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22002000000,10 tttS

CECyTEM La Paz Matemticas Aplicadas Aplicaciones de la derivada

Alumno: ______________________________________ Grupo: ____________ No. de lista: ________

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1. (Crecimiento de las ventas) El volumen de las ventas de un disco fonogrfico particular est

dado como una funcin del tiempo t por la frmula

donde t se mide en semanas y S es el nmero de discos vendidos por semana. Determine la tasa en que S cambia cuando: a. 0t b. 4t c. 8t

2. (Reaccin qumica) Durante una reaccin qumica en la cual una sustancia A se

descompone, la masa (en gramos) de A restante en un tiempo t est dada por

2

4

139)( tttm .

Encuentre )(' tm e interprete esta cantidad.

Evale:

)6(

)0('

)0(

m

m

m

).6('m

2

3. (Mvil) La distancia recorrida por un mvil al tiempo t es igual a 2/132 tt . Calcule la velocidad instantnea:

a. Al tiempo .t

b. En el instante .4t

4. (Proyectiles) Una partcula se lanza directamente hacia arriba con una velocidad inicial de

60 pies/segundo. Despus de t segundos, su altura sobre el nivel del suelo est dada por 21660)( ttts .

Calcule su velocidad instantnea despus de t segundos.

Qu tiene de especial el instante 8

15t ?

5. (Crecimiento de poblacin) Al principio de un experimento se encontr que en un cultivo de

bacterias haba 10,000 individuos. Se observ el crecimiento de la poblacin y se encontr

que, en un tiempo posterior t (horas) despus de empezado el experimento, el tamao de

la poblacin )(tp se poda expresar por la frmula. 2)2(2500)( ttp

a) Determine la frmula de la razn de crecimiento de la poblacin en cualquier tiempo

t .

b) Calcule la razn de crecimiento para 15t minutos y para t 2 horas.

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6. (Botnica) La proporcin de semillas de una especie de rbol que disemina a una distancia

mayor que r , a partir de la base del rbol, est dada por

r

r

r

rrp 0

2/1

0

4

1

4

3)(

donde r , es una constante. Encuentre la razn de cambio de la proporcin respecto a la distancia.

7. (Proyectiles) Una pelota es lanzada al aire a una velocidad de 40 pies por segundo con un

ngulo de 45 con respecto a la horizontal. Si tomamos el eje x como horizontal y el eje y

como vertical, el origen como el punto inicial del vuelo de la pelota, entonces la posicin de

la pelota en el tiempo t esta dada por 220x ,t 220y .16 2tt

Calcule la pendiente de la trayectoria t segundos despus de haberse lanzado la pelota.

Para cual valor de t la pendiente es cero? (Sugerencia: Exprese y en trminos de x para

eliminar a .)t

8. (Crecimiento de clulas) La masa de un organismo unicelular crece con el tiempo t de

acuerdo con la formula 2362)( tttm Encuentre:

)(' tm

)2(m

).2('m

Interprete estos valores.

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9. (Epidemias) Una enfermedad infecciosa y debilitante se propaga lentamente en una

poblacin. El nmero de individuos infectados despus de tmeses est dado mediante la frmula:

)(1000)( 22/3 tttN

Encuentre ).(' tN

Evale )9(N

)9('N

Interprete estos valores.

10. (Frmula Fay/Lehr) Se ha observado que la forma de esparcimiento de un derrame de

petrleo es aproximadamente una elipse en metros cuadrados es A= ,ab donde:

,)()( 4/31tctbta .)(4/1

2tctb

Aqu t es tiempo en minutos, 1c es una constante que depende de la velocidad del viento

y 2c es una constante que depende del volumen derramado. Si 2.01 c y 152 c calcule

los valores de

a) A )(t

b) )(' tA

despus de 15 minutos y despus de 30 minutos.

11. (Salario real) El salario real de cierto grupo de trabajadores aument de acuerdo con la

formula ttW2

13)( entre 1970 y 1980, donde t es el tiempo transcurrido en aos a partir

de 1970. Durante este tiempo, el ndice de precios al consumidor estuvo dado por

.2

13100)( 2tttI El salario real es igual a 100 )(/)( tItW cuando se ajusta por la

inflacin. Calcule la razn de cambio de este salario real en

a) 1970

b) 1975

c) 1980.

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12. (Granja pisccola) El peso de cierto lote de peces esta dado por ,nwW donde n es el

tamao del lote y w cambian con el tiempo de acuerdo con las frmulas )32( 2 tn y

)2( 2 ttw encuentre la razn de cambio de W respecto al tiempo.

13. (Fsica) La temperatura absoluta T de un gas esta dada por ,cPVT donde P es la

presin, V el volumen y c es alguna constante que depende de la masa del gas. Si

)1( 2 tP y )2( 1 ttV como funciones del tiempo t , encuentre la razn de cambio de

T con respecto a .t

14. (Biologa) La densidad de algas en un estanque de agua es igual a ,/Vn donde n es el

nmero de algas y V es el volumen de agua en el estanque. Si n y V varan con el tiempo

t de acuerdo con las frmulas tn y ,1 tV calcule la razn de cambio de la

densidad. 15. (Ecologa) Sea x el tamao de cierta poblacin de depredadores y y el tamao de la

poblacin que le sirve de alimento. Como funciones del tiempo 4, 2 txt y .32 2 tty

Sea u el nmero de presas por cada depredador. Encuentre la razn de cambio de .u

16. (Tasa de incremento del costo) La funcin de costo de un fabricante es

.002.01.0102000)( 32 xxxxC

Si el nivel de produccin actual es 100x y esta creciendo a una tasa de 2 al mes, calcule la tasa en que los costos de produccin estn creciendo.

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17. (Tasa de cambio del ingreso) La ecuacin de demanda del producto de una compaa es

,3002 xp en donde x unidades pueden venderse a un precio de $p cada una. Si la

demanda cambia a una tasa de 2 unidades por ao cundo la demanda alcanza 40 unidades, a que tasa esta cambiando el ingreso si la compaa ajusta su precio a la demanda cambiante?

18. (Tasa de cambio de la utilidad) En el ejercicio 51, los costos de la compaa son de

(225+60 x ) dlares a fin de producir x unidades. Cuando el nivel de demanda alcanzo las

40 unidades y la demanda se incrementa a una tasa de 2 unidades por ao, determine la tasa en que esta cambiando la utilidad.

19. (Contaminacin de petrleo) El rea de una mancha circular de petrleo, que proviene de

la ruptura de un oleoducto, crece a razn de 30 kilmetros cuadrados por hora. Con cunta rapidez crece el radio cuando ste es de 5 kilmetros?

20. Se esta inflando un baln esfrico. Si el radio es de 10 pulgadas y esta creciendo a razn

de 2 pulgadas cada 5 segundos, con que razn crece el volumen?

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21. (Teora de nmeros) Determine dos nmeros cuya suma sea 10 y tales que su producto

sea mximo. 22. (Teora de nmeros) Encuentre dos nmeros con suma igual a 8, de modo que la suma de

sus cuadrados sea un mnimo. 23. (Teora de nmeros) Determine dos nmeros positivos cuya suma sea 75, tales que el

producto de uno por el cuadrado del otro sea mximo. 24. (Teora de nmeros) Determine dos nmeros positivos con suma igual a 12 de modo que

la suma de sus cubos sea un mnimo.