análisis ii: límites y continuidad - junta de andalucía

Análisis II: Límites y continuidad

1º de Bachillerato

MatemáticasI

Contenidos

Análisis II:Límites y continuidad

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1. Introducción

Barrica de roble de gmáximo, CC by-nc 2.0

En 1613, el astrónomo y científico alemánJohannes Kepler acaba de cumplir 42años. Está a punto de casarse porsegunda vez en la ciudad austriaca enque reside, Linz a orillas del río Danubio.La costumbre obliga al novio a hacersecargo de adquirir las bebidas necesariaspara la celebración de la boda. Hombrecurioso, observa cómo el bodeguero quele va a vender el vino mide con una varala cantidad de licor que hay en lostoneles.

Piensa que aquellos cálculos a "ojo debuen cubero" no pueden ser correctos. Sepone manos a la obra, e intenta encontrarreglas que permitan calcular el volumende los panzudos toneles.

Pasados tres años, en una pequeña obra publicada en 1616, Kepler presenta una teoría que incluyeunas normas para la construcción y el cálculo de la capacidad de los toneles, en función de su formay tamaño.

Como no podía ser de otro modo, Kepler se ve obligado a introducir el concepto de lo infinitamentepequeño en sus razonamientos.

El infinito, definirlo y trabajar con él había traído de cabeza a matemáticos y pensadores desde laantigüedad griega. Un ejemplo de este conflicto son las paradojas de Zenón relacionadas con elmovimiento.

Se puede afirmar que los métodos mecánicos y geométricos utilizados por Arquímedes para elcálculo de áreas y volúmenes suponen un anticipo de lo que ya en el siglo XVIII se denominaríacálculo infinitesimal.

Al igual que Kepler, científicos como Galileo, Cavalieri, Torricelli, Descartes o Fermat, se ocuparondel cálculo de áreas y volúmenes. Y también de problemas relacionados con el movimiento,determinación de centros de gravedad de figuras, o el cálculo de la tangente a una curva en punto.

Todos ellos tuvieron que negociar con el infinito y el paso al límite, con mayor o menor éxito y rigoren sus razonamientos. Pero fueron Newton y Leibniz quienes idearon una teoría general queabarcara y unificara todo el cálculo de sus predecesores. Ellos dos son los padres del cálculointegral y diferencial, los protagonistas principales de ese instante eterno del saber humano.

Matemáticos posteriores como los Bernoulli, Euler, Cauchy, entre otros, fueron formalizando yafinando esa etapa inicial del cálculo. Y para ello fue necesario que se enfrentarán tanto al conceptode límite como al de continuidad de una función.

En la siguiente escena de GeoGebra, podemos apreciar cómo se puede calcular el área bajo trescurvas diferentes, utilizando métodos infinitesimales. Como se puede ver, esas áreas se aproximanpor la suma de áreas de rectángulos que en cada paso, se parecen más a la superficie buscada. Lasucesión de valores que se van obteniendo, tendrán como límites las áreas buscadas. Este es unejemplo de cómo emplear el límite para realizar cuadraturas, es decir, cálculo de áreas.

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¿Cuánto crees que valdrán cada una de las áreas anteriores? ¿Cuál será el límite en cada caso?

¡Ah! ¡Por cierto! Kepler fue muy feliz en este segundo matrimonio, a diferencia de lo que le ocurrióen el primero.

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2. Continuidad de una función

huellas y trazas de TwOsE, CC by-nc 2.0

¡Qué extraños somos los humanos! Nuncasabemos bien a qué carta jugar. Por unlado nos gusta una vida tranquila, sinsobresaltos. Preferimos los cambiossuaves, sin asperezas, que haya una ciertacontinuidad en nuestra experiencia vital.Pero, por otro lado, solemos acabaraburriéndonos si nuestra existencia no estásalpicada de acontecimientos que noshacen darnos cuenta de que estamosvivos. Un encuentro inesperado, unaconversación breve que cambia el rumbode nuestras vidas. Momentos quesignificaron un salto en nuestra pequeñahistoria íntima y que pasado el tiempo, sonlos que nos quedan fijos en el recuerdo deese discurrir continuo y aburrido.

