ANOVA

Anlisis de la VarianzaEAAA*EXPERIMENTOS FACTORIALES

EAAA

OBJETIVOS DE APRENDIZAJEEAAA*Comprender la nocin general del anlisis de variancia (ANOVA). Realizar una prueba de hiptesis para determinar si dos variancias muestrales provienen de las mismas poblaciones o de poblaciones iguales. Establecer y organizar datos en una tabla de ANOVA.Realizar una prueba para determinar si existe diferencia entre tres o ms medias de tratamiento.Realizar una prueba de hiptesis para determinar si hay alguna diferencia entre medias de bloques.

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*

EAAA

.EAAA*

EAAA

.EAAA*

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EAAA*

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EAAA*La lgica del ANOVAw El contraste de hiptesis del ANOVA se basa en comprobar si las medias de las muestras difieren ms de lo que cabe esperar cuando es cierta, la hiptesis nula.Esta cuestin acerca de las medias se responde analizando las varianzas.

Nos fijamos en las varianzas, porque, cuando queremos saber si algunas medias difieren entre s, tenemos que valorar la varianza entre estas medias.

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EAAA*Dos Fuentes de VariabilidadEn ANOVA, un estimador de la variabilidad entre grupos se compara con la variabilidad dentro de los grupos

1- La variacin Entre Grupos es la variacion entre las medias de los diferentes tratamientos debidas al azar (error de muestreo ) y al efecto de los tratamientos, si es que existe.

2. La variacin Dentro de los Grupos es la variacion debida al azar (error de muestreo) entre individuos a los que se ha dado el mismo tratamiento.

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EAAA*Variabilidad Entre Gruposw Hay mucha variabilidad entre las medias.w Las diferencias entre las medias de los grupos sondemasiado grandes para atribuirlas al azar.w Es difcil imaginar que los seis grupos son muestrasaleatorias tomadas de la misma poblacin.w Se rechaza la hiptesis nula, es decir, existe efectodel tratamiento al menos en uno de los grupos.

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EAAA*

EAAA

.EAAA*

EAAA

Resultados del anlisis de plomo en agua de ro realizado por 5 laboratorios (k indica el n de laboratorio).EAAA*

RESULTADOSLABORAT 1LABORAT 2LABORAT 3LABORAT 4LABORAT 5 12.36.51.72.18.5 24.14.02.73.85.5 34.94.24.14.86.1 42.56.31.62.88.2 53.14.44.14.8-- 63.7--2.83.7-- 7------4.2--VALOR MEDIO x 3.45.12.83.77.1n k 65674suma20.625.417.026.228.3 MediaAritmetica De todos losResultados XX= 4.2

EAAA

.EAAA*

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EAAA*ANOVA PARA UN FACTORPrueba de hiptesis para probar la igualdad de medias de varias poblaciones para un factorSe trata de probar si el efecto de un factor o Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es Significativo, al realizar experimentos variando Los niveles de ese factor (Temp. 1, Temp. 2, Temp.3, etc.), presiones

EAAA

EAAA*CONDICIONES

EAAA

.EAAA*ANOVA Suma de cuadrados total

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*PROCEDIMIENTO DE ANOVAPaso 1: Plantear (H0) y la (H1)H0 expresa que no hay diferencias significativas entre las ventas medias de los tres vendedores; es decir,

Paso 2: Seleccionar el nivel de significacin Se usara el nivel 0.05 o 0.01valores de uso convencional

Paso 3: Proporcionar el estadstico de prueba El estadstico de prueba es la distribucin F.

EAAA

PARA EL PROBLEMA DE LO LABORATORIOS LA SOLUCION SE RESUME EN LA SIGUIENTE TABLAEAAA*.Ftab = 2.80 (a = 0.05, 4, 23, 1 cola)Como Fcal > Ftab, en este caso se podra concluir que al menos uno de loslaboratorios ha producido resultados la media de los cuales difiere de formaestadsticamente significativa del resto de laboratorios. El valor de probabilidad que aparece en la Tabla 3 indica aquel valor de alfa a partir del cual el ANOVA no detectara ninguna diferencia significativa. As pues, a menor valor de probabilidad, mayor seguridad de que existen diferencias significativas.

