antologia de metodos numericos imc
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Mtro. Ulises Girón Jiménez
2011Ingeniería Mecatrónica
ANTOLOGIA
METODOS NUMERICOS Clave: AEC – 1046
MTI ULISESGJ
[Escriba texto]
METODOS NUMERICOS
CLAVE: IEC - 1046
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Competencia a desarrollar
Competencias específicas:
Utilizar algoritmos numéricos para obtener soluciones aproximadas de modelos
matemáticos de interés en física e ingeniería que no se pueden resolver por métodos
analíticos, contando con elementos de análisis que le permitan elegir el método que
proporcione el mínimo de error dependiendo de las condiciones del problema, utilizando
como herramienta un lenguaje de programación.
Explicar, modelar y diseñar desde un punto de vista matemático el comportamiento de
los sistemas y procesos de físicos, químicos, térmicos, estructurales, manufactura,
eléctricos, magnéticos, electrónicos y computacionales.
Competencias genéricas:
Competencias instrumentales
Capacidad de análisis y síntesis
Comunicación oral y escrita
Habilidades básicas de manejo de la computadora
Habilidad para buscar y analizar información proveniente de fuentes diversas
Solución de problemas
Toma de decisiones.
Competencias interpersonales
Capacidad crítica y autocrítica
Trabajo en equipo
Habilidades interpersonales
Competencias sistémicas
Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica
Habilidades de investigación
Capacidad de aprender
Capacidad de generar nuevas ideas (creatividad)
Habilidad para trabajar en forma autónoma
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Búsqueda del logro
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Contenido
Competencia a desarrollar.................................................................................................................................................... 3
Objetivo general del curso..................................................................................................................................................... 6
Unidad 1. Introducción a los métodos numéricos........................................................................................................ 7
1.1 Conceptos básicos. Algoritmos y aproximaciones.................................................................................9
1.2 Tipos de errores: Error absoluto, error relativo, error porcentual, errores de redondeo y
truncamiento.................................................................................................................................................................. 15
1.3 Convergencia....................................................................................................................................................... 25
Unidad 2. Raíces de ecuaciones......................................................................................................................................... 26
2.1 Métodos de intervalos: Gráficos, Bisección y falsa posición................................................................26
2.2 Métodos abiertos: Iteración punto fijo, Método de Newton Raphson y Método de la secante.
Métodos para raíces múltiples................................................................................................................................ 34
2.3 Aplicaciones a la ingeniería mecánica......................................................................................................... 45
Unidad 3. Sistemas de ecuaciones lineales algebraicas..........................................................................................47
3.1 Método de eliminación Gaussiana.................................................................................................................. 47
3.2 Método de Gauss-Jordán..................................................................................................................................... 48
3.3 Estrategias de pivoteo........................................................................................................................................ 50
3.4 Método de descomposición LU.................................................................................................................... 51
3.5 Método de Gauss-Seidel.................................................................................................................................. 53
3.6 Método de Krylov.............................................................................................................................................. 58
3.7 Método de mínimos cuadrados................................................................................................................... 61
Unidad 4. Ajuste de curvas e interpolación.................................................................................................................. 64
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4.1 Polinomios de Interpolación: diferencias divididas de Newton.........................................................64
4.2 Polinomios de interpolación: de Lagrange................................................................................................74
4.3 Regresión por mínimos cuadrados: Lineal y Cuadrática.....................................................................77
4.4 Aplicaciones............................................................................................................................................................. 83
Unidad 5. Derivación e integración numérica............................................................................................................ 88
5.1 Derivación numérica............................................................................................................................................ 88
5.2 Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y 3/8.............................91
5.3 Integración de Romberg.................................................................................................................................. 106
5.4 Aplicaciones........................................................................................................................................................... 115
Unidad 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias........................................................................................................118
6.1 Fundamentos de ecuaciones diferenciales...............................................................................................118
6.2 Métodos de un paso: Método de Euler, Euler mejorado y Método de Runge-Kutta...............119
6.3 Aplicaciones a la ingeniería............................................................................................................................ 131
Bibliografía............................................................................................................................................................................. 133
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Objetivo general del curso
Utilizar algoritmos numéricos para obtener soluciones aproximadas de modelos
matemáticos de interés en física e ingeniería que no se pueden resolver por métodos
analíticos, contando con elementos de análisis que le permitan elegir el método que
proporcione el mínimo de error dependiendo de las condiciones del problema, utilizando
como herramienta un lenguaje de programación.
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Unidad 1. Introducción a los métodos numéricos.
Competencia específica a desarrollar
Reconocer los conceptos básicos que se emplean en los métodos numéricos.
¿Qué son los métodos numéricos?
Los métodos numéricos son una clase de técnicas para resolver una gran variedad de
problemas matemáticos. Estos problemas pueden, naturalmente, tener su origen como
modelos matemáticos o situaciones físicas. Este tipo de métodos son extraordinarios
puesto que solamente son empleadas operaciones aritméticas y lógicas; de esta manera
los cálculos pueden hacerse directamente o usando una computadora digital.
Aunque en el sentido estricto del término, cualquier cosa, desde los dedos hasta un ábaco,
pueden ser considerados como una computadora digital, sin embargo, aquí usaremos este
término para referirnos a computadoras electrónicas, las cuales han sido usas
razonablemente y en forma difusa, desde a mediados de 1950. Actualmente los métodos
numéricos preceden a las computadoras electrónicas por muchos años y, en realidad,
muchos de los métodos usados generalmente datan, en forma virtual, desde el inicio de
las matemáticas modernas; mas sin embargo, el uso de estos métodos fue relativamente
limitado hasta el advenimiento de la calculadora mecánica de escritorio y posteriormente
dramáticamente incrementada.
En un sentido real, los métodos numéricos vinieron a revolucionar las técnicas de
solución, de varios problemas complejos, con la introducción de la computadora
electrónica.
La combinación de métodos numéricos y las computadoras digitales han creado una
herramienta de inmenso poder en el análisis numérico.
Por ejemplo, los métodos numéricos son capaces de manejar la no linealidad, la
geometría compleja y sistemas grandes de ecuaciones simultáneas que son necesarios
para la simulación perfecta de muchas situaciones físicas reales. Las matemáticas
clásicas, junto con las matemáticas aplicadas más ingeniosas no pueden competir con
muchos de estos problemas en el nivel requerido por la tecnología de hoy en día. Como
resultado, los métodos numéricos han desplazado el análisis con las matemáticas clásicas
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en muchas aplicaciones industriales y de investigación; sin que ello signifique que las
instituciones deban dejar de incluir, en la formación de los estudiantes, esta temática.
Importancia de los métodos numéricos
El objeto de estudio del análisis numérico es la construcción y valoración de los métodos
numéricos que tienen como resultados un valor numérico.
Relación entre análisis numérico y métodos numéricos:
Algunas de las razones por las cuales se debe estudiar los métodos numéricos son los
siguientes:
Son algoritmos que establecen la secuencia de solución de sistemas de
ecuaciones de gran tamaño, con características de ser no lineales y geométricas
complicadas, porque la mayor parte de los problemas reales tienen este
comportamiento, y que por lo general su solución es muy complicada a través de
métodos analíticos.
Es importante que el futuro ingeniero tenga los conocimientos básicos de los
métodos más comunes, ya que en el transcurso de su carrera, tendrá la necesidad
de usar software comercial o implementar su propio software, que resuelvan los
algoritmos de problemas reales y que estén basados sobre algún método
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numérico.
Con los métodos numéricos el ingeniero usara la computadora como
herramienta, el cual es uno de los propósitos, porque el profesionista debe de
olvidarse de los cálculos, y enfocarse en el diseño y planteamiento de la solución
de los problemas.
Proporciona una mayor comprensión de las matemáticas, ya que reducen las
matemáticas superiores a operaciones básicas simples.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos, todos comparten una
característica común: invariablemente los métodos numéricos lleva a cabo un
buen número de tediosos cálculos aritméticos. Con el desarrollo de
computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos
en la solución de problemas de ingeniería haya aumentado considerablemente
en los últimos años.
1.1 Conceptos básicos. Algoritmos y aproximaciones
Algoritmo
Un algoritmo es un método para resolver un problema. Aunque la popularización del
término ha llegado con el advenimiento de la era informática, algoritmo proviene de
Mohammed al-Khowarizmi, matemático persa que vivió durante el siglo IX y alcanzo gran
reputación por el enunciado de las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir números
decimales; la tradicional latín del apellido de la palabra algorismus derivo posteriormente
en algoritmo. Euclides, el gran matemático griego (del siglo IV antes de Cristo) que invento
un método para encontrar el máximo común divisor de dos números, se considera con Al-
Khowarizmi el otro gran padre de la algoritmia ( ciencia que trata de los algoritmos).
La resolución de un problema exige el diseño de un algoritmo que resuelva el problema
propuesto.
Los pasos para la resolución de un problema son:
Diseño de algoritmo, que describe la secuencia ordenada de pasos que conducen a
la solución de un problema dado. (Análisis del problema y desarrollo del
algoritmo).
Expresar el algoritmo como un programa de lenguaje de programación adecuado.
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(Fase de codificación.)
Ejecución y validación del programa por la computadora.
Para llegar a la realización de un programa es necesario el diseño previo de algoritmo, de
modo que sin algoritmo no puede existir un programa.
Los algoritmos son independientes tanto del lenguaje de programación en que se expresan
como de la computadora que lo ejecuta. En cada problema el algoritmo se puede expresar
en un lenguaje diferente de programación y ejecutarse en una computadora distinta; sin
embargo, el algoritmo será siempre el mismo.
En la ciencia de la computación y en la programación, los algoritmos son más importantes
que los lenguajes de programación o las computadoras. Un lenguaje de programación es
tan solo un medio para expresar un algoritmo y una computadora es solo un procesador
para ejecutarlo. Tanto el lenguaje de programación como la computadora son los medios
para obtener un fin: conseguir que el algoritmo se ejecute y se efectúe el proceso
correspondiente.
Dada la importancia del algoritmo en la ciencia de la computación, un aspecto muy
importante será el diseño de algoritmos. El diseño de la mayoría de los algoritmos requiere
creatividad y conocimientos profundos de la técnica de la programación. En esencia, la
solución de un problema se puede expresar mediante un algoritmo.
Características de los Algoritmos
Las características fundamentales que debe cumplir todo algoritmo son:
Un algoritmo debe ser preciso e indicar el orden de realización de cada paso.
Un algoritmo debe estar definido. Si se sigue un algoritmo dos veces, se debe
obtener el mismo resultado cada vez.
Un algoritmo debe ser finito. Si se sigue un algoritmo se debe terminar en algún
momento; o sea, debe tener un numero finito de pasos.
La definición de un algoritmo debe definir tres partes:
Entrada
Proceso
Salida.
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Ejemplo de Algoritmo:
Un cliente ejecuta un pedido a una fábrica. Esta examina en su banco de datos la ficha del
cliente; si el cliente es solvente entonces la empresa acepta el pedido; en caso contrario
rechazara el pedido. Redactar el algoritmo correspondiente.
Los pasos del algoritmo son:
Inicio
Leer el pedido
Examinar la ficha del cliente
Si el cliente es solvente aceptar pedido; en caso contrario, rechazar pedido
Fin
Diseño del Algoritmo:
En la etapa de análisis del proceso de programación se determina que hace el programa.
En la etapa de diseño se determina como hace el programa la tarea solicitada. Los métodos
más eficaces para el proceso de diseño se basan en el conocido por Divide y Vencerás, es
decir, la resolución de un problema complejo se realiza dividiendo el problema en sub
problemas y a continuación dividir estos sub problemas en otros de nivel más bajo, hasta
que pueda ser implementada una solución en la computadora. Este método se conoce
técnicamente como diseño descendente (Top Down) o modular. El proceso de romper el
problema en cada etapa y expresar cada paso en forma más detallada se denomina
refinamiento sucesivo.
Cada sub programa es resuelto mediante un módulo (sub programa) que tiene un solo
punto de entrada y un solo punto de salida.
Cualquier programa bien diseñado consta de un programa principal (el módulo de nivel
más alto) que llama a sub programas (módulos de nivel más bajo) que a su vez pueden
llamar a otros sub programas.
Los programas estructurados de esta forma se dice que tienen un diseño modular y el
método de romper el programa en módulos más pequeño se llama Programación Modular.
Los módulos pueden ser planeados, codificados, comprobados y depurados
independientemente (incluso por diferentes programadores) y a continuación combinarlos
entre sí.
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El proceso implica la ejecución de los siguientes pasos hasta que el programa se termina:
Programar modulo.
Comprobar el modulo.
Si es necesario, depurar el modulo.
Combinar el modulo con los módulos anteriores.
El proceso que convierte los resultados del análisis del problema en un diseño modular con
refinamiento sucesivo que permitan una posterior traducción al lenguaje se denomina
diseño de algoritmo.
El diseño del algoritmo es independiente del lenguaje de programación en el que se vaya a
codificar posteriormente.
Aproximaciones
Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver
problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos
tradicionales y, ocasionalmente, son la única opción posible de solución.
Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente
operaciones aritméticas,… tediosos cálculos aritméticos.
Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que
asume la variable de interés; la repetición consistente de la técnica, a lo cual se le denomina
iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado.
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Aproximaciones numéricas.
Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que representa a un número cuyo
valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto X, será una
mejor aproximación de ese número.
Ejemplos:
3.1416 es una aproximación numérica de ,
2.7183 es una aproximación numérica de e,
1.4142 es una aproximación numérica de 2, y
0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.
El concepto de cifras o dígitos significativos se han desarrollado para designar
formalmente la confiabilidad de un valor numérico. El número de cifras significativas es el
número de dígitos más un digito estimado que se pueda usar con confianza.
Estas cifras proporcionan información real relativa a la magnitud y precisión de las
mediciones de una cantidad. El aumento de la cantidad de cifras significativas incrementa
la precisión de una medición. Los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden
usarse solo para ubicar el punto decimal. Los números
0.000 018 45
0.000 184 5
0.001 845
Tienen cuatro cifras significativas. La incertidumbre (duda) se puede desechar usando la
notación científica en donde:
4.53 x 104
4.530 x 104
4.5300 x 104
Muestran que el número tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su
precisión y exactitud.
La precisión es el grado de concordancia dentro de un grupo de mediciones o instrumentos.
Ya que el número de cifras significativas que representa una cantidad o la extensión en las
lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La precisión se
compone de dos características: conformidad y el número de cifras significativas con las
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cuales se puede realizar la medición.
La exactitud se refiere al grado de aproximación o conformidad al valor real de la cantidad
medida.
Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando una analogía con un buen tirador
al blanco. Los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema de la figura
siguiente se pueden imaginar como las predicciones en una técnica numérica, mientras que
el centro del blanco de cada esquema representa la verdad. La inexactitud (conocida
también como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad. Por lo tanto,
aunque las balas en la figura c están más juntas que las de la figura a, los dos casos son
igualmente inexactos ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco.
La precisión, por el otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas. Por lo
tanto, aunque las figuras b y d son igualmente exactas (esto es, igualmente centradas
respecto al blanco), la última es más precisa ya que las balas están en un grupo más
compacto.
Figura: Un ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y precisión. a)
Inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso; e) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.
1.2 Tipos de errores: Error absoluto, error relativo, error porcentual, errores de redondeo y truncamiento.
Definición de error
Es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud obtenida.
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Si p∗¿ ¿ es una aproximación a p , el error se define como
E=p−p∗¿ ¿
Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido
como
EA=¿¿
y el error relativo como
ER=¿¿¿¿ si p≠0
y cómo por ciento de error a
ERP=(ER )100
Error aproximado
|∈a|=|aproximacionactual−aproximacionanterior
aproximacionactual
|x 100
Problema: Suponga que el valor para un cálculo debería ser
p=0. 10 x102 Pero se obtuvo el resultado p
¿=0 . 08x 102, entonces
EA=|0 . 10x 102−0 .08 x 102|=2
ER=|0 .10 x102−0. 08 x102|0. 10 x102
=0 .2
ERP=ERx 100=20%
Error por redondeo.
Este error es el resultado de representar aproximadamente números exactos. Es decir, se
debe a la omisión de algunas de las cifras significativas de algún valor específico. Un
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ejemplo de donde sucede se da en las computadoras o calculadoras, que solo guardan un
número finito de cifras significativas, cuyo máximo de dígitos o de cifras significativas son
de 8 a 14 lo cual obliga a redondear el valor real.
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un número finito
de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de
maneras diferentes. Por ejemplo, si solo se guardan siete cifras significativas, la
computadora puede almacenar y usar P como P = 3.141592, omitiendo los términos
restantes y generando un error de redondeo.
Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los
errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del
porque pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:
Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una
respuesta. Además, estos cálculos a menudo depende entre sí. Estos es, los cálculos
posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de
redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de
la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.
El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones
algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que
este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar
de mucha importancia.
En el redondeo se conservan las cifras significativas y el resto se descarta.
El último dígito retenido se aumenta en uno si el primer dígito descartado es ¿ 5 , si no
fuera así, el dígito conserva su valor.
La importancia de las cifras significativas de los cálculos algebraicos.
Determínese la diferencia de dos números grandes: 32981108.1234 y 32981107.9989.
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Enseguida, repítase los cálculos pero incrementándose el minuendo en in 0.001%.
Solución:
La diferencia de los números es:
Ahora incrementando el minuendo en un 0.001 % se obtiene el número 32 981 437.934 5 y
la diferencia es:
Que es considerable diferente de la primera. De aquí que una modificación en el minuendo,
aparentemente insignificante, provoca una gran diferencia en el resultado.
Problema: Ilustraciones de las reglas de redondeo
Los siguientes ejemplos tienen por objeto ilustrar las reglas de redondeo analizados.
1. Errores de redondeo
5.6723 5.67 3 cifras significativas10.406 10.41 4 cifras significativas7.3500 7.4 2 cifras significativas88.21650 88.217 5 cifras significativas1.25001 1.3 2 cifras significativas
2. suma y resta
2.2 – 1.768 = 0.432 = 0.4
0.00468 x 10 -7 + 8.3 x 10 -4 –228 x 10-6 =6.02468 x 10 –4 = 6.0 x 10 -4 se redondea hasta el 3
porque nos indica que es el valor para redondeo
3. multiplicación y división
Evalúese
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0.0642 x 4.8 = 0.30816 = 0.31
945/0.3185 = 2967.032967= 2970
Las siguientes reglas pueden aplicarse al redondear números, cuando se realizan cálculos
a mano.
Primera: En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El
último dígito que se conserva se aumenta en uno, si el primer dígito descartado es mayor
de “5”; de otra manera se deja igual, pero si el primer dígito descartado es “5” ó “5”
seguido de ceros, entonces el último dígito retenido se incrementa en uno, sólo si es par.
Segunda: En la suma y la resta, el redondeo se lleva a cabo de forma tal que, el último
dígito retenido en la respuesta corresponda al último dígito más significativo de los
números que están sumando o restando. Nótese que un dígito en la columna de las
centésimas es más significativo que uno de la columna de las milésimas.
Tercera: Para la multiplicación y para la división, el redondeo es tal que, la cantidad de
cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas
que contiene la cantidad en la operación.
Cuarta: Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales. Se
puede sumar o restar el resultado de las multiplicaciones o de las divisiones.
Errores de truncamiento.
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una sucesión finita o infinita
de pasos en el cual se realizan cálculos para producir un resultado exacto, se trunca
prematuramente después de un cierto número de pasos.
Truncar la siguiente cifra hasta centésimos, o hasta que sean dos las cifras significativas:
√7 = 2 . 645751311 √7 ≈ 2 .64
Como podemos ver, en este tipo de error, lo que se hace es omitir algunas de las cifras de
una cantidad, debido a que esta contiene muchos decimales, entonces se trunca o corta el
número, por lo que también cae en un error.
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Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar
de un procedimiento matemático exacto. Estos errores se regresan a la formulación
matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar funciones en
forma polinomial.
La serie de Taylor
La serie de Taylor da una formulación para predecir el valor de la función en x i+1 en
términos de la función y de sus derivadas en una vecindad al punto x i .
Por ejemplo: el primer término de la serie es conocida como aproximación de orden cero.
f ( xi+1 )≃f ( xi )
Aproximación de primer orden.
f ( xi+1 )≃f ( xi )+ f '( x i )h Donde h=( x i+1−x i )
Aproximación de segundo orden.
f ( xi+1 )≃f ( xi )+ f '( x i )h+f ' '( x i )
2 !h2
Donde h=( x i+1−x i )
De esta manera se puede agregar términos adicionales para desarrollar la expansión
completa de la serie de Taylor.
f ( xi+1 )≃f ( xi )+ f '( x i )h+f ' '( x i )
2 !h2+
f (n )( x i)n!
hn+Rn
Se incluye un término residual para considerar todos los términos desde n + 1 hasta el
infinito:
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Rn=f (n+1)(ξ )(n+1 )!
hn+1
Donde el subíndice n indica que el residuo es de la aproximación a n-ésimo orden y ξ es
un valor cualquiera de x que se encuentra en x i y
x i+1
Ejemplos:
Problema: La función exponencial se puede calcular usando:
e x=1+x+ x2
2!+ x3
3 !+ x4
4 !+.. .
Mientras más términos se le agreguen a la serie, la aproximación se acercara más y más al
valor de Îx . La ecuación anterior se le llama serie de Maclaurin.
Empezando con el primer término, e x = 1, y agregando un término a la vez, estímese el
valor de e 0.5 .
Después que se agregue cada terminó, calcúlense los ERP y |∈a|. Nótese que el valor real
de e0 .5=1 .648721271 , agréguense términos hasta que
|∈a|<∈s contempla tres
cifras significativas.
Solución
Î s = (0.5 x 10 2 – 3 ) % = 0.05 %
Por lo tanto, se agregaran términos a la serie hasta que Î a se menos que este nivel.
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ER=¿¿¿¿ si p≠0 ERP=(ER )100
|∈a|=|aproximacionactual−aproximacionanterior
aproximacionactual
|x 100
Ejemplo:
La expansión en serie de Maclaurin para el cos x es:
Cosx=− x2
2!+ x4
4 !− x6
6 !+ x8
8 !−⋯
Iniciando con el primer término Cos x = 1 , agréguense los términos uno a uno para
Estimar cos
π3 . Después que se agregue cada uno de los términos, calcúlense los errores
porcentuales relativos, exactos y aproximados .Úsense una calculadora para determinar el
valor exacto. Agréguense términos hasta el valor absoluto del error aproximado falle bajo
cierto criterio de error, considerando dos cifras significativas.
Solución:
Î s = (0.5 x 10 2 – 2 ) % = 0.5 %
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Ejemplo:
Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor.
Enunciado del problema: úsense términos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden
para aproximar la función:
f ( x )=−0 . 1x 4−0 .15 x3−0 .5 x2−0 .25 x+1. 2 Desde el punto x i=0
y con h = 1.
Esto es, predecir el valor de la función en x i+1=1 .
Solución:
Ya que se trata de una función conocida se puede calcular valores f(x) 0 y 1
Los resultados indican que la función empieza en f(0)=1.2 y continua hacia abajo hasta
f(1)=0.2. Por lo tanto el valor que se trata de predecir es 0.2.
Orden Derivada Aproximaciones
0 - 1.2
1 -0.25 0.95
2 -1 0.45
3 -0.9 0.3
4 -2.4 0.2
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Ejemplo:
Uso de la serie de Taylor para aproximar una función que tiene un número infinito de
derivadas. Úsense los términos de la serie de Taylor con n = 0 hasta 6 para aproximar:
f ( x )=cos x
En x=π /3 (60 ° ) con base al valor de f(x) y de sus derivadas alrededor del punto
x=π /4 (45 ° ).Nótese que esto significa que h=π
3−π
4= π
12
Solución:
El valor exacto
Orden Derivada Aproximaciones
0 - 0.707106781
1 -Sen(x) 0.521986659
2 -cos(x) 0.497754491
3 Sen(x) 0.499869147
4 Cos(x) 0.500007551
5 -Sen(x) 0.500000304
6 -Cos(x) 0.499999988
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1.3 Convergencia
La convergencia es la propiedad que tienen algunas sucesiones de tender a un límite. En
métodos iterativos como los numéricos, se construye una sucesión Sn de aproximaciones a
la solución del problema. Se entiende por convergencia de un método numérico la
garantía de que, al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones
obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.
En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteraciones
que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de
convergencia.
Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y
es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; esto
es, se alejan cada vez más del resultado deseado. En la medida en la que un método
numérico, ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más
seguro que converja que otro, se dice que tiene una mayor estabilidad. Es común encontrar
métodos que convergen rápidamente, pero que son muy inestables y, en contraparte,
modelos muy estables, pero de lenta convergencia.
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Unidad 2. Raíces de ecuaciones.
Competencia específica a desarrollar
Aplicar los distintos métodos numéricos para la búsqueda de raíces de ecuaciones en la
solución de problemas de ingeniería mecánica y Mecatrónica.
2.1 Métodos de intervalos: Gráficos, Bisección y falsa posición
Metodos de intervalo
A estas técnicas se les llama métodos que usan intervalos porque se necesitan de dos
valores iníciales para la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben encerrar o
estar uno de cada lado de la raíz. Los métodos particulares descritos sobre este punto
emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y
así converger a la respuesta correcta. Además de la utilidad de los métodos gráficos para
determinar valores iníciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las
funciones y el comportamiento de los métodos numéricos.
Gráficos
Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0
consiste en graficar y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor
de x para el cual f(x) = 0, proporciona una aproximación inicial de la raíz.
Ejemplo:
Empléese gráficas para obtener una raíz aproximada de la siguiente función:
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Ejemplo:
Empléese gráficas para obtener una raíz aproximada de la siguiente función:
Ejemplo.
Para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa
m = 68.1 kg. Tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t = 10 s. Nota la
aceleración de la gravedad es 9.8 m/s 2 . Determine su gráfica.
v (t )=gmc
(1−e−( c
m )t )Solución:
Este problema se resuelve determinando la raíz de la ecuación usando los parámetros:
t = 10, g = 9.8, v = 40 y m = 68.1
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f ( c )=gmc
(1−e−( c
m ) t)−v
f (c )=9 . 8(68 .1 )
c(1−e
−( c68 .1 )10)−40
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Bisección
Es un método de búsqueda incremental se aprovechan de esta característica para localizar
un intervalo donde la función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de
signo, se logra más exactamente dividiendo el intervalo en una cantidad definida de
subintervalos.
El método de bisección conocido también como de corte binario, de partición en dos
intervalos iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el
intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se
evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina
situándola en el punto medio del subintervalos dentro del cual ocurre un cambio de signo.
El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.
Criterio de convergencia.
Si el intervalo original es de tamaño a y el criterio de convergencia aplicado al valor
absoluto de la diferencia de dos xr consecutivas es ε , entonces se requerirán n iteraciones
, donde n se calcula con la igualdad de la expresión
a
2n≤ε
De donde :
n=ln (a )−ln (ε )ln (2 )
Por esto se dice que se puede saber de antemano cuantas iteraciones se requieren. O bien se
puede utilizar el siguiente criterio de convergencia |Ea|<ε
|Ea|=|aproxactual−aproxanterior|
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Algoritmo
Paso 1: Elija los valores iníciales inferior x1 y
xu de forma tal que la función cambie de
signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que:
f ( x1 ) f (xu )<0Entonces hay al menos una raíz entre
x1 y xu , ir al paso 2.
Entonces, no tiene raíz entre x1 y
xu , cambiar el intervalo o pase al
paso 4.
Paso 2: La primera aproximación a la raíz X, se determinan como:
xr=x1+xu
2
Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalos cae la
raíz
a ) f ( x1 ) f (xr )<0 ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos inferior o
izquierdo. Por lo tanto, tome xu=xr y continué en el paso 2.
b ) f ( x1 ) f (xr )>0 ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos superior o
derecho. Por lo tanto, tome x1=xr y continué en el paso 2.
c ) f ( x1 ) f (xr )=0 ; La raíz es igual a
xr ; termina el cálculo. Pase al paso 4
Paso 4: Fin del calculo
Utilice el método de bisección para encontrar la raíz real de la siguiente función:
Solución:
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Utilice el método de bisección para encontrar la raíz real de la siguiente función:
Solución:
Falsa posición
Aunque el método de bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces,
su enfoque es relativamente ineficiente. Una alternativa mejorada es la de del método de la
regla falsa (falsa posición) está basada en una idea para aproximarse en forma más
eficiente a la raíz. Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo x1 a xu en
mitades iguales, no se toma en consideración la magnitud de f ( x1 )y de f ( xu ) . Por
ejemplo, si f ( x1 ) esta mucho más cerca de cero que f ( xu ) , es lógico que la raíz se
encuentra más cerca de x1 que de
xu . Este método alternativo aprovecha la idea de unir
los puntos con una línea recta. La intersección de la línea con el eje de las x proporciona
una mejor estimación de la raíz. El reemplazamiento de la curva por una línea recta da
una “ posición falsa ” de la raíz , de aquí el nombre de método de la regla falsa o en latín ,
regula falsi. También se le conoce como método de interpolación lineal. Con el uso de
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triángulos semejantes, la intersección de la línea recta y el eje de las x se puede calcular de
la siguiente manera:
f ( x1)xr−x1
=f (xu )xr−xu
Figura: esquema grafico del método de la regla falsa. La fórmula se deriva de los triángulos
semejantes (áreas sombreadas)
Multiplicando en cruz la ecuación se obtiene
f ( x1 ) (xr−xu)=f ( xu ) (xr−x1)
agrupando termino y reordenando
xr [ f (x1)−f ( xu )]=xu f (x1)−x1 f (xu )
dividiendo entre
xr=xu f (x1)−x1 f (xu )
f (x1)−f (xu )
Se puede ordenar de una manera alternativa:
xr=f (x1) xu
f (x1)−f ( xu )−
f (xu )x1
f (x1 )−f ( xu)
Sumando y restando xu del lado derecho
xr=xu+f (x1) xu
f (x1 )− f (xu)−xu−
f (xu) x1
f (x1)− f ( xu)
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agrupando términos se obtiene
xr=xu+f (xu )xu
f (x1 )−f (xu)−
f (xu ) x1
f ( x1 )−f (xu)
xr=xu−f (xu) (x1−xu)f (x1)−f ( xu )
Esta es la fórmula de la regla falsa. El algoritmo es idéntico al de la bisección con la
excepción de que la ecuación se usa en los pasos 2. Además se usan los mismos criterios de
paro para detener los cálculos.
