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A U S

Análisis Matemático II

Derivada y algunas aplicaciones

Mgter. Viviana Paula D’Agostini

Instituto Politécnico Superior General San Martín

Introducción Durante el transcurso del cuatrimestre se utilizarán diferentes apuntes de apoyo para el

desarrollo de las clases. Este material muestra sólo un compendio de los contenidos a

desarrollar, se presentan conceptos, propiedades, teoremas, ejemplos, ejercicios y

algunas demostraciones. El mismo se completará paulatinamente en el transcurso de las

clases.

Al final de cada apunte se encuentra la bibliografía sugerida para que el estudiante

recurra a ella para contribuir a una mejor comprensión de los temas.

Se sugiere al estudiante concurrir y participar activamente de las clases, plantear sus

dudas, interactuar con sus compañeros, asistir a los horarios de consulta, realizar las

actividades que se proponen y otras, que podrá encontrar en la bibliografía sugerida o en

otros medios.

Su estudio no debe limitarse a los apuntes de clase, ni a recordar una fórmula para el

cálculo inmediato. Es importante comprender las definiciones, conocer las diferentes

representaciones simbólicas, poder enunciar e interpretar propiedades y teoremas,

estableciendo relaciones entre los mismos.

El alumno debe asumirse como estudiante terciario, comprometiéndose

responsablemente con el estudio.

Seguramente encontrará dificultades, que no deben desalentarlo. Por el contrario,

superar las mismas tiene que ser un desafío.

TEMARIO

Recta tangente. Derivada de ua función en un punto. Función derivada. Derivadas de

orden superior. Álgebra de las derivadas. Regla de la cadena. Aplicaciones de la

derivada. Valores máximos y mínimos. Teorema del valor extremo. Teorema de Fermat.

Punto crítico. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio de Lagrange. Funciones

monótonas. Criterio de la derivada primera. Criterio de la derivada segunda. Regla de

L’Hopital.

Ejercicios.

Bibliografía.

Análisis Matemático II Mgter. Viviana Paula D’Agostini

1

Derivada

Si f es una función definida en un intervalo abierto I, y queremos hallar la recta

tangente a la curva en el punto P( 0x , )( 0xf ) donde Ix 0 , entonces consideremos otro

punto de I, Q ( hx 0 , )( 0 hxf ), donde hxx 00 , podemos calcular la pendiente

de la recta secante PQ: h

xfhxfm pq

)()( 00 (cociente incremental).

Considerando puntos iQ más cercanos a P a lo largo de la curva y haciendo que hx 0

tienda a 0x , definimos la recta tangente a P como la recta que contiene a P y tiene

pendiente )(')()(

000

0lim xf

h

xfhxfm

h

, siempre que exista este límite.

Una ecuación correspondiente a la recta tangente resulta: )())((' 000 xfxxxfy


2

Dada la función 1)( 2 xxf busquemos una ecuación de la recta tangente en el punto

de abscisa 20 x .

h

hh

h

h

h

fhf

hhh

14142)12(1)2()2()2( 22

0

22

00limlimlim

)2('4)4()4(4

limlimlim00

0

0

2

0

fhh

hh

h

hh

hhh

hmxy

hxy 4

recta)5,2(

185 hh

34 xy

Propuesta 1. Resolver los ejercicios 1 y 2.

Dada una función f si en algún valor de su dominio no existe el límite del cociente

incremental, se dice que la función no es derivable en ese valor.

Ejemplo 1: 3)( xxf

3 20

32

0

3

0

33

00

100)0()0(limlimlimlimlim

hh

h

h

h

h

h

fhf

hhhhh

f

t


3

h

fhf

h

fhf

hh

)0()0()0()0(limlim

00

La recta de ecuación 0x es tangente vertical a la curva.

Ejemplo 2: 3

2

)( xxf

31

0

31

0

3

2

0

3

2

3

2

00


h

hh

h

h

h

h

fhf

hhhhh

31

0

31

0

3

2

0

3

2

3

2

00


hh

h

h

h

h

h

fhf

hhhhh

El punto (0,0) es llamado punto cuspidal del gráfico.