¿Continuidad o no? Esa es la cuestión.

Podemos encontrar analogías a la reflexión anterior en el ámbito de las funciones. La continuidad esla situación más común, y la discontinuidad lo que más llama la atención.

En la siguiente escena de GeoGebra podemos ver ocho funciones de las estudiadas en la Unidadanterior. Casi todas ellas son continuas. Sólo hay dos con ... sobresaltos.

Si mueves el punto rojo irás cambiando de función, si mueves el naranja podrás recorrer la gráficade las funciones de forma continua, o no.

Una manera intuitiva y gráfica para saber si una función es continua, es comprobar sipodemos dibujar su gráfica de un sólo trazo, sin levantar el lápiz del papel.

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y .

(Debes escribir las letras en orden alfabético).

Enviar

En la escena GeoGebra anterior, son continuas todas las funciones menos las quecorresponden a las letras:

La primera de la funciones no es continua en -2 poque en él se anula eldenominador, y por tanto, no está definida en ese punto.

La segunda es la función parte entera, y en todos los puntos enteros tiene unsalto, por lo que no es continua en ellos.

Una función f se dice continua en un punto a, si f(x) se aproxima a f(a) cuando x seacerca a a.

En caso contrario, la función se dirá discontinua en dicho punto.

Una función que es continua en todos los puntos que está definida, se dirácontinua.

Casi todas las funciones elementales que estudiamos en la Unidad anterior son continuas en sudominio.

Las funciones lineales, cuadráticas y polinómicas en general, son continuas en todo su dominio.

Las funciones de proporcionalidad inversa y las racionales en general, son continuas en todo sudominio. Es decir, son continuas menos en los puntos donde se anula el denominador de la función.

Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, también son continuas en sudominio. Por ejemplo, la función tg(x) no es continua en los puntos donde el coseno es 0. Perodichos puntos no pertenecen a su dominio.

La mayoría de las funciones que no son continuas se encuentran entre las funciones definidas atrozos.

En la siguiente escena de GeoGebra vamos a estudiar la continuidad de cuatro funciones diferentesen el punto a=2. El punto verde se utiliza para cambiar de función, y el naranja para acercarnos alpunto 2, tanto para valores menores como mayores que 2. Mira con detenimiento qué ocurre conf(x) cuando x se acerca a 2. De ese modo podrás deducir si la función es continua o no en 2.

AV - Actividad de Espacios en Blanco

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Mostrar retroalimentación

a) La gráfica de dicha función, debe ser similar a la siguiente:

b) No, la función no es continua. Como se puede ver, no se puede dibujar sinlevantar el lápiz del papel.

c) El punto de discontinuidad es 66. Corresponde al minuto en que se marcó el

El partido de la primera división española, jugado el 10 de abril de 2011 entre elGijón y el Osasuna, terminó con un 1-0, siendo Barral, jugador del Sporting, quienmarcó el único tanto del encuentro en el minuto 66.

Está claro que uno de los instantes que quedará para el recuerdo de los aficionadosgijoneses será ese minuto en que su equipo marcó el gol. Casi todo el resto delpartido quedará en el olvido.

Consideramos la función que asocia a cada uno de los 90 minutos que dura el partido,los goles que se han marcado hasta ese momento.

Representa la gráfica de dicha función, y di si es continua o no. ¿Cuál es el punto dediscontinuidad? ¿Y el motivo de la discontinuidad en ese punto?

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se acerca a 66, f(x) se aproximara también a f(66)=1. Pero esto sólo es cierto si xse aproxima a 66 para instantes posteriores a ese minuto, dado que el gol ya estámarcado. Es decir, si x es un instante anterior a 66, como el gol aún no se hamarcado, f(x)=0. Y esto ocurre incluso para x igual a 65 minutos 59 segundos y 99centésimas de segundo.

Ya comentamos en la Unidad anterior que el concepto de función tardó siglos enconstruirse. Para recordar cómo fue esa historia puedes ver una presentación en elsiguiente enlace: breve historia de las funciones.

La definición de continuidad de una función es una cuestión de los siglos XIX y XX. Enlos dos siglos anteriores, las funciones estaban determinadas por curvas o por suexpresión analítica. Y todas eran continuas. Fue a principios del XIX cuandomatemáticos como Fourier, piensan que es necesario alejar la idea de función comouna relación que viene dada por una fórmula.