Paso 1: Elija los valores iníciales inferior x1 y
xu de forma tal que la función cambie de
signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que:
f ( x1 ) f (xu )<0Entonces hay al menos una raíz entre
x1 y xu , ir al paso 2.
Entonces, no tiene raíz entre x1 y
xu , cambiar el intervalo o pase al
paso 4.
Paso 2: La primera aproximación a la raíz X, se determinan como:
xr=xu−f (xu) (x1−xu)f (x1)− f ( xu )
Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalos cae la
raíz
a ) f ( x1 ) f (xr )<0 ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos inferior o
izquierdo. Por lo tanto, tome xu=xr y continué en el paso 2.
b ) f ( x1 ) f (xr )>0 ; Entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalos superior o
derecho. Por lo tanto, tome x1=xr y continué en el paso 2.
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c ) f ( x1 ) f (xr )=0 ; La raíz es igual a
xr ; termina el cálculo. Pase al paso 4
Paso 4: Fin del calculo
Ejemplo:
Utilice el método de falsa posición para encontrar la raíz real de la siguiente función:
Solución:
Ejemplo:
Utilice el método de falsa posición para encontrar la raíz real de la siguiente función:
Solución:
2.2 Métodos abiertos: Iteración punto fijo, Método de Newton Raphson y Método de la secante. Métodos para raíces múltiples.
Iteración punto fijo
Dada la ecuación f(x) = 0, el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta
ecuación por una equivalente, x=g ( x ) definida en la forma g ( x )=f ( x )+x . Para
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encontrar la solución, partimos de un valor inicial x0 y calculamos una nueva
aproximación x1 = g(x0). Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto
da lugar a una sucesión de valores {x0 , x1 , .. . , xn } , que si converge, tendrá como límite la
solución del problema.
Figure: Interpretación geométrica del método de las aproximaciones sucesivas.
En la figura se representa la interpretación geométrica del método. Partimos de un punto
inicial x0 y calculamos: y = g(x0).
La intersección de esta solución con la recta y = x nos dará un nuevo valor x1 más próximo a
la solución final.
La utilidad de la ecuación es que proporciona una fórmula para predecir un valor de x en
función de x. De esta manera, dada una aproximación inicial a la raíz, x i , expresada por la
formula iterativa: x i+1=g (xi )
Como con otras fórmulas iterativas del libro, error aproximado de esta ecuación se puede
calcular usando el estimado de error:
|∈a|=|xi+1−x i
xi+1
|100 %
Ejemplo: Iteración de punto fijo
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Enunciado del problema: úsese iteración de punto fijo para localizar la raíz de
f ( x )=e− x−x .
Solución:
La función se puede separar directamente y expresarse en la forma de ecuación
x i+1=g (xi ) como x i+1=e− xi
. Empezando con un valor inicial de x0=0
, se puede
aplicar esta ecuación iterativa y calcular:
Iteración, i x |∈v|% |∈a|%0123456789
10
01.0000000.3678790.6922010.5004730.6062440.5453960.5796120.5601150.5711430.564879
10076.335.122.111.86.893.832.201.24
0.7050.399
100.0171.846.938.317.411.25.903.481.931.11
De esta manera, cada iteración acerca cada vez más al valor estimado con el valor
verdadero de la raíz o sea 0.56714329
Un planteamiento grafico diferente es el de separar la ecuación f(x) =0 en dos partes, como
en: f 1 ( x )=f 2 (x ) Entonces las dos ecuaciones: y1=f 1 (x ) y y2=f 2 ( x )
Ejemplo: método grafico de dos curvas
Enunciado del problema: sepárese la ecuación e− x−x=0en dos partes y determínese su
raíz gráficamente.
Solución:
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Reformúlese la ecuación como y1 = x y y2 = e –x. Calcúlense los siguientes valores
x Y1 Y2
0.00.20.40.60.81.0
0.00.20.40.60.81.0
1.0000.8190.6700.5490.4490.368
Estos puntos se grafican en la figura. La intersección de las dos curvas indican una
aproximación de x = 0.57, que corresponde al punto donde la curva original en la figura a ,
cruza al eje x.
Figura: Dos métodos gráficos alternativos para determinar la raíz de f ( x )=e− x−x a)
Raíz en el punto donde cruza al eje x; b) raíz en la intersección de las funciones
componentes.
Método de Newton Raphson
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Calculo de raíces por el método de newton
Es una de las fórmulas más ampliamente usadas para localizar raíces, si el valor inicial de
la raíz es Xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto [Xi, f (Xi) ]. El punto
donde esta tangente cruza el eje X, representa una aproximación mejorada de la raíz. El
método de Newton-Raphson se puede obtener sobre la base de una interpretación
geométrica, la primera derivada en X es equivalente a la pendiente
f ' (x i )=f (x i )−0
x i−x i+1
Que se puede ordenar para obtener
x i+1=x i−f (x i )f ' (xi )
La cual es conocida como fórmula de Newton - Raphson.
Ejemplo.
Utilice el método de Newton Raphson para obtener la raíz real de la función
f ( x )=x3+2x2+10 x−20
Solución:
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Ejemplo.
Use el método de Newton Raphson para encontrar la raíz de la ecuación
f ( x )=3 x2−18 x+155 , con un punto inicial de 8, con un error de aproximación
Ea=0. 01 .
Solución:
Método de la Secante
Un problema fuerte en la implementación del método de newton Raphson es la evaluación
de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas
otras funciones, existen algunas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difíciles de
evaluar. En estos casos la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida,
como la figura
Esquema gráfico del método de la secante. Esta técnica es similar a la del método de
Newton - Raphson en el sentido de que una aproximación a la raíz se calcula extrapolando
una tangente de la función hasta el eje x. Sin embargo, el método de la secante usa una
diferencia en vez de la derivada para aproximar la pendiente.
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Por lo tanto el método de la secante
x i+1=x i−(x i−xi−1) f (xi )f ( xi )−f (x i−1)
|x i+1−x i|<ε
Ejemplo.
Utilice el método de la secante para obtener la raíz real de la función
f ( x )=x3+2x2+10 x−20
Solución:
Ejemplo.
Use el método de Newton Raphson para encontrar la raíz de la ecuación
f ( x )=3 x2−18 x+155 , con un punto inicial de 8, con un error de aproximación
Ea=0. 01 .
Solución:
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Método para raíces múltiples.
Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Por
ejemplo, una raíz doble resulta de
O, multiplicando términos,
La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x hace que dos términos de la ecuación
Sean igual a cero. Gráficamente, esto significa que la curva toca en forma tangencial al eje
x en la raíz doble.
Figura: Ejemplos de raíces múltiples que son tangentes al eje x. obsérvese que la función no
cruza el eje en casos de raíces múltiples pares a) y c), mientras que para multiplicidad
impar si lo hace b)
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Véase la figura a en x = 1. Observe que la función toca al eje pero no la cruza en la raíz.
Una raíz triple corresponde al caso en que un valor x hace que tres términos en una
ecuación sea igual a cero, como en
O, multiplicando los términos
Advierta que el esquema grafico ( véase la figura b) indica otra vez que la función es
tangente al eje la raíz, pero que en este caso si cruza el eje. En general la multiplicidad
impar de raíces cruza el eje, mientras que la multiplicidad par no la cruza. Por ejemplo, la
raíz cuádruple en la figura c no cruza el eje.
Las raíces múltiples ofrecen ciertas dificultades a los métodos numéricos expuestos en la
parte dos:
1. El hecho de que la función no cambia de signo en raíces múltiples pares impide el
uso de los Metodos confiables que usan intervalos. De esta manera, de los métodos
incluidos en este texto, los abiertos tiene la limitación de que pueden ser
divergentes.
2. Otro posible se relaciona con el hecho de que no solo f(x), sino también f ´(x) se
aproxima a cero. Estos problemas afectan a los métodos de Newton – Raphson y al
de la secante, los cuales contienen derivadas en el denominador de sus respectivas
formulas. Esto provocaría una división entre cero cuando la solución converge muy
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cercana a la raíz.
3. Se puede demostrar que el método de Newton – Raphson y el método de la secante
convergen en forma lineal en vez de cuadrática, cuando hay raíces múltiples:.
El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la
ecuación f(x) = 0, ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la
derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial a la raíz.
Permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson modificado
aplicado a la función f tomando como aproximación inicial x0. Observe que no requiere
construir la función M definida en el método de Newton-Raphson modificado
Algoritmo
Para calcular el punto xi+1, calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos
que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
Hacemos y=0:
Y despejamos x:
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Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:
si
Se puede derivar la ecuación.
Ejemplo:
Método de Newton Raphson modificado para el cálculo de raíces múltiples.
Enunciado del problema. Use los dos métodos, el estándar y el modificado, de Newton
Raphson para evaluar la raíz múltiple de la ecuación con valor inicial de .con
E = 0.001, la función es
Solución
La derivada es:
Y por lo tanto, el método de Newton Raphson para este problema es
Que se puede resolver iterativamente para obtener:
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Como ya se había anticipado, el método converge en forma lineal hasta el valor verdadero
de 1.0.
Para el caso del método modificado, la segunda derivada es y la
relación iterativa es:
Que se puede resolver para obtener :
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2.3 Aplicaciones a la ingeniería mecánica
Problemas propuestos
Ejercicio 1.
La ecuación de estado de Van der Walls para un gas real es:
(P+a
V 2 )(V −b )=RT
dónde :
P= presión en atm ; T= temperatura en K; R= constante universal de los gases en
atm – L / (gmol K) = 0.08205; V= volumen molar del gas en L / gmol ; a ,b= constantes
particulares para cada gas
Calcule V a 80 º C (353.2 ºK) para una presión de 10, 20, 30 atm
Gas A bHe 0.03412 0.02370
Realice los cálculos necesarios para resolver esta ecuación usando los métodos indicados:
a) Método de bisección con V 1=0 . 8v
, V u=1 .2v
,
b) Método de falsa posición con V 1=0 . 8v
, V u=1 .2v
,
c) Método de Newton Raphson con , ,
d) Método de la secante con , ,
Donde v=RT /P . Con
|Ea|<0 .01
Ejercicio 2:
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Para obtener la temperatura de burbuja de una mezcla de CCl4 y CF4 en equilibrio con su
vapor, se llegó a la ecuación:
Aplicando un método iterativo de dos puntos, encuentre la temperatura de burbuja con una
aproximación de 10-2 aplicado a f(T).
Realice los cálculos necesarios para resolver esta ecuación usando los métodos indicados:
a) Método de bisección con , ,
b) Método de falsa posición con , ,
c) Método de Newton Raphson con , ,
d) Método de la secante con , ,
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Unidad 3. Sistemas de ecuaciones lineales algebraicas.
Competencia específica a desarrollar
Aplicar los distintos métodos numéricos para la búsqueda de solución de sistemas de
ecuaciones lineales algebraicas en la resolución de problemas de ingeniería mecánica y
Mecatrónica.
3.1 Método de eliminación Gaussiana
Eliminación Gaussiana
Ejemplo:
Dado el siguiente sistema de ecuaciones, encuentre la solución usando el método de
eliminación Gaussiana.
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Ejercicio.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Eliminación Gaussiana.
Ejercicio:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de eliminación Gaussiana.
3.2 Método de Gauss-Jordán
Gauss Jordán
Problema: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss Jordán.
Solución.
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Donde los valores de son:
En mathcad
En matlab
Problema: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss Jordán.
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Problema: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de Gauss Jordán.
3.3 Estrategias de pivoteo
Introducción y método
Durante la derivación del algoritmo de la eliminación Gaussiana con sustitución hacia
atrás, se encontró que para obtener un cero para el elemento pivote era necesario un
intercambio de filas de la forma donde
era e l entero más
pequeño con a En la práctica frecuentemente es deseable realizar intercambios
de las filas que contienen a los elementos pivote, aun cuando estos no sean cero. Cuando los
cálculos se realizan usando aritmética de dígitos finitos, como sería el caso de las
soluciones generadas con calculadora u ordenador, un elemento pivote que sea pequeño
comparado con los elementos de debajo de el en la misma columna puede llevar a un error
de redondeo sustancial. En el ejemplo siguiente se da una ilustración de esta dificultad.
Ejemplo.
El sistema lineal
Tiene la solución exacta
Para ilustrar las dificultades del error de redondeo se aplicara eliminación Gaussiana a este
sistema usando aritmética de cuatro dígitos con redondeo. El primer elemento pivote es
Y su multiplicador asociado es
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El cual se redondea a 1764. Efectuando la operación
Y el redondeo apropiado
1764(59.14 ) = 104322 = 104300
y 1764(59.17) = 104375 = 104400.
La sustitución hacia atrás implica que :
El error absoluto tan grande en la solución numérica de resulta del error pequeño de
0.001 al resolver para . Este error absoluto fue amplificado por un factor de 20000 en la
solución de debido al orden en el que fueron realizados los cálculos.
3.4 Método de descomposición LU
La factorización LU
La factorización LU de una matriz es una factorización que resume el proceso de
eliminación gaussiana aplicado a la matriz y que es conveniente en términos del número
total de operaciones de punto flotante cuando se desea calcular la inversa de una matriz o
cuando se resolverá una serie de sistemas de ecuaciones con una misma matriz de
coeficientes. En la lectura, primeramente consideraremos la factorización LU sin
intercambio basada en matrices elementales y que es conocida como de Doolittle y
posteriormente veremos el algoritmo que da la factorización PA = LU.
Suponga que la matriz A es una matriz m × n se puede escribir como el producto de dos
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matrices: A = LU.
