Afortunadamente, para estudiar el movimiento de los objetos que encontramos en nuestra vida diaria, objetos que ni alcanzan velocidades cercanas a la de la luz ni objetos con dimensiones atmicas, no necesitamos mecnica cuntica o relativista

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A. Trayectorias Ortogonales:La primera aplicacin que veremos es la de resolver el problema de hallar las trayectorias ortogonales. Definicin: Dos curva L y M que se cortan en un punto (x , y) son ortogonales entre s, si las rectas tangentes trazadas en dicho punto son ortogonales

Ejemplo: determine la familia de curvas ortogonales a la familia de circunferencias , donde c es una constante real.Solucin

1. Derivamos la curva respecto a x, 2. Despejamos la derivada, 3. La ecuacin diferencial de familias trayectorias es 4. Resolvemos esta ecuacin para obtener la familia uniparamtrica de trayectorias ortogonales cuya solucin es y = c x

Cuando las curvas se intersectan en un ngulo distinto de /2, las trayectorias se llaman isogonales, y la familia de curvas se encuentra con la ecuacin diferencial

Prctica: determine la familia de curvas ortogonales aa. La familia de curvas x2 + y2 = 2Cxb. La familia de curvas r = cos 2c. La familia de curvas y = Kx3d. La familia de curvas y = x + Ce-xe. La familia de parbolas y = Kx2f. La familia de hiprbolas xy = KB. Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton

El problema de calentamiento en edificio depende de 3 preguntasCunto tiempo tarda en cambiar la temperatura del edificio?Cmo vara la temperatura del edificio en verano (uso de aire acondicionado)?Cmo vara la temperatura del edificio en invierno (uso de calefactor)?Cmo respuesta podemos sealar que la temperatura T(t) depende del calor generado por las personas H(t); el enfriamiento (calor) U(t); y la temperatura exterior M(t)El modelo matemtico de enfriamiento de Newton se basa en la razn de cambio de la temperatura T de una sustancia es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia T y la temperatura del medio MMatemticamente Ejemplo:Si la temperatura del aire es de 20 y una sustancia se enfra de 100 a 60 en 30 minutos, calculemos en que instante la temperatura de la sustancia ser de 40.Solucin1. Establecemos las condiciones del problema: T(0) = 100; T(30) = 602. Planteamos la ecuacin diferencial y la resolvemos cuya solucin es T = 20 + Ce-kt 3. Aplicamos la condicin inicial T(0)=100 para determinar que C = 804. La solucin toma la forma T = 20 + 80e-kt. Ahora aplicamos la segunda condicin para determinar el valor de k, es decir 5. Nuestro modelo es T = 20 + 80e-0.0231t. Reemplazando T=40 , finalmente obtenemos que , de donde 6. Respuesta. La temperatura ser de 40 al cabo de 60 minutos.

C. Aplicaciones a los circuitos elctricos

El circuito elctrico ms simple es un circuito en serie en el cual tenemos una fem (fuerza electromotriz), la cual acta como una fuente de energa tal como una batera o generador, y una resistencia, la cual usa energa, tal como una bombilla elctrica, tostador, u otro electrodomstico. Ejemplos los circuitos RL y RC

Experimentalmente las siguientes leyes de Kirchhoff se cumplen:

1. La cada de voltaje a travs de una resistencia es proporcional a la corriente que pasa a travs de la resistencia. Si E, es la cada de voltaje a travs de una resistencia e I es la corriente, Entonces ER = Rl donde R es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente simplemente resistencia.

2. La cada de voltaje a travs de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instantnea de cambio de la corriente. Si EL es la cada de voltaje a travs del inductor, entonces donde L es la constante de proporcionalidad llamada simplemente la inductancia.

3. La cada de voltaje a travs de un condensador es proporcional a la carga elctrica instantnea en el condensador. Si EC es la cada de voltaje a travs del condensador y Q la carga instantnea, entonces donde hemos tomado l/C como la constante de proporcionalidad, C se conoce como el coeficiente de capacitancia o simplemente capacitancia.

