuerde que el valor absoluto se define por

, 0

, 0

x si xx

x si x

≥= − <

Por eso el dominio de f son los números reales. ¿Cuál es el recorrido? Ejercicios: 1.- Determine el dominio y recorrido de la función f:A ⊆ R → R, en cada uno de

los siguientes casos:

a)

>

≤−−=

0,1

0,1)(

2

xsix

xsixxf b)

1, 1

( ) , 1 1

1, 1

si x

f x x si x

si x

≤ −= − − < < − ≥ −

Encontrar el dominio y el rango de la siguiente función definida por secciones.

FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA Se define la función Exponencial en base b con b>0, b ≠ 1como:

( ): / xf f x b→ =ℝ ℝ Esta función se escribe expb

y como sabemos que 0,xb x> ∀ ∈ℝ , su recorrido es ] [0,∞

Es decir: ] [ ( )exp : 0, , exp xb b x b→ ∞ =ℝ es una función sobreyectiva.

Notemos que x yb b x y= ⇒ = , lo que indica que la función expb es inyectiva.

En consecuencia, ] [ ( )exp : 0, , exp xb b x b→ ∞ =ℝ es una función biyectiva.

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las propiedades más importantes de las potencias con respecto a los exponentes: Si 0a > , 0b > , ,x y ∈ℝ

1.-x y x ya a a +⋅ = 2.-

xx y

y

aa

a−= 3.- ( )yx x ya a ⋅= 4.- ( )xx xa b a b⋅ = ⋅

5.- x x

x

a a

b b =

6.- x x

a b

b a

− =

Observaciones importantes para graficar estas funciones:

1.- Cuando a > 1 ,si x < y, entonces, x ya a< .Es decir, cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio.

2.- Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces, x ya a> . Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en su dominio.

3.- La recta y=0 es una asíntota horizontal de la función xy b= . 4.- Todas las curvas que representan estas funciones cortan el eje Y en 1, es decir, todas las curvas pasan por el punto (0,1). Importancia de la Función Exponencial : Las funciones exponenciales tienen una diversa gama de aplicaciones: crecimiento de población, aumento o disminución de la temperatura, aumento del dinero colocado a interés, etc. Existe un número irracional denotado por “e” se le denomina base exponencial. En efecto a la función f(x) = ex, se le llama función exponencial.

Listado de Ejercicios : 1.- En cada uno de los casos siguientes, grafíquese la función exponencial, determinando dominio y recorrido.

a) 3xy = b) 2xy = c) 3 xy −=

d) 5 3xy = ⋅ e) 32xy += f)

211 3 xy −= ⋅

g) xy e= h)

xy e−= i) 0.1210 xy e−= ⋅

APLICACIONES 1.- Interés compuesto. Si cierta cantidad de dinero P, denominado principal, se invierte al 100r% de interés anual compuesto, la cantidad A de dinero

después de t años está dada por: ( )1t

A P r= +

Grafíquese esta ecuación para P = $10.00, r = 0,1 y 0 ≤ t ≤ 10. 2.- El costo total de una compañía, en millones de dólares, está dado por: ( ) 200 40 tC t e−= − ⋅

donde t es el tiempo en semanas. a) Grafique la función de Costo total. b) ¿Cuál es el costo total en la semana 1? c) ¿En algún momento el costo total llega a ser mayor a 200 millones de dólares? Justifique su respuesta.

3.- La función de demanda para cierto tipo de videograbadora, VCR, está dada por la función: ( ) 0.003480 pD p e−= ⋅ , donde p es el precio por unidad.

a) ¿Cuántas videograbadoras se venderán cuando el precio sea de $120, $180 y $340?

b) Grafique la función de demanda, para 0 ≤ p ≤ 400. 4.- La función de oferta para la videograbadora del ejercicio anterior está dada por: ( ) 0.004150 pS p e= ⋅

a) ¿Cuántas videograbadoras permitirá vender el fabricante cuando el precio sea de $120, $180 y $340?

