aplicaciones de la_transformada_de_laplace_grupo_4
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FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
Tema: Resolución de problemas de valor inicial
Integrantes:➢ Mario Zhinin➢ Diego Carrera ➢ Mauricio Anchitipan
Grupo: 4
Grupo de trabajo: 4
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SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR EL MÉTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Consideramos el siguiente Sistema de ecuaciones diferenciales:
dx/dt=a11x+a12+f(t)
dy/dt=a21x+a22+g(t)
Con condiciones iniciales x(0)=x , y(0)=y donde x y son incógnitas, a11 a12 a21 a22 son constantes y f(t) y g(t)son funciones conocidas tomando la transformada de Laplace a ambas ecuaciones diferenciales del sistema
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L{dx/dt}=L{a11x+a12+f(t) , Mediante las propiedades de las transformada se tiene que:
L{dy/dt}=L{a21x+a22+f(t)
L{x}-x(0)=a11L(x)+a12L(y)+L{F(t)} , agrupando términos se tiene
L{y}-y(0)=a21L(y)+a22L(y)+L{F(y)}
(s-a11)L{x}-a12L{y}+L{f(t)}-a21L{x}+(s-a22)L{y}=L{g(t)}
Si: x0+L{f(t)} y y0+L{g(t)}
no son ambos cero, entonces se puede resolver el sistema, mediante la regla de CRAMER, es decir:
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EJEMPLO:
Resolver el problema con valor inicial,
x′(t)=x(t)-y(t)+e^t
y′(t)=2x(t)+3y(t)+e^t
Como x(0)=1 , y(0)=0.
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UNA ECUACIÓN INTEGRAL
El teorema de la convolución es útil para resolver otros tipos de ecuaciones en las que aparece una función incógnita bajo un signo de integral.
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RESORTES ACOPLADOS(Aplicaciones de la Transformada de
Laplace)Suponemos que dos masas m1 y m2 están sujetas a dos resortes A y B, de masas insignificantes k1 y k2, respectivamente. Los dos resortes están conectados de la siguiente forma:
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Sea x1(t) y x2(t) los desplazamientos verticales de las masas con respecto a sus posiciones de equilibrio, cuando el sistema se encuentra en movimiento, el resorte B está sujeto tanto a un alargamiento como a un acortamiento; de este modo los resortes aplican una fuerza sobre m1.
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Si no se aplica ninguna fuerza externa al sistema y no hay fuerza de amortiguación, entonces la fuerza neta sobre m1 es:
Por la segunda ley de Newton escribimos así:
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De igual modo la fuerza ejercida sobre la masa m2 se debe solamente al alargamiento de B, es decir:
De esta manera resulta que:
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En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado queda descrito por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden simultáneas:
EJERCICIO:Resolver el sistema anterior suponiendo que k1=6, k2=4, m1=1, m2=1, y que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias de direcciones
opuestas.
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La masas en la posicion de equlibrio parten del reposo X1(0)=0, X2(0)=0 y sus velocidades son unitarias y opuestas: X1’(0)=1, X2’(0)=-1
Reemplazamos los valores iniciales que nos da el problema
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Para X1
• Fracciones parciales
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Para X2
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• Fracciones parciales
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Respuesta:
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ECUACIÓN INTEGRO-DIFERENCIALLa segunda ley de Kirchhoff establece que en un circuito simple conectado en serie, la suma de las caídas
de potencial a través de un inductor, de un resistor y de un capacitor es igual a la tensión E(t) suministrada. Como:
Para un inductor
V(t)=L (di(t))/dt ; en donde L es la inductancia
Para un resistor
V(t)=Ri(t) ; en donde R es la resistencia
Para un capacitor
V(t)=1/C ∫i(t)dt ; en donde C es la capacitancia. Entonces:
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REDES ELÉCTRICAS
Un sistema eléctrico (red) con más de un circuito simple también dá origen a ecuaciones diferenciales simultáneas tal como se muestra en la figura:
En el nodo B1, de acuerdo a la 1ra ley de Kirchhoff: i(t)=i2(t)+i3(t) (1)
En la malla A1B1B2A2A1, de acuerdo a la 2da ley de Kirchhoff:
E(t)=i1(t)R1+L1(di2(t))/dt+i2(t)R2 (2)
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En la malla A1B1C1C2B2A2A1, de acuerdo a la 2da ley de Kirchhoff:
E(t)=i1(t)R1+L2(di3(t))/dt (3)
Reemplazando (1) en (2) y (3) obtenemos:
L1 di2(t)/dt+(R1+R2)i2(t)+R1i3(t)=E(t)
L2 di3(t)/dt+R1i2(t)+R1i3(t)=E(t)
Con las condiciones:
i2(0)=0, i3(0)=0
Ejemplo 1:
Encontrar las corrientes i1 e i2 con las condiciones: E=60V, L=1H, R=50, C=10^-4F y donde i1 e i2 son inicialmente iguales a cero.
L di1(t)/dt+Ri2(t)=E(t)
RC di2(t)/dt+i2(t)-i1(t)=0
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Al reemplazar los datos en el sistema se tiene:
Luego aplicamos la transformada de Laplace a cada ecuación del sistema:
;mediante fracciones parciales se tiene
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;mediante fracciones parciales se tiene:
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Ejemplo 2:
Resolver la ecuación diferencial: y′′-3y′+2y=4t+12e^(-t) , con y(0)=6, y′(0)=-1
Aplicando la transformada de Laplace:
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BIBLIOGRAFÍA
● Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis
G.Zill, Editor Thomson 2007, Sexta edición, Capítulo 7 páginas
295-354
● Análisis Matemático IV, Eduardo Espinoza Ramos,Segunda
edición, Capítulo 13 página 652-691