FuenteSuma de cuadradosGrados de libertadCuadrado medioFcalpEntrelaboratorio 53.13 413.28 10.300.3Dentro de loslaboratorio 29.64 23 1.29Total 82.77 27

EAAA

EAAA*Ejemplo : Se quiere evaluar la eficacia de distintas dosis de un frmaco contra la hipertensin arterial, comparndola con la de una dieta sin sal. Para ello se seleccionan al azar 25 hipertensos y se distribuyen aleatriamente en 5 grupos. Al primero de ellos no se le suministra ningn tratamiento, al segundo una dieta con un contenido pobre en sal, al tercero una dieta sin sal, al cuarto el frmaco a una dosis determinada y al quinto el mismo frmaco a otra dosis. Las presiones arteriales sistlicas de los 25 sujetos al finalizar los tratamientos son:

Grupo12345180172163158147173158170146152175167158160143182160162171155181175170155160

EAAA

EAAA*Como F0,05(4,20) =2,87 y 11,24>2,87 rechazamos la hiptesis nula y concluimos que los resultados de los tratamientos son diferentes.Como F0,05(4,20) =2,87 y 11,24>2,87 rechazamos la hiptesis nula y concluimos que los resultados de los tratamientos son diferentes.

La tabla de anova es:Fuente de variacinGLSSMSFTratamiento42010.64502.6611.24Error20894.4044.72Total242905.04

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EAAA*Un fabricante de papel para hacer bolsas para comestibles, se encuentra interesado en mejorarla resistencia a la tensin del producto. El departamento de ingeniera del producto piensa que la resistencia a la tensin es una funcin de la concentracin de madera dura en la pulpa y que el rango de las concentraciones de madera dura de inters prctico est entre 5% y 20%. El equipo de ingenieros responsable del estudio decide investigar cuatro niveles de concentracin de madera dura: 5%, 10%, 15% y 20%. Deciden hacer seis ejemplares de prueba con cada nivel de concentracin, utilizando una planta piloto. Las 24 muestras se prueban, en orden aleatorio, con una mquina de laboratorio para probar la resistencia. En la tabla 12-1 se muestran los datos de este experimento.

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*HIPOTESIS NULAPuede usarse el anlisis de varianza para probar la hiptesis de que diferentes concentraciones de madera dura no afectan la resistencia a la tensin media del papel. Las hiptesis son; Solucin

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*Tabla 12-4 Anlisis de varianza para los datos de la resistencia a la tensinPuesto que el valor P = 3.59 x 10-6 es considerablemente ms pequeo que = 0.01, se cuenta con evidencia slida para concluir que Ho no es verdadera.

Fuente deSuma deGrados deCuadrado1variacincuadradoslibertadmediofoValor PConcentracinde madera dura382.793127.6019.603.59 E-6Error130.17206.51Total512.9623

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EAAA*

EAAA

EAAA*

EAAA

..EAAA*

EAAA

EAAA*

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EAAA*En la tabla 12-6 se muestran los residuales para el experimento del porcentaje de madera dura. Al utilizar yj. para calcular cada residual en esencia, se elimina el efecto de la concentracin de madera dura de esos datos; por consiguiente, los residuales contienen informacin acerca de la variabilidad no explicada.

