apunte de física

Curso de Ingreso 2005

Facultad de Agronomía y Agroindustrias | UNSE 1

Profesor responsable: Lic. Carlos A. Cattaneo

Profesores:

Ing. Ana Irene Ruggeri Ing. Angel Montenegro

lntroducción Estos apuntes pretenden ser una ayuda al curso de nivelación en el área Física que se

dicta en la Facultad de Agronomía y Agroindustrias de la Universidad Nacional de

Santiago del Estero. Estudiar Física siempre tiene algo de complicado y el principal

problema es (para esta y otras materias) aprender a razonar. Principal déficit que se

puede encontrar casi todos los egresados del secundario.

Estos apuntes están estructurados en dos partes:

La dedicada a rever conceptos desde un punto de vista mas formal, partiendo de

estudiar el tipo de magnitudes involucradas que son las vectoriales. Hay bastantes

ejercicios y preguntas de razonamiento para poder practicar. Pero lo fundamental todavía

sigue siendo la. consulta a los docentes cuando algo no haya quedado claro.

La otra parte esta dedicada a elaborar demostraciones simples que nos permitan discutir

conceptos que se manejan en la vida diaria. Cabe aclarar que las definiciones de las

magnitudes que aparecen involucradas en las explicaciones son mucho mas profundas

que las expuestas y requieren mas conocimientos de su parte. Por eso debe tomarse

con cuidado cada una de las explicaciones. Consejo: discutirlas hasta que quede claro.

Como Bibliografía se puede recomendar dos textos, que también servirán para el curso

regular de Física:

Física Universitaria - Zears, Semansky, Young

Fisica – Paul Tipler

Esperando que todo lo que les espera les sea fructífero les deseamos suerte en sus

estudios.

La Cátedra



MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

1 . Magnitudes Físicas ¿Qué es una magnitud física?.Este concepto está relacionado con el hecho de medir o comparar. Si alguien nos pregunta la hora, en ese acto trivial se encuentra la base de toda actividad científica ( preguntar, medir, comunicar ). ¿Cuál seria la magnitud en este caso? ¡La hora!. Es decir un valor numérico acompañado de una unidad, que es lo que identifica de que tipo de magnitud estamos hablando. Poniendo otro ejemplo, si un cuerpo tiene una temperatura de 37 ºC, el número representa el valor numérico y los ºC (grados Celsius) la unidad con que se identifica la temperatura. En la Física existen magnitudes que quedan perfectamente definidas por un número o valor numérico) acompañado de su unidad. Este tipo de magnitudes se denominan magnitudes escalares y podemos nombrar a la temperatura, la masa, la energía y el trabajo, por citar algunas. Sin embargo existen otra clase de magnitudes físicas que no quedan perfectamente definidas con el número o valor numérico y la unidad. Por ejemplo, si se dice que a tres metros de una puerta se encuentra una persona, esa magnitud no esta completamente definida ya que se puede hacer la pregunta: La tres metros hacia dónde?, pregunta que tiene infinitas respuestas. A estas magnitudes físicas que necesitan (además de un valor numérico y la unidad) especificar una dirección y un sentido para complete la información, se las denomina vectoriales y deben ser representadas por un símbolo especial denominado vector. Se debe prestar especial cuidado a estas magnitudes ya que su manejo se torna más complicado que las magnitudes escalares. Pertenecen a este tipo de magnitudes, la fuerza,, la cantidad de movimiento, el peso de un cuerpo y la intensidad de campo gravitatorio, entre otros ejemplos. Problema: Indicar en cada caso, si se hace referencia a una magnitud escalar o vectorial, identificando modulo, dirección y sentido donde sea necesario

a) El volumen de un depósito de agua es de 500 litros. b) Un niño tira de una cuerda con una fuerza horizontal hacia la izquierda. c) Un avión vuela a una velocidad de 500 km/h de Este a Oeste.El desplazamiento

de un estudiante desde su casa a la UNSE caminando por Av. Belgrano siguiendo la numeración creciente es de 300 m.

d) La temperatura del aula es de 30 ºC

2 . Representación de una magnitud vectorial Cuando se escribe una ecuación, para distinguir una magnitud vectorial de una escalar, se

acostumbra a poner sobre su símbolo una flecha (aquí vamos a indicar las cantidades vectoriales en negrita).

