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Matemáticas 2º Bachillerato Profesora: María José Sánchez Quevedo

1

APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA

1. CRECIMIENTO – DECRECIMIENTO. EXTREMOS RELATIVOS

Analicemos la siguiente función continua.

Definiciones

f es creciente en “x = x0” si existe un intervalo 𝐼 centrado en “x = x0” en el que cumple:

f(x0) ≤ f(x) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 𝐱𝟎 f(x) ≤ f(x0) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥 < 𝐱𝟎

f es decreciente en “x = x0” si existe un intervalo 𝐼 centrado en “x = x0” en el que cumple:

f(x0) ≥ f(x) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 𝐱𝟎 f(x) ≥ f(x0) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 𝑐𝑜𝑛 𝑥 < 𝐱𝟎

f tiene un máximo relativo en “x = x0” si existe un intervalo 𝐼 centrado en “x0” en el que se cumple: f(x0) > f(x) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼

f tiene un mínimo relativo en “x = x0” si existe un intervalo 𝐼 centrado en “x0” en el que se cumple: f(x0) < f(x) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼

Es posible que una función sea creciente en un punto y no sea derivable en di-cho punto (caso c, derivadas laterales ≥0 pero distintas), o que presente un mínimo relativo y su derivada no sea nula (caso k, derivadas laterales de signos contrarios, a izquierda < 0 y a derecha > 0).

Pero, si una función es derivable en un punto “x0”, hay una relación entre la monotonía y el signo de la derivada f´(x0).

f es creciente en a, b, c. f es decreciente en e, g, h. f presenta máximos relativos en d, j. f presenta mínimos relativos en i, k.


2

Relación entre el crecimiento-decrecimiento de una función f con el valor de su derivada primera f ’

a) Si la función f es derivable y creciente en

b) Si la función f es derivable y decreciente en 000 xfx

0

0 f 0 0

0

: para su demostración, ten en cuenta la definición y el significado geométrico de f'(x ):

f'(x ) = pendiente de la recta tangente a G en el punto (x , f(x ))

Supongamos que f es en , veamos

Nota

x

0

0

0

0

0

000 0

0 00

0

que valor tendría su derivada:

0lim =< ya que f es en cociente 0

0= lim 0

0lim = ya que f es en cociente 0

0

Supongamos que f es

x x

x x

x x

f x f xx

x xf x f xf x f x

x x f x f xx

x x

0

0

0

0

00

000 0

0 00

0

en , veamos que valor tendría su derivada:


0= lim 0


0

x x

x x

x x

x

f x f xx

x xf x f xf x f x

x x f x f xx

x x

Geométricamente veamos unos ejemplos gráficos:

0 0 en x con 0f f x 0 0 en x con 0f f x 0 0 en x con 0f f x

Criterio del signo de la derivada 1ª para identificar los intervalos de

Sea f derivable en x0, entonces sí:

0 0) 0 estrictamente a f x f es creciente en x

0 0) 0b f x f es estrictamente decreciente en x

0 0) 0 no se puede asegurar nada sobre el de en c f x f x

Ejemplos de situaciones gráficas:

000 xfx

0 0x , f x 0 0x , f x

0 0x , f x


3

0

0 f 0 0

0

0

: para su demostración, ten en cuenta la definición y el significado geométrico de f'(x ):

f'(x ) = pendiente de la recta tangente a G en el punto (x , f(x ))

a) Supongamos que > 0 :

= limx x

Nota

f x

f x

0

0

0

00 0 0

00

0 00 0 0

0

0

lim 0 < 0 a izquierda de

0

lim 0 > 0 a derecha de

Por lo tanto, si > 0 f es estrictamente creciente en

x x

x x

f x f xf x f x f x f x x

x xf x f x

x x f x f xf x f x f x f x x

x x

f x

0

0

0

0

0

00 0 0

000

0 00 0 0

0

x

b) Supongamos que < 0 :

lim 0 > 0 a izquierda de

= lim 0

lim 0 < 0 a derecha de

Por lo tanto, si

x x

x x

x x

f x

f x f xf x f x f x f x x

x xf x f xf x

x x f x f xf x f x f x f x x

x x

0 0

0

0

0

< 0 f es estrictamente decreciente en x

c) ¿Qué ocurre cuando 0?