Donde L es una matriz triangular inferior m × m y U es una matriz escalonada m × n.
Entonces para resolver el sistema:
A x = b,
Escribimos
A x = (LU) x = L (U x)
Una posible estrategia de solución consiste en tomar y = U x y resolver para y:
L y = b
Como la matriz L es triangular superior este sistema puede resolverse mediante sustitución
hacia abajo, lo cual se hace fácilmente en FLOPS. Una vez con los valores encontrados
de y, las incógnitas al sistema inicial se resuelve despejando x de
U x = y
Nuevamente, como U es escalonada, este sistema puede resolverse en caso de tener
solución mediante sustitución hacia atrás, lo cual es sencillo. Estas observaciones nos dan
la pauta para ver la conveniencia de una factorización como la anterior, es decir factorizar
A como el producto de una matriz L triangular superior, por otra U la cual es escalonada.
Esta factorización se llama usualmente Descomposición LU
Ejemplo:
Use la factorización LU de A:
Para despejar x del sistema:
Solución:
Sea un nuevo vector de incógnitas. Primero resolveremos el sistema
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triangular inferior L y = b:
Este sistema escrito en su forma de ecuaciones queda:
Por eliminación directa de la:
Primera ecuación :
Segunda ecuación:
Y de la tercera
Ahora el sistema U x = y:
El cual escrito en su forma de ecuaciones queda.
El cual al ser resuelto por sustitución hacia atrás queda:
De la última ecuación.
Segunda ecuación:
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Y de la primera:
3.5 Método de Gauss-Seidel
Gauss – Seidel
Los métodos iterativos o aproximados proveen una alternativa en los métodos de
eliminación. El método de Gauss-Seidel es el método iterativo más comúnmente usado.
Suponga que se da un conjunto de n ecuaciones:
|εa , i|=|x ik−x i
k−1
x ik
|∗100<εs
Para toda la i, donde j y j-1 son las iteraciones actuales y previas.
Como cada nuevo valor de x se calcula con el método de Gauss-Seidel, este se usa
inmediatamente en la siguiente ecuación para determinar otro valor de x. De esta manera,
si la solución es convergente, se empleara la mejor estimación posible.
Ejemplo: resuelva el siguiente sistema por el método de Gauss Seidel
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4 x1−x2=1−x1+4 x2−x3=1−x2+4 x3− x4=1
−x3+4 x4=1
Despejando las ecuaciones
x1=x2+1
4 x2=
x1+x3+1
4 x3=
x2+x 4+1
4 x4=
x3+1
4
|x (k+1 )−x (k )|=d1 d1=√( x1
k+1−x1k )2+(x2
k+1−x2k )2+. ..+( xn
k+1−xnk )2
Problema: Un ingeniero necesita 4800 m3 de NaCl, 5810 m3 de KCl y 5960 m3 de NaOH,
existen tres depósitos donde el ingeniero puede conseguir estos materiales. La composición
de estos depósitos viene dada en la siguiente tabla. ¿ Cuantas m3 debe tomar de cada
depósito para cumplir con las necesidades requeridas ? . Use el método de gauss seidel con
E = 0.01
Solución:
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Jacobi
El método de Jacobi es un proceso simple de iteraciones de punto fijo en la solución de
raíces de una ecuación. La iteración de punto fijo tiene dos problemas fundamentales:
Algunas veces no converge
Cuando lo hace, es a menudo, muy lento.
El método Jacobi también puede tener esas fallas.
Esquema grafico que muestra el método de iteración de Jacobi, en la solución de ecuaciones
algebraicas lineales simultaneas.
|εa , i|=|x ik−x i
k−1
x ik
|∗100<εs
Ejemplo: resuelva el siguiente sistema por el método de Jacobi
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4 x1−x2=1−x1+4 x2−x3=1−x2+4 x3− x4=1
−x3+4 x4=1
Con ε s=0 .01
|εa , i|=|x ik−x i
k−1
x ik
|∗100<εs
Despejando las ecuaciones
x1=x2+1
4 x2=
x1+x3+1
4 x3=
x2+x 4+1
4 x4=
x3+1
4
|x (k+1 )−x (k )|=d1 d1=√( x1
k+1−x1k )2+(x2
k+1−x2k )2+. ..+( xn
k+1−xnk )2
Problema: Un ingeniero necesita 4800 m3 de NaCl, 5810 m3 de KCl y 5960 m3 de NaOH,
existen tres depósitos donde el ingeniero puede conseguir estos materiales. La composición
de estos depósitos viene dada en la siguiente tabla. ¿ Cuantas m3 debe tomar de cada
depósito para cumplir con las necesidades requeridas?. Use el método de Jacobi con E = 0.01
Solución:
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Solo se muestran una parte de la tabla de donde se realizaron los cálculos, el motivo es
porque es muy extensa la tabla, por lo tanto, los datos que necesitábamos, son los
siguientes:
Depósito 1: 3744.76489
Depósito 2: 7071.74137
Depósito 3: 5753.48.485772
Problemas:
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de Jacobi con ε=10−2
−x1+3 x2+5 x3+2 x4=10x1+9 x2+8 x3+4 x4=15x2+x4=2
2 x1+x2+x3−x4=−3
3.6 Método de Krylov
Definición del método de Krylov
Este método se fundamenta en la aplicación del Teorema de Cayley Hamilton, mismo que
establece que toda matriz A verifica su ecuación característica:
F(A) = 0
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Es decir, si sustituimos a la matriz A en el polinomio, el resultado deberá ser cero. Sin
embargo, operativamente es necesario hacer comentarios. De inicio, la matriz A es de orden
n, por lo cual la sustitución arrojará un sistema de n ecuaciones lineales en consecuencia,
el coeficiente a0 deberá ser diferente de cero. Resulta conveniente hacer que este
coeficiente sea la unidad, por lo cual se divide el polinomio entre an, resultando:
Donde los coeficientes b i se obtienen como b i=ai
a0
. Aplicando el teorema de Cayley
Hamilton en el polinomio anterior:
El polinomio anterior representa un sistema de ecuaciones lineales cuyas incognitas son los
coeficientes b i. La solución de este sistema nos proporciona los coeficientes b i que
sustituidos en el polinomio
Proporciona el polinomio característico de A.
Una forma sencilla de realizar este procedimiento es simplificar la elevación de la matriz A
a las potencias necesarias. Esto se logra multiplicando la matriz A por un vector
compatible diferente de cero. Debe recordarse que la multiplicación de una matriz por un
vector compatible arroja un vector.
Este vector puede ser libremente elegido, proponiéndose que su conformación permita
realizar de mejor forma las operaciones. Una buena elección es elegir al vector con la
forma:
Este vector puede ser libremente elegido, proponiéndose que su conformación permita
realizar de mejor forma las operaciones. Una buena elección es elegir al vector con la
forma:
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Ubicando al elemento 1 en una posición estratégica de acuerdo con las condiciones de a de
tal manera que se minimicen las operaciones.
Atendiendo a la anterior recomendación, el sistema que de la forma.
Ejemplo:
Sea la matriz
El polinomio característico tendrá la forma
El sistema de ecuaciones tendrá la forma
Se propone al vector de acuerdo con la forma recomendada:
Realizando las multiplicaciones de
resulta:
1
2
2
1
0
3
0
1
1
1
0
0
1
2
2
Realizando las multiplicaciones
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1
2
2
1
0
3
0
1
1
1
2
2
1
0
6
1
2
2
1
0
3
0
1
1
1
0
6
1
4
4
Sustituyendo los resultados se conforma el sistema de ecuaciones lineales:
Que se expresa en forma más coloquial como:
Cuya solución es: Finalmente, sustituyendo en la ecuación se
obtiene la ecuación característica de la matriz A.
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3.7 Método de mínimos cuadrados
Mínimos cuadrados.
El método que determino Gauss se conoce como método de mínimos cuadrados. A
continuación describiremos cada uno de sus pasos.
Proponer una curva. La curva propuesta puede determinarse e varias maneras, las cuales
describiremos más adelante.
Formar la cantidad.
Minimizar la suma del cuadrado de los errores. Este logra aplicando calculo. Para lograr
esto primero debemos determinar de qué variable depende el valor de . La curva
propuesta en general es de la forma:
Podemos observar que además de x depende de sus "constantes" ya que si modificamos las
mismas se obtiene una curva distinta. Esto forma una familia de curvas. Por ejemplo la
familia de las rectas está dada por:
Distintos valores de las constantes originaran todas las rectas posibles. Por estas razones el
problema de minimización es:
Para determinar que tan bien ajusta el modelo los datos, calculamos el valor de S2.Como en
general el valor de S2 no nos dice mucho de la precisión del modelo, es mejor calcular
el error estándar cuadrado definido:
Dónde:
S2: Suma del cuadrado de los errores.; M: Número de puntos de la tabla.; NC: Numero de
constantes que tiene el modelo. Este valor es más útil, ya que podemos interpretarlo como
un error promedio en todo el intervalo de la tabla, es decir:
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Si es 0, la curva propuesta coincide con la curva real.
Antes de intentar resolver el sistema lo simplificaremos lo más posible. Cancelando -2 en
ambas ecuaciones
Separando las sumatorias
Sacando las constantes de la sumatoria:
Dando que las sumatorias son desde 1 hasta M, la sumatoria de 1 es M.
Reacomodando términos:
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta de los siguientes datos:
Solución:
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M = 11
Resolviendo el sistema de ecuaciones nos resulta:
matriz11
6.01
6.01
4.6545
5.905
2.18387
rref matriz( )1
0
0
1
0.952
0.76
Donde la ecuación de la recta es:
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Unidad 4. Ajuste de curvas e interpolación.
Competencia específica a desarrollar
Seleccionar a partir de un conjunto de datos experimentales la curva que mejor se ajuste.
4.1 Polinomios de Interpolación: diferencias divididas de Newton
Polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton
El polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton, entre otros es la forma
más popular además de las más útil. Antes de presentar la ecuación general, se examinan
las versiones de primero y segundo orden debido a su fácil interpretación visual.
Interpolación lineal
La forma más simple de interpolar es la de conectar dos puntos con una línea recta. Este
método, llamado interpolación lineal, se muestra en la figura
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Usando triángulos semejantes, se tiene:
f 1( x )− f ( x0 )x− x0
=f ( x1)−f ( x0 )
x1−x0
que se puede reordenar como :
f 1( x )=f (x0 )+f ( x1 )− f ( x0 )
x1−x0
( x−x0 )
f 1( x )=f (x0 )+ f [x0 , x1 ](x−x0)
La cual es una fórmula de interpolación lineal. La notación f 1(x) indica que se trata de un
polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la
pendiente de la linera que conecta los dos puntos, el termino
f ( x1 )− f ( x0 )x1−x0
Es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general,
entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más exacta será la aproximación.
Ejemplo:
Enunciado del problema: calcúlese el logaritmo natural de 2 (ln 2) usando interpolación
lineal. Primero, llévense a cabo los cálculos interpolando entre 1 y 6. Después repítase el
procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde 1 a 4. Nótese que el valor real
de ln 2 = 0.69314718.
F (x) = ln x
X 0 = 1, f (X 0 ) = 0
X 1= 6 , f ( x 1 ) = 1.7917595
Solución: usando la ecuación
f 1( x )=f (x0 )+ f [x0 , x1 ](x−x0)
una interpolación lineal de x = 1 a x = 6 da:
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La cual representa un error relativo porcentual de 48.3 %.
Usando el intervalo más pequeño desde x = 1 a x = 4 da:
X 0 = 1 , f (X 0 ) = 0
X 1= 4 , f ( x 1 ) = 1.3862944
Por lo tanto, usando el intervalo más pequeño reduce el error relativo porcentual a Î v =
33.3 %. Ambas interpretaciones se muestran en la figura junto con la función verdadera.
Ejercicios:
Calcúlese el logaritmo de 4 en base 10 (log 4) usando interpolación lineal.
Interpolar entre log 3 y log 5
Interpolar entre log 3 y log 4.5.
Para cada una de las interpolaciones calcúlese el error relativo porcentual basado en el
error verdadero de log 4 = 0.602059991
Entre 3 y 5
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b) entre 3 y 4.5
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Ejemplo:
Calcular ln 9.2 a partir de:
a) ln 9.0 =2.197224577,
b) ln 9.5 = 2.251291799
por interpolación lineal y determinar el error a partir de ln 9.2
Solución:
i xi f(xi) primero0 9 2.197225
0.108131 9.5 2.251292para x = 9.2 f1(9.2) = 2.218851
valor verdadero = 2.219203 ERP = 0.02
Ejercicios:
Por interpolación lineal calcular f(1.75) a partir de:
f (1.0) = 3.00000, f(1.2) = 2.98007,
f(1.4) = 2.92106; f(1.6) = 2.82534
f(1.8) = 2.69671; f(2.0) = 2.54030.
Solución:
f 1( x )=f (x0 )+ f [x0 , x1 ](x−x0)
i xi f(xi) primero0 1 3
-0.09971 1.2 2.98007
para x = 1.75 f1(1.75) = 2.925263
b)
i xi f(xi) primero0 1.4 2.92106
-0.47861 1.6 2.82534
para x = 1.75 f1(1.75) = 2.753550
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Por interpolación lineal calcular f(1.75) a partir de:
a) f (1.2) = 3.00000, f(1.4) = 2.98007,
b) f(1.6) = 2.92107; f(1.8) = 2.82534
c) f(2.0) = 2.69671; f(2.2) = 2.54030.
Solución:
f 1( x )=f (x0 )+ f [x0 , x1 ](x−x0)
a)
i xi f(xi) primero0 1.2 3
-0.099651 1.4 2.98007
para x = 1.75 f1(1.75) = 2.9451925
b)
i xi f(xi) primero0 1.6 2.92107
-0.478651 1.8 2.82534
para x = 1.75 f1(1.75) = 2.8492725c)
i xi f(xi) primero0 2.0 2.69671
-0.782051 2.2 2.54030
para x = 1.75 f1(1.75) = 2.8922225
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Interpolación Cuadrática
Una estrategia que mejora la aproximación es la introducir cierta curvatura en la línea que
conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior se puede llevar a cabo con un
polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una
manera conveniente para este caso es:
f 2( x )=f (x0 )+ f [ x0 , x1 ]( x−x0 )+ f [ x0 , x1 , x2 ](x−x0)( x−x1 )
Ejemplo:
Interpolación cuadrática
Enunciado del problema: ajústese el polinomio de segundo orden a los tres puntos usados
en el ejemplo anterior: ln 1, ln 6, ln 4, ln 2 = 0.69314718
X 0 = 1 f(x0 ) = 0
X 1 = 4 f(x1 ) = 1.3862944
X 2 = 6 f(x2) = 1.7917595
que se evalúa en x = 2 y se obtiene
i xi f(xi) primero segundo0 1 0
0.462101 4 1.386294 -0.05187
0.202732 6 1.791759
para x = 2 f2(2) = 0.56584valor exacto = 0.69315 ERP = 18.36592
Por lo tanto, la curvatura introducida por la forma cuadrática. Mejora la interpolación
comparada con los resultados obtenidos al usar una línea recta.
