antologia calculo integral sd1 2015
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Antología comentada de Cálculo Integral.Secuencia didáctica 1Ciclo escolar: Febrero - Julio 2015UNACAR - CAMPUS IITRANSCRIPT
1
2015
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN
Ciclo escolar: Febrero – Julio 2015
Recopilado y Presentado por:
Ing. Trinidad del Carmen Rodríguez Cámara
Escuela Preparatoria Diurna.
Academia que presenta:
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS.
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
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INDICE
Introducción 3 Bloque 1 El dominio de los misterios del movimiento
5
Comentario 13 Valoración crítica 13 Actividad 1 Constante de Integración
15 17
Comentario 22 Valoración crítica 22 Actividad 2 23 Bloque 2
El origen de la integral 25 Comentario 32 Valoración crítica Actividad 3
32 33
El origen de la integral: La primera mitad del siglo XVII 26 Bloque 3 La integral definida y la función área.
36
Comentario Valoración crítica
38 39
Actividad 4 40 Conclusiones 42 Bibliografía 43
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
3
INTRODUCCION
El cálculo integral junto con el cálculo diferencial, representan las dos ramas
importantes de la disciplina matemática llamada análisis. Mientras que el cálculo diferencial se
ocupa de la teoría y las aplicaciones de los cambios de una magnitud con respecto a otra con la
cual está en una relación funcional, el cálculo integral se dedica al estudio de los resultados de
estos cambios.
La antología, “Oyendo a los matemáticos”, está dirigido a los estudiantes de sexto
semestre de bachillerato como parte de curso de optativa llamada calculo integral, quienes en
un futuro ingresaran a carreras relacionadas con la ingeniería. La comprensión de lecturas en
matemática no se limita al conocimiento y adquisición de ciertos procedimientos, incluye la
discusión de ideas y conceptos, se debe leer el enunciado y buscar darle un sentido y
significado coherente a la situación planteada. Podrás estar seguro que se ha comprendido,
porque serás capaz de señalar sus ideas principales
A través de la discusión se desarrolla la capacidad de comunicación y argumentación, no basta
decir que ya entendimos algo; si no somos capaces de expresar y comunicar a otros esta
comprensión, debemos saber comunicar nuestras ideas, pero también escuchar cuidadosamente
los argumentos de otros, tratando de entender lo que nos están diciendo, reflexionar en los
argumentos que nos presentan y aceptarlos si nos parecen convincentes.
Fue elaborada por la Academia de Matemáticas, cuya intención es contribuir al desarrollo de
algunas competencias genéricas como son:
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la
utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.3 Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de
ellas.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información
El cálculo Integral se introduce normalmente como el método inverso del cálculo diferencial, lo
cual se puede justificar y comprobar desde el punto de vista matemático. En el bloque 1
encontraremos lecturas que nos permitan conocer el origen de la diferencial e integral. En el
bloque 2 se conocerá el origen de la integral definida y finalmente en el bloque 3 se identificara
las aplicaciones del teorema fundamental del cálculo.
Como parte del proceso formativo de la evaluación se anexan los instrumentos que permitan
medir el desempeño de las actividades realizadas dando validez al desarrollo de las
competencias propuestas.
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Objetivo: Conocer el origen del
concepto de diferencial e integral
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‘El Dominio de los Misterios del Movimiento’ de David Bergamini.
Capítulo 5 de Bergamini David, “Matemáticas” Time-Life: México.
LA PARALIZACIÓN DEL MOVIMIENTO.
Esta fotografía, tomada a gran velocidad, de un hombre haciendo
girar garrotes indios, fue realizada por el profesor Harold Edgerton,
del Tecnológico de Massachussets, EE. UU.
En forma análoga, el cálculo se utiliza para “aislar”
matemáticamente movimientos complejos, y analizar un proceso
cambiante fase por fase.
Nada en el mundo es inmune al cambio.
La roca más dura en el más seco de los
desiertos se dilata o se contrae con el
cambio de la luz solar. Los bloques de
acero para medir en la Oficina Nacional
de Pesas y Medidas de EU, aunque estén
almacenados en bóvedas subterráneas a
temperatura controlada, están sujetos a
fluctuaciones estacionales en su longitud
que se cree son producidas por la
radiación de las paredes circundantes.
Todo crece o se contrae, se calienta o se
enfría, cambia de posición, de color, de
composición… tal vez hasta de lugar.
Aunque el proceso de cambio es inevitable y vital para comprender las leyes de la naturaleza, es difícil de analizar. Por ser continuo no ofrece ningún punto sencillo que la mente pueda aislar y controlar. Durante siglos desconcertó a los matemáticos. Algunos primeros pasos, ciertamente, se dieron hacia una matemática del movimiento. Los
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griegos lo hicieron así cuando se imaginaron las curvas como trazos realizados por puntos en movimiento, y cuando analizaron las líneas curvas, paso a paso, por medio de la técnica de dividirlas en segmentos infinitamente pequeños. Así lo hizo Descartes cuando pensó en los términos de una ecuación como funciones entre variables y, sobre todo, cuando facilitó una posibilidad para representar figuras gráficas de las situaciones y relaciones fluidas. Pero en su mayor parte el mundo de las matemáticas se pobló de figuras de cera: formas y números que permanecían absolutamente invariables.
Posteriormente, en 1665 y 1666, el
incomparable Isaac Newton, de Inglaterra,
realizó una prodigiosa creación mental,
denominada en la actualidad cálculo, que,
por primera vez, permitió el análisis
matemático de todo movimiento y cambio.
En el cálculo, Newton combinó la técnica
de la división en partes pequeñas de los
griegos y el sistema gráfico de Descartes
para crear un maravilloso y automático
instrumento mental con el fin de operar en
una ecuación para llegar a los
infinitésimos. El cálculo probó su
efectividad tan rápidamente que en unos
cuantos años su creador lo utilizó para
establecer las leyes del movimiento y de la
gravitación. Debido a su habilidad en
probar los fugaces misterios del
movimiento, el cálculo en la actualidad se
ha convertido en el nexo principal entre la
ciencia práctica y el conjunto de
pensamientos matemáticos. Todo avión,
todo aparato de televisión, todo puente,
toda bomba, toda nave espacial le deben un
poco de gratitud.
Las distintas clases de cambio que puede
analizar el cálculo son tan diversas como
el vestuario de una reina. Si los factores
que comprenden cualquier situación
fluida pudieran ponerse en términos de
una ecuación, entonces el cálculo podría
abarcarlos y descubrir las leyes a que
obedecen. La variación en estudio puede
ser tan dramática como la velocidad
acumulada en un cohete dirigido al dejar
su base o tan suave como la pendiente
variable de la carretera de una montaña.
Puede ser tan visible como los kilos que
se añaden a la que en un tiempo fue una
esbelta cintura o tan invisible como los
altibajos de la corriente en una línea de
potencia. Puede ser tan sonora como el
crescendo de un concierto de Beethoven o
tan silenciosa como la concentración
paulatina y en suave aumento de la fuerza
de la corriente del agua embalsada.
El cálculo analiza todas estas situaciones
al invocar dos procesos matemáticos
nuevos, que son las primeras operaciones
fundamentales que hay que añadir a las
leyes de la adición, sustracción,
multiplicación, división y cálculo de
raíces. Estas nuevas operaciones son
denominadas diferenciación e
integración, siendo ésta la inversa de
aquélla, casi en la misma forma que la
sustracción es la inversa de la suma o la
división de la multiplicación. La
diferenciación es una forma de calcular la
tasa de variación de una variable en una
situación en relación a otra en cualquier
punto de un proceso. El método
actualmente empleado en la
diferenciación es dividir una pequeña
variación en una variable por una
pequeña variación en otra; dejar que estos
cambios vayan disminuyendo hasta
acercarse a cero; después –y ésta es la
clave- hallar el valor a que tiende la
relación entre ellos a medida que las
variaciones pasan a ser infinitamente
pequeñas. A este valor es a lo que los
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matemáticos llaman un “límite”, y es la
respuesta que buscan, el resultado final de
la diferenciación, la tasa de variación en
cualquier momento o punto. La
integración opera al revés que la
diferenciación; considera a una ecuación en
términos de tasa de variación y la
convierte en una ecuación en términos de
las variables que hacen la variación.
UN INVENTO, DOS GIGANTES
MATEMATICAS Y CASA DE MONEDA
Aunque fue un genio matemático, Isaac Newton se
dedicó al estudio teológico y, en los últimos años, al cargo de gobernador de la Casa de Moneda.
