anÁlisis de fluctuaciones financieras a partir de series

Por los Doctores Oswaldo Morales Matamoros y Alexander Balankin

No.17-2007

ANÁLISIS DE FLUCTUACIONESFINANCIERAS A PARTIR DE

SERIES DE TIEMPO

COMITÉ TÉCNICO NACIONALDE ADMINISTRACIÓN INTEGRAL DE RIESGOS

La administración de riesgos (AR) toma cada vez rutas más compli-cadas, por lo cual es importante considerar el grado de los riesgos quese presentan en la economía financiera actual, dichos riesgos son pro-ducto de las fluctuaciones (o cambios) que sufren los agenteseconómicos. La magnitud y frecuencia de las fluctuaciones han propi-ciado el nacimiento de la ingeniería financiera, cuya importanciareside en la creación de modelos para protegerse de los riesgosfinancieros a través de la cobertura con instrumentos derivados, yaque éstos son un medio para administrar y distribuir el riesgo de unamanera más eficiente. De esta forma, a partir de la década de 1970, elmercado de derivados ha crecido de manera exponencial por la necesi-dad de cobertura sobre los riesgos financieros.

RESUMEN EJECUTIVO

ANÁLISIS DE FLUCTUACIONESFINANCIERAS A PARTIR DE SERIES DE TIEMPO

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INTRODUCCIONCAPITULO 1: MOVIMIENTO BROWNIANO CAPITULO 2: GEOMETRIA FRACTALCAPITULO 3: FLUCTUACIONES EN EL MERCADOPETROLERO CONCLUSIONESREFERENCIAS

La integración económica en la actualidad, como partede la globalización económica ha provocado una fuertecompetencia sobre los participantes que actúan en losmercados de valores con el fin de contar con métodosmás eficientes en el marco operativo para prevenirdesastres financieros. La inserción de la economía mexi-cana en el orden contextual de la globalización mun-dial, obliga a que cada vez sea más imperativa la impor-tancia de considerar los tipos de riesgos que trae con-sigo la apertura de nuestro mercado al exterior, en par-ticular, en el ámbito financiero. Las necesidades decobertura impactan sobre el mercado mexicano, estoes, desde la apertura del sistema financiero mexicanohasta la inversión extranjera. Debido a lo anterior, lasorganizaciones bursátiles y bancarias de México debenestar preparadas y contar con una estructura sólida, efi-ciente y confiable, que permita una mejor integraciónen los mercados financieros al contar con una adecua-da administración de riesgos.

La administración de riesgos (AR) toma cada vez rutasmás complicadas, por lo cual es importante conside-rar el grado de los riesgos que se presentan en la eco-nomía financiera actual, dichos riesgos son productode las fluctuaciones (o cambios) que sufren losagentes económicos. La magnitud y frecuencia de lasfluctuaciones han propiciado el nacimiento de la inge-niería financiera, cuya importancia reside en la

CONSEJO DIRECTIVO NACIONAL 2007

PresidenteC.P.C. Sergio Federico Ruiz Olloqui Vargas

Presidente del Consejo TécnicoLic. Federico Casas Alatriste

Secretario CDN y Director General IMEFIQ MBA Juan Carlos Erdozáin Rivera

COMITÉ TÉCNICO NACIONAL DE ADMINISTRACIÓN INTEGRAL DE RIESGOS

PRESIDENTE

C.P. Alfonso Salvador Gómez Cardoso

INTEGRANTES

Act. Enrique Márquez

C.P. Alfonso Salvador Gómez Cardoso

C.P. Daniel Novoa Villaseñor

C.P. Enrique Daniel Ledesma González

C.P. Enrique Ochoa Báez

C.P. José Alberto Ramírez Rebolledo

C.P. Raúl Márquez Guerrero

C.P. Víctor Escalante Torres

Dr. Fausto Humberto Membrillo Hernández

Dr. Oswaldo Morales Matamoros

Ing. Pablo Pinedo Navarro

Lic. Andrea Ramírez Hernández

Lic. Antonio Olivo Farías

Lic. Federico José Buiter Viviers

Lic. Fernando Alcántara Hernández

Lic. Fernando Labharte Cabrera

Lic. Gerardo Pinto Urrutia

Lic. Itzel García Zamora

Lic. Javier Hernández López

Lic. Juan Carlos Sierra Boche

M. en I. E. y F. Anselmo Moctezuma Martir

Mat. Xavier González Gamio

MBA Claudia Viviana Guevara Vázquez

Sr. Eduardo Riveroll Nava

Sr. Pierre Francois Streit

L.C.P. Martha Arellano FuentesCoodinadora del Comité Técnico Nacional

de Administración Integral de Riesgos

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

3ANÁLISIS DE FLUCTUACIONESFINANCIERAS A PARTIR DE SERIES DE TIEMPO

creación de modelos para protegerse de los riesgosfinancieros a través de la cobertura con instrumentosderivados, ya que éstos son un medio para adminis-trar y distribuir el riesgo de una manera más efi-ciente. De esta forma, a partir de la década de 1970,el mercado de derivados ha crecido de manera expo-nencial por la necesidad de cobertura sobre los ries-gos financieros [1].

Administrar riesgos significa tener algún nivel de cer-tidumbre, que comience desde el análisis de las fluc-tuaciones de las principales variables financieras,hasta su predicción (estadística): realización de unanálisis de sensibilidad que permita generar escena-rios (probabilísticos) extremos con expectativas favo-rables a la conducta que los agentes económicosesperan, en condiciones de confianza para invertir [1].

Básicamente, la AR está determinada por tres eventosimportantes: la liberación económica, que, a su vez,conlleva al incremento de las fluc-tuaciones de lasvariables económicas, y el auge que se da en la indus-tria de los derivados. Las fluctuaciones (cada vez másfrecuentes y de mayor magnitud) en los mercadosfinancieros han generado un entorno de mayorincertidumbre y, por lo tanto, han aumentado los ries-gos de que las inversiones obtengan los rendimientosesperados en los plazos establecidos [1].