El siguiente es un enunciado de la ley de Kirchhoff:La suma algebraica de todas las cadas de voltaje alrededor de un circuito elctrico es cero. [Otra manera de enunciar esto es decir que el voltaje suministrado (fem) es igual a la suma de las cadas de voltaje.]ER + EL = E de donde obtenemos la ecuacin diferencial para el circuito RL De forma anloga tenemos para los circuitos RC que ER + EC = E de donde RI + q/c = E pero como Finalmente obtenemos que I = corriente (amperios)L = Inductor (henrios)C= Capacitor (faradios)La q = carga (coulomb)R = resistencia (ohms)E= voltaje (voltios)

EjemploUn circuito RL tiene una fem de 5 voltios, una inductancia de 1 henrio, una resistencia de 80 ohmios y no tiene corriente inicial. Determinar la corriente en el circuito para cualquier tiempo t.SolucinDatos: R = 80; E = 5; L= 1 I(0) = 0Aplicando la ecuacin diferencial para este modelo , obtenemos que Resolviendo la ecuacin linealSe obtiene que Al aplicar la condicin inicial I(0)= 0 se obtiene que C = -1/16 La corriente en cualquier tiempo es

Ejemplo Un circuito RC tiene una fem de 200 cost (voltios), una resistencia de 50 ohmios y una capacitancia de 10-2 faradios. En t = 0 no hay carga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en el tiempo t. SolucinDatos E=200 cost; R= 50 ; C= 10-2; q(t)= 0

Aplicando la ecuacin para el modelo RC , tenemos que la ecuacin diferencial del problema es cuya solucin es al aplicar la condicin inicial q(0)=0

Se tiene C= -1, de donde para hallar la corriente

D. CRECIMIENTO (DECRECIMIENTO) DE POBLACINSea P(t) la poblacin presente en el instante t. La razn de crecimiento depende del Nmero de nacimientos menos el nmero de muertes, es decir,

En Biologa se ha observado, que en cortos periodos de tiempo, la tasa de crecimiento de algunas poblaciones (bacterias y animales pequeos) es directamente proporcional a la poblacin presente (nmero de muertes es nulo), o sea que resuelta por variables separables nos da la solucin . Cuando K > 0, entonces hablamos de crecimiento; si k < 0, entonces hablamos de decrecimiento.Ejemplo:Un cultivo tiene una cantidad inicial de 50 bacterias. Al cabo de una hora , la cantidad de bacterias presentes es de 75. Determine el tiempo necesario para que la poblacin de bacterias se triplique.Solucin:Los datos conocidos son P(0) = 50 ; P(60) = 75 . Hay que hallar P(t) = 1501. Aplicando la primera condicin en la solucin 2. Nuestra respuesta es, as que aplicando la segunda condicin al modelo, obtenemos . Si de aqu despejamos k, se tiene que 3. Nuestro modelo tiene como respuesta final 4. Para hallar el tiempo necesario que la poblacin se triplique hacemos . Despejando t, .Desintegracin radio activaSe llama semi-vida T al tiempo requerido para que una sustancia se reduzca a la mitad, es decir Ejemplo: Si la vida media de una sustancia reactiva es 32 das, determine el tiempo t en que 24 kilos se convierten en 3 kilosSolucinP(0) = 24, como la vida media es 32, entonces Como . Para P(t) = 3, obtenemos que Respuesta : el tiempo requerido es 96 dasE. Mezclas Al mezclar dos fluidos, a veces se originan ecuaciones lineales de primer orden. Si con respecto al tiempo, entonces la ecuacin diferencial de este modelo es

x(t)sustancia en el compartimiento

Razn de entrada Razn de salida

Donde la razn de salida = y la razn de salida es Ejemplo. En un gran tanque con 1,000 litros de agua pura se comienza a verter una solucin salina a una razn constante de 6 lts/min. La solucin del tanque se mantiene revuelta y sale a razn de 6 lts/min. La concentracin de la sal en la solucin que entra es de 0.1 kg/lts. Determine en que la concentracin de sal en la solucin llegar a 0.05kg/ltsSolucinDatos: concentracin de sal en el tanque Razn de entrada :Razn de salida:

Planteando la ecuacin diferencial de primer orden , esta ecuacin lineal tiene como solucin

Aplicando la condicin inicial x(0)=0, nos da que C= -100

La solucin particular es . Para hallar x(t) = 0.05

de donde t = 115.52 minutos

F.