A partir de entonces la veda queda abierta, y las posteriores definiciones permiten laaparición de funciones definidas a trozos o como límite de otro conjunto de funciones.Algunas de ellas podrían ser consideradas verdaderas patologías incluso para mentesmuy abiertas como la de Euler.

Un ejemplo podría ser la función que se define de la siguiente manera:

. ¿Te imaginas cómo es su gráfica?

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3. Límite de una función en un punto

Al hablar de continuidad en un punto hemos utilizado los conceptos de aproximación y cercanía.¿Qué ocurre con f(x) cuándo x se aproxima a un punto determinado? Esa es la pregunta que noshacemos cuando queremos estudiar la continuidad de una función en un punto.

En el golf, a la zona donde se sitúa la bandera que señala el hoyo, se le denomina con la palabrainglesa "green". Cuando una bola está en el "green" quiere decir que está en las proximidades delhoyo. A partir de ese momento quedan pocos golpes, y estos deben ser suaves y precisos. De estaforma, el jugador conseguirá que la bola se acerque lentamente pero con decisión hasta el hoyo.

Cuando estudiamos la continuidad de una función en un punto a, sólo nos interesan los puntos muycercanos a él, los que están situados en el "green" que lo rodean.

En este apartado profundizaremos en los distintos comportamientos que puede tener una funcióncuando centramos nuestra atención en cómo cambia f(x) cuando x está muy próxima a dicho punto.

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3.1. Límite y continuidad

Al químico y filósofo irlandés del siglo XVII, Boyle-Mariotte, se debe, entre otro muchos resultados,la ley que lleva su nombre: "si un gas se mantiene a temperatura constante, su volumen esinversamente proporcional a la presión".

En el siguiente vídeo podemos disfrutar de una justificación casera de dicha ley.

En la siguiente escena de GeoGebra disponemos de un gas depositado en un recipente y taponadopor un émbolo que se desplaza verticalmente. Al aumentar la presión, el volumen del gas disminuye,y si la presión disminuye, aumenta el volumen. Para realizar dicha acción, debemos mover el puntonegro que está situado en el eje horizontal.

La relación que existe entre el volumen "f(x)", expresado en litros, y la presión "x", expresado en

Newton por cm2, viene dada por la función: .

Mueve el punto negro, y observa cómo al disminuir la presión, crece rápidamente el volumen. En latabla que hay a la derecha, van apareciendo los valores de x y f(x).

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Podíamos decir que cuando x tiende a 0 (la presión se hace muy pequeña), el volumen tiende a másinfinito (f(x) se hace muy grande). Por ejemplo, para una presión de 0,1 el volumen alcanza ya los100 litros. En este caso estamos jugando en el "green" del 0.

a) Si la presión es de 0,01 N/cm2, el volumen será de litros.

b) Si la presión se acerca aún más a 0, es de 0,002 N/cm2, el volumen sería de

litros.

c) Por último, para una presión de 0,00004 N/cm2, el volumen alcanza ya la magnitud

de litros.

Enviar

Completa los espacios en blanco que aparecen a continuación.

Para hallar las respuestas, sólo tienes que sustituir el valor de la presión x, en laexpresión algebraica de la función f(x).

Volvemos a retomar la segunda escena de GeoGebra del apartado anterior. Trabaja con ella yresponde las preguntas que se hacen a continuación.


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a) f(x) = 2x-3 se aproxima a .

b) f(x) = x2-3x+4 se aproxima a .

c) por la izquierda, es decir, para valores más pequeños que 2, f(x) = ent(x) se

arpoxima a .

d) por la derecha, es decir, para valores mayores que 2, se hace muy

.

Enviar

En esta autoevaluación vamos jugar en el "green" de 2, por tanto nos preguntamosque si x tiende a 2 ...

Para responder a las preguntas anteriores sólo tienes que trabajar con la escenade GeoGebra y ver qué ocurre para las distintas funciones con f(x), cuando x seaproxima a 2.

Si f(x) se acerca a l cuando x se aproxima al punto a, diremos que l es el límite de


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Lo anterior se expresa de la siguiente forma: .

