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Universidad Autnoma de Madrid

Anlisis de Datos en Psicologa II Tema 5

1

Anlisis de varianza de un factor Tema 5

1. Introduccin al anlisis de varianza

2. ANOVA de efectos fijos, completamente aleatorizado

(A-EF-CA)

3. ANOVA de efectos fijos, con medidas repetidas (A-EF-MR)

4. Medidas de tamao del efecto



2

Objetivo: Estudiar la relacin entre dos variables:

1. Dependiente. Cuantitativa 2. Independiente o factor. Cualitativa.

Puede tener ms de dos niveles (J) Permite comparar entre s dos o ms medias, a diferencia de la prueba t. Ejemplo: Se est estudiando la relacin entre el mtodo de enseanza y el aprendizaje de una materia. Se aplican tres mtodos a tres grupos de sujetos diferentes: enseanza presencial, enseanza por internet y autodidacta. Se calcula la nota media en el examen de cada grupo. VI: Mtodo: presencial, internet, autodidacta VD: Puntuacin del examen



3

Son iguales las tres medias poblacionales? Efectos fijos: Los niveles de la VI los establece el experimentador. Ejemplo: Efecto del ruido sobre el rendimiento. Fijar 10, 50 y 70 decibelios. Efectos aleatorios: Los niveles de la VI se toman al azar. Ejemplo: Efecto del ruido sobre el rendimiento. Tomar tres niveles entre 10 y 100 db. al azar. Completamente aleatorizado: Los sujetos se asignan al azar, y son distintos en cada grupo de la variable independiente. Medidas repetidas: Los mismos sujetos pasan por todas las condiciones (niveles de la VI o tratamientos).



4

ANOVA efectos fijos, completamente aleatorizado (A-EF-CA) Se forman J grupos con diferentes sujetos en cada uno. 1. Hiptesis: H0: 1 = 2 =...= J (todas las j son iguales) H1: j j' (alguna j es distinta a las otras) 2. Supuestos Independencia Normalidad Homocedasticidad



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3. Estadstico de contraste

Estructura de los datos: J : Nmero de niveles del factor (o VI) . nj : N de observaciones en el nivel j del factor. N : n total de observaciones (si todas las nj son iguales: N = J x n)

Niveles del factor (VI) Observaciones: (VD)

Totales Tj

A 1 Y11 Y21 . . . Yi1 . . . Yn1 T1 A 2 Y12 Y22 . . . Yi2 . . . Yn2 T2 . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .. . .

. . . A j Y1j Y2j . . . Yij . . . Ynj Tj . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .. . .

. . . A J Y1J Y2J . . . YiJ . . . YnJ TJ

T

i : Sujeto j : Nivel de la V.I.



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Sumas de cuadrados: La varianza de la VD es:

= =

=J

j

n

iijn

j

YYN

S1 1

22 )(1

SCESCISCT

)()()( 222

+=+=

j ijij

j ij

j iij YYYYYY

SC Total = SC Intergrupos + SC Error

=

=J

j j

j

NT

n

TSCI

1

22

== =

=J

j j

jJ

j

n

iij n

TYSCE

j

1

2

1 1

2

NTYSCT

J

j

n

iij

j 2

1 1

2= =

=



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Tabla de ANOVA:

Fuentes de Variacin

Sumas de

cuadrados

gradosde

libertad

Medias cuadrticas Estadstico

FV SC gl MC F

Intergrupos SCI J-1 1J

SCI MCE

MCI

Error SCE N-J JN

SCE

Total SCT N-1 Distribucin: F ~ F J-1, N-J 4. Zona crtica: F ~ 1- F J-1, N-J 5. Decisin: Rechazar H0 si F cae en la zona crtica



8

Si se rechaza concluimos que no todas las medias poblacionales son iguales, aunque no sabemos dnde estn las diferencias.



9

Ejemplo: Se forman tres grupos de 6 alumnos y a cada uno se le aplica un mtodo de enseanza. Los datos del examen son: Presencial 4,8 7,1 5,4 6,8 8,6 6,2Internet 4,9 6,1 5,4 3,6 4,2 2,4Autodidacta 1,5 6,4 3,9 5,3 2,4 3,1Realizar el ANOVA con = 0,05

J = 3 T1 = 38,9 n = 6 T2 = 26,6 N = Jn = (6)3 = 18 T3 = 22,6

T = 88,1 =i j

ijY 87,4892

1. Hiptesis: H0: 1 = 2 = 3 H1: j j' 2. Supuestos Independencia Normalidad Homocedasticidad



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3. Estadstico de contraste

=j j

j

NT

nT

SCI22

05,2420,43125,45518

1,886

6,226,269,38 2222

==++=

=j j

j

j iij n

TYSCE

22

62,3425,45587,489 == SCT = SCI + SCE = 58,67

FV SC gl MC F

Inter 24,05 J-1 = 2 12,025 5,21

Error 34,62 N-J =15 2,308

Total 58,67 N-1=17 Distribucin F 2, 15



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4. Zona crtica F ~ 0,95 F 2, 15 = 3,68 5. Decisin Cmo 5,21 > 3,68 rechazamos H0 No todas las medias poblacionales son iguales, aunque no sabemos dnde estn las diferencias.



