APLICACIONES de la

DERIVADA

En

Administracin y Economa

VEAMOS LA SIGUIENTE SITUACIN

Un hotel tiene 71 habitaciones, el

gerente ha observado que cuando

la tarifa por habitacin es de 180

bolvares fuertes todas las

habitaciones son alquiladas, y por

cada 20 bolvares de aumento en

la tarifa, se desocupa una

habitacin. Si el mantenimiento

(limpieza, lavado, entre otros) de

cada habitacin es de 40 bolvares

fuertes,

El gerente del hotel desea

saber

Qu tarifa debe

cobrar para

obtener mxima

ganancia?

Cuntas

habitaciones se

deben ocupar con

esa tarifa que de

la mxima

ganancia?

Con el uso de las

derivadas, podemos

ayudar al gerente a

responder las

interrogantes

anteriores

Pero antes

debemos tener

conocimiento

sobre algunos

conceptos

relacionados con

economa

Estos son:

Ingreso (I) cantidad de dinero total que recibeuna empresa por la venta de sus productos o porprestar servicios. Se calcula multiplicando el nmerode productos vendidos o de servicios prestados por elprecio (p) del producto o servicio.

Ingreso promedio (Ip) es el ingresototal dividido entre el numero de artculos producidoso de servicios prestados.

Costo (C) inversin total que realiza unaempresa en la fabricacin de algn producto o lamanutencin de algn servicio que presta. Se puededividir en fijo o variable (dependiendo de la cantidadde unidades producidas o servicios prestados).

Costo promedio (Cp) es el costo totaldividido entre el numero de artculos producidos o deservicios prestados.

Ganancia o beneficio (G)Generalmente es la utilidad obtenida de una actividadeconmica. Se calcula restndole al ingreso total elcosto total de produccin y distribucin.

Ganancia o beneficio promedio(Gp) es la ganancia total dividida entre el numerode artculos producidos o de servicios prestados.

Tambin es importante que sepas

sobre

EL ANLISIS MARGINAL que estudia la razn de

cambio de las cantidades econmicas

As, debes tomar en cuenta las

siguientes definiciones:

Ingreso marginalRepresenta las entradas, ganancias o beneficiosde adicionales de una empresa por artculoadicional vendido o por servicio adicionalprestado cuando ocurre un incremento muypequeo en el nmero de artculos vendidos oel nmero de servicios prestados. Esto es la tazacon la que crece el ingreso con respecto alincremento en el volumen del volumen de ventaso del servicio prestado.

Costo marginalSe define como el valor lmite del costo promediopor artculo extra cuando este nmero de artculosextra tiende a cero. As se puede pensar el costomarginal como el costo promedio por artculo extracuando se efecta un cambio muy pequeo en lacantidad producida. Es decir, es el costo adicional alproducir un artculo extra por encima de un lmite deproduccin.

Ganancia marginalRepresenta la ganancia adicional por artculo, si laproduccin o el servicio prestado sufre un pequeoincremento.

Ahora bien, ya en conocimiento de esas definiciones podemos

representarlas matemticamente

Si llamamos X a la cantidadde producto que comercia oproduce una empresa , ocantidad de servicios que presta(suponga que es un soloproducto o que presta un soloservicio), sta representaranuestra variable.

Entonces

I(x) sera la funcin IngresoIp(x) sera la funcin Ingreso promedioC(x) sera la funcin costoCp(x) sera la funcin costo promedioG(x) sera la funcin GananciaGp(x) sera la funcin Ganancia promedio

Ya representadas simblicamente las

definiciones de inters, procedemos a

relacionarlas matemticamente

INGRESO (I)Es igual a la multiplicacin del nmero

de productos vendidos o servicios prestados por el precio de cada

producto o de cada servicio.

Simblicamente es:

I (x)= xp(x)

GANANCIA TOTALGanancia total es igual a la diferencia del ingreso total y el costo total del

producto o servicio prestado , es decir, a l ingreso total se le resta el costo

total y se obtiene el valor de la ganancia.

Simblicamente es:

G(x)= I(x)-C(x)

En relacin al anlisis

marginal

I(x) representa la funcin Ingreso MarginalC(x) representa la funcin Costo marginalG(x) representa la funcin Gananciamarginal

Si le damos a esta funciones marginales

su significado matemtico tendremos:

INGRESO MARGINAL I(x)

Si el nmero de artculos vendidos seincrementa de x a (x + x ), entonces, existe unincremento correspondiente en el ingreso dadopor:

I(x) = Nuevo ingreso Ingreso original = I(x + x) -I(x)

El incremento promedio en el ingreso por artculo adicional vendido, se obtienedividiendo entre el nmero de artculos adicionales, lo que da

El valor lmite de este promedio cuando da el ingreso marginal. As pues,el ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artculoadicional vendido o servicio adicional prestado cuando ocurre un incremento muypequeo en el nmero de artculos vendidos o servicios prestados. En conclusin elingreso marginal se define como la derivada I(x)

( )I x

x

0

( )( ) lim

x

I xI x

x

( )I x

0x

Se define c(x) como el costo total en funcin del nmerode artculos producidos x, el costo marginal se definepor:

Es claro que esta ecuacin no es otra cosa que la derivadade la funcin de costo con respecto a la cantidad producida.