La incertidumbre está vinculada con el riesgo,aunque no son lo mismo. Por un lado, la incer-tidumbre se define como la falta de información quepropicia que el proceso de toma de decisionesfinancieras se vea afectado por la presencia de ries-gos internos y externos, consecuencia de un diag-nóstico estratégico incompleto. Por otro lado, el ries-go es la probabilidad de que las organizacionespuedan sufrir un daño o pérdida en el futuro debidoa eventos que son simple y sencillamente impredeci-bles, pero que afectan negativamente en el rendi-miento de la inversión; es por ello que el riesgo estáinmerso en toda actividad económica [1].

En el ámbito financiero las principales fuentes de ries-go comienzan con fluctuaciones (aparentementeimpredecibles) sobre precios, tipos de cambio y tasasde interés. Dichas fluctuaciones han sido motivo deconstante preocupación para todos aquellos agentesque ponen en riesgo sus ingresos y estabilidadfinanciera. Aquí es importante hacer una pausa paraespecificar cómo se miden las fluctuaciones en losmercados financieros.

Pues bien, las fluctuaciones (o cambios) en los precios semiden por los incrementos en los precios, los rendimien-tos logarítmicos de precios o el valor absoluto de estosúltimos. Si denota el precio de algún activo o mercancíaen un cierto día de negociación, el incremento en el pre-cio está definido como , y el cam-bio relativo en el precio, rendimiento porcentual,como .

Además, sobre una base de composición continua,el rendimiento del precio en un periodo dadopuede ser calculado como el logaritmo del pre-cio final menos el logaritmo del precio inicial:

, donde .En cuanto al valor absoluto de los rendimientos loga-rítmicos, éste describe la amplitud de la fluctuación,ya que es por definición siempre positivo y no existentendencias globales que sean visiblemente obvias.

Sin embargo, en AR la expresión más aceptada parareferirse a fluctuaciones financieras es la de volati-lidad, cuya definición en los mercados financieroses: la desviación estándar del precio, ya que éstarepresenta una medida general de la magnitud delas fluctuaciones del mercado. Con base a lo ante-rior, para calcular la volatilidad histórica, a dife-rentes horizontes de tiempo, se utiliza la ecuación:

, donde elvalor promedio de denota el tiempo promedio denegociación y es el tiempo para realizar las transac-ciones (excluyendo fines de semana y días festivosdel mercado) [2].


4

El análisis, modelado y predicción de la volatilidad enlos mercados financieros trata de responder a la pre-gunta: ¿qué tan inciertos son los rendimientos espe-rados de un activo? Para contestar esta pregunta, losanalistas financieros (ya sean contadores, economis-tas, actuarios, matemáticos o físicos) toman comopunto de partida las bases de datos concernientes alos registros de los valores de las variables financierasen cierto instante de tiempo (precios, tasas deinterés, tipos de cambio, etcétera). A dichas bases dedatos se les llama series de tiempo financieras; estasseries de tiempo pueden contener millones de datosy estar disponibles en Internet.

En principio, se ha demostrado que las series de tiem-po de precios, índices, tasas de interés y tipos decambio despliegan incertidumbres estocásticas, porlo que los analistas financieros han optado poranalizar series de tiempo de las fluctuaciones de lasvariables financieras antes mencionadas: rendimien-tos logarítmicos y desviación estándar. En la figura 1se muestran las curvas de las series de tiempo de:precios (spot y constantes a 1983) del petróleo crudoWest Texas Intermediate (WTI), rendimientos logarít-micos del WTI y volatilidad histórica del WTI paracada dos días de negociación ( ).

De esta manera, la asociación del riesgo con la volati-lidad que existe sobre los rendimientos de activosconsiste en un proceso estocástico, en donde sepuede identificar su distribución de probabilidad ydesarrollar modelos relevantes en función de sus ten-dencias estadísticas (varianza, desviación estándar yestimar los coeficientes de correlación), así comoefectuar análisis de sensibilidad sobre las variablesque determinen un cierto nivel de confianza almomento de observar cambios en la economía.

Figura 1. Curvas de series de tiempo (1986-2003 y ): pre-cios del crudo WTI, rendimientos logarítmicos del WTI y volatilidaddel WTI [3].

De hecho, como se verá más adelante, la primera for-mulación del modelo del Movimiento Browniano y unproceso estocástico se dio en una investigación reali-zada en el área de la Economía. A continuación seexplica la manera en que los economistas han anali-zado las fluctuaciones financieras a partir de series detiempo, apoyándose en el fenómeno del MovimientoBrowniano y en la Teoría de Probabilidad.


En 1969 el Banco Central de Suecia crea el Premio Nobel en Economía. Existen varios laureados coneste premio que han soportado sus trabajos de investigación a partir del Movimiento Browniano(mB) y su evolución conceptual. Por ejemplo, en 1970 Paul Anthony Samuelson obtiene el PremioNobel en Economía y en 1997 Robert Merton y Myron Scholes comparten este premio.

El mB ha permitido el modelado de fluctuaciones propias de diversas variables económicas yfinancieras y ha representado una herramienta básica para incorporar elementos de riesgo eincertidumbre en la dinámica de dichas variables, lo que ha propiciado que el mB, así como susaspectos teóricos y prácticos, ocupe el 99% en la teoría de valuación de portafolios y productosderivados en tiempo continuo. Esto ha implicado que, a partir de la década de 1980, la mayoríade los departamentos de matemáticas en el mundo cuenten con un programa de posgrado enmatemáticas financieras, poniendo mucho énfasis en la teoría de productos derivados [4].

En 1827 Robert Brown, mientras examinaba partículas de polen en el microscopio, observó quecuando éstas se encontraban suspendidas en agua se movían sin cesar en forma errática. A dichofenómeno se le llamó mB (figura 2a) y se describe mediante la caminata aleatoria (figura 2b):desplazamientos hacia adelante (azarosos) y retrocesos (también azarosos) de un caminante encierto periodo de tiempo [4].

CAPITULO 1: MOVIMIENTO BROWNIANO

a) b)

Figura 2. a) Movimiento Browniano de partículas de polen de una hierba suspendidas en agua; b) caminata al azar:Movimiento Browniano estándar.

En 1905 Albert Einstein escribió un artículo sobre la mecánica estadística en el que proporcionóla explicación y formulación matemática del mB, demostrando que el movimiento irregular de laspartículas de polen se debía al golpeteo aleatorio de las moléculas invisibles de agua sobre laspartículas de polen. Sin embargo, Louis Bachelier se anticipó a Einstein con una formulaciónmatemática del mB, tan elegante como la de Einstein, abordando un problema completamentediferente al del movimiento errático de partículas de polen suspendidas en agua.