Desarrolló su versión del cálculo en 1665, pero no
publicó sus descubrimientos hasta 1704.
UN GENIO EN MUCHAS DISCIPLINAS
Gottfried Wilhelm von Leibniz fue un genio
universal que ganó diversos grados honoríficos en derecho, religión, política, historia, literatura, lógica,
metafísica y filosofía especulativa.
Publicó su versión del cálculo en 1684.
Por medio de la diferenciación, un
matemático puede profundizar en la
situación de un fluido hasta que encuentre
algún factor constante que refleje la
acción de una ley constante de la
naturaleza. En esta forma, Newton y
teóricos posteriores, hicieron un
descubrimiento que todavía no es fácil de
comprender para los no versados. Este
descubrimiento fue que el factor
constante en muchos procesos de la
naturaleza es la tasa en que varía la tasa
de variación. Descifrar esta aparente
redundancia puede parecer imposible;
pero todo el que conduce está
familiarizado con la tasa de variación de
una tasa de variación. La velocidad del
coche es una tasa de variación de la
distancia con respecto al tiempo. Al
acelerar o disminuir la velocidad, la
propia velocidad del coche cambia, y
varía en una proporción –aceleración o
disminución– que constituye la tasa de
variación de la tasa de variación. En la
naturaleza, la gravedad actúa de forma tal
que hace que un objeto que cae se mueva
en una tasa que aumenta en proporción
constante. En los procesos que
comprenden verdaderos movimientos
físicos, Newton definió esta proporción
de una tasa como aceleración, y dio el
nombre de fuerza a la gravedad que la
causaba. Definió la fuerza en general
como algo que hace acelerar a un objeto.
Al ser aplicada por medio del cálculo,
esta definición –establecida hace tres
siglos- ha permitido a los científicos el
poder identificar las tres fuerzas
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fundamentales del cosmos: la fuerza de
gravedad, la fuerza del magnetismo, o
carga eléctrica, y la fuerza que une a los
núcleos atómicos.
En contraste con el papel espectacular que
ha desempeñado el cálculo en descubrir los
secretos del universo, la nomenclatura en
torno a la diferenciación y la integración
es tristemente prosaica. El cambio
relativo de una y o x , hallado por la
diferenciación, se llama derivada: una
derivada de y con respecto a x , que se
escribe dxdy , o de x con respecto a y ,
que se escribe dydx . Lo opuesto a una
derivada, hallada por medio de la
integración, se denomina integral y se
simboliza por ∫, una S anticuada, que era
una abreviación, originalmente, para la
“suma” o “adición”. Al efectuarse la
integración en una ecuación escrita en
términos de derivadas, convierte otra vez
la ecuación en una en la que x y la y se
han despojado de sus disfraces de tasa de
variación y han recobrado una apariencia
algebraica normal.
LA SUMA APROXIMADA
El matemático suizo del siglo XVIII
Leonhard Euler propugnó el uso de la
sigma griega en el cálculo como símbolo
para la suma de un número finito de
rectángulos como aproximación al área limitada por una curva.
LA INTEGRAL INFINITA
Leibniz popularizó el uso de una S
alargada como símbolo para representar
en el cálculo una integral, suma
compuesta de un número infinito de
rectángulos infinitamente diminutos que miden el área limitada por la curva.
Una definición para los que hacen
régimen.
Los nombres y jeroglíficos que acompañan
a las técnicas del cálculo pueden parecer
desquiciados, pero las ideas que hay
detrás de ellos pueden reconocerse
fácilmente. Por ser una tasa de variación,
una derivada significa, simplemente, la
velocidad de un proceso: tantos
kilómetros por hora o metros por segundo
si se refiere a una variación de posición;
tantos kilos por semana si se refiere al
éxito de un régimen; tantos genios por
nacimiento si se refiere a las estadísticas
del cociente de inteligencia. La integral
correspondiente a cada una de estas
derivadas serían los kilómetros
recorridos, los kilos perdidos o los genios
que se han producido.
Cuando se la utiliza abstractamente en una
ecuación, una derivada puede concebirse
más rápidamente en términos de la curva
que representa esta ecuación en una
gráfica. En cualquier punto, la curva está
creciendo o decreciendo en una tasa de
tantas unidades de y por cada unidad de
x . Esta pendiente hacia arriba o hacia
abajo es exactamente el equivalente
geométrico de la tasa de variación –la
derivada- de y con respecto a x . Los
ingenieros a menudo expresan la
pendiente de una colina, la inclinación de
un tejado o la verticalidad de la ascensión
de un avión en términos idénticos: es
decir, tanta altitud alcanzada por unidad
de distancia horizontal atravesada. Pero
en estas aplicaciones la pendiente se
concibe como si se midiera en un tramo
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definido. Con el cálculo, la derivada se
concibe como una pendiente instantánea
en un punto aislado de la curva.
Que este concepto alusivo a la pendiente
instantánea no es una ficción producto de
la imaginación matemática puede verse
en una granada de artillería a medida que
describe un arco hacia el objetivo. En
cualquier momento determinado la
granada se mueve en una dirección
definida. Esta dirección es una pendiente
instantánea con respecto al suelo, una tasa
de variación en la altitud de la granada
con respecto a su posición horizontal. En
términos gráficos, la velocidad de la
granada moviéndose hacia arriba y hacia
abajo, puede considerarse también como
una pendiente instantánea en una curva.
Un matemático normalmente escribiría
dicha derivada –la velocidad de ascenso
o descenso, o la tasa de variación en
distancia vertical- como dtdy en la
que t representa el tiempo.
Lo opuesto de una derivada, una
integral, puede visualizarse también a
través de una gráfica. Supóngase que y
es igual a alguna expresión de x y que
esta ecuación se representa como una
curva. Entonces la integral de y es el
área entre la curva y la línea horizontal,
o eje, situada debajo de aquélla. El
porqué esto es así puede verse al
imaginar que el área bajo la curva está
cubierta por una valla de estacas con una
parte superior ondulada. A medida que se
construye la valla cada nueva estaca se
suma al área de la valla. De hecho, la
altura de cada estaca añadida es una
medida de la proporción en que crece el
área de la valla; una estaca de 1.80 m,
por ejemplo, añade un área doble que la
de una estaca de 0.90 m. La integral de
la tasa de variación, por lo tanto, debe
ser el factor real en la situación que
varía, es decir, el área de la propia valla.
El equivalente geométrico de cada estaca
es simplemente la altura de una curva: la
vertical, o coordenada y , de cada punto
de una curva. La integración de y debe
dar el área total bajo la curva.
INTEGRALES EN FORMA DE ESTACAS
Una valla de estacas es una sencilla clave para la integración. El área que añade una nueva estaca
equivale al rectángulo x y y. Pero esto no deja más
que la parte superior de la estaca. El cálculo
soluciona el problema haciendo que las estacas se
estrechen de modo que la parte superior resulte
minúscula.
Muchas de las aplicaciones más prácticas
del cálculo derivan de la habilidad de la
integración para sumar las estacas de
longitud y , así como para la
determinación de áreas. A través de ésta,
un matemático puede determinar el
volumen de todas las posibles formas
irregulares, tales como el fuselaje de
aviones, o tanques para el almacenamiento
del aceite; también puede hallar las áreas
de superficies curvilíneas: cantidad de
plancha para la carrocería de un auto, o
superficie de ascensión en las alas de un
jet.
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Newton Vs. Leibniz -
Grandes peleas de la
ciencia
En el último cuarto del siglo XVII,
Newton y Leibniz, de manera
independiente, sintetizaron de la maraña
de métodos infinitesimales usados por sus
predecesores dos conceptos, los que hoy
llamamos la derivada y la integral,
desarrollaron unas reglas para manipular
la derivada -reglas de derivación-y
mostraron que ambos conceptos eran
inversos- teorema fundamental del
cálculo-: acababa de nacer el cálculo
infinitesimal. Para resolver todos los
problemas de cuadraturas, máximos y
mínimos, tangentes, centros de gravedad,
etc que habían ocupado a sus
predecesores bastaba echar a andar estos
dos conceptos mediante sus
correspondientes reglas de cálculo.
En sus comienzos el cálculo fue
desarrollado para estudiar cuatro
problemas científicos y matemáticos:
• Encontrar la tangente a una curva en
un punto.
• Encontrar el valor máximo o mínimo
de una cantidad.
Encontrar la longitud de una curva, el
área de una región y el volumen de un
sólido.