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EAAA*

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EAAA*Diseo de experimentos.1. Anlisis de varianza.Suponga que un experimento industrial un ingeniero est interesado en cmo la absorcin media de humedad en concreto vara entre cinco mezclas diferentes de concreto. Las muestras se exponen a la humedad por 48 horas y se decide que se prueben seis muestras para cada mezcla, por lo que se requiere probar un total de 30 muestras. Los datos de este experimento se muestran en la siguiente tabla.Tabla 1

Absorcin de humedad en mezclas de concreto.Mezcla12345551.00595.00639.00417.00563.00457.00580.00615.00449.00631.00450.00508.00511.00517.00522.00731.00583.00573.00438.00613.00499.00633.00648.00415.00656.00632.00517.00677.00555.00679.00

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EAAA*

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EAAA*Formulas para el clculo de sumas de cuadrados.A continuacin presentamos un conjunto de formulas mas simples para calcular la suma de cuadrados

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*

EAAA

ANOVA dosdireccionesLa SSTotales y SSTr (columnas)se determina de la misma forma que para la ANOVA de una direccin o factor

En forma adicional se determina la suma de cuadrados del factor de bloqueo (renlgones) ) de forma similar a la de los renglones

La SSE = SSTOTALES SSTr SSBi

EAAA*

EAAA

ANOVA Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el factor de bloqueo (en columnas)EAAA*

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ANOVA Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el errorEAAA*

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ANOVA Clculo del estadstico Fc y FEAAA*

EAAA

Tabla final ANOVA 2direccionesEAAA*

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ANOVA 1 Factor Webster

P. Reyes / Octubre 2002

CAPTULO 10. ANALISIS DE VARIANZA DE UNA VIA O FACTOR

CALCULOSProblema 10.7 Se trata de probar si existe diferencia significativa

CONDICIONES:en el impacto al consumidor de tres campaas publicitarias,

1. Todas las poblaciones involucradas son normales (prueba de normalidad)8582.1428571429a un nivel de alfa = 0.01

2. Todas las poblaciones involucradas tienen la misma varianza7282.1428571429

3. Las muestras se seleccionan en forma independiente8382.1428571429ConsumidorCampaa 1Campaa 2Campaa 3

8082.14285714291504545

HIPOTESIS:8082.14285714292453035

8482.14285714293302520

8182.14285714294453540

7882.14285714295403035

8282.1428571429

8282.1428571429

8082.1428571429

ANOVA DE UN FACTOR: DISEO ALEATORIZADO8582.1428571429

9082.1428571429

Varios sujetos o unidades se asignan aleatoriamente a diferentes niveles8882.1428571429

de un solo factorMedia82.1428571429

Por ejemplo varios empleados se asignan a diferentesSuma Cuadrados =251.7142857143

programas de capacitacin

Ejemplo:Se tienen 14 empleados seleccionados al azar que se someten a

3 diferentes cursos de entrenamiento: Programa 1, Programa 2 y Prog. 3.

Como los empleados se seleccionan aleatoriamente para cada programa

el diseo se denomina DISEO COMPETAMENTE ALEATORIZADO

Se observa el aprovechamiento de los empleados en los programas:

TRATAMIENTOS

Ic=1c=2c=3J

Programa 1Programa 2Programa 3

83r=1858082

r=2728480

r=3838185

r=4807890

r=5**8288

Medias80.0081.0085.00XjMedia de medias o media total

82.14

TIPOS1. Variacin total entre los 14 empleados, su puntuacin no fue igual con todos

DE VARIACINVARIACIN TOTAL RESPECTO A LA MEDIA GENERAL

2. Variacin entre los diferentes tratamientos o Variacin entre muestras

o variacin entre programa 1, programa 2 y programa 3

EFECTO DE LA MEDIA DE CADA TRATAMIENTO RESPECTO A LA MEDIA GENERAL

3. Variacin dentro de un tratamiento o muestra o programa dado

No todos los empleados dentro de un mismo programa obtuvieron los

mismos puntajes. Se denomina Variacin dentro de los tratamientos.

