antiderivada - area bajo la curva
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1
Antiderivada
Si ), entonces F se denomina una antiderivada de f.
Ejemplo : es una antiderivada de , pues . Pero también es una antiderivada de ya .
En general, si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(x) + C también es una antiderivada de f(x), donde C es cualquier constante.
De igual forma, si F(x) es una antiderivada de f(x) y si G(x) es cualquier otra antiderivada de f(x), entonces , para alguna constante C.
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2
De las propiedades (I) y (II) se observa que, si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces las derivadas de f(x) son precisamente tales funciones de la forma F(x) + C, para una constante arbitraria C
Notación: denotará cualquier antiderivada de f(x). En esta notación, f(x) se denomina el integrando
Terminología: Una antiderivada también se denomina una integral indefinida.
Más adelante se proporcionará una explicación de la notación (incluida la presencia de la diferencial dx).Ejemplo ;
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3
LEYES DE LAS ANTIDERIVADAS
Ley 1. Ley 2.
Ley 3.
Ley 4. sigue del hecho que para
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4
Ley 5 . Se observa que:
Ley 6. Se observa que
Ley 7. Se observa que
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5
EJEMPLO :
∫7 𝑥3𝑑𝑥=¿¿
∫𝑥1/3=𝑥
43
43
=por la ley (4).
∫𝑥−2𝑑𝑥=¿ por la ley (4).
7∫𝑥3𝑑𝑥=¿¿ por las leyes (5), (4).7𝑥4
4+𝐶
por las leyes (6), (4) y (2).
¿ 𝑥3
3+4 𝑥+𝐶∫𝑥2𝑑𝑥+4∫𝑑𝑥
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6
37𝑥7− 2𝑥2+𝐶
EJEMPLO 4: Las leyes (3)-(7) permiten calcular la antiderivada para todo polinomio. Por ejemplo,
6 (19𝑥9)−
23(𝟏𝟔𝒙𝟔)+7 (
15𝑥5)+√3𝑥+𝐶
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7
Ley (8). (Fórmula abreviada I) C para todo número racional
Para la verificación,
por la regla de la cadena para potencias.
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8
EJEMPLOS:
Para comprobarlo, sea y r = 5 en la fórmula abreviada I.
EJEMPLO:
𝟏𝟐
∙𝟏𝟓𝟑
(𝒙𝟐+𝟏)𝟓𝟑+𝑪= 𝟑
𝟏𝟎(𝒙𝟐+𝟏)
𝟓𝟑+𝑪
En este caso, se tuvo que insertar un factor de 2 en el integrando para poder utilizar la fórmula abreviada 1.
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9
Ley (9). Método de sustitución.
Donde u se remplaza por g(x) después de evaluar el lado derecho. La "sustitución" se realiza en el lado izquierdo siendo u = g(x) y du= g'(x)dx.
EJEMPLO a) Hallar .
∫𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑑𝑥=∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢 ∙𝑑𝑢2
=¿
Sea . Entonces du = 2x dx. Luego, Por sustitución
12
∙(−𝑐𝑜𝑠𝑢)+𝐶=−12𝑐𝑜𝑠 (𝑥2)+𝐶
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10
(b) Hallar .Sea . Entonces . Por tanto . Por sustitución,
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑑𝑥=¿∫(𝑠𝑒𝑛𝑢)2𝑑𝑢=¿¿2∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢=2 (−𝑐𝑜𝑠𝑢 )+𝐶
¿− 2𝑐𝑜𝑠 (𝑥2 )+𝐶Se observa que la fórmula abreviada I es un caso especial del método de sustitución, con . La ventaja de la fórmula abreviada I es que evita el aburrimiento de realizar la sustitución.
Las fórmulas conocidas para las derivadas de funciones trigonométricas y de funciones trigonométricas inversas dan las siguientes fórmulas para las antiderivada:
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11
∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=𝑠𝑒𝑛𝑥+𝐶
∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑑𝑥=𝑡𝑔𝑥+𝐶 ∫𝑡𝑔 𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥=𝒔𝒆𝒄𝒙+𝐶
∫𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥=−𝒄𝒐𝒕𝒙+𝐶∫𝒄𝒐𝒕 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥=−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝒙+𝐶 ∫ 1
√1 −𝑥2𝑑𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥+𝐶
∫ 1
1+𝑥2 𝑑𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔𝑥+𝐶 ∫ 1
𝑥√𝑥2−1𝑑𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑥+𝐶
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12
∫ 1
𝑥√𝑥2−𝑎2𝑑𝑥= 1
𝑎𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐 (𝑥𝑎 )+𝐶𝑝𝑎𝑟𝑎𝑎>0
∫ 1
𝑎2+𝑥2𝑑𝑥= 1
𝑎𝑎𝑟𝑐𝑇𝑔( 𝑥𝑎 )+𝐶𝑝𝑎𝑟𝑎𝑎>0
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Ejercicios
1.- Evaluar la antiderivada.