4

Función derivada

h

xfhxfxf

h

)()()(' lim

0

es la función derivada de )(xf si dicho límite existe. El

dominio de 'f está formado por los x del dominio de f para los cuales )(' xf ,

DfDf ' .

Como 'f es una función, llamada función derivada de f , o función derivada primera

de f , si se aplica el mismo razonamiento anterior, puede buscarse su función derivada,

que se llamará función derivada segunda de f y se notará ''f . En general, si existe

1nf , se llama derivada enésima nf de la función f a la función derivada de 1nf .

Ejemplo 1: Sea 98)( 2 xxxf encuentre 'f , ''f y '''f .

h

xxhxhx

h

xfhxf

hh

)98(9)(8)()()( 22

00limlim

h

hhx

h

hhxh

h

xxhxhxhx

hhh

)82(82989882limlimlim

0

0

0

2

0

222

0

)('82)82(lim0

xfxhxh

h

xhx

h

xhx

h

xfhxf

hhh

82822)82(8)(2)(')('limlimlim

000

)(''222

limlim00

xfh

h

hh

)('''022)('')(''

limlim00

xfhh

xfhxf

hh

Sobre este ejemplo podemos concluir que: 0...)()( xfxf VIV

Ejemplo 2: Sea xxg )( encuentre 'f .

xhx

xhx

h

xhx

h

xhx

h

xghxg

hhhlimlimlim

0

0

000

)()(


5

)('2

1

)(

1

)()(limlimlim

000

xgxxhxxhxh

h

xhxh

xhx

hhh

Nota: de forma similar puede obtenerse

Si )()( xsenxf su función derivada es )cos()(' xxf

Si )cos()( xxh su función derivada es )()(' xsenxg

Propuesta 2. Resolver el ejercicio 3.

Teorema: Si f es una función constante cxf )( entonces f es derivable en todo su

dominio y su función derivada es 0)(' xf

00)()(

limlimlim000

hh

cc

h

xfhxf

hhh

Teorema: Si f es la función identidad xxf )( entonces f es derivable en todo su

dominio y su función derivada es 1)(' xf

11)()(

limlimlimlim0000

hhhh h

h

h

xhx

h

xfhxf

Teorema: Si una función es derivable en 0xx entonces es continua en 0xx .

Nota: Si una función es continua en 0xx no implica que sea derivable en 0xx .

xxf )(

11limlimlim000

hhh h

h

h

h

11limlimlim000

hhh h

h

h

h

No existe el límite del cociente incremental en

0x , por lo tanto xxf )( no es una

función derivable en ese valor, a pesar de ser

una función continua en 0x . El punto (0,0)

es anguloso. No existe recta tangente en (0,0).

h

h

h

h

h

fhf

hhhlimlimlim

000

00)0()0(


6

Álgebra de las derivadas Teorema Si f y g son funciones derivables entonces vale que:

)(')(')()'( xgxfxgxf

)(')(')()'( xgxfxgxf

)(').()().(')()'.( xgxfxgxfxgf

kxfkxfk )('))'(( constante

2

'

)(

)(').()().(')(

xg

xgxfxgxfx

g

f

siendo 0)( xg

Teorema. Si nxxf )( con Rn entonces f es derivable y 1)(' nnxxf

Ejemplo 1: 5)( xxf entonces 45)(' xxf

Ejemplo 2: 2

1

)( xxg entonces x

xxg2

1

2

1)(' 2

1

Ejemplo 3: 6)( xxh entonces 76)(' xxh

Teorema Si el recorrido de la función g está contenido en el dominio de la función f ,

puede considerarse la función compuesta ))(())(( xgfxgf . Si la función g es

derivable en 0xx del dominio de g y la función f es derivable en )( 0xg del

recorrido de g entonces la función gf es derivable y )(')).((')()'( 000 xgxgfxgf

(Regla de la cadena).


7

Ejemplo 1: )()( 2xsenxf entonces xxxxxf 2).cos()').(cos()(' 2

Ejemplo 2: 43)( xxg entonces 3

4

4

412.