• Dada una fórmula de la distancia
recorrida por un cuerpo en cualquier
tiempo conocido, encontrar la
velocidad y la aceleración del cuerpo en
cualquier instante. Recíprocamente,
dada una fórmula en la que se
especifique la aceleración o la velocidad
en cualquier instante, encontrar la
distancia recorrida por el cuerpo en un
período de tiempo conocido.
Como ya se mencionó, estos problemas
fueron analizados por las mentes más
brillantes de este siglo, concluyendo en la
obra cumbre del filósofo-matemático
alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el
físico-matemático inglés Issac Newton: la
creación del cálculo. Se sabe que los dos
trabajaron en forma casi simultánea pero
sus enfoques son diferentes.
Los trabajos de Newton están motivados
por sus propias investigaciones físicas (de
allí que tratara a las variables como
"cantidades que fluyen") escribió un
tratado sobre fluxiones en octubre de
1666 Newton pensó en una partícula que
dibuja una curva con dos líneas que se
mueven que eran las coordenadas. La
velocidad horizontal x' y la velocidad
vertical y' eran las fluxiones de x y y
asociadas con el flujo del tiempo.
Por lo tanto, “fluet o fluente” significa
magnitud o cambiante, es decir, es la
cantidad variable que se identifica como
“función”; “fluxión” es la velocidad o
rapidez de variación de la fluente, es
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decir, es la razón de cambio, que se
identifica como la “derivada”; al
incremento infinitesimal o instantáneo de
la fluente se le llama “momento” que se
identifica como la “diferencial”. El
principio establece que: “los momentos
de las funciones son entre sí como sus
derivadas”
En su tratado de 1666, Newton discute el
problema inverso: encontrar y dada la
relación entre x y y'/x'. Por lo tanto la
pendiente de la tangente estaba dada para
cada x y cuando y'/x' = ƒ(x) entonces
Newton resuelve el problema mediante la
anti diferenciación.
El objetivo del cálculo diferencial es
encontrar el fluxión de una magnitud
dada, o mas general, la relación entre los
fluxions. El objetivo del calculo integral
es el de determinar la relación entre los
fluents dada una ecuación que expresa la
relación entre los fluxions Esto
corresponde a los métodos modernos de
integración que newton llama los métodos
de cuadratura, o a la solución de
ecuaciones diferenciales, que newto llama
el método nverso de las tangentes
Por otro lado Leibniz conserva un
carácter más geométrico y,
diferenciándose de su colega, trata a la
derivada como un cociente incremental, y
no como una velocidad. Newton
consideraba que las variables cambiaban
con el tiempo. Leibniz pensaba que las
variables x, y variaban sobre secuencias
de valores infinitamente cercanos.
Introdujo a dx y dy como las diferencias
entre valores consecutivos de esas
secuencias Leibniz no habla de derivada
sino de incrementos infinitamente
pequeños, a los que llama diferenciales.
Un incremento de x infinitamente
pequeño se llama diferencial de x, y se
anota dx. Lo mismo ocurre para y (con
notación dy). Lo que Newton llamó
fluxión, para Leibniz fue un cociente de
diferenciales (dy/dx). Leibniz sabía que
dx/dy da la tangente pero no la usó como
una propiedad que defina.
Para Newton, la integración consistía en
encontrar flujos para una fluxión dada así
que se implica el hecho de que la
integración y la diferenciación son
inversas. Leibniz usaba la integral como
una suma, de forma muy similar a la de
Cavalieri. También estaba contento con el
uso de las 'infinitesimales' dx y dy
mientras que Newton usaba x' y y' que
eran velocidades finitas. Por supuesto que
ni Leibniz ni Newton pensaban en
términos de funciones, pero ambos
pensaban siempre en términos de
gráficas. Para Newton, el cálculo era
geométrico mientras que Leibniz lo llevó
hacia el análisis.
Leibniz estaba bien consciente de que
encontrar una buena notación era
sumamente importante y pensó en ella
mucho tiempo. Newton, por otro lado,
escribió más bien para él mismo y, como
consecuencia, tendía a usar cualquier
notación que se lo ocurriera ese día. La
notación d y ∫ de Leibniz destacaban el
aspecto de operadores que probaría ser
importante más adelante. Para 1675,
Leibniz se había quedado con la notación
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∫y dy = y²/2 escrita exactamente como se
hace hoy.
Resulta muy interesante la larga y
lamentable polémica desatada a raíz de la
prioridad en el descubrimiento. Al
principio la disputa se realizó en el marco
de la cortesía pero al cabo de tres décadas
comenzó a ser ofensiva hasta que en el
siglo XVIII se convirtieron en mutuas
acusaciones de plagio. La polémica se
tornó cada vez mayor y finalmente se
convirtió en una rivalidad entre los
matemáticos británicos y los
continentales. La discusión siguió hasta
mucho después de la muerte de los dos
grandes protagonistas y, afortunadamente,
hoy ha perdido interés y la posteridad ha
distribuido equitativamente las glorias.
Hoy está claro que ambos descubrieron
este cálculo en forma independiente y
casi simultánea entre 1670 y 1677,
aunque fueron publicados unos cuantos
años más tarde.
Después de Newton y Leibniz, el
desarrollo del cálculo, en el siglo XVIII
fue continuado por varios personajes
como los hermanos Bernoulli que
inventaron el cálculo de variaciones
sugiriendo el término calculo integral y el
matemático francés Monge la geometría
descriptiva. Lagrange, también francés,
dio un tratamiento completamente
analítico de la mecánica, realizó
contribuciones al estudio de las
ecuaciones diferenciales y la teoría de
números, y desarrolló la teoría de grupos.
Su contemporáneo Laplace escribió
Teoría analítica de las probabilidades
(1812) y el clásico Mecánica celeste
(1799-1825), que le valió el sobrenombre
de "el Newton francés".Sin embargo el
gran matemático del siglo fue el suizo
Euler, quien aportó ideas fundamentales
sobre el cálculo y otras ramas de las
matemáticas y sus aplicaciones. Euler
escribió textos sobre cálculo, mecánica y
álgebra que se convirtieron en modelos a
seguir para otros autores interesados en
estas disciplinas.
Durante el siglo XIX se trata de estudiar
conceptos nuevos y desarrollar
procedimientos que aclararen algunas
incógnitas del siglo pasado, Un problema
importante fue definir el significado de la
palabra función. el matemático alemán
Dirichlet fue quien propuso su definición
en los términos actuales. En 1821, un
matemático francés, Cauchy, consiguió
un enfoque lógico y apropiado del cálculo
y se dedicó a dar una definición precisa
de "función continua". En el siglo XX el
avance originado por la invención del
ordenador o computadora digital
programable dio un gran impulso a ciertas
ramas de la matemática, como el análisis
numérico y las matemáticas finitas, y
generó nuevas áreas de investigación
matemática como el estudio de los
algoritmos. Se convirtió en una poderosa
herramienta en campos tan diversos como
la teoría de números, las ecuaciones
diferenciales y el álgebra abstracta.
Además, el ordenador permitió encontrar
la solución a varios problemas
matemáticos que no se habían podido
resolver anteriormente. El conocimiento
matemático del mundo moderno está
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avanzando más rápido que nunca. Teorías
que eran completamente distintas se han
reunido para formar teorías más
completas y abstractas. Aunque la
mayoría de los problemas más
importantes han sido resueltos, otros
siguen sin solución. Al mismo tiempo
aparecen nuevos y estimulantes
problemas y aún la matemática más
abstracta encuentra aplicación.
COMENTARIO
Si bien las reglas de operación y las
principales relaciones entre ellas quedaron
claramente establecidas con Newton y
Leibniz, y con ello salía a la luz una nueva
materia: el Cálculo, todavía quedaba
mucho por hacer. Sus fundamentos eran
imprecisos, no solamente para sus autores,
sino para los estudiosos de las
matemáticas que les sucedieron en el siglo
XVIII: durante ese tiempo se buscó pasar
de la justificación basada en el
pragmatismo dado por la consistencia de
los resultados obtenidos, con la visión del
mundo físico que ofrecía la geometría
Euclideana, hacia una explicación que
fuera más allá de lo intuitivamente
plausible. Esto no fue posible hasta el
siguiente siglo, en el que el éxito en el
desarrollo del formalismo algebraico dio
lugar al impulso de sistemas matemáticos
independientes de los postulados afines a
la experiencia sensorial. Fue hasta
entonces que el Cálculo tuvo manera de
adoptar sus propias premisas y construir
sus propias definiciones sujetas solamente
a los requerimientos de su consistencia
interna.