La derivada G(x) se denomina gananciamarginal. Representa a utilidad adicional porartculo, si la produccin sufre un pequeoincremento.

Ya casi estamos listos para ayudar al gerente a responder sus interrogantes, pero antes, demos un repaso por lo que

hemos aprendido sobre mximos y mnimo de funciones

y el criterio de la primera y segunda derivada para hallarlos

Mximos y mnimos de una funcin

Criterio de la primera derivada para hallar mximos y mnimos

Criterio de la segunda derivada para hallar mximos y mnimos

Al fin estamos listos para comenzar a usas las derivadas para darle

respuesta a las interrogantes de la

situacin inicialRECORDEMOS

Un hotel tiene 71 habitaciones, el gerente

ha observado que cuando la tarifa por

habitacin es de 180 bolvares fuertes

todas las habitaciones son alquiladas, y

por cada 20 bolvares de aumento en la

tarifa, se desocupa una habitacin. Si el

mantenimiento (limpieza, lavado, entre

otros) de cada habitacin es de 40

bolvares fuertes.

el gerente del hotel desea

saber

Qu tarifa debe

cobrar para

obtener mxima

ganancia?

Cuntas

habitaciones se

deben ocupar con

esa tarifa que de

la mxima

ganancia?

Qu informacin

tenemos de la

situacin inicial

dada?

Podemos llamar x al nmero dehabitaciones desocupadas, entonces

(71-x) representa el nmero de

habitaciones ocupadas y x estacomprendida entre 0 y 71 incluyendo

estos valores extremos.

G(x) representa la gananciaque el gerente percibe delhotel

I(71-x) representa el ingreso que se percibe

multiplicando el nmero de habitaciones

ocupadas por la tarifa por el servicio

prestado. La tarifa del servicio prestado por

habitacin alquilada es de 180 bolvares

fuertes ms 20 bolvares que pueden

incrementarse por habitacin. Entonces, el

ingreso puede expresarse de la siguiente

manera:

I(x)=(71-x)(180+20x)

Adems recordemos que: G(x)= I(x)-C(x)

Adaptando esa expresin a la situacin planteada tenemos que :

G(x)=(habitaciones ocupadas)(tarifa porhabitacin)-40(habitaciones ocupadas)

Simblicamente se expresa como:

G(x)=(71-x)(180+20x)-40(71-x)

En ese sentido, la primera pregunta: Cuntas

habitaciones se deben ocupar con esa tarifa que

de la mxima ganancia? Puede interpretarse

como el valor mximo de G(x), que luego de

desarrollar los factores y operar nos queda:

Entonces hallamos elmximo de G(x)

2( ) 9940 1280 20G x x x

En primer lugar hallamos los puntos

crticos:

G(x)= 1280-40x (funcin ganancia marginal) en el intervalo [0, 71]

Evaluamos cundo G(X)=0, entonces 1280-40x=0

Despejando x tenemos que x= 32 (nico punto crtico y pertenece al intervalo [0, 71]

LUEGO, EN SEGUNDO LUGAR EVALUAMOS EN

G(x) los valores:

G(0), G(71) Y G(32)

Ganancia con todas las habitaciones

ocupadas

Ganancia con todas las habitaciones

desocupadas

GANANCIA MXIMA

2(0) 9940 1280.0 20.0 9940G

2

(71) 9940 1280 71 20 71 0G

2

(32) 9940 1280 32 20. 32 30420G

Esa ganancia se obtiene cobrando la

tarifa de:

180+20 (32)=660

bolvares fuertes por

habitacin

Ya que hemos encontrado

respuesta al primera interrogante,

responder la segunda pregunta

resulta trivial

Con la tarifa de 660

bolvares fuertes se alquilan

71-32=39 habitaciones

Ahora vamos a repasar los

pasos que implcitamente

seguimos para hallar la

respuesta a las interrogantes

planteadas y que seguiremos

usando en situaciones similares

prximamente

Las herramientas presentadas para esta situacin, permiten resolver un sin

nmero de situaciones relacionadas con la ganancia, el costo y el ingreso total de

cierto producto o servicio, de esta manera ests invitado a resolver los siguientes

problemas:

As, podemos concluir que

1.- Hallar la expresin algebraica de la

funcin teniendo en cuenta los datos

del problema.

2.-Si la funcin depende de ms de una variable, hay

que buscar relacionesentre ellas hasta poder dejar la funcin dependiendo de

una sola.

3.- Calcular los extremos de la

funcin (mximos y mnimos).

4.- Interpretar los resultados en el

contexto del problema.

Bibliografa Consultada

Senz, J. (2005). Clculo diferencial con funcionestrascendentales tempranas para ciencias eingeniera. Barquisimeto: Hipotenusa.Posada, G. (2008). Clculo, gua didctica ymdulo. Facultad de ciencias administrativaseconmicas y contables. Colombia: FundacinUniversitaria