Ejemplo: mediante interpolación cuadrática calcular f ( x )=senh( x ) ;
x = 0.3 a partir :
x 0 = -0.5
x 1 = 0
x 2 = 1
Solución:
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i xi f(xi) primero segundo0 -0.5 -0.5211
1.042191 0 0 0.08867
1.17520
2 11.175201
para x = 0.3f2(0.3) = 0.85503
valor exacto =
0.3045203 ERP = 180.78069
Interpolación polinomial
Ejemplo: En las tablas siguientes se presentan la temperatura de ebullición de la acetona
(C3 H6O ) a diferentes presiones, elabore una aproximación polinomial de newton para la
información tabular de las presiones de vapor de la acetona e interpole la temperatura
para una presión de 2 atm
Puntos 0 1 2 3T ( C) 56.5 113.0 181.0 214.5
P (atm) 1 5 20 40Solución:
puntos P T Primero Segundo Tercero0 1 56.5
14.125001 5 113 -0.50482
4.53333 0.010852 20 181 -0.08167
1.675003 40 214.5
para x = 2 p1(2) = 72.13947 C
El polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton puede tomar la forma
de :
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Ejemplo:
Polinomio de interpolación de Newton con diferencias divididas.
Enunciado del problema: en el problema anterior se usaron los puntos x0 = 1, x1 = 4 y x2 = 6
para calcular ln 2 con una parábola. Ahora agregando un cuarto punto (x3 = 5; f(x3) =
1.6094379), calcúlese ln 2 con un polinomio de interpolación de newton con diferencias
divididas de tercer orden. f (x) = ln x
x0 = 1 ; f ( x0 ) = 0
x1 = 4 ; f ( x1 ) = 1.386294361
x2 = 6 ; f ( x2 ) = 1.791759469
x3 = 5 ; f ( x3 ) = 1.609437912
Solución. el polinomio de tercer orden, ecuación con n = 3, es:
Ejemplo:
Calcular f (9.2) a partir de los valores dados.
x0 = 8.0 ; f ( x0 ) = 2.079442
x1 = 9.0 ; f ( x1 ) = 2.197225
x2 = 9.5 ; f ( x2 ) = 2.251292
x3 = 11.0 ; f ( x3 ) = 2.397895
Problema: A continuación se presentan las presiones de vapor del cloruro de magnesio.
Puntos 0 1 2 3 4 5 6 7P (mmHg) 10 20 40 60 100 200 400 760
T (C) 930 988 1050 1088 1142 1316 1223 1418Calcule la presión de vapor correspondiente a T = 1000 C
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Problema: Dada la tabla
Puntos 0 1 2 3 4
xi 1.00 1.35 1.70 1.90 3.00
f(xi ) 0.00000 0.30010 0.53063 0.64185 1.09861
Construya una tabla de diferencias divididas para aproximar f(x) en x = 1.50; utilice un
polinomio de Newton
Solución:
i xi f(xi) primero segundo tercero cuarto0 1 0
0.857431 1.35 0.3001 -0.28396
0.65866 0.108322 1.7 0.53063 -0.18647 -0.030492062
0.55610 0.047343 1.9 0.64185 -0.10836
0.415244 3 1.09861
para x = 1.5 f4(1.5) = 0.40561
Ejemplo: En las tablas siguientes se presentan la temperatura de ebullición de la acetona
(C3 H6O ) a diferentes presiones, elabore una aproximación polinomial de newton para la
información tabular de las presiones de vapor de la acetona e interpole la temperatura
para una presión de 2 atm.
Puntos 0 1 2 3
Página 76 de 136
T ( C) 56.5 113.0 181.0 214.5P (atm) 1 5 20 40
puntos P T primero segundo tercero0 1 56.5
14.125001 5 113 -0.50482
4.53333 0.010852 20 181 -0.08167
1.675003 40 214.5
para x = 2 p1(2) = 72.72538 C
Ejercicio:
Las densidades de las soluciones acuosas del ácido sulfúrico varían con la temperatura y la
concentración de acuerdo con la tabla:
T ( C)
C ( % ) 10 30 60 1005
204070
1.03441.14531.31031.6923
1.02811.13351.29531.6014
1.01401.11531.27321.5753
0.98881.08851.24461.5417
a) Calcule la densidad a una concentración de 40 % y una temperatura de 15 C.
b) Calcule la densidad a 30 C y concentración de 50 %.
c) Calcule la densidad a 50 C y 60 %. Concentración.
4.2 Polinomios de interpolación: de Lagrange
Polinomio de interpolación de Lagrange
El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una reformulación del método
de interpolación de diferencias divididas de Newton que evita los cálculos de las diferencias
divididas. Este se puede representar como :
Polinomio lineal
f 1( x )=x−x1
x0−x1
f ( x0)+x−x1
x1−x0
f ( x1 )
Polinomio de segundo orden es :
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f 2 ( x )=(x−x1 ) (x−x2)
( x0−x1 ) (x0−x2 )f (x0)+
( x−x0) ( x−x2)(x1−x0) ( x1−x2)
f (x1)+(x−x0 )( x−x1)
( x2−x0 )( x2−x1)f ( x2 )
Problema: Polinomios de interpolación de Lagrange
Enunciado del problema: úsese un polinomio de interpolación de Lagrange de primero y
segundo orden para evaluar ln 2 en base a los siguientes datos
x0 = 1 ; f ( x0 ) = 0
x1 = 4 ; f ( x1 ) = 1.386294361
x2 = 6 ; f ( x2 ) = 1.791759469
solución de primer orden :
f 1( x )=x−x1
x0−x1
f ( x0)+x−x1
x1−x0
f ( x1 )
y , por lo tanto, la aproximación en x = 2 es
f 1( x )=2−41−4
(0 )+ 2−14−1
(1 . 386294361)=0 . 46209812
De manera similar, el polinomio de Segundo orden se desarrolla como
f 2 ( x )=(x−x1 ) (x−x2)
( x0−x1 ) (x0−x2 )f (x0)+
( x−x0) ( x−x2)(x1−x0) ( x1−x2)
f (x1)+(x−x0 )( x−x1)
( x2−x0 )( x2−x1)f ( x2 )
f 2(2 )=(2−4 )(2−6)(1−4 )(1−6 )
( 0)+(2−1)(2−6)( 4−1)( 4−6)
(1 . 386294361)+(2−1)(2−4 )(6−1 )(6−4 )
(1. 791759469 )
f 2(2 )=0 .565844346
Como se esperaba, ambos resultados coinciden muy cerca con los que se obtuvieron
previamente usando la interpolación polinomial de newton.
En resumen, para los casos en donde el orden del polinomio se desconozca, el método de
Newton tiene ventajas debido a que profundiza en el comportamiento de las diferentes
fórmulas de orden superior.
Cuando se va a llevar a cabo solo una interpolación, ambos métodos, el de Newton y el
Lagrange requieren de un esfuerzo de cálculo similar. Sin embargo, la versión de Lagrange
es un poco más fácil de programar. También existen casos en donde la forma de Newton es
más susceptible a los errores de redondeo. Debido a esto y a que no requiere calcular y
Página 78 de 136
almacenar diferencias divididas, a la forma de Lagrange se usa, a menudo, cuando el orden
del polinomio se conoce a priori.
Problema: Calcular ln 9.2 a partir de ln 9.0, ln 9.5 por interpolación lineal de Lagrange y
determinar el error a partir de ln 9.2 = 2.2192 (4D)
Solución
x0 = 9.0 ; f ( x0 ) = 2.1972
x1 = 9.5 ; f ( x1 ) = 2.2513
Solución de primer orden :
f 1( x )=x−x1
x0−x1
f ( x0)+x−x1
x1−x0
f ( x1 )
f 1( x )=(9 .2−9 .5 )(9.0−9 .5 )
(2. 1972)+(9 . 2−9 . 0)(9 . 5−9 . 0 )
(2 .2513 )=2 . 2188
Problema: Calcular ln 9.2 a partir de ln 9.0, ln 9.5, ln 11.0 por interpolación cuadrática de
Lagrange y determinar el error a partir de ln 9.2 = 2.2192 (4D)
Solución
x0 = 9.0 ; f ( x0 ) = 2.1972
x1 = 9.5 ; f ( x1 ) = 2.2513
x2 = 11 ; f ( x1 ) = 2.3979
Solución
f 2 ( x )=(x−x1 ) (x−x2)
( x0−x1 ) (x0−x2 )f (x0)+
( x−x0) ( x−x2)(x1−x0) ( x1−x2)
f (x1)+(x−x0 )( x−x1)
( x2−x0 )( x2−x1)f ( x2 )
f 2 (x) = 1.1865 + 1.0806 – 0.0480 = 2.2191
Ejercicio: Para la tabla que se presenta a continuación
Obtenga la aproximación polinomial de Lagrange con todos los puntos Interpole el valor
de la función f(x) para x = 1.8
i 0 1 2 3f(Xi) -3 0 5 7
xi 0 1 3 6
a)
Página 79 de 136
P3 ( x )=( x−1 ) ( x−3 )( x−6 )−3(0−1)(0−3)( 0−6 )
+( x−0 ) ( x−3 )(x−6 )0(1−0 )(1−3)(1−6 )
+
( x−0 ) ( x−1 )( x−6)5(3−0 )(3−1)(3−6 )
+( x−0 ) ( x−1 )( x−3 )7(6−0)(6−1)(6−3 )
y finalmente resulta
P3 ( x )=− 390
x3− 390
x2+27690
x−3
b)
x = 1.8 por lo tanto f(1.8) = 2
4.3 Regresión por mínimos cuadrados: Lineal y Cuadrática.
Regresión lineal
El ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es el ajuste de una
línea recta a un conjunto de parejas de datos observadas: ),( 11 yx , ),( 22 yx , . . . ),( nn yx
.
La expresión matemática de una línea recta es:
Exaay 10
En donde 0a y 1a son coeficientes que representan la intersección con el eje de las abscisas
y la pendiente, respectivamente y E es el error o residuo entre el modelo y las observaciones,
que se pueden representar reordenando la ecuación como:
xaayE 10
Por lo tanto, el error o residuo es la diferencia entre el valor real de y y el valor
aproximadoxaa 10
, predicho por la ecuación lineal.
xaay 10 Ecuación de la línea recta
221
ii
iiii
xxn
yxyxna
xaya 10
Una estrategia que obtiene la mejor línea a través de los puntos debe minimizar la suma de
los errores residuales como :
Página 80 de 136
n
iiir xaayS
1
210 )(
El residuo en la regresión lineal representa el cuadrado de la distancia vertical entre un
punto y la línea recta.
2/
n
SS r
xy
En donde xyS / se llama error estándar de la aproximación. La notación “ y/x” indica que el
error es para un valor predicho de “y” correspondiente a un valor particular de x. Sin
embargo xyS / cuantifica la dispersión alrededor de la línea de regresión.
La suma total de los cuadrados tS , es la cantidad de dispersión en la variable dependiente
que existe antes de la regresión. Y rS , presenta la dispersión que existe después de la
regresión. Y la diferencia entre las dos cuantifica la mejora en la reducción del error debido
al modelo de la línea recta. Esta diferencia se puede normalizar al error total y obtener.
t
rt
S
SSr
2
t
rt
S
SSr
En donde r es el coeficiente de correlación y r2
es el coeficiente de determinación. Para un
ajuste perfecto, Sr=0 ,r 2=1 , indicando que la línea recta explica el 100 % de la
variabilidad. Si r2=0 , entonces el ajuste no representa mejorías.
Ejemplo: Regresión lineal.
Enunciado del problema: ajústese una línea recta a los valores x y y de la tabla siguiente:
Solución:
Página 81 de 136
0 1 2 3 4 5 6 7 801234567
f(x) = 0.839285714286 x + 0.071428571429
Ejercicios: En la tabla siguiente se presentan los alargamientos de un resorte
correspondientes a fuerzas de diferente magnitud que lo deforman.
Puntos 1 2 3 4 5
Fuerza (kg): x 0 2 3 6 7
Longitud del resorte (m): y 0.120 0.153 0.170 0.225 0.260
Aproxime esta información por el método de mínimos cuadrados.
Página 82 de 136
Ejemplo:
El calor específico Cp(cal / kgmol ) del Mn3O4 varía con la temperatura de acuerdo a la
siguiente tabla:
Punto 1 2 3 4 5T (K) 280 650 1000 1200 1500Cp 32.7 45.4 52.15 53.7 52.9
Aproxime esta información por el método de mínimos cuadrados.
y = 0.0122x + 34.943
R2 = 0.6575
0.000
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
0 500 1000 1500 2000
Regresión Cuadrática
Otra alternativa es ajustar polinomios a los datos mediante regresión polinomial. El
procedimiento de mínimos cuadrados se puede extender fácilmente al ajuste de datos con
un polinomio de grado superior. Por ejemplo, suponga que ajustamos un polinomio de
segundo grado o cuadrático:
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exaxaay 2210
En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es:
n
iiiir xaxaayS
1
22210
Ahora tenemos el conjunto de ecuaciones normales:
iiiii
iiiii
iii
yxxaxaxa
yxxaxaxa
yxaxana
242
31
20
32
210
2210
Donde todas las sumatorias van desde i = 1 hasta n. Así como en la regresión lineal, el error
en la regresión polinomial se puede cuantificar mediante el error estándar de la
aproximación:
1/
mn
SS r
xy
Además del error estándar, se puede calcular también el coeficiente de correlación en la
regresión polinomial de la misma manera que para el caso lineal:
v
rv
S
SSr
2
Ejemplo:
Regresión polinomial. Ajuste un polinomio de segundo orden a los datos de las dos
columnas del cuadro:
ix iy012345
2.17.7
13.627.240.961.1
152.6
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433.25
5.2
6
2
y
x
n
m
225
55
6.215
15
3
2
i
i
i
i
x
x
y
x
8.2488
6.585
979
2
4
ii
ii
i
yx
yx
x
8.248897922555
6.5852255515
6.15255156
210
210
210
aaa
aaa
aaa
0 1 2 3 4 5 6
0
10
20
30
40
50
60
70
f(x) = 1.85357142857 x² + 2.39785714286 x + 2.46428571429R² = 0.998435692533964
Usando minitab
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4.4 Aplicaciones
Problemas de aplicación.