VALORACION CRÍTICA
Tanto Newton como Leibniz establecen
en su método reglas operativas para sus
principales elementos –“fluxiones” y
“diferencias” respectivamente- y ambos
las combinan haciendo notoria la
propiedad inversa –“fluente” y “suma”,
respectivamente. Sin embargo, para
ambos, la Diferenciación es la operación
fundamental; la Integración se considera
simplemente como la inversa de ella. Este
es un punto de vista que prevalece en el
Cálculo elemental actual. Lo que es
importante señalar es que a ambos –
Newton y Leibniz- se les considera como
los “Fundadores del Cálculo”
precisamente por haber establecido las
reglas de operación y las relaciones
descritas. Actualmente, toda la
comunidad científica reconoce a ambos
como los descubridores del cálculo, y se
sigue utilizando la notación de ambos,
con diferencias entre maten áticas y
física. En física, se utiliza la notación de
Newton para la diferenciación, la cual
consiste en un punto sobre el nombre de
la función, y que Newton denomino
fluxión. Es muy utilizada para la derivada
respecto del tiempo.
En la notación de Leibniz se representa la
operación de diferenciar mediante el
operador d/dx. Esta notación permite
recordar intuitivamente varios conceptos
del cálculo como la regla de la cadena, o
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el de separación de variables en la
resolución de ecuaciones diferenciales.
La notación de Leibniz resulta muy ´útil
cuando se trabaja con derivadas parciales
de funciones multivariables y sus
operadores derivados, ya que indica que
variable de la función es independiente en
cada momento.
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Nombre: ________________________________ Grupo: ________________
Fecha: ____________________
La presente actividad se realiza en el horario de clase con una duración de 1
hora, en equipos de 3 personas y el producto será entregado por cada
estudiante.
Objetivo: Estructurar ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.
ACTIVIDAD 1
Con ayuda de la lectura anterior contesta las siguientes preguntas
1. Mencione que permite analizar el cálculo.
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______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. ¿En qué consiste la diferenciación?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
3. Explica en qué consiste el método de integración.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
4. ¿Cuáles son los símbolos usados en el cálculo?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
5. ¿Por qué crees que el cálculo se considera como las matemáticas en movimiento?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
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6. ¿En qué consiste el método de las estacas?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
7. Menciona las aplicaciones prácticas del calculo
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
8. Describa la aportación de GOTTFRIED LEIBNIZ al cálculo.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
9. Explique los razonamientos de ISAAC NEWTON sobre el método de las fluxiones.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
10. En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos
y matemáticos:
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
11. ¿Cuál es la diferencia entre los trabajos de Newton y de Leibniz?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
12. ¿Por qué consideras tan importante el descubrimiento del cálculo?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
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CONSTANTE DE INTEGRACION
Una Dosis Apropiada’ de Blanca R. Ruiz Hernández. Artículo publicado en el Boletín No. 1 del Club de Matemáticas del CECyT
MOM-IPN. 1997
¿Para qué eso de dosis?
Cuando se investiga el efecto de algún
medicamento en el tratamiento de una
enfermedad, es importante considerar
cada cuánto tiempo se debe ingerir y en
qué cantidad. Por lo regular una sustancia
química que entra al organismo con fines
curativos no sólo tiene ese efecto sobre un
órgano en particular sino también tiene
efectos secundarios sobre otros y en
grandes cantidades incluso llega a resultar
tóxica, pero al mismo tiempo el
organismo debe tener una cantidad
necesaria que resulte “curativa”. Así pues,
lo importante será tratar de mantener la
cantidad de medicamento en el organismo
entre estos dos umbrales.
Una vez administrada la droga, el
organismo se encarga de absorber la parte
del medicamento que le es útil y de
desechar el excipiente hasta que
prácticamente se pueda considerar que no
hay más medicamento por consumir,
entonces, si el cuerpo no se ha curado, se
necesitará una nueva administración de
droga. El tiempo en que el organismo se
tarda en “absorber” una droga dependerá
de muchos factores, entre ellos de la
naturaleza de la droga, tanto física como
química, y de su forma de aplicación.
En un estudio de este tipo en donde la
finalidad es controlar la cantidad de una
determinada droga en el organismo, hay
dos cuestiones a resolver:
¿Cuál es la mínima cantidad de droga
necesaria en el organismo para que sea
“curativa” y cuál para no que sea dañina?
Es decir, establecer cuál es la mínima y
máxima cantidad de droga que puede y
debe haber en el organismo.
¿Cuánto tiempo se tarda el organismo en
absorber la cantidad de droga
administrada y cuál es la cantidad de
medicamento conveniente a administrar?
De esta última cuestión es de la que nos
encargaremos de analizar en este escrito,
suponiendo que la anterior ya está dada.
Reducción de un problema más bien
complicado
De modo que en esto de la aplicación de
una droga intervienen muchos factores y
por lo tanto el estudio del proceso podría
ser muy complicado. Tomemos por
ejemplo una medicina del tipo tableta,
jarabe, píldora, etc. es decir que entra al
cuerpo por la boca. Una vez ingerida
sigue más o menos el mismo camino que
sigue la comida, es decir, pasa a través de
los conductos digestivos hasta el
estómago e intestinos en donde
intervienen el hígado, la vesícula y demás
vísceras para digerirlos. Los productos
finales de la digestión son absorbidos por
el sistema de transporte, que los conduce
a las células de los diferentes órganos,
donde actúa sobre los que debe curar,
también sobre los que daña, y finalmente
los residuos son desechados por el riñón.
Esquemáticamente lo representaremos de
la siguiente manera:
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
18
A pesar de lo complicado que pueda
parecer este recorrido (en realidad es más
complicado de lo que está descrito) es
posible reducirlo centrando nuestra
atención en los pasos que podemos medir
y conocer. Es decir, puede resultar
interesante conocer la concentración del
medicamento en un órgano que cura o
que daña una hora después de ingerirlo,
sin embargo tomar una muestra resultaría
muy riesgoso y costoso. Entonces nos
concretaremos a una medida indirecta que
es fácil de tomar y no resulta tan costosa,
que es la concentración del medicamento
en la sangre. El esquema, ya reducido,
quedaría más reducido de la siguiente
manera:
Este esquema está tomando en cuenta
estadios que sí podemos cuantificar. La
simplificación del problema es tal, que ya
no interesa cómo se administre el
medicamento, puesto que, aunque otro
tipo de administración estrictamente no
seguiría el mismo recorrido, tendría el
mismo esquema simplificado.
Posibilidades de interpretación
De acuerdo con lo anterior, la
concentración de medicamento debe
disminuir a medida que transcurre el
tiempo, sin embargo no conocemos de
qué forma. Si analizamos el proceso
gráficamente, tomando como variable la
concentración en sangre en función del
tiempo, la forma más sencilla en que
puede disminuir es una línea recta. Pero
la gráfica puede resultar más complicada
que eso. Analicemos tres casos posibles.
Si el medicamento se administró a las 3
de la tarde, una hora más tarde, a las 4
PM, habrá disminuido una cierta
cantidad, que será la misma que
disminuya de las 7 a las 8 de la noche. Es
decir, el medicamento en la sangre es
absorbido con la misma rapidez durante
la primera hora que durante la quinta
hora. Si observamos, la rapidez de la que
hablamos en el proceso se refiere a la
pendiente en la gráfica y será negativa
porque la concentración no aumenta, sino
que disminuye a medida que transcurre el
tiempo.
Ingestión Boca
Estómago, intestinos y
demás
Corriente sanguínea
Órganos (incluyendo el dañado)
Residuos por el riñón
Administración
Corriente sanguínea Eliminación
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
19
Otra forma de representar la situación es
la dibujada en la gráfica de abajo, que
también representa una disminución de la
concentración conforme transcurre el
tiempo, pero durante la primera hora se
elimina una cantidad menor que durante
la sexta hora, en donde la diferencia de
concentraciones es bastante mayor. Si
esta fuera la representación que estamos
buscando, a medida que la concentración
de medicamento disminuye, aumentaría la
rapidez con que se consume, es decir, la
rapidez varía de forma inversa a la
concentración de medicamento en la
sangre, lo que desde el punto de vista
gráfico significa que la pendiente de la
curva no es constante y aumenta
conforme aumenta la variable
dependiente, ese decir la concentración.