Si es 0, entonces, no puede asegurarse nada, de entrada, sobre el comportamiento de f

en x , pues la función puede ser

f x

f x

f x

0 0

0

2

2

que sea creciente en x , decreciente en x , e incluso, que tenga

en x un extremo.

Los siguientes ejemplos lo confirma:

Consideremos las cuatro funciones siguientes:

( ) ( ) 2 (0) 0

( ) (

f x x f x x f

g x x g x

3 2

3 2

0

) 2 (0) 0

( ) ( ) 3 (0) 0

( ) ( ) 3 (0) 0

Observamos que, en todas ellas, x = 0 es un valor que anula a las derivadas primeras, (recta tangente

HORIZONTAL), sin embargo,el compo

x g

h x x h x x h

j x x j x x j

0rtamiento de cada una de ellas en x = 0 es muy diferente,

según se muestra en las gráficas:


4

2

0

( ) ( ) 2 (0) 0

para x = 0 la función f tiene un

mínimo relativo

f x x f x x f

2

0

( ) ( ) 2 (0) 0

para x = 0 la función f tiene un

máximo relativo

g x x g x x g

3 2

0

( ) ( ) 3 (0) 0

la función en x = 0

j x x j x x j

j es decreciente

3 2

0

( ) ( ) 3 (0) 0

la función h es creciente en x = 0

h x x h x x h

Definición de valor y punto crítico

Sea 0x un punto en el dominio de f, si f ‘( 0x ) = 0 o f ‘( 0x ) no está definida (esto es, f

no derivable) entonces a 0x se le denomina “valor crítico” y al par ( 0x , f ( 0x )) “punto

crítico”.

Condición necesaria de extremo relativo (máximo o mínimo)

Sea f una función derivable en 0x , entonces:

Si tiene en 0x un máximo o un mínimo

relativo 0 0f x

Esto es, los “candidatos a ser extremos”, en puntos en donde la función es derivable, se encuentran entre los puntos que anulan a la derivada primera.

xf


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Demostración: Si f tuviese en x0 un máximo relativo, entonces:

0 0

0

0 0

es x a izquierda 0 por lo que no tiene más remedio que ser 0

es en x a derecha 0

f en f xf x

f f x

Análogamente si f presentase en x0 un mínimo relativo, entonces:

0 0

0

0 0

es en x a izquierda 0 por lo que no tiene más remedio que ser 0es en x a derecha 0

f f xf x

f f x

Determinación de extremos relativos a través de la variación del signo de la deri-vada 1ª

Sea f una función derivable en 0x , siendo un valor crítico, esto es 00 xf , en-

tonces:

0) 0a f x a izquierda de x , 0( ) 0f x a derecha de x 0x es máximo relativo

0) ( ) 0b f x a izquierda de x , 0( ) 0f x a derecha de x 0x es mínimo relativo

Demostración:

0 0

0

0 0

0

0 " " de x f es a izquierda de x) x es

( ) 0 " " de x f es a derecha de x

0 " " de x f es a izquier)

Si f x con x a izquierdaa

Si f x con x a derecha

Si f x con x a izquierdab

máximo relativo

0

0

0 0

da de x x es min

( ) 0 " " de x f es a derecha de ximo

Si f x con x a derecharelativo

Identificación de máximos y mínimos relativos con el criterio de la derivada 2ª

Sea 0x un valor crítico, esto es 00 xf , entonces, 0 0si f x xf tiene

un extremo relativo en 0 , , :x además si

0) 0a f x f x tiene un mínimo relativo en 0x

0) 0b f x f x tiene un máximo relativo en 0x


6

Demostración:

0 0 0 0

0 0 0

) 0 LA FUNCIÓN DERIVADA , y como en x se anula ( ) 0,

entonces f' tendrá que " 0" "x" a izquierda de x , en x se anula ( ) 0,

f' "

a Si f x f es CRECIENTE en x f f x

ser negativa f x f f x

y pasará a ser p

0

0 0

0

0" "x" a derecha de x

( 0 a izqda de x ) ( 0 a decha de x )

f tiene en

ositiva f x

luego f cambia de ser decreciente f x a creciente f x

x un minimo relativo

0 0 0 0

0 0 0

) 0 LA FUNCIÓN DERIVADA , y como en x se anula ( ) 0,

entonces f' tendrá que " 0" "x" a izquierda de x , en x se anula ( ) 0,

f'

b Si f x f es DECRECIENTE en x f f x

ser positiva f x f f x

y pasará a ser

0

0 0

0

" 0" "x" a derecha de x

( 0 a izqda de x ) ( 0 a decha de x )

f tiene en

negativa f x

luego f cambia de ser creciente f x a decreciente f x

x un máximo relativo

2. CURVATURA

Cuando la curva queda por encima de la rec-ta tangente se dice que f es convexa en x0.