VARIACIN DENTRO DEL TRATAMIENTO O VARIACIN DEL ERROR

CADA VALOR RESPECTO A LA MEDIA DE SU TRATAMIENTO

PORVARIACIN TOTAL = VARIACIN DEL TRATAMIENTO + VAR. DEL ERROR

TANTO

*****Xi valores individuales

******

XMedia de medias

****

***

VARIACION TOTAL =

VARIANZA

r = Renglones o empleados por tratamiento

c = Tratamientos o Programas de entrenamiento

SUMA DE CUADRADOS TOTAL =(n -1) * Varianza

VARIACIN TOTAL = VARIACIN DEL TRATAMIENTO + VAR. DEL ERROR

*****Xi valores individuales

Media X3

*

5

SUMA DE CUADRADOS DE LOS TRATAMIENTOS

5

4*

*Media X2

Media X1

rj es el nmero de elementos dentro de cada tratamiento (4, 5, 5)

Programa 1Programa 2Programa 3

854.5796801.2996828.1796

724.5796841.2996808.1796

834.5796811.2996858.1796

804.5796781.2996908.1796

**0821.2996888.1796

80.0018.318481.006.49885.0040.898

MediaSCTR1SCTR2SCTR3

Donde Xj es la media de cada tratamiento

SCTR = 4(79.5 - 81.3333)2 + 5(81 - 81.3333)2 + 5(85 - 81.333)2

SCTR = 65.71

SUMA DE CUADRADOS DEL ERROR

** *

XiXi

*** ****

****Xmedia 3

X media 1** *

*Xmedia 2Xi*

*

SCT = SCTR +SCESCE = SCT - SCTR =186

SCE = (85-80)2 + (72-80)2+(83-80)2+(80-80)2 +

+ (80-81)2 + (84-81)+ (81-81)2 + (78-81)2 + (82-81)2 +

+(82-85)2 + (80-85)2 + (85-85)2 + (90-85)2+ (88-85)2 =186

CUADRADOS MEDIOS (CM = Suma Cuadrados/ Grados lib.

Grados de libertad totales = n - 1 = 14-1 = 13

Grados de libertad de los tratamientos = c - 1 = 3 - 1 = 2

Grados de libertad del error = gl. Totales - gl. Tratamientos = 13 - 2 = 11

gl SCT = gl SCTR + gl SCE

gl SCE = gl SCT - gl SCTR = (n -1) - (c - 1) = n -c

CMT =Cuadrado medio total = SCT / (n-1)19.4

CMTR =Cuadrado medio del tratamiento = SCTR / (c -1)32.9

CME =Cuadrado medio del error = SCE/ gle.16.9

Para probar la hiptesis de que: Ho: u1 = u2 = u3 =.......= un

Ha: al menos una es diferente

Se utiliza el estadstico F de Fisher como sigue:

F = CMTR / CME=1.94674556212.46

Se compara contra el estadstico de tablas o de Excel

Clculo de F con Excel3.9822979571

=DISTR.F.INV(ALFA, GL. TR, GL. ERR)

=DISTR.F.INV(0.05, 2, 11)

gl. CMTR = c-1 =2

gl. CME = n-c = 11

Alfa de 0.05

CONCLUSION: NO HAY SUF. EVIDENCIA PARA RECHAZAR HO

TABLA DE ANOVA

FUENTE DE VARIACINSUMA DEGRADOS DECUADRADOVALOR F

CUADRADOSLIBERTADMEDIO

Entre muestras (tratam.)SSTra-1MSRSSTr/MSR

Entre Bloques (Factor Bl)SSBib-1MSBMSB/MSR

Dentro de muestras (error)SSE(a-1)(b-1)MSE

Variacin totalSSTotaln-1MST

Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de Excel para una cierta alfa

Prueba Tukey y DMS Webster

PRUEBA DE TUKEY

Se utiliza para diseos balanceados (todos los tratamientos tienen

asignado el mismo nmero de elementos)

Se utiliza el estadstico T

Se compara T vs la diferencia en valor absoluto de

cada par de medias, si esta dif. Excede a T, las medias son diferentes

o iguales en caso contrario.n = 16r = 4

c =4Alfa=0.05

Por ejemplo:3.6CME =19.6875T

Mediasq.05,4,12=4.29.31

X1 =145!X1 - X2!=0.25X1=X2

X2=145.25!X1-X3! =12.75X1X3

X3=132.25!X1-X4!=15.75X1X4

X4=129.25!X2-X3!=13X2X3

!X2-X4!=16X2X4

!X3-X4!=3X3=X4

X4 X3 X1 X2DMS =3.41

129.25 132.25 145 145.2

DMS

MEDIASMEDIAS

IGUALESDIFERENTES

9.45

Otro mtodo ms conservador es el la DIFERENCIA MNIMA SIGNIFICATIVA

DMS

r=4

F = DISTR.F.INV(alfa, gl. =1, gl. CME =12)