Teniendo en cuenta la definición de continuidad que dimos en el apartado anterior,tenemos que f es continua en a si .

Esto facilita muchísimo el límite de una función en punto para las funciones continuas en todo sudominio, que, como hemos visto, son la mayoría de las funciones elementales.

Calcular el límite de f(x)=x3+4x+7 cuando x tiende, por ejemplo, al punto -1, es muy fácil. Comof(x) es una función polinómica, por tanto continua en todo su dominio, basta con hallar f(-1).

En el caso de la relación entre la presión y el volumen de un gas, es decir la función , el

no existe, porque al acercarnos a 0, tanto para valores mayores que 0, como para valores

que 0, f(x) tiende a infinito.


a) Al ser una función lineal, por tanto continua en todo su dominio, basta conhallar el valor de la función en el punto 2, 4·2-5=8-5=3. Luego el límite es 3.

b) El razonamiento es similar al del apartado anterior, 2x es continua en todo su

dominio, hallamos el valor de la función en el punto 3, 23=8. El límite es 8.

c) La función no está definida en el punto en que se quiere hallar el límite, ya que1-x se anula en 1. Al ser una función racional, al acercarnos a 1, los valores quetoma la función se harán muy grandes, por tanto, no existe el límite.

d) La función en el punto 2 es continua, luego si queremos hallar el límite, sólotenemos que sustituir 2 en la función: . El límite es -4.

Calcula los siguientes límites de funciones en los puntos que se indican, y en el casode que no existan, explica el motivo.

a)

b)

c)

d)

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3.2. Límites laterales. Discontinuidades

¿Recuerdas el partido entre elGijón y el Osasuna? ¿Sí, aquelque terminó con un 1-0,siendo Barral, jugador delSpórting, quien marcó el únicotanto del encuentro en elminuto 66?

De aquel partido, la funciónque nos interesaba era la que asociaba a cada instante del partido los goles que se habían marcadohasta ese momento. Su gráfica era la que aparece en la imagen de la derecha.

En la definición de límite en un punto a, centrábamos nuestra atención en cómo varía f(x) cuando xse acerca a a. Pero al punto a nos podemos acercar por la izquierda o por la derecha. Es decir, paravalores menores que a o mayores que a.

En el partido, nos podemos acercar a 66 por instantes anteriores o posteriores. Para instantesanteriores, f(x)=0 puesto que aún no se ha marcado el gol. En tanto que para instantes posterioresf(x)=1 ya que se ha marcado el gol.

Eso quiere decir que f(x) no tiene límite cuando x se tiende a 66. Lo que, como ya habíamos visto,implicaba que f(x) no era continua en 66. En este caso, jugar en el "green" del 66 da lugar a unbuen salto.

Si f(x) se acerca a l cuando x se aproxima al punto a para valores menores que a,diremos que l es el límite por la izquierda de f(x) en el punto a.

Y se expresa: .

Si f(x) se acerca a m cuando x se aproxima al punto a para valores mayores que a,diremos que l es el límite por la derecha de f(x) en el punto a.

Se escribe: .

Si los dos límites anteriores coinciden, existe el y es igual a ese valor

común.

En la función del partido de fútbol y .

Las tarifas postales del servicio de Correos para envío de paquetes, durante el año2011 vienen expresadas en la siguiente tabla.

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a) La gráfica de la función tiene la siguiente forma.

b) La función no es continua. Es discontinua en los puntos donde cambia la tarifa:1, 2, 5, 10, 15 y 20.

c) El primer límite es 6,60, el segundo 7,60, el tercero 8,70 y el último 11,45.

d) Ese límite no existe, dado que los los límites laterales no coinciden.

Consideramos la función que al peso del paquete le asocia el precio que hay quepagar

a) Representa gráficamente la función anterior.

b) ¿Es continua? ¿En qué puntos es discontinua?

c) Calcula los siguientes límites: , , y

.

d) Halla .