32

1)'3(

32

1)(' x

xx

xxg

Tabla de derivadas:

)(xf )(' xf

k cte 0 nx 1nnx

)()( xhxg )(')(' xhxg

)()( xhxg )(')(' xhxg

)().( xhxg )(').()().(' xhxgxhxg

)(

)(

xh

xg

2)(

)(').()().('

xh

xhxgxhxg

fk 'fk

x

x2

1

xe xe xln

x

1

senx xcos xcos senx

tgx x2sec

Propuesta 3. Utilizando la tabla de derivadas, resuelva los ejercicios 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Aplicaciones de la derivada

Valores Máximos y Mínimos - Una función f tiene un máximo absoluto (o global) en c si Dfxxfcf )()( .

El número )(cf es llamado valor máximo de f en su dominio.

f tiene un mínimo absoluto en c si Dfxxfcf )()( . )(cf es llamado el valor

mínimo de f en su dominio.

- Una función f tiene un máximo local (o relativo) en c si )()( xfcf para todo x en

algún intervalo abierto que contiene a c.


8

f tiene un mínimo local en c si )()( xfcf para todo x en algún intervalo abierto que

contiene a c.

- Se llaman valores extremos de una función a los valores máximos y mínimos locales

o absolutos de la misma.

Ejemplo 1: Sea f definida en [a,b]:

)(],[)( localmínimoesnobaenfdeabsolutomínimoesaf

baenfdelocalmáximoyabsolutomáximoescf ,)( 1

baen

fdelocalmínimounescflocalmáximounescflocalmínimounescf

,

)(,)(,)( 432

Ejemplo 2:

RDfxxf 1)3()( 2

f no tiene máximo absoluto, ni relativo.

fdeabsolutoylocalmínimounesf 1)3(


9

Ejemplo 3: 42

1)(

xxf

2)42(

2)(',,,

x

xxfRenderivableycontinuaparesfRDf

f no tiene intersección con el eje x, 4

1)0( f , 0:,0lim

yAHf

x

4

1)(00,

4

1

4

1440

222

xfx

xxx

4

1)0( f es máximo absoluto y relativo. f no tiene mínimo absoluto, ni relativo.

Teorema del valor extremo Si f es continua en [a,b] entonces f alcanza un valor máximo absoluto )(cf y un

valor mínimo absoluto )(df con c y d en [a,b].

Ejemplos: Las siguientes gráficas corresponden a funciones definidas en [a,b]


10

En los ejemplos 2 y 3 haciendo un breve estudio de la función y graficándola pudimos

encontrar los valores extremos, pero para algunas funciones no resulta tan sencillo

hallarlos.

Teorema (de Fermat) Si f es derivable en c y alcanza un máximo o mínimo local en c (interior al dominio

de f ) entonces 0)(' cf .

Nota: este teorema sugiere que se puede empezar a buscar los valores extremos de f en

los valores de c , donde 0)(' cf o donde )(' cf no existe.

En el ejemplo 3:

0,,)4(

2)(

22'

xenmáximountienefRenderivablef

x

xxf

0)0(' f , se verifica el teorema.

Nota: El recíproco del teorema de Fermat no es cierto para cualquier función. Es decir

que 0)(' cf no implica necesariamente que f tiene un máximo o mínimo en c .

Ejemplo 4:

RDfxxf 1)( 3 0)0(,3)( '2' fxxf .

En el punto (0,1) la gráfica tiene tangente

horizontal y no hay extremo.

Por lo tanto la condición de tener derivada nula

en un punto no asegura la existencia de extremo

para una función.


11

Veamos más ejemplos de funciones y sus valores extremos:

Ejemplo 5: RDfxxf 1)(

0)1( f es mínimo local y absoluto de f ,

pero no existe )1('f .

Ejemplo 6: RDfxxf 1)3()( 3

2

33

1'

3

1

3

2)3(

3

2)(

xxxf

1)3( f es un mínimo local y absoluto de f .

La función alcanza un extremo en un punto del dominio donde no es derivable.

Ejemplo 7:

1,2,)( 2 Dxxf

4 es el valor máximo absoluto y 0 el

mínimo absoluto y relativo de f .


12

Nota: Hemos visto ejemplos de funciones con valores extremos en:

- un punto interior al dominio de f donde la derivada se anula, (ejemplos 2 y 3)

- un punto interior al dominio de f donde 'f no está definida, (ejemplos 5 y 6)

- un extremo de un intervalo del dominio de f , (ejemplo 7)

Puntos críticos. Un valor crítico de una función f es un número c en el dominio de f

si 0)(' cf o )(' cf no existe. ))(,( cfc es llamado punto crítico.