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Louis Bachelier en 1900 presentó en la Sobornne de París su tesis doctoral: "Théorie de laSpéculation", a través de la cual distingue a las finanzas como una ciencia sujeta al rigormatemático. En esta tesis Bachelier estudió el comportamiento de los precios de activosfinancieros y estableció un "modelo matemático" que describía los movimientos de dichos pre-cios: el mB (figura 3a) [4].

a) b)

La primera parte de la tesis de Bachelier con-tiene una descripción de los productos deriva-dos disponibles en el mercado francés en sutiempo, tales como contratos Forward yOpciones. Posteriormente desarrolla un mode-lo probabilístico del movimiento del precio deun activo y establece el principio de valuaciónde que la "esperanza condicional de la ganan-cia del especulador es cero". El término condi-cional se refiere a que la información actual estomada como dada. Implícitamente Bachelieracepta en este principio que el mercado valúaactivos utilizando martingalas (procesos esto-cásticos cuyo valor futuro esperado dependesólo del valor actual y no de anteriores al mis-mo); asimismo, establece que el precio evolu-ciona como un proceso de Markov homogéneoen el tiempo (en donde la distribución de pro-babilidad de un estado futuro sólo depende dela información actual y no de la anterior).También muestra que la función de densidadasociada a este proceso satisface la condición(actualmente) conocida como ecuación de

Chapman-Kolmogorov y verifica que la densi-dad Gaussiana con varianza creciente lineal-mente en el tiempo es la solución de estaecuación. Bachelier muestra que la familia defunciones de densidad asociadas al procesoque conduce el precio satisface la ecuación decalor. Finalmente, el modelo probabilístico quedescribe el movimiento del precio de un activoes aplicado para valuar varios tipos deOpciones (francesas) cuyas primas se pagan alvencimiento [4].

Como puede verse, Bachelier se adelantó a sutiempo con la introducción de conceptos co-mo: Movimiento Browniano, proceso Marko-viano, esperanza condicional y martingala.Dichos conceptos fueron redescubiertos y po-pularizados por prominentes matemáticos va-rios años después. Por ejemplo, los procesosMarkovianos aparecen en 1906, la noción for-mal de esperanza condicional es introducidapor Kolmogorov en 1933 y el concepto de mar-tingala es elaborado por Lévy hasta 1937 [4].

Figura 3. a) Movimiento Browniano de una serie de tiempo de fluctuaciones financieras; b) Movimiento BrownianoGeométrico de una serie de tiempo de fluctuaciones financieras.


Entre las contribuciones de la tesis de Bacheliera las matemáticas financieras también desata-can: el modelo de la dinámica de los precios delas acciones de la bolsa de París a través del mB,la primera representación gráfica del precio deun contrato de Opción, la formulación de mer-cados eficientes, la primera fórmula de valua-ción de un contrato de Opción y la primeradefinición cuantitativa de riesgo de mercado [4].

Paul Antonhy Samuelson, profesor en elMassachussets Institute of Technology (MIT) de1968 a 1970, a través de su trabajo sobre lavaluación de Warrants, da a conocer la investi-gación de Bachelier. Alrededor de 1960, Sa-muelson, en una visita a la Soborne, lee la tesisde Bachelier lo que influye de manera funda-mental en su trabajo posterior sobre Opcionesde precios, por el que recibe el Premio Nobelde Economía en 1970.

Samuelson se percata de que una de las limita-ciones más importantes del trabajo de Bache-lier es que los precios de los activos puedentomar valores negativos, enmendando esteinconveniente hasta 1965 con la publicaciónde su artículo "Rational Theory of WarrantPrices". En dicho artículo Samuelson introduceel concepto de Movimiento Económico Brow-niano, lo que en la actualidad se conoce comoMovimiento Geométrico Browniano. CuandoSamuelson resuelve el problema de Bachelier,eliminando la posibilidad de que un activotenga precios negativos, se crean nuevos in-convenientes con la aparición de parámetrosdesconocidos. En el artículo de Samuelson, endonde el precio del activo subyacente es con-ducido por el Movimiento Geométrico Brow-niano (figura 3b) y el precio de la Opción secalcula como el valor presente de la esperanzadel pago al vencimiento, el valor de la Opcióndepende de dos parámetros desconocidos. Elprimer parámetro, , es el rendimiento medioesperado del subyacente, el cual es un

parámetro de tendencia relacionado con laspreferencias al riesgo de los agentes. El segun-do, , es el rendimiento que pagan lasOpciones que se utiliza para traer a valor pre-sente el pago esperado de la Opción alvencimiento [4].

En 1973 Fischer Black y Myron Scholes publi-caron su artículo "The Pricing of Options andCorporate Liabilities", en el cual corrigen losinconvenientes del artículo de Samuelson, yaque no hay parámetros desconocidos, y , en el precio de la Opción y, más importanteaún, no surgieron limitaciones adicionales. Enel mismo artículo Black y Scholes proporcionanuna derivación alternativa de su fórmula devaluación empleando el modelo CAPM (CapitalAsset Pricing Model) para describir la relación(lineal) entre el riesgo y el rendimiento espera-do de un activo bajo condiciones de equilibriode mercado [4].

Los supuestos básicos (o condiciones idealesde los mercados de Opciones y Acciones) delmodelo de Black y Fischer son los siguientes:

• el activo subyacente es una Acción que nopaga dividendos durante la vida del contrato;

• el precio del activo subyacente es conduci-do por el Movimiento Geométrico Brownia-no, es decir, el precio es log-normal;

• la volatilidad del precio del activo subyacentese mantiene constante a través del tiempo;

• las ventas en corto del subyacente encuestión son permitidas;

• el mercado del subyacente es líquido ydivisible, es decir, el subyacente siempre sepuede comprar y vender en cualquier frac-ción de unidad;


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• no hay costos de transacción (comisiones eimpuestos);

• el mercado opera en forma continúa;

• existe un mercado de crédito y un sistema banca-rio en los que los agentes pueden prestar y pedirprestado a una tasa de interés constante paratodos los plazos, y libre de riesgo (tasa de interéspasiva igual a la activa); y

• los mercados están en equilibrio, es decir, no exis-ten oportunidades de arbitraje libres de riesgo.