Problema: Al medir la velocidad ( con un tubo de Pitot ) en una tubería circular de
diámetro interior de 20 cm, se encontró la siguiente información:
V ( cm / s ) 600 550 450 312 240R ( cm) 0 3 5 7 8
Donde R es la distancia en cm. medida a partir del centro del tubo.
Obtenga la curva v = f(R) que aproxima estos datos experimentales
y = -5.3472x2 - 3.0667x + 601.71
0
100
200
300
400
500
600
700
0 2 4 6 8 10
Calcule la velocidad en el punto R = 4 cm.
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Problema: Si aproxima la función dada abajo por un polinomio de segundo grado
y = -8.8218x2 - 1412.1x + 39694
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
0 5 10 15 20
Problema: En la siguiente tabla, r es la resistencia de una bobina en ohms y T la
temperatura de la bobina en ºC. Por mínimos cuadrados determine el mejor polinomio
lineal que represente la función dada:
y = 35.744x - 361.8
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 5 10 15
Problema: En una reacción gaseosa de expansión a volumen constante, se observa que la
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presión del reactor (batch) aumenta con el tiempo de reacción según se muestra en la tabla
de abajo. ¿Qué grado de polinomio aproxima mejor la función P=f(t) ?
y = 1.2386x + 0.8702
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.5 1 1.5 2
y = 0.5234x2 + 0.479x + 1.0089
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.5 1 1.5 2
Problema: Las densidades de las soluciones acuosas del ácido sulfúrico varían con la
temperatura y la concentración de acuerdo con la tabla :
C (%)T (º C)
10 30 60 1005
204070
1.03441.14531.31031.6923
1.02811.13351.29531.6014
1.01401.11531.27321.5753
0.98881.08851.24461.5417
a) Calcule la densidad a una concentración de 40% y una temperatura de 15 ºC.
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b) Calcule la densidad a 30 ºC y concentración de 50%
c) Calcule la densidad a 50 ºC y 60% de concentración
Solución:
La temperatura se toma como el argumento x y las densidades ( a 40%) como el valor de la
función f(x). Con una interpolación lineal entre las densidades a 10 ºC y 30 ºC se tiene :
C (%)T (º C )
10 30 60 1005204070
1.03441.14531.31031.6923
1.02811.13351.29531.6014
1.01401.11531.27321.5753
0.98881.08851.24461.5417
f 1( x )=x−x1
x0−x1
f ( x0)+x−x1
x1−x0
f ( x1 )
d (15 )=15−3010−30
1 .3103+15−1030−10
1.2953=1. 3066
Se toma ahora las concentraciones como argumentos x y las densidades ( a 30 ºC) como los
valores funcionales; luego, mediante una interpolación lineal entre las concentraciones a
40% y 70 % queda :
C (%)T (º C )10 30 60 100
5204070
1.03441.14531.31031.6923
1.02811.13351.29531.6014
1.01401.11531.27321.5753
0.98881.08851.24461.5417
f 1( x )=x−x1
x0−x1
f ( x0)+x−x1
x1−x0
f ( x1 )
d (50 )=50−7040−70
1 .2953+50−4070−40
1.6014=1 .3973
La densidad se aproxima a 50 ºC, utilizando primero la fila de 40% de concentración y
después la fila de 70% de concentración. Con estas densidades obtenidas a 50 ºC se
aproxima la densidad a 60% de concentración
C (%)T (º C )
10 30 60 1005
204070
1.03441.14531.31031.6923
1.02811.13351.29531.6014
1.01401.11531.27321.5753
0.98881.08851.24461.5417
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f 1( x )=x−x1
x0−x1
f ( x0)+x−x1
x1−x0
f ( x1 )
Aproximación de la densidad a 40% y 50ºC
d (50 )=50−6030−60
1 .2953+50−3060−30
1 .2732=1. 2806
Aproximación de la densidad a 70% y 50ºC
d (50 )=50−6030−60
1 .6014+50−3060−30
1. 5753=1 .5840
Aproximación de la densidad a 60% y 50ºC . Usando los valores obtenidos en los pasos
anteriores.
d (60 )=60−7040−70
1 .2806+60−4070−40
1 .5840=1 . 4829
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Unidad 5. Derivación e integración numérica.
Competencia específica a desarrollar
Emplear los métodos numéricos en la diferenciación e integración para resolver
problemas de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica.
5.1 Derivación numérica
Derivación
Cuando se va a practicar una operación en una función tabulada, el camino es aproximar la
tabla por alguna función y efectuar la operación aproximadamente. Así se procedió en la
integración numérica y así se procederá en la diferenciación numérica; esto es, se
aproximara la función tabulada f(x) y se diferenciara la aproximación pn ( x ).
Si la aproximación es polinomial y con el criterio de ajuste exacto, la diferenciación
numérica consiste simplemente en diferenciar la fórmula del polinomio interpolante que se
utilizó. Sea en general.
f ( x )=pn ( x )+Rn ( x )
y la aproximación de la primera derivada queda entonces
df ( x )dx
=dpn ( x )
dx
O en general
dn f ( x )dxn
=dn pn( x )
dxn
Al diferenciar la formula fundamental de Newton dada arriba se tiene
dn f ( x )dxn
=dn pn( x )
dxn+dnRn ( x )
dxn
Donde
dnRn ( x )
dxn es el error que se comete al aproximar
dn f ( x )dxn
por
dn pn ( x )
dxn.
Si las abscisas dadas x0 , x1 ,. . ., xn están espaciadas regularmente por intervalos de
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longitud h, entonces pn ( x ) puede escribirse en términos de diferencias finitas.
Y la primera derivada de f(x) queda aproximada por
df ( x )dx
=f ( x1 )−f ( x0 )
h
Se desarrollan las diferencias hacia delante y se tiene
df ( x )dx
=( 2 x−x0−x1−2h
2h2 ) f ( x0 )+( 2x0−4 x+2x1+2h
2h2 ) f ( x1)+( 2x−x0−x1
2h2 ) f ( x2)
La segunda derivada puede calcularse derivando una vez más con respecto a x, o sea
d2 f (x )dx 2
= 1h2
f ( x0 )−2h2
f ( x1 )+1h2
f ( x2)
Problema: La ecuación de Van der Walls para un gmol de CO2 es
(P+a
v2 ) (v−b )=RT
Donde
a=3 .6 x 10−6 atm∗cm6 /gmol2
b=42 .8cm3 /gmolR=82.1atm∗cm3 /gmol∗KSi T = 350 K, se obtiene la siguiente tabla de valores.
Puntos 0 1 2 3
P (atm) 13.782 12.577 11.565 10.704
V (cm3) 2000 2200 2400 2600
Calcule v
P
cuando v = 2300 cm3
y compárelo con el valor de la derivada analítica
Solución:
∂P∂ v
=( 2 v−v0−v1−2h
2h2 )P0+( 2v0−4v+2 v1+2h
2h2 )P1+(2 v−v0−v1
2h2 )P2 ;
con h = 200
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=2(2300)−2000−2200−2(200)2(200)2
(13.782)+2(2000 )−4(2300 )+2(2200 )−2(200 )2(200 )2
(12.577 )
+2(2300 )−2000−2200
2(200 )2(11. 565)=−0 . 00506
Por lo tanto la presión = 12.577 -(- 0.00506) = 12.58206 atm
Cuando el volumen es de 2300 cm3 la presión es de 12.58206 atm .
La derivada analítica es
Problema: En una reacción química A + B ----> Productos, la concentración del reactante A
es una función de la presión P y la temperatura T. La siguiente tabla presenta la
concentración de A en gmol/L como una función de estas dos variables.
P (Kg/cm2) Temperatura T (K)
273 300 325 360
1 0.99 0.97 0.96 0.98
2 0.88 0.82 0.79 0.77
8 0.62 0.51 0.48 0.45
15 0.56 0.49 0.46 0.42
20 0.52 0.44 0.41 0.37
Calcule la variación de la concentración de A con la temperatura a P = 8 Kg/cm2 y T = 300
K, usando un polinomio de segundo grado.
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Solución
Lo que se busca es en si
∂C A
∂T|T=300 ,P=8
que se puede evaluar con la ecuación
dp2( x )dx
=( 2 x−x1−x2
(x0−x1) (x0−x2) ) f ( x0 )+( 2 x−x0−x2
(x1−x0 ) (x1−x2 ) ) f ( x1 )+( 2x−x0−x1
(x2−x0) ( x2−x1) ) f ( x2 )
Donde f(x) representa a CA y x a T; de tal modo que sustituyendo los tres puntos enmarcados
de la tabla queda
5.2 Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y 3/8.
Integración
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De acuerdo a la definición del diccionario, integrar significa “unir todas las partes en un
todo; unificar; indicar la cantidad total, . . . ”. matemáticamente, la integración se
representa por
I=∫a
bf ( x )dx
EC. 1
La cual representa a la integración de la función f (x) con respecto a la variable x, evaluada
entre los limites x = a y x = b.
Como lo sugiere la definición del diccionario, el significado de la ecuación es el valor total o
sumatoria de f (x ) dx sobre el intervalo de x = a a b. En realidad, el símbolo ∫ es una s
mayúscula estilizada que indica la conexión cercana entre la integración y la sumatoria
(Thomas y Finney, 1979).
La figura 1, representa una manifestación grafica de este concepto. Para las funciones que
se encuentran sobre el eje x, la integral expresada por la ecuación 1, corresponde al área
bajo la curva de f (x) entre x = a y x = b. Habrá muchas ocasiones de volver a referirse a
esta concepción grafica a medida que se desarrollen fórmulas matemáticas para
integración numérica. De hecho, la mayor parte de los métodos numéricos para
integración, se puede interpretar desde una perspectiva gráfica.
Figura 1. Representación gráfica de la integral de f(x) .
Fórmulas de integración de Newton -cotes
Las fórmulas de Integración de Newton-Cotes son los esquemas de integración numérica
más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos
tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar:
I=∫a
bf ( x )dx≃∫a
bf n (x )dx
Donde f n (x)=polinomio
Donde n es el orden del polinomio. Por ejemplo en la figura (1ª), se usa un polinomio de
primer orden (una línea recta) como aproximación. En la figura (1 b) se emplea una
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parábola para el mismo propósito.
Figura 1: estimación de una integral mediante el área bajo a) una línea recta, y b) una
parábola.
La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la
función o a los datos sobre intervalos de longitud constantes. Por ejemplo en la figura 2, se
usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral.
Figura 2: aproximación de la integral mediante el área bajo tres segmentos.
Se puede usar polinomio de mayor grado para este mismo propósito. Con estos
fundamentos ahora se reconoce que el “método de bandas” de la figura 3 empleo una serie
de polinomios de orden cero (esto es, constantes) para aproximar la integral.
Se dispone de las formas abiertas y cerradas de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas
cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de
integración se conocen figura (3 a. )
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Figura 3: diferencia entre fórmulas de integración a) cerrada y b) abierta.
Las formulas tienen los límites de integración extendidos mas allá del rango de los datos
figura (3 b). Las formulas abiertas de Newton Cotes, en general, no se usan en la
integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Fundamentos matemáticos
b
a
b
axFdxxfI )()( ∫
En donde F(x) es la integral de F(x), esto es, cualquier función tal que F’(x) = f(x). La
nomenclatura sobre el lado derecho queda
F ( x )|ab=F( b)−F (a )
Método del trapecio simple
La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas de integración
cerrada de Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio en la ecuación [1] es de
primer orden:
Recuerde que una línea recta se representa como:
f 1 ( x )=f (a )+ f (b )−f (a )b−a
(x−a )
El área bajo la línea recta es una aproximación de la integral de f (x) entre los límites a y
b. El resultado de la integración es:
I=(b−a ) f ( a)+ f (b )2
La cual se denomina regla trapezoidal.
Error de la regla Trapezoidal
Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral
bajo una curva, obviamente podemos incurrir en un error que puede ser sustancial. Una
estimación para el error de truncamiento de una sola aplicación de la regla trapezoidal es:
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Et=− 112
f ' ' (ξ ) (b−a )3
Donde está en algún lugar en el intervalo de "a" a "b". La ecuación anterior indica que si
la función sujeta a integración es lineal, la regla trapezoidal será exacta. De otra manera,
ocurrirá un error para funciones con derivadas de segundo y tercer orden (es decir con
curvatura).
Ejemplo: aplicación de la regla trapezoidal simple para integrar numéricamente
Que representan un error de
E v = 1.64053334 – 0.1728 = 1.46773334
Que corresponde a un error relativo porcentual de Î v = 89.5 % . La razón para este error
tan grande es evidente en la gráfica.
Nótese que el área bajo la línea recta descuida una porción significativa de la integral
sobre la línea.
En la situación actual, no se tendría conocimiento previo del valor verdadero. Por lo tanto,
se requiere una aproximación al error. Parta obtener esta aproximación, se calcula la
segunda derivada de la función sobre el intervalo , derivando la función original dos veces
para dar
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Que es el mismo orden de magnitud y signo que tiene el error verdadero.
Existe una discrepancia debido a que un intervalo de este tamaño, el promedio de la
segunda derivada no es necesariamente una aproximación exacta de f “ ( x ). Por lo tanto,
se denota que el error es aproximado usando la notación E a, en vez de usar Ev.
Ejercicio: aplicación de la regla trapezoidal simple
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Ejercicio: aplicación de la regla trapezoidal simple
Ejercicio: aplicación de la regla trapezoidal simple
f x( ) 8 5sin x( ) x 0 0.001
a 0 b
0 1 2 3 48
10
12
14
f x( )
x
I1
a
b
xf x( )
d I1
35.13274123
I b a( )f a( ) f b( )
2
I 25.1327
Método del trapecio Múltiple
La regla del trapecio utilizando segmentos múltiples
Una mejor manera de mejorar la actitud de la regla trapezoidal es la de dividir el
intervalo de integración de a a b en un conjunto de segmentos y aplicar el método a cada
uno de los segmentos.
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Figura: ilustración de la regla trapezoidal múltiple a) dos segmentos, b) tres segmentos; c)
cuatro segmentos; d) cinco segmentos
En seguida se suman las áreas de los segmentos individuales y se obtiene la integral sobre el
intervalo completo. A las ecuaciones resultantes se les conoce como fórmulas de integración
de segmento múltiple o fórmulas de integración compuestas.
h=b−an
Si a y b son designados como X o y X n, respectivamente, la integral total se representa como:
I=∫x0
x1 f ( x )dx+∫x1
x2 f ( x )dx+ .. .+∫x n−1
xn f ( x )dx
Al sustituir la regla trapezoidal para cada integral se obtiene:
I=h( f (x0)−f (x1 )2 )+h ( f (x1)−f (x2 )
2 )+. ..+h ( f (xn−1 )−f (xn)2 )
O mediante agrupación de términos:
I=h2 (f (x0 )+2∑
i=1
n−1
f (x i )+ f (xn ))
En formato general es: I=( b−a)
f ( x0 )+2∑i=1
n−1
f ( x i )+ f ( xn )
2n
Ya que la sumatoria de los coeficientes de f(x) en el numerador dividido por 2n es igual a 1,
la altura promedio representa un promedio pesado de los valores de la función. De acuerdo
a la ecuación anterior, las alturas de los puntos interiores aparecen doblemente respecto a
los puntos finales f ( x0) y f (x n ).