Observemos también que en esta gráfica,
la escala del tiempo ya no está
determinada por la hora a la que se
administró la medicina sino por las horas
que transcurren desde que se ingirió, que
es realmente lo que nos interesa estudiar.
La situación también se puede representar
por medio de una última gráfica, en
donde la rapidez de eliminación tampoco
es constante. En ésta, la velocidad de
eliminación es menor cuando la
concentración del medicamento en la
sangre es menor. Es decir, la pendiente de
la curva es proporcional a la variable
dependiente, es decir, a la concentración
del medicamento en sangre.
h o r a ( p m )
3 4 5 6 7 8 9
c o
n c
e n
t r
a c
i ó
n
t i e m p o t r a n s c u r r i d o
1 2 3 4 5 6 7
c o
n c
e n
t r
a c
i ó
t i e m p o t r a n s c u r
1 2 3 4
c o
n c
e n
t
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
20
El modelo
La toma de muestras en sangre a
diferentes horas después de haber
aplicado algún medicamento en muchas
personas ha ayudado a encontrar algunos
resultados. Según los cuales la mayoría de
los medicamentos se comportan en el
torrente sanguíneo de acuerdo con la
última gráfica y la velocidad de
eliminación del medicamento disminuye
en forma directamente proporcional a la
concentración del medicamento en el
torrente sanguíneo. Si representamos la
concentración del medicamento en
función del tiempo como C(t), la
velocidad estará dada por:
tCv
donde es la constante de
proporcionalidad entre las dos variables y
la velocidad de eliminación es negativa
porque la concentración disminuye.
Desde el punto de vista matemático la
velocidad es equivalente a la pendiente de
la curva y también a la derivada de la
variable dependiente con respecto a la
independiente, con lo que se forma una
ecuación diferencial que es resoluble con
cálculo integral elemental.
dt
tdCtCv
Es decir:
dt
tdC
tC
1
dttdC
tC
1
Integrando se obtiene:
cttC ln
cttC exp
cttC expexp
Si la ecuación resultante se evalúa cuando
t = 0 resulta que la concentración inicial
es cexp , por lo que cC exp0 se
considerará la concentración en el tiempo
cero, que, en este caso, es la dosis
máxima que se puede aplicar, y la
ecuación quedaría de la forma:
tCtC exp0
La constante de proporcionalidad se
obtiene experimentalmente, para lo cual
la estadística juega un papel fundamental.
El propósito de todo este análisis es tanto
mantener la dosis de un medicamento en
un nivel que no sea tóxico durante cierto
tiempo, como no permitir que baje de un
nivel que no sea curativo, entonces no va
a interesar una sola dosis, aunque sí
importa cuanto se tarda en consumirse esa
dosis. No se puede aplicar todo el
medicamento necesario en una sola toma
porque equivaldría a sobrepasar el tope
máximo, por lo regular cuando se receta
una medicina no se sugiere una toma sino
varias a intervalos regulares, cuando la
concentración en la sangre deja de ser
curable. Entonces la gráfica del proceso
sería la unión de varias gráficas de una
sola toma. Pero además, hay que
considerar el comportamiento de la
concentración en sangre antes de que se
alcance la dosis deseada, es decir, la
forma en cómo se incrementa hasta
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
21
alcanzar la concentración deseada en sangre.
Lo que significa que cada vez que el
medicamento tienda a estar por debajo del
nivel curativo es necesario tomar la
siguiente dosis. Esto es, cuando la gráfica
del comportamiento de la concentración
del medicamento en el cuerpo cruce la
recta del nivel no curativo será necesario
incrementar la concentración del
medicamento para que no deje de estar en
el cuerpo humano en concentraciones
apropiadas.
La gráfica de la concentración del
medicamento en el cuerpo deberá quedar
de la siguiente forma, mientras el enfermo
necesite la medicina:
t i e m p o (días)
c o
n c
e n
t r
a c
i ó
n
no curativo
tóxico
t i e m p o (días)
c o
n c
e n
t r
a c
i ó
n
no curativo
tóxico
. . .
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
22
COMENTARIO
En cálculo, la integral indefinida de una
función dada (es decir, el conjunto de
todas las primitivas de la función) se
escribe siempre con una constante, la
constante de integración. [2]
Esta constante expresa una ambigüedad
inherente a la construcción de primitivas.
Si una función f está definida en un
intervalo y F es una primitiva de f,
entonces el conjunto de todas las
primitivas de f viene dado por las
funciones F (x) + C, siendo C, una
constante arbitraria.
La derivada de cualquier función
constante es cero. Una vez que se ha
encontrado una primitiva F, si se le suma
o resta una constante C, se obtiene otra
primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ‘ =
F ‘ + C ‘ = F ‘ + 0 = F ‘. La constante es
una manera de expresar que cada función
tiene un número infinito de primitivas
diferentes.
Para interpretar el significado de la
constante de integración se puede
observar el hecho de que la función f (x)
es la derivada de otra función F (x), es
decir, que para cada valor de x, f (x) le
asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja
en cada punto (x, y) del plano cartesiano
un pequeño segmento con pendiente f (x),
se obtiene un campo vectorial como el
que se representa en la figura de la
derecha. Entonces el problema de
encontrar una función F (x) tal que su
derivada sea la función f (x) se convierte
en el problema de encontrar una función
de la gráfica de la cual, en todos los
puntos sea tangente a los vectores del
campo. En la figura de la derecha se
observa como al variar la constante de
integración se obtienen diversas
funciones que cumplen esta condición y
son traslaciones verticales unas de otras.
VALORACION CRÍTICA
A primera vista puede parecer que la
constante es innecesaria, puesto que se
puede considerar cero. Además, al
evaluar integrales definidas empleando
el teorema fundamental del cálculo, la
constante siempre se anulará. Pero
intentar igualar la constante a cero no
siempre tiene sentido. Por ejemplo,
2sin(x)cos(x) se puede integrar de dos
maneras diferentes:
Es necesario estudiar la derivada de
cualquier función constante es cero. Una
vez se ha encontrado una primitiva F,
sumándole o restándole una
constante C se obtiene otra primitiva,
porque (F + C) ' = F ' + C ' = F'. La
constante es una manera de expresar que
cada función tiene un número infinito de
primitivas diferentes.
Por ejemplo, supóngase que se quiere
encontrar las primitivas de cos(x). Una de
estas primitivas es sin(x). Otra es
sin(x)+1. Una tercera es sin(x)-π. Cada
una de estas funciones tiene por derivada
cos(x), por lo tanto todas son primitivas
de cos(x).
Resulta que añadir y restar constantes es
el único grado de libertad que hay al
encontrar primitivas diferentes de la
misma función.
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
23
Nombre: ______________________________ Grupo: ______________
Fecha: ____________________
La presente actividad se realiza en horario extra clase. La primera parte
consiste en elaborar un resumen acorde a la lista de cotejo. La segunda
parte será la participación en un foro debatiendo las ideas principales de
la lectura.
Objetibo:
ACTIVIDAD 2
LISTA DE COTEJO RESUMEN
Características Cumple
Si No
PRESENTACION El reporte de lectura presenta una portada con los datos de identificación.
Es elaborado en un procesador de texto con letra Arial 12, justificado y
doble espacio.
El resumen es original (denota que fue escrito por el estudiante)
Entrega puntual, en la hora y fecha acordada
CONTENIDO El reporte de lectura tiene una introducción que explica los objetivos del
mismo.
El reporte de lectura resume de manera clara y objetiva las ideas
centrales expuestas por el autor en el texto.
El reporte de lectura utiliza citas textuales
El reporte de lectura presenta una conclusión en donde se retoma la idea central del autor
El reporte cuenta con un mínimo de 2 cuartillas y un máximo de 4.
No contiene faltas de ortografía.
Observaciones
Evaluó Fecha
Nombre y firma
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
24
Objetivo: Conocer el origen de la
integral definida
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
25
El origen de la integral:
La primera mitad del siglo XVII
Nos situamos a comienzos del
siglo XVII , justamente después de la
aparición del concepto de función,
cuando comienza a tomar forma el
cálculo, que junto con la geometría
analítica es ”la mayor creación de todas
las matemáticas”.
En aquella época había cuatro
tipos de problemas principalmente:
1). Dada la fórmula de la distancia que un
cuerpo recorre como función del tiempo,
obtener la velocidad y la aceleración en
cada instante; y, al revés, dada la fórmula
de la aceleración de un cuerpo como
función del tiempo, obtener la velocidad y
la distancia recorrida. Este problema
surge directamente del estudio del
movimiento.