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Si una función no es continua en un punto, diremos que presenta unadiscontinuidad en dicho punto. Estudiando los límites y el valor de la funciónpodemos realizar una clasificación de las discontinuidades, que puedes ver en elsiguiente enlace:

Clasificación de discontinuidades

En ocasiones, al acercarnos a un punto por la izquierda opor la derecha, la función crece indefinidamente. Es lo queocurría en el ejemplo de la presión y el volumen del gas delapartado anterior. Si la presión se hacía muy pequeña, elvolumen crecía rápidamente.

Lo podemos expresar de la siguiente manera:

. Y hemos escrito a 0 por la derecha, por

que la presión siempre es positiva.

Además, esa función presenta una asíntota vertical en la

recta x=0. Es decir, al acercarnos a 0+, la gráfica de lafunción se aproxima indefinidamente a la recta x=0.

Una función f(x) tiene una asíntota vertical en el punto a, de ecuación x=a sialguno de los límites laterales en ese punto es más o menos infinito.

En ese caso, la gráfica de la función se aproxima a la asíntota condicionada por elsigno que tenga el infinito.

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Si , la asíntota vertical se encuentra en la recta , es decir en

el punto donde se anula el denominador. En tanto que la asíntota horizontal será.

En la siguiente escena de GeoGebra aparece representada una función racional. Hallalas ecuaciones de las asíntotas de dicha función. Puedes comprobar si tu respuesta escorrecta activando el controlador. Para generar otra función, haz clic en el icono queaparece en la parte superior izquierda de la escena.

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4. Límite de una función en el infinito. Asíntotahorizontal

Hasta ahora sólo nos ha preocupado el límitede una función en un punto, pero también nospodemos preguntar qué ocurre con f(x)cuando x, la variable independiente, se alejamucho del origen. Es decir, qué ocurre conf(x) cuando x tiende a infinito, tanto a másinfinito como a menos infinito.

Volvamos al ejemplo de la presión y elvolumen del gas, . En el apartado

anterior nos preocupó qué ocurría con elvolumen, f(x), cuando la presión, x, seacercaba a 0. Ahora prestamos nuestraatención a qué ocurre con el volumen cuandola presión se hace muy grande. Es decir,cuánto vale:

En el gráfico de la derecha podemos ver que si la presión es grande, el volumen es cada vez máspequeño, y tiende a cero. Es lógico, si x crece, decrece.

Además, se aprecia también que esa función tiene una asíntota horizontal en el eje de las X, esdecir, y=0.

Si f(x) se acerca a l cuando x se hace muy grande en valor absoluto, diremos que l esel límite de f(x) cuando x tiende a infinito.

Se expresa de la siguiente manera: .

Si x tiende a infinto sólo para valores positivos, diremos x tiende a más infinito. Y se

escribe . Cuando esto ocurre, la función tiene una asíntota

horizontal en la recta y=l, para los valores positivos de x.

En el caso de que x tienda a infinito sólo para valores negativos, se dirá que x tiendea menos infinito. Se expresa . Cuando esto ocurre, la función

tiene una asíntota horizontal en la recta y=l, para valores negativos de x.

En estas dos presentaciones, puedes ver cómo se comportan en el infinito las funciones polinómicas:

Límite en el infinito de un polinomio

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Y las funciones racionales:

Limite en el infinito de funciones racionales

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En las presentaciones hemos visto que el límite cuando x tiende a infinito puede ser infinito. Porejemplo, en el caso de las funciones polinómicas y algunas racionales. Esto quiere decir que cuandox se hace muy grande en valor absoluto, f(x) también crece indefinidamente en valor absoluto.

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La función exponencial

ax, si a>1, presenta unaasíntota horizontalcuando x tiende a menosinfinito.

Por ejemplo, la función

f(x)=2x tiene unaasíntota horizontal eny=0, para los valoresnegativos de x. Es decir,

.

Pero ese límite no escierto si x tiende a más

infinito. f(x)=2x se hace muy grande, cuando x se hace grande y es positivo. Por

tanto .

En la imagen de la izquierda podemos ver la gráfica de f(x), y ver cómo los límitesanteriores se ajustan a ella.

a) el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito es .

b) f(x) tiene una asíntota en y=0, para los valores

de x.

c) el límite cuando x tiende a infinito es infinito.

Enviar

Consideremos ahora la función exponencial .