Así por ejemplo:

Ar

(magnitud vectorial) representa íntegramente el

vector Ar

, en magnitud, en dirección y sentido. A (magnitud escalar) representa solamente el

módulo de Ar

. También se escribe Ar

Gráficamente (ver figura anterior) la dirección de un



vector esta dada por la recta que lo contiene; el sentido está representado por la flecha y el módulo o valor numérico o intensidad del vector es el segmento (en este caso OM) que en cierta escala cuantifica la magnitud vectorial puesta en juego. Aunque no es necesario, a veces hay que 'anclar" el vector respecto de algún punto fijo para poder trabajar con él. Por ejemplo:

En la Figura se puede observar dos vectores:

• El Ar

cuyo módulo es de tres unidades, su dirección 60º tomada respecto del eje X positivo, y sentido antihorario.

• El Br

cuyo módulo es de dos unidades; su dirección 180º, tornado respecto del eje X positivo, y sentido antihorario.

3 . Suma y resta de vectores Antes de estudiar algunas operaciones con vectores deberemos entender que es la igualdad entre vectores:

Dos vectores son iguales si tienen igual magnitud, dirección y sentido independientemente de la posición que ellos ocupen en el espacio.

Métodos Gráficos Veremos dos métodos: el de la poligonal y el del paralelogramo

Ø Método de la poligonal El método se basa en colocar un ve ctor a continuación del otro y así sucesivamente hasta que todos los vectores del problema estén presentes. El vector suma se obtiene trazando el vector que va desde el origen del primero al extremo del último vector.

Observar que los vectores del polígono, son paralelos a los vectores dados.



Simbólicamente, la suma de los vectores de la figura anterior se expresa de la siguiente forma:

BARrrr

+=

Como ejercicio se puede verificar que si colocamos primero el vector Br

y luego le sumamos el

vector Ar

, el resultado no varía, por lo que se concluye que la suma de vectores goza de la propiedad conmutativa, es decir:

Como ejemplo más general, en donde intervengan varios vectores, para encontrar el vector resultante dado por la suma de los vectores puestos en juego.

Como ejercicio tomar el mismo ejemplo, variando el orden de los vectores y verificar que se cumple la propiedad conmutativa.

Ø Método del paralelogramo

Para obtener la resultante de dos vectores Ar

y Br

siguiendo dicho método, éstos deben

trazarse de manera que sus orígenes coincidan. Si se traza un paralelogramo que tenga a Ar

y Br

como Común a ambos vectores.

Observación: Los dos métodos (de la poligonal y del paralelogramo), para determinar la resultante de dos vectores, son equivalentes y producen resultados idénticos.



Diferencia de vectores Para poder restar dos vectores, simplemente se suma al primero el negativo (u

opuesto) del segundo.

En línea llena se ha efectuado (en la figura anterior) la operación diferencia entre los vectores

Ar

y Br

, y entre los vectores Br

yAr

. De la operación realizada se deduce que la diferencia entre dos vectores goza de la propiedad anticonmutativa, es decir:

( )ABBArrrr

−−=−

o sea:

'RRrr

−= Problema: La figura muestra un cuadrado que tiene una unidad de longitud por cada lado. Considere que

cada lado es una vector como se indica. Encontrar gráficamente los vectores:

a) BArr

+

b) DCBArrrr

−−+

Método Analítico Ya que, en general, es complicado utilizar métodos gráficos para encontrar la resultante de dos

o más vectores, se suele utilizar este método que consiste, básicamente, en “desarmar” a todos los vectores en sus componentes (respecto de unas direcciones determinadas), sumarlas respectivamente, para después volver a armar el vector resultante. ¿Parece difícil?. Vamos a detallar todo esto.

Ø Componentes de un vector

Un vector en un plano se especifica mediante 3 datos: su módulo, su dirección y sentido, o de

modo equivalente, mediante sus componentes en un par de ejes perpendiculares. Tales componentes reclutan a menudo útiles en los cálculos vectoriales.



Las expresiones que relacionan las componentes xA y yA con el módulo A y el ángulo θ que

forma con el eje de las x, pueden obtenerse a partir de propiedades de los triángulos rectángulos:

θ

θ

cos.