𝟒 .∫ 𝑑𝑋3√𝑥2
=¿
3.-
𝟐 .∫ d x
x6 =¿ ¿
𝟏𝟕𝑋 7+𝐶 𝐿𝑒𝑦 (4)
¿−15𝐗−𝟓+𝐂=
−𝟏𝟓𝐱𝟓+C∫ x− 6 dx
∫𝒛𝟏𝟑𝒅𝒛=¿
𝟑𝟒𝒛
𝟒𝟑+𝑪=
𝟑 (𝟑√𝒛 )𝟒
𝟒+𝑪
13
∫ (𝑥 )−23 𝑋 𝑑𝑥=3 𝑥
13 +𝐶=3
3√𝑥+𝐶
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14
6.
=
5.- =
=
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15
Se observa que hubiera sido más fácil por medio de la fórmula abreviada I:
8.-
9.-
∫(𝑥+5− 4 𝑥− 2)𝑑𝑥 = +C
13∫(3 𝑠+4)2 3𝑑𝑠=¿
=
7.- 13 ( 1
3(3 𝑠+4 )3)+𝐶
(𝐬𝟑+2 )𝟑
𝟑+𝐂
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16
¿ 13∫ (𝑥3+2 )
12 3𝑥2𝑑𝑥
¿ 29
(𝑥3+2 )32 +C
11-
¿− 43
( X 3+2 )− 2+C
10. ∫ (𝑥3+2 )12 𝑥2𝑑𝑥
=
83
¿¿83∫(x3+2)− 3 3 x2dx=¿
¿ 13 ( 1
34
(𝑥3+2 )34 )+𝐶
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17
𝟏𝟑 .∫ 3 𝑥√1− 2𝑥2𝑑𝑥=¿ dx
= +C=dx
= + C
14. −∫ 3√1−𝑥2 𝑥𝑑𝑥¿−12∫ (1− 𝑥2 )
13 (−2 𝑥)𝑑𝑥
+C +C
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18
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19
∫ (2− 3𝑥 )5𝑑𝑥=¿𝑢=2 −3 𝑥 𝑑𝑢=−3𝑑𝑥
−𝑑𝑢3
=𝑑𝑥Despejando
∫ (2− 3𝑥 )5𝑑𝑥=¿∫ (𝑢 )5 −13𝑑𝑢=¿
−13 ∫ (𝑢 )5 𝑑𝑢=¿
−13
∙16𝑢6+𝐶=¿ −
118
∙ (2−3 𝑥 )6+𝐶=¿
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20
se aprecia mejor como hacer el cambio de variable, luego tomando y diferenciando
Reemplazando
13𝑢3+𝐶
¿13𝐿𝑛3 𝑥+𝐶
∫ 𝐿𝑛2𝑥𝑥
𝑑𝑥=¿¿
Estudiando el integrando, si se escribe
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siendo𝑢=𝑥2− 4 𝑥
Diferenciando
Si se extrae el factor común queda 𝑑𝑢=2 (𝑥−2 )𝑑𝑥
despejando (𝑥−2 )𝑑𝑥=𝑑𝑢2
¿∫ 1
𝑥2 − 4 𝑥(𝑥−2 )𝑑𝑥
∫ 1
𝑥2− 4 𝑥(𝑥−2 ) 𝑑𝑥=¿¿∫ 1
𝑢∙𝑑𝑢2
=¿¿12∫
𝑑𝑢𝑢
=¿¿
12𝐿𝑛𝑢+𝐶=¿ ) +C
22
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27
despejando
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29
∫ dxx
xxx2
232 ∫
dx
xx
112
Cxxx ln2
2x∫ 3 𝑥3+5𝑥
𝑥2+1𝑑𝑥=¿¿
∫ 3 𝑥3+5𝑥𝑥2+1
𝑑𝑥=¿¿∫(3 𝑥+2𝑥𝑥2+1 )𝑑𝑥=¿¿∫ 3𝑥𝑑𝑥+∫ 2 𝑥
𝑥2+1𝑑𝑥=¿¿
¿32𝑥2+ln (𝑥2+1 )+𝐶
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30
Integrales definidas
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Integrales definidas
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
∫a
b
dxxf )(
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.
Se representa por
∫ es el signo de integración
b límite inferior de la integración. a límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
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32
Propiedades de las integrales definidasSi c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
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33
Propiedades de las integrales definidas
El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
∫𝑎
𝑏
𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥=−∫𝑏
𝑎
𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥
∫𝑎
𝑎
𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥=0
Si los límites de integración coinciden, la integral definida vale cero.
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Teorema Fundamental del Cálculo
La derivada de la función integral de la función continua f(x) es la propia f(x).
F'(x) = f(x)
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original.