Cuando la curva queda por debajo de la recta

tangente se dice que f es cóncava en x0.

Relación de la curvatura con el valor de la segunda derivada Sea f una función dos veces derivable en x0, entonces, si:

f cóncava en 0 0 0x f x

f convexa en 0 0 0x f x

Demostración:

0 0 0 0f concava en 0 0x f es decreciente en x f x f x

0 0 0 0f convexa en 0 0x f es creciente en x f x f x

tg α1 < tg α

2 f '(x

1) < f '(x

2)

Las pendientes de las tangentes aumentan,

f ' es creciente

tg α1 > tg α

2 f '(x

1) > f '(x

2)

Las pendientes de las tangentes disminuyen, f ' es decreciente


7

Criterio para saber el tipo de curvatura a través del signo de la 2ª derivada Sea f una función dos veces derivable en x0, entonces, si:

0 0) 0 es c ncava en a f x f ó x

0 0) 0 es c en b f x f onvexa x

0 0) 0 no se puede asegurar nada acerca de la curvatura de en c f x f x

Demostración:

0 0 0) 0 es en es c ncava en a Si f x f x f ó x

0 0 0) 0 es en es c en b Si f x f x f onvexa x

Condición necesaria de punto de inflexión

Cuando la curva en un punto cambia de posición respecto a la tangente, es decir cambia el sentido de la concavidad, se dice que tiene un punto de inflexión en ese punto.

Si f x tiene un punto de inflexión en 0 0 0x f x

Esto es, los “candidatos a puntos de infle-xión” se encuentran entre los puntos que anulan a la derivada segunda.

Demostración:

0

0 0

0 0

que f tiene un en , :

a izquierda de x es 0por lo que tendrá que ser

a derecha de x es 0

Supongamos x convexo concavo entonces

f convexa f x

f cóncava f x

punto de inflexión

0 0f x

0

0 0

0 0

que f tiene un en , :

a izquierda de x es cóncava 0 por lo que tendrá que se

a derecha de x es convexa 0

Supongamos x concavo convexo entonces

f f x

f f x

punto de inflexión

0r 0f x


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Criterio para identificar puntos de inflexión a través del signo de la 2ª derivada

Sea f una función dos veces derivable en 0x , siendo un valor crítico, esto es

0 0f x , entonces:

0) 0 " " " "a f x para x a izquierda de x y 0( ) 0 " "f x para x a derecha de x

0x es punto de inflexión cóncavo-convexo.

0) ( ) 0 " " " "b f x para x a izquierda de x y 0( ) 0 " "f x para x a derecha de x

0x es punto de inflexión convexo-concavo.

Demostración:

0 0 0

0 0 0

0 " " de x f ' es a izquierda de x f es convexa a izquierda de x)

0 " " de x f ' es a derecha de x f es cóncava a derecha de x

Si f x con x a izquierdaa


0

0 0 0

0 0

x es un .

0 " " de x f ' es a izquierda de x f es cóncava a izquierda de x)

0 " " de x f ' es a derecha de x

Si f x con x a izquierdab


punto de inflexión cóncavo convexo

0

0

f es convexa a derecha de x

x es un .punto de inflexión convexo cóncavo

Identificación de punto de inflexión con el signo de la tercera derivada

Sea 0x un valor tal que 00 xf , entonces, si 00xf xf tiene

un punto de inflexión en 0x

a) Si 00xf xf tiene un punto de inflexión en 0x cóncavo-

convexo.

b) Si 00xf xf tiene un punto de inflexión en 0x convexo-

cóncavo.

c) Si 0 0f x no se asegura que xf tenga un punto de inflexión en 0x


9

Demostración:

0 0 0 0

0 0 0

) 0 LA FUNCIÓN DERIVADA SEGUNDA , y como en x es ( ) 0,

entonces f'' negativa " ( ) 0" para "x" a izquierda de x ,en x es ( ) 0,

para luego

a Si f x f es creciente en x f x

tendrá que ser f x f x

0

0

0 0

ser positiva " ( ) 0" para "x"a derecha de x

en presenta un inflexión ( ( ) 0) ( ( ) 0)