22222

AA

AsenA

AAAAAA

x

y

yxyx

=

=

+=⇒=+

Ejemplo

Sea un vector A

rde módulo =5 y que forme un

ángulo de 30º con la horizontal, según indica la figura. Se desea conocer las componentes horizontal y vertical del vector dado.

Proyectando el vector Ar

sobre la horizontal

se obtiene el vector componente xA , cuyo

valor es: 33,486,0.5º30cos. === AAx

Trabajando del mismo modo con la componente vertical se tiene:

5,25,0.5º30. === senAAy Ø Suma de vectores

Para sumar vectores usando el método analítico debe procederse de la siguiente manera:

1) Trasladar los vectores puestos en juego al plano cartesiano, descomponiendo cada uno de ellos en sus proyecciones ortogonales. De este modo tendremos vectores colineales en cada eje, es decir, que estén sobre la misma recta de acción.

2) Sumar separadamente y en forma algebraica los vectores proyectados sobre los ejes x e y. Con esto se logra reducir el problema dado a solo dos vectores resultantes ( xR y yR ) perpendiculares entre sí.

3) Obtener el módulo del vector resultante (suma vectorial de xR y yR ) aplicando el

Teorema de Pitágoras.



4) Obtener la dirección y sentido del vector resultante utilizando herramientas trigonométricas.

Ejemplo

Siguiendo los pasos del método analítico: Primer paso: Proyectar los vectores sobre los ejes X e Y, y con esto obtener las componentes de los vectores dados sobre los respectivos ejes. Estas componentes son:

10)5,0.(20º120cos.15)1.(15º180cos.

4386,0.50º30cos.

−=−==−=−==

===

CC

BB

AA

x

x

x

3,1786,0.20º120.

00.15º180.

255,0.50º30.

===

===

===

senCC

senBB

senAA

y

y

y

Segundo paso: Obtención de los vectores xR y yR . En este caso, los vectores componentes arriba calculados,

pueden sumarse algebraicamente debido a que son colineales.

Tercer paso: Módulo del vector resultante Cuarto paso: Dirección del vector resultante: se obtiene calculando el ángulo

35,2==x

y

R

Rtgθ

º67º9.6635,2 ≈== arctgθ

Manera de expresar un vector • Coordenadas Cartesianas

( )yx AAA ,=r

• Coordenadas Polares

( )θ,AA =v

Módulo del vector

Valor Angulo que forma con el eje x

A 50 30ºB 15 180ºC 20 120º

18101543 =−−=++= xxxx CBAR3,423,17025 =++=++= yyyy CBAR

9,45

3,4218 22222

=

+=+=

R

RRR yx



4 . Producto de vectores Cuando se trabaja con los números reales se puede multiplicar un número por otro y conocemos que, efectivamente, el resultado es otro número real. Cuando se trabaja con magnitudes vectoriales la cuestión se pone un poco mas complicada.

Ø Producto escalar En la Física se encuentra muchas veces que en una operación entre dos magnitudes vectoriales da lugar a una cantidad escalar. Por ejemplo una magnitud denominada trabajo se encuentra como producto de dos magnitudes vectoriales como son fuerza y distancia.. Esta operación es sencilla y se denota de la siguiente manera:

donde Ar

y Br

son vectores y C es un escalar. Este escalar se calcula como:

donde α es el ángulo entre los dos vectores.

El producto escalar de dos vectores goza de las propiedades conmutativas y distributivas. Por lo tanto, se puede escribir:

ABBArrrr

•=•

Y también ( ) CABACBArrrrrrr

•+•=+•

Ø Producto vectorial También encontramos el caso de operar dos vectores y encontrar un tercer vector:

CBArrr

=× donde Ar

, Br

y Cr

son vectores

Por definición, el módulo de Cr

se calcula multiplicando el módulo de Ar

por el módulo de Br

y por el seno del ángulo formado por las direcciones de los dos vectores. En símbolos:

αsenBAC ..=

La dirección de Cr

es perpendicular al plano formado por Ar

y Br

, para determinar el sentido de

Cr

aplicamos la siguiente regla:

Se hace girar el vector Ar

hasta encontrar a Br

, siguiendo el camino más corto. El sentido en que avanzaría un tirabuzón si girara de esta manera, es el sentido del vector.