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
26
2). Obtener la tangente a una curva, como
consecuencia de las aplicaciones de la
óptica y el estudio del movimiento.
3). Obtener el valor máximo o mínimo de
una función para aplicarlo al problema
del tiro parabólico y el estudio del
movimiento de los planetas.
4). Obtener longitudes de curvas; las
áreas acotadas por curvas; los volúmenes
acotados por superficies; los centros de
gravedad y la atracción gravitatoria entre
cuerpos extensos.
En aquel entonces aun no había
constancia de la estrecha relación que hay
entre los cuatro problemas.
Nos centraremos en este cuarto
problema, y mostraremos los métodos
más significativos para resolverlo que
utilizaron los predecesores de Newton y
Leibniz.
Los griegos ya habían aplicado
métodos exhaustivos para el cálculo de
áreas y volúmenes. A pesar del hecho de
que lo aplicaban para áreas y volúmenes
relativamente sencillos, tenían que utilizar
mucha ingeniosidad, porque al método le
faltaba generalidad, y no obtuvieron
respuestas numéricas muy a menudo. Fue
con los trabajos de Arquímedes con los
que se volvió a despertar en Europa el
interés por obtener longitudes, áreas,
volúmenes y centros de gravedad. El
Método exhaustivo se modificó primero
gradualmente, y después radicalmente por
la invención del cálculo.
Los trabajos del siglo XVII al
respecto de este cuarto problema
comienzan con Kepler, de quien se dice
que se interesó por el problema de los
volúmenes porque notó la falta de
precisión de los métodos utilizados por
los tratantes de vinos para obtener el
volumen de los barriles. Este trabajo (en
Stereometria Dolorium) es tosco para los
niveles actuales; por ejemplo, el área de
un círculo es el área de un número
infinito de triángulos, cada uno con un
vértice en el centro y una base en la
circunferencia. De la fórmula del área de
un polígono regular inscrito en una
circunferencia, la mitad del perímetro por
la apotema, obtenía el área del círculo. De
forma análoga, consideraba el volumen
de la esfera como la suma de los
volúmenes de pequeños conos cuyos
vértices están en el centro de la esfera y
cuyas bases están en la superficie. Así
demostró que el volumen de la esfera es
un tercio del radio por la superficie.
Consideró el cono como una suma de
discos circulares muy estrechos y así
pudo calcular su volumen.
Galileo, en Dos nuevas ciencias,
concibe las áreas de un modo parecido a
Kepler; al tratar el problema del
movimiento uniformemente acelerado,
presentó un razonamiento para mostrar
que el área de la curva tiempo-velocidad
es la distancia.
Supongamos que un objeto se mueve con
velocidad variable v=32t representado en el dibujo por la recta OB; entonces la
distancia recorrida en el tiempo OA es el
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
27
área OAB. Llegó a esta conclusión
considerando, por ejemplo, A´B´ como
una velocidad típica en un instante y
también como la distancia infinitesimal
recorrida, y razonando entonces que el
área OAB, que está construida con las
líneas A´B´, debe ser, por tanto, la
distancia total. Este razonamiento (poco
claro) estaba apoyado en la mente de
Galileo por consideraciones filosóficas
que equivalían a considerar el área OAB
como construida con un número infinito
de unidades indivisibles como A´B´.
Bonaventura Cavalieri (1598-
1647), discípulo de Galileo y profesor en
un liceo de Bolonia fue influido por
Kepler y Galileo, y fue estimulado por
este último para interesarse por problemas
del cálculo. Cavalieri desarrolló las ideas
de Galileo y otros sobre los indivisibles
mediante un método geométrico, y
publicó un trabajo sobre el tema,
Geometría Indivisibilibus Continuorum
Nova quadam Ratione Promota
(Geometría superior mediante un método
bastante desconocido, los indivisibles de
los continuos, 1635). Considera un área
como constituida por un número
indefinido de rectas paralelas y
equidistantes y un volumen como
compuesto por un número indefinido de
áreas planas paralelas; a estos elementos
los llama los indivisibles de área y
volumen respectivamente. En líneas
generales los indivisibilistas mantenían,
como expresa Cavalieri en sus
Exercitationes Geometricae Sex (1647),
que una línea está hecha de puntos como
una sarta de cuentas; el plano está hecho
de líneas, como un tejido de hebras y un
sólido de áreas planas como un libro de
hojas, sin embargo aceptaban un número
infinito de elementos constituyentes.
El método o principio de Cavalieri
puede ilustrarse mediante la proposición
siguiente que, por supuesto puede,
demostrarse de otras formas. Para
demostrar que el paralelogramo ABCD
tiene área doble que cualquiera de los
triángulos ABD o BCD, hace notar que
cuando GD=BE, se tiene que GH=FE.
Por
tanto
los triángulos ABD y BCD están
constituidos por igual número de líneas
iguales, tales como GH y EF, y por tanto
tienen que tener áreas iguales.
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
28
Este mismo principio está incluido
en la proposición que se enseña
actualmente en los libros de geometría de
sólidos y que se conoce como teorema de
Cavalieri. Con este método encontró el
área acotada bajo funciones del tipo nxxf )( para n=1,2,3,4,5,6,9. Pero sin
embargo, su método era enteramente
geométrico.
En 1634, Roberval, utilizó
esencialmente el método de los
indivisibles para obtener el área encerrada
bajo un arco de cicloide, un problema
sobre el que Mersenne había llamado su
atención en 1629. Denominó a su método
el “método de las infinidades”, aunque
utilizó como título de su trabajo el de
Traité des Indivisibles.
Sea OABP el área situada bajo la mitad
de un arco de cicloide. El diámetro de la
circunferencia generatriz es OC y P es un
punto cualquiera del arco. Se toma
PQ=DF. El lugar geométrico descrito por
Q se llama curva asociada a la cicloide.
(La curva OQB es, en nuestra notación, y
= a sen(x/a), donde a es el radio de la
circunferencia generatriz, con tal que el
origen esté en el punto medio de OQB y
el eje OX sea paralelo a OA.) La curva
OQB divide al rectángulo OABC en dos
partes iguales porque a cada línea DQ en
OQBC le corresponde una línea igual RS
en OABQ. Entonces puede aplicarse el
principio de Cavalieri. El rectángulo
OABC tiene su base y su altura iguales,
respectivamente, a la semicircunferencia
y diámetro de la circunferencia
generatriz; por lo tanto su área es el doble
de la circunferencia. Entonces OABQ
tiene la misma área que la circunferencia
generatriz. Además el área entre OPB y
OQB es igual al área del semicírculo OFC
porque de la misma definición de Q se
tiene que DF=PQ, de modo que estas dos
áreas tienen la misma anchura en todas
partes. En consecuencia, el área encerrada
debajo del semiarco es una vez y media el
área de la circunferencia generatriz.
Además también obtuvo el área encerrada
en un arco de la curva seno, el volumen
generado por la revolución del arco
alrededor de su base, otros volúmenes
conectados con la cicloide y el centro de
su área.
El método más importante para
calcular áreas, volúmenes y otras
cantidades comenzó con modificaciones
del método exhaustivo griego. Así como
los griegos utilizaban diferentes tipos de
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
29
figuras aproximantes rectilíneas, en el
siglo XVII adoptaron un procedimiento
sistemático utilizando rectángulos.
Supongamos que se quiere calcular el
área situada por la parábola 2xy desde
x=0 hasta x=B.
A medida que la anchura d de estos
rectángulos se hace más pequeña, la suma
de las áreas de los rectángulos se
aproxima al área encerrada bajo la curva.
Esta suma, si las bases son todas ellas de
anchura d, y si se utiliza la propiedad
característica de la parábola de que la
ordenada es el cuadrado de la abscisa, es
2222 )(...)3()2( ndddddddd
o lo que es lo mismo
)...321( 22223 nd
La suma de las potencias m-ésimas de los
primeros n números naturales había sido
obtenida por Pascal y Fermat
precisamente para su uso en tales
problemas; por ello los matemáticos
pudieron sustituir fácilmente la ultima
expresión por
)6
32(
233 nnn
d
Si sustituimos d por la longitud fija OB dividida por n, el resultado es
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
30
2
3
6
1
2
1
3
1
nnOB
Si se considera, como lo hicieron ellos
entonces, que los dos últimos términos se
pueden despreciar cuando n es infinito, se
obtiene el resultado correcto. El proceso
de paso al límite no había sido
introducido todavía (o se percibía
toscamente) y por lo tanto el despreciar
términos tales como los dos últimos no
estaba justificado. Este enfoque que fue
mostrado por Stevin en 1586 en su obra
Statics fue seguido por muchos otros,
incluyendo a Fermat, que ya antes de
1936 conocía
1
1
0
n
adxx
na
n
para todo n racional excepto -1. En 1658 Pascal considero algunos
problemas sobre la cicloide. Calculo el
área de cualquier segmento de la curva
cortada por una recta paralela a la base,
el centroide del segmento y los
volúmenes de los sólidos generados por
esos segmentos al girar alrededor de sus
bases (YZ en la figura) o de una recta
vertical ( el eje de simetría).
