1.1. APLICACIÓN LINEALES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS

Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo K y una transformación lineal

Entonces:

1.

2.

3.

Sea

1.2. TEOREMA DE LA DIMENCION

Si es una aplicación lineal de una e.v. V de dim(V)=n en un e.v. W de

dim(W)=m, entonces:

Dim(V) =Dim(Nf) +Dim(Imgf)

TEOREMA:

Si es una aplicación lineal de una e.v. V de dim(V)=n en un e.v. W de

dim(W)=N, entonces:

a) si f es inyectiva, entonces f también es sobreyectiva

b) si fi es sobreyectiva, entonces f también es inyectiva

Ejemplo:

Ejemplo:

Sea

1.3. APLICACIÓN LINEAL INVERSA

Para que exista la aplicación lineal inversa ( , entonces la aplicación

lineal f debe ser biyectiva, es decir; f debe ser inyectiva y sobreyectiva.

Pasos para encontrar una aplicación lineal inversa

1. primero demostramos si es inyectiva y sobreyectiva, para esto calculamos el nucleo o la imagen de la aplicación lineal.

2. Demostramos que es biyectiva

3. A la matriz utilizada para encontrar la imagen, la escalonamos y reducimos con estos valores obtenidos remplazamos en la aplicación lineal inversa

Ejercicio:

u f(u)=w

1. primero demostramos si es inyectiva y sobreyectiva, para esto calculamos el nucleo o la imagen de la aplicación lineal.

(a,b) x+yt

2. Demostramos que es biyectiva

3. A la matriz utilizada para encontrar la imagen, la escalonamos y reducimos con estos valores obtenidos remplazamos en la aplicación lineal inversa

Determinar:

a) Si es Inyectiva

b) Si f es Sobreyectiva

c) Si f es Biyectiva

a) Por definición:

Teorema de la Dimensión:

a) Como:

b) Como:

c) Por

1.4. VECTOR DE COORDENADAS

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base

, para cada v ∈ V existen escalares únicos tales que:

1.5. COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE

El vector en V cuyas componentes son los coeficientes de v,

expresado como , se llaman coordenadas de un vector

respecto a una base o vector coordenado de v con respecto a B:

Sea llegamos a encontrar las coordenadas del vector v

de la base dada y se escribe de la siguiente forma:

Ejemplo:

Sea la base y encontrar

Sea la base y ,

encontrar

Sea la base canoníca y

, encontrar