7/24/2019 ngulos en Relacin Con La Circunferencia

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CICLO: ABRIL- AGOSTO 2005-II PAG. 4

GEOMETRIAngulos en Relacin con la Circunferencia

1 Angulo central ( m = medida)

2 Angulo Inscrito

3 Angulo Interior

4 Angulo Seminscrito

5 Angulo Exinscrito

6 Angulo exterior

1. En la figura mostrada, calcular x.

a) 20 b) 30 c) 36

d) 45 e) 35

2. En la figura mostrada calcular . Adems Oes centro.

a) 1830 b) 2230 c) 30

d) 37 e) 45

3. En la figura mostrada, AO = DC y O escentro de la circunferencia. Calcular x, siendo

T un punto de tangencia.

a) 41 b) 48 c) 51

d) 64 e) 69

= m AB

=2

mAB

=2

mCDmAB

=2

mAB

=

2

mABC

=2

mBDmAB

=2

mBDmAB

+ = 180

x

3x

P

F

Q

E

3

A BO

D

C

O

A

rB

r

O

A

B

C

D

B

A

A

B

AC

B

B

AD

C

B

A

C

T

E

AB

D

O

x

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CENTRO PREUNIVERSITARIO GEOMETRIA - TRIGONOMETRIA

CICLO: ABRIL-AGOSTO 2005 II Pg. 2

4. En la figura mostrada, AB = BC y la medidadel arco BE = 70. Calcular .

a) 30 b) 20

c) 35 d) 40 e) 25

5. En la figura mostrada, DP // AC y T es punto

de tangencia. Calcular x.

a) 40 b) 30

c) 45 d) 35 e) 60

6. Si medida del arco AB ms la medida del

arco PS es igual a + 40 y la medida delarco CD ms la medida del arco RQ es

igual a 80 + , calcular .

a) 40 b) 60c) 90 d) 120 e) 150

7. En el grafico - =20, hallar x.

a) 10 b) 15

c) 20 d) 25 e) 5

8. Del grafico, C y T son puntos de tangencia.Hallar x.

a) 20 b) 2230

c) 15 d) 18 e) 30

9. Del grafico, calcular x.

a) 30 b) 40

c) 45 d) 50 e) 65

B

A

E

C D

CD

P

T

OA B

x

20

B

A

C

Q

PR

S

D

O

x

AB C

T

x

2x

25 x

Y

XCB

P

A

T

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CENTRO PREUNIVERSITARIO GEOMETRIA - TRIGONOMETRIA

CICLO: ABRIL-AGOSTO 2005 II Pg. 3

10.Del grafico, calcular x.

a) 50 b) 60

c) 70 d) 80 e) 90

11.Del grafico, calcular x.

a) 2230 b) 26c) 30 d) 27 e) N. A.

PRACTICA DOMICILIARIA

12.Del grafico mostrado, calcular x.

a) 30 b) 35

c) 40 d) 45 e) 50

13.Del grafico P, Q y T son puntos de tangencia.Hallar x.

a) 15

b) 20

c) 25

d) 30

e) 40

TRIGONOMETRIA

REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE

A la comparacin entre los valores de las razones trigonomtricade un ngulo de cualquier medida con respecto a otra cuyongulo es agudo se denomina reduccin al primer cuadrante.

Ejemplo. 33 Tag4Tag

y se expresan como una razn

trigonomtrica de ( xk21

), donde kZ.

Primer Caso

RT(90+) = () CRT()

RT(180+) = () RT()

RT(270+) = () CRT()

RT(360+) = () RT()Aqu se debe tener en cuenta dos aspectos:

1 La medida de se debe considerar como un ngulo agudoaunque no lo sea.

2 El signo + que se debe elegir para el segundo miembro

depende del cuadrante asumido para el ngulo a reducir ydel operador trigonomtrico.

Segundo CasoLas razones trigonomtricas de un ngulo no sealteran porque se le suma o resta al ngulo cualquier

mltiplo de 360 0 2.

RT(360k+ ) = RT() kZ

Sugerencia

Cuando se reduce al primer cuadrante la RT de unngulo mayor que una vuelta se divide dichos ngulosentre 360, donde la razn trigonomtrica de dichongulo ser igual a la misma en la divisin planteada.

