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Anexos

Anexo 1. Características del socioconstructivismo.

Para Lev Vigostky, las características que describen el socioconstructivismo son:

- Toma en cuenta el nivel de desarrollo de los alumnos.

El alumno cuenta con una zona de desarrollo real que se define como las acciones que el alumno

está en capacidad de desarrollar de manera independiente. (Vigostky.Lev, 1978).

- Fomenta un rol activo del alumno en su aprendizaje.

El alumno no es pasivo respecto al proceso de su desarrollo, sino que es él quien, estimulado por

el medio, compone y construye su propio tejido, conceptual y simbólico, y desarrolla así las propias

condiciones de su aprendizaje. Actúa sobre la realidad, la transforma y es transformado por ella.

(Tunnerann Bemheim, 2014).

- Enfatiza la importancia de la interacción (con padres, profesores y otros alumnos).

Todo el complejo simbólico de las relaciones sociales, humanas, es la condición de posibilidad,

aquello que propicia, estimula, y determina el desarrollo y aprendizaje de la persona. (Vigostky.Lev,

1978).

- Hacer énfasis en la reestructuración y reorganización del conocimiento.

Según la ley de doble formación de Vygotsky. El conocimiento se adquiere, primero a nivel

interpsicológico y posteriormente a nivel intrapsicológico, de esta manera el factor social juega un papel

determinante en la construcción del conocimiento. (Vigostky.Lev, 1978).

Las tareas del proceso educativo desde el Socio-constructivismo, Según Coll (1993).

- Mostrar al estudiante cómo construir el conocimiento. (ayuda ajustada)

- Promover la colaboración en el trabajo académico.

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- Expresar los múltiples enfoques que se pueden tener frente a un determinado

problema

- Estimular la toma de posiciones y compromisos intelectuales.

Mediación.

De acuerdo con Coll y Moreno (2008). "Los mediadores son los diversos recursos, con los cuales

el tutor o facilitador construye un andamio (andamiaje), en el que se apoya, en este caso pueden ser

digitales o de otra naturaleza los cuales son un escalón diseñado para conducir a los alumnos hacia la

independencia" (Acosta Luévano, 2015)

El concepto de mediador y de aprendizaje mediado tiene su origen en la Teoría Sociocultural de

Lev Vygotsky (1934), la cual operacionaliza a través de la llamada Zona de Desarrollo Potencial (ZDP)

una forma de lograr aprendizajes duraderos y el desarrollo óptimo de un estudiante con la ayuda de los

adultos o de otros estudiantes más avanzados. (Vigostky.Lev, 1978).

Andamiaje.

Según Amador y otros (2014) los conceptos de “andamiaje”, se refieren a la función del maestro

relacionada con el brindar soporte adecuado a los estudiantes durante el proceso didáctico y cuando en el

mismo, el maestro debe ajustar la dirección y planeación para garantizar resultados satisfactorios y el

cumplimiento de las metas de aprendizaje para todos los estudiantes. (Amador Montaño, Rojas Garcia,

& Sanchèz Bedoya, 2015)

En este aspecto, el maestro debe considerar con detenimiento las necesidades particulares de sus

estudiantes, observando sus diferencias conceptuales, ritmos de aprendizaje su inclusión y capacidades

excepcionales. Del mismo modo conforme el estudiante se vuelve más diestro, el profesor va retirando

el andamiaje para que se desenvuelva independientemente.

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Ayuda ajustada.

Según Onrubia (1999). La ayuda ajustada son las actividades desde sus propias posibilidades y

de los apoyos o soportes que le brinde el maestro. El autor sostiene que cuando se habla de ayudas se

hace referencia a un amplio abanico que tiene el docente para su actuación, desde la intervención directa

con un alumno o un grupo de alumnos hasta la organización global de la situación: Determinar la

duración de una sesión-clase, elegir el espacio en el que tendrá lugar, seleccionar la disposición del

mobiliario en un aula ordinaria, decidir el tipo de materiales de consulta con que trabajarán los alumnos,

establecer que las actividades habituales serán en pequeño grupo o con todo el grupo clase, presentar a

los alumnos un contenido en un momento u otro del curso escolar o del ciclo, estructurar de una u otra

forma los momentos de exposición o explicación, posibilitar o no determinadas formas de participación

de los alumnos en el aula, permitir que incorporen cuestiones o elementos de su interés, ofrecerles

determinados modelos de actuación, formularles indicaciones y sugerencias para abordar nuevas tareas,

corregir errores, dar pistas, ofrecer posibilidades de refuerzo o ampliación, elogiar su actuación, valorar

los esfuerzos o el proceso que han realizado... pueden ser todos ellos ejemplos de ayuda educativa y

forman parte, todos ellos, de la tarea de enseñar. (Onrubia, Coll, Martín, Mauri, Miras, & Zabala.,

1999).

Siguiendo el mismo autor afirma, que ofrecer una ayuda ajustada al aprendizaje escolar supone

crear ZDP (Zona de Desarrollo Próximo) y ofrecer asistencia y apoyos en ellas, para que, a través de esa

participación y gracias a esos apoyos, los alumnos puedan ir modificando en la propia actividad conjunta

sus esquemas de conocimiento y sus significados y sentidos, y puedan ir adquiriendo más posibilidades

de actuación autónoma y uso independiente de tales esquemas ante situaciones y tareas nuevas, cada vez

más complejas. (Onrubia, Coll, Martín, Mauri, Miras, & Zabala., 1999).

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Niveles de desarrollo

Zona de Desarrollo Próximo (ZDP).

Vygotski (1980), citado por Vallejo, A. (1999.) (1999), definió la Zona de Desarrollo Próximo

(ZDP) como la distancia entre “el nivel de desarrollo real del niño tal y como puede ser determinado a

partir de la resolución independiente de problemas” y el nivel más elevado de “desarrollo potencial y tal

como es determinado por la resolución de problemas bajo la guía del adulto o en colaboración con

iguales más capaces”. (VALLEJO, 1999.)

Nivel de Desarrollo Real (NDR):

El NDR. Es el conjunto de actividades que el sujeto puede hacer por sí mismo, de un modo

autónomo, sin la ayuda de los demás. Aclara que en el aprendizaje escolar el niño trae conocimientos y

saberes previos; en consecuencia, tanto aprendizaje como conocimiento están presentes desde el

nacimiento. (Vigostky.Lev, 1978).

Nivel de Desarrollo Potencial (NDP).

Es el nivel de actividades que podría alcanzar el sujeto con la colaboración y guía de otras

personas, es decir, en interacción con los otros. En ella se determina el desarrollo de las funciones

psicológicas individuales en la actividad colectiva y la interacción social del niño. (Vigostky.Lev, 1978).

Dicho en términos más generales, la Zona de Desarrollo Próximo (ZDP) es el espacio en que,

gracias a la interacción y la ayuda de otros, una persona puede trabajar y resolver un problema o realizar

una tarea de una manera y con un nivel que no sería capaz de tener individualmente.

De acuerdo con la caracterización de Vygotsky y sus continuadores, es en la ZDP donde el

aprendiz puede ir adquiriendo más posibilidades de actuación autónoma y uso independiente de tales

esquemas ante situaciones y tareas nuevas, cada vez más complejas. (Onrubia, Coll, Martín, Mauri,

Miras, & Zabala., 1999)

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El mismo autor describe “… es en esta zona donde el profesor puede actuar para ofrecer una

ayuda ajustada, y construir andamiajes mediados por las Tic, para guiar a los alumnos a que comprendan

los contenidos y apoyarlos en el desarrollo de sus competencias, sin perder la visión pedagógica

socioconstructivista en el logro de los aprendizajes integrales”. (Coll, Martín, Mauri, Mariana Miras, &

Zabala., 1993)

Para concretar hay tres cuestiones que deben estar ya claras que pueden ocurrir según

(Onrubia, Coll, Martín, Mauri, Miras, & Zabala., 1999).

“La primera cuestión es que una misma forma de intervención o actuación del profesor puede, en

un momento dado y con unos alumnos dados, servir como ayuda ajustada y favorecer el proceso de

creación y asistencia en la ZDP, y en otro momento o con otros alumnos, no servir en absoluto como tal

y no favorecer ese proceso, en función de los significados y sentidos que aporten los alumnos a la

situación en cada caso concreto.

La segunda cuestión es que la enseñanza no puede, desde esta perspectiva, limitarse a

proporcionar siempre el mismo tipo de ayudas ni a intervenir de manera homogénea e idéntica en cada

uno de los casos. 3. La tercera cuestión es que, desde estas nociones, la dimensión temporal de las

situaciones de enseñanza y aprendizaje adquiere una relevancia fundamental en el momento de decidir

qué ayuda concreta puede ser más ajustada en cada caso o de analizar si una intervención específica

realizada ha sido ajustada o no” (Coll, Martín, Mauri, Mariana Miras, & Zabala., 1993)

Construcción de Significados Compartidos.

La construcción compartida de significados a través del lenguaje, es un mecanismo

interpsicológico del aprendizaje colaborativo, junto con la interdependencia positiva y las relaciones

psicosociales. Implica: la producción conjunta de objetivos, planes y significados; interpretar y

contribuir con explicaciones y argumentaciones; mediar y coordinar mutuamente las contribuciones,

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puntos de vista, críticas y roles en la interacción o exponer reflexiones individuales y colectivas.

(Fernández & Trigueros, 2016)

Según Mercer (2001), cada vez que dialogamos con una o más personas participamos en un

proceso de colaboración en el que se negocian significados y se movilizan conocimientos comunes.

Citado por (Fernández & Trigueros, 2016)

Procesos de Internalización.

Según la teoría de Vygotsky (19789). Toda función psicológica superior es externa porque fue

social antes que llegar a ser una función psicológica individual, “… En el desarrollo cultural del niño

toda función aparece dos veces: primero entre personas (de manera interpsicológica) y después, en el

interior del propio niño (de manera intrapsicológica)”. (Vigostky.Lev, 1978)

- Los procesos intrapsicológicos: son los procesos psicológicos que se dan al interior del niño.

De manera individual.

- Los procesos interpsicológicos: Son aquellos que ocurren en la interacción, el intercambio de

realidades y mundos en el contexto social.

En este sentido los procesos de internalización, llevan a la autorregulación teniendo como punto

de partida lo social y como punto de llegada lo individual. El proceso cognitivo y comunicativo se da a

través del lenguaje, cuando el individuo interioriza esta serie de signos los convierte en instrumentos

propios del pensamiento, es decir en medios de autorregulación.

Actividad conjunta.

Se entiende como actividad conjunta, la interactividad de naturaleza esencialmente constructiva

en torno a los saberes y tareas de aprendizaje, que potencien la comprensión y elaboración significativa

de conocimientos que se construyen con las aportaciones de los participantes, promoviendo las

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capacidades de aprendizaje autónomo y autorregulado. (Amador Montaño, Rojas Garcia, & Sanchèz

Bedoya, 2015)

Constructivismo y sus implicaciones en matemática educativa.

El constructivismo como postura epistemológica también se encuentra en la Matemática

Educativa. A continuación, se expone un análisis sobre las implicaciones que el constructivismo ha

traído consigo en esta área del conocimiento, refiriendo primero las características que han dado

Kilpatrick, Gómez y Rico (1995):

– El conocimiento matemático es construido, al menos en parte, a través de un proceso de

abstracción reflexiva.

– Existen estructuras cognitivas que se activan en los procesos de construcción.

– Las estructuras cognitivas están en desarrollo continuo. La actividad con propósito induce

la transformación de las estructuras existentes.

Piaget considera que existen dos poderosos motores que hacen que el ser humano mantenga ese

desarrollo continuo de sus estructuras cognitivas: la adaptación y el acomodamiento. Al conjugar estos

elementos, se puede conocer la importancia de vincular un marco teórico con la práctica pedagógica que

ha de ejercer un docente, al enseñar los contenidos matemáticos en el aula.

Adicionalmente, existe una característica muy particular en el ámbito de la matemática: la

abstracción. Al respecto, Vergnaud (1991) considera tres puntos interesantes:

– La invarianza de esquemas, que se refiere al uso de un mismo esquema mental

para diversas situaciones semejantes.

– La dialéctica del objeto–herramienta, que se refiere a que el uso proporcionado a

aquello que abstrae inicialmente lo utiliza como herramienta para resolver algo en particular,

pero posteriormente le da un papel de objeto al abstraer sus propiedades. Pero el proceso

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continúa, pues al obtener el sujeto un objeto a partir de una operación descubre nuevas cosas que,

inicialmente, utilizará como herramientas para después abstraer sus propiedades y convertirlas en

objetos, y así sucesivamente. De esta manera el individuo conceptualiza al mundo, y sus objetos,

en diferentes niveles.

– El papel de los símbolos, que simplifican y conceptualizan los objetos al obtener sus

invariantes sin importar el contexto en el que se encuentren.

Una postura constructivista no sólo permite advertir las dificultades que suelen tener los alumnos

para aprender, sino también aporta una guía para desarrollar estrategias de enseñanza y aprendizaje más

eficientes, empleando un proceso de enseñanza donde el protagonista central es el alumno, considerando

sus intereses, habilidades para aprender y necesidades en el sentido más amplio.

El individuo que aprende matemáticas desde un punto de vista constructivista debe construir los

conceptos a través de la interacción que tiene con los objetos y con otros sujetos. Tal parece que para

que el alumno pueda construir su conocimiento y llevar a cabo la interacción activa con los objetos

matemáticos es preciso que dichos objetos se presenten inmersos en un problema, no en un ejercicio.

Las situaciones problemáticas introducen un desequilibrio en las estructuras mentales del

alumno, de tal manera que en la búsqueda de ese acomodamiento se genera la construcción del

conocimiento. No obstante, este camino también implica errores, y por medio de ellos el sujeto

cognoscente trata de encontrar el equilibrio que, con toda intención, le hizo perder el problema

propuesto por el docente. Para lograrlo, y construir su conocimiento, el alumno debe retroceder para

luego avanzar y re–construir un significado más profundo del conocimiento. Es entonces, en palabras de

Vygotski, cuando la interacción social del alumno que aprende juega un papel primordial porque

propicia que avance más en grupo que de manera individual. De allí la importancia del lenguaje, pues

sirve como medio para estructurar el pensamiento y el conocimiento generado por el sujeto.

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El constructivismo como postura epistemológica que adoptan los investigadores de matemática

educativa es coherente con lo observable en el desarrollo mental de los individuos; sin embargo, afirma

Larios (1998), en el momento en que se quiere aplicar esta teoría a la enseñanza de la matemática se

tiene un salto mortal; por tanto, si se quiere aplicar el constructivismo en la enseñanza el docente debe

ser cauteloso.

Por otro lado, hay propuestas didácticas que se basan en posturas constructivistas para abordar,

por ejemplo, el álgebra básica casi exclusivamente a través de problemas. Empero, el desconocimiento y

manejo de la base teórica puede llevar a una aplicación de dichas propuestas en la que se resuelvan

problemas y/o ejercicios problematizados sin una sistematización en el trabajo del alumno, al ocupar

procesos de tanteo y al azar con los cuales no se logre un verdadero desarrollo de los conceptos

matemáticos.

El hecho de que los docentes no conozcan la teoría constructivista impide que la apliquen en

forma adecuada, con lo cual se pierde la posibilidad de que hagan un estudio sistemático de su uso o,

peor aún, se genera una adaptación ineficiente por las características cambiantes de los grupos de

educandos. Por tanto, no sólo el conocimiento de la teoría constructivista permite que su uso, aplicación,

implementación, estudio, análisis y evaluación sea lo más eficiente y real posible, sino también la

ejecución efectiva de la práctica pedagógica que todo docente de matemática debe efectuar para

combinar dos elementos esenciales en su acción: teoría y praxis.

Aplicar este tipo de propuestas conlleva a que el docente realice un esfuerzo mayor al que

normalmente está acostumbrado, pues necesita romper su esquema de transmisor de conocimientos y

convertirse en un organizador, coordinador, asesor y director del proceso de adquisición del

conocimiento, el cual le pertenece primordialmente al alumno.

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Anexo 2: La Enseñanza Estratégica para la autonomía.

Según Monereo (2004). La enseñanza para la autonomía o método didáctico de enseñanza

estratégica, consiste en ceder o transferir progresivamente el control de la estrategia, que en un primer

momento ejerce de manera absoluta el profesor, al estudiante, a fin de que se apropie de ella y pueda

empezar a utilizarla de manera autónoma (Huertas, 2009.)

Uso estratégico de Procedimientos

El uso estratégico de procedimientos, es responsabilidad fundamental de una enseñanza

estratégica; en ella se transita desde un control externo y centrado en el profesor, cuando en un primer

momento se presenta la estrategia, una segunda etapa en la que el alumno puede practicar la estrategia

aprendida con la guía y orientación del docente, para finalmente pasar a una autorregulación interna,

centrada en el alumno, cuando este, demuestre poco a poco un dominio cada vez más autónomo de la

estrategia aprendida.. (Huertas, 2009.).

Elementos del aprendizaje estratégico.

A partir de las ideas de Díaz, Hernández (2002) quienes sostienen que “el aprendizaje estratégico

se refiere a aquellos procesos internos” constituidos por los procesos cognitivos, procesos

metacognitivos y los afectivo emocionales los cuales definimos:

Procesos cognitivos:

Son procesos internos que permiten la activación sináptica a través de la cual se procesa la

información y el conocimiento. El desarrollo de estrategias cognitivas, favorecer el conocimiento y el

análisis de las condiciones en que se produce la resolución de un determinado tipo de tareas o el

aprendizaje. (Huertas, 2009.).

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Procesos metacognitivos.

Vienen a ser los procesos mediante los cuales el sujeto es capaz de analizar y comprender cómo

ocurren sus propios procesos y productos cognitivos. La adquisición de estrategias metacognitivas

permite desarrollar la toma de conciencia y control de los procesos y productos cognitivos. (Huertas,

2009.)

Procesos afectivos emocionales.

Están referidos a todos aquellos procesos motivacionales, el querer aprender; los sentimientos

afectivos, placer por aprender; orientados a favorecer una predisposición emocional para optimizar la

calidad del aprendizaje. El control de respuestas afectivo emocionales favorables hacia el aprendizaje,

permite aumentar la conciencia del estudiante sobre su estado afectivo motivacional. (Huertas, 2009.)

Características del Aprendizaje Autónomo.

• Se aprende a trabajar colaborativamente.

• Adquirimos conocimientos relevantes y profundos

• Dirigimos nuestro propio aprendizaje

• Voluntad y disposición

• Responsabilidad

• La forma de aprendizaje es más activa y dinámica

• Automotivador

• Colaborativo

• Creativo

• Autodependiente

• Desarrolla capacidades

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Figura 1. Mapa conceptual aprendizaje autónomo

Anexo A. Características del ABP

En palabras de Exley y Dennick (2007), el ABP implica un aprendizaje activo, cooperativo,

centrado en el estudiante, asociado con un aprendizaje independiente muy motivado. Veamos un poco

más detenidamente alguna de sus características principales:

• Responde a una metodología centrada en el alumno y en su aprendizaje. A través

del trabajo autónomo y en equipo los estudiantes deben lograr los objetivos planteados en el

tiempo previsto.

• Los alumnos trabajan en pequeños grupos (autores como Morales y Landa (2004),

Exley y Dennick (2007), de Miguel (2005) recomiendan que el número de miembros de cada

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grupo oscile entre cinco y ocho), lo que favorece que los alumnos gestionen eficazmente los

posibles conflictos que surjan entre ellos y que todos se responsabilicen de la consecución de los

objetivos previstos. Esta responsabilidad asumida por todos los miembros del grupo ayuda a que

la motivación por llevar a cabo la tarea sea elevada y que adquieran un compromiso real y fuerte

con sus aprendizajes y con los de sus compañeros.

• Esta metodología favorece la posibilidad de interrelacionar distintas materias o

disciplinas académicas. Para intentar solucionar un problema los alumnos pueden (y es

aconsejable) necesitar recurrir a conocimientos de distintas asignaturas ya adquiridos. Esto ayuda

a que los estudiantes integren en un “todo” coherente sus aprendizajes.

• El ABP puede utilizarse como una estrategia más dentro del proceso de enseñanza

y aprendizaje, aunque también es posible aplicarlo en una asignatura durante todo el curso

académico o, incluso, puede planificarse el curriculum de una titulación en torno a esta

metodología.

Proceso de planificación del ABP: Orientaciones didácticas, Como paso previo a la planificación

y utilización del ABP se deben tener en cuenta dos aspectos fundamentales:

• Que los conocimientos de los que ya disponen los alumnos son suficientes y les

ayudarán a construir los nuevos aprendizajes que se propondrán en el problema.

• Que el contexto y el entorno favorezca el trabajo autónomo y en equipo que los

alumnos llevarán a cabo (comunicación con docentes, acceso a fuentes de información, espacios

suficientes, etc.)

En la planificación de la sesión de ABP es necesario:

• Seleccionar los objetivos que, enmarcados dentro de las competencias establecidas

en la materia, pretendemos que los alumnos logren con la actividad.

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• Escoger la situación problema sobre la que los alumnos tendrán que trabajar. Para

ello el contenido debe:

-Ser relevante para la práctica profesional de los alumnos.

- Ser lo suficientemente complejo (pero no imposible) para que suponga un reto para los

estudiantes. De esta manera su motivación aumentará y también la necesidad de probarse a sí mismos

para orientar adecuadamente la tarea.

-Ser lo suficientemente amplio para que los alumnos puedan formularse preguntas y abordar la

problemática con una visión de conjunto, pero sin que esta amplitud llegue a desmotivarles o crearles

ansiedad.

• Orientar las reglas de la actividad y el trabajo en equipo. Sabemos que, en

ocasiones, trabajar en grupo puede crear tensiones, malestar entre los miembros,

descoordinación, etc. Estos conflictos dentro de los grupos suelen ser beneficiosos para el

crecimiento del grupo, si se solucionan adecuadamente. Para que estos problemas, cuando surjan,

no entorpezcan demasiado el trabajo de los equipos, el docente puede proponer el reparto de

roles dentro de los grupos. El coordinador, gestor de tiempos, moderador, etc. pueden ser

algunos ejemplos. Todos los estudiantes, aparte de desempeñar estos roles, deben participar

activamente en el trabajo común.

• Establecer un tiempo y especificarlo para que los alumnos resuelvan el problema y

puedan organizarse. El tiempo puede abarcar determinadas horas, días e incluso semanas,

dependiendo del alcance del problema. No se recomienda que el tiempo dedicado al problema

sea excesivamente extenso ya que los alumnos pueden desmotivarse. También se pueden

seleccionar los momentos en los que los alumnos estarán en el aula trabajando y aquellos en los

que no necesitarán (si no lo desean) estar en la clase.

