APNDICE I A continuacin se deduce la expresin de las prdidas por corrientes parsitas o de Foucault

en una chapa magnetizada longitudinalmente. Se supone que la chapa se extiende una longitud l , que su ancho es a y su altura es h , tambin se supone que tanto la longitud como la altura, son mucho mayores que el ancho, lo que es normal en la prctica.

Las suposiciones anteriores permiten admitir que el flujo est uniformemente distribuido en toda la seccin transversal de la chapa, es decir que la induccin B es la misma en todos sus puntos y que el efecto pelicular es despreciable.

Para determinar las prdidas primero se determina la potencia que se disipa en un camino elemental, en el interior de la chapa, y luego se integra a todo el volumen de la misma. En la figura I.1 se muestra un esquema de lo dicho.

Y

X

Z

B

a

h

l

a/2 a/2

x dx

Figura I.1. Chapa y espira elemental.

El camino elemental tiene un ancho 2x , un espesor dx , se lo toma de una altura h igual a la altura de la chapa y se extiende a lo largo de toda la longitud l de la misma. Ese camino elemental es una espira en cortocircuito que concatena un flujo x , de valor: hxBx = 2 (I.1) entonces la fuerza electromotriz inducida en esa espira en cortocircuito, ser:

dtdBxh

dtde xx 2== (I.2)

la longitud de la espira vale:

(I.3) hxhlx 222 +y la seccin a travs de la cual circula la corriente es:

(I.4) dxlds =

1

siendo la resistividad del material de la chapa, la potencia que se pierde en esa espira elemental ser:

( ) dxxdtdBhldx

dtdB

lh

xhredp

x

xx

22222 2

22

=

==

(I.5)

Integrando esta expresin en todo el volumen de la chapa se obtiene el valor instantneo de la potencia disipada en la misma:

==2

0

222

0

2 aax dxxdt

dBhldpp (I.6)

23

12

=dtdBhlap [W] (I.7)

La dependencia temporal est dada por la derivada de la induccin respecto del tiempo. Si se divide por el volumen V de la chapa, resulta: (I.8) hlaV =

22

12

=dtdBap [W/m

3] (I.9)

Esta potencia instantnea se puede poner en funcin del valor instantneo de la tensin inducida e en la bobina de N espiras que est generando el flujo a travs del ncleo de seccin SFe :

dtdBSNe Fe= (I.10)

resultando:

2222

12e

SNap

Fe= [W/m3] (I.11)

La potencia activa se puede obtener como el valor medio, en un perodo, de la potencia instantnea, lo que da:

==T T

Fe

dteTSN

adtpT

P0 0

222

2 112

1 [W/m3] (I.12)

Donde el valor medio de la tensin inducida al cuadrado es el valor eficaz al cuadrado de la misma, entonces las prdidas por corrientes parsitas resultan:

2222

12E

SNaP

Fep = [W/m

3] (I.13)

Esta es una expresin de carcter muy general ya que es independiente de la frecuencia y de la forma de onda.

2

Para el caso armnico, se puede reemplazar el valor eficaz de la tensin inducida por la expresin (26) del apunte de Reactor:

mxFe BSNfE 22= (I.14)

lo que da:

222222

6 mxpmxpBfkBfaP ==

[W/m3] (I.15)

Norberto A. Lemozy

2006

3