CME =19.6875

r=4

F.05,1,124.75

187.0312546.75781256.8379684483

Para el caso de diseos no balanceados se utiliza el mtodo DMS

para comparar cada par de muestras

r j es el nmero de elementos asignados al tratamiento j

r k es el nmero de elementos asignados al tratamiento k

Verificar si X1 = X2 y si X2 = X3 en el ejemplo de empleados.

DMS 1,2 ?DMS 2,3 ?

Por ejemplo:3.4

F=3.34

Para comparar X1-X2Alfa =.05

r1 = 5r2=4X1=21.74X2=21.5CME=0.02571

DMS =0.1965X1-X2=0.24

Se concluye que X1 y X2 son diferentes

ANOVA 1 Fact Montg

MODELO PARA ANOVA DE UNA VIA, FACTOR O DIRECCIN - FACTORES FIJOS

Para i = 1, 2, ...., a j = 1, 2, ......n

Con a niveles del tratamiento y

con n tratamientos o factores

La experimentacin en las unidades experimentales debe ser en forma aleatoria

en relacin con los tratamientos, por lo que a este diseo

se le denomina DISEO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO

Para probar la Hiptesis nula Ho de que las medias de los tratamientos son iguales,

se supone que los errores del modelo son:

a) Variables aleatorias que siguen una distribucin normal

b) Son independientes unos de otros

c) Su distribucin normal tiene media cero

d) La varianza se mantiene constante para todos los niveles del factor

Por tanto las observaciones:

La media del tratamiento i-simo y su intervalo de confianza es:

Por ejemplo:

La resistencia a la tensin observada en funcin del peso porcentual del algodn en

una fibra sinttica es:

Peso porc.Respuesta

Peso porcentual del algodnde algodnResistencia de la tela

1520253035157715119

171214197201217121818

Resistencia2717182510251418181919

en lb/in231512182211301925221923

4111819191535710111511

5918192311y..

Totales49778810854376

9.815.417.621.610.8y..

15.04

La tabla ANOVA es:(Ver anexo A, para clculos con Minitab):

Fuente deSuma deGrados deCuadrado

variacincuadradoslibertadmedioFoValor P

Peso % alg475.764118.9414.76

EAAA*Tabla de Anlisis de varianza para dos criterios de clasificacinVariacin total Variacin debida Variacin debida Variacin propia de a los tratamientos a los bloques las observaciones SCT SCA SCB SCE

Fuente deSuma de Grados de Cuadrados F calculadavariacinCuadradoslibertadMediosTratamientosSCAt - 1CMA = SCA / t-1CMA / CMEBloquesSCBb -1CMB = SCB / b-1CMB / CMEError ExperimentalSCE(t - 1)(b-1)CME = SCE / (t-1)(b-1)TotalSCTt.b -1

EAAA

ANOVA 2 direcciones. Toma de decisinSi Fc (Tr o Bi) es mayor que F del nivel de confianza se rechaza Ho Aceptando Ha donde las medias son diferentes

O si el valor de p correspondiente a Fc (Tr o Bi) es menor de Alfa se rechaza Ho

EAAA*

EAAA

EAAA*

Un qumico quiere probar el efecto de 4 agentes qumicos sobre la resistencia de un tipo particular de tela. Debido a que podra haber variabilidad de un rollo de tela a otro, el qumico decide usar un diseo de bloques aleatorizados, con los rollos de tela considerados como bloques. Selecciona 5 rollos y aplica los 4 agentes qumicos de manera aleatoria a cada rollo. A continuacin se presentan las resistencias a la tencin resultantes. Analizar los datos de este experimento (utilizar =0.05) y sacar las conclusiones apropiadas.