Bajo estos supuestos, el precio de la Opción depen-derá sólo del precio de la Acción, del tiempo de ven-cimiento, ya que se diversifica (elimina) completa-mente el riesgo de mercado y el rendimiento delportafolio es conocido. Asimismo, el valor de laOpción es independiente del rendimiento esperadode la Acción y un incremento en el periodo de madu-ración (o en la tasa de interés libre de riesgo, o en lavarianza) propiciará un incremento en el valor de laOpción. Finalmente, con base a los supuestos an-teriores, es posible crear una estrategia de cobertura(dinámica) consistente en una posición larga en laAcción y una posición corta en la Opción.

En su artículo, Black y Scholes obtienen una ecuacióndiferencial parcial de segundo orden, parabólica y li-neal, cuya solución es el precio de una Opción Euro-pea cuando la condición final es el valor intrínseco dela Opción. En la investigación de Black y Scholes, estaecuación diferencial parcial es transformada en laecuación de difusión de calor (con soluciones explici-tas, que describen cómo se difunde, al transcurrir eltiempo, el calor en una varilla de longitud infinitadespués de que ha sido calentada en un tiempo ini-cial). Desde entonces, la ecuación diferencial parcialde Black y Scholes ha sido muy popular, pues repre-senta la base para valuar muchos y muy diversos pro-ductos derivados, ya que, para diferentes condicionesde frontera, sus soluciones representan los precios de

los distintos derivados financieros que se encuentrandisponibles en el mercado [4].

Es también importante destacar el artículo de RobertMerton, "Theory of Rational Option Pricing", publicadoen 1973, en donde se obtienen resultados similares alos de Black y Scholes y varias extensiones, entre lasque destacan: tasas de interés estocásticas, pago continuo de dividendos, un análisis de OpcionesAmericanas, generalización de la fórmula de Samuel-son para Opciones perpetuas y la valuación de Opcio-nes con barreras. Merton, asistente de Samuelson en elMIT, continúo su trabajo sobre valuación de Opciones,manteniendo varios de los supuestos de Black yScholes. Pero en el modelo de Merton no se suponeuna tasa de interés constante y libre de riesgo, sino unbono cupón cero cuyos rendimientos son gobernadospor un proceso de Gauss-Wiener, lo cual genera unaestructura de plazos para la tasa de interés [4].

Por sus excepcionales contribuciones a lo que hoy seconoce como matemáticas financieras en tiempocontinuo, Robert Merton y Myron Scholes se hicieronacreedores al Premio Nobel de Economía en 1997,para entonces Fischer Black, quien fue adiestrado enfísica y la fuerza conductora detrás del modelo deBlack-Scholes-Merton, tenía dos años de fallecido.

Con los enfoques financieros clásicos (del Movi-miento Geométrico Browniano) se establece que losmercados financieros son impredecibles, que hay uncomportamiento aleatorio de los precios que se ajus-ta a una distribución normal, y que se rigen por lahipótesis del mercado eficiente [2,5]. Aunque el mB(o caminata aleatoria) fue un triunfo de las finanzascuantitativas, llegando a ser la base del análisis mo-derno de los portafolios de inversión y la piedraangular del modelo de Black y Scholes para la asig-nación del precio de una Opción, las colas pesadas delas distribuciones de las fluctuaciones reales de losprecios pueden propiciar grandes desastres financie-ros no contemplados en la distribución Gaussiana(basada en la caminata aleatoria), tal y como ocurrió


en el desplome del Lunes Negro en 1987 y en la crisisen agosto y septiembre en 1998, ocasionados por uncomportamiento no lineal y la sobreestimación delprincipio Gaussiano para las fluctuaciones de precios[6], a través de la diversificación de los portafolios deinversión con el fin de eliminar el riesgo ocasionadopor la volatilidad. A continuación se comenta un"caso práctico" de la aplicación del modelo de B-S [2].

CASO PRÁCTICO

Long Term Capital Management (LTCM) era unaempresa de fondos de inversión (hedge funds) fun-dada por Merriwether (ex-jefe del grupo de arbitrajede "Salomón Brothers") bajo el principio del modelode B-S. Este fondo tenía como socios a Merton yScholes, quienes jugaron un papel estratégico en elfondo para la operación. LTCM atrajo a los ejecutivosde alto nivel del grupo de arbitraje de "SalomonBros." y a profesionales de banca de inversión muyorientados hacia las matemáticas.

La estrategia inicial aplicada por LTCM era la conver-gencia, en la cual se considera a la distorsión de pre-cios como una anomalía transitoria y que la conver-gencia de precios de los dos instrumentos se da tardeo temprano. Esto le generó utilidades iníciales de 15millones de dólares, dando pie a que los socios repi-tieran la estrategia en muchos otros mercados inter-nacionales, produciendo rendimientos de alrededorde 17% en 1997. Sin embargo, a finales de 1997,cuando el fondo ya no pudo producir los resultadoslogrados, disminuyó su base de capital apalancable yel posible "colchón" de liquidez; por otro lado, seredujo la relación de apalancamiento de 25:1 a 18:1.La crisis de Rusia ocasionó que los diferenciales abonos gubernamentales de Estados Unidos, queLTCM esperaba se corrigieran, se hicieran aún ma-yores provocando pérdidas masivas en el fondo.Siempre estaban largos en activos, de mayorrendimiento cierto, pero con una liquidez cierta-mente menor. En momentos de alta volatilidad porefecto de crisis, el estar en mercados menos líquidos

puede impedir realizarlos en corto plazo o, en todocaso, a precios muy por debajo del precio justo.

Los administradores del fondo de inversión vendieronvolatilidad vía Swaps de tasas de interés, esperandoque los mercados se estabilizaran; lejos de ello, lavolatilidad siguió en aumento y la seguimos experi-mentando aún hoy día. En estas condiciones, elfondo perdió prácticamente su base de capital enagosto de 1998, en virtud de las grandes necesidadesde recursos para cubrir las pérdidas en sus derivados.Con ello, tuvieron que recurrir a una liquidación masi-va de activos, que no podía realizarse rápidamentepor su iliquidez relativa. Los socios tuvieron que abrirlos libros de inversión del fondo y ocurrieron deman-das masivas, especialmente de "Goldman Sachs".Finalmente, el Federal Reserve Board intervino y orga-nizó un "salvamento privado", mediante el cual lasinstituciones financieras involucradas aportaron3,650 millones de dólares para el 90% del fondo y el10% remanente fue a los inversionistas iníciales,mientras que los socios quedaron sin liquidación envirtud de que tuvieron que encarar otras deudas rela-cionadas con el fondo [2].