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• Organizar sesiones de tutoría donde los alumnos (a nivel individual y grupal)

puedan consultar con el tutor sus dudas, sus incertidumbres, sus logros, sus cuestiones, etc. Este

espacio ofrece al tutor la posibilidad de conocer de primera mano cómo avanza la actividad y

podrá orientarles, animarles a que continúen investigando, etc. Las tutorías constituyen una

magnífica oportunidad para intercambiar ideas, exponer las dificultades y los avances en la

resolución del problema.

Desarrollo del proceso de ABP (alumnos), el desarrollo de la metodología del ABP puede seguir

unas fases determinadas. A modo de ejemplo aquí se comentan dos aportaciones cuyas fases son algo

distintas:

Morales y Landa (2004) establecen que el desarrollo del proceso de ABP ocurre en ocho fases:

Las autoras dividen exhaustivamente el proceso de aprendizaje en diversas fases. Veamos con un

poco más de profundidad cada una de ellas.

Con la lectura y análisis del escenario o problema se busca que los alumnos entiendan el

enunciado y lo que se les demanda. Es necesario que todos los miembros del equipo comprendan el

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problema; para ello el profesor puede estar atento a las discusiones de los grupos y, si algún tema

concreto requiere atención especial, discutirlo con todos los grupos en común.

Los siguientes pasos hasta la definición del problema (pasos 2, 3, 4 y 5), suponen que los

alumnos tomen conciencia de la situación a la que se enfrentan. Que formulen hipótesis de por qué

puede ocurrir el problema, las posibles causas, ideas de resolverlo, etc. El paso 3 implica que el equipo

recurra a aquellos conocimientos de los que ya disponen, a los detalles del problema que conocen y que

podrán utilizar para su posterior resolución.

La siguiente fase (paso 4) ayuda a los estudiantes a ser conscientes de aquello que no saben y que

necesitarán para resolver el problema. Pueden formular preguntas que orienten la solución de la

situación.

Una vez puesto en común todo esto, es momento de que los alumnos ordenen todas las acciones

que como equipo tienen que llevar a cabo para resolver el problema planteado. Deben planear cómo van

a realizar la investigación (paso 5), para posteriormente poder definir adecuada y concretamente el

problema que van a resolver y en el que se va a centrar su investigación (paso 6).

El paso 7 se centra en un período de trabajo y estudio individual de forma que cada miembro del

equipo lleve a cabo la tarea asignada. Obtener la información necesaria, estudiarla y comprenderla, pedir

ayuda si es necesario, etc. Por último (paso 8) los alumnos vuelven a su equipo y ponen en común todos

los hallazgos realizados para poder llegar a elaborar conjuntamente la solución al problema y presentar

los resultados. Y, finalmente, el proceso vuelve a comenzar con la formulación de otro problema.

Rol del profesor, papel de los alumnos al utilizar metodologías centradas en el aprendizaje de los

alumnos, los roles tradicional, tanto del profesor como del alumnado, cambian. Se presentan a

continuación los papeles que juegan ambos en el APB.

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Evaluación del ABP, si cambian las maneras de aprender y enseñar, también será necesario

modificar la forma de evaluar los aprendizajes. El alumno “ideal” ya no es aquel que en examen final

obtiene un sobresaliente porque se ha estudiado de memoria la lección. El alumno “ideal” ahora es aquel

que ha adquirido, por medio de un aprendizaje autónomo y cooperativo, los conocimientos necesarios y

que, además, ha desarrollado y entrenado las competencias previstas en el programa de la materia

gracias a una reflexión profunda y a una construcción activa de los aprendizajes.

Desde esta perspectiva, para evaluar estos aprendizajes podemos utilizar diversas técnicas:

• Caso práctico: en el que los alumnos tengan que poner en práctica todo lo que han

aprendido. Un examen que no esté basado en la reproducción automática de los contenidos

estudiados, sino que implique que el alumno organice coherentemente sus conocimientos.

• Autoevaluación: El alumno ha llevado a cabo un proceso de aprendizaje

autónomo. Por tanto, nadie mejor que él mismo conoce todo lo que ha aprendido y todo lo que se

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ha esforzado. Se pueden establecer algunos aspectos para que el alumno se autoevalúe:

aprendizaje logrado, tiempo invertido, proceso seguido, etc.

• Evaluación realizada entre pares (co-evaluación): El alumno, durante su proceso

de aprendizaje, ha trabajado con sus compañeros cooperativamente. Por tanto conocer la opinión

de los compañeros también resulta interesante. Los aspectos sobre los que se pueden preguntar

pueden ser: ambiente cooperativo dentro del grupo, reparto de tareas eficaz, cumplimiento de las

expectativas como grupo, etc.

Diseño de actividades mediante la metodología ABP para la Enseñanza de la Matemática

A continuación, se presentará un ejemplo de Diseño de actividades mediante la metodología

ABP para la Enseñanza de la Matemática, sacado de la revista Scientia et Technica Año XVIII, Vol. 18,

No. 3, Octubre de 2013. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701 542 Fecha de Recepción:

25 de Enero de 2013 Fecha de Aceptación: 2 de Julio de 2012 Design methodology activities by PBL for

Teaching Mathematic Edwin Jhovany Alzate Rodríguez1 , José William Montes Ocampo2 , Robin

Mario Escobar Escobar3* Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Risaralda, Colombia.

Aprendizaje Basado en Problemas

La metodología permite formar personas capaces de enfrentar el continuo cambio de la ciencia y

las disciplinas, permitiéndoles desarrollar las habilidades de aprendizaje necesarias para adaptarse y ser

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competentes con las exigencias de la sociedad actual; con el desarrollo de esta metodología los

estudiantes podrán obtener las aptitudes idóneas para desempeñar cualquier tipo de trabajo lógico.

El método de Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), es un aprendizaje centrado en el

estudiante, su esencia es la integración interdisciplinaria y la libertad para explorar lo que todavía no

conoce, centrándolo en el proceso de aprendizaje.

1. Ventajas

• Promueve un conocimiento en profundidad.

• Estimula el desarrollo de habilidades personales.

• El ambiente del aprendizaje es más estimulante.

• Promueve la interacción entre el estudiante y el docente.

• Promueve colaboración entre distintas disciplinas.

• Promueve una mejor retención del conocimiento.

• Mejora la motivación.

2. Papel del Educador El cambio pedagógico desde la aproximación tradicional,

centrada en el profesor que enseña, a una centrada en el estudiante, requiere de un cambio

fundamental en el papel del educador desde un docente trasmisionista a uno facilitador del

aprendizaje. Su labor será orientar, guiar, moderar y facilitar una adecuada dinámica de grupo.

No buscan la información o dictan cátedra. Custodian el proceso de aprendizaje del grupo y

guían el descubrimiento, pero no son ``dispensadores'' de conocimiento.

3. Papel del Estudiante El estudiante dejará su papel pasivo, en el cual recibía

información y luego memorizaba, pero de manera simultánea olvidaba rápidamente, esta

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metodología busca que el estudiante asuma un papel activo. Con el método de ABP, se motivará

por aprender más, integrando los conocimientos de las áreas biomédica, psicosocial, de gestión e

investigación.

4. Trabajo ABP Permiten a los estudiantes identificar sus necesidades para

comprender un problema, luego de lo cual alcanzan sus objetivos, la mayoría de las veces en

forma independiente, para luego unir fuerzas al sintetizar los hallazgos principales.

Pasos para desarrollar el trabajo ABP:

• Clarificación de Términos.

• Definición del Problema.

• Lluvia de ideas.

• Discusión y categorización de ideas.

• Definición de los objetivos de aprendizaje.

• Búsqueda de la información.

• Reporte de resultados

5. Diseño de actividad ABP Se muestra la construcción de un problema para resolver

mediante la metodología ABP, aplicado a estudiantes de primer semestre en el curso de

Matemáticas I de la Universidad Tecnológica de Pereira.

Regresión lineal:

Objetivos:

• El estudiante reconoce y trabaja la regresión lineal.

• El estudiante se introduce en la ecuación de la recta.

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• El estudiante reconoce una aplicación de la ecuación de la recta utilizando algo de

estadística.

• El estudiante utiliza recursos de consulta para conocer más sobre la recta y el plano cartesiano.

Andrea es vendedora de casas usadas. Ella quiere saber si el precio al que se venden se relaciona

con la antigüedad de la casa. Para ello, selecciona al azar 10 casas vendidas en barrios de nivel social y

área construida similar; obtiene los datos de la siguiente tabla. Los pesos equivalentes se han hecho

equivalentes al año 2009.

1. Cuál es la población en estudio?

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2. Construye el gráfico de dispersión.

3. Obtén la recta de regresión.

4. Cuál es el promedio de venta en pesos de una casa con 8 años de antigüedad? Usa la recta de

regresión para calcularlo.

5. ¿Cuál es el valor del coeficiente de regresión r?

6. ¿Qué significa el coeficiente de regresión r?

7. Actividad para mañana. Traer la medida de la longitud de la cintura y el peso.

Actividad de consulta.

• ¿Qué es una función?

• ¿Qué es una variable?

• ¿Qué es un sistema coordenado rectangular?

• ¿Qué nombre reciben los ejes coordenados del plano?

• ¿Cómo se representan en el plano?

• ¿Cuál es la denotación de un punto en el plano?

• ¿Cuál es la definición de pendiente de una recta?

• ¿Es equivalente el valor de la tangente del ángulo de inclinación y la pendiente de una recta?

Explique sus razones.

• ¿Cuál es la definición analítica de la línea recta?

• ¿Qué es ecuación de un lugar geométrico?

• ¿Cuál es la ecuación de la recta de la forma pendiente intercepto en el origen?

• ¿Qué significado tiene la pendiente m de la recta en la ecuación? • ¿Cuál es el significado de la

ordenada al origen b de la ecuación de la recta?

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• Hallar la ecuación de la recta con un ángulo de inclinación de 60° y que pasa por el punto P =

(0, 1 • Trace el gráfico de la ecuación que se obtuvo mediante la regresión lineal.

En la actividad se notaron dificultades como el no tener algunos grupos de trabajo el

conocimiento de que es una regresión lineal en la calculadora. Pero en colaboración con otros, se logró

que en cada grupo hicieran la regresión lineal. Quedando pendiente consultar el concepto de función.

Funciones:

Nivel de escolaridad: Pregrado

Grado sugerido: Matemática Básica

Enfoque temático: solución de problemas aplicando funciones.

Competencia: análisis de las funciones polinomiales buscando su aplicación en diferentes áreas

como la física, la economía, entre otras.

Objetivos:

• El estudiante induce funciones cuadráticas a partir de diferentes planteamientos de problemas.

• El estudiante induce funciones cúbicas a partir de diferentes planteamientos de problemas.

• El estudiante practica la construcción de cajas para relacionar a facilitar la solución de

problemas. • El estudiante pone en práctica su conocimiento en semejanza de triángulos.

• El estudiante maneja apropiadamente los conceptos de áreas y volúmenes.

24

Tiempo: aproximadamente cuatro horas clase.

Evaluación:

1. Para analizar la comprensión de los temas se debe observar la participación de los estudiantes

durante el desarrollo de la actividad.

2. Es bueno indagar a los estudiantes acerca de cuál fue la pregunta de mayor dificultad y ¿por

qué?, esto permitirá visualizar el manejo de los conceptos.

3. Es muy importante observar y analizar los diferentes procesos aplicados por los estudiantes.

4. Se debe analizar la aceptación de la actividad (los aspectos positivos y los aspectos negativos).

5. Para complementar la actividad es importante tener en cuenta las recomendaciones y

sugerencias por parte de los estudiantes para una próxima oportunidad

Conclusiones

1. La aplicación de la metodología ABP al inicio de la implementación es un poco compleja

debido a que los estudiantes asocian ABP con Modelos Matemáticos. Y al ver un ritmo diferente de

trabajo se observa la preocupación de los educandos ya que no presenta la forma tradicional de

enseñanza para las matemáticas.

25

2. La metodología no influye de manera directa en el conocimiento de los estudiantes sobre las

matemáticas, sino en la motivación para el aprendizaje de las matemáticas.

3. Es de notar que la metodología ABP, transforma el interés de los estudiantes hacia la

comprensión de la matemática y se evidencia el cambio por el saber y aplicar los conceptos matemáticos

en sus diferentes realidades cotidianas.

4. La metodología trabajada es una herramienta práctica para ayudar a los docentes a

potencializar las capacidades de los estudiantes buscando centrar sus intereses de aprendizaje de una

forma didáctica

Anexo B. Características aprendizaje colaborativo:

Podemos mencionar varios aspectos importantes del aprendizaje colaborativo:

1. Cooperación entre los miembros del grupo

Los alumnos trabajan en conjunto dentro y fuera del aula, y el método puede variar en cuanto a

su organización desde poco estructurado por el docente, hasta muy estructurado, en lo que se conoce

como aprendizaje cooperativo.

Ya sea que el método esté poco o muy estructurado, el conocimiento es descubierto por los

alumnos y transformado en conceptos con los que pueden relacionarse. Luego es reconstruido y

expandido a través de nuevas experiencias de aprendizaje.

2. Aprendizaje activo

Se basa en la experiencia directa y la interacción. Se establece una interdependencia que no debe

ser competitiva.

26

3. Interdependencia positiva

Los miembros del grupo se necesitan los unos a los otros y deben considerar aspectos como el

establecimiento de metas, tareas, recursos, roles, etcétera.

4. Responsabilidad

Todos los integrantes del grupo son responsables de hacer su parte del trabajo, pero además,

deben dominar el todo.

Metas y componentes

Metas en el aprendizaje colaborativo

El aprendizaje colaborativo...

• Promueve la interacción: mientras más medios de interacción se posean, más rica

será la experiencia.

• Valora la contribución individual de cada alumno que asume tareas y

responsabilidades.

• Desarrolla habilidades personales y de grupo tales como escuchar, participar,

coordinar actividades, liderar, dar seguimiento, evaluar.

• Invita a la autoevaluación, ya que el alumno necesita cuestionarse continuamente

sobre su desempeño personal y el del grupo.

Componentes

En el aprendizaje colaborativo, los componentes que interactúan son:

• Alumnos.

• Docente.

• Recursos tecnológicos.

27

• Ambiente y condiciones administrativas.

2.1 Roles y componente ambiental

Rol del docente

El docente es un tutor o facilitador que…

• Está convencido de la bondad de este enfoque y decidido a adoptar los cambios

que se requieran para implementar esta metodología.

• Ordena y guía el trabajo, orientando y retroalimentando en todo momento a los

grupos y a los alumnos.

• Provee de recursos a sus alumnos y promueve el desarrollo de habilidades.

• Selecciona adecuadamente el recurso tecnológico que permita un mejor desarrollo

de la tarea propuesta en un ambiente interactivo, creativo y colaborativo.

• Introduce los temas que se abordarán y los problemas que se deben resolver con

claridad y precisión, cuidando que emanen de los intereses de los alumnos.

• Se asegura de que los alumnos cumplan con los prerrequisitos académicos y de

destrezas tecnológicas.

• Ayuda a los alumnos a realizar una reflexión metacognitiva (¿Qué aprendí?

¿Cómo lo aprendí? ¿Cómo puedo aplicarlo?) acerca del trabajo realizado, con el fin de discutir

cada una de las etapas del proceso y optimizar trabajos futuros.

Rol del alumno

Los alumnos deben mostrar una actitud de comunicación y de participación, por lo que…

• Deben trabajar en equipo para cumplir el objetivo común.

28

• Son responsables de hacer su parte del trabajo y compartir lo que hayan

investigado con los demás, de manera que todos dominen el conjunto del proyecto.

• Deben intercambiar información, razonamientos y puntos de vista para fomentar

la retroalimentación entre los miembros del grupo.

• Deben colaborar en los procesos de dirección, toma de decisiones, comunicación y

manejo de las dificultades que se presenten.

• Los miembros del grupo deben fijar objetivos para el corto y largo plazo. Deberán

revisar periódicamente su cumplimiento, identificando los cambios necesarios, con el fin de

optimizar sus acciones en el futuro.

Rol de la tecnología

Se requiere de recursos técnicos accesibles que potencien el trabajo de los alumnos en tres

aspectos: los vínculos interpersonales, las fuentes de información y un lenguaje común para los

participantes.

Puede haber distintas modalidades para el trabajo con la tecnología:

• Varios alumnos trabajan juntos en una sola computadora desarrollando ideas para

el diseño de una solución o explorando una simulación.

• Varios alumnos trabajan en diferentes computadoras, pero conectados a una red

local de trabajo.

• Varios alumnos trabajan en diferentes computadoras, conectados a internet.

Es importante señalar que no todas las tentativas en el aprendizaje colaborativo tienen éxito, ya

que bajo ciertas circunstancias no se obtienen los beneficios esperados y los resultados pueden incluir

conformidad, procesos inútiles, falta de iniciativa, malentendidos y conflictos. El docente debe estar

29

preparado para aprender a identificar los aciertos y los errores para planear mejor el siguiente proyecto

sin desalentarse.

30

Anexo C. Las TIC en la educación

¿Cuál es el sentido de usar la tecnología en el aula?

Un programa multimedial interactivo puede convertirse en una poderosa herramienta pedagógica

y didáctica que aproveche nuestra capacidad multisensorial. La combinación de textos, gráficos, sonido,

fotografías, animaciones y videos permite transmitir el conocimiento de manera mucho más natural,

vívida y dinámica, lo cual resulta crucial para el aprendizaje. Este tipo de recursos puede incitar a la

transformación de los estudiantes, de recipientes pasivos de información a participantes más activos de

su proceso de aprendizaje.

Estas tecnologías permiten al maestro revelar al alumno nuevas dimensiones de sus objetos de

enseñanza (fenómenos del mundo real, conceptos científicos o aspectos de la cultura) que su palabra, el

tablero y el texto le han impedido mostrar en su verdadera magnitud (ver Ventajas pedagógicas y

didácticas de la TIC).

A través de estos nuevos medios el estudiante puede experimentar el conocimiento de una

manera que resultaría imposible utilizando fuentes de referencia tradicionales. El acceso a estos recursos

incide positivamente en la disposición que muestran los alumnos para profundizar y enriquecer su

conocimiento indagando más fuentes de información. Con el soporte de este engranaje interactivo, la

curiosidad e imaginación del alumno se transforman en un poderoso dispositivo capaz de irrumpir en

vastos dominios del conocimiento.

Diversos estudios han mostrado que, en comparación con la clase tradicional, los programas

multimediales pueden ayudar al estudiante a aprender más información de manera más rápida. Algunos

estiman que se puede ahorrar hasta un 80 por ciento de tiempo en el aprendizaje (ver Aprendizaje,

eficiencia y multimedios).

31

Ciertas investigaciones han mostrado que la presencia de varios medios ayuda a incrementar el

aprendizaje. Por ejemplo, se ha encontrado que los niños aprenden mejor el contenido de un texto

cuando tiene ilustraciones. Así mismo se ha establecido que cuando los estudiantes pueden escuchar una

descripción verbal simultáneamente con una animación, aprenden más que cuando sólo oyen la

descripción o ven la animación. Es bien conocido el supuesto, según el cual, la gente aprende un 10 por

ciento de lo que lee, un 20 por ciento de lo que escucha, un 30 por ciento de lo que ve y un 50 por ciento

de lo que escucha y ve.

El maestro puede cualificar su trabajo en el aula aprovechando las posibilidades que ofrecen las

TIC. Por ejemplo, diversificar y enriquecer los contenidos académicos a los que hace referencia,

aprovechando las múltiples fuentes de información de internet; puede mejorar las propuestas de escritura

que propone a sus estudiantes utilizando el procesador de texto, lo cual les permite que se concentren

más en elaborar, ampliar o precisar aspectos de contenido que, en corregir aspectos formales del texto,

en algunos casos, irrelevantes. También aumentar la motivación hacia la lectura ofreciendo a los

estudiantes escritos en formato hipermedial, y fomentar la capacidad de trabajo en grupo mediante

herramientas como el correo electrónico o el chat.

Agregar valor a los procesos educativos que se desarrollan es lo que da sentido al uso de

tecnología en el aula, lo que implica conocer qué se está haciendo bien y mal, y cuáles son los estados

deseados y por qué. Puede tener sentido, dentro de este contexto, intentar agregar valor con una o más

iniciativas (ver Tecnologías y valor agregado).

Es importante que el docente tenga una idea muy clara del potencial de cada uno de los recursos

tecnológicos a su alcance, así como de las limitaciones de un proceso educativo, saber diagnosticar en

vivo y en directo y a partir de información articulada. Sobre esta base, el docente debe ser capaz de

diseñar y poner en funcionamiento ambientes de aprendizaje.

32

Las tecnologías, en especial las TIC, deben ser parte integral de la educación moderna,

permitiendo con su uso efectivo llevar a cabo la misión de divulgación e investigación en las

instituciones educativas. El computador debe sobrepasar sus funciones tradicionales, como simple

herramienta de procesamiento de texto y computación individual, para convertirse en herramienta de uso

comunitario que facilite el desarrollo y la coordinación de tareas cooperativas con base en la

información. Las actividades escolares colaborativas, desde cualquiera de las áreas temáticas del

currículo, son el eje de innovación en aspectos socioculturales propios del entorno pedagógico. Este tipo

de actividad tecnológica involucra el desarrollo y crecimiento del talento humano como un proceso

cooperativo espontáneo y efectivo, contrastando con la actual cultura basada en la competitividad y la

propiedad intelectual.

Estas actividades cooperativas permiten la comunicación, tanto interna como externa, de tal

forma que el grupo que trabaja en un proyecto dado pueda intercambiar información con otros. En este

proceso los grupos pueden consultar diferentes aspectos del diseño, recibir datos pertinentes, consultar

directamente a expertos nacionales e internacionales y, en general, desarrollar las habilidades de

comunicación y sistematización de información que son centrales en el proceso científico y tecnológico.

Aprendizaje, eficiencia y multimedios

Entre las razones que exhibe la literatura especializada para explicar la eficiencia de los

multimedios como herramienta de aprendizaje, se destacan:

• La similitud o isomorfismo entre la estructura de un programa hipermedial y la

forma natural como la gente aprende, según lo explican las teorías sobre procesamiento de

información

• La interactividad que permite el computador

33

• La flexibilidad en el acceso y manejo de información

• La variedad y riqueza de los contenidos

• Los efectos motivacionales

• La posibilidad de una enseñanza más estructurada

• La opción de retroalimentación inmediata.

Tecnologías y valor agregado

A continuación, se mencionan algunas iniciativas para agregar valor a los procesos educativos en

el aula:

• Cuando los procesos educativos son muy individualistas o carentes de

construcción de conocimiento, cabe promover mayor colaboración entre aprendices mediante el

uso de tecnologías de comunicación para interactuar, la exploración conjetural de ambientes

experienciales o el uso creativo de herramientas de productividad.