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b) Grafique la función de oferta, para 0 ≤ p ≤ 400. 5.- Titanic es una de las películas con más éxito taquillero en la historia del cine. Después de su estreno en Diciembre de 1997, todavía se presentaba en las salas de cine, en agosto de 1998, cuando se comenzó a vender en cintas de video. Los ingresos totales R en Estados Unidos por concepto de taquilla, en millones de dólares, después del tiempo t, en semanas, se pueden aproximar mediante la función logística:

te

tR1814.051

596)( −+

=

a) ¿Cuantos millones de dólares recaudo a la semana 1, semana 2 y a la semana 30? b) Grafique la función de Ingresos para 0 ≤ t ≤ 40. c) Determine dominio y recorrido de la función. 6.- Se proyecta que dentro de t años la población de cierto país será ( ) 0,0145 tP t e= ⋅ millones.

a) ¿Cuál es la población actual? b) ¿Cuál será la población dentro de 38 años? 7._ Si el número de bacterias de un cierto cultivo se duplica cada hora Determine: a) La ecuación que permite calcular el número de bacterias después de t horas

suponiendo que inicialmente contiene N0 bacterias. b) Si la población inicial es de 106 bacterias ¿Cuántas bacterias hay después de

5 horas de iniciado el experimento? 8.-En condiciones ideales, el número de bacterias en un cultivo crece exponencialmente. Suponga que inicialmente están presente 2000 bacterias y que 20 minutos después están presentes 6000. ¿Cuántas estarán presentes al final de una hora? 9.- Se estima que dentro de t años, la población de un cierto país será de

-0 ,06 t

80P (t)= m illones

8+ 12eDeterminar

a) ¿Cuál es la población actual? b) ¿Cuál será la población dentro de 50 años? c) ¿ Con el tiempo qué le sucederá a la población?

Como vimos anteriormente la función: ] [ ( )exp : 0, , exp xb b x b→ ∞ =ℝ

es biyectiva por lo cual tiene inversa que se denomina logaritmo en base b y se

escribe logb . Se tiene entonces

] [ ( )log : 0, / log b b x y∞ → =ℝ donde ( )log yb x y x b= ⇔ =

Propiedades de los logaritmos:

Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces:

1.- ( ) loglog a bba a a b= = 2.- log 1a a = 3.- log 1 0a = 4.- ( )log log loga a ax y x y⋅ = +

5.- log log loga a a

xx y

y

= −

6.- ( ) ( )log logn

b ax n x= .

7.- Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces, log loga ax y< .Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio. 8.-Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y , entonces, log loga ax y> .Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.

Cuando la base a = e denotamos ln. Si la base a = 10 denotamos log Ejercicios:

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Grafique las siguientes funciones, indicando su dominio y recorrido.

a) ( ) lnf x x= b) ( ) ( )lnf x x= − c) ( ) lnf x x= −

d) ( ) ( )lnf x x= − − e) ( ) ( )ln 1 2f x x= − + f) ( ) ( )3 ln 2f x x= − −

g) ( ) ( )ln 2 3f x x= + h) ( ) ( )5 3ln 1f x x= − −

APLICACIONES 1.- Un modelo para la respuesta a la publicidad está dado por:

( ) 100 200ln , 1N a a a= + ≥ donde N(a) es el número de unidades

vendidas y a es la cantidad invertida en publicidad, en miles de dólares. a) ¿Cuántas unidades se vendieron después de invertir $1 en publicidad b) ¿Cuántas unidades se vendieron después de invertir $120 en publicidad? c) Grafique la función N(a). 2.- Si el valor de los bienes raíces se incrementa a razón del 10% por año, entonces, después de t años, el valor V de una casa comprada en P dólares

esta dada por ( ) ( )1,1t

V t P= ⋅ Si una casa fue comprada en $80.000 en 1986,

a) ¿cual será su precio en 1990? b) ¿y en el año 2000? c) ¿En qué año la casa costará $538 200?. 3.- La siguiente formula, que es válida para los terremotos en el este de Estados Unidos, relaciona la magnitud R del sismo con el área que lo rodea A (en millas cuadradas), que es afectada por el temblor. ( )2,3log 34000 7,5R A= + −

a) Resuélvala para evaluar A en términos de R. b) Si el área afectada es de 20.000 millas cuadradas, ¿de que magnitud es el temblor? Considerando que mucha clase de bacterias tiene un crecimiento exponencial según funciones de la forma:

K t0

0

N(t)=N e , N(t):número de bacterias en el tiempo t

N : número de bacterias en el tiempo t=0, K: tasa porcentual de crecimiento

Resolver: 4.- Un cultivo de levadura crece a una tasa exponencial. La población del cultivo se duplica al cabo de 3 horas . Determine la constante de crecimiento K 5,- La cantidad de un medicamento contenida en la corriente sanguínea puede escribirse mediante una función de decaimiento exponencial, donde t se expresa en horas, Si la vida media del medicamento es de 4 horas ¿Cuál será la constante de decaimiento K?