CBA =•rr

αcos..BABA =•rr



Como se ve, la definición de producto vectorial, incluye la manera de determinar módulo, dirección y sentido del vector producto. De acuerdo a ella es fácil ver que se cumple:

( ) CABACBA

ABBA

ABBA

rrrrrrr

rrrr

rrrr

×+×=+×

×−=×

×≠×

Es decir, no se cumple la propiedad conmutativa pero sí la distributiva. La primera de las ecuaciones anteriores nos indica que al variar el orden de los factores se obtiene como resultado otro vector de igual módulo y dirección pero de sentido contrario.

Problemas:

1.- Indicar para cada magnitud si se trata de un escalar o un vector.

a) Superficie de un aula de 8 m por 7 m . b) Desplazamiento de una abeja desde su colmena hasta el río. c) Tiempo de llenado de una probeta. d) Volumen de alcohol etílico que contiene una probeta. e) Velocidad con que se mueve la abeja en dirección N-S.

2.- En un par de ejes coordenados perpendiculares entre sí, trace el vector desde el origen

hasta el punto (3,4). Trace un vector Br

desde el origen al punto (4,3):

a) Son iguales Ar

y Br

? b) Son iguales A y B?

3.- La figura muestra un cuadrado que tiene una unidad de longitud por cada lado.

Considere que cada lado es un vector, como se indica en la figura. Encontrar gráficamente los vectores:

a) DArr

+

b) DArr

−

c) DCBArrrr

+++

4.- Dos vectores tienen módulos iguales a 4 y 3 unidades respectivamente. En caso de ser posible, cómo deben ser la dirección y el sentido de cada una de ellas para que su resultante tenga un módulo igual a:

a) 7 u b) 1 u c) 8 u

5.- Hallar las componentes de los vectores Ar

y Br

si A=2 y B=3.



6.- Sea un vector A =23 m , que forma un ángulo º25=α con la dirección N -S. Encontrar

las componentes de este vector según las direcciones N -S y E-O.

7.- Las componentes rectangulares de los vectores Ar

, Br

y Cr

son:

86−=

=

y

x

A

A

30

==

y

x

B

B

05

=−=

y

x

C

C

Determinar el vector resul tante dado por la operación

CBARrrrr

+−= a) Gráficamente b) Analíticamente

8.- Sean los vectores ( )º30;15mA =r

y ( )º45;25mB =r

, calcular su suma gráfica y

analíticamente.

9.- En un punto se aplican dos vectores de módulo 100 unidades, cuyas líneas de acción forman un ángulo de 120º. Hallar el vector capaz de:

a) Reemplazar el sistema dado. b) Equilibrar el sistema.

10.- Sean los vectores ( )cmcmA 20;30=r

y ( )cmcmB 60;45=r

. Calcular

a) BArr

+

b) ABrr

−

c) BArr

•

d) BArr

×

11.- Sean los vectores ( )cmcmA 25;25=r

y ( )cmcmB 15;30 −=r

. Realizar las mismas

operaciones que en el ejercicio anterior.

12.- Sean los vectores ( )º35;30mA =r

, ( )mmB 60;25=r

y ( )º15;20mC =r

. Realizar las

siguientes operaciones.

a) CBArrr

++

b) CBArrr

−−

c) BArr

•

d) BArr

×



e) BCrr

•

f) BCrr

×

Vectores Unitarios Algunas veces es conveniente expresar los vectores, en su descomposición en vectores unitarios.

Así, si se tiene un vector AuAA

rr.= , donde Au

r es un vector unitario ( 1=Au

r); en este se

expresa cuántas veces el vector Aur

está contenido en Ar

.

Comúnmente un vector se descompone según sus componentes en los ejes x, y, z, donde en

el eje x encontraremos los vectores unitarios ir

, en el eje y los jr

y en el eje z los kr

.

Por lo tanto, un vector Ar

, puede ser expresado de la siguiente manera:

kAjAiAA zyx

rrrr++=

donde se puede apreciar claramente las tres componentes del vector Ar

, según los tres ejes. Operaciones con Vectores Unitarios

• Sumas y Restas Se suman o se restan cada una de las componentes correspondientes a cada eje.

kjiB

kjiArrrr

rrrr

.1.3.2

.2.5.3

++=

++=

Luego

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) kjikjiBA

kjikjiBArrrrrrrr

rrrrrrrr

.1.2.1.12.35.23

.3.8.5.12.35.23

++=−+−+−=−

++=+++++=+

• Producto escalar Tengo dos vectores

kBjBiBB

kAjAiAA

zyx

zyxrrrr

rrrr

...