• Simplificar y repotenciar procesos de aprendizaje por indagación dejando a la

tecnología la captura o el procesamiento de la información y a los usuarios la definición de qué

hacer, cómo hacer y cómo saber que lo hecho está bien.

• Apoyar la toma de decisiones basada en información por parte de estudiantes,

docentes y padres de familia, mediante el acceso a bases de datos y a sistemas de información

relevantes, oportunos y precisos.

Ventajas pedagógicas y didácticas de las TIC

En contraste con la educación tradicional, las opciones pedagógicas y didácticas apoyadas en las

nuevas Tecnologías de la información y la comunicación (TIC) ofrecen las siguientes ventajas:

• Más centradas en los intereses y posibilidades del alumno

• Pueden estimular más el pensamiento crítico

34

• Utilizan múltiples medios para presentar información

• Ofrecen condiciones adecuadas para el aprendizaje cooperativo

• Permiten que el maestro privilegie su rol como facilitador de aprendizaje

• Hacen del alumno un aprendiz más activo

• Estimulan y ofrecen condiciones para el aprendizaje exploratorio

• Fomentan un estilo de aprendizaje más libre y autónomo

¿Cómo pueden desarrollarse las competencias con el uso de las TIC?

Los multimedios permiten crear entornos de aprendizaje y estrategias didácticas en las cuales el

acto de aprender se convierte en una experiencia vivencial que trasciende el ámbito de lo puramente

cognoscitivo. Por ejemplo, una ecuación algebraica expuesta en un tablero o en un libro puede parecer a

un alumno algo muy abstracto, sin conexión con su experiencia previa. No obstante, si presentamos esta

misma ecuación en un contexto que incluya gráficos, animaciones y sonido podemos transformarla en

una entidad audiovisual animada, cuyos parámetros son modificables. El hecho de que el alumno pueda

relacionar un concepto matemático con algo tangible y real, lo hace más comprensible.

Asimismo, estos medios permiten simular, con gran realismo, diversidad de experimentos que,

realizados en un laboratorio, resultarían muy costosos o peligrosos. Fenómenos como un huracán, un

terremoto, una explosión nuclear o una erupción volcánica pueden confinarse al espacio de una pantalla

para ser analizados y estudiados. También se pueden desarrollar sistemas que representen visualmente

una mitosis celular, la explosión de una estrella supernova o el comportamiento de los átomos en una

reacción química. Tales representaciones son interactivas porque permiten al usuario elegir un

determinado nivel de detalle o una escala temporal, controlar varios parámetros y observar un mismo

proceso o fenómeno desde múltiples perspectivas.

35

En las ciencias sociales y humanas también es viable aprovechar la capacidad de los multimedios

para capturar aspectos complejos de la realidad y traerlos al salón de clase. Muchos fenómenos sociales

que ocurren durante largos períodos de tiempo y en los cuales el contexto suele jugar un papel

determinante, resultan muy complejos para enseñar. La tecnología multimedial es un recurso

especialmente valioso para ilustrar estos aspectos intrincados del currículo, pues permite pasar de la

exposición verbal de los acontecimientos a una presentación más dinámica e interactiva. Así mismo, se

pueden alterar algunos parámetros de estos fenómenos, observando inmediatamente los efectos

resultantes. Por ejemplo, acelerar o reducir la dimensión temporal en que ocurre un hecho histórico o

social.

Una obra literaria también puede transformarse en algo más vivo e inquietante cuando se aprecia

en un documento multimedial. La ficción interactiva, en la cual el lector tiene la opción de cambiar la

trama o el desenlace, es hoy una realidad. Estas nuevas tecnologías expanden el universo de recursos

simbólicos que se pueden utilizar en la composición: audio, video, fotografías, materiales gráficos etc.

Con el apoyo de estas tecnologías, los estudiantes pueden simular algunas condiciones ideales

del trabajo científico y cotejarlas con observaciones y fenómenos del mundo real. Por ejemplo, en la

experiencia cotidiana no es fácil encontrar una realidad sin fricción como la descrita en la física de

Newton. Tampoco tenemos la oportunidad de observar qué sucede realmente cuando chocamos con algo

que ya está en movimiento. Ciertos programas proporcionan un mundo virtual en el que se puede jugar

con parámetros; por ejemplo, activando o desactivando la fricción, o ajustando la gravedad. El aprendiz

tiene la oportunidad de contrastar su propia concepción o modelo del universo con el presentado por

Newton e intentar establecer una mediación entre ambos. De esta manera los estudiantes desarrollan un

sentido intuitivo del significado de conceptos muy complejos y difíciles de aislar, como los de fuerza,

velocidad y aceleración.

36

Cada una de las competencias tiene muchas posibilidades de apoyo. Por ejemplo, matemáticas y

ciencias se podrían apoyar con tecnología, como complemento a lo que se hace con libros y ejercicios de

papel y lápiz, poniendo a disposición de profesor y estudiantes, manipulativos donde pudieran vivir

experiencias que ayuden a entender los conceptos. El reto principal para el aprendiz es hacer explícito el

conocimiento tácito que tienen los manipulativos, explicando cómo y por qué funcionan de cierta

manera o de otra. Muchos alumnos saben hacer las operaciones, sacar las respuestas, pero no plantear

los problemas, pues no entienden los conceptos matemáticos o científicos que están detrás de ellos.

Romper el bloqueo mental con actividades lúdicas y creativas apoyadas en uso de manipulativos puede

hacer la diferencia.

Las destrezas comunicativas y ciudadanas tienen un gran potencial de apoyo en las herramientas

multimediales e interactivas con que se cuenta hoy en día. Cabe usar videos para reflexionar sobre

procesos de grupo, sobre habilidades de expresión verbal y no verbal, para refinar muchas habilidades

que son necesarias a nivel individual y personal. Cabe usar internet, preferiblemente asincrónico, para

tomar parte en procesos reflexivos y de indagación, donde el diálogo textual es la base de la

comunicación. Y, por supuesto, cabe usar las herramientas de productividad (procesador de texto,

graficador, manejador de base de datos, entre otras), para simplificar los procesos de expresión verbal,

gráfica, artística.

Lo único que no se puede hacer es pensar que las nuevas tecnologías van a hacer diferencia por

el hecho de estar disponibles para maestros y/o estudiantes; contribuirán a que haya diferencia en el

desarrollo de estas competencias en la medida en que existan maestros que sepan lo que se puede hacer

con ellas, exploren y reflexionen sobre cómo hacerlo y participen en comunidades de práctica que

compartan los hallazgos y los nuevos retos que se van presentando.

37

Desde la óptica de los procesos de aprendizaje, ¿qué ofrecen las TIC a docentes, directivos,

alumnos, padres de familia y comunidad en general?

A los docentes les permite acercarse de manera inmediata al conocimiento de frontera de

sus áreas específicas, lo que significa actualización en los contenidos. Ellos actúan entonces como

divulgadores de las fuentes de información, mas no como transmisores de conocimientos, lo cual los

libera de una inversión de tiempo considerable que pueden emplear en una planeación más estratégica

de sus actividades académicas. Es una alternativa para participar institucionalmente en redes de

aprendizaje y conocimiento.

Para los directivos, las TIC permiten el acceso a herramientas que mejoran su gestión

administrativa y académica, su comunicación con la comunidad escolar; igualmente, compartir

experiencias de administración educativa que han sido exitosas y ampliar el radio de acción de la

institución a comunidades educativas rurales.

Para los estudiantes pueden significar la entrada a nuevos entornos de aprendizaje, a más y

mejores fuentes de información; es una posibilidad de aprender sin las restricciones espaciotemporales

que implica la educación presencial; disminuir la dependencia del profesor como fuente exclusiva de

conocimiento e información; experimentar la condición de sentirse ciudadanos del mundo a través de

herramientas como el chat o el correo electrónico, acercándose a otras creencias, costumbres, ideas y

expresiones artísticas.

Los padres de familia encontrarán en estas tecnologías una garantía de que sus hijos reciben una

educación que les permite responder más exitosamente a las demandas laborales y sociales de un mundo

cada vez más globalizado.

La comunidad puede obtener los mismos beneficios que tienen los demás actores educativos:

acceso a múltiples fuentes actualizadas de información; comunicación ágil y de bajo costo con personas

38

e instituciones de todo el mundo; posibilidad de vivir experiencias de aprendizaje que se ofrecen a través

de medios y espacios virtuales; aprovechar el poder que tienen muchas herramientas informáticas -como

un procesador de texto, una hoja de cálculo o una base de datos-, para optimizar el trabajo.

Aunque los multimedios son muy efectivos para presentar módulos de instrucción previamente

diseñados, su verdadero poder educativo se desencadena cuando son utilizados por el maestro y los

alumnos para crear sus propios materiales y experiencias de aprendizaje. Esta posibilidad de que ambos

agentes participen como autores en la búsqueda y organización de sus objetos de conocimiento abre

horizontes ilimitados de renovación pedagógica. Ahora el maestro puede ilustrar su magisterio con

exposiciones que vinculan a la realidad y a la vida los temas más abstractos y complejos. Los estudiantes

pueden redescubrir el valor y el gusto por la educación, involucrándose en el desarrollo de proyectos que

comprometen su dinamismo, retan su imaginación y estimulan sus búsquedas intelectuales.

Interacción es la mayor oportunidad: con otros, con objetos de conocimiento y con herramientas

de trabajo relevantes a los intereses y necesidades de cada quien. Quienes no tienen acceso a nuevas

tecnologías, al menos en forma continuada, no por esto se ven carentes de interacción; sólo que ésta es

predominantemente local y limitada.

Si se aprovechan para ayudar a desarrollar la capacidad de aprender, puede tener grandes

ventajas. Pero si se limitan a transmitir mejor lo mismo, quizás se logre generar más pereza mental y

mayor capacidad de asimilación, sin tener necesidad de procesamiento profundo. Todo depende de

cómo se use la tecnología, más que de la mera disposición de esta. Entre las asignaturas del currículo,

las matemáticas han sido tradicionalmente un dolor de cabeza para educadores, padres y estudiantes. Un

alto porcentaje de estudiantes sienten temor y falta de gusto cuando se enfrentan a esta materia. Las

39

pruebas saber, aplicadas por el icfes recientemente, muestran que hay mucho por hacer para lograr

mejores resultados en la enseñanza de las matemáticas.

Estas pruebas evidenciaron que los estudiantes realizan fácilmente operaciones simples en las

que se involucran una o dos variables, pero presentan problemas cuando deben relacionar variables

complejas y deben leer, incorporar o elaborar gráficos en la resolución de problemas. por ejemplo, en el

caso de grado 9º, solo el 13% de los estudiantes llegaron al nivel e (comprensión de problemas que no

tienen información completa) cuando se esperaba que fuera superado por el 55% y solo el 4% llegaron

al nivel f (comprensión de problemas en los que deben descubrir las relaciones no explícitas) y el icfes

esperaba que el 35% de los estudiantes superara este nivel .

La educación básica y media debe tener como propósito que los estudiantes alcancen las

'competencias matemáticas' necesarias para comprender, utilizar, aplicar y comunicar conceptos y

procedimientos matemáticos. que puedan a través de la exploración, abstracción, clasificación, medición

y estimación, llegar a resultados que les permitan comunicarse y hacer interpretaciones y

representaciones; es decir, descubrir que las matemáticas si están relacionadas con la vida y con las

situaciones que los rodean, más allá de las paredes de la escuela. En la información sobre las pruebas

saber, el icfes plantea que estas 'competencias matemáticas' se evidencian cuando los estudiantes:

• reconocen, nombran y dan ejemplos referidos a conceptos.

• usan modelos, diagramas y símbolos para representar conceptos y situaciones

matematizables

• identifican y aplican algoritmos, conceptos, propiedades y relaciones

• realizan traducciones entre diferentes formas de representación

• comparan, contrastan e integran conceptos

• reconocen, interpretan y usan diferentes lenguajes (verbal, gráfico, tabular)

40

• enuncian e interpretan conjeturas acerca de regularidades y patrones

• reconocen, relacionan y aplican procedimientos adecuados

• usan, interpretan y relacionan datos

• crean y usan diferentes estrategias y modelos para solucionar problemas

• generan procedimientos diferentes a los enseñados en el aula

• enriquecen condiciones, relaciones o preguntas planteadas en un problema

• utilizan el razonamiento espacial y proporcional para resolver problemas, para justificar y

dar argumentos sobre procedimientos y soluciones.

Como podemos ver, para lograr este propósito es necesario propiciar un cambio en la forma de

enseñar las matemáticas ya que la enseñanza tradicional en esta asignatura ha probado ser poco efectiva.

Según los reportes del consejo nacional de profesores de matemáticas de estados unidos (NCTM, por sus

siglas en inglés), los maestros deberían tener en cuenta las mejores prácticas para enseñar matemáticas

sugeridas por ellos en el libro "mejores prácticas, nuevos estándares para la enseñanza y el aprendizaje" .

• ayudar a que todos los estudiantes desarrollen capacidad matemática

• ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los estudiantes y construyan

confianza en la investigación, la solución de problemas y la comunicación

• realizar actividades que promuevan la participación activa de los estudiantes en hacer

matemáticas en situaciones reales

• entender y utilizar patrones y relaciones, estos constituyen una gran parte de la habilidad

o competencia matemática

• propiciar oportunidades para usar el lenguaje con el fin de comunicar ideas matemáticas

• ofrecer experiencias en las que los estudiantes puedan explicar, justificar y refinar su

propio pensamiento, sin limitarse a repetir lo que dice un libro de texto

41

• desarrollar competencia matemática por medio de la formulación de problemas y

soluciones que involucren decisiones basadas en recolección de datos, organización, representación

(gráficas, tablas) y análisis

En cuanto a la integración de las tic en los procesos de aprendizaje de las matemáticas, nos

hemos basado en el planteamiento de andee rubín, quien agrupa en cinco categorías los diferentes tipos

de herramientas para crear ambientes enriquecidos por la tecnología: conexiones dinámicas;

herramientas avanzadas; comunidades ricas en recursos matemáticos; herramientas de diseño y

construcción; y herramientas para explorar complejidad.

Conexiones dinámicas manipulables: las matemáticas están cargadas de conceptos abstractos

(invisibles) y de símbolos. En este sentido, la imagen cobra un valor muy importante en esta asignatura

ya que permite que el estudiante se acerque a los conceptos, sacándolos de lo abstracto mediante su

visualización y transformándolos realizando cambios en las variables implícitas. en los grados de

primaria se usan objetos físicos manipulables como apoyo visual y experimental; en secundaria, se

utilizan manipulables virtuales cuando no es posible tener objetos físicos. el software para geometría

dinámica posibilita ver qué sucede al cambiar una variable mediante el movimiento de un control

deslizador (al tiempo que se mueve el deslizador, se pueden apreciar las distintas fases o etapas de los

cambios en la ecuación y en su representación gráfica). las simulaciones son otra herramienta valiosa

para integrar las tic en el currículo, especialmente en matemáticas y física. Estas proveen

representaciones interactivas de la realidad que permiten descubrir mediante la manipulación cómo

funciona un fenómeno, qué lo afecta y cómo este influye en otros fenómenos.

Herramientas avanzadas: las hojas de cálculo, presentes en todos los paquetes de programas de

computador para oficina, pueden ser utilizadas por los estudiantes en la clase de matemáticas como

42

herramienta numérica (cálculos, formatos de números); algebraica (formulas, variables); visual

(formatos, patrones); gráfica (representación de datos); y de organización (tabular datos, plantear

problemas).

Por otro lado, a pesar de la controversia que genera el uso de calculadoras por parte de los

estudiantes, hay mucha evidencia que soporta su uso apropiado para mejorar logros en matemáticas. Las

calculadoras gráficas enfatizan la manipulación de símbolos algebraicos, permitiendo graficar funciones,

ampliarlas, reducirlas y comparar las gráficas de varios tipos de funciones. Adicionalmente, las

herramientas para graficar y analizar datos posibilitan que el estudiante descubra patrones en datos

complejos, ampliando de esta forma su razonamiento estadístico. el nivel de tecnología utilizada en las

empresas es cada día mayor. muchos puestos de trabajo incluyen herramientas informáticas (hoja de

cálculo, calculadora, calculadora gráfica, software para analizar y graficar datos) y se espera del sistema

educativo que prepare a los estudiantes para desenvolverse con propiedad con estas tecnologías.

Comunidades ricas en recursos matemáticos:

Los maestros pueden encontrar en internet miles de recursos para enriquecer la clase de

matemáticas, como: simulaciones, proyectos de clase, calculadoras; software para resolver ecuaciones,

graficar funciones, encontrar derivadas, elaborar exámenes y ejercicios, convertir unidades de medida,

ejercitar operaciones básicas, construir y visualizar figuras geométricas, etc. el desarrollo profesional es

otro aspecto en el cual internet hace una contribución importante: cientos de cursos en varios campos de

la matemática; foros y listas de discusión que se convierten en espacios de conversación e intercambio

de información, en los que participan maestros de todo el mundo; descarga de artículos y trabajos

académicos escritos por autoridades en esta área; suscripción a boletines y revistas electrónicas, etc.

internet, el más poderoso sistema de comunicación que haya conocido la humanidad, posibilita la

creación de ambientes colaborativos y cooperativos en el ámbito local, nacional o internacional, y en los

43

cuales docentes y estudiantes comparten proyectos y opiniones sobre un tema en particular. los

estudiantes también pueden encontrar en este medio una variedad de bases de datos con información de

todo tipo: sismográfica, demográfica, climática, ambiental, etc, o participar en la creación de grandes

bases de datos. Además, cuando la información colectada por ellos se correlaciona con algunas variables

geográficas, los estudiantes pueden comparar sus datos con los de otras escuelas de lugares distantes.

Herramientas de diseño y construcción:

Otra aplicación de la tecnología, en el área de matemáticas, consiste en el diseño y construcción

de artefactos robóticos. Mediante un lenguaje de programación los estudiantes pueden controlar un

"ladrillo" programable (rcx) .La construcción de artefactos robóticos desarrolla en el estudiante su

"razonamiento mecánico" (física aplicada), este debe tomar decisiones sobre tipos de ruedas, poleas,

piñones; aplicar los conceptos de fuerza, rozamiento, relación, estabilidad, resistencia y funcionalidad.

por otra parte, la programación de dichos artefactos, para que realicen acciones específicas, desarrolla en

el estudiante la "inteligencia lógica", tan importante para las matemáticas.

La programación en lenguaje logo incorpora conceptos matemáticos (ej: dibujar figuras

geométricas) al tiempo que introduce a los estudiantes en temas como iteración y recursión. Los

micromundos son ambientes de aprendizaje activo, en el que los niños pueden ejercer control sobre el

ambiente exploratorio de aprendizaje en el que pueden navegar, crear objetos y manipularlos,

observando los efectos que producen entre si. en matemáticas, se utilizan micromundos para probar

conjeturas en álgebra y geometría, mediante la construcción y manipulación de objetos, con el fin de

explorar las relaciones existentes en el interior de estos objetos y entre ellos.

El uso de software para diseñar esculturas de "origami" en tres dimensiones (3d) también ayuda a

desarrollar las habilidades geométricas.

Herramientas para explorar complejidad:

44

Un desarrollo importante de la tecnología en el campo de las matemáticas consiste en el

creciente número de herramientas para el manejo de fenómenos complejos. se destaca en esta categoría

el software para modelado de sistemas específicos que permite, a quienes no sean programadores, crear

"agentes" con comportamientos y misiones, enseñar a estos a reaccionar a cierta información y

procesarla en forma personalizada. además, mediante la combinación de varios agentes, se pueden crear

sofisticados modelos y simulaciones interactivas. la teoría del caos y los fractales también son campos

en los cuales la tecnología impacta las matemáticas. por otro lado, un conjunto de herramientas del

proyecto simcalc permiten enseñar conceptos de cálculo por medio de micromundos animados y

gráficas dinámicas. los estudiantes pueden explorar el movimiento de actores en estos micromundos

simulados, y ver las gráficas de actividad, posibilitando la comprensión de importantes ideas del cálculo.

explorar estos conceptos realizando cálculos manuales es prácticamente imposible dado el numero

astronómico de operaciones necesarias para poder apreciar algún tipo de patrón. el uso de computadores

permite al estudiante concentrarse en el análisis de los patrones y no en las operaciones matemáticas

necesarias para que estos aparezcan.

Las herramientas tecnológicas, agrupadas en estas cinco categorías, ofrecen al maestro de

matemáticas la oportunidad de crear ambientes de aprendizaje enriquecidos para que los estudiantes

perciban las matemáticas como una ciencia experimental y un proceso exploratorio significativo dentro

de su formación.

Las herramientas tecnológicas ofrecen al maestro de matemáticas la oportunidad de crear

ambientes de aprendizaje enriquecidos para que los estudiantes la perciban como ciencia experimental y

proceso exploratorio significativo dentro de su formación.

Autor: Juan Carlos López García | Publicado: 2003-12-01

45

Anexo D. Las TIC en la matemática

Incorporación de las tecnologías de información y comunicación. La tecnología realza el

aprendizaje y apoya la enseñanza de la matemática

Martínez (2003) dice que las nuevas tecnologías precisan de unas necesidades previas, sin las

cuales no puede hablarse de su incorporación a ningún ámbito de la enseñanza. Estas son:

El acceso técnico: Tiene que ver con la posibilidad material de disponer de acceso a estas

tecnologías a los medios y servicios que proporcionan.

El acceso práctico: Se relaciona con la disponibilidad del tiempo necesario para el empleo de las

tecnologías, al igual que con preparar el proceso de su uso como soporte para la enseñanza y como

medio para el aprendizaje.

El acceso operativo: Referido a los conocimientos que van a permitir el manejo de la

herramienta tecnológica.

El acceso criterial: La utilización de las tecnologías precisa de una actitud previa crítica con la

propia tecnología y que facilita la toma de decisiones sobre su utilización. La posibilidad de responder a

la pregunta de por qué esta tecnología aquí y ahora es una cuestión fundamental.

El acceso relacional científico tecnológico: Vinculado con los requisitos previos que necesitan

tener del proceso de enseñanza en que se pretende incidir con las tecnologías.

Unidos a tales necesidades, se encuentran los principios que instituye el Consejo Estadounidense

de Profesores de Matemática (NCTM), los cuales atañen a:

Equidad: La excelencia en matemática educativa requiere de equidad, expectativas altas y un

fuerte apoyo para todos los estudiantes.

Currículo: Es mucho más que una colección de actividades. Debe ser coherente y centrado en

temas matemáticos importantes que estén bien articulados en los diferentes grados escolares.

46

Enseñanza: La enseñanza efectiva de las matemáticas requiere de entender qué saben los

estudiantes y qué necesitan aprender. A partir de ello, hay que retarlos y apoyarlos para que logren una

buena formación.

