Aplicaciones de la derivada al análisis de funciones.

Con el concepto de derivada se pueden estudiar algunas propiedades de carácter local de las

funciones, el estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las

mismas.

Crecimiento y decrecimiento de las funciones en un intervalo

Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a<x<b se cumple f‘ (x)>0,

entonces la función f es estrictamente creciente en el intervalo dado.

Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a<x<b se cumple f ‘(x) < 0,

entonces la función f es estrictamente decreciente en el intervalo dado.

Extremos locales

Un punto x0 es un extremo local (máximo o mínimo) de una función f, si el valor f(x0) es mayor

(máximo) o menor (mínimo) que todos los valores que toma la función en un intervalo del tipo

(x0-µ ;x0+µ).

Teorema

Para que una función derivable en x0 tenga un extremo local en x0 es necesario que se cumpla

f‘(x0)=0.

Como el crecimiento de f(x) está determinado por el signo de la derivada, entonces en

x0 encontramos:

Máximo local si f ‘(x) pasa de positiva a negativa.

Mínimo local si f ‘(x) pasa de negativa a positiva.

Teorema de la segunda derivada

Sea f una función dos veces derivable en x0. Si f ‘(x0) = 0 y f ‘‘(x0) ≠ 0 entonces f  tiene un extremo

local en x0.

Si f “(x0) >0 el extremo es un mínimo local.

Si f “(x0) <0 el extremo es un máximo local.

Concavidad y convexidad de una función

Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2,

f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.

Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

Condiciones analíticas de concavidad y convexidad

Si f “(x) >0 en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es cóncava en el intervalo (a, b).

Si f “(x) < 0 en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es convexa en el intervalo (a, b).

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde la función continua no es cóncava ni convexa sino que hay un

cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

Teorema

Sea y= f(x) la ecuación de una función.

Si f “(a) = 0 o f “(a) no existe, y la derivada f “(x) cambia de signo al pasar por el valor de x=a,

entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión. 

Para finalizar te invitamos que a ver la resolución de un ejercicio donde se integran los

conocimientos estudiados ingresando a la siguiente dirección:

https://www.youtube.com/watch?v=F7I9kRejPLI Aplicaciones