...

++=

++=

El producto escalar es:

( ) ( )kBjBiBkAjAiABA zyxzyx

rrrrrrrr...... ++•++=•



Pero por propiedad de producto escalar, cuando dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es nulo, de manera que:

0

1

=•=•=•

=•=•=•

jikjki

kkjjiirrrrrr

rrrrrr

Con estas relaciones podemos hallar una forma alternativa para el producto punto entre dos vectores:

zzyyxx BABABABA .... ++=•rr

• Producto vectorial

El producto vectorial entre dos vectores da como resultado otro vector BACrrr

×= . La magnitud

de Cr

se define como:

αsenBAC ..rrr

= y la dirección y sentido se da por la regla de la mano derecha.

Ejercicios: Realizar el producto escalar y vectorial de los siguientes vectores:

1. jiB

jiArrr

rrr

.5.3

.2.6

+=

+=

2. jiB

jiArrr

rrr

.3.6

.4.4

−=

+=

3. jiB

jiArrr

rrr

.3.6

.4.5

−=

+−=

4. jiB

jiArrr

rrr

.4.5

.2.4

+=

−−=

5. jiB

jiArrr

rrr

.3.3

.3.3

−−=

−−=

Nota: Indique si el vector resultante en el producto vectorial, sale o entra en el plano del papel o del pizarrón.

• REVISIÓN DE CONTENIDOS Las cuestiones siguientes se elaboraron para que repase los puntos mis Importantes abordados en este capitulo. Al resolverlas, acuda a la guía siempre que tenga una duda.

1.- a) ¿Qué es una cantidad escalar?. Dé ejemplos. b) ¿Qué características deben proporcionarse para que una cantidad vectorial quede bien determinada?. Busque ejemplos de cantidades vectoriales.

c) ¿Cuál es la diferencia que advierte entre las notaciones d y d?.

2.- En el apunte se presentaron dos procedimientos para la determinación gráfica de la resultante de dos vectores. Describa cada uno de esos procesos,

3.- a) Explique qué entiende por componente de un vector Vr

según el eje OX.



b) ¿Qué son las componentes rectangulares de un vector?.

4.- a) Siendo θ un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, define sen θ y cos θ . b)¿Cuáles son las expresiones matemáticas que permiten calcular las componentes

rectangulares de un vector?.

c) Si conocemos los valores de las componentes rectangulares de un vector Vr

¿Cómo podemos calcular su magnitud?.

5.- ¿Cómo se restan dos vectores utilizando el método de la poligonal?.

6.- Es posible que una componente de un vector tenga un módulo mayor que el correspondiente al vector? ¿En qué circunstancias puede una componente de un vector tener una magnitud igual a la magnitud del vector?.

7.- Puede un vector ser igual a cero y sin embargo, tener una o más componentes distintas de cero?.

8.- Son las componentes de BACrrr

+= necesariamente mayores que las componentes

de Ar

o Br

?.

9.- ¿Cuál de las afirmaciones siguientes esta equivocada?

a) La magnitud de las componentes de un vector no puede ser mayor que la del propio vector.

a) Si la componente de un vector sobre un eje es nula, podemos concluir que la magnitud del vector tambi én lo es.

b) Si un vector es perpendicular a un eje, la componente del vector sobre dicho eje es nula.

c) Si un vector es paralelo a un eje, la magnitud de la componente del vector sobre el eje es igual a la del vector.

d) Si ambas componentes rectangulares de un vector son nulas, podemos concluir que la magnitud del vector también lo es.

• EJERCICIOS DE REPASO

1. Dados los siguientes vectores:

( )( )π,10

3,2

=

−=

F

Ar

r

( )( )º135,5

4,5

=

=

G

Br

r

( )( )º225,4

2,2

=

=

H

Cr

r

( )( )º45,4

2,3

=

−−=

R

Dr

r

( )2,2−=Er

a) Grafique cada vector con los datos anteriores (cada uno en su eje de coordenadas).

b) Pasar, según corresponda, de forma polar a cartesiana o viceversa, y graficar de nuevo cada vector con los datos obtenidos.

c) Observe los gráficos de Dr

en ambos sistemas de coordenadas, qué observa?

d) Observe las coordenadas cartesianas de Hr

y Rr

. Qué observa?