Completa con las palabras: menos, horizontal, más, positivos, cero; los espacios enblancos que aparecen a continuación:

Tienes que recordar cómo es la gráfica de las funciones exponenciales cuando labase se encuentra entre 0 y 1.


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No todas las funciones tienen asíntotas. Ya hemos visto que las polinómicas no tienen.Tampoco el seno y el coseno. Por el contrario, la tangente tiene infinitas asíntotasverticales.

Las gráficas de las funciones que tienen asíntotas están muy condicionadas por ellas.En el siguiente vídeo podemos comprobarlo.

a) Las dos funciones que no tienen ningún tipo de asíntotas son y por ser las

dos funciones polinómicas (escríbe sus nombres en orden alfabético).

b) g tiene una asíntota vertical en x= , y horizontal en y= .

c) El límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de g(x) es infinito.

d) El límite cuando x tiende a menos infinito de g(x) es .

e) La única función que tiene asíntota oblicua es .

En la siguiente escena de GeoGebra aparecen las gráficas y la expresión analítica decuatro funciones que puedes ir viendo si mueves el deslizador que tiene un puntoverde. También puedes mover el punto naranja a lo largo de la gráfica.

Completa los siguientes espacios en blanco que contienen cuestiones relacionadas conesas funciones.


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g) El límite cuando x tiene a 1 por la derecha de i(x) es infinito.

h) El límite cuando x tiende a menos infinito de h(x) es infinito.

Enviar

Estas cuestiones te servirán de repaso a todo lo que hemos visto en este tema. Sifallas en algunas de ellas, quizás debas volver a mirar un poco más los contenidos.

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5. Indeterminaciones

Algunas veces nos encontraremos con límites a los que no podremos asignar directamente suresultado. En estos casos será necesario analizarlos y aplicar otros procedimientos que nos permitanllegar al valor de esos límites. Vamos a catalogarlos de una forma especial.

Llamaremos límite indeterminado ó indeterminación a aquellos límites en los queconocemos los límites de las funciones que intervienen, pero no podemos asignar ellímite del resultado de la operación.

Las indeterminaciones más importantes son:

, , , , , ,

,

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5.1. Indeterminada de la forma 0/0

Una de las indeterminaciones que hemos definido anteriormente, es el caso , pero ¿Cómo se

aprecian y resuelven esos casos?

Ante el límite , lo primero que se nos ocurre es sustituir, pero llegamos ante el siguiente

problema, .

Para resolver este problema, tan solo debemos factorizar los polinomios que aparecen tanto en elnumerador como en el denominador y simplificar la fracción, por ejemplo:


Al sustituir x por -2 obtenemos . Factorizamos los

polinomios.

Determina el siguiente límite

Calcula el siguiente límite

AV - Pregunta de Elección Múltiple

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Solution

1. Opción correcta2. Incorrecto3. Incorrecto4. Incorrecto

-1

Correcto

No es correcto.

No es correcto.

La solución es un número algo mayor.

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5.2. Indeterminación donde intervenganfracciones algebraicas.

Coneja. Banco de imágenes del

ITE. Bajo licencia Cretive

Commons.

En una determinada zona de Andalucía, la población de conejos sigueuna determinada función de crecimiento , donde x

representa el número de años. Por otra parte, podemos estudiar elnúmero de kg. de zanahorias producidos en la zona. La cantidad de kg.de zanahoria producida en el año x, viene dada por la función

.

Si queremos saber la cantidad de comida que puede comer cada conejobasta dividir g(x) (cantidad total de comida) entre f(x) (cantidad total deconejos).

¿Pero, podemos indicar cuántos kg. de zanahoria comerá cada conejo alcabo de muchos, muchos años?

Para resolver una indeterminación donde intervengan fracciones algebraicas, debemosfijarnos en los exponentes de mayor grado de cada expresión algebraica

Sea , entonces esta función tendrá en el infinito el mismo

comportamiento que

Así, si

p > qentonces (Si sg(a)=sg(b) entonces

Si sg(a) sg(b) )

p = q entonces

p < q entonces

y si

p > qSi p, q tienen igual paridad, entonces, si sg(a)=sg(b) y

si sg(a) sg(b)

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Si sg(a) sg(b)

p=q entonces

p < q entonces


Calcula el siguiente límite:


Si observas el recuadro "Importante", puedes observar como se calculan los

Determina el límite de las siguientes funciones:

1.