Propiedades

1) Si + = 180 se verifica:Sen= Sen Cot= Cot

Cos= Cos Sec= Sec

Tan= Tan Csc= Csc

120

x

C

PQ

A

B

140

2x

3x

A BO

A

x

70B

C

T

B

A

C

P

Qx

T

O

20

90 +

180 -

IIC

180 +

270 -

IIC

270 +

360 -

IIC

90 +

IIC

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CENTRO PREUNIVERSITARIO GEOMETRIA - TRIGONOMETRIA

CICLO: ABRIL-AGOSTO 2005 II Pg. 4

2) Si + = 360 se verifica:

Sen= - Sen Cot= - Cot

Cos= Cos Sec= Sec

Tan= - Tan Csc= - Csc

Tercer Caso(Arcos Negativos)

Sen(-) = - Sen Cot(-) = - Cot

Cos(-) = Cos Sec(-) = SecTan(-) = - Tan Csc(-) = - Csc

Observacin 1:

Sen (-) = -Sen(-)

Cos (-) = Cos(-)

Tan (-) = -Tan(-)

Ctg (-) = -Ctg(-)

Sec (-) = Sec(-)

Csc(-) = -Csc(-)

Observacin2:

Propiedades:

RT[k] = () RT()

RT[(2k+1)/2 ] = () RT()

Recordar que el signo en el segundo miembrodepende de la RT inicial y del cuadrante al cualpertenece el ngulo a reducir.

1. Calcular el valor de

2 3 5. . c

3 4 65 2 3

sec . cos .6 3 4

tg ctg sc

Q

sen

p p p

p p p=

A) 2 B) 2 2 C) 6 2

D) 2 6 E) 8 2

2. Simplificar:

3( ) cos( )

2

(270 ). (360 )

tg x x

R ctg x sen x

pp + -

= + -

A)1 B)-1 C)0 D)2 E)-2

3. Reducir la expresin:

T=

2

2

3cos( ). ( ). ( )

23

( )2

x sen x sen x

ctg x

pp p

p

- + +

-

A)1 B) 2sen x C) 4cos x D) 4sen x E) 2cos x

4. Simplificar: 40 220 320130 230 310

sen sen senRsen sen sen

- -=+ -

A) 2tg40 B) 2tg50 C) 3tg50D) 3tg60 E) 3tg40

5. Calcular el valor de:

( )(2 ) 2

cos(2 )cos( )2

sen xsen x

Kxx

p

pp p

+-

= +-+

A)0 B)1 C)2 D)-2 E)-16. Reducir:

( ) cos( )2

3

( ) c (2 )2

sen x x

M

tg x tg x

pp

p

p

+ - -=

- + -

A) cos x B)tg x C)-sec xD)sen x E) sen x

7. Simplificar:2 23 300 6 cos 240 cos( 360 )M tg= - + -

A)6 B)10 C)17/2 D)15/2 E)19/2

8. Del grfico calcular: tg tg q a+

A)5/6 B)1/5 C) -5/6 D)6/5 E)2/5

9) Simplificar:

R=2 2

2 2

810 4 390 . cos 540 cos 630

1140 9 sec 900 . 1470

x sen xy sen y ec

y tg x tg

- -

-

A)3

yx + B) ( )

3

x y+ C)

3

yx -

D)( )

3

x y- E)

x

y

10) Calcular: P= 235 629

sec . cos3 6

ecp p

A)-1 B)1 C)-2 D)2 E)4

11) Calcular: K= 1935 cos 2760 3570sen tg

A)1

2

- B)3

4

C)6

12

D)2

2

E)3

3

12) Simplificar: E=( 20 ) ( 30 ) ( 40 )

(200 ) (300 ) (400 )

Sen Cos T g

Sen Cos T g

- - -+ +

A)3

2 B) 2 C)

1

4 D) 3 E)

3

4

PRACTICA DOMICILIARIA

13) Si: Sen 2000=k. Hallar: Cos 560

A) 21 k- B) 2 1k - C) 21 k- -

D) 2 1k- - E)21 k

k

-

PRQF

-2;-3

2k+ /2 (4k + 1)/2

(2k + 1) 2k

2k+3 /2 (4k -3)/2