Los fondos de inversión, como LTCM, parten de unaestrategia de arbitraje para una inversión que consi-deran sin riesgo, al construir y aplicar portafolios deinversión diversificados y tomar pociones cortas ylargas en distintos activos. El arbitraje (especulaciónen mercados financieros) se sustenta en el supuestode que las fluctuaciones en los precios son indepen-dientes e idénticamente distribuidas por la normal,omitiendo contemplar eventos con probabilidad deocurrencia del 0.1% o menos, llamados eventosextremos. Los eventos extremos son los causantesde las grandes crisis financieras como la de Rusia(1998) y de México (1994); sobre todo, cuando lavolatilidad es de gran magnitud y muy frecuente. Alno considerar la alta volatilidad que podía desatarun evento extremo, LTCM entró en operacionesdireccionales que los llevó a asumir enormes ries-gos de liquidez monetaria [2].


10

El caso de LTCM muestra cómo los economistas yfinancieros aplican un modelo (sustentado en elMovimiento Geométrico Browniano) preconcebidocon algunos parámetros desconocidos, forzando elajuste del modelo a una serie de tiempo que no esestacionaria, mediante la "mejor elección de losparámetros" (con métodos robustos y rigurosos);concluyendo que los datos son difíciles de ajustar enescalas de tiempo muy amplias.

Existe otro enfoque para analizar el comportamiento(fluctuaciones) de los sistemas económicos yfinancieros: considerarlos como sistemas complejos,cuya dinámica manifiesta una parte aleatoria, causa-da por la no-linealidad característica de los sistemasdinámicos y/o por el ruido estocástico externo; comoejemplos de sistemas dinámicos complejos se

encuentran los sistemas físicos, biológicos, de cóm-puto, sociales y económicos [3]. La forma de estudiarel comportamiento histórico de muchos sistemascomplejos es a través del análisis de series de tiempoque contienen registros de las fluctuaciones dedichos sistemas; al graficar dichas series de tiempo,se obtienen curvas rugosas.

Las "curvas rugosas" son aquellas que manifiestan laevolución de los sistemas complejos en el tiempo y/oespacio (figura 4). Dichas curvas no son suaves, alcontrario, presentan muchos quiebres que se apre-cian mejor conforme se aumenta la escala de obser-vación, como es el caso del perímetro de las costas, elperfil de la montañas y el contorno de las nubes; porlo mismo, estas curvas no son derivables en ningúnpunto (es decir, no poseen tangente).

Océano Pacifico

Curva de esfuerzo -

deformación

Propagación de grieta en hoja de

papel

Precios del petr óleo

Función del perfil de temperatura

T

Usd

/bar

ril

Océano Pacifico Curva de esfuerzo -

deformación


papel


Océano Pacifico Curva de esfuerzo -

deformación


papel


Función del perfil de temperatura

T

Usd

/bar

ril

Figura 4. Sistemas complejos, de diversa naturaleza, que exhiben invariancia de escala, y cuyo comportamiento histórico se ajusta porleyes de potencia y distribuciones de colas pesadas [3].


Por ende, es necesario emplear herramientas cuantitativas no-lineales que permitan establecer elgrado de rugosidad de las curvas rugosas, como la Teoría del Caos, la Lógica Difusa, losAlgoritmos Genéticos, las Redes Neuronales y la Geometría Fractal. En este trabajo se aplica laGeometría Fractal para caracterizar series de tiempo del mercado petrolero.

CAPITULO 2: GEOMETRIA FRACTAL

A diferencia del enfoque del mB, con el Enfoque Fractal se busca hallar un modelo (empírico)para predecir (de forma estadística) las fluctuaciones en los mercados financieros a partir delanálisis de series de tiempo porque no existe un solo modelo (estocástico o determínistico) queajuste con infinita precisión los datos recabado en los mercados reales [2]. A aplicar el EnfoqueFractal, muchas de las propiedades estadísticas de los mercados financieros han revelando sor-prendentes similitudes entre la dinámica de la volatilidad y el crecimiento de interfaces rugosasen medios porosos (sistema complejo con alto grado de rugosidad). A continuación se presentanbrevemente conceptos de Fractales y de interfaces, ya que los autores aplicaron estos conceptosal análisis de la volatilidad del mercado petrolero.

Los Fractales, término acuñado por Benoit Mandelbrot en la década de 1970, son geometrías (ocurvas) complejas e irregulares (rugosas) que permanecen invariantes a los cambios de escala ycuya longitud infinita se encuentra contenida en un área finita; los fractales conservan la mismaestructura general a cualquier escala de tiempo-espacio. Como ejemplos de fractales están: lalongitud de la costa de Gran Bretaña, la estructura de los vasos sanguíneos, el agrupamiento degalaxias, los electroencefalogramas y los electrocardiogramas, el contorno de las montanas y delas nubles, el perfil de grietas que se propagan a través de un medio poroso y las fluctuacionesde precios en diversos mercados financieros [5].

El propósito de la Geometría Fractal es el de cuantificar el grado de rugosidad de las señales com-plejas, así como determinar si dichas señales poseen propiedades: invariancia de escala y su com-portamiento histórico se ajusta por leyes de potencia y distribuciones de colas pesadas [3].

Existes dos tipos de fractales: auto-similares y auto-afines. Los fractales auto-similares sonisotrópicos, es decir, permanecen invariantes cuando la escala se cambia uniformemente en todaslas direcciones, como es el caso del conjunto de Mandelbrot (figura 5) [5].

Figura 5. El conjunto de Mandelbrot.