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36
Regla de Barrow
La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
)()()()( aGbGxGdxxf ba
b
a
∫
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37
Regla de Barrow (ejercicio)
∫0
1
𝑥2𝑑𝑥=¿¿
1
0
3
3
x 13
−03=
13
∫1
4
3𝑑𝑥=¿¿
∫−2
5
𝑥 𝑑𝑥=¿¿
∫0
1
3𝑥2𝑑𝑥=¿¿
¿3 ⌈ 4 −1 ⌉¿9
¿12⌈ 52 − (−2 )2⌉¿ 21
2
3 = 1
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38
Regla de Barrow (ejercicio)
1. j
1
2
1
3
1
4
31
2
1
3
1
4
3
1
1
234
234
3
x
xxx∫
1
1
23 )13( dxxxx
∫
1
1
23 )13( dxxxx
3
8
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39
dx=
= -2 +2
dx= 3
3 4
=
=
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40
∫0
𝜋2
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=¿¿
∫1
9
√5 𝑥+4𝑑𝑥=¿¿du= 5 dx𝑢=5 𝑥+4
,y cuando x= 9 u= 49
∫1
9
√5 𝑥+4𝑑𝑥=¿¿∫1
9
√𝑢 𝑑𝑢5
=¿¿15∫9
49
𝑢12 𝑑𝑢=¿¿
= =
[ 13𝑠𝑒𝑛3𝑥 ]
𝜋20
=
¿13
[1 − 0 ]=13
[ 215
(𝑢32 −𝑢
32 )]4 9
9
215
[ 316 ]=63215
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41
∫−3
−1
( 1𝑥2 −
1𝑥3 )𝑑𝑥
Solucion ∫−1
1
(2 𝑥2−𝑥3 )𝑑𝑥
Solucion ∫1
4𝑑𝑥√𝑥
Solucion
Solucion
∫𝜋2
3 𝜋4
𝑠 𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥Solucion
∫0
2
(2+𝑥 )2𝑑𝑥
Evaluar las siguientes integrales definidas
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42
∫−1
1
(2 𝑥2−𝑥3 )𝑑𝑥
Hallar el área bajo la grafica de , por encima del eje x, y entre 0 y 1
El área es [𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 ] 1
0
= =
== 𝜋6
Solucion
∫0
2
(2−𝑥 )2𝑑𝑥 Solucion
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Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo . De hecho, vamos a mostrar, no como los antiguos griegos-pero de la forma mas moderna, el como podemos hallar áreas haciendo uso de la integral. Comencemos dando una primera definición de la relación que existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no poligonal:
AREA =
AREAS BAJO CURVA Definición: Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado , el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales dada por x= a x=b:
AREAS BAJO LA CURVA
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44
Observemos la siguiente FIG 1:
En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.
AREA =
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45
EJEMPLO 1: Hallar el área de la región acotada por la curva y las rectas y f(x)=4 x =-3 x =2
2.- Plantear la integral: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:
A =
3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.
A =
Luego el área de la región es .
SOLUCIÓN: 1.- Trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo se muestra la región establecida.
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Te sirven por ejemplo si tienes el perfil de un terreno y quieres calcular volúmenes de excavación. Otro ejemplo si tienes una curva con valores de consumo de agua cada hora (que se obtienen mediante caudalímetro), integras la curva y te da el volumen diario consumido. Este también nos sirve para hallar el área bajo la curva de una Planta Perfil, las plantas perfiles es pasar las curvas de nivel de dicho mapa a papel milimetrado y así observar la forma del terreno y hallarle el área tanto por debajo como por encima de la curva. Usar la integral definida para resolver problemas prácticos de la Ingeniería: Temas relacionados con áreas, volúmenes, longitud de curvas, trabajo mecánico y volúmenes por secciones planas conocidas..
APLICACIONES A LA CARRERA
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Ahora se considera la región , limitada a la izquierda por el eje y, la derecha por un curca x = g(y), y que queda entre y = c , y= d. Entonces por un argumento similar al caso anterior. El área es la integral definida .
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1.- Se considera la región limitada a la izquierda de la parábola y a la derecha del eje y, comprendida entre y=2 y= -1 El área de esta región es .
Por el teorema fundamental del calculo , se tiene
∫−1
2
(4 −𝑦 2)𝑑𝑦=¿(4 𝑦−𝑦3
3 )| 2− 1
=¿4 (2 −(−1)) − 13
(23 − (−1 )3 )=¿
1 2−93=¿ 12 – 3 = 9
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2.- Calcular el área del recinto limitado por la curva y el eje X.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje X para representar la curva y conocer los límites de integración.
puntos de corte con los ejes
representación gráfica
En segundo lugar se calcula la integral:
área
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3.- Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje X y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
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4.- Calcular el área limitada por la curva y el eje de las abscisas.
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5.- Calcular el área limitada por la curva y la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.
sistema de ecuaciones
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
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3. Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
Ecuación de la recta que pasa por BC:
Ecuación de la recta que pasa por AB:
Solución
y= x-3
+
[ 𝑥2
2−3 𝑥 ]63+[− 3 𝑥2
4+12𝑥 ]86
=
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Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.
De x = 0 a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.
En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y = x2 e y = −x2 + 4x.
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Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.
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Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas
Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
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Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.
Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
Hallamos los nuevos límites de integración.
𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 =1 𝑦=±𝑏𝑎
√𝑎2+𝑏2
dx ∫ √𝑎2 −𝑥2𝑑𝑥𝑥=𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡 d
¿∫ √𝑎2 (𝐶𝑜𝑠2𝑡 )2 a cos𝑡 𝑑𝑡 = c
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