2.

3.

Observa el mayor exponente de cada una de las expresiones algebraicas que formanla fracción.

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numerador, es mayor que el mayor exponente de la fracción que actua comodenominador. Por lo tanto, el resultado del límite es , es decir

2. En el segundo caso, nos encontramos con que el mayor grado del numerador ydel denominador, son iguales. Por lo tanto

3. En el último caso, podemos observar que el grado del denominador es superioral del numerador. Entonces

Sugerencia

Solution

1. Incorrecto2. Opción correcta3. Incorrecto4. Incorrecto

Indica el límite de la siguiente función:

1

6

0

Estas seguro? Sigue intentándolo.

¡¡Correcto!!



Obviamente, los polinomios son las expresiones algebraicas más sencillas para calcular límites ¿Quéocurrirá si introducimos expresiones radicales?


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En los límites en los que aparezcan expresiones radicales, tendremos en cuenta lassiguientes indicaciones.

se comporta como

Ahora, simplimente aplicamos de nuevo la regla de los límites de cocientes depolinomios.


Utililzaremos el enunciado indicado en el recuadro "Importante"

1.

2.

El límite es 0 al ser el exponente del numerador menor que el del denominador.

Calcula los siguientes límites cuando x tiende a +

1.

2.

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Solution

1. Incorrecto2. Incorrecto3. Incorrecto4. Opción correcta

Calcula el siguiente límite:

0

1

-3

No es correcto.

Piénsalo mejor.

Inténtalo otra vez.

Correcto.

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5.3. Órdenes de infinitos

Arctic Hare.Imagen obtenida de la Fundación Wikipedia

bajo licenciaCreative Commons.

La imagen que nos ha llegado de los conejos es siempresimpática y alegre. Desde el conejo que siempre llegatarde de Alicia en el Pais de las Maravillas, al conejo deWarner Bross, Bugs Bunny. Pero la realidad en muchaspoblaciones es otra y se detectan plagas de conejos queeliminan cosechas completas. Si los conejos no tuvieranpredadores ¿a qué cantidad llegarían?

Ya hemos visto varias situaciones donde se obtieneninfinitos conejos, infinitas zanahorias, pero ... ¿soniguales todos los infinitos?

x f(x)= x - ln(x)

1 1

10 7,7

100 95,4

1000 993,1

10000 9990.8

100000 99988,5

Sabemos que y que , pero ¿qué ocurriría con la función f(x) =

x - ln(x)?

Veamos una tabla para comprobar adonde tiende la función

Es decir, nos encontramos que el primerinfinito es "mayor" que el segundo, por lotanto, el límite de la función será infinito.

Así mismo, podriamos trabajar con la función f(x) = ln(x) - x. En este caso, también tenemos que el

coincidirá con . Pero ahora el primer infinito

es de orden inferior al segundo, por lo que estariamos ante la siguiente situación

Al ser "mayor" el segundo infinito, tenemos que.

Órdenes de infinitos

Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es uninfinito de orden superior.

Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior acualquier potencia de x.

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Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitosdel mismo orden.


Observemos el grado de cada expresión algebraica.

En el aparatado 1 obtenemos que

tiene grado dos y tiene grado (lo obtenemos de convertir

a . Al ser mayor el primer grado, podemos decir que el límite de lafunción es .

En el segundo caso, nos encontramos con una diferencia de dos funciones , dondeel infinito de la segunda función, es de orden mayor que la primera, por lo que ellímite indicado es .

Indica el límite, cuando de las siguintes expresiones.

1.

2.

Ahora bien, podemos encontrarnos con funciones que no sean polinomios ó funciones radicales. Enocasiones, deberemos calcular límites donde aparezcan fracciones algebraicas, como en el casosiguiente:

Aqui nos encontramos con dos infinitos pero no sabemos cuál es mayor. Para determinar el límite dela función, debemos realizar las operaciones algebraicas correspondientes para poder determinar ellímite. Veamos este caso

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Solution

1. Opción correcta2. Incorrecto3. Incorrecto4. Incorrecto

Calcula el límite de la siguiente función

0

-3

¡¡Correcto!!