Aprendizaje: Los estudiantes necesitan aprender matemáticas entendiéndolas e interpretándolas

cognitivamente, deben construir conocimientos de manera activa, a partir de sus experiencias y el saber

anterior.

Evaluación: La evaluación tiene que apoyar el aprendizaje de conceptos matemáticos

importantes, además de suministrar información útil tanto a los docentes como a los estudiantes.

Tecnología: En su sentido más amplio, resulta esencial en la enseñanza y el aprendizaje, ya que

influye en las matemáticas que se enseñan y mejora el proceso de aprendizaje de los estudiantes. Las

tecnologías específicas como, por ejemplo, las electrónicas (calculadoras y computadoras) son

herramientas muy útiles para enseñar, aprender y hacer matemáticas. De igual manera, ofrecen

representaciones de instrucciones basadas en axiomas, teoremas y leyes matemáticas, facilitan la

organización y análisis de los datos y permiten que se hagan cálculos de manera eficiente y exacta.

Las TIC pueden apoyar a las investigaciones de los alumnos en varias áreas de las matemáticas,

como números, medida, geometría, estadística, álgebra, pues se espera que cuando dispongan de ellas

logren concentrarse en tomar decisiones, razonar y resolver problemas. La existencia, versatilidad y

poder de las TIC hacen posible y necesario reexaminar qué matemáticas deben aprender los alumnos, así

como examinar la mejor forma en que puedan aprenderlas.

Este es el momento de establecer el vínculo entre el constructivismo y la matemática educativa

asistida por las tecnologías de información y comunicación. Cabe preguntarse, entonces: ¿cómo usar las

TIC con un enfoque constructivista en matemática educativa? Al respecto, Sánchez (2000) da los

siguientes enunciados:

47

– Como herramientas de apoyo al aprender, con las cuales se pueden realizar actividades que

fomenten el desarrollo de destrezas cognitivas superiores en los alumnos.

– Como medios de construcción que faciliten la integración de lo conocido y lo nuevo.

– Como extensoras y amplificadoras de la mente, a fin de que expandan las potencialidades del

procesamiento cognitivo y la memoria, lo cual facilita la construcción de aprendizajes significativos.

– Como medios transparentes o invisibles al usuario, que hagan visible el aprender e invisible la

tecnología.

– Como herramientas que participan en un conjunto metodológico orquestado, lo que potencia su

uso con metodologías activas como proyectos, trabajo colaborativo, mapas conceptuales e inteligencias

múltiples, donde aprendices y facilitadores coactúen y negocien significados y conocimientos, teniendo

a la tecnología como socios en la cognición.

El conocer y el aprender lo hacen y construyen los aprendices Sánchez precisa que la tecnología

sólo es una herramienta con una gran capacidad que, cuando es manejada con una metodología y diseño

adecuado, puede ser un buen medio para construir y crear.

Al conocer los beneficios del uso de la tecnología en la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas, y tras revisar cómo usarla con un enfoque constructivista; surge otra interrogante: ¿Se

puede construir conocimiento matemático usando las TIC? Si bien es cierto que los individuos adquieren

información desde los ámbitos de la familia, la escuela y los medios de comunicación (Cebrián de la

Serna, 1999), la función del educador será ayudar al individuo a que encarne estas tres corrientes de

influencias en un mismo caudal, lo cual hará que potencie y desarrolle su personalidad (afectiva, social y

cognitiva) en forma más equilibrada e integral con el mundo que lo rodea.

Por ello, se pretende que el conocimiento que los alumnos construyan en las aulas esté formado

bajo la reflexión y fórmulas de trabajo colaborativo, así como que tenga miras hacia el surgimiento de

48

un pensamiento racional y científico (Cebrián de la Serna, 1999). Esto parte del conocimiento previo,

que abarca al que trae el alumno al aula producto de sus experiencias previas, donde residen muchos

conocimientos que obtuvieron a través de medios de comunicación y otros recursos tecnológicos. El

conocimiento previo es uno de los principios del aprendizaje constructivista; entre sus características

podemos señalar:

– Implicación directa del alumnado en el aprendizaje y en la enseñanza al estar en contacto con

situaciones del mundo real y cercano donde utilizan recursos tecnológicos.

– Surgimiento de nuevas temáticas en la investigación que despiertan el interés y la motivación

del alumnado.

– Desarrollo de procesos y capacidades mentales de niveles superiores en proyectos

informáticos.

Dichos rasgos implican la concepción de las TIC no sólo como medios, sino como elementos

motivadores, creadores, que facilitan los procesos cognitivos de manera integrada con los demás

elementos del currículo.

Por otro lado, es relevante el contenido matemático que desarrollará el docente al ocupar las TIC.

Esto concierne a qué se debe abordar desde el punto de vista de los contenidos para que haya una

comprensión del conocimiento matemático, mientras el docente usa las tecnologías de información y

comunicación en sus prácticas pedagógicas.

Al respecto, Gallardo y González (2006) expresan que la comprensión del conocimiento

matemático es un objeto de investigación que tiene un interés creciente en matemática educativa. No

obstante, su elevada complejidad hace que los avances más recientes aún resulten insuficientes, lo cual

implica la necesidad de ir adoptando enfoques más operativos y que se preocupen menos por el estudio

directo de sus aspectos internos.

49

Esto conduce a los docentes que incorporan las TIC a determinar y clasificar el tipo de

situaciones que propicien el aprendizaje y la comprensión del conocimiento matemático. Por tanto, la

valoración precisa de un análisis situacional que inicia con una búsqueda de aquellas situaciones donde

tiene sentido el uso del conocimiento matemático considerado, para lo cual se aconseja que se lleve a

cabo una labor de categorización y selección de situaciones que organice, simplifique y haga más

manejable el conjunto asociado.

Con base en argumentos de esta índole, algunos autores como Rojano (2006), opinan que para la

enseñanza de la matemática se necesita de modelos específicos con tecnología, bajo los siguientes

principios:

– Didáctico, mediante el cual se diseñan actividades para el aula siguiendo un tratamiento

fenomenológico de los conceptos que se enseñan.

– De especialización, por el que se seleccionan herramientas y piezas de software de contenido.

Los criterios de selección se derivan de la didáctica de la matemática.

– Cognitivo, por cuyo conducto se seleccionan herramientas que permiten la manipulación

directa de objetos matemáticos y de modelos de fenómenos mediante representaciones ejecutables.

Empírico, bajo el cual se seleccionan herramientas que han sido probadas en algún sistema educativo.

– Pedagógico, por cuyo intermedio se diseñan las actividades de uso de las TIC para que

promuevan el aprendizaje colaborativo y la interacción entre los alumnos, así como entre profesores y

alumnos.

– De equidad, con el que se seleccionan herramientas que permiten a los alumnos de secundaria

el acceso temprano a ideas importantes en ciencias y matemáticas.

50

Entre el conjunto de la toma de decisiones para el diseño de los modelos, una de las más

complejas reside en la selección de herramientas, ya que sus principios permiten formular criterios para

elegir qué instrumentos deberían:

– Estar relacionados con un área específica de la matemática escolar.

– Contar con representaciones ejecutables de objetos, conceptos y fenómenos de la matemática.

– Permitir un tratamiento fenomenológico de los conceptos matemáticos y científicos.

– Ser útiles para abordar situaciones que no pueden abordarse con los medios tradicionales de

enseñanza.

– Poder utilizarse con base en el diseño de actividades que promuevan un acercamiento social del

aprendizaje.

– Permitir que se promuevan prácticas en el aula donde el profesor guía el intercambio de ideas y

las discusiones grupales, a la vez que actúa como mediador entre el estudiante y la herramienta.

El hecho de conocer e identificar el conjunto de entornos tecnológicos de aprendizaje que

cumplan con tales criterios hace posible el diseño de los modelos pedagógicos, de los tratamientos

didácticos pertinentes en los temas de enseñanza, al igual que del aula, con la tecnología apropiada. Los

diseños necesariamente se encuentran ligados al conocimiento didáctico, que el profesor pone en juego

cuando realiza el análisis didáctico (Gómez y Rico, 2006). Asimismo, dicho saber tiene unos

conocimientos disciplinares de referencia que se estructuran en tres ejes: noción de currículo,

fundamentos de las matemáticas escolares y organizadores del currículo.

Si se toman en cuenta la descripción técnica de estos conocimientos de referencia, la

planificación y estructuración del uso de las TIC y la forma como se espera que entren en juego al hacer

el análisis didáctico, se podrá identificar y fundamentar los contenidos y objetivos de la asignatura. Por

otra parte, la reflexión de cómo el profesor construye el conocimiento didáctico en la práctica y la

51

postura sociocultural con respecto al aprendizaje de los futuros profesores permiten sentar las bases en

las que se diseñan los esquemas metodológicos y de evaluación (Gómez y Rico, 2006).

Cabe señalar el papel preponderante que asume la interacción social a través del lenguaje y la

comunicación entre docentes y alumnos, donde se puede evidenciar el aprendizaje colaborativo y

cooperativo como una de las características que distingue al constructivismo.

Un ejemplo que ilustra el empleo de las TIC con un enfoque constructivista en la enseñanza de la

matemática es el Aprendizaje por Proyectos (ApP), al que se conocía hace algunos años

como aprendizaje por problemas. El cambio se debió a que el aprendizaje por problemas tenía un

enfoque específico (abordaba un solo problema a la vez), mientras que el Aprendizaje por Proyectos

soluciona diversos y numerosos problemas.

El ApP tiene como rasgo fundamental que cada proyecto no se enfoca a aprender acerca de algo,

sino en hacer algo; es decir, involucra una acción.

Según Moursund (1999), el Aprendizaje por Proyectos tiene como objetivos:

Desarrollar competencia. Para los estudiantes, el objetivo del proyecto es aumentar su

conocimiento y habilidad en una disciplina o en un área de contenido interdisciplinario. Con frecuencia,

cuando el alumno realiza un proyecto alcanza un nivel de habilidad elevado en el área específica que

está estudiando y hasta puede convertirse en la persona que más sabe sobre un tema específico. Algunas

veces, su nivel de conocimiento puede exceder al del profesor.

Mejorar las habilidades de investigación. El proyecto requiere de aptitudes para investigar y

ayuda a que se desarrollen.

Incrementar las capacidades mentales de orden superior. Capacidad de análisis y

síntesis. Esto se logra cuando el proyecto es retador y va enfocado a que los estudiantes

desarrollen tales habilidades.

52

Aprender a usar las TIC. Los alumnos incrementan el conocimiento y habilidad que tienen en

las TIC a medida que trabajan en el proyecto. Un proyecto puede diseñarse con el objetivo específico de

alentar en los estudiantes la adquisición de nuevas habilidades y conocimientos en las tecnologías.

Aprender a autoevaluarse y evaluar a los demás. Los estudiantes aumentan su habilidad de

autoevaluación, con lo que se responsabilizan de su trabajo y desempeño. También aprenden a evaluar el

trabajo y desempeño de sus compañeros y a darles retroalimentación.

Desarrollar un portafolio. Requiere que los estudiantes hagan un proyecto, una presentación o

una función de alta calidad que forme parte del grado escolar que cursen.

Comprometerse en un proyecto. Los alumnos se comprometen activa y adecuadamente a

realizar el trabajo del proyecto, de ahí que se encuentren motivados de manera interna: tal es una meta

del proceso. El profesor puede efectuar observaciones diarias que permitan establecer si el estudiante

tiene un compromiso con la tarea o si muestra una colaboración ejemplar.

Ser parte de una comunidad académica. Todos los estudiantes, profesores o grupo social se

convierten en una comunidad académica donde se trabaja de manera cooperativa y se aprende uno de

otro. Esta comunidad se expande para incluir a padres, alumnos de otras aulas y otras personas.

Trabajar en ideas que son importantes. El proyecto debe enfocarse a temas que tengan

continuidad y sean relevantes para el profesor, el colegio y demás miembros de la comunidad. Por

ejemplo, el trabajo interdisciplinario tiene que perfilarse como una de las metas que conformen los

proyectos.

Dado que el constructivismo se afinca en la creciente comprensión del cerebro humano, pues

atiende a cómo aprende o cómo el aprendizaje amplía el conocimiento previo, los profesores tienden a

convertirse en mediadores. Sin embargo, como señala Moursund (1999), no todos los docentes enseñan

de manera estrictamente didáctica ni constructivista, ya que recurren a los dos enfoques.

53

El Cuadro III, presenta las áreas del currículo, la instrucción y la evaluación desde los enfoques

didáctico y constructivista. En las tres se introducen las Tecnologías de Información y Comunicación

como único componente educativo y su implicación en la instrucción didáctica y constructivista.

Desde el punto de vista del estudiante, el ApP promueve su motivación intrínseca; estimula el

aprendizaje colaborativo y cooperativo; permite que le haga mejoras continuas; está diseñado para que el

alumno se comprometa activamente en hacer cosas, en lugar de sólo aprender sobre algo, pues implica

que realice una presentación o actuación; es retador, y va enfocado a las habilidades mentales de orden

superior.

En cuanto a la perspectiva del docente, el ApP posee contenido y objetivos auténticos (del

mundo real); utiliza una evaluación centrada en la valoración del desempeño; es proporcionado por el

54

profesor; sus metas educativas son explícitas; afianza sus raíces en el constructivismo, y está diseñado

para que el profesor también aprenda.

La inclusión de las herramientas TIC han modificado la enseñanza en general, y en particular, la

enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, puesto que los variados recursos que hay en la actualidad,

ofrecen posibilidades de enseñar, usando conceptos de forma práctica, resolviendo problemas en

diversos contextos, simulando situaciones y fenómenos de aprendizaje, comunicando ideas matemáticas;

es decir que el aprovechamiento de las TIC permiten tener un laboratorio en clase, favoreciendo la

experimentación, el descubrimiento, el pensamiento crítico , la creatividad y la innovación en el proceso

de “hacer matemáticas”. (Mendoza, 2011)

Por lo anterior es importante generar propuestas que mejoren las condiciones para potencializar

el uso de ellas y crear mejores ambientes de aprendizaje de trabajo colaborativo, apoyando un proceso

activo de construcción del aprendizaje para las clases de matemáticas (Mendoza, 2011)

Teniendo en cuenta lo anterior y las investigaciones realizadas por (Coll 2008), se crea esta

propuesta pedagógica para favorecer el proceso didáctico de la enseñanza y el aprendizaje de la

función trigonométrica seno, a través de la AHD como instrumento mediada con Tic, mediante el

análisis respecto a la creación de recursos multimedia, los usos efectivos que profesores y alumnos

hacen de esta, las estrategias comunicativas entre alumnos, profesor, y contenidos, en el transcurso de

las actividades de enseñanza y aprendizaje en el aula.

55

La AHD como Sistema Hipermedia Adaptativo (SHA)

El término Sistema Hipermedia Adaptativo (SHA), se refiere a los sistemas basados en hipertexto

que tienen la capacidad de ajustar su funcionamiento a las metas, tareas, intereses y otras características

de los usuarios o grupos de usuarios (Brusilovsky, 1996).

Siguiendo el mismo autor, los SHA, poseen dos ventajas heredadas de los sistemas hipermedia

tradicionales:

• Los aspectos visuales son muy atractivos para el lector.

• Poder leer la información en un orden no secuencial proporciona al usuario mayor

libertad de navegación.

Nuestra AHD como instrumento didáctico para el aprendizaje, se ajusta a las características de

los SHA, dado que es un sistema hipermedia provisto de hipertextualidad, posee una estructura que

puede adaptarse a las características concretas de cada usuario, ( normalmente se tratarán de atributos

tales como necesidades de información, condiciones de acceso, experiencia y conocimientos), de esta

manera puede ofrecerle un material acorde a sus particularidades de acuerdo al modelo del usuario y al

dominio en el que se está trabajando. (Brusilovsky, 1996)

Para Amador Montaño y otros, la AHD como instrumento didáctico, una es un producto

multimedia, provisto de hipertextualidad que promueve procesos metacognitivos; se fundamenta en el

socioconstructivismo, configurándose como un instrumento psicológico (Coll, 2007) mediador de

procesos intra e intermentales implicados en la enseñanza y el aprendizaje, donde se establece como un

medio de representación del conocimiento y un sistema estratégico de comunicación para la

implementación de las TIC en procesos educativos, mediante el desarrollo de un diseño

tecnopedagógico (DTP) correspondiente a los fines de formación, modificando e innovando las

56

relaciones entre el maestro, el estudiante y el saber. (Amador Montaño, Rojas Garcia, & Sanchèz

Bedoya, 2015).

Según Amador y otros (2015), La AHD es una estrategia didáctica que logra un

acercamiento a la enseñanza y al aprendizaje escolar desde las capacidades diferenciadas pues

basándose en la autorregulación implementa una secuencia didáctica en donde cada estudiante va

desarrollando los contenidos y actividades planeadas y propuestas por el maestro, que conducirán

progresivamente a la adquisición de los aprendizajes. (Amador Montaño, Rojas Garcia, & Sanchèz

Bedoya, 2015).

Material educativo en la enseñanza de matemáticas.

Los materiales educativos están constituidos por todos los instrumentos de apoyo, herramientas y

ayudas didácticas. Según Blázquez y Lucero (2002, p. 186) , Los medios didácticos pueden definirse

como «cualquier recurso que el profesor prevea emplear en el diseño o desarrollo del currículo (por su

parte o la de los alumnos) para aproximar o facilitar los contenidos, media las experiencias de

aprendizaje, provocar encuentros o situaciones, desarrollar habilidades cognitivas, apoyar sus estrategias

metodológicas, o facilitar o enriquecer la evaluación». Citado por (González, 2011).

En la actualidad, la tecnología, y especialmente la Internet se ha convertido en un medio que

ofrece un sin número de recursos digitalizados en línea que han sido creados para ponerlos en práctica

en el campo educativo, con la intención de favorecer el desarrollo curricular de diferentes áreas de

aprendizaje.

El aprendizaje de las Matemáticas puede beneficiarse de estas tecnologías dado que ofrecen

ventajas en cuanto a que presentan los conceptos de una forma más visual e interactiva, relacionan las

57

Matemáticas con otros aspectos de la vida para que resulten más accesibles a cualquier edad y añaden

un componente lúdico que las hace mucho más atractivas, incluyen propuestas transversales, interactivas

y multimedia para aritmética, geometría, álgebra o funciones y gráficas, así como otras para uso de

docentes. Algunos recursos que los maestros tienen para enseñar matemáticas se relacionan en el anexo:

N.º 0.2.

Usos de Material Educativo.

El empleo de medios y recursos requiere explicitar el modelo de construcción e integración de

los mismos, y el proceso de diseño y adecuación de la presentación del contenido instructivo mediante

la programación de unidades didácticas (Medina Rivilla, Domínguez Garrido, & Sánchez Romero,

2008.)

Por su parte, Marqués (2000), señala que los medios didácticos cumplen, entre otras, las

siguientes funciones:

1. Motivar, despertar y mantener el interés.

2. Proporcionar información

3. Guiar los aprendizajes de los estudiantes.

4. Organizar la información, relacionar conocimientos, crear nuevos conocimientos y

aplicarlos, etc.;

5. Evaluar conocimientos y habilidades;

6. Proporcionar simulaciones que ofrecen entornos para la observación, exploración y la

experimentación.

7. Proporcionar entornos para la expresión y creación. referenciado por (González, 2011)

58

Adaptación de Material educativo.

Para (Brusilovsky,2001) la adaptación del contenido consiste en la modificación de los

materiales a entregar a cada alumno, atendiendo a los diferentes parámetros del estado del curso (De Bra

et al., 1999). considera material educativo adaptativo a aquel capaz de sufrir modificaciones en función

de unas condiciones preestablecidas. (Arreaga, Fuente, Pardo, & Delgado, 2005)

La necesidad de adaptación de material educativo es muy natural, debido a que los

alumnos que participan en un curso poseen metas diferentes y un nivel de conocimiento previo

heterogéneo, por lo que básicamente cada alumno requiere de un tratamiento especial basado en sus

propias características. Brusilovsky presentó un listado con los rasgos de adaptación más populares

modelados dentro de diferentes tipos de sistemas adaptativos como son el conocimiento del usuario, sus

intereses, objetivos, la experiencia previa, los rasgos personales que identifican a cada individuo y el

contexto de trabajo. (Brusilovsky, 1996).

Tipos de adaptación.

Varios trabajos proponen una clasificación para los distintos tipos de adaptación. De entre todos

ellos, suele haber consenso en resaltar tres categorías principales, Así, se habla de:

• adaptación del contenido,

• de la interfaz o

• del flujo de aprendizaje. (Arreaga, Fuente, Pardo, & Delgado, 2005)

59

Adaptación del contenido:

Consiste en la modificación de los materiales a entregar a cada alumno, atendiendo a los

diferentes parámetros del estado del curso (De Bra et al., 1999). Así, un concepto puede ser estudiado a

través de vídeos, actividades, lecturas, etc. Cada alumno puede recibir un tipo de material según su

estilo de aprendizaje, trabajando todos ellos sobre el mismo concepto.

Adaptación de flujo de aprendizaje.

La adaptación del flujo de aprendizaje consiste en modificar el orden de realización de

actividades en función del estado del curso. Por ejemplo, existen alumnos que prefieren estudiar la teoría

antes de pasar a la fase de experimentación, mientras que otros prefieren adquirir la experiencia práctica

y luego encontrar los fundamentos teóricos

Adaptación de la interfaz.

Un tercer tipo de adaptación se basa en la posibilidad de modificar el formato en el que los

materiales son presentados. Esta modificación puede ser debida al tipo de dispositivo con el que los

participantes del curso acceden al material. Por ejemplo, el acceso a través de un dispositivo móvil

requerirá de una interfaz de usuario simplificada.

La adaptación de material modelada en la AHD se basa en información obtenida a priori, se

asigna a principio de curso mediante la evaluación diagnóstico, El material ofrecido a los alumnos no

difiere en el contenido asignado, se mostró una estrategia didáctica u otra, tratándose por lo tanto de

60

adaptación del flujo de aprendizaje. Es el alumno el que elige la ruta de aprendizaje que mejor se

acomode a sus necesidades y estilos de aprendizaje.

Estrategias comunicativas

Se refiere a las diferentes formas de interacción comunicativa -formal y espontánea que pueden

llegar a darse en el aula entre profesorado y alumnado, tanto de forma interpersonal como grupal, así

como sus implicaciones didácticas. (Herrero, 2012)

Según (Rizo, 2007). En la interacción comunicativa entre las personas es donde se

manifiesta la cultura como principio organización social, cuyos resultados siempre derivan en la

modificación de los estados iniciales de los participantes del proceso comunicativo.