12

Los fractales auto-afines son conjuntos que permanecen invariantes bajo una escala (estadísticao literalmente) de transformación anisotrópica (figuras 6a-b). A pesar de sus diferencias, en unaescala de transformación las direcciones no son completamente independientes. Si al hacer unaampliación, uno de los ejes de coordenadas se transforma en un factor , , el restode los ejes coordenados deben ser reescalados en un factor , , con el objetode preservar al conjunto invariante (figuras 6a-b). Los exponentes son llamados exponentesde rugosidad, o exponentes de Hurst ( ), e indican cuál es el grado de anisotropía (o rugosi-dad) del conjunto [5].

Los fractales auto-afines estadísticos son los que prevalecen en la naturaleza (por ejemplo, elcrecimiento de interfaces rugosas en medios desordenados y el mB; figuras 7a-b) y en los sis-temas inventados por el ser humano (por ejemplo, las fluctuaciones de precios en los mercadosfinancieros (figura 7c). Como puede apreciarse en las figuras 7a-c, el exponente de Hurst (orugosidad) es también un indicador para determinar si un fenómeno o una serie de tiempo pre-sentan un comportamiento fractal y mide la intensidad de dependencia a largo plazo de una seriede tiempo. Se dice que el fenómeno (o curva) tiene comportamiento: (i) aleatorio si (ruido blanco, mB, proceso no estacionario, distribución normal y simétrica), (ii) persistente si

(invariancia de escala asociada a correlaciones positivas a largo plazo, proceso esta-cionario, ley de potencias, distribución de colas pesadas), y (iii) antipersistente si(invariancia en la escala asociada a correlaciones negativas a largo plazo, proceso estacionario,ley de potencias, distribución asimétrica) [5].

a) b)

Figura 6. a) Fractal auto-afín deterministico; b) Fractal auto-afín estadístico (Movimiento Browniano fraccional).


a) b) c)

El último concepto que se trata es el de multifrac-tales. La mayoría de los fractales (llamados multifrac-tales) en la naturaleza tienen diferentes dimensionesfractales dependiendo de la escala, ya que están com-puestos de varios fractales con diferentes dimen-siones cada uno, es decir, mientras que la estructurafractal queda caracterizada por un único exponentede escala, la descripción completa de una estructuramultifractal puede requerir varios exponentes. Porejemplo, el Conjunto de Mandelbrot es un multifrac-tal en el que los conjuntos de Mandelbrot y Juliaestán relacionados (figura 5).

Los multifractales son una clase generalizada de pro-cesos auto-afines, si reproducen estas dos caracterís-ticas empíricas: distribuciones de colas pesadas en lasfluctuaciones de precios y agrupamiento de la volati-lidad. En la ecuación , se conside-ra que y que este escalamiento sólo semantiene en . Una forma más general de expre-sar esta ecuación es , la cual enfa-tiza que lo escala son las fluctuaciones de precios, yno los precios por sí mismos. Aquí se reemplazapor , pero depende del tiempo, por lo que es posi-ble el escalamiento para variar de un punto a otro [6].

En economía y finanzas, Benoit Mandelbrot es cono-cido, desde principios de la década de 1960, comouno de los pioneros en estudiar las fluctuaciones deprecios en los mercados financieros. Aún cuando elmodelo de Bachelier del mB llegó a ser ampliamenteaceptado en el ámbito académico, Mandelbrot fue elprimero en advertir de las limitaciones del modelo de Bachelier para analizar y modelar las fluctuaciones enlos mercados financieros [7].

Una de estas limitaciones es que las series de tiempode precios no son estacionarias, en el sentido de queel mecanismo que las genera no es el mismo duranteperiodos sucesivos de tiempo; ya que se considera ala varianza como finita y al precio como una funcióncontinua del tiempo, es decir, no se reconoce la posi-ble presencia de discontinuidades (eventos extre-mos). Sin embargo, Mandelbrot, en su artículo "TheVariation of Certain Speculative Prices" (1963) [8],enfatizó la importancia, aún en una primera aproxi-mación, de las fluctuaciones de grandes proporciones(con diez desviaciones estándar o mayores) que pue-den suscitarse debido a repentinas discontinuidadesen los precios, mediante el mecanismo de varianzainfinita y distribuciones estables de Levy [7].

Figura 7. a) Crecimiento de una interfase en un medio poroso; b) Movimiento Browniano para diferentes valores del exponente de Hurst( ) o rugosidad ( ); c) fluctuaciones de precios en diferentes mercados financieros (multifractales).


14

Según Mandelbrot, estas discontinuidades en los precios no son factores ajenos a los mercadosfinancieros que se pueden omitir o estudiar por separado; por el contrario, la distribución dedichas discontinuidades es mucho más importante que el ruido originado por los pequeños cam-bios del mB, ambos ajustados a una distribución de ley de potencias y representados por un esce-nario basado en distribuciones estables de Levy (figura 8) [7].

a) b)

Figura 8. a) La línea continua negra representa la forma de la distribución de Levy; la línea punteada roja es la campanade Gauss; y los puntos blancos son los rendimientos logarítmicos. b) Amplitud de la zona donde se encuentran las colasde la distribución de Levy, ajustada por una ley de potencia (línea negra punteada), la distribución normal, ajustada poruna función exponencial (línea continua azul) y los rendimientos logarítmicos, ajustados por una distribución lognormal(línea continua roja).

A partir de estos hallazgos de gran dependencia, Mandelbrot (en 1965) introdujo el modelo delMovimiento Browniano fraccional (mBf, figura 6b), el cual consiste en un proceso auto-afínestadístico que caracteriza pequeñas fluctuaciones de precios en la parte media de la campana ygrandes fluctuaciones de precios en la largas colas de la misma campana [7].

Aún cuando se ha observado que los exponentes de Hurst son índices imparciales, el modelo delmBf no reproduce (de manera confiable) algunas características empíricas ("stylized facts") de lasseries de tiempo financieras: distribuciones de colas pesadas en las fluctuaciones de precios y elagrupamiento de la volatilidad. Por ello, el propio Mandelbrot aplicó su concepto de multifrac-tales (desarrollado por él a inicios de la década de 1970), a fin de desarrollar el modelo del esce-nario multifractal para las fluctuaciones de los precios. En este modelo multifractal, dado a cono-cer en su libro "Fractals and Scaling in Finance" (1997), Mandelbrot combina colas de leyes depotencia y dependencia a largo plazo ajustada por leyes de potencia con el tiempo intrínseco denegociación (concepto clave que permite la aplicación de multifractales en los mercadosfinancieros). En el este modelo el precio es una función Browniana fraccional de un tiempo(instante) de negociación, el cual es por sí mismo una función multifractal no decreciente deltiempo cronológico (figura 9), ya que no se ajusta a una sola escala de tiempo ( ) [8].