Afortunadamente, para estudiar el movimiento de los objetos que encontramos en nuestra vida diaria, objetos que ni alcanzan velocidades cercanas a la de la luz ni objetos con dimensiones atmicas, no necesitamos mecnica cuntica o relativista. Las leyes de Newton son lo suficientemente precisas en estos casos y por tanto emprenderemos una discusin de estas leyes y sus aplicaciones.LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTONLas tres leyes del movimiento primero desarrolladas por Newton son:1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimiento tiende a persistir en movimiento en una lnea recta con velocidad constante a menos que fuerzas externas acten sobre l.2. La tasa de cambio en momentum de un cuerpo en el tiempo es proporcional a la fuerza neta que acta sobre el cuerpo y tiene la misma direccin a la fuerza.3. A cada accin existe una reaccin igual y opuesta.

En la simbologa del clculo podemos escribir las leyes de Newton en formas diferentes al notar que la aceleracin puede expresarse como la primera derivada de la velocidad u (esto es, du/dt) como la segunda derivada de un desplazamiento

Ejemplo :una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad partiendo del reposo. Asumiendo despreciable la resistencia del aire establezca la ecuacin diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento y resulvala.

Diagrama de fuerza TierraFigura 3.1 Figura 3.2Formulacin matemtica. En la formulacin matemtica de problemas de fsica (o para tal propsito, cualquier problema) es til dibujar diagramas cuando sea posible. Estos ayudan a fijar ideas y consecuentemente ayudan a traducir las ideas de fsica en ecuaciones matemticas. Sea A (Figura 3.1) la posicin de la masa n en el tiempo t = 0, y sea P la posicin dem en cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de fsica que involucre cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleracin, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de direccin, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignacin de direcciones positivas y negativas. En el presente problema sea A el origen de nuestro sistema de coordenadas y escojamos el eje x como la verticalcon abajo como la direccin positiva (y por consiguiente con arriba como la direccin negativa). La velocidad instantnea en P es v = dx/dtLa aceleracin instantnea en P es a = dv/dt a = dx/dt . La fuerza neta acta verticalmente hacia abajo (considerada positiva como se muestra en el diagrama de fuerzas de la Figura 3.2). Su magnitud es mg. Por la ley de Newton

Puesto que la masa cae desde el reposo vemos que v = 0 cuando t = 0, la condicin inicial v(0)= 0

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2

Un paracaidista y por supuesto su paracadas) cae desde el reposo. El peso combinado del paracaidista y su paracadas es W. El paracadas tiene una fuerza actuando sobre l (debido a la resistencia del aire) la cual es proporcional a la velocidad en cualquier instante durante la cada. Asumiendo que el paracaidista cae verticalmente hacia abajo y que el paracadas ya est abierto cuando el salto ocurre, describa el movimiento resultante.Formulacin matemtica. Dibujamos, como de costumbre, un diagrama fsico y de fuerzas (Figuras 3.5 y 3.6).

Asuma A como el origen y AB la direccin del eje x positivo. Las fuerzas actuantes son: (a) el peso combinado W hacia abajo; (b) la fuerza de resistencia R del aire actuando hacia arriba. La fuerza neta en la direccin positiva (hacia abajo) es W-R. Puesto que la resistencia es proporcional a la velocidad tenemos R kvdonde k es la constante de proporcionalidad. Puesto que v es siempre positiva, no necesitamos el signo de valor absoluto, y podemos escribir simplementeR = kv. De donde la fuerza neta es W y obtenemos por la ley de Newton

, con condiciones iniciales v(0)=0 que conduce a una ecuacin separable cuya solucin es

Tambin podemos determinar la distancia recorrida por el paracaidista como una funcin del tiempo. que al ser resuelta nos da que

. Donde las condiciones iniciales son x=0, t= 0