Por otro lado, es importante destacar que los eventos de comunicación no están

constituidos únicamente por palabras, también el discurso en la comunicación puede presentarse en

forma escrita o verbal, al mismo tiempo que puede contener aspectos auditivos, visuales, gestuales

(Villasmil, 2004). Por lo tanto, la comunicación en entornos educativos, así como la comunicación en

general, operativiza tres grandes lenguajes: el verbal, el no verbal y el paraverbal. Todos ellos inherentes

a la interacción comunicativa. (Herrero, 2012)

El lenguaje verbal es aquel que utiliza la expresión oral o escrita y que presenta un

emisor, un receptor, un mensaje, un contexto, un canal y un código. El lenguaje no verbal es aquel que

conforma los movimientos de la cabeza, la expresión corporal la orientación de la mirada, el parpadeo,

las expresiones faciales, los gestos corporales. Y el lenguaje paraverbal es aquel que comprende la

entonación e inflexiones de la voz, las distancias, la velocidad a la que hablamos, las pausas, la sincronía

de los gestos. (Torres, 2002).

61

Anexo E. Incorporación de las tecnologías de información y comunicación. la

tecnología realza el aprendizaje y apoya la enseñanza de la matemática

Martínez (2003) dice que las nuevas tecnologías precisan de unas necesidades previas, sin las

cuales no puede hablarse de su incorporación a ningún ámbito de la enseñanza. Estas son:

El acceso técnico: Tiene que ver con la posibilidad material de disponer de acceso a estas

tecnologías a los medios y servicios que proporcionan.

El acceso práctico: Se relaciona con la disponibilidad del tiempo necesario para el empleo de las

tecnologías, al igual que con preparar el proceso de su uso como soporte para la enseñanza y como

medio para el aprendizaje.

El acceso operativo: Referido a los conocimientos que van a permitir el manejo de la

herramienta tecnológica.

El acceso criterial: La utilización de las tecnologías precisa de una actitud previa crítica con la

propia tecnología y que facilita la toma de decisiones sobre su utilización. La posibilidad de responder a

la pregunta de por qué esta tecnología aquí y ahora es una cuestión fundamental.

El acceso relacional científico tecnológico: Vinculado con los requisitos previos que necesitan

tener del proceso de enseñanza en que se pretende incidir con las tecnologías.

Unidos a tales necesidades, se encuentran los principios que instituye el Consejo Estadounidense

de Profesores de Matemática (NCTM), los cuales atañen a:

Equidad: La excelencia en matemática educativa requiere de equidad, expectativas altas y un

fuerte apoyo para todos los estudiantes.

Currículo: Es mucho más que una colección de actividades. Debe ser coherente y centrado en

temas matemáticos importantes que estén bien articulados en los diferentes grados escolares.

62

Enseñanza: La enseñanza efectiva de las matemáticas requiere de entender qué saben los

estudiantes y qué necesitan aprender. A partir de ello, hay que retarlos y apoyarlos para que logren una

buena formación.

Aprendizaje: Los estudiantes necesitan aprender matemáticas entendiéndolas e interpretándolas

cognitivamente, deben construir conocimientos de manera activa, a partir de sus experiencias y el saber

anterior.

Evaluación: La evaluación tiene que apoyar el aprendizaje de conceptos matemáticos

importantes, además de suministrar información útil tanto a los docentes como a los estudiantes.

Tecnología: En su sentido más amplio, resulta esencial en la enseñanza y el aprendizaje, ya que

influye en las matemáticas que se enseñan y mejora el proceso de aprendizaje de los estudiantes. Las

tecnologías específicas como, por ejemplo, las electrónicas (calculadoras y computadoras) son

herramientas muy útiles para enseñar, aprender y hacer matemáticas. De igual manera, ofrecen

representaciones de instrucciones basadas en axiomas, teoremas y leyes matemáticas, facilitan la

organización y análisis de los datos y permiten que se hagan cálculos de manera eficiente y exacta.

Las TIC pueden apoyar a las investigaciones de los alumnos en varias áreas de las matemáticas,

como números, medida, geometría, estadística, álgebra, pues se espera que cuando dispongan de ellas

logren concentrarse en tomar decisiones, razonar y resolver problemas. La existencia, versatilidad y

poder de las TIC hacen posible y necesario reexaminar qué matemáticas deben aprender los alumnos, así

como examinar la mejor forma en que puedan aprenderlas.

Este es el momento de establecer el vínculo entre el constructivismo y la matemática educativa

asistida por las tecnologías de información y comunicación. Cabe preguntarse, entonces: ¿cómo usar las

TIC con un enfoque constructivista en matemática educativa? Al respecto, Sánchez (2000) da los

siguientes enunciados:

63

– Como herramientas de apoyo al aprender, con las cuales se pueden realizar actividades que

fomenten el desarrollo de destrezas cognitivas superiores en los alumnos.

– Como medios de construcción que faciliten la integración de lo conocido y lo nuevo.

– Como extensoras y amplificadoras de la mente, a fin de que expandan las potencialidades del

procesamiento cognitivo y la memoria, lo cual facilita la construcción de aprendizajes significativos.

– Como medios transparentes o invisibles al usuario, que hagan visible el aprender e invisible la

tecnología.

– Como herramientas que participan en un conjunto metodológico orquestado, lo que potencia su

uso con metodologías activas como proyectos, trabajo colaborativo, mapas conceptuales e inteligencias

múltiples, donde aprendices y facilitadores coactúen y negocien significados y conocimientos, teniendo

a la tecnología como socios en la cognición.

El conocer y el aprender lo hacen y construyen los aprendices Sánchez precisa que la tecnología

sólo es una herramienta con una gran capacidad que, cuando es manejada con una metodología y diseño

adecuado, puede ser un buen medio para construir y crear.

Al conocer los beneficios del uso de la tecnología en la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas, y tras revisar cómo usarla con un enfoque constructivista; surge otra interrogante: ¿Se

puede construir conocimiento matemático usando las TIC? Si bien es cierto que los individuos adquieren

información desde los ámbitos de la familia, la escuela y los medios de comunicación (Cebrián de la

Serna, 1999), la función del educador será ayudar al individuo a que encarne estas tres corrientes de

influencias en un mismo caudal, lo cual hará que potencie y desarrolle su personalidad (afectiva, social y

cognitiva) en forma más equilibrada e integral con el mundo que lo rodea.

Por ello, se pretende que el conocimiento que los alumnos construyan en las aulas esté formado

bajo la reflexión y fórmulas de trabajo colaborativo, así como que tenga miras hacia el surgimiento de

64

un pensamiento racional y científico (Cebrián de la Serna, 1999). Esto parte del conocimiento previo,

que abarca al que trae el alumno al aula producto de sus experiencias previas, donde residen muchos

conocimientos que obtuvieron a través de medios de comunicación y otros recursos tecnológicos. El

conocimiento previo es uno de los principios del aprendizaje constructivista; entre sus características

podemos señalar:

– Implicación directa del alumnado en el aprendizaje y en la enseñanza al estar en contacto con

situaciones del mundo real y cercano donde utilizan recursos tecnológicos.

– Surgimiento de nuevas temáticas en la investigación que despiertan el interés y la motivación

del alumnado.

– Desarrollo de procesos y capacidades mentales de niveles superiores en proyectos

informáticos.

Dichos rasgos implican la concepción de las TIC no sólo como medios, sino como elementos

motivadores, creadores, que facilitan los procesos cognitivos de manera integrada con los demás

elementos del currículo.

Por otro lado, es relevante el contenido matemático que desarrollará el docente al ocupar las TIC.

Esto concierne a qué se debe abordar desde el punto de vista de los contenidos para que haya una

comprensión del conocimiento matemático, mientras el docente usa las tecnologías de información y

comunicación en sus prácticas pedagógicas.

Al respecto, Gallardo y González (2006) expresan que la comprensión del conocimiento

matemático es un objeto de investigación que tiene un interés creciente en matemática educativa. No

obstante, su elevada complejidad hace que los avances más recientes aún resulten insuficientes, lo cual

implica la necesidad de ir adoptando enfoques más operativos y que se preocupen menos por el estudio

directo de sus aspectos internos.

65

Esto conduce a los docentes que incorporan las TIC a determinar y clasificar el tipo de

situaciones que propicien el aprendizaje y la comprensión del conocimiento matemático. Por tanto, la

valoración precisa de un análisis situacional que inicia con una búsqueda de aquellas situaciones donde

tiene sentido el uso del conocimiento matemático considerado, para lo cual se aconseja que se lleve a

cabo una labor de categorización y selección de situaciones que organice, simplifique y haga más

manejable el conjunto asociado.

Con base en argumentos de esta índole, algunos autores como Rojano (2006), opinan que para la

enseñanza de la matemática se necesita de modelos específicos con tecnología, bajo los siguientes

principios:

– Didáctico, mediante el cual se diseñan actividades para el aula siguiendo un tratamiento

fenomenológico de los conceptos que se enseñan.

– De especialización, por el que se seleccionan herramientas y piezas de software de contenido.

Los criterios de selección se derivan de la didáctica de la matemática.

– Cognitivo, por cuyo conducto se seleccionan herramientas que permiten la manipulación

directa de objetos matemáticos y de modelos de fenómenos mediante representaciones ejecutables.

Empírico, bajo el cual se seleccionan herramientas que han sido probadas en algún sistema educativo.

– Pedagógico, por cuyo intermedio se diseñan las actividades de uso de las TIC para que

promuevan el aprendizaje colaborativo y la interacción entre los alumnos, así como entre profesores y

alumnos.

– De equidad, con el que se seleccionan herramientas que permiten a los alumnos de secundaria

el acceso temprano a ideas importantes en ciencias y matemáticas.

66

Entre el conjunto de la toma de decisiones para el diseño de los modelos, una de las más

complejas reside en la selección de herramientas, ya que sus principios permiten formular criterios para

elegir qué instrumentos deberían:

– Estar relacionados con un área específica de la matemática escolar.

– Contar con representaciones ejecutables de objetos, conceptos y fenómenos de la matemática.

– Permitir un tratamiento fenomenológico de los conceptos matemáticos y científicos.

– Ser útiles para abordar situaciones que no pueden abordarse con los medios tradicionales de

enseñanza.

– Poder utilizarse con base en el diseño de actividades que promuevan un acercamiento social del

aprendizaje.

– Permitir que se promuevan prácticas en el aula donde el profesor guía el intercambio de ideas y

las discusiones grupales, a la vez que actúa como mediador entre el estudiante y la herramienta.

El hecho de conocer e identificar el conjunto de entornos tecnológicos de aprendizaje que

cumplan con tales criterios hace posible el diseño de los modelos pedagógicos, de los tratamientos

didácticos pertinentes en los temas de enseñanza, al igual que del aula, con la tecnología apropiada. Los

diseños necesariamente se encuentran ligados al conocimiento didáctico, que el profesor pone en juego

cuando realiza el análisis didáctico (Gómez y Rico, 2006). Asimismo, dicho saber tiene unos

conocimientos disciplinares de referencia que se estructuran en tres ejes: noción de currículo,

fundamentos de las matemáticas escolares y organizadores del currículo.

Si se toman en cuenta la descripción técnica de estos conocimientos de referencia, la

planificación y estructuración del uso de las TIC y la forma como se espera que entren en juego al hacer

el análisis didáctico, se podrá identificar y fundamentar los contenidos y objetivos de la asignatura. Por

otra parte, la reflexión de cómo el profesor construye el conocimiento didáctico en la práctica y la

67

postura sociocultural con respecto al aprendizaje de los futuros profesores permiten sentar las bases en

las que se diseñan los esquemas metodológicos y de evaluación (Gómez y Rico, 2006).

Cabe señalar el papel preponderante que asume la interacción social a través del lenguaje y la

comunicación entre docentes y alumnos, donde se puede evidenciar el aprendizaje colaborativo y

cooperativo como una de las características que distingue al constructivismo.

Un ejemplo que ilustra el empleo de las TIC con un enfoque constructivista en la enseñanza de la

matemática es el Aprendizaje por Proyectos (ApP), al que se conocía hace algunos años

como aprendizaje por problemas. El cambio se debió a que el aprendizaje por problemas tenía un

enfoque específico (abordaba un solo problema a la vez), mientras que el Aprendizaje por Proyectos

soluciona diversos y numerosos problemas.

El ApP tiene como rasgo fundamental que cada proyecto no se enfoca a aprender acerca de algo,

sino en hacer algo; es decir, involucra una acción.

Según Moursund (1999), el Aprendizaje por Proyectos tiene como objetivos:

Desarrollar competencia. Para los estudiantes, el objetivo del proyecto es aumentar su

conocimiento y habilidad en una disciplina o en un área de contenido interdisciplinario. Con frecuencia,

cuando el alumno realiza un proyecto alcanza un nivel de habilidad elevado en el área específica que

está estudiando y hasta puede convertirse en la persona que más sabe sobre un tema específico. Algunas

veces, su nivel de conocimiento puede exceder al del profesor.

Mejorar las habilidades de investigación. El proyecto requiere de aptitudes para investigar y

ayuda a que se desarrollen.

Incrementar las capacidades mentales de orden superior. Capacidad de análisis y síntesis.

Esto se logra cuando el proyecto es retador y va enfocado a que los estudiantes desarrollen tales

habilidades.

68

Aprender a usar las TIC. Los alumnos incrementan el conocimiento y habilidad que tienen en

las TIC a medida que trabajan en el proyecto. Un proyecto puede diseñarse con el objetivo específico de

alentar en los estudiantes la adquisición de nuevas habilidades y conocimientos en las tecnologías.

Aprender a autoevaluarse y evaluar a los demás. Los estudiantes aumentan su habilidad de

autoevaluación, con lo que se responsabilizan de su trabajo y desempeño. También aprenden a evaluar el

trabajo y desempeño de sus compañeros y a darles retroalimentación.

Desarrollar un portafolio. Requiere que los estudiantes hagan un proyecto, una presentación o

una función de alta calidad que forme parte del grado escolar que cursen.

Comprometerse en un proyecto. Los alumnos se comprometen activa y adecuadamente a realizar

el trabajo del proyecto, de ahí que se encuentren motivados de manera interna: tal es una meta del

proceso. El profesor puede efectuar observaciones diarias que permitan establecer si el estudiante tiene

un compromiso con la tarea o si muestra una colaboración ejemplar.

Ser parte de una comunidad académica. Todos los estudiantes, profesores o grupo social se

convierten en una comunidad académica donde se trabaja de manera cooperativa y se aprende uno de

otro. Esta comunidad se expande para incluir a padres, alumnos de otras aulas y otras personas.

Trabajar en ideas que son importantes. El proyecto debe enfocarse a temas que tengan

continuidad y sean relevantes para el profesor, el colegio y demás miembros de la comunidad. Por

ejemplo, el trabajo interdisciplinario tiene que perfilarse como una de las metas que conformen los

proyectos.

Dado que el constructivismo se afinca en la creciente comprensión del cerebro humano, pues

atiende a cómo aprende o cómo el aprendizaje amplía el conocimiento previo, los profesores tienden a

convertirse en mediadores. Sin embargo, como señala Moursund (1999), no todos los docentes enseñan

de manera estrictamente didáctica ni constructivista, ya que recurren a los dos enfoques.

69

El Cuadro III presenta las áreas del currículo, la instrucción y la evaluación desde los enfoques

didáctico y constructivista. En las tres se introducen las Tecnologías de Información y Comunicación

como único componente educativo y su implicación en la instrucción didáctica y constructivista.

Desde el punto de vista del estudiante, el ApP promueve su motivación intrínseca; estimula el

aprendizaje colaborativo y cooperativo; permite que le haga mejoras continuas; está diseñado para que el

alumno se comprometa activamente en hacer cosas, en lugar de sólo aprender sobre algo, pues implica

que realice una presentación o actuación; es retador, y va enfocado a las habilidades mentales de orden

superior.

En cuanto a la perspectiva del docente, el ApP posee contenido y objetivos auténticos (del

mundo real); utiliza una evaluación centrada en la valoración del desempeño; es proporcionado por el

profesor; sus metas educativas son explícitas; afianza sus raíces en el constructivismo, y está diseñado

para que el profesor también aprenda.

70

A manera de conclusión

Con base en las ideas de Shulman (1987), Brousseau (1998) e Hinostroza (2000), y tomando en

cuenta la relación que puede existir entre el constructivismo, la práctica pedagógica y la enseñanza de

las matemáticas promovida por los docentes que ocupan las TIC, se establece que:

– Las teorías relacionadas con la innovación en la educación sugieren que las tecnologías actúan

como catalizadoras del proceso de cambio. Tal efecto ayuda a producir una modificación en los métodos

y procedimientos que utiliza un profesor, facilitando la adopción de estrategias pedagógicas diferentes

que, eventualmente, son más efectivas.

– Desde una perspectiva distinta, que alude a las acciones del profesor, es posible argumentar

sobre el potencial de estas tecnologías para actuar como mediadoras en la actividad profesional. Hay

evidencia de su influencia en la forma como las personas estructuran su relación con el mundo que los

rodea y de su consecuencia en la realidad que construyen (Suchman, 1987).

– En cuanto al aprendizaje, las tendencias actuales coinciden en argumentar a favor de enfoques

constructivistas del aprendizaje, donde el alumno realiza actividades y proyectos que le permiten

comprender los procesos y principios subyacentes. Estas tendencias implican que no basta con presentar

un conjunto de contenidos, sino se deben entregar los medios necesarios para desarrollar actividades que

tengan sentido para los alumnos en sus propios contextos y faciliten el desarrollo de habilidades

superiores.

– Es posible afirmar que las Tecnologías de Información y Comunicación han cambiado el

paradigma de los diseños para paquetes informáticos. Actualmente, como resultado de la integración de

las comunicaciones con los multimedios, la computadora puede ser conceptualizada como vía de acceso

a un espacio social distinto, lo cual permite concebir a un producto de software no como un interlocutor,

sino como un instrumento de acción en un espacio en el que ocurren conversaciones con objetos reales o

71

virtuales. Esto abre la posibilidad, como plantea Hinostroza (2000), de redefinir el rol de la tecnología,

pues se transforma en un soporte al proceso de enseñanza que sirve para mejorar el aprendizaje.

– Desde la perspectiva de la didáctica de la matemática, como bien señala Brousseau (1998), los

conocimientos pueden aparecer en situaciones originales, pero los saberes culturales están asociados

necesariamente a prácticas sociales que les sirven de referencia. De esta manera, conociendo las

bondades de las TIC en el área del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, aunado a la

concepción del constructivismo como postura epistemológica en la que el alumno es responsable de su

propio aprendizaje, se establece que la práctica pedagógica de los docentes debe ir en consonancia con

los cambios curriculares, donde los roles y funciones de los profesores se ven modificados siguiendo los

cambios sociales.

– El conocimiento didáctico tiene unos conocimientos disciplinares de referencia que se

estructuran en tres ejes: noción de currículo, fundamentos de las matemáticas escolares y organizadores

del currículo. Si se toman en cuenta la descripción técnica de estos conocimientos de referencia, la

planificación y estructuración del uso de las TIC, al igual que la manera como se espera que dinamicen

al realizar el análisis didáctico, esto permitirá identificar y fundamentar los contenidos y objetivos de la

asignatura en este caso particular de la matemática.

Ayudas hipermediales dinámicas:

Las Ayudas Hipermediales Dinámicas (AHD) en los Proyectos de Aula, es una investigación que

tuvo como objetivo caracterizar las prácticas de enseñanza y aprendizaje de los maestros y maestras de

las instituciones educativas beneficiadas por Computadores para Educar 2012-2014 al implementar

proyectos de aula en TIC; una vez que se ha podido identificar que a pesar de que las instituciones

72

educativas reciben dotación de equipos computacionales, las prácticas de los maestros no reflejan

mejoras en los procesos de aula.

Es una investigación cualitativa, de corte interpretativo, donde se trabaja con un diseño de

estudio de caso múltiple, en sedes seleccionadas de los departamentos de Caldas, Quindío, Norte del

Valle y Risaralda.

En la búsqueda de la calidad de formación de los maestros, el Ministerio de Educación Nacional

Colombiano (MEN) y el Ministerio de TIC (MINTIC), han realizado alianzas con diferentes

instituciones tendientes a generar procesos de apropiación de las Tecnologías de la Información y la

Comunicación (TIC) en el sector educativo. Entre estas alianzas se firmó un convenio entre CPE y la

UTP que tiene por objeto formar maestros del país, en los departamentos de Risaralda, Caldas, Quindío

y Norte del Valle de Colombia, tanto de la zona urbana como de la rural, en la incorporación de las TIC

en entornos educativos y para darle un enfoque pedagógico a este proceso, la UTP se fundamenta en el

socioconstructivismo.

El proceso de incorporación de TIC lo ha asumido el grupo de investigación CRIE

(Creando en Redes de Información y Educación) de la Universidad Tecnológica de Pereira (UTP), en el

marco del programa Computadores para Educar (CPE), como una propuesta apoyada en el uso

pedagógico de las Ayudas Hipermediales Dinámicas (AHD), estrategia que integra una variedad de

recursos digitales, con una planeación previa en un instrumento denominado diseño tecnopedagógico

(Coll, Mauri, &Onrubia, 2008b).

Un diseño tecnopedagógico tiene como base fundamental organizar la actividad conjunta que

llevan a cabo los maestros y estudiantes en el proceso de enseñanza y aprendizaje en entornos

educativos con TIC (Onrubia). Los dos componentes que lo conforman son: Diseño Tecnológico: Hace

referencia a aquellos recursos tecnológicos que constituyen el entorno de aprendizaje con TIC,

73

especificando aspectos como: ¿Qué herramienta o actividad se va a utilizar? ¿Cuánto tiempo se va a

utilizar? ¿Qué propósito persigue? ¿Qué se espera que hagan los estudiantes? Diseño instruccional:

Incluye una propuesta pedagógica y didáctica que explícita las competencias, saberes, secuencia de

actividades de enseñanza y aprendizaje, evaluación, recursos, tiempo y roles de los actores implicados

en la actividad conjunta. Pregunta de investigación: ¿Qué caracteriza las prácticas de enseñanza y

aprendizaje de los maestros y maestras de las instituciones educativas beneficiadas por Computadores

para Educar 2012-2014 al implementar proyectos de aula en TIC? Una AHD es concebida como “un

producto multimedia provisto de: un sistema de hipertextualidad, un conjunto de estrategias

comunicativas, un contenido específico, un sistema de evaluación y de un soporte específico para su

manejo y uso en procesos de enseñanza y aprendizaje, desde un enfoque socioconstructivista” (Rojas,

Sánchez, Amador & Duque, 2013, p.44).

Fundamento pedagógico de una Ayuda Hipermedial Dinámica (AHD): El grupo CRIE se

referencia en el GRINTIE (Grupo de Investigación en Interacción e Influencia Educativa) de la

universidad de Barcelona España, liderado por el Doctor César Coll (http://www. psyed.edu.es/grintie/).