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f ' '=∑i=1
n
f ' '
n por lo tanto. Ea=−
(b−a )3 f ' '
12n2
De esta manera que, si el número de segmento se duplica, el error de truncamiento
disminuye a un cuarto de su valor. Nótese que la ecuación anterior es un error aproximado
debido a la naturaleza aproximada de la ecuación.
Ejemplo: regla trapezoidal de segmentos múltiples.
Ejercicio: regla trapezoidal de segmentos múltiples
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Ejercicio: regla trapezoidal de segmentos múltiples
Enunciado del problema: utilícese la regla trapezoidal de los segmentos múltiples para
calcular la integral de
Método Simpson
Una forma de obtener una estimación exacta de una integral es con el uso de polinomios de
orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto extra a la mitad del
camino entre f(a) y f(b), los tres puntos se pueden conectar con una parábola.
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Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se pueden
conectar con un polinomio de tercer orden.
Las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo esos polinomios son conocidos como
reglas de Simpson.
Método Simpson de 1/3
La Regla de Simpson 1/3 resulta cuando una interpolación polinomial de segundo orden es
sustituida en la ecuación :
I=∫b
d
f ( x )dx≈∫b
d
f 2( x )dx
h=b−a2
Donde, para este caso, h = (b - a)/2. Esta ecuación es conocida como regla Simpson 1/3. La
especificación"1/3" surge del hecho de que h está dividida entre 3 en la ecuación anterior.
La regla de Simpson 1/3 se expresa también con el uso del formato de la ecuación:
I=( b−a)f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2 )
6
Donde a = X0, b = X2 y X1= punto a la mitad del camino entre a y b, que está dado por (b +
a)/2. Observe que, de acuerdo con la ecuación anterior, el punto medio está ponderado por
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dos tercios y los dos puntos extremos por un sexto.
Se puede mostrar que una aplicación de un solo segmento de la regla de Simpson 1/3 tiene
un error de truncamiento de : E t = E v
Et=− 190
h5 f (4) (ξ )
o, como h = (b - a)/2,
Ea=−(b−a)5
2880f (4 )(ξ )
Ejemplo de aplicación de la regla de Simpson de 1/3 simple
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Problemas propuestos: evalúense las integrales con la aplicación simple de la regla
Simpson de 1/3
Método Simpson de 1/3 múltiple
La Regla de Simpson se puede mejorar al dividir el intervalo de integración en un numero
de segmentos de igual anchura
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h=b−an
La integral total se puede representar como :
I=( b−a)f ( x0 )+4 ∑
i=1,3,5
n−1
f ( x i)+2 ∑j=2,4,6
n−2
f ( x j)+ f ( xn )
3n
Observe que, se debe utilizar un número par de segmentos para implementar el método.
Además, los coeficientes "4"y "2" en la ecuación podrían parecer peculiares a primera vista.
Sin embargo, siguen en forma natural la regla de Simpson 1/3. Los puntos nones
representan el término medio para cada aplicación. Los puntos pares son comunes en las
aplicaciones adyacentes y por tanto se cuentan dos veces.
Un error estimado para la aplicación de la regla de Simpson se obtiene sumando los errores
individuales de los segmentos y sacando el promedio de la derivada.
Ea=−(b−a)5
180n4f (4 )(ξ )
Donde f (4) es el promedio de la cuarta derivada para el intervalo
Ejemplo: de la regla de Simpson de 1/3 de aplicación múltiple
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Método Simpson de 3/8
h=b−a3
I=( b−a)f ( x0 )+3 [f ( x1 )+f ( x2 )]+ f ( x3 )
8
Ea=−
(b−a)5
6480f (4 )(ξ )
Ejemplo. Con la regla de Simpson de 3/8 integre
Desde a = 0 hasta b = 0.8
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5.3 Integración de Romberg
Integración de Romberg
Sea el valor de la integral que aproxima a , mediante una partición
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de subintervalos de longitud y usando la regla del trapecio. Entonces,
Donde es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla.
El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de integración
numérica, para obtener un tercer valor más exacto.
El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de Romberg, la cual
es una fórmula recursiva.
Supongamos que tenemos dos aproximaciones: e
Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio para n
subintervalos está dado por las siguientes fórmulas:
Donde es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a
cada uno de los subintervalos.
Ahora bien, si suponemos que el valor de es constante, entonces:
Sea el valor de la integral que aproxima a , mediante una partición
de subintervalos de longitud y usando la regla del trapecio. Entonces,
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Donde es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla.
El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de integración
numérica, para obtener un tercer valor más exacto.
El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de Romberg, la cual
es una fórmula recursiva.
Supongamos que tenemos dos aproximaciones: e
Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio para n
subintervalos está dado por las siguientes fórmulas:
Donde es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a
cada uno de los subintervalos.
Ahora bien, si suponemos que el valor de es constante, entonces:
Sustituyendo esto último en nuestra primera igualdad, tenemos que:
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De aquí podemos despejar :
En el caso especial cuando (que es el algoritmo de Romberg), tenemos :
Esta fórmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para entender el método, es
conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un primer nivel, es
cuando aplicamos la regla del Trapecio, y para poder usar la fórmula anterior, debemos de
duplicar cada vez el número de subintervalos: así, podemos comenzar con un subintervalos,
luego con dos, cuatro, ocho, etc, hasta donde se desee.
Posteriormente, pasamos al segundo nivel de aproximación, que es donde se usa la fórmula
anterior, tomando las parejas contiguas de aproximación del nivel anterior, y que
corresponden cuando .
Después pasamos al nivel tres de aproximación, pero aquí cambia la fórmula de Romberg, y
así sucesivamente hasta el último nivel, que se alcanza cuando solo contamos con una
pareja del nivel anterior.
Desde luego, el número de niveles de aproximación que se alcanzan, depende de las
aproximaciones que se hicieron en el nivel 1. En general, si en el primer nivel, iniciamos con
n aproximaciones, entonces alcanzaremos a llegar hasta el nivel de aproximación n.
Hacemos un diagrama para explicar un poco más lo anterior.
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h=b−an
I=( b−a)f ( x0 )+2∑
i=1
n−1
f ( x i )+ f ( xn )
2n
Problema: Usar el algoritmo de Romberg, para aproximar la integral
Usando segmentos de longitud .
Solución.
Primero calculamos las integrales del nivel 1, usando la regla del trapecio para las
longitudes de segmentos indicadas:
Con estos datos, tenemos:
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Ahora pasamos al segundo nivel de aproximación donde usaremos la fórmula que se dedujo
anteriormente:
Donde es la integral menos exacta (la que usa menos subintervalos) e es la
más exacta (la que usa el doble de subintervalos).
En un diagrama vemos lo siguiente:
Para avanzar al siguiente nivel, debemos conocer la fórmula correspondiente. De forma
similar a la deducción de la fórmula,
se puede ver que la fórmula para el siguiente nivel de aproximación (nivel 3) queda como
sigue:
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donde:
es la integral más exacta
es la integral menos exacta
En el siguiente nivel (nivel 4) se tiene la fórmula
En el ejemplo anterior, obtenemos la aproximación en el nivel 3 como sigue:
Así, podemos concluir que el valor de la aproximación, obtenido con el método de Romberg,
es:
Problema. Usar el algoritmo de Romberg para aproximar la integral:
Agregando a la tabla anterior donde .
Solución.
Calculamos con la regla del trapecio:
Tenemos entonces la siguiente tabla:
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De donde concluimos que la aproximación buscada es:
Problema. Aproximar la siguiente integral:
usando el método de Romberg con segmentos de longitud
, , ,
Solución.
Igual que arriba, primero usamos la regla del trapecio (con los valores de h indicados)
para llenar el nivel 1. Tenemos entonces que:
A continuación, usamos las fórmulas de Romberg para cada nivel y obtenemos la siguiente
tabla:
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De donde concluimos que la aproximación buscada es:
Problema: Aplicar el algoritmo de integración de Romberg a la integral:
tomando
Solución.
En este caso no sabemos exactamente cuántas aproximaciones debemos hacer con la regla
del trapecio. Así que para comenzar hacemos los cálculos correspondientes a uno, dos,
cuatro y ocho subintervalos:
Con estos datos, podemos hacer los cálculos hasta el nivel 4. Tenemos la siguiente tabla:
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Haciendo los cálculos de los errores, nos damos cuenta que efectivamente la aproximación
se obtiene hasta el nivel 4,
Donde
.
Por lo tanto, concluimos que la aproximación buscada es:
5.4 Aplicaciones
Ejercicios de aplicación
Antecedentes: La determinación de la cantidad de calor requerido para elevar la
temperatura de un material es un problema con el que a menudo nos enfrentamos. La
característica necesaria para llevar a cabo este cálculo es la capacidad calorífica c . Este
parámetro representa la cantidad de calor requerida para elevar una unidad de
temperatura en una unidad de masa. Si c es constante en el intervalo de temperatura que
se examinan, el calor requerido
ΔH=mc ΔT ............EC. 1
Donde c está en cal /(g⋅°C ), m = masa (g) y ΔT = cambio de temperatura (°C ) . Y
la ecuación para calcular el promedio c (T ) :
c (T )=∫T1
T2 c (T )dT
T 2−T 1 ........................EC. 2
Dónde ΔT=T2−T 1 .
Nota: para hallar el valor exacto de la función se debe sustituir la ecuación 2 en la
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ecuación 1.
La capacidad calorífica de un material podría aumentar con la temperatura de acuerdo
con la relación tal como
c (T )=0.132+1.56 x10−4T +2 .64 x10−7T 2
Con 1000 gramos de material desde –100 hasta 200 C.
Determine:
El valor exacto de la integral
Grafica
Las integración numérica siguiente
Regla del trapecio simple
I1
T1
T0
c T
0 c T1
2
I m I1
I 43920
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Regla del trapecio de aplicación múltiple con n = 2
I1
T2
T0
c T
0 2 c T1 c T
2
2n
I m I1
I 43029
Regla de Simpson de 1/3
I1
T2
T0
c T
0 4 c T1 c T
2
6
I m I1
I 42732
Regla de Simpson de 1/3 de aplicación múltiple n = 5
I1
3000.11904 4 0.12618 0.14617( ) 2 0.13523 0.15901( ) .17376
15 39.4136
I m I1
I 39413.6
Regla de Simpson de 3/8
I1
3000.11904 3 0.132 .15024( ) .17376
8 42.732
I m I1
I 42732
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Unidad 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Competencia específica a desarrollar
Utilizar los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias básicas.
6.1 Fundamentos de ecuaciones diferenciales
Fundamentos matemáticos
El objetivo del método es obtener una aproximación al problema
dydx
=f (x , y ) , a≤x≤b con la condición inicial, y ( x0 )= y0 .
Inicialmente no se obtendrá una aproximación continua de la solución y(x), sino que se
generarán aproximaciones de y en varios puntos, llamados puntos de red, en el intervalo
[a,b]. Una vez que se obtenga la solución aproximada en estos puntos, es posible encontrar
un polinomio de interpolación que se ajuste a los valores (tabulados) obtenidos.
Supondremos que los puntos de la red están distribuidos uniformemente sobre el intervalo
[a, b]. Podemos garantizarlo, escogiendo un entero positivo N y seleccionando los puntos de
red
x0<x1< x2<.. .<xn donde
x i=x0+ih , para cada i = 0, 1, 2, ..., N
La distancia común entre los puntos,
Se llama tamaño de paso, y el punto inicial, (x0 , y0), es el único punto conocido de la
solución exacta.
La aproximación y1 en el próximo punto x1 de la red está determinado por la recta
tangente a la curva y en el punto (x0 , y0):
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Como
entonces,
y1− y0=(x1−x0 ) f (x0 , y 0)Por lo tanto,
y1= y0+hf ( x0 , y0)
Y, en general,
yn+1= yn+hf ( xn , yn )
con h=xn+1−xn
La solución explícita es y = 2ex - x - 1, y para el punto x20 = 1 se tiene que y (x 20) =
3.4365637.
6.2 Métodos de un paso: Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta
Método de Euler
Este método fue ideado por Euler hace más de 200 años. Es bastante sencillo, pero no tan
preciso como los otros métodos que veremos posteriormente. Sin embargo, el método de
Euler sirve como punto de partida hacia técnicas alternativas que aparecerán según se
considere.
La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en Xi
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φ=f ( xi , yi )Donde f (X i, Y i) es la ecuación diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá
substituirse en la ecuación nos queda que:
Y i+1= yi+ f ( x i , yi)h
Esta fórmula es conocida como el método de Euler ( o Euler- Caunchy o de un punto medio).
Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el
valor original de X) que habrá de extrapolarse en forma lineal sobre el tamaño de paso h
Ejemplo:
Método de Euler
Enunciado del problema : utilícese el método de Euler para la ecuación
De x = 0 hasta x = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condición inicial en x = 0 es y = 1.
Solución:
PVI=¿ {df ( x )dx
=−2 .0x3+12x2−20 x+8 .5 ¿ { y (0)=1¿ { y ( 4 )=? ¿ ¿¿¿
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Ejercicios:
Enunciado del problema: utilícese el método de Euler para la ecuación
De x = 0 hasta x = 4 con un tamaño de paso de 0.25. La condición inicial en x = 0 es y = 1.
PVI=¿ {df ( x )dx
=−2 .0x3+12x2−20 x+8 .5 ¿ { y (0)=1¿ { y ( 4 )=? ¿ ¿¿¿
Análisis de error en el método de Euler
La solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos
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de error:
Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicas
empleadas para aproximar los valores de y.
Errores de Redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas que
pueden retener una computadora.
Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un error de
truncamiento local que puede que resulta al aplicar el método en cuestión en un paso. El
segundo error de programación que resulta de las aproximaciones producidas durante los
pasos anteriores. La suma de los dos es el error de truncamiento global.
Ejercicio: Resuelva el siguiente
PVI ¿ {dydx=(x− y ) ¿ { y (0)=2¿ { y (1)=? ¿ ¿¿
Mediante el método de Euler
Ejercicios:
Un tanque cilíndrico de fondo plano con un diámetro de 1.5 m contiene un líquido de
densidad r = 1.5 kg/L a una altura a de 3 m. Se desea saber la altura del líquido dentro del
tanque tres minutos después de que se abre completamente la válvula de salida, la cual da
un gasto de 0 .6 A √2 ga m3 /s , donde A es el área seccional del tubo de salida y es
78 .5 x 10−4 m2 y g = 9.81 m/s2.