) 0 LA FUNCIÓN DERIVADA SEGUNDA , y c

pasar a f x

luego x f pto de concavo f x convexo f x

b Si f x f es decreciente en x

0 0

0 0 0

0

omo en x es ( ) 0,

entonces f'' positiva " ( ) 0" para "x" a izquierda de x ,en x es ( ) 0,

para luego ser negativa " ( ) 0" para "x"a derecha de x

en

f x

tendrá que ser f x f x

pasar a f x

luego 0 presenta un inflexión ( ( ) 0) ( ( ) 0)x f pto de convexo f x concavo f x

CRITERIO GENERAL Sea f una función indefinidamente derivable en el punto 0x

Si la primera derivada que no se anula en el punto 0x es de orden par ( 2n k )

entonces en 0x la función presenta un extremo relativo:

1) )0 0 0 0 0.......... 0 0 2n nf x f x f x f x y f x con n k

)0 0

)0 0

) 0 .

) 0 .

n

n

a Si f x en x f tiene un máximo relativo

b Si f x en x f tiene un mínimo relativo

Si la primera derivada, de orden superior a 1, que no se anula en el punto 0x

es de orden impar ( 2 1n k ) entonces en 0x la función presenta un punto de

inflexión:

1) )0 0 0 0.......... 0 0 2 1n nf x f x f x y f x con n k

)0 0

)0 0

) 0 .

) 0 .

n

n

a Si f x en x f tiene un punto de inflexión convexo cóncavo

b Si f x en x f tiene un punto de inflexión cóncavo convexo

OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES PARA RECORDARLAS

El signo de la derivada primera f’(x) nos informa sobre el crecimiento-decrecimiento de la función original f(x).

El signo de la derivada segunda f’’(x) nos informa sobre el crecimiento-decrecimiento de la función derivada primera f’(x).

El crecimiento-decrecimiento de la función derivada primera f’(x) nos informa so-bre la concavidad-convexidad de la función original f(x).

El signo de la derivada segunda f’’(x) nos informa sobre la concavidad-convexidad de la función original f(x).


1

Gráfca de f’’ - - - Gráfca de f’ …….. Gráfca de f ------



2




3




1

RESUMEN SOBRE MONOTONÍA, CURVATURA, EXTREMOS RELATIVOS

Relación entre el crecimiento-decrecimiento de una función f con el valor de su de-rivada primera f ’

c) Si la función f es derivable y creciente en

d) Si la función f es derivable y decreciente en 000 xfx

0 0 en x con 0f f x 0 0 en x con 0f f x 0 0 en x con 0f f x

Criterio del signo de la derivada 1ª para identificar los intervalos de

Sea f derivable en x0, entonces sí:

0 0) 0 estrictamente a f x f es creciente en x

0 0) 0b f x f es estrictamente decreciente en x

0 0) 0 no se puede asegurar nada sobre el de en c f x f x

Definición de valor y punto crítico

Sea 0x un punto en el dominio de f, si f ‘( 0x ) = 0 o f ‘( 0x ) no está definida (esto es, f

no derivable) entonces a 0x se le denomina “valor crítico” y al par ( 0x , f ( 0x )) “punto

crítico”.

000 xfx

0 0x , f x 0 0x , f x

0 0x , f x

2

0

( ) ( ) 2

(0) 0

para x = 0 la función

tiene un mínimo relativo

f x x f x x

f

2

0

( ) ( ) 2

(0) 0

para x = 0 la función

tiene un máximo relativo

g x x g x x

g

3 2

0

( ) ( ) 3

(0) 0

la función

en x = 0

j x x j x x

j

es decreciente

3 2

0

( ) ( ) 3

(0) 0

la función es creciente

en x = 0

h x x h x x

h


2

Condición necesaria de extremo relativo (máximo o mínimo)

Sea f una función derivable en 0x , entonces:

Si tiene en 0x un máximo o un mínimo relativo

0 0f x

Esto es, los “candidatos a ser extremos”, en puntos en donde la función es derivable, se encuentran entre los puntos que anulan a la derivada primera. Determinación de extremos relativos a través de la va-riación del signo de la derivada 1ª

Sea f una función derivable en 0x , siendo un valor crítico, esto es 00 xf , enton-

ces:

0) 0a f x a izquierda de x , 0( ) 0f x a derecha de x 0x es máximo relativo

0) ( ) 0b f x a izquierda de x , 0( ) 0f x a derecha de x 0x es mínimo relativo

Identificación de máximos y mínimos relativos con el criterio de la derivada 2ª

Sea 0x un valor crítico, esto es 00 xf , entonces, 0 0si f x xf tiene

un extremo relativo en 0 , , :x además si

0) 0a f x f x tiene un mínimo relativo en 0x

0) 0b f x f x tiene un máximo relativo en 0x CURVATURA Cuando la curva queda por encima de la recta tan-gente se dice que f es convexa en x0.