Sus aportes a la incorporación de TIC son compartidos por el CRIE, por tanto tienen propósitos

investigativos similares en relación al uso de las TIC con fines educativos. Uno de los retos para el

grupo de investigación CRIE fue elaborar una propuesta que permitiera aprovechar los recursos

computacionales existentes tanto en las Instituciones Educativas Colombianas, como los recursos

digitales disponibles en la web; para ello la AHD se convierte en una herramienta que contribuye a la

resignificación de las relaciones entre los elementos del triángulo didáctico (maestro, estudiante y saber)

a partir de un enfoque socioconstructivista (Coll., Onrubia., & Mauri. 2008c), con el cual se espera que

el desfase entre lo que se dice frente al uso educativo de las TIC en el aula de clase y, lo que realmente

se hace, sea cada vez menor (Coll, Mauri, & Onrubia, 2008a).

74

En un enfoque socioconstructivista el maestro propicia el diálogo y la participación del

estudiante con sus compañeros (Díaz., Hernández., & Rigo., 2009), principios que rigen las acciones del

maestro con las AHD, quien velará por identificar los momentos en que la Ayuda Hipermedial Dinámica

se constituya en andamiaje, o ayuda necesaria para que la construcción del conocimiento se genere

mediante actos conscientes y activos, promoviendo una cultura participativa, donde los estudiantes

identifiquen que las condiciones de la actividad conjunta, contribuyen a su formación y lo proveen de

elementos para resolver problemas de su entorno (Araujo & Sastre, 2008).

Desde un enfoque socioconstructivista, una AHD contempla “lo que hacen y dicen” maestros y

estudiantes en el proceso educativo, razón por la cual, si el maestro “hace o dice algo”, es necesario

tener presente “qué hace” el estudiante con eso que “dijo o hizo” el maestro, y a la inversa; porque

hablar de ayuda ajustada, es reconocer que ésta, efectivamente, generará un conocimiento nuevo en la

medida que el estudiante demande y el maestro comparta.

En la interactividad está el cambio en los procesos de aula: La noción de interactividad permite

considerar los tres vértices del triángulo interactivo desde la concepción constructivista del aprendizaje

escolar y de la enseñanza en el aula: El maestro, el estudiante y el saber que es objeto de enseñanza y

aprendizaje. Estos planteamientos están soportados teóricamente por los integrantes del GRINTIE,

quienes han propuesto seis dimensiones que caracterizan la interactividad (Onrubia, 1992):

1. La articulación e interrelación de las actuaciones del maestro y de los estudiantes en una

situación concreta de enseñanza y aprendizaje.

2. La actividad conjunta, demanda que desde un principio se dejen claras las reglas de

participación de cada uno en función de los contenidos y las tareas, las cuales deberán ser explicitadas

en el diseño tecnopedagógico (DTP).

75

3. La concepción de interactividad implica entenderla como un proceso que evoluciona y cambia

con el tiempo.

4. El estudiante construye sus propios significados a partir de las estrategias facilitadas por el

maestro, las cuales deberán ser de tal manera que permitan el paso de funciones interpsicológicas a

funciones intrapsicológicas.

5. El estudiante tiene un bagaje cultural; por esta razón en el momento de planear la actividad

conjunta, se deben contemplar estrategias que posibiliten que tanto estudiante como maestro construyan

conocimiento en la medida en que interactúan y avanzan a lo largo del proceso de enseñanza y

aprendizaje.

6. La interactividad se regula de acuerdo con un conjunto de normas y reglas que determinan en

cada momento, quién puede decir algo, cuándo, cómo, sobre qué y respecto a quién (pp. 149-159). Así

conceptualizada, la interactividad se plasma en las formas de organización de la actividad conjunta entre

maestro y estudiantes, es decir, en formas concretas donde los participantes articulan y organizan, de

forma regular y reconocible, sus actuaciones en torno a una tarea o a un contenido de aprendizaje.

Cada forma de organización de la actividad conjunta responde a una determinada estructura de

participación y el conjunto de formas de organización de la actividad conjunta construidas en el

transcurso de la secuencia didáctica, configura la estructura de la interactividad (Coll & otros, 2008b).

Aprendizaje basado en proyectos: cuando el estudiante se enfrenta a un problema o tarea que

constituye un desafío, utiliza el propio conocimiento, las habilidades y la experiencia adquirida en

situaciones anteriores. Ya que este modelo plantea el trabajo en equipos, entre todos suman estas

variables, logrando un enfoque sistémico del problema.

¿Qué mejor manera de trabajar por competencias que plantearle al estudiante retos nuevos, pero

solucionables con los conocimientos adquiridos o por construir? (Gutiérrez & Zapata, 2009) Un

76

elemento importante en los proyectos de aula, es que son actividades que forman parte de la vida de la

escuela y se implementan con la voluntad de garantizar aprendizajes, (Coll, 2009. Martín, 2006). En este

proceso el maestro actúa como facilitador, ofreciendo a los estudiantes recursos y asesoría a medida que

realizan sus investigaciones. El maestro no constituye la fuente principal de acceso a la información

(Stone, 1999).

La enseñanza y la facilitación están orientadas por un amplio rango de objetivos explícitos de

aprendizaje, algunos de los cuales pueden enfocarse de manera muy precisa en el contenido específico

del tema. Otros probablemente tendrán una base más amplia, ya sea interdisciplinaria o independiente,

de las otras disciplinas (Martin, 2006). Los alumnos pueden alcanzar metas adicionales (no previstas) a

medida que exploran temas complejos desde diversas perspectivas incluyendo el desarrollo de

competencias conceptuales, procedimentales y actitudinales.

Diseño pedagógico.

El diseño tecnopedagógico (DTP) surge de la necesidad de optimizar los procesos de enseñanza-

aprendizaje para garantizar su éxito. Es por eso que, necesariamente, tiene que integrar en su

intervención los diferentes aspectos que convergen en la programación de intenciones pedagógicas y en

la generación de los recursos materiales. Por lo tanto, el DTP acontece un concepto en el que confluyen

aspectos como la psicología, las teorías del aprendizaje, el diseño o las tecnologías de la información y

la comunicación.

Para nuestro trabajo de investigación se hizo pertinente, diseñar un modelo tecnopedagogico, a la

luz del modelo pedagógico socioconstructivista, mediado por teorías de aprendizaje como: la teoría del

aprendizaje autónomo, la teoría del aprendizaje basado en problemas y el aprendizaje colaborativo

Tabla 1. Modelo pedagógico socioconstructivista- Modelo pedagógico

Elaboración propia.

77

MODELO PEDAGOGICO SOCIOCONSTRUCTIVISTA

TEORIAS DEL

APRENDIZAJE

Toma en

cuenta el

nivel de

desarrollo

de los

alumnos.

Fomenta un

rol activo

del alumno

en su

aprendizaje.

Enfatiza la

importancia de

la interacción

(con padres,

profesores y

otros

alumnos).

Hacer énfasis en la

reestructuración y

reorganización del

conocimiento.

APRENDIZAJE

AUTONOMO

Se aprende a

trabajar

colaborativam

ente,

adquiriendo

conocimiento

s más

relevantes y

profundos

5

Dirigi

mos nuestro

propio

aprendizaje

5

La

forma de

aprendizaje es

más activa y

dinámica.

5

Autod

ependiente y

creativo

5

78

APRENDIZAJE

ABP

Respo

nde a una

metodología

centrada en el

alumno y en

su aprendizaje

5

Los alumnos

trabajan en

pequeños

grupos

5

Esta

metodología

favorece la

posibilidad de

interrelaciona

r distintas

materias o

disciplinas

académicas.

5

El ABP puede

utilizarse

como una

estrategia más

dentro del

proceso de

enseñanza y

aprendizaje,

aunque

también es

posible

5

79

aplicarlo en

una

asignatura

durante todo

el curso

académico

APRENDIZAJE

COLABORATIVO

Se basa en la

experiencia

directa y la

interacción.

Se establece

una

interdependen

cia que no

debe ser

competitiva.

5

Los alumnos

trabajan en

conjunto

dentro y fuera

del aula, y el

método puede

variar en

cuanto a su

organización

desde poco

estructurado

por el

docente, hasta

muy

5

80

estructurado,

en lo que se

conoce como

aprendizaje

cooperativo.

Los

miembros del

grupo se

necesitan los

unos a los

otros y deben

considerar

aspectos

como el

establecimien

to de metas,

tareas,

recursos,

roles,

etcétera.

5

Todos los

integrantes

del grupo son

responsables

de hacer su

parte del

trabajo, pero,

además,

deben

5

81

dominar el

todo.

Anexo F. Aplicación de las matemáticas en el análisis de los fenómenos físicos.

En este caso se reconoce una estructura formal y se construye la posibilidad de

formalizar el fenómeno en términos de la estructura en cuestión. Cuando la estructura

utilizada es categorizada como una estructura matemática, tal actividad se suele denotar con el

nombre de matematización del fenómeno, y consiste en una primera instancia en utilizar y

adaptar la estructura preestablecida, para la comprensión y organización de nuevos eventos,

generando con ello con nuevos sentidos.

Este segundo tipo de formalización corresponde a procesos cognitivos en los que se

reconoce que formalizar no se limita a sobreponer una estructura formal o una estructura

matemática a un fenómeno para analizarlo y comprenderlo, sino que se requiere ante todo

construir la posibilidad misma de formalizarlo y matematizarlo, es decir, de construir las

magnitudes, relaciones, etc. con la que damos cuenta del fenómeno. Así por ejemplo, la

geometrización del movimiento de caída llevada a cabo por Galileo involucra los siguientes

aspectos (Véase Malagón, F., 1988):

Reconocer la importancia del movimiento de caída: Para Galileo todo movimiento

natural es debido a la gravedad y el movimiento natural de caída es la fuente de las acciones;

la acción, a su vez, es el ímpetus o tendencia que se manifiesta cuando se impide total o

parcialmente que el cuerpo o parte del sistema caiga. La gravedad, al igual que el

movimiento, es para este pensador una cualidad primaria de todos los cuerpos existentes;

considera que ésta es la tendencia o propensión de todo cuerpo a acercarse a un centro, que se

revela, primero, en un incremento de la velocidad del cuerpo cuando esto ocurre; segundo, en

82

un rechazo u oposición a alejarse del centro, implicando en este caso una disminución de su

velocidad; y tercero, en una indiferencia al movimiento o persistencia del mismo cuando no se

acerca o se aleja del centro en cuestión .

Demostrar y convencer a quienes le escuchan, que los principios que formula son

verdaderos y se cumplen en el mundo físico real. Es decir, ha tenido que demostrar que ese

movimiento es el movimiento de caída de cualquier cuerpo, sin importar cuál sea su peso,

material, forma, etc. Como es obvio, en la naturaleza sucede casi todo lo contrario; se ve

entonces que no hay en la experiencia algo que nos garantice que todos los cuerpos caigan de

la misma forma. Por esta razón, Galileo se ve obligado a demostrar que no hay ninguna

relación directa entre la diversidad de velocidades de caída y el peso de los cuerpos. Debe

precisar cuál es la verdadera relación entre el cuerpo y el medio y la velocidad del cuerpo que

cae en ese medio; cosa que realiza a través de consideraciones sobre la influencia del peso en

la caída, sobre la relación entre la densidad del cuerpo que cae y la densidad del medio y

sobre la fricción entre el cuerpo y el medio.

Una vez generada la posibilidad de hacer de la cinemática una manera válida de

abordar el movimiento de caída, es decir hacer una ciencia geométrica del movimiento, se

requiere determinar la forma única en la cual caen los cuerpos en el vacío (vacío hipotético,

ya que en tal época no era posible producirlo experimentalmente). Al respecto es importante

tener en cuenta que Galileo sabía que los cuerpos caen de la misma forma, que su movimiento

es acelerado y que los espacios que atraviesan son proporcionales al cuadrado del tiempo (lo

que llamaba los accidentes del movimiento de caída); pero estima que es necesario conocer la

esencia del movimiento de caída, es decir, es necesario encontrar un principio fundamental a

partir del cual todos estos accidentes se puedan deducir. Llamo - dice Galileo en los

83

Discursos- movimiento igualmente acelerado, o lo que es lo mismo uniformemente acelerado,

a aquel que partiendo del reposo adquiere en tiempos iguales incrementos iguales de

velocidad. Es precisamente esta proporcionalidad entre la velocidad adquirida y el tiempo

transcurrido, lo que Galileo considera como el principio que regula el movimiento natural de

caída.

Derivar las principales características del movimiento natural de caída a partir de este

principio. Para ello, Galileo representa mediante segmentos magnitudes no geométricas como

lo son la velocidad instantánea y el tiempo, y opera sobre ellos haciendo uso de la teoría de las

proporciones.

Vemos, pues como Galileo transforma el estudio del movimiento en la certeza y

claridad de la geometría a partir de axiomas y definiciones, enunciando teoremas y

demostrándolos, y haciendo uso de todas las herramientas que le daba la geometría y su

operatoria; de esta manera sus leyes se enuncian de modo geométrico, o en otras palabras, la

racionalización del movimiento se hace formalmente análoga a un sistema geométrico. A este

respecto resulta pertinente retomar las siguientes consideraciones de A. Mockus:

En el "visualizar" cartesiano, aquello de lo que hablamos es necesariamente

extensionalizado, transformado en magnitudes (hoy preferimos decir "variables ") cuyas

relaciones pueden ser representadas gráficamente y expresadas sintéticamente mediante

signos algebraicos. Al acudir a este tipo de "visualización" podemos pretender que seguimos

hablando de lo que veníamos hablando y al mismo tiempo aspirar a hablar con la certeza

propia de lo cuantitativo y de lo sometible al cálculo. Representar es pues matematizar, lo que

significa –según la afortunada expresión de Heidegger– traer al terreno de lo siempre ya

conocido; es llevar de un juego de lenguaje en algún sentido incierto a otro que –al costo de

84

delimitaciones y regulaciones explícitas– ha ganado certeza y universalidad (Mockus,A.,

1988: 120) .

Matematizacion del movimiento

Kartz, (1987), señala que las funciones trigonométricas pudieron ser evitadas porque

no se veía un uso razonable de ellas. En tal perspectiva, la aparición y uso de nuevas

cantidades trigonométricas, fue lo que les quito su carácter y condiciones geométricas,

pasaron de ser líneas en un círculo, a considerarse cantidades que describían fenómenos,

especialmente oscilatorios.

Es así como la función trigonométrica, adquiere un valor adicional, desde la

perspectiva y el enfoque del movimiento como fenómeno oscilatorio, proyectando este saber

matematico a contextos de enseñanza real para el estudiante, permitiendo el nuevo enfoque de

matematización del movimiento ondulatorio, situación que desde las prácticas de enseñanza

de este saber matematico, difícilmente es abordado por el docente en el aula, lo que lleva a

que el estudiante le encuentre poca significación al momento de aprehender este saber

matematico.

Marco teórico específico.

Sistemas de medidas de ángulos.

Para medir ángulos se pueden usar distintos sistemas de medición ellos son:

• Sistema Sexagesimal.

• Sistema Centesimal.

85

• Sistema Circular.

Sistema sexagesimal: la unidad de medida en este sistema es el grado

sexagesimal (1º), que se obtiene de dividir el ángulo recto en 90 partes iguales.

1º = 1R => 1R = 90º

Los submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto sexagesimal (1') y el segundo

sexagesimal (1'').

1º = 60' ^ 1' = 60'' => 1º = 3600''

Sistema centesimal: la unidad de medida en este sistema es el grado centesimal (1G),

que se obtiene de dividir el ángulo recto en 100 partes iguales.

1G = 1R => 1R = 100G

100

Los submúltiplos del grado centesimal son el minuto centesimal (1M) y el segundo

Centesimal (1S).

1G = 100M ^ 1M = 100S ⇒ 1G = 10000S

Sistema circular: la unidad de medida en este sistema es el radián.

86

Se llama radián al ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual

al radio de la misma.

El valor de un ángulo de un giro es de 2π radianes.

(Recuerden que el número π es la relación que existe entre el perímetro de una

circunferencia y su diámetro. Esta relación se mantiene constante para cualquier

circunferencia).

Equivalencia entre los distintos sistemas.

Para convertir del sistema sexagesimal al centesimal y radial, se utilizan siempre

reglas de tres simple utilizando alguna de las equivalencias del cuadro.

87

Definición de función:

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto

dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que

a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que

forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen

al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el

costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una

encomienda que depende de su peso.

Una función ( f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X

(dominio) exactamente un elemento, llamado f(x) , de un conjunto Y (codominio) .

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es

una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X .

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Generalizando, si se tiene una función f , definida de un conjunto A en un conjunto B,

se anota

f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la

función y B es el codominio o conjunto de llegada.

f(x) denota la imagen de x bajo f , mientras que x es la preimagen de f(x) .

En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1

es la preimagen del número 5.

88

El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores

posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.

Dominio y rango de una función

Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la

función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable

independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x 2 – 5x está definida para todo número real ( x puede

ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números

reales.

En cambio, la función tiene como dominio todos los

valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real

diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los

números reales para los cuales la función tiene sentido.

En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los

números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que

exista la raíz cuadrada.

Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo

siguiente:

Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los

números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

89

Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +...+

a n x n (donde a 0 , a 1 , a 2 ,..., a n son constantes y n un entero no negativo), el dominio está

conformado por el conjunto de todos los números reales.

Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está

conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de

cero.

El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir,

es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente;

estos valores están determinados, además, por el dominio de la función.

Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra,

digamos o o cualquier otra.

Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo

90

Diferencias entre función y relación

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados, o cualquier correspondencia

entre conjuntos y una función es la que da exactamente un valor a la variable dependiente (y)

para cada valor de la variable independiente (x) en el dominio.

Una relación entre 2 conjuntos A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano

AXB, incluso el vacío. Una función de A en B debe cumplir que para todo elemento de A

exista un único elemento de B (que se suele llamar f(a)) relacionado con él. Una forma de

clasificar las relaciones es la siguiente: se dice que R es reflexiva si para todo elemento de A

(a, a) está en la relación. Se dice que es simétrica si cada vez que (a, b) está en la relación, (b,

a) está en la relación, antisimétrica si cada vez que (a, b) y (b, a) están en la relación, a=b y

transitiva si cada vez que (a, b) y (b, c) están en la relación, (a, c) está en la relación.

Tipos de funciones y su clasificación

Todas las funciones se clasifican necesariamente dentro de uno de los dos conjuntos

infinitos de funciones, que son:

• Conjunto de funciones elementales, formadas por los polinomios, el cociente

de polinomios, los radicales, las funciones trigonométricas y sus inversas, las funciones

exponencial y logarítmica, así como todas las funciones formadas a partir de las anteriores

mediante operaciones algebraicas o composición de funciones.

91

• Conjunto de funciones no-elementales, son el resto de funciones, es decir,

cualquier función que no puede ser obtenida mediante un número finito de pasos

combinando funciones elementales es una función no elemental.

Funciones elementales:

Las funciones elementales son funciones recursivamente construibles a partir de

alguna de los siguientes conjuntos:

1. Conjunto de funciones polinómicas

2. Función exponencial

3. Funciones trigonométricas

Mediante alguna de las siguientes operaciones

1. Operaciones de álgebra elemental (suma, resta, multiplicación, división)

entre funciones de los anteriores conjuntos

2. Composición de funciones elementales de los anteriores conjuntos

3. Recíproco de funciones elementales (dada una función elemental su

recíproca también es elemental por definición).

92

Funciones elementales básicas trascendentes

Las funciones elementales básicas trascendentes son un conjunto finito de funciones

que son usadas en todas las áreas de las matemáticas, física e ingeniería. Estas abarcan:

1. Las Funciones

trigonométricas: Seno, coseno, tangente; secante, cosecante, cotangente.

2. Las funciones trigonométricas inversas: seno inverso, coseno

inverso, tangente inversa, cotangente inversa, secante inversa y cosecante inversa.

3. Las Funciones hiperbólicas: seno hiperbólico, coseno

hiperbólico, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica y

cosecante hiperbólica.

4. Las funciones hiperbólicas inversas: seno hiperbólico inverso, coseno

hiperbólico inverso, tangente hiperbólico inverso, cotangente hiperbólico inverso,

secante hiperbólica inversa y cosecante hiperbólica inversa;

5. La Función logarítmica

6. La inversa del logaritmo, que correspondería a la Función exponencial.

De este modo son en total seis tipos distintos de funciones y se dicen elementales

porque siempre posee la función un argumento sobre el cual operar, mientras que las

funciones algebraicas quedan completamente definidas por la variable independiente,

coeficientes y potencias.

La función trigonométrica

Las funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el

valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes

es x.

93

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cosen x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

94

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

95

Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son las funciones

derivadas de las razones trigonométricas de un ángulo. En general, el ángulo sobre el cual se

calculan las razones trigonométricas se expresa en radianes. Esta tabla recoge las principales

características de las distintas funciones trigonométricas:

Esta tabla recoge las principales características de las distintas funciones

trigonométricas:

96

Las funciones inversas de las funciones seno, coseno y tangente son las funciones arco

seno, arco coseno y arco tangente.

Las gráficas de dichas funciones son simétricas respecto a la recta y = x, tal como

sucede con todas las funciones inversas.

• La función inversa de la función seno: solamente se utilizan los valores de los

ángulos entre [–π/2,π/2]. Se designa con el símbolo arc sen.

• La función inversa de la función coseno: solamente se utilizan los valores de los

ángulos entre [0, π]. Dicha función se designa con el símbolo arc cos.

97

• La función inversa de la función tangente se denomina arco tangente: solamente se

utilizan los valores de los ángulos entre (–π/2,π/2). Dicha función se designa con el símbolo

arc tan.

Signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante

De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en

cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y

aplicando la "ley de los signos", las funciones trigonométricas pueden ser positivas o

negativas. En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones

trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.

S

ENO

C

OSENO

TAN

GENTE

COTA

NGENTE

S

ECANT

E

C

OSECA

NTE

I + + + + + +

I

I

+ - - - - +

I

II

- - + + - -

I

V

- + - - + -

98

Valores de las funciones trigonométricas para arcos notables

Las funciones trigonométricas inversas

Ya conocemos las operaciones inversas. Por ejemplo, la suma y la resta son

operaciones inversas, al igual que la multiplicación y división. Cada operación hace

lo opuesto de su inversa.

La idea es la misma en trigonometría. Funciones trigonométricas inversas hacen lo

opuesto de las funciones trigonométricas "normales". Por ejemplo:

En general, si conoces la razón trigonométrica, pero no el ángulo, puedes utilizar la

correspondiente función trigonométrica inversa para determinar el ángulo. Esto se expresa

matemáticamente en los siguientes enunciados:

99

Graficas de las funciones trigonométricas inversas:

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas son todas funciones periódicas . Así las gráficas de

ninguna de ellas pasa la prueba de la línea horizontal y tampoco son 1-a-1 . Esto significa

que ninguna de ellas tiene una inversa a menos que el dominio de cada una esté restringido a

hacer de ella una 1-a-1.