En este trabajo, así como en trabajos
previos sobre áreas encerradas bajo
curvas de la familia nxy , sumo
pequeños rectángulos en la forma del
método anterior aunque su trabajo y
resultados fueron enunciados
geométricamente. Bajo el pseudónimo de
Dettonville, proponía los problemas que
había resuelto como un reto para otros
matemáticos, publicando a continuación
sus propias soluciones superiores (Letras
de Dettonville, 1659).
John Wallis (1616-1703) fue de
los primeros en introducir métodos
analíticos en el cálculo, así en sus
esfuerzos por calcular el área del círculo
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
31
analíticamente obtuvo una nueva
por los ejes, la ordenada en x y la curva
para las funciones nxy 21
n=1,2,3… y obtuvo áreas
,...7
1
5
3
3
3,
5
1
3
2,
3
1, 753533 xxxxxxxxxx
respectivamente. Cuando x=1 estas áreas son
,...105
48,
15
8,
3
2,1
pero la circunferencia viene dada por
2
1
2)1( xy . Por inducción e
interpolación, Wallis calculó su área y,
mediante complicados razonamientos
posteriores llegó a que
...97755331
...88664422
2
.
Gregorio de San Vicent, en su
Opus Geometricum (1647), proporcionó
las bases para la importante conexión
entre la hipérbola rectangular y la función
logaritmo. Demostró, utilizando el
método exhaustivo, que si para la curva
y=1/x las ix se eligen de modo que las
áreas a,b,c,d… son iguales, entonces las
iy están en progresión geométrica. Esto
significa que la suma de las áreas desde
0x hasta ix , cuya suma forma una
progresión geométrica, es proporcional al
logaritmo de los valores de las iy o, en
nuestra notación, ykx
dxx
xlog
0
.
La observación de que las áreas
pueden interpretarse como logaritmos se
deben en realidad a un discípulo de
Gregorio, el jesuita belga Alfonso de
Sarasa (1618-1667) en sus Solutio
Problematis a Mercenno Propositi
(1649).
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
32
COMENTARIO
Los creadores del Análisis Infinitesimal
introdujeron el Cálculo Integral,
considerando los problemas inversos de
sus cálculos. En la teoría de fluxiones de
Newton la mutua inversibilidad de los
problemas del cálculo de fluxiones y
fluentes se evidenciaba claramente. Para
Leibniz el problema era más complejo: la
integral surgía inicialmente como
definida. No obstante, la integración se
reducía prácticamente a la búsqueda de
funciones primitivas. La idea de la
integración indefinida fue inicialmente la
dominante.
El Cálculo Integral incluía además de la
integración de funciones, los problemas y
la teoría de las ecuaciones diferenciales,
el cálculo variacional, la teoría de
funciones especiales, etc. Tal formulación
general creció inusualmente rápido. Euler
necesitó en los años 1768 y 1770 tres
grandes volúmenes para dar una
exposición sistemática de él.
VALORACION CRÍTICA
Actualmente existen dos problemas a
resolver, en el cálculo integral el de la
recta tangente y el área bajo una curva. El
problema de la determinación dela
ecuación de la recta tangente fue resuelto con la
derivada y ya fue tratado en cálculo
diferencial. El problema del cálculo del
área bajo una curva se lo resuelve con las
nociones del cálculo integral los cuales
expondremos en este curso. Sin embargo
empezaremos en este capítulo hallando
antiderivadas y en el siguiente capítulo
utilizaremos antiderivadas para el propósito
del cálculo integral
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
33
Nombre: ________________________________ Grupo: ______________
Fecha: ____________________
La presente actividad se realiza en el horario extra clase.
Objetivo; Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,
comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un
objetivo.
ACTIVIDAD 3
Retomando la lectura anterior realiza lo siguiente:
1. Construye una línea del tiempo en la cual muestres los requerimientos o
necesidades más importantes de la época que impulsaron el desarrollo del
cálculo. Apóyate en la siguiente lista de cotejo.
LISTA DE COTEJO (LINEA DEL TIEMPO)
Nombre del Alumno :
Grupo: Unidad de Aprendizaje:
CRITERIO SI NO
Reconoce los principales personajes que contribuyeron al desarrollo del cálculo.
Ordena los personajes de forma cronológica.
Incluye fechas de los sucesos principales.
Muestra imágenes claras y llamativas relacionadas con el suceso ocurrido.
La secuencia entre la relación y los personajes y acontecimientos es adecuada.
Observaciones
Evaluó Fecha
Nombre y firma
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
34
2. Pega la línea del tiempo en el siguiente espacio de manera que quede doblado
y no presente dificultades al momento de mostrar el trabajo.
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
35
Objetivo: : Identifica
las aplicaciones el teorema
fundamental del
calculo
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
36
LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA FUNCIÓN ÁREA.
Históricamente, el cálculo integral surgió
de la necesidad de resolver el problema
de la obtención de áreas de figuras
planas. Los griegos lo abordaron,
llegando a fórmulas para el área de
polígonos, círculo, segmentos de
parábolas, etc. El método que emplearon
consistía en aproximar exhaustivamente
la figura cuya área se deseaba calcular
mediante polígonos de áreas conocidas.
Este procedimiento
original de Eudoxo
(406 a.C. - 355
a.C.) fue utilizado
esporádicamente
por Euclides (hacia
300 a.C.) y de
forma sistemática
por Arquímedes
(286 a.C. - 212 a.C.).
Hacia el siglo XVI de nuestra era, este
método pasó a llamarse método de
exhaución o método exhaustivo.
Basándose en
ese método, los
matemáticos del
siglo XVII
(Newton,
Leibniz, etc.)
introdujeron el
concepto más
general
de integral
definida de una
función, f, en un intervalo. Este concepto
fue posteriormente mejorado por Cauchy
(1789-1857) y por Riemann (1826 -
1866).
A continuación y mediante un ejemplo
mostraremos en qué consiste el método
de exhaución. Aplicando la misma idea
introduciremos de forma intuitiva el
concepto de integral definida de una
función y estudiaremos algunas de sus
propiedades. Por último, veremos qué
relación hay entre la integral definida y el
cálculo de primitivas.
El método de exhaución de Eudoxio
consiste en aproximar el área del círculo
por áreas de polígonos regulares inscritos,
en los cuales por supuesto la
aproximación no es buena si el número de
lados es pequeño; pero si consideramos
polígonos con un número cada vez mayor
de lados, las áreas de éstos se
aproximarán cada vez más al área del
círculo, como se aprecia en la figura.
En cada caso, el área del polígono es
menor que el área del círculo; pero si
incrementamos el número de lados del
polígono, entonces dentro de éste se
incluirá más área del círculo.
Consecuentemente, cuando el número de
lados n tiende a infinito, el área del
polígono regular agotará el área del
círculo. Ya que es fácil encontrar una
fórmula para el área de un polígono
regular de n lados, podemos obtener el
área del círculo al encontrar el límite de la
fórmula cuando n tiende a infinito.
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
37
Usemos el símbolo P(n) para denotar el
área de un polígono regular de n lados
inscrito en un círculo de radio r. Para
obtener una fórmula para P(n) podemos
usar el hecho de que cualquier polígono
regular de n lados puede ser cortado en
triángulos congruentes y así obtenemos el
área del polígono como la suma de las
áreas de los triángulos.
Obsérvese que cada uno de estos
triángulos es isósceles, ya que dos de sus
lados son radios del círculo. Es más,
podemos encontrar el valor del ángulo
cúspide dividiendo 360º en n partes
iguales. El área de cada triángulo puede
calcularse al multiplicar un medio de su
base por su altura; determinaremos esas
dos dimensiones por medio de la
trigonometría. Por ejemplo, la distancia
del centro del círculo a un lado del
polígono nos da la longitud de la altura
del triángulo, a saber r cos(180º/n).