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ANOVA de un factor con medidas repetidas (A-EF-MR) Objetivo: Estudiar la relacin entre dos variables:

1. Dependiente. Cuantitativa 2. Independiente o factor. Cualitativa.

Puede tener dos o ms niveles (J) Los mismos sujetos pasan por los J niveles de la VI. Ejemplo: Se est estudiando el efecto del color de las seales de trfico en la distancia a la que pueden ser percibidas. Se crean varias seales de color rojo, verde y azul. A un grupo de sujetos se les muestran todas las seales y se mide la distancia en metros en que empiezan a identificarlas. El objetivo es contrastar si dicha distancia depende del color.



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1. Hiptesis: H0: 1 = 2 =...= J (todas las j son iguales) H1: j j' (alguna j es distinta) 2. Supuestos Independencia Normalidad Homocedasticidad Aditividad. (los tratamientos no interactan con los sujetos) 3. Estadstico de contraste

Estructura de los datos: J : Nmero de niveles del factor n : N de sujetos N : n total de observaciones (N = J x n)



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Niveles

del factor (VI) Sujetos

Totales

T+j A1 Y11 Y21 . . . Yi1 . . . Yn1 T+1 A2 Y12 Y22 . . . Yi2 . . . Yn2 T+2 . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .. . .

. . . Aj Y1j Y2j . . . Yij . . . Ynj T+j . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .. . .

. . . AJ Y1J Y2J . . . YiJ . . . YnJ T+J

Totales Ti+ T1+ T2+ . . . Ti+ . . . Tn+ T SC Total = SC Intergrupos +

SC Intersujetos + SC Error

SCT = SCI + SCB + SCE



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NTYSCT

J

j

n

iij

2

1 1

2= =

=

=

+ =J

j

j

NT

nT

SCI1

22

NT

JTSCB

n

i

i2

1

2

= =

+

NT

JT

nT

YSCEJ

j

n

i

n

i

iJ

j

jij

2

1 1 1

2

1

22

= = =+

=+ +=

FV SC gl MC F Intergrupos SCI J-1 MCI MCI/MCEIntersujetos SCB n-1

Error SCE (J-1)(n-1) MCE Total SCT N-1



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Distribucin: F ~ F J-1, (J-1) (n-1) 4. Zona crtica: F ~ 1- F J-1, (J-1) (n-1) 5. Decisin: Rechazar H0 si F cae en la zona crtica



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Ejemplo. Se toma un grupo de 7 personas y se les muestran seales de distintos colores. Se mide la distancia en que empiezan a reconocer cada seal. (=0,01) Niveles del Sujetos factor (VI) 1 2 3 4 5 6 7 T+j

Rojo 25 21 32 24 19 22 26 169Verde 14 16 18 15 14 17 15 109Azul 21 19 16 18 22 17 20 133Ti+ 60 56 66 57 55 56 61 411

J=3 N = 21 n = 7 Y2 = 8453

214118453

22

1 1

2 == = = N

TYSCTJ

j

n

iij

= 8453 - 8043,86 = 409,14

86,80437

133109169 22222 ++== +j

j

NT

nT

SCI = 260,57



18

NT

JTSCB

i

i22

= + SCE = SCT - SCI - SCB = 118,1

FV SC gl MC F Intergrupos 260,57 2 130,38 13,25 Intersujetos 30,47 6 F ~ F 2, 12

Error 118,1 12 9,84 Total 409,14 20

Zona crtica: F ~ 0,99 F 2, 12 = 6,93 Decisin: Rechazar H0

47,30

86,80433

61565557665660 2222222

=++++++=



19

Medidas de tamao del efecto Estimacin de la proporcin de varianza explicada

eta2: SCTSCI2 =

epsilon2: SCT1)MCE-(-SCI2 J=

omega2: MCESCT1)MCE-(-SCI2

+=J

Ejemplo: Mtodos de enseanza

41,067,5805,24

SCTSCI2 ===

33,067,58

308,2)2(05,24SCT

1)MCE-(-SCI2 === J 32,0

308,267,58308,2)2(05,24

MCESCT1)MCE-(-SCI2 =+

=+=J



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Formulario del tema 5 A-EF-CA

=

=J

j j

j

NT

n

TSCI

1

22

== =

=J

j j

jJ

j

n

iij n

TYSCE

j

1

2

1 1

2

NTYSCT

J

j

n

iij

j 2

1 1

2= =

=

gli = J 1 gle = N J glt = N - 1



21

1= JSCIMCI

JNSCEMCE =

MCEMCIF=

F ~ F J-1, N-J



22

A-EF-MR

NTYSCT

J

j

n

iij

2

1 1

2= =

=

=

+ =J

j

j

NT

nT

SCI1

22

NT

JTSCB

n

i

i2

1

2

= =

+

NT

JT

nT

YSCEJ

j

n

i

n

i

iJ

j

jij

2

1 1 1

2

1

22

= = =+

=+ +=

gli = J 1 glb = n 1

gle = (J-1)(n-1) glt = N-1



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Medidas de tamao del efecto:

SCTSCI2 =

SCT1)MCE-(-SCI2 J=

MCESCT1)MCE-(-SCI2

+=J



24

Ejercicios recomendados del libro: 5.9 5.10 5.11 5.19 5.20

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