Método del Intervalo cerrado

Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua f en un

intervalo cerrado ba, :

- Encuentre los valores de f en los valores críticos de f en ba, .

- Halle los valores de f en los extremos del intervalo.

- El mayor es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto de f .

Ejemplo 8: Encontrar los extremos absolutos de xxxxf 1232)( 23 en 2,3 .

2,3encontinuaesf

01266)( 2' xxxf 21 xyx

9)3(,42,20)2(,7)1( ffff

mínimof 7)1(

máximof 9)3(

Ejemplo 9: Encontrar los extremos absolutos de

23 )1(4)( xxxf en

2,

2

1.

0163

)187(4)(,2,

2

1

3 2

2'

x

x

xxxfencontinuaesf

'f no existe en cero y se anula en 7

11 xyx .

Por lo tanto los valores críticos son:

7

1,1,0 321 xxx .

,7

4

49

36

7

1,0)1(,0)0( 3

fff 2)2( f


13

.2

4

9

2

1 3

f . Luego: 2 es máximo absoluto y 3 2

4

9 es mínimo absoluto.

Ejemplo 10: .3,2,)( 3/2 DencontinuafDxxf

.,0,3

2

3

2)(' ''

3

3/1 anulasenuncafxenfexistenox

xxf

33 9)3(,4)2(,0)0( fff .

Luego 0 es el mínimo absoluto y 3 9 es el máximo absoluto de f .


Teorema de Rolle. Si f es continua en ba, , derivable en ba, y )()( bfaf

entonces existe c en ba, / 0)(' cf .

Al dibujar la curva correspondiente de una función que cumpla con las hipótesis del

teorema: si se traza la recta que pasa por los extremos de la curva, es posible hallar un

punto interior al intervalo donde la tangente a la gráfica es paralela a dicha recta.

Ejemplo 11: 3,03)( 23 enxxxf

f es continua en 3,0 , derivable en 3,0 ,

0)3()0( ff entonces

0)(/3,0 ' cfc

200)2(363)( 2' xxxxxxxf

0)2(3,00 ' fluegoxpero

0)(2 ' cfresultacendecires


14

Teorema del valor medio de Lagrange

Si f es continua en ba, , derivable en ba, entonces existe c en ba, /

ab

afbfcf

)()()(' .

El teorema expresa que existe por lo menos un punto ))(,( cfc sobre la gráfica donde la

pendiente de la recta tangente es la misma que la de la recta secante que contiene los

puntos ))(,( afa y ))(,( bfb .

Ejemplo 12: 2,0432)( 2 enxxxf

f es continua en 2,0 , derivable en 2,0 entonces existe c en 2,0 /

02

)0()2()('

ffcf

34)(,4)0(,6)2( ' xxfff

12

4634

02

)0()2(34)('

cc

ffccf

Por lo tanto, la recta tangente en el punto

(1,3) es paralela a la recta que pasa por los

puntos (0,4) y (2,6).

Corolario 1: Si 0)(' cf bax , entonces f es constante en ba, .

Corolario 2: Si )()( '' xgxf bax , entonces gf es constante en ba, ; es decir

cxgxf )()( donde c es constante.


15

Propuesta 5. Resolver los ejercicios 11 y 12. Funciones monótonas y criterio de la derivada primera Si una función derivable es creciente en un intervalo I, la derivada en cualquier punto

del mismo es positiva o nula. En cualquier punto del gráfico, la recta tangente al mismo

forma con el eje positivo de abscisas, un ángulo agudo o nulo. Por lo tanto, la pendiente

de la recta tangente, es un número positivo.

Si la función es decreciente, la recta tangente en cada punto del gráfico forma con el eje

positivo de abscisas un ángulo obtuso o llano. Por lo tanto la pendiente de la recta

tangente será negativa.

Teorema. Si f es continua en ba, y derivable en ba, entonces:

- si baencrecienteesfbaxxf ,,0)('

- si baenedecrecientesfbaxxf ,,0)('

Ejemplo 13: ,,)( 3 RDfxxf

Ren derivabley continua es f

2' 3)( xxf Rxxf 0)(' ,

luego f es creciente en todo su dominio.


