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Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1

Señales periódicas.

Análisis de Simetría

Simetría Par

Simetría Impar

Simetría de Media Onda

Simetría de Cuarto de Onda

Señales Ortogonales

Indice:

Tema 3. Series de Fourier. Análisis de Espectros


1. Señales Periódicas

Son aquellas señales que muestran periodicidad respecto del tiempo, es decir, describen

ciclos repetitivos. En una señal periódica se cumple que:

x(t)= x (t + T)

La forma más simple de señal periódica es la sinusoide, que se describe

matemáticamente:

X(t)= A . Sen( wt + θ)

A = Amplitud w = Frecuencia en rad/seg. θ = Angulo de Fase inicial

con respecto al origen temporal en rad.

Donde T es una constante conocida como período fundamental.

En forma general podemos escribir x(t)= x ( t + nT ) donde n = 0, 1, 2, 3, …….



La frecuencia w (rad/seg.) y f que es la frecuencia de la componente

fundamental de la señal periódica, están relacionadas con el período

fundamental por:

w = 2πf

w = 2π

T

f = 1 T

Si x(t) y g(t) tienen el mismo período T, si a y b son constantes reales:

y = a x(t) + b g(t) será también periódica de período T.




Si la señal x(t) = cos (w1t) + cos (w2t) es periódica de período T, entonces debe ser

posible encontrar dos números enteros m y n tales que:

w1 T = 2 π f1T = 2 π m

w2 T = 2 π f2T = 2 π n

w1

w2

m

n

f1

f2 = =

x (t) será periódica si la fracción m/n o w1/w2 es racional e irreducible.

El valor más pequeño de m o n determina el período T. Por ejemplo si m > n,

entonces T = n/f2




Ejemplo: Verificar si las señales siguientes son periódicas, en cuyo caso determinar el período.

f1 = 1/6π f2 = 1/8π

w1

w2

4

3 = m = 4 ; n = 3

La fracción es racional, la señal y(t) es periódica de período:

3

f2

T = = 24π

a)


f1 = 1/2 f2 = 3/2

w1

w2

1

3 = m = 1 ; n = 3

La fracción es racional, la señal y(t) es periódica de período:

1

f1

T = = 2

b)



2. Análisis de Simetría

2.1 Simetría Par e Impar.

Simetría Par

La simetría par de una señal se verifica mediante la existencia de una simetría con

respecto al eje vertical "t = 0", esto equivale a reflejar la señal y obtener como

resultado una señal idéntica a la original.

Matemáticamente se dice que una función es par si satisface la condición:

f t f t( ) ( )

f(t)

t

Una función par es simétrica respecto al eje vertical en el origen.



Simetría Impar

La simetría impar de una señal se verifica mediante la existencia de una

simetría con respecto al origen "t = 0, x(t)=0“, esto equivale a reflejar e

invertir la señal y obtener como resultado una señal idéntica a la original.

Matemáticamente se dice que una función es impar si satisface la

condición: f(t)

t




Propiedades de las Funciones Pares e Impares

a) El producto de una función par por otra función par, da como resultado una

función par.

b) El producto de una función impar por otra función impar, da como resultado

una función par.

c) El producto de una función par por otra función impar, da como resultado una

función impar.


2.2 Simetría de Media Onda

Simetría que se verifica al invertir y desplazar medio período (adelante o atrás)

la señal y obtener como resultado una señal idéntica a la original.



f(t)

t

Matemáticamente se dice que una función tiene simetría de media onda si

satisface la condición: )2

()(T

tftf

La función se desplaza medio período hacia la izquierda o hacia la derecha la

función tendrá el mismo valor, pero de signo negativo. Esto es, la porción

negativa de la onda, es el reflejo de la porción negativa desplazada

horizontalmente medio período.


2.2 Simetría de Media Onda



2.3 Simetría de Cuarto de Onda

Si la simetría de Media Onda se combina con las simetrías Par e Impar da como

resultado Simetrías de Cuarto de Onda Par e Impar respectivamente.

t

f(t)

Simetría Impar +


t

f(t)

Simetría Par +





3. Señales Ortogonales

Un conjunto de funciones øk(t) es ortogonal en un intervalo a < t < b si para dos

funciones cualesquiera øm(t) y øn(t) pertenecientes al conjunto øk(t), se cumple:

m n

n

a

b

t t dt

para m n

r para m n

( ). ( ).

0

rn = Constante Real

Si las señales øm(t) y øn(t) son complejas, entonces la condición de ortogonalidad es:

b

a

n

nm

nmparar

nmpara

dttt

0

).().(Corresponde a la compleja conjugada

= rn δ (m-n)

Podemos decir:

δ (m-n) = 1 m = n 0 m ≠ n



Ejemplo:

Dado el conjunto de señales øm (t) = Sen (m t), m = 0, 1, 2, ...,n ; en el intervalo (-π,

π) verificar la condición de ortogonalidad.

Sen A . Sen B = ½ Cos (A-B) - ½ Cos (A+B) Sustituyendo

J = k

J ≠ k

Entonces las señales øm (t) = Sen (m t), m = 0, 1, 2, ...,n, forman un Conjunto Ortogonal de Señales en el intervalo (-π, π).




Ejercicio Propuesto:

Dado el conjunto de señales øm (t) = Cos (mw0t), m = 0, 1, 2, ...,n ; en el intervalo

( -T , T ) verificar la condición de ortogonalidad. 2 2



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