Actualmente, a pesar de la variedad de crudos que se ofrecen en el mercado, solamente existendos crudos "marcadores" que sirven de referencia para la fijación de los precios internacionales delpetróleo: el WTI y el Brent porque el mercado les ha asignado una función referencial de valor paralas negociaciones del resto de los tipos de crudo (incluyendo los de México). Asimismo, el WTI y elBrent reúnen requisitos de calidad en grados API (grado de viscosidad) y en contenido de azufre.Además, el volumen que se negocia diariamente para estos dos marcadores, en los mercados defuturos, o a través de contratos adelantados, supera la producción mundial diaria de petróleo.

En este capítulo se dan a conocer las propiedades estadísticas de las series de tiempo con-cernientes a volatilidades históricas de precios (constantes a dólares de 1983) del crudo WTI, lascuales comprenden el periodo: 02/ enero/1986-31/diciembre/2003 (4,550 datos). Ver figura 10a.

Para obtener 100 series de tiempo de volatilidades históricas de los precios, , para diferen-tes horizontes de estudio: (figuras 10b-d, se utilizó la siguiente ecuación:

, donde es el tiempo de negociación (días) y denota elpromedio de una ventana de tamaño .

Figura 9. Conjunto de cartones multifractales generados al azar con el modelo multifractal.

CAPITULO 3: FLUCTUACIONES EN EL MERCADO PETROLERO


16

c)

0

1

2

3

0 1024 2048 3072 4096

Dias habiles

Vn

n = 8

d)

0

1

2

3

0 1024 2048 3072 4096Dias habiles

Vn

n = 20b)

0

1

2

3

0 1024 2048 3072 4096

Dias habiles

Vn

n = 3

a)

5

20

35

02/01/1986 06/11/1992 11/09/1999

Fecha

Prec

io, $

/bll

Figura 10. a) Evolución histórica de los registros diarios de los precios (constantes a 1983) del WTI (1986-2003). b)-d)Volatilidades históricas para horizontes de b) , c) y d) .

En primer lugar, se realizó un análisis estadístico a las cien series de tiempo de la volatilidadhistórica, con el propósito de determinar qué distribución ajustaba mejor a dichas series de tiem-po (figuras 11b-d). Para dicho análisis se empleó el software @Risk 4.5, desarrollado para analizarsituaciones sensibles al riesgo; este software ordena las distribuciones estadísticas, empezandocon las que mejor ajustan los datos, mediante tres criterios estadísticos: de la Chi-cuadrada, deAnderson-Darling, y de Kolmogorov-Smirnov.

0

1

2

3

0 0.5 1 V3

c)f

0

1

2

0 0.5 1 1.5

b)

V18

f

0.001

0.1

10

0 1 2

0.001

0.1

10

0.1 1 10

0

0.05

0.1

0.15

5 15 25

f

price

a)

Figura 11. Distribuciones de la probabilidad condicional de: a) precios del petróleo, ajustados por la distribución (de colasligeras) Logística; b) volatilidad histórica de precios para el horizonte ; ajustada por la distribución (de colas pesadas) Log-logística; c) volatilidad histórica de los precios para ; ajustada por la distribución (de colas Ligeras).


Asimismo, se realizó un análisis fractal para determinar el valor del exponente de Hurst ( ) orugosidad ( ), mediante cuatro métodos de trazado auto-afín: Rango Reescalado, Rugosidad-Longitud, Variograma y Ondoletas. Para ello se aplicó el software Benoit 1.3. En la figura 12 sepresentan las gráficas de estos métodos.

0

0.25

0.5

0.75

1 10 100

H=0.5

H=0.83d)H

horizonte de tiempo, n

a)

2

1

0.1

1

1 10 100 1000

DS

3

intervalo de tiempo, τ

b)

0.0001

0.01

1

1 10 100intervalo de tiempo, τ

V

2

4

c)

1

10

100

10 100 1000intervalo de tiempo, τ

R/S

1

23

Figura 12. Gráficas fractales de las volatilidades históricas de los precios del petróleo, obtenidas por los métodos de: a)rugosidad-longitud, b) variograma y c) rango reescalado; los números corresponden a los diferentes horizontes de tiem-po: 1.- , 2.- , 3.- y 4.- días hábiles. d) Dependencia del exponente de Hurst con respectoal horizonte (los valores de fueron promediados a través de los cinco métodos de trazado auto-afín), en coordenadassemi-logarítmicas (los círculos y cuadrados son los datos experimentales, mientras que la línea continua representa elajuste de los datos por medio de una ley de potencia).

Con base a la caracterización de la volatilidad históricas de los precios del WTI, se procedió agenerar 300 (curvas auto-afines) de los escenarios de los rendimientos logarítmicos de precios(ver figura 13); para esto, también se empleó el software Benoit 1.3. Al obtener estas curvas, demanera aleatoria, se procedió a calcular los precios (figuras 14 y 15).


18

Figura 13. Ventana del software Benoit 1.2, a partir de la cual se generaron las 300 trazas que se emplearon de punto departida para predecir los precios del petróleo (Enfoque Fractal).

Figura 14. Precios mensuales pronosticados, con el Enfoque Fractal, del petróleo crudo WTI (enero de 2004 a noviembrede 2016) a dólares constantes de 2003.

Figura 15. Precios mensuales históricos y pronosticados del petróleo crudo WTI (a dólares constantes de 2003), con elEnfoque Fractal.


Finalmente, en la tabla 1 y figura 16 se aprecia únicamente el escenario de precios promedioproyectados (figura 14) bajo condiciones estables del mercado, el cual es el escenario más pro-bable que ocurra.

Tabla 1. Proyecciones de cinco empresas internacionales (E(1)-E(5)), de PEMEX y del Enfoque Fractal (Tesis) para los pre-cios anuales del petróleo crudo WTI (2004-2015), en dólares constantes de 2003.