16

Ejemplo 14:

,13)( 23 xxxf

)2(363)(, 2' xxxxxfRDf

f es continua y derivable en R.

)0,2(0)(' enxf

Por lo tanto: f es decreciente en )0,2( y

creciente en ),0()2( y


Criterios para determinar extremos locales Criterio de la derivada primera

Si c es un valor crítico de una función continua f que es derivable en todo punto de

algún intervalo que contiene a c , excepto posiblemente en c :

- si 'f cambia de positiva a negativa en c entonces f tiene un máximo local en c ,

- si 'f cambia de negativa a positiva en c entonces f tiene un mínimo local en c ,

- si 'f no cambia de signo en c entonces f no tiene un extremo local en c .


17

Retomando el ejemplo 14:

'f cambia de positiva a negativa en -2 entonces f tiene un máximo local en -2, 'f

cambia de negativa a positiva en 0 entonces f tiene un mínimo local en 0.

Criterio de la derivada segunda. Sea f una función tal ''f es continua en un intervalo

abierto que contiene a c interior a su dominio y 0)(' cf :

- si 0)('' cf entonces f tiene un máximo local en c ,

- si 0)('' cf entonces f tiene un mínimo local en c .

- si 0)('' cf , no se puede concluir nada, f puede tener un máximo local, un mínimo

local o ninguno de ellos.

Ejemplo 14: 223)( xxxxf

RenderivablefRDf ,

3

1101223)(' xxxxxf

043

1'',04)1('',26)(''

ffxxf

Por lo tanto 3)1( f es un máximo local de f y 27

49

3

1

f es un mínimo local.


18

Propuesta 7. Resolver los ejercicios 14 y 15.

Regla de L’hopital

Sean f y g derivables y 0)(' xg en un intervalo abierto que contiene a a (excepto

quizás en a).

Si

0)(lim xf

ax y

0)(lim xg

ax o

)(lim xf

ax y

)(lim xg

ax y existe

)(

)(lim '

'

xg

xf

ax entonces

)(

)(lim

)(

)(lim '

'

xg

xf

xg

xf

axax .

En la primera gráfica se muestran dos funciones derivables, cada una de las cuales

tiende a cero cuando x tiende a a. Con una amplificación en el punto (a,0) la gráficas se

verían casi lineales. Pero si las funciones fueran en realidad lineales, como en la

segunda gráfica, entonces su razón sería: 2

1

2

1

)(

)(

m

m

axm

axm

, la razón entre sus derivadas.

Ejemplos:

i) 3

14

12

26lim

2

1623lim

2

0

02

2

2

x

x

xx

xx

xx

3

14

12

3

8)2(3

lim

0

0

2

xx

xx

x

En este caso aplicar la regla de L’Hopital hizo más breve la resolución del mismo.


19

ii)

x

exee

x

exe

x

xex xxxxxx

xxx 6

)2(lim

3

1)2(lim

2)2(lim

0

00

0

00

0

00

23

6

1

6

)2(lim

0

xxxx

x

exeee

iii) 26

12lim

6

1012lim

33

106lim

53

752lim

2

2

3

23

xxxx x

x

x

xx

xx

xx

En este caso aplicar la regla de L’Hopital hizo extensa la resolución del mismo.

iv) 12 12

lim1

lim

0

0

0

0

0

x

e

xx

e xx

xx



20

EJERCICIOS 1) Hallar

a) )1('f si 8)( xxf b) )2(' g si 13)( 2 xxxg c) )0('t si 1

)(

x

xxt

2) Hallar una ecuación de la recta tangente a cada función en el valor indicado. Graficar

dicha recta y la función.