No es correcto.

Piénsalo mejor.

Piénsalo mejor.

De forma análoga, nos encontramos con diferencias de radicales y polinomios, ambos del mismo

grado o de dos radicales. En esos casos, para resolver el límite , debemos

multiplicar y dividir por , para que desaparezcan las diferencias de raices. Veamos un

ejemplo.


Así podemos decir que tiene un comportamiento igual al de la función

g(x) = x , por lo que estamos ante un límite análogo a , por lo que

el límite es igual a

Calcula el siguiente límite

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Solution

1. Incorrecto2. Incorrecto3. Incorrecto4. Opción correcta

Determina el siguiente límite

0

1

No es correcto.

La solución es un número más pequeño.

No es correcto

Correcto.

A veces este método de multiplicar por el conjugado (la misma expresión con signo más) se puedeutilizar aunque no se trate de un límite hacia el infinito. Veámoslo en el siguiente ejemplo.


Si aplicamos el límite directamente nos da la indeterminación , para resolverla

multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del numerador.

Observa que en el segundo paso hemos aplicado el producto de suma por

Halla el valor del límite


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Em el apartado 3, cuando hablamos de las indeterminaciones, incluimos una serie deindeterminaciones de tipo potencial y exponencial, en concreto nos referimos a las deltipo .

Para saber más

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Resumen

Una función f se dice continua en un punto a, si f(x) se aproxima a f(a) cuando x seacerca a a.

En caso contrario, la función se dirá discontinua en dicho punto.

Una función que es continua en todos los puntos que está definida, se dirácontinua.

Si f(x) se acerca a l cuando x se aproxima al punto a, diremos que l es el límite def(x) en el punto a.

Lo anterior se expresa de la siguiente forma: .

Teniendo en cuenta la definición de continuidad que dimos en el apartado anterior,tenemos que f es continua en a si .

Si f(x) se acerca a l cuando x se aproxima al punto a para valores menores que a,diremos que l es el límite por la izquierda de f(x) en el punto a.

Y se expresa: .

Si f(x) se acerca a m cuando x se aproxima al punto a para valores mayores que a,diremos que l es el límite por la derecha de f(x) en el punto a.

Se escribe: .

Si los dos límites anteriores coinciden, existe el y es igual a ese valor

común.

Si una función no es continua en un punto, diremos que presenta unadiscontinuidad en dicho punto. Estudiando los límites y el valor de la funciónpodemos realizar una clasificación de las discontinuidades, que puedes ver en elsiguiente enlace:

Clasificación de discontinuidades

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el límite de f(x) cuando x tiende a infinito.

Se expresa de la siguiente manera: .

Si x tiende a infinto sólo para valores positivos, diremos x tiende a más infinito. Y se

escribe . Cuando esto ocurre, la función tiene una asíntota

horizontal en la recta y=l, para los valores positivos de x.

En el caso de que x tienda a infinito sólo para valores negativos, se dirá que x tiendea menos infinito. Se expresa . Cuando esto ocurre, la función

tiene una asíntota horizontal en la recta y=l, para valores negativos de x.

Llamaremos límite indeterminado ó indeterminación a aquellos límites en los queconocemos los límites de las funciones que intervienen, pero no podemos asignar ellímite del resultado de la operación.

Las indeterminaciones más importantes son:

, , , , , ,

,

Para resolver una indeterminación donde intervengan fracciones algebraicas, debemosfijarnos en los exponentes de mayor grado de cada expresión algebraica

Sea , entonces esta función tendrá en el infinito el mismo

comportamiento que

Así, si

p > qentonces (Si sg(a)=sg(b) entonces

Si sg(a) sg(b) )

p = q entonces

p < q entonces

y si

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p > q

si sg(a) sg(b)

Si p, q tienen distinta paridad, entonces si sg(a)=sg(b) ,

Si sg(a) sg(b)

p=q entonces

p < q entonces

Órdenes de infinitos

Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es uninfinito de orden superior.

Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior acualquier potencia de x.

Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.

Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitosdel mismo orden.

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análisis ii: límites y continuidad - junta de andalucía

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