Cuando la curva queda por debajo de la recta tan-gente se dice que f es cóncava en x0.

xf

tg α1 < tg α

2 f '(x

1) < f '(x

2)

Las pendientes de las tangentes aumentan,

f ' es creciente

tg α1 > tg α

2 f '(x

1) > f '(x

2)

Las pendientes de las tangentes disminuyen, f ' es decreciente


3

Relación de la curvatura con el valor de la segunda derivada Sea f una función dos veces derivable en x0, entonces, si:

f cóncava en 0 0 0x f x

f convexa en 0 0 0x f x

Criterio para saber el tipo de curvatura a través del signo de la 2ª derivada Sea f una función dos veces derivable en x0, entonces, si:

0 0) 0 es c ncava en a f x f ó x

0 0) 0 es c en b f x f onvexa x

0 0) 0 no se puede asegurar nada acerca de la curvatura de en c f x f x

Condición necesaria de punto de inflexión Cuando la curva en un punto cambia de posición respecto a la tangente, es decir cambia el sentido de la concavidad, se dice que tiene un punto de inflexión en ese punto.

Si f x tiene un punto de inflexión en 0 0 0x f x

Esto es, los “candidatos a puntos de inflexión” se encuentran entre los puntos que anulan a la derivada segunda.

Criterio para identificar puntos de inflexión a través del signo de la 2ª derivada

Sea f una función dos veces derivable en 0x , siendo un valor crítico, esto es

0 0f x , entonces:

0) 0 " " " "a f x para x a izquierda de x y 0( ) 0 " "f x para x a derecha de x

0x es punto de inflexión cóncavo-convexo.

0) ( ) 0 " " " "b f x para x a izquierda de x y 0( ) 0 " "f x para x a derecha de x

0x es punto de inflexión convexo-concavo.

Identificación de punto de inflexión con el signo de la tercera derivada

Sea 0x un valor tal que 00 xf , entonces, si 00xf xf tiene

un punto de inflexión en 0x

a) Si 00xf xf tiene un punto de inflexión en 0x cóncavo-

convexo.

b) Si 00xf xf tiene un punto de inflexión en 0x convexo-

cóncavo.

c) Si 0 0f x no se asegura que xf tenga un punto de inflexión en 0x


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CRITERIO GENERAL Sea f una función indefinidamente derivable en el punto 0x

Si la primera derivada que no se anula en el punto 0x es de orden par ( 2n k )

entonces en 0x la función presenta un extremo relativo:

1) )0 0 0 0 0.......... 0 0 2n nf x f x f x f x y f x con n k

)0 0

)0 0

) 0 .

) 0 .

n

n

a Si f x en x f tiene un máximo relativo

b Si f x en x f tiene un mínimo relativo

Si la primera derivada, de orden superior a 1, que no se anula en el punto 0x

es de orden impar ( 2 1n k ) entonces en 0x la función presenta un punto de

inflexión:

1) )0 0 0 0.......... 0 0 2 1n nf x f x f x y f x con n k

)0 0

)0 0

) 0 .

) 0 .

n

n

a Si f x en x f tiene un punto de inflexión convexo cóncavo

b Si f x en x f tiene un punto de inflexión cóncavo convexo

OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES PARA RECORDARLAS

El signo de la derivada primera f’(x) nos informa sobre el crecimiento-decrecimiento de la función original f(x).

El signo de la derivada segunda f’’(x) nos informa sobre el crecimiento-decrecimiento de la función derivada primera f’(x).

El crecimiento-decrecimiento de la función derivada primera f’(x) nos informa so-bre la concavidad-convexidad de la función original f(x).

El signo de la derivada segunda f’’(x) nos informa sobre la concavidad-convexidad de la función original f(x).

aplicaciones de la derivada: monotonia y … · matemáticas 2º bachillerato profesora: maría...

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