RolloAgente Qumico1234517368747167273677572703756878736847371757569

EAAA

EAAA*Las hiptesis son:Ho: No hay diferencia en las medias del agente qumicoHa: Al menos una media del factor del agente qumico es diferenteHo: No hay diferencia en las medias de la variable de bloque(del agente qumico)Ha: Al menos una media de la variable de bloque del agente qumicoes diferente

EAAA

EAAA*

:

para calcular si hay diferencias entre los efectos de las columnas y los renglones. Introducir los datos arreglados con las respuestas en una sola columna e indicando a que rengln y columna pertenece cada uno de estos, como sigue:

ANOVA en Minitab.Instrucciones: Stat > ANOVA > One two Way Response Respuesta, indicar Row factor y Column Factor, Seleccionar ! Display MeansSeleccionar ! Store Residuals ! Store Fits Confidence level 95%Graphs -Seleccionar Normal plot of residuals- OK

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*Resultados:La grfica normal de residuos debe mostrar los residuos aproximados por una recta para validar el modelo: Los residuos se aproximan a la distribucin normal por lo cual se concluye que se est utilizando un modelo vlido.

EAAA

EAAA*Como el valor de P es menor a 0.05 el Rollo tiene influencia significativa en la resistencia.Se seleccionaran en 2 y 5 rollo ya que tienen los valores ms pequeos.

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*TABLA ANOVA

Conclusin: No hay diferencia entre mquinas a pesar de la diferencia en experiencia de los operadores.

SSGLCMFcFalfaSCTR=0.9333332CMTR=0.466667Ftr = 0.094.46SCBL=764.93334CMBL=191.2333Fbl = 37.253.84SCE =41.066678CME=5.133333SCT =806.933314CMT=57.6381

EAAA

EAAA*Tiempo en segundos para el ensamble del productoEjemplo: Para el ensamble de un artculo se considera comparar 4 mquinas diferentes. Como la operacin de las mquinas requiere cierta destreza se anticipa que habr una diferencia entre los operarios en cuanto a la velocidad con la cual operen la maquinaria. Se decide que se requerirn 6 operarios diferentes en un experimento de bloques aleatorizado para comparar las mquinas.

OperarioMquina123456TotalMedias142,539,339,639,942,943,6247,841,3239,840,140,542,342,543,1248,341,4340,240,541,343,444,945,1255,442,6442,343,244,545,246,943,3265,444,2Total164,8163,1165,9170,8177,2175,11016,9Medias41,240,77541,47542,744,343,775254,22542,4

EAAA

EAAA*

Pero si las mquinas difieren en cuanto a la velocidad de ensamblado de la pieza, pensaramos que las muestras provienen de poblaciones diferentes, eSi las mquinas no difieren en cuanto a la velocidad de ensamblado de la pieza, tendran igual velocidad promedio y las curvas se superpondran exactamente. H0 : 1= 2 = 3= 4 H0 = 1=2=3=4=0

H1: algn promedio es distinto de los restantes

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*EL MODELO (DE EFECTOS FIJOS)Yij = + i + j + eij

Modelo lineal aditivo: cada respuesta es la suma de los otros trminos.Donde Y es la variable respuesta o dependiente, tiempo medido en segundos, e Yij es la observacin perteneciente al j-sima bloque bajo el tratamiento i; las observaciones son independientes. es la media general comn a todas las mquinas y a todos los operarios.i es el efecto del tratamiento en el nivel i, propio de cada mquina.j es el efecto del bloque en el nivel j, propio de cada operario.eij es la variable aleatoria del error con distribucin normal, con media = 0 y varianza 2 N (0 ; 2 ) e independiente.