Ya que las gráficas son periódicas, si escogemos un dominio adecuado podemos usar

todos los valores del rango .

100

Si restringimos el dominio de f ( x ) = sin x a hemos hecho la función 1-a-

1. El rango es [–1, 1].

(Aunque hay muchas formas de restringir el dominio para obtener una función 1-a-1

esto es de acuerdo con el intervalo usado.)

Denotamos la función inversa como y = sin –1 x . Se lee y es la inversa del seno de x y

significa que y es el ángulo de número real cuyo valor de seno es x . Pero tenga cuidado con

la notación usada. El superíndice “ –1 ” NO es un exponente. Para evitar esta notación, algunos

libros usan y = arcsin x como notación.

Para graficar la inversa de la función seno, recuerde que la gráfica es una

reflexión sobre la recta y = x de la función seno.

101

Dese cuenta que el dominio es ahora el rango y el rango es ahora el dominio. Ya que

el dominio está restringido a todos los valores positivos nos arrojará un ángulo de

1 er cuadrante y todos los valores negativos nos arrojará un ángulo de 4 to cuadrante.

Similarmente, podemos restringir los dominios de las funciones coseno y

tangente para hacerlas 1-a-1.

102

El dominio de la función coseno inversa es [–1, 1] y el rango es [0, π ]. Esto significa

que un valor positivo nos arrojará un ángulo de 1er cuadrante y un valor negativo nos arrojará

un ángulo de 2 do cuadrante.

103

El dominio de la función tangente inversa es (–∞, ∞) y el rango es . La

inversa de la función tangente arrojará valores en los cuadrantes 1 er y 4 to .

El mismo proceso es usado para encontrar las funciones inversas de las funciones

trigonométricas restantes-cotangente, secante y cosecante.

La función seno

Las características fundamentales de la función seno son las siguientes:

104

1) Su dominio es R y es continua.

2) Su recorrido es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ sen x ≤ 1 .

3) Corta al eje X en los puntos k·π con k∈Z .

Corta al eje Y en el punto (0, 0) .

4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

sen (- x) = - sen (x)

5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = - π/2 +

2·k·π y b = π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .

Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = π/2 +

2·k·π y b = 3π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .

6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π, 1) con k∈Z .

Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (3π/2 + 2·k·π, - 1)

con k∈Z .

7) Es periódica de periodo 2π .

sen (x) = sen (x + 2π)

La función f(x) = sen (k·x) es periódica de periodo p = 2π/k

Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0 < |k| <1 el periodo aumenta.

8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.

105

Transformaciones de la función seno

A partir de la gráfica de la función f(x) = sen x pueden dibujarse las de:

1) f(x) = - sen x

La función resultante es simétrica respecto al eje X.

2) f(x) = |sen x|

La función valor absoluto transforma los resultados negativos en positivos.

3) f(x) = k + sen x

La función resultante es una traslación vertical hacía arriba de dos unidades.

106

4) f(x) = sen (x + k)

La función resultante es una traslación horizontal hacía la izquierda de dos unidades.

5) f(x) = k·sen x

La función resultante multiplica los resultados de la función seno dos unidades.

6) f(x) = sen (k·x)

La función resultante contrae a la función original.

107

Amplitud, periodo y traslación

Amplitud = |2/3| = 2/3

Se distinguen cuatro características que modifican la función seno.

1. Amplitud (A). Es el promedio de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la

función. El número A modifica los valores máximo y mínimo de la función.

La amplitud de y = Sen(x) es 1

108

La amplitud de y = 2Sen(x) es 2

La amplitud de y = 3Sen(x) es 3

La amplitud de y = 4Sen(x) es 4

2. Periodo (T). El coeficiente de x, indica la cantidad de veces que la gráfica de seno

se repite en su periodo normal que es de 360º. Por ejemplo, la función y=sen(2x), al

graficarla, debemos trazar dos ciclos completos de la función seno en 360º o 2pi, por tanto, el

periodo se reduce a la mitad: 180º. En general, el periodo de la función, en grados, se calcula

mediante la expresión:

T = 360º / B

3. Fase (F). El ángulo de fase determina el desplazamiento horizontal de la función

respecto de la función y = Sen(x). El ángulo de fase se calcula mediante la expresión:

F = - C / B

109

El ángulo de fase corresponde al "punto inicial" de la función, el "punto final" se

obtiene sumando el periodo al ángulo de fase. Por ejemplo:

Nota: cuando se habla de "punto inicial" y "punto final" de la función, se refiere a un

ciclo de la función seno, pero no se debe olvidar que la función tiene como dominio los

números reales, así que técnicamente, no habría punto inicial y final, solo se utilizan estas

expresiones para facilitar la ubicación de la gráfica.

4. Desplazamiento vertical (D). Como su nombre lo indica, D determina el

corrimiento de la gráfica de manera vertical, es decir que, traslada el eje de la gráfica hacia

arriba o hacia abajo, por tanto, modifica el rango de la función. Por ejemplo:

110

Aplicaciones de la función seno

A continuación, mencionare algunas de las aplicaciones de la función seno en las

diferentes áreas del saber científico:

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de

navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una

distancia inaccesible, como la distancia entre la tierra y la luna, o una distancia que no podía

ser medida de forma directa.

Otras aplicaciones de las funciones trigonométricas, se pueden encontrar en casi todas

las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o

el flujo de corriente alterna.

Nos centraremos en dos aplicaciones que pueden captar con más facilidad la atención

del alumnado, ya que están inmersas en la cotidiana de la sociedad actual, como son la

corriente electrica y la modulación AM y (que son la base de la radio AM y FM).

La corriente eléctrica

111

El término corriente electrica, se emplea para describir la tasa de flujo de carga que

pasa por alguna región de espacio. La mayor parte de las aplicaciones prácticas de

electricidad, tienen que ver con corrientes electricas. Por ejemplo, la batería de una luz de

destellos, suministra corriente al filamento de la bombilla cuando el interruptor se conecta.

Se denomina corriente alterna a la corriente eléctrica, en la que la magnitud y

dirección varían cíclicamente. La forma de onda de la corriente alterna más comúnmente

utilizada es la de una onda sinusoidal, puesto que se consigue una transmisión mas eficiente

de la energía.

Se utiliza la función seno para modelar la corriente alterna senoidal, ya que presenta

las siguientes ventajas:

• Se opera con facilidad y define con precisión analítica y gráfica la

evolución de la intensidad a lo largo del tiempo.

• Se puede generar con facilidad en magnitudes de valor muy elevado.

• Se modifican con facilidad los valores de tensión e intensidad mediante

transformadores.

• Todas las ondas no senoidales se pueden descomponer en ondas

senoidales de diferentes frecuencias (armónicos).

Modulaciones

Se puede definir la palabra modular como: “variar el valor de la amplitud, frecuencia o

fase de una onda portadora en función de una señal”. En efecto, en nuestro caso, vamos a ver

como se varía el valor de la amplitud de la onda portadora en función de la moduladora, para

la modulación AM, y en el caso de la modulación FM, se variará la frecuencia. Nuestras

ondas portadoras serán ondas sinusoidales.

112

Modulación am

La amplitud modulada (AM), o modulación de amplitud, es un tipo de modulación

lineal que consiste en modificar la amplitud de una señal de alta frecuencia, denominada

portadora, en función de una señal de baja frecuencia, denominada moduladora, la cual es la

señal que contiene la información que se desea transmitir.

La AM, es usada en la radiofonía, en las ondas medias, ondas cortas, e incluso en la

VHF: es utilizada en las comunicaciones radiales entre los aviones y las torres de control de

los aeropuertos.

Definición matemática

La ecuación de la señal modulada en AM, es la siguiente:

y (t) = Ap . [ 1 + m . xn (t)] . cos(wp . t)

Siendo:

y(t) = Señal modulada.

Xn (t) = Señal modulada normalizada.

M = Índice de modulación normalizado

Simplemente, se trata de multiplicar el mensaje a transmitir x(t), por la portadora

cosenoidal y , a su vez, sumarle esa portadora cosenoidal. Como se muestra en la siguiente

ilustración:

La señal moduladora, un coseno de baja frecuencia en el que va la información que

queremos transmitir.

La señal portadora, otro coseno de alta frecuencia que no lleva ninguna información.

La señal modulada, la señal que nos queda tras aplicar la modulación en AM.

113

Modulación en am.

Modulación fm

La frecuencia modulada (FM) o modulación de frecuencia, es una modulación angular

que transmite información a traves de una onda portadora variando su frecuencia.

Es usada comunmente en las radiofrecuencias de muy alta frecuencia por la alta

fidelidad de la radiodifusión de la música y el habla. El sonido de la televisión analógica,

también es difundido por medio de FM. También se utiliza para comunicaciones de voz en la

radio comercial y en las configuraciones de aficionados, además, se utiliza como ayuda en

navegación aérea.

La ilustración, muetra una modulación en FM: la señal a) es la portadora, de mayor

frecuencia ; la señal b), es la señal moduladora, en la que va la información que se desea

transmitir y la señal c), es la señal modulada, podemos observar, como en el caso de la

modulación FM, la amplitud permanece constante cuando hay variaciones de la señal

moduladora, ahora, es la frecuencia la que va a variar.

114

Modulación en fm

La trigonometría en la medicina:

Las aplicaciones en esta rea son herramientas de gran importancia no solo en la

medicina también es de importancia para la astronomía, cartografía, náutica,

telecomunicaciones y también para la representación de fenómenos periódicos como la ondas

mecánicas o electromagnéticas.

Un electrocardiograma (ECG) es un diagnostico en el que se obtiene un registro

gráfico de la actividad eléctrica del corazón en función del tiempo.

en un electrocardiograma se estudian las ondas mecánicas periódicas aparecen funciones

trigonométricas como sen y cos, en este caso el periodo es la longitud de la onda y la amplitud

es la intensidad de la onda

115

• La onda P indica que las aurículas (las dos cavidades superiores del corazón)

son estimuladas en forma electrica para bombear la sangre hacia los ventrículos

• Las ondas Q R S indica que los ventrículos (Las dos cavidades inferiores del

corazón) se están estimulando electricamente para bombear la sangre hacia fuera

• El segmento S T indica la cantidad de tiempo que transcurre desde el final de

una contracción de los ventrículos hasta el comienzo del periodo de reposo

para manipularlas y estudiarlas una buena manera es con series trigonométricas como

la serie de Fourier, estas serias usan como base las funciones seno y coseno

Series de Fourier

Es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a

trozos o por partes. la serie de Fourier constituyen la herramienta matemática básica de

análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición

de dicha función de una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples

116

Estas funciones se pueden graficar ya que la actividad electrica del corazón se capta

por unos discos de metal colocados sobre la piel y de esta forma se hace un grafico

Otro derivado del electrocardiograma es el monitoreo fetal que se efectúa a las

embarazadas para monitoria el ritmo cardíaco del feto, consiste en colocar los electrodos en la

panza de la mujer sujeto con una faja para denunciar los cambios.

La madre tiene un aparato en la mano que debe presionar cuando detecte que él bebe

se esté moviendo dentro de ella, pues el movimiento de del bebe en la panza de la mujer

puede confundir a los médicos.

Las aplicaciones de la función seno: Osciloscopio: la podemos ver en nuestra vida

cotidiana, como por ejemplo, el osciloscopio es un instrumento que permite visualizar

117

fenómenos transitorios, así como formas de ondas en circuitos eléctricos y electrónicos. Con

el osciloscopio se pueden visualizar formas de ondas de señales alternantes, midiendo su

voltaje pico a pico. Los osciloscopios son de los instrumentos más versátiles que existen y los

utilizan desde técnicos de reparación de televisores hasta médicos. Puede medir un gran

número de fenómenos, provisto del transductor adecuado (un elemento que convierte una

magnitud física en señal eléctrica) será capaz de darnos el valor de una presión, ritmo

cardiaco, potencia de sonido, etc.

La corriente alterna:

Se denomina corriente alterna a la corriente eléctrica en la que la magnitud y el sentido

varían cíclicamente. La forma de oscilación de la corriente alterna más comúnmente utilizada

es la de una oscilación senoidal puesto que se consigue una transmisión más eficiente de la

energía. Esla forma en la cual la electricidad llega a los hogares y a las empresas. Las señales

de audio y de radio transmitidas por los cables eléctricos, son también ejemplos de corriente

alterna

La máquina de ultrasonido

La máquina de ultrasonido crea imágenes que permiten examinar varios órganos en el

cuerpo. Esta máquina envía ondas sonoras de alta frecuencia que hacen eco en las estructuras

corporales y un computador recibe dichas ondas reflejadas y las utiliza para crear una imagen.

El ultrasonido en los animales:

Algunos animales como los delfines y los murciélagos lo utilizan de forma

parecida al radar en su orientación. A este fenómeno se lo conoce como ecolocalización. Se

trata de que las ondas emitidas por estos animales son tan altas que “rebotan” fácilmente en

118

todos los objetos alrededor de ellos, esto hace que creen una “imagen” y se orienten en donde

se encuentran.

119

Anexo G. Secuencia didáctica

La siguiente secuencia didáctica, estará dividida en cuatro sesiones, cada sesión estará

estructurada de la siguiente forma:

Tabla 2. Secuencia didáctica.

Elaboración propia.

SESION N°

CLASE

NUCLEO

TEMATICO

DURACION PERIODOS

DE CLASE

Sesión I Clase 1 Repaso funciones Hora y treinta

minutos

2

Sesión II Clase 2 La función seno Hora y treinta

minutos

2

Sesión III Clase 3 Transformaciones de

la función seno

Hora y treinta

minutos

2

Sesión IV Clase 4 Evaluación final Una hora (60

minutos)

1 más 15

minutos

TOTAL 5 horas más 30

minutos

OBSERVACIONES: Es de anotar que los periodos de

clase son de 45 minutos

120

Sesión I

Clase 1

Docente JHONIER DE JESUS MOLINA CASTAÑEDA

Nombre de la

secuencia

ENSEÑANZA DE LA FUNCIÓN SENO

Tiempo Hora y treinta minutos

Problema de

enseñanza

LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO

Maestría Enseñanza de la matemática

IE NUESTRA SEÑORA DE LA PRESENTACION

(LA VIRGINIA)

IES Universidad Tecnológica de Pereira

Fecha de elaboración 28/03/18 9:33 A.M.

Sesión 1, clase 1

121

ORGANIZACIÓN Y PREPARACION DE LOS RECURSOS

N Hora Actividad de aprendizaje Recurso

1

6:30

am-

6:40am

Tiempo destinado a la preparación de

materiales y recursos con los que se van a

trabajar en clase, seguidamente procedo

verificar subida de tacos desde la caja eléctrica

y a instalar el video been.

Pcs,

video been,

Televisor,

Tablero.

INICIO DE LA CLASE: 10min

No Hora Actividad de aprendizaje Recurso

1

6:30

am-

6:40am

OBJETIVO: COMPRENDER LA FUNCIÓN

SENO DESDE LOS EVENTOS

PERIODICOS DE NUESTRO ENTORNO

FORMA DE EVALUACION: Se tendrá en

cuenta los procesos realizados por el

estudiante en clase, a través, de una lista de

chequeo.

GENERACION DE EXPECTATIVAS: Al

finalizar la clase, el estudiante estará en

condiciones de comprender el concepto de

función, las clases y modelar situaciones de la

vida cotidiana.

N Hora Actividad de aprendizaje Recurso

6:40-

7:30

SECCION 1 REPASO FUNCIONES

122

CONOCIMIENTOS PREVIOS DE LOS

ESTUDIANTES:

• Se orienta a los estudiantes, para

que formen equipos de cuatro integrantes, para

que dialoguen y expresen sus conocimientos

previos sobre lo que es una función y su

utilización en la vida cotidiana. Cada equipo

nombra un escritor y un relator, el relator

expresara la sumatoria de ideas condensadas en el

encuentro propiciado a la luz del tema funciones.

Cada estudiante, tendrá la posibilidad de

intervenir en el conversatorio.

• Posteriormente, haciendo uso de la

AHD, seguiremos la ruta propuesta y

observaremos un archivo el cual nos cuenta que

es una función y sus características más

importantes.

• Luego para reforzar las ideas

principales, observaremos un video, (sugerido en

la AHD), sobre los conceptos básicos más

relevantes en una función.

• Se abre de nuevo espacio para

confrontar los conocimientos previos con el

concepto matematico de lo que es una función

• Siguiendo la AHD, nos dirigimos a

observar video sobre DOMINIO Y RANGO DE

UNA FUNCIÓN

• Se realiza intervención del docente,

aclarando algunas situaciones.

Pcs,

video been,

123

• Posteriormente con la ruta de la

AHD, se procede a observar video sobre

utilización de las funciones en la vida cotidiana.

• Seguido a esta actividad, los

estudiantes con la misma dinámica de trabajo en

equipo, pensara y describirá algunas situaciones

de la vida cotidiana donde se pueda utilizar el

concepto de función y la modelara en un lenguaje

algebraico.

• Se proponen ejercicios para

resolver, haciendo uso de la AHD.

• Se realizará un conversatorio y se

sacaran conclusiones.

FINAL

N Hora Actividad de aprendizaje Recurso

8:10-

8:30

TAREAS:

-Modele tres situaciones de la vida cotidiana, que se puedan

realizar con funciones

-¿Qué situaciones pueden representarse a través de una

función?

• ¿Qué aprendimos hoy?

124

SESION II

CLASE 2

Sesión 2, clase II

ORGANIZACIÓN Y PREPARACION DE LOS RECURSOS

N Hora Actividad de aprendizaje Recurso

1

6:30

am-

6:40am

Tiempo destinado a la preparación de materiales y

recursos con los que se van a trabajar en clase,

seguidamente procedo verificar subida de tacos

desde la caja eléctrica y a instalar el video been

Pcs,

video

been,

Televisor,

Tablero.

INICIO DE LA CLASE: 10min

N Hora Actividad de aprendizaje Recurso

1

6:30

am-

6:40a

m

OBJETIVO: COMPRENDER LA FUNCIÓN SENO

DESDE LOS EVENTOS PERIODICOS DE NUESTRO

ENTORNO

FORMA DE EVALUACION: Se tendrá en cuenta los

procesos realizados por el estudiante en clase, a través, de

una lista de chequeo.

GENERACION DE EXPECTATIVAS: Al finalizar la

clase, el estudiante estará en condiciones de comprender las

características generales de la función seno y su utilidad en

la vida cotidiana.

125

N Hora Actividad de aprendizaje Recurso

6:40-

7:30

SECCION 2 FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN SENO

CONOCIMIENTOS PREVIOS DE

LOS ESTUDIANTES:

• Se propone al

estudiantado, reunirse con los mismos

equipos de trabajo y la misma dinámica,

antes de empezar, haciendo uso de la

AHD, se realiza un repaso sobre

ANGULOS Y SISTEMAS DE

MEDIDAS DE ANGULOS, por tanto,

se propone observar el documento y el

video adjunto.

• Con los equipos

conformados, el estudiante observa el

video sobre FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS, y resuelven las

siguientes preguntas, pero antes se

indaga sobre conocimientos previos,

alrededor de las siguientes preguntas:

• ¿Qué es una función

senosoidal?

¿Cuáles son sus características?

¿Cuál es su representacion grafica?

¿Se puede representar gráficamente

una función?

Pcs,

video

been,

126

¿Qué situaciones de la vida

cotidiana se podrían representar a través de

una función seno?

• Seguidamente, observan el

video que propone la AHD.

• Se realiza un

conversatorio y se confrontan

conocimientos previos con el disciplinar

matematico.

• Se invita al estudiante,

para que observe siguiendo la ruta de la

AHD, para que observe las

características, dominio y rango de la

función, las aplicaciones, la gráfica de la

función seno y la de su inversa.

• Se abre espacio para

socialización del trabajo realizado.

Seguidamente, se le propone a los

equipos de trabajo, piensen en

situaciones de la vida cotidiana que se

puedan representar con la función seno.

FINAL

N Hora Actividad de aprendizaje Recurso

8:10-

8:30

TAREAS:

• El estudiante, de forma

individual debe resolver las siguientes

preguntas:

127

¿Qué elementos o categorías

significativos encontramos hasta ahora?

¿trigonométricamente, que es la función

seno?

¿Qué situaciones de la vida cotidiana se

pueden representar con la función?

¿Como podrías modelar una situación

para que se represente a través de la función

seno?

¿Según el video observado que

condiciones deben existir para representar la

función seno?

Modele tres situaciones de la vida

cotidiana, que se puedan realizar con la función

seno

¿Qué aprendimos hoy?

Clase 3

ORGANIZACIÓN Y PREPARACION DE LOS RECURSOS

N Hora Actividad de aprendizaje Recurso

1

6:30

am-

6:40am

Tiempo destinado a la preparación de

materiales y recursos con los que se van a

trabajar en clase, seguidamente procedo verificar

subida de tacos desde la caja eléctrica y a instalar

el video been

Pcs,

video been,

Televisor,

Tablero.

128

INICIO DE LA CLASE: 10min

N Hora Actividad de aprendizaje Recurso

1

6:30

am-

6:40am

• OBJETIVO:

COMPRENDER LA FUNCIÓN SENO

DESDE LOS EVENTOS PERIODICOS

DE NUESTRO ENTORNO

• FORMA DE

EVALUACION: Se tendrá en cuenta los

procesos realizados por el estudiante en

clase, a través, de una lista de chequeo.

• GENERACION DE

EXPECTATIVAS: Al finalizar la clase, el

estudiante estará en condiciones de

comprender el concepto de función, las

clases y modelar situaciones de la vida

cotidiana.

N Hora Actividad de aprendizaje Recurso

6:40-

7:30

SECCION 3

TRANSFORMACIONES Y

TRASLACIONES DE LA

FUNCIÓN SENO

• En los mismos equipos

de trabajo, y con la misma

dinámica, se indagará sobre sobre

las transformaciones de la función

seno, con las siguientes preguntas:

Pcs,

video

been,

129

CONOCIMIENTOS PREVIOS DE

LOS ESTUDIANTES:

¿A que llamamos

transformación de una función, en

este caso la función seno?

cuáles pueden ser las

aplicaciones de las transformaciones

de la función seno en la vida

cotidiana.

• Siguiendo la ruta de la

AHD, observaremos el siguiente

video sobre TRANSFORMACIONES

DE LA FUNCIÓN SENO.

• Seguidamente se abre

un espacio de discusión para

contrastar los conocimientos previos

con el matematico.

• Posteriormente,

siguiendo la AHD, se hará un

recorrido conceptual sobre los

siguientes núcleos:

AMPLITUD, PERIODO,

FRECUENCIA , TRASLACIONES

EN X y Y DE LA FUNCIÓN SENO,

y APLICACIONES

• Luego se invita a los

estudiantes, para que realicen

algunos ejercicios propuestos.