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Solución
El vaciado el llenado de un tanque cilíndrico se modela haciendo un balance de materia con
las siguiente expresión :
h=180−06
=30
Acumulación = entrada – salida
dV ρdt
=0−0 .6 A√2ga
Dónde:
V=πr2 h=π (0 .75 )2a
Entonces:
π (0 .75 )2 dadt
=−0 . 6 A √2 ga
dadt
=−0 .6 A √2gaπ (0 .75 )2
=−0 .0026653 √2ga
Al considerar como tiempo cero el momento el abrir momento de abrir la válvula y además
la altura buscada a un tiempo de 3 minutos (180 segundos), se llega
PVI ¿ {dadt =−0. 0026653√2ga ¿ {a(0 )=3m ¿¿¿
En virtud de que la exactitud de los resultados que se esperan no es grande, se usa el
método de Euler para resolver este PVI.
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Tiempo (s) 0 30 60 90 120 150 180
a (m) 3.00 2.39 1.84 1.36 0.95 0.60 0.33
Método de Euler mejorado
En el método de Euler se tomó como válida para todo el primer subintervalo la derivada
encontrada en un extremo de este. Para obtener una exactitud razonable se utiliza un
intervalo muy pequeño, a cambio de un error de redondeo mayor 8 ya que se realizara más
cálculos).
El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un valor promedio
de la derivada tomada en los extremos del intervalo, en lugar de la derivada tomada en un
solo extremo.
El método de Euler modificado consta de dos pasos básicos :
Se parte de (x0 , y0 ) y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor de y
correspondiente a x1 . Este valor de y se denotara aquí como
y1 , ya que solo es un valor
transitorio para y1 . Esta parte del proceso se conoce como paso predictor.
El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción. En el nuevo punto
obtenido (x1 , y1) se evalúa la derivada f ( x1 , y1 ) usando la ecuación diferencial ordinaria
PVI que se esté resolviendo; se obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada
en el punto inicial (x0 , y0 ) .
12 [ f ( x0 , y0)+ f (x1 , y1) ]
= derivada promedio
Se usa la derivada promedio para calcular un nuevo valor de y1 , con la ecuación
Y i+1= yi+ f ( x i , yi)h
Que deberá ser más exacto que y1.
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y1= y0+(x1−x0)
2 [ f ( x0 , y0)+ f (x1 , y1)]Y que se tomara como un valor definitivo de y1. Este procedimiento se repite hasta llegar a
yn.
El esquema iterativo para este método quedaría en general así:
Primero, usando el paso de predicción resulta:
y i+1= y i+hf ( x i , y i )
Una vez obtenida y i+1se calcula f ( xi+1 , y i+1 ) , la derivada en el punto ( x i+1 , y i+1) , y se
promedia con la derivada previa f ( xi , y i )para encontrar la derivada promedio
12 [ f ( x i , y i )+f (x i+1 , y i+1) ]
Se sustituye f ( xi , y i ) con este valor promedio en la ecuación de iteración de Euler y se
obtiene :
y i+1= yi+h2 [ f ( xi , y i )+ f (x i+1 , yi+1) ]
Método de Runge Kutta
Todos los métodos de un paso se pueden expresar en esta forma general, que sólo va a
diferir en la manera en la cual se estima la pendiente. El procedimiento más simple es usar
la ecuación diferencial para estimar la pendiente derivada en X i al inicio del intervalo. En
otras palabras, la pendiente al inicio del intervalo es tomada como una aproximación de la
pendiente promedio sobre todo el intervalo. Este procedimiento se llama método de Euler.
Existen otros métodos de un paso que cumplen estimaciones de pendiente en forma alterna
y cuyas resultantes serán predicciones más exactas. Todas estas técnicas se conocen por lo
general como métodos de Runge-Kutta.
Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran la exactitud del procedimiento de una serie de
Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero
todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación :
y i+1= y i+φ( x i , y i , h)h
Donde φ ( xi , y i , h ) es conocida como función incremento, al cual puede interpretarse
como una pendiente representativa sobre el intervalo. La función incremento se escribe por
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lo general como:
φ=a1k1+a2k2+.. .+ankn
Donde a son constantes y las k son:
k 1= f ( x i , y i )k 2= f ( x i+ p1h , y i+q11k1h )k 3= f ( x i+ p2h , y i+q21 k1h+q22k 2h)k 4=f ( xi+ pn−1h , y i+qn−1 k1h+qn−1,2 k2h+. ..+qn−1, n−1 kn−1h )
Observe que las k son relaciones de concurrencia. Esto es k1 aparece en la ecuación para k2,
que apareces en la ecuación de k3,etc. Esta recurrencia hace a los métodos RK eficientes
para su cálculo en computadoras.
Es posible concebir varios tipos de métodos de Runge-Kutta al emplear diferentes números
de términos en la función incremento como la especificada por n. Observe que el método de
Runge-Kutta (RK) de primer orden con n = 1 es, de hecho, el método de Euler.
Una vez que se elige n, se evalúan las a,p y q al igualar la ecuación [10] a los termino de la
serie de expansión de Taylor .Así al menos para las versiones de orden inferior, el numero
de términos n con frecuencia representa el orden de la aproximación.
Método de Runge-Kutta de segundo Orden
y i+1= yi+(a1k1+a2k2 )hk 1=f ( x i , y i )k 2=f ( x i+ p1h , y i+q11k1h )
Los valores para a1,a2,p1 y q11 son evaluados al igualar el termino se segundo orden de la
ecuación Yi+1 en [12] con la expansión de la serie de Taylor. Para realizar esto,
desarrollamos tres ecuaciones para evaluar las cuatro constantes desconocidas. Las tres
ecuaciones son :
a1+a2=1
a1 p2=12
a2 p11=12
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Ejemplo: Método RK de segundo orden:
F ( x , y) = - 2 x 3 + 12 x 2 – 20 x + 8.5
Desde x = 0 hasta x = 4 usando un tamaño de paso de 0.5. la condición inicial en x = 0 es y =
1.
Solución:
y i+1= y i+φh
k 1= f ( x i , y i )
k 2= f ( x i+34h , y i+
34hk i )
φ=(13k1+
23k2)
X = 0 y = 1 h = 0.5
k 1 = f ( x i , y i )
K 1 0 f ( 0 , 1 ) = - 2 (0) 3 + 12 (0) 2 – 20 (0) + 8.5 = 8.5
k 2 = f ( x I + 3/4 h , y I + 3/4 hk1 )
K 2 = f [ ( 0 +3/4 ( 0.5) , 1 + 3/4 (0.5)(8. 5 )] =
K 2 = f ( 0.375 , 4.1875 )
= - 2 (0.375) 3 + 12 (0.375) 2 – 20 (0.375) + 8.5 =
= 2.58203125
f = 1/3k1 + 2/3 k2
f = 1/3( 8.5 ) + 2/3 (2.58203125) = 4.5546875
Y I + 1 = y I + ( 1/3 k 1 + 2/ 3 k 2) h
Y (0.5) = 1 + 4.5546875 ( 0.5 ) = 3. 27734375
X = 0.5 y = 3.27734375 h = 0.5
k 1 = f ( x i , y i )
K1 = f ( 0.5 , 3. 27734375 )
= - 2 (0.5) 3 + 12 (0.5) 2 – 20 (0.5) + 8.5
= 1.25
k 2 = f ( x I + 3/4 h , y I + 3/4 hk1 )
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K 2 = f [ ( 0.5 +3/4 ( 0.5) , 3.27734375 + 3/4 (0.5)(1.25 )] =
K 2 = f ( 0.875 , 3.74609375 )
= - 2 (0.875) 3 + 12 (0.875) 2 – 20 (0.875) + 8.5
= - 1.15234375
f = 1/3k1 + 2/3 k2
f = 1/3( 1.25 ) + 2/3 (- 1.15234375) = - 0.3515625
Y I + 1 = y I + ( 1/3 k 1 + 2/ 3 k 2) h
Y (0.5) = 3.27734375 + ( - 0. 3515625) ( 0.5 ) = 3.1015625
X Y verdadera Ralston RK ½Î v½
0.00.51.01.52.02.53.03.54.0
1.000003.218753.000002.218752.000002.718754.000004.718753.00000
1.000003.277343753.1015625
2.347656252.140625
2.855468754.1171875
4.800781253.03125
01.83.45.87.05.02.91.71.0
Método de Runge-Kutta de tercer Orden
Para n = 3, se puede hacer desarrollo similar al método de segundo orden. El resultado de
dicho desarrollo es de seis ecuaciones con ocho incógnitas. Por tanto, se debe especificar
con antelación los valores para las dos incógnitas con el fin de establecer los parámetros
restantes. Una versión común que resulta es :
y i+1= yi+16 (k 1+4 k2+k3) h
k 1=f ( x i , y i )
k 2=f ( x i+12h , y i+
12k1h )
k 3=f ( x i+h , yi−k1h+2k2 h)
Ejemplo: Método RK de tercer orden.
Una EDO que es exclusivamente una función de x.
d y = - 2 x3 + 12 x 2 – 20 x + 8.5
d x
con y (0) = 1 y de tamaño de paso igual a 0.5
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una EDO que es una función de x y y:
d y = 4 e 0.8 x – 0.5 y
dx
con y (0) = 2 desde x = 0 a 1 con un tamaño de paso 1
Solución:
y i+1= yi+16 (k 1+4 k2+k3) h
k 1=f ( x i , y i )
k 2=f ( x i+12h , y i+
12k1h )
k 3=f ( x i+h , yi−k1h+2k2 h)
Una EDO que es exclusivamente una función de x.
d y = - 2 x3 + 12 x 2 – 20 x + 8.5
d x
con y (0) = 1 y de tamaño de paso igual a 0.5
K 1 = f ( 0, 1 ) = - 2 (0)3 + 12 (0)2 – 20 (0) + 8.5 = 8.5
K 2 = f [0 + 1/ 2 (0.5) , 1 + 1 / 2 ( 8.5 ) (0.5) ] =
K 2 = f ( 0.25 , 3.125 ) = - 2 (0.25)3 + 12 (0.25)2 – 20 (0.25) + 8.5 = 4.21875
K 3 = f [ 0 + 0.5 , 1 – (8.5)(0.5) + 2(4.21875)(0.5) ] =
K 3 = f (0.5 , 0.96875 ) = - 2 (0.5)3 + 12 (0.5)2 – 20 (0.5) + 8.5 = 1.25
Que se puede sustituir en la ecuación
y i+1= y i+16 (k 1+4 k2+k3) h
y (0.5) = 1 + {1/6 [ 8.5 + 4 4.21875 + 1.25]}0.5 = 3.21875
la cual es exacta . por lo tanto, ya que la solución verdadera es un polinomio de cuarto
orden. La regla de Simpson de 1/3 proporciona un resultado exacto.
una EDO que es una función de x y y:
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d y = 4 e 0.8 x – 0.5 y
dx
con y (0) = 2 desde x = 0 a 1 con un tamaño de paso 1
K 1 = f ( 0, 2) =
K 1 = 4 e 0.8 (0) – 0.5(2) = 3
K 2 = f [0 + 1/ 2 (1) , 2 + 1 / 2 (3) (1) ]
K 2 = f ( 0.5 , 3.5) = 4 e 0.8 (0.5) – 0.5 (3.5 ) = 4.21729879
k 3 = f [0 + 1, 2 – (3)(1) + 2(4.21729879)(1) ]
k 3 = f (1 , 7.43459758 ) = 4 e 0.8 (1.0) – 0.5 ( 7.43459758) = 5.184864924
que se puede sustituir en la ecuación.
y i+1= y i+16 (k 1+4 k2+k3) h
y (1.0) = 2 + {1/6 [ 3 + 4 4.21729879 + 5.184864924]} (1.0) = 6.175676681
que representa un Î v = 0.31 % ( valor verdadero = 6.19463138) , que es superior en mucho
a los resultados obtenidos previamente con los métodos RK de segundo orden.
Método de Runge-Kutta de Orden Superior
Donde se requiere resultados mas exactos, es recomendable el método de Butcher (1964) y
el método RK de quinto orden :
y i+1= y i+190 (7k 1+32k3+12k 4+32k5+7k 6)h
k 1=f ( x i , y i )
k 2=f ( x i+14h , y i+
14k1h )
k 3=f ( x i+14h , y i+
18k 1h+1
8k 2h)
k 4=f ( xi+12h , y i−
12k2h+k3h )
k 5=f ( x i+34h , y i+
316
k 1h+916
k 4h )
k 6=f ( x i+h , y i−37k1h+
27k2h+
127
k3h−127
k4+87k 5h)
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6.3 Aplicaciones a la ingeniería
Aplicaciones
En un tanque perfectamente agitado se tiene 400L de una salmuera en la cual están
disueltos 25 kg de sal común (NaCl), en cierto momento se hace llegar al tanque un gasto
de 80 L/min de una salmuera que contiene 0.5 Kg. de sal común por litro. Si se tiene un
gasto de salida de 80 L/min determine: ¿ Qué cantidad de sal hay en el tanque
transcurridos 10 minutos?
Solución:
si se llaman x los Kg. De sal en el tanque después de t minutos , la acumulación de sal en el
tanque esta dada por dx /dt y por la expresión
dxdt
=masa de sal que entra - masa de sal que sale
los valores conocidos se sustituyen y se llega a la ecuación :
dxdt
=80(0 .5)−80(x400
)
dxdt
=40−0 .2 x
que con la condición inicial de que hay 25 Kg. De sal al tiempo cero, da el siguiente
PVI ¿ {dxdt =40−0 . 2x ¿ {x (0 )=25 ¿ ¿¿como vía de ilustración se utilizara un método de Runge - Kutta de tercer orden cuyo
algoritmo esta dado por:
y i+1= y i+h6
(k 1+4 k2+k3 )
con
k 1=f ( x i , y i )
k 2=f (xi+h2, y i+
hk1
2 )k 3=f (x i+h , yi+2hk 2−hk1 )
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X(i) Y(i)0123456789
10
0123456789
10
2556.733382.7124
103.9805121.3920135.6463147.3158156.8692164.602
171.0931176.3349
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Bibliografía
Chapra Steven y Canale R. ; Métodos Numéricos para ingenieros; Ed. Mc Graw
Hill
Antonio Nieves – Federico C. Domínguez; Métodos numéricos aplicados a la
ingeniería ; Ed. CECSA
Ing. Javier Rosas Margarito ; Métodos numéricos, teoría y programación en
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Nakamura Shoichiro; Métodos numéricos aplicados a software; Ed. Prentice
Hall;
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http://docentes.uacj.mx/gtapia/AN/Unidad5/Romberg/Romberg.htm
http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/intromberg.pdf
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