EAAA

EAAA*Consideremos que se lleva a cabo un experimento para comparar el tiempo que tardan tres marcas de ordenadores de diferente marca en cargar un mismo sistema operativo. Se toma una muestra de cuatro ordenadores de la marca A, es decir, se mide el tiempo (en segundos) que tardan en cargar el sistema operativo cuatro ordenadores de esta marca. De la marca B se toman seis medidas y cinco de la marca C. La tabla siguiente registra los resultados del experimento:

Marca A 10,7 11,2 12,0 15,5Marca B 13,4 11,5 11,2 15,1 13,3 12,9Marca C 11,5 12,7 15,4 16,1 15,2

EXISTE DIFERENCIA ENTRE LAS MARCAS

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*Observando estos resultados, podemos pensar que las muestras de los ordenadores A y B pueden provenir de poblaciones con la misma media, dado que las medias muestrales 12,35 y 12,90, respectivamente, son bastante cercanas. La media muestral de la marca C es 14,18; sta est ms alejada de las otras, pero presenta una mayor dispersin que las anteriores; no es tan fcil, pues, pensar si esta muestra proviene de una poblacin con la misma media que los ordenadores de las marcas A y B.

EAAA

EAAA*Es posible representar esta situacin mediante los diagramas de caja de las tres muestras:

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*

EAAA

EAAA*Un ingeniero qumico est estudiando los efectos de varios reactivos y catalizadores en la produccin de cierto proceso. Esta ltima se expresa como un porcentaje de un mximo terico. Se hicieron cuatro operaciones del proceso para cada combinacin de tres reactivos y cuatro catalizadores. Los resultados se presentan en la tabla 9.2. En este experimento hay dos factores, el catalizador y el reactivo. El primero se llama factor rengln, ya que su valor vara de rengln a rengln en la tabla; el segundo se denomina factor columna. Estas designaciones son arbitrarias, en la tabla se poda haber presentado tan fcilmente como que los renglones representen los reactivos y las columnas, los catalizadores

Producciones para varias operaciones de un proceso qumico con varias combinaciones de reactivos y catalizadores

Catalizador123A86.8 82.4 86.7 83.593.4 85.2 94.8 83.177.9 89.6 89.9 83.7B71.9 72.1 80.0 77.474.5 87.1 71.9 84.187.5 82.7 78.3 90.1C65.5 72.4 76.6 66.766.7 77.1 76.7 86.172.7 77.8 83.5 78.8D63.9 70.4 77.2 81.273.7 81.6 84.2 84.979.8 75.7 80.5 72.9

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EAAA*Para probar si el modelo aditivo vale se prueba la hiptesis nula de que todas las interacciones son iguales a 0:

Si esta hiptesis nula es verdadera, el modelo aditivo vale.

Para probar si la media del resultado es igual para todos los niveles del factor rengln, se prueba la hiptesis nula de que todos los efectos rengln son iguales a 0:

Si esta hiptesis nula es verdadera, entonces la media del resultado es igual para todos los niveles del factor rengln.

Para probar si la media del resultado es igual para todos los niveles del factor columna, se prueba la hiptesis nula de que todos los efectos columna son iguales a 0:

Si esta hiptesis nula es verdadera, entonces la media del resultado es igual para todos los niveles del factor columna

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EAAA*1. (Ejemplo1) Supngase que el administrador de una planta industrial conjetura que el rendimiento (en nmero de artculos producidos por turno de 8 horas) de una lnea de produccin depende de dos variables cualitativas: el supervisor de la lnea (de los cuales hay dos, digamos A1 y A2) y el turno para el cual se mide la produccin. Denotaremos los tres turnos, de 8:00 am a 4:00 pm, de 4:00 pm a 12:00 am y de 12:00 am a 8:00 am, por B1;B2 y B3:El administrador desea establecer si existen diferencias entre las producciones de los distintos turnos, con cada supervisor y si existe interaccin entre los dos factores, para ello efectu r = 3 rplicas de un experimento factorial 23 para investigar el efecto de supervisor.(con dos niveles) y .turno.(con tres niveles). Las observaciones se dan en la tabla a continuacin.

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INGENIERIA QUIMICA*INGENIERIA QUIMICAINGENIERIA QUIMICAINGENIERIA QUIMICA*