2. Demuestre gráficamente que las siguientes propiedades se cumplen para todo

ZyWVrrr

.., (sugerencia: use el método de la poligonal)

VWWVrrrr

+=+ (conmutativa) ( ) ( )ZVWZWVrrrrrr

++=++ (asociativa)



3. Dados los vectores )1,2(=Vr

y )2,2(=Wr

. Calcule y grafique:

VWyWVrrrr

+− ..

Qué observa? Se podría decir que ( ) ( )WVWVrrrr

+−=−

4. Dados ( )5,2=Ar

y ( )º45,2=Br

. Calcule:

BArr

• y ABrr

• BArr

× y ABrr

× Qué puede decir acerca del producto escalar y vectorial?

5. Si:

5=Ar

y 2=yA calcule Aα

2=Br

y 2=XB calcule Bα

3=XC y 2−=yC calcule Cα

Calcule los ángulos directamente con los datos dados.



Cambio de unidades Sistema Internacional de Unidades Las unidades básicas del Sistema Internacional de Unidades SI, son las cantidades mostradas en la siguiente tabla.

Cantidad Nombre SimboloTempo segundo sLongitud metro molMasa kilogramo kgCantidad de sustancia mol molTemperatura termodinámica kelvin KCorriente eléctrica ampere AIntensidad lumínica candela cd

Unidad SI

Prefijos Si expresamos propiedades físicas, como la producción de una central de energía o el intervalo

de tiempo entre dos eventos nucleares en unidades del SI (sistema internacional), tendremos números muy grandes o muy pequeños. Por con veniencia, la Conferencia General de Pesas y Medidas reconoció los siguientes prefijos.

Factor Prefijo Símbolo

1018 exa- E 1015 peta- P 1012 tera- T 109 giga- G 106 mega- M 103 kilo- k 102 hecto- h 101 deca- da 10-1 deci- d 10-2 centi- c 10-3 mili- m 10-6 micro- µ 10-9 nano- n 10-12 pico- p 10-15 femto- f 10-18 atto- a

Factores de conversión Sirven para expresar una cantidad física dada en una unidad distinta, pero de la misma magnitud. Cualquier cantidad física puede ser multiplicada por 1 sin cambiar su valor, por ejemplo

min160

160min1s

s =⇒=

Ejemplo: expresar la velocidad dada en s

m

s

m

km

m

s

h

h

kmv 66.16

11000.

36001.60 ==



Tabla de equivalencias Longitud Velocidad 1m = 100 cm 1 m/s = 2,24 mi/h 1 plg = 2,54 cm 1 km/h = 0,277 m/s 1 mi = 1,61 km Energía y Potencia Tiempo 1J=1.107erg =0,239cal 1 h = 60 min 1 cal =4,19 J 1 min= 60 seg 1 eV=1,6.10-19J 1 dia = 24 h 1 año = 365 dias Volumen 1 l = 1000 cm3 1 l =1.10-3 m3 Ejercicios:

1. La Luna en promedio tarda 28 dias en dar la vuelta a la Tierra. Expresar esta cantidad en horas, segundos y años.

2. La unidad conveniente de energía al tratar con partículas atómicas o subatómicas es el electronvolt (eV). Expresar 2,5 eV en J (Joules) y cal (calorías).

3. Un automóvil viaja a 110 km/h y otro viaja a 32 m/s. ¿cuál va mas rápido? (para averiguarlo, expresar ambas cantidades en las mismas unidades)

4. ¿Cuántos litros de agua entran en una piscina de 120m3? 5. Los listones de manera vienen de varios anchos expresados en pulgadas, 0,5 plg, 2

plg, etc. Expresar estas medidas en metros y en cm. 6. Expresar en pulgadas cúbicas el volumen de la piscina del problema 4. 7. Para transformar 2 gramos de hielo en dos gramos de agua, necesito agregarle 160

cal, cuánto es esta cantidad expresada en J y eV?

apunte de física

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