ÁNGULOS:   INTRODUCCIÓN

Decimos que un ángulo es la abertura que hay entre dos rectas (o segmentos) que se cortan en un punto llamado vértice.

En esta figura podemos observar la abertura creada por las dos rectas (simbolizada por los puntos discontinuos) y que representaría el ángulo formado.

Tipo de ángulosObservaremos que hay diferentes tipos de ángulos. Los definimos a continuación:

Ángulo recto: es el ángulo formado por dos rectas dispuestas perpendicularmente.

Ángulo agudo: es un ángulo menor que un ángulo recto.

Ángulo llano: es el ángulo formado por dos rectas planas.

Ángulo obtuso: es un ángulo menor que un ángulo llano pero mayor que un ángulo recto.

Ángulo completo: es el ángulo formado por dos rectas superpuestas.

Ángulo cóncavo: es un ángulo mayor que un ángulo obtuso pero menor que un ángulo completo.

Medida de ángulosLos ángulos los medimos con grados y se simboliza con el signo º Ejemplo 193 grados lo expresamos como 93ºPara establecer esta medida dividimos lo que seria un ángulo completo en 360 grados, y a partir de esta definición podemos saber cuanto mide un grado.Para entenderlo mejor recordemos que un ángulo completo es el ángulo formado por dos rectas que estén superpuestas:

Un ángulo completo es un ángulo de 360 gradosUna vez establecida esta medida, podemos observar que: un ángulo recto mide 90º. un ángulo agudo mide entre 0º y 90º. un ángulo llano mide 180º. un ángulo obtuso mide entre 90º y 180º. un ángulo completo mide 360º. un ángulo cóncavo mide entre 180º y 360.

y también observamos que: Dos ángulos rectos forman uno llano (90º + 90º = 180º). Dos ángulos llanos forman uno completo (180º + 180º = 360ª). Cuatro ángulos rectos forman uno completo (90º + 90º + 90º + 90º = 360º).

OPERACIONES   CON   ÁNGULOS

Suma de ángulos

Como podemos ver, tenemos libertad para sumar ángulos, pero, ¿qué pasa si al sumarlos superamos un ángulo de 360 grados?

Pues bien, nosotros hemos definido los ángulos desde el ángulo de 0º hasta el de 360º y si nos fijamos, la posición relativa de dos rectas en posiciones de 0º y de 360º son semejantes:

Esto nos viene a decir que si al sumar dos ángulos superamos los 360º podemos buscar un ángulo de entre 0º y 360º y que sea semejante al de la suma:

 

Ejemplo 2Si sumamos un ángulo de 90º más uno de 360º, obtenemos uno de 450º, que es semejante a uno de 90º

más =Metódicamente, si hacemos una suma de ángulos y supera los 360º, para obtener el ángulo semejante situado entre 0º y 360º tenemos que restar sucesivamente 360º hasta encontrar un ángulo de como máximo 360º. Ejemplo 3Realicemos la suma de los ángulos 90º, 180º, 66º, 25º, 300º, 21º y 80º:

90º+180º+66º+25º+300º+21º+80º = 762º

y ahora restemos 360º sucesivamente hasta encontrar un ángulo no mayor a 360º:

762º - 360º = 402º

402º - 360º = 42º

Por consiguiente, la suma de todos los ángulos anteriores resulta un ángulo de 42 grados.

Resta de ángulos

De la misma manera que hemos definido la suma de ángulos definimos la resta de ángulos.

Ejemplo 4un ángulo llano menos un ángulo recto resulta un ángulo recto:

 menos  = Veamos qué sucede si al restar varios ángulos obtenemos un valor negativo.Pero de la misma manera que con la suma, el valor de un ángulo negativo es semejante al valor de un ángulo de entre 0º y 360º y para encontrarlo bastará con ir sumando 360º hasta situarnos en el rango deseado (entre 0º y 360º).Ejemplo 5Realicemos la resta de los ángulos 0º, 25º, 36º, 152º, 180º, 36º y 90º:

0º-25º-36-152º-180º-36º-90º = -519º

y sucesivamente, iremos sumando 360º hasta llegar a un valor entre 0º y 360º:

-519º + 360º = -159º-159º + 360º = 201º

Por consiguiente, la resta de todos los ángulos anteriores resulta un ángulo de 201 grados.