E (1) E (2) E(3) E(4) E(5) Pemex Tesis2004 24.24 24.08 26.65 26.50 27.94 26.34 30.312005 23.86 24.25 24.54 25.91 24.71 24.45 30.452006 23.45 23.23 24.02 26.05 23.23 23.80 30.702007 23.54 23.51 23.51 26.19 23.03 23.78 30.752008 23.55 23.77 23.92 26.32 23.01 23.89 30.802009 23.54 23.98 24.28 26.46 23.01 23.98 30.882010 23.57 25.28 24.64 26.58 23.10 24.45 30.922011 23.60 25.76 25.31 26.73 22.99 24.41 30.992012 23.63 26.23 25.88 26.85 23.08 24.60 31.072013 23.68 26.70 26.50 26.99 23.08 24.78 30.942014 23.73 27.18 27.01 27.11 23.08 24.95 30.902015 23.84 27.65 27.53 27.24 23.08 25.14 31.10

Figura 16. Proyecciones de precios del petróleo WTI generadas: por cinco consultoras estadounidenses (E(1)-E(5)), porPemex y con el Enfoque Fractal (Tesis).


20

En este trabajo se dan a conocer dos enfoquesdiferentes para analizar, caracterizar y modelar lasfluctuaciones de las variables financieras quereflejan el comportamiento de los mercadosfinancieros. Estos enfoques son: el del Movi-miento Browniano y el Fractal; en ambos enfo-ques, es necesario contar con registros delcomportamiento histórico de las variablesfinancieras que se quieran estudiar, es decir,series de tiempo financieras; entre más datosse tengan, mejor será el análisis realizado.

El Enfoque Browniano se basa en el fenómeno delMovimiento Browniano. El Movimiento Brow-niano, propuesto por Louis Bachelier en 1900,es el primer modelo estocástico que lidia conlas fluctuaciones de los precios; este modeloplantea que los precios y rendimientos logarít-micos de precios son variables aleatorias inde-pendientes y distribuidas por la normal, por loque el comportamiento de las fluctuaciones seconsidera un proceso estocástico que no es es-tacionario y para el cual ( ). Elmodelo de Black y Scholes, la piedra angular dela teoría financiera moderna y herramienta fun-damental para realizar estrategias de cobertu-ra contra los riesgos financieros que lasfluctuaciones originan, se basa en los supues-tos del modelo de Bachelier. El modelo de Blacky Scholes establece que al diversificar elportafolio de inversión, automáticamente seelimina el riesgo, puesto que no considera lapresencia de discontinuidades (eventos extre-mos con 10 o más desviaciones estándar).Prueba de que estos eventos deben ser consid-erados son la crisis económica de México(1994, efecto Tequila) y la quiebra de la empre-sa de fondos de inversión Long Term CapitalManagement (1997).

Por otra parte, se tiene el Enfoque Fractal,basado en la Geometría Fractal (o de curvas

rugosas y complejas), la cual persigue determi-nar si un sistema complejo y/o serie de tiempopresentan invariancia de escala, leyes de poten-cia y distribuciones de colas pesadas. Bajo esteenfoque, Benoit Mandelbrot desarrolló los mo-delos del Movimiento Browniano fraccional y elde multifractales; este último es aplicado mejoral análisis y modelación de la volatilidad puestoque considera diferentes escalas de tiempo ypermite establecer si una serie de tiempo llegaa ser estacionaria (correlaciones a largo plazo).

Con base al Enfoque Fractal se presentan losresultados del análisis de la volatilidad de losprecios del crudo WTI; a partir de estos resulta-dos se generaron 300 escenarios de rendimien-tos logarítmicos y se comparan con los pronós-ticos realizados por cinco compañías consul-toras de PEMEX, cuyos modelos se basan en elenfoque del Movimiento Browniano. Al com-parar los resultados, se aprecia que los pronós-ticos de precios de las cinco consultoras van ala baja, mientras que los obtenidos con elEnfoque Fractal son ascendentes. Además, conel Enfoque Fractal se contempló un escenariomáximo de 60 dólares por barril para 2006.

Dado lo anterior, se concluye que el EnfoqueFractal puede ser una herramienta cuantitativamás confiable para caracterizar el comporta-miento de las fluctuaciones de los mercadosfinancieros, ya que los considera sistemas com-plejos que despliegan estructuras muy rugosasa diferentes escalas de tiempo-espacio. Esto, asu vez, permitiría generar pronósticos de pre-cios, índices, tasas y tipos de cambio más pre-cisos, los cuales ayudarían a los administra-dores de riesgos a desarrollar estrategias decobertura más confiables.

CONCLUSIONES


[1] REYES Zarate, F.J. Consideraciones acerca de la Administración de Riesgos en México. DEPFE-UNAM, México, 2001.

[2] BOUCHAUD & M. Potters. Theory of Financial Risks: From Statistical Physics to Risk Management. CambridgeUniversity Press, Cambridge, 2000.

[3] MORALES O. Tesis Doctoral: Modelos Mecánicos de la Dinámica Fractal del Mercado Petrolero. Instituto PolitécnicoNacional, México, 2004.

[4] VENEGAS Martínez, F. “De Bachelier a Merton: 100 Años del Movimiento Browniano en Economía y Finanzas”.Panorama Económico, Instituto Politécnico Nacional, México, 2002. Vol. I No. 1 pp. 9-64..

[5] SETHNA, J.P., Dahmen K.A., & Myers Ch. Crackling Noise. Nature 410, 2001, pp. 242-250.

[6] Multifractals in Finance: Toward Realistic Models of Price Series. Cooperneff Insight, quarter 1. 2002, pp. 8-10.

[7] Mandelbrot M B. Special Release on Mandelbrot's Contributions in Finance. Universidad de Chicago, Graduate Schoolof Business, 1966, pp 10-13.

[8] Fractals in Finance: Similar Structure on All Scales. Cooperneff Insight, Quarter 3, 2001. pp. 8-10.

REFRENCIAS

ESTIMADO SOCIO

Cualquier comentario, observacióno sugerencia a este Boletínfavor de hacerlo llegardirectamente a los autores

Dr. Oswaldo Morales MatamorosProfesor Investigador TitularInstituto Politécnico Nacionale-mail: [email protected]

Dr. Alexander Balankin Profesor Investigador TitularInstituto Politécnico Nacionale-mail: [email protected]

anÁlisis de fluctuaciones financieras a partir de series

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