Además, un medio de la base del
triángulo, que es un medio de la longitud
del lado del polígono, es r sen(180º/n).
Estas dimensiones se muestran en la
figura anterior. Así, el área total de
nuestro polígono esta dada por la
fórmula:
P(n) = n r2 sen(180º/n) cos(180º/n).
De manera completamente análoga,
podemos aproximarnos al área del círculo
utilizando polígonos regulares
circunscritos
Si Q(n) es el área del polígono de n lados
circunscrito al círculo, podemos encontrar
con un desarrollo similar al anterior que:
Q(n) = n r2 tan(180º/n)
En la tabla de abajo se muestran las áreas
de los polígonos inscritos y circunscritos
en algunos valores particulares de n:
r cos(180º/n)
r sen(180º/n)
2r
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
38
P(n)
n Q(n)
2 r2 4 4r
2
2.8284 r2 8 3.3137 r
2
3.0614 r2 16 3.1826 r
2
3.1214 r2 32 3.1517 r
2
3.1363 r2 64 3.1441 r
2
3.1405 r2 128 3.1422 r
2
3.1401 r2 256 3.1418 r
2
3.14157 r2 1000 3.1416029 r
2
3.141592447 r2 10000 3.141592757 r
2
Nótese que el área A del círculo satisface:
P(n) < A < Q(n)
Es decir, de acuerdo al último renglón de
la tabla
3.141592447 r2
< A < 3.141592757 r2
por lo que podemos afirmar que con un
polígono de 10,000 lados podemos
encontrar las primeras 6 cifras decimales
correctas del número que multiplicado
por r2 nos da el área del círculo de radio r:
A (3.141592) r2
Sabemos por la conocida fórmula de la
geometría que A = r2, por lo que este
método nos permite encontrar las cifras
decimales que deseemos del número .
COMENTARIO
La aparición del análisis infinitesimal fue
la culminación de un largo proceso, cuya
esencia matemática interna consistió en la
acumulación y asimilación teórica de los
elementos del cálculo diferencial e
integral y la teoría de las series. Para el
desarrollo de este proceso se contaba con:
el álgebra; las técnicas de cálculo;
introducción a las matemáticas variables;
el método de coordenadas; ideas
infinitesimales clásicas, especialmente de
Arquímedes; problemas de cuadraturas;
búsqueda de tangentes... Las causas que
motivaron este proceso fueron, en primer
término, las exigencias de la mecánica, la
astronomía y la física. En la resolución de
problemas de este género, en la búsqueda
de problemas generales de resolución y
en la creación del análisis infinitesimal
tomaron parte muchos científicos: Kepler,
Galileo, Cavalieri, Torricelli, Pascal,
Walis, Roberval, Fermat, Descartes,
Barrow, Newton, Leibniz, y Euler.
El concepto de Calculo y sus
ramificaciones se introdujo en el siglo
XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo
el análisis matemático, creando ramas
como el calculo diferencial, integral y de
variaciones.
El cálculo diferencial fue desarrollado por
los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y
Newton entre otros. Así en 1711 Newton
introdujo la fórmula de interpolación de
diferencias finitas de una función f(x);
fórmula extendida por Taylor al caso de
infinitos términos bajo ciertas
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
39
restricciones, utilizando de forma paralela
el cálculo diferencial y el cálculo en
diferencias finitas. El aparato
fundamental del cálculo diferencial era el
desarrollo de funciones en series de
potencias, especialmente a partir del
teorema de Taylor, desarrollándose casi
todas las funciones conocidas por los
matemáticos de la época. Pero pronto
surgió el problema de la convergencia de
la serie, que se resolvió en parte con la
introducción de términos residuales, así
como con la transformación de series en
otras que fuesen convergentes. Junto a las
series de potencias se incluyeron nuevos
tipos de desarrollos de funciones, como
son los desarrollos en series asintóticas
introducidos por Stirling y Euler. La
acumulación de resultados del cálculo
diferencial transcurrió rápidamente,
acumulando casi todos los resultados que
caracterizan su estructura actual
VALORACION CRÍTICA Llegamos ahora a la conexión que haya
entre integración y derivación. La
relación entre estos dos procesos es, de
algún modo, análoga a la que hay entre
'elevar al cuadrado' y la 'raíz cuadrada'. Si
elevamos al cuadrado un número positivo
y después tomamos la raíz cuadrada del
resultado, obtenemos el número original.
De igual modo, si integramos una función
continua obtenemos una nueva función
Esta conexión entre diferenciación e
integración es muy sorprendente. La
integración está relacionada con la suma
de muchos números pequeños (por
ejemplo, cuando calculamos un área, la
longitud de una curva, etc.) y la
diferenciación es la tasa de variación
instantánea (una interpretación gráfica de
la derivada es la pendiente de la tangente
a la curva). El Teorema Fundamental del
Cálculo nos dice que estos dos conceptos
están íntimamente relacionados.
Sabemos que si f es integrable, entonces
F(x) [una integral indefinida] es
continua. Nos podemos preguntar que
ocurre cuando la función original f es
continua. Resulta que F es diferenciable
(y que su derivada es especialmente
simple)
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
40
Nombre: ______________________________ Grupo: ______________
Fecha: ____________________
La presente actividad se realiza en horario extra clase. La primera parte
consiste en elaborar un reporte de investigación acorde a la lista de
cotejo. La segunda parte será la participación en un foro debatiendo las
ideas principales de la lectura.
Objetivo: Identificar las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere
conclusiones a partir de ellas.
ACTIVIDAD 4
Basándose en el método de exhaución mostrado en la lectura los matemáticos del
siglo XVII Newton y Leibniz, introdujeron el concepto más general de integral definida de
una función, f, en un intervalo. Este concepto fue posteriormente mejorado por Cauchy
(1789-1857) y por Riemann (1826 - 1866). Ahora realizaras una investigación referente a la
forma en que cada uno de los personajes mencionados definió el concepto de integral.
Apóyate en la siguiente lista de cotejó.
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
41
LISTA DE COTEJO
Reporte de investigación
Nombre del Alumno:
Grupo: Unidad de Aprendizaje:
Características Cumple
Si No
PRESENTACION Entrega la investigación realizada en computadora, de
forma ordenada, limpia, en hojas tamaño carta,
engargolado.
Entrega puntual, en la hora y fecha acordada
CONTENIDO La introducción sintetiza las ideas completas y claras del
tema.
En el desarrollo se encuentran todos los temas de
investigación..
Se recopilan, ordenan y presentan los datos .
Anexa una conclusión personal relacionada con el
contenido del trabajo.
Anexa bibliografía pertinentes y de actualidad de
acuerdo al tema, como mínimo 5 fuentes
de información (libros y/o páginas de
Internet)
No contiene faltas de ortografía.
Observaciones
Evaluó Fecha
Nombre y firma
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
42
Conclusión
A través de algunas lecturas pudimos observar los orígenes y logros principales en la
construcción del Cálculo. Se establecieron las diferencias entre diferencial e integral. Los
principales personajes nos mostraron sus perspectivas iniciales que fueron construyendo
objetivos a estudiar como son:
* Área de una región plana
* Cambio de variable
* Integrales indefinidas
* Integrales definidas
* Teorema fundamental del cálculo
Los estudiantes interactuaron con diversos textos, cuyo objetivo fue generar una
interpretación integral, identificando la estructura del texto, reformulando sus ideas
principales, logrando comentarlo y conectarlo con la unidad de aprendizaje, de tal forma
que le permita formular y resolver dudas, todo desde la perspectiva del desarrollo de una
cultura matemática.
ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL 2015
43
BIBLIOGRAFÍA
Contreras, L. (2010) Cálculo diferencial e integral, Físico-matemáticas y químico-
biológicas. México: Editorial Santillana.
Cuellar, J.(2008). Cálculo Integral. México: Editorial McGraw-Hill.
Cuesta, V.(2008). Cálculo Integral con enfoque en competencias. México: Editorial Book
Mart.
Ibañez, P.(2008). Cálculo Integral. México: Editorial CENGAGE Learning.
Larson, R. (2002). Cálculo diferencial e integral. México: Editorial McGraw-Hill.
Ortiz, A. (2007). Cálculo Calculo Integral. México: Editorial Patria
Stewart, J. (2007). Cálculo Diferencial e Integral. México: Editorial CENGAGE Learning.
Stewart, J. (2010). Cálculo Conceptos y Contextos. México: Editorial CENGAGE
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