a) 2)( xxf , 30 x b) x

xg1

)( , 20 x c) xxs )( , 90 x

3) Hallar:

a) 'f y ''f si xxxf 35)( 2 b) 'g si x

xg1

)( c) 'h si 1)( xxh

d) 'r si 2

1)( 3 xxr e) 'm si 3)( xxm f) 'n si

2)1(

2)(

xxn

4) Para las siguientes funciones hallar la función derivada:

a) senxxxxa 35 3)( 13

2)(

x

xxb )53)(12()( xxxc

)cos(

4)()(

x

xsenxd

53

1)( 2 xsenx

xxxe

2

3

5

42)(

x

xxxf

)1)(3()( 23 xxxxg x

xxh

1

1)(

b) 32)( 21 xxf 83)(2 xsenxf 2cos)(3 xxf

134 )( xexf xsenxf 1)(5

233ln)( 23

6 xxxxf

4237 )53()( xxxxf

38 )cos()( xxsenxxf

5) Para las siguientes funciones hallar la función derivada:

xxxxi )2ln()6cos()( )35()( 2 xxsenxj 22 3)( xxxk

)5ln3cos()( 4 xxl )()( xsenxm 5))3cos(()( xsenxxn

)(ln)ln()( xsensenxxp 342 )2()3()( xxxxq

3

)1ln(3)(

2

xexr

x

)5cos()4()( 3 xexxsenxs

3

2143cos2

)(xx

xxxt

6) Hallar la función derivada primera y segunda:


21

a) 2

134)( 3 xxxf b)

2

1)(

xxh c) )3()( xsenxg

7) Hallar una ecuación de la recta tangente para cada una de las funciones dadas en el

punto de abscisa indicada:

a) 35)( 2 xxxf , 10 x b) 493)( 23 xxxxl , 30 x

8) Indicar para cada función, los puntos de la gráfica donde la tangente es horizontal:

a) 23)( 2 xxxf b) 56)( 3 xxxg

9) Indicar los puntos de la gráfica de la función xxxxf 369)( 23 donde la recta

tangente tiene pendiente 9.

10) Hallar los extremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos

indicados.

a) 8,1)( 3 xxf b) 1,24)( 2 xxf

c) 2,26233)( xxxf d) 3,253

2)( xxf

e) 1,34)( 2 xxf f) 4,14)( 34 xxxf

g)

4,

2

13)(

2

x

xxf

11) Hallar si es posible el valor c , correspondiente al teorema de Rolle, para:

a) 4,223)( 2 enxxxf b) 4,0104)( 34 enxxxh

c) 2,113)( 23 enxxxg

12) Hallar si es posible el valor de c , correspondiente al teorema del valor medio, para:

0,1)( 3 enxxxg

13) Indicar en qué subconjuntos del dominio las siguientes funciones son crecientes o

decrecientes, de acuerdo con el signo de su primera derivada:

523)( 2 xxxf 34)( xxxg xxxxh 2492)( 23

3)(

2

2

x

xxm


22

14) Hallar si existen extremos locales utilizando el criterio de la derivada primera para

las siguientes funciones: 41

5)(

xxf

103)( 2 xxxg

362)( 23 xxxh 33)( 2 ttxr

15) Hallar si existen extremos locales utilizando el criterio de la derivada segunda:

a) 63)( 23 xxxh b) xxxr 163)( 3 c) 312)( xxxs

16) Evaluar los siguientes límites:

a)

20

limx

senx

x b)

2lim

x

ex

x c)

2

0

cos1lim

x

x

x

d)

3

3

0

6lim

x

xxsenx

x e)

2

2

0

21cos

limx

xx

x f)

3

2

0

21

limx

xxex

x

17) Ejercicio complementario. Hallar la función derivada para cada una de las

siguientes funciones:

2

2

11

3cos)(

x

xxf

52

2342

)(2

3

2

x

xxxf

23ln13)( 2

3 xxxf

1)(

2

3

4

xx

exf

x

32ln)( 3

5 xxxsenxf 13cos2)( 3

6 xxxxf

86

2

12

3)(

2

2

7

xx

xsenxf

BIBLIOGRAFÍA

- Steward J. Cálculo. (2008). Sexta Edición. Cengage Learning.

- Thomas. Cálculo Una variable. (2005). Undécima edición. Pearson Addison Wesley.

- Rabuffetti Hebe T. (1995) Introducción al Análisis Matemático.

- Miguel de Guzmán. Análisis Matemático I. Editorial Anaya.

- Spivack Michael. (1988). Cálculo Infinitesimal. Editorial Reverté.

análisis matemático ii - usuarios.fceia.unr.edu.ardago/am ii/derivada.pdf · introducción...

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