130

• Seguidamente, se le

propone a los estudiantes que piensen

en una situación problema de su vida

cotidiana o fenómeno fisiológico

dentro de su cuerpo, que se pueda

representar con la función seno y sus

características ¿Según el video

observado cuales pueden ser las

aplicaciones de las transformaciones

de la función seno?

• Se abre espacio de

debate, donde el estudiante relator

de cada grupo socializa las ideas

generadas por el grupo.

Conclusiones

Clase 4

FINAL

Hora Actividad de aprendizaje Recurso

6:40-

8:30

SECCION 4 EVALUACION

Evaluación final

lápiz,

fotocopias

Fuente: producción propia

131

Anexo H. ANALISIS E INTERPRETACION

Creación y planeación de la AHD

Planeación de la AHD

Tabla 3. Análisis e interpretación

N Análisis Interpretación

I1 Se realizó una inducción

sobre el manejo de la aplicación

Cmaptools, como herramienta

digital, que permite crear mapas

conceptuales con enlaces e

hipervínculos, orientando una ruta

de aprendizaje, basada

fundamentalmente, en el uso de

una Ayuda Hipermedial Dinámica

(AHD)., para la enseñanza de la

función seno.

Lo que significa, que el docente

eligió el recurso digital Cmaptools, como

estrategia para alcanzar la meta planeada,

(Enseñanza de la función seno), como lo

afirma Martínez (2003), quien plantea

que: “El acceso práctico: Se relaciona con

la disponibilidad del tiempo necesario

para el empleo de las tecnologías, al igual

que con preparar el proceso de su uso

como soporte para la enseñanza y como

medio para el aprendizaje.

I2 La AHD, se planifica y

estructura, teniendo en cuenta que

haya la debida conexión y

coherencia entre cada uno de los

contenidos a desarrollar en torno al

desarrollo del núcleo temático la

función seno, es por ello que el

nivel I de la misma, inicia con un

repaso sobre funciones, dominio,

codominio y rango de una función,

variables dependientes e

Esto significa que el docente, tiene

en cuenta en la planificación de la AHD,

los criterios de conexión de contenidos y

de saberes necesarios que debe tener el

estudiante. Esta dimensión del

conocimiento se refiere a la coherencia de

la planificación o de la enseñanza a lo

largo de un curso, lección o serie de

lecciones. La concepción de esta

coherencia incluye también la

secuenciación de material para la

132

independientes dentro de una

función, su forma algebraica, en la

perspectiva de suplir las demandad

cognitivas del estudiante, partiendo

del resultado de la prueba

diagnóstica.

enseñanza y conciencia de las demandas

cognitivas pertinentes de los diferentes

temas y tareas. Como lo asegura Rowland

2008

I3 Se realizó un esquema

previo de la posible AHD, con los

posibles hipervínculos y enlaces en

torno al núcleo temático en

cuestión la función seno, de

acuerdo a las condiciones del

diagnóstico de saberes previos

realizado a los estudiantes.

Lo que significa que el docente

estructuró un esquema previo para

planificar el contenido de lo que se

pretende enseñar, (la función seno), en la

perspectiva de conseguir el objetivo,

como lo dice El acceso

operativo: Referido a los conocimientos

que van a permitir el manejo de la

herramienta tecnológica.

Significa también, que el docente,

haciendo uso del acceso criterial, cuando

asegura que la utilización de las

tecnologías precisa de una actitud previa

crítica con la propia tecnología y que

facilita la toma de decisiones sobre su

utilización. La posibilidad de responder a

la pregunta de por qué esta tecnología

aquí y ahora es una cuestión fundamental.

Además, significa que el docente

hace uso del acceso relacional científico

tecnológico: Vinculado con los requisitos

previos que necesitan tener del proceso de

enseñanza de la función trigonométrica

133

seno, en que se pretende incidir con el uso

de las tecnologías.

I4 Se aplicó el diagnóstico de

saberes previos sobre funciones, en

el cual, se indago por el concepto

de función, dominio y rango de

una función, su representación

algebraica, representaciones a

través de diagramas de VENN,

representación en el plano

cartesiano, tipos de funciones y su

aplicación , modelación y solución

de situaciones problema del

entorno, donde se encontró que los

estudiantes en un 100 % no

resuelven problemas haciendo uso

del análisis funcional.

Para a partir de estos,

diseñar la guía de aprendizaje y las

actividades que permitan alcanzar

los objetivos de aprendizaje

propuestos. Se logró aplicar al

100% de los estudiantes los cuales

presentaron una actitud positiva

frente al mismo.

Lo que significa que esta actividad

se desarrolló basada en uno de los

principios básicos del diseño de

ambientes de aprendizaje, el cual hace

referencia a las habilidades, actitudes y

conocimientos que aportan los

estudiantes, así como en la perspectiva de

ambiente centrada desde quien aprende,

como lo afirman (Boettcher, 2007);

(Bransford et al., 2007).

Esto significa que los estudiantes

requieren de apoyo o complemetación en

la solución de situaciones problema, con

funciones de forma individual, además, el

docente, “puede utilizar valores que

permiten al alumno comprender y

resolver la situación con sus

conocimientos previos, y luego hacerle

afrontar la construcción de un

conocimiento nuevo, como lo asegura

(Brousseau, 1995; (Grennon y Brooks,

1999).

I5 En la prueba diagnóstica

(pregunta 1 y 2), se indaga sobre

sistemas de medidas de ángulos

(conversión del sistema

sexagesimal al de pi radianes y

Esto significa, el docente,

planifica y visualiza cuales deben ser los

conocimientos previos que el estudiante

debe tener para abordar el núcleo

temático “funciones trigonométricas,

134

viceversa, como también sobre

ubicación en el plano cartesiano),

como conocimientos que el

estudiante debe tener para abordar

todo lo referido a funciones, en

específico la parte geométrica de la

graficación de funciones, donde se

encontró que el 55% de los

estudiantes, saben expresar valores

en los dos sistemas y realizar su

respectiva conversión.

además, el docente creó el test con el fin

de hacer el proceso diagnóstico,

esperando identificar la ZDR (Zona de

Desarrollo Real), es decir, teniendo en

cuenta lo que los alumnos saben

previamente y necesitan para aprender los

nuevos conocimiento acerca de la función

trigonométrica seno, lo cual ayudará a

encaminar de mejor manera el curso

académico, como lo recomienda Coll y

Moreno (2008) , (Amador Montaño,

Rojas Garcia, & Sanchèz Bedoya, 2015).

I6 En la prueba diagnóstica,

(pregunta 3), se indaga sobre el

reconocimiento sobre la

interpretación geométrica de

diferentes gráficas y su relación

con la representación de una

función, donde se encuentra que

el 90% de los estudiantes no

reconocen una función, dada su

representación gráfica.

Esto significa, que el docente,

estructura dentro de su planeación, en la

AHD, la secuencia necesaria para la

aprehensión de este núcleo temático,

como lo es funciones, evidenciando, qué

enseñar y cómo, como lo sugiere Shulman

en el TPACK (1986).

Además, planifica las categorías

propuestas por Sierpinska, (1992) al

momento de abordar este núcleo temático

“enseñanza de la función seno”.

I7 En la prueba diagnóstica,

(preguntas 4,5,6,7,8,9), se indaga

sobre transformaciones y

traslaciones de la función seno,

(amplitud, frecuencia, periodo,

traslación en el eje y),

encontrándose, que el 100% de los

Esto significa, que los estudiantes,

requieren de apoyo y complementación en

lo relacionado con la comprensión de las

transformaciones y traslaciones de la

función seno. La función del maestro está

relacionada con el brindar soporte

adecuado a los estudiantes durante el

135

estudiantes no reconocen las

diferentes transformaciones y

traslaciones de la función seno.

proceso didáctico y cuando en el mismo,

el maestro debe ajustar la dirección y

planeación para garantizar resultados

satisfactorios y el cumplimiento de las

metas de aprendizaje para todos los

estudiantes. (Amador Montaño, Rojas

Garcia, & Sanchèz Bedoya, 2015).

I8 En la prueba diagnóstica,

(pregunta 10), se indaga, sobre

representación de situaciones

cotidianas o fenómenos físicos que

se puedan representar con la

función seno, Los resultados

arrojan que el 100% de los

estudiantes no reconocen la

función seno, como herramienta

del análisis funcional, para

representar situaciones cotidianas

cíclicas, ni tampoco fenómenos

físicos periódicos.

Esto significa, que los estudiantes,

requieren de apoyo y complementación en

lo referido a entender su entorno, su

contexto desde la matematizacion del

movimiento, (específicamente, como

representar situaciones cotidianas o

fenómenos físicos a través de la función

trigonométrica seno), esto, de forma

individual, en tal sentido, el TPACK,

refiere que la planificación docente

siempre debe ser: situada, adaptada al

contexto, basada en actividades.

I9 La planeación de la AHD,

está orientada y tiene como

directriz principal en cada una de

sus niveles, que los estudiantes

comprendan y apliquen los

conocimientos adquiridos en la

representación y aplicación de la

función seno en situaciones

periódicas cotidianas, como en

fenómenos físicos, buscando una

Esto significa que el docente,

involucra dentro de la planificación de su

clase, (evidenciado en la creación de la

AHD, como en la secuencia didáctica),

las categorías de la base del conocimiento

como lo son

-Conocimiento del contenido;

-Conocimiento didáctico general,

teniendo en cuenta especialmente

136

coherencia vertical y horizontal en

cada uno de sus componentes, en

la perspectiva de suplir las

necesidades cognitivas del

estudiante.

aquellos principios y estrategias

generales de manejo y organización de

la clase que trascienden el ámbito

de la asignatura;

-Conocimiento del currículo, con

un especial dominio de los materiales y

los programas que sirven como

“herramientas para el oficio” del docente;

-Conocimiento didáctico del

contenido: esa especial amalgama entre

materia y pedagogía que constituye una

esfera exclusiva de los maestros, su

propia forma especial de comprensión

profesional;

-Conocimiento de los alumnos y

de sus características;

-Conocimiento de los contextos

educativos, que abarcan desde el

funcionamiento del grupo o de la clase, la

gestión y financiación de los

distritos escolares, hasta el

carácter de las comunidades y culturas; y

-Conocimiento de los objetivos,

las finalidades y los valores educativos, y

de sus fundamentos filosóficos e

históricos.

Como lo asegura Shulman 2005

137

Creación DE LA AHD

No Análisis Interpretación

I10 Aprendizaje del manejo de

la herramienta CmapTools para crear

la AHD, como aplicación que

permite crear mapas conceptuales,

que permiten insertar hipervínculos,

exportar, importar documentos

digitales en audio, video y escritos.

Esto significa que el docente

debió enfrentar su conocimiento

tecnológico a nuevas experiencias, para

operar tecnologías (aplicaciones),

como en este caso la herramienta

cmaptools, la cual es una herramienta

de distribución gratuita, que permite

crear mapas conceptuales e involucrar

el ella, hipervínculos y documentos de

audio y video, como escritos, los

cuales se pueden cargar en la web,

exportar, importar, de forma digital al

momento de diseñar y crear la AHD,

con el objeto de dinamizar

didácticamente, la enseñanza de la

función seno, como lo asegura (Misrha,

2009)...TPACK.

I11 Se diseña un concepto

llamado PRESENTACION, (AHD),

la cual permite al estudiante,

orientarse en la ruta de aprendizaje

del núcleo temático LA FUNCIÓN

SENO, ésta, además, describe como

está estructurada dicha ruta,

describiendo paso a paso cada una

de las estaciones de trabajo y sus

respectivas actividades.

Esto significa, que el docente

tuvo en cuenta su conocimiento

tecnológico, pedagógico y didáctico

del contenido, para elaborar la AHD,

en la perspectiva de lograr el objetivo.

(enseñanza de la función seno), Como

lo dice el modelo TPACK.

Además, establece unos

acuerdos didácticos con los

estudiantes, como lo asegura

138

También, un concepto,

llamado CONTENIDO, que le

permite al estudiante, visualizar a

manera de índice, todos los temas

que conforman esta ayuda como la

estructura conceptual de la AHD.

Además, un concepto

llamado ROLES Y TRABAJO EN

EQUIPO, que especifica los roles de

trabajo por equipo e individualmente

Adicionalmente, un concepto

llamado INSTRUCCIONES Y

CRITERIOS DE TRABAJO, donde

se acuerdan las normas de trabajo y

criterios, establecidos al momento de

empezar a desarrollar la clase.

Brousseau, en su teoría de las

situaciones didácticas.

I12 En el nivel I de la AHD,

(REPASO DE FUNCIONES), se

Incorporaron de 3 videos, uno

dirigido a que el estudiante apropie

el concepto de lo que es dominio y

rango de una función, su

representacion algebráica y dos

documentos en línea, que reafirman

el concepto de función, como

elementos que dinamizaron el repaso

sobre funciones, en la perspectiva de

conseguir el objetivo y reafirmar o

retomar conceptos fundamentales

Esto significa que el docente

tuvo en cuenta las representaciones del

conocimiento en la enseñanza de y

apropiación del análisis funcional, (el

concepto de función, desde la

representación de diagramas de Ven, su

representación algebraica, la

representación en el plano cartesiano y

la aplicación del concepto en

situaciones del entorno, para su

posterior modelación matemática,

como los asegura Shulman P101 P1

;(Brouseau), cuando habla de las

variables didácticas.

139

para la apropiación del núcleo

temático objeto de la AHD.

I13 En el mismo nivel I, de la

AHD, se propone un concepto,

llamado MODELACION DE

SITUACION, donde se haga uso de

funciones, en el cual, al hacer clic, se

abre un link en word, que permite

que el estudiante registre allí una

situación con las características

mencionadas. Tal situación, servirá

como elemento de evaluación al

docente.

Lo que significa que, el profesor

construyó y seleccionó diversos

mediadores digitales, con la AHD, para

propiciar la enseñanza de la función

seno, guiar a los alumnos en su proceso

de comprensión de los contenidos, así

como también apoyarlos en el

desarrollo de sus competencias; tal

como lo describe Coll y Moreno (2008)

I14 En este nivel I, de la AHD, se

propone un concepto llamado

EVALUACION, en el cual, al hacer

clic, se despliega un formato de

evaluación sobre conceptos básicos

de funciones, esta evaluación la

desarrollan en equipo, en esta, se

propone al estudiante, dadas

situaciones sobre funciones en forma

de enunciado, que las lleve a su

representacion general o algebraica,

como también, se le da su

representacion algebráica, para que

realice tabla de valores (tabular) y

llegue con esta, a su representacion

grafica en el plano cartesiano.

Esto significa que el docente,

planificó la actividad, atendiendo las

directrices del aprendizaje colaborativo,

para la enseñanza de la función seno, Y

llevando como ruta orientadora

principal la AHD, como lo asegura

Mercer (2001), cada vez que

dialogamos con una o más personas

participamos en un proceso de

colaboración en el que se negocian

significados y se movilizan

conocimientos comunes. citado por

(Fernández & Trigueros, 2016).

140

I15 En el nivel 2 de la AHD, en

el cual se propicia un ambiente de

aprendizaje para los estudiantes,

cuyo tema principal es las funciones

trigonométricas.

Este nivel inicia, mostrando

un concepto que posee un enlace de

video y un documento, que lleva al

estudiante a realizar un repaso sobre

sistemas de medidas de ángulos,

seguidamente ubica al estudiante en

un concepto llamado funciones

trigonométricas, en donde al hacer

clik, recrea al estudiante en la parte

de la construcción de las funciones

trigonométricas, desde el circulo

trigonométrico.

Posteriormente, siguiendo la

ruta de la AHD, se propone un

concepto llamado función

trigonométrica seno, la cual le

muestra al estudiante, todas las

características y particularidades de

la función seno específicamente la

función seno, siguiendo la AHD,

encontramos otros conceptos que

nos refieren a la inversa de la

función seno y su gráfica, para luego

ya terminar realizando algunos

ejercicios relacionados con la

Esto significa, que el docente

reconoce en el estudiante sus fortalezas

cognitivas y de aprendizaje,

relacionadas con es te núcleo temático

como lo es la función seno,

desarrolladas en este nivel de la AHD,

como lo asegura Shulman .

141

función y su correspondiente

evaluación. Estos, corresponden a

tareas que interactúan directamente

con el estudiante en archivos de

Word, como talleres de ejercicios

propuestos.

I16 La planificación de este nivel

2 de la AHD, que tiene por título

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS, (FUNCIÓN

SENO), en el cual se asocian

diferentes conceptos como

representacion de la función seno,

grafica, características de la función,

busca brindarle al estudiante, los

elementos necesarios para que supla

sus dificultades en torno a este

núcleo temático.

Esto significa que el docente

planifica la AHD, en la perspectiva de

suplirle las dificultades cognitivas al

estudiante, haciendo uso de estos

recursos digitales, y teniendo presente

el criterio de conexión y coherencia del

que habla Rowland 2008.

I17 En el nivel 3 de la AHD,

(TRANSFORMACIONES DE LA

FUNCIÓN SENO),

específicamente, introducen al

estudiante, en aspectos como

amplitud, fase, periodo, frecuencia,

traslación positiva y negativa en X y

Y, se crean 7 conceptos, y se

involucran 8 videos y un documento

escrito, además, un documento con

enlace en Word, llamado

EVALUACION FINAL, la decisión

Esto significa, que el docente

identifica las formas de aprender y de

interiorizar el conocimiento, como

también las fortalezas cognitivas de los

estudiantes, en torno a este núcleo

temático como lo es transformaciones y

traslaciones de la función seno, como lo

asegura

Shulman 1993, Glatthom

(1990), saber cómo adaptar el material

representado a las características de los

alumnos.

142

de involucrar más videos que

documentos escritos, se toma ya que

el docente identifica mayor

comprension e interaccion, con las

actividades donde se involucran

videos.

143

Diseño de la secuencia didáctica

N Análisis Interpretación

I18 La secuencia

didáctica, en torno a la

función seno, está diseñada y

estructurada, de tal forma que

haya una conexión en partes

concretas del contenido

matematico, de tal forma que

haya también una coherencia

entre cada una de sus

componentes, desde la

planificación de contenidos

de acuerdo a las demandas

cognitivas y necesidades de

los estudiantes.

Esto significa que el docente,

planifica la secuencia didáctica,

teniendo en cuenta las diferentes

conexiones de sus componentes

(funciones, función trigonométrica,

función seno, traslaciones y

transformaciones de la función

seno), en la perspectiva de suplir las

necesidades cognitivas del

estudiante, teniendo en cuenta que

haya la debida coherencia en la

estructuración de cada uno de los

contenidos, como lo asegura Tim

Rowland, (2008), cuando nos habla

de la conexión como una de las

dimensiones de las categorías del

cuarteto del conocimiento.

I19 La secuencia

didáctica, está diseñada para

que se ejecute bajo ambientes

de aprendizaje como el

autónomo, colaborativo y

basado en problemas, todo

esto inmerso dentro del

modelo pedagógico

socioconstructivista, lo

anterior por la gran gama de

Esto significa que el docente,

en su perspectiva de consolidar el

conocimiento desde el núcleo

temático la función seno, en los

estudiantes a través de la AHD Y LA

secuencia didáctica, planifica y

estructura diferentes teorías del

aprendizaje y un modelo pedagógico

socioconstructivista, que le permitan

interactuar con los estudiantes,

144

posibilidades pedagógicas y

didácticas que ofrecen las

teorías anteriores.

conocer sus dificultades cognitivas y

propiciar momentos pedagógicos y

didácticos, que permitan apropiar

desde la enseñanza, el el objeto

matematico en cuestión.

I20 La secuencia

didáctica, en torno a la

enseñanza de la función seno,

se diseña pensada en cuatro

secciones de clase:

LA SECCIÓN 1, que

tiene por nombre REPASO

FUNCIONES, dura

aproximadamente 1 hora 30

min.

LA SECCIÓN 2,

tiene por nombre

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

(FUNCIÓN SENO), un

tiempo de 1 hora y 31

minutos.

LA TERCERA

SECCIÓN, Tiene por

nombre

TRANSFORMACIONES Y

TRASLACIONES DE LA

FUNCIÓN SENO, dura

aproximadamente 1 hora más

26 minutos. La sección 4

Esto significa que el docente

estructura y planifica, la secuencia

didáctica, de acuerdo a sus saberes, a

su fundamento teórico y de

formación académica, a su

experiencia, el conocimiento y la

comprensión de las Matemáticas, el

conocimiento de lo más significativo

de la literatura sobre la enseñanza y

el aprendizaje de las Matemáticas,

junto con las creencias concernientes

a la naturaleza del conocimiento de

las Matemáticas, los objetivos de la

educación matemática y las

condiciones en las que los alumnos

pueden aprender mejor Matemáticas,

específicamente la función

trigonométrica seno (periodo,

frecuencia, amplitud, traslaciones y

transformaciones). Lo anterior de

acuerdo a Tim Rowland, cuando

habla del FUNDAMENTO, como

una de las categorías de las cuatro

dimensiones de la teoría del

145

(evaluación), una duración de

1 hora y 30 minutos. Estos

tiempos, están enmarcados

dentro del horario y clases

establecidas por la

institución.

CUARTETO DEL

CONOCIMIENTO.

I21 El diseño de la

secuencia didáctica, que lleva

por nombre LA FUNCIÓN

SENO, está enmarcado

cronológicamente para

desarrollarse dentro de los

tiempos establecidos por la

institución académica, dentro

de los tiempos

preestablecidos para clase.

Esto significa, que el docente

tiene presente en su planificación de

la AHD y la secuencia didáctica en

torno al núcleo temático la función

seno, la institucionalidad al momento

de desarrollar sus clases como lo

señala Brousseau.

I22 Cada componente o

actividad de la sección 1, 2,

3, y 4, dinamizada por la

AHD está diseñada, de tal

forma que se le da prioridad

al conocimiento previo de los

estudiantes, en torno a l

objeto matemático en

cuestión, como lo es la

función seno, para

posteriormente, realizar una

confrontación de sus saberes

previos con los

Esto significa que el docente

tiene presente y es fundamental para

él, partir de los conocimientos

previos del estudiante, en torno al

núcleo temático funciones,

específicamente la función seno,

como lo asegura Vigotsky , 1978

146

conocimientos disciplinares

adquiridos.

I23 La secuencia

didáctica, en sus cuatro

secciones, es pensada

también para desarrollarse

bajo criterios de trabajo en

equipo, autónomo y bajo un

ambiente de aprendizaje

basado en problemas, estos

permiten interactuar, con sus

pares, de una forma

dinámica, y orientada por una

AHD que permiten

evidenciar situaciones de

forma particular, en la

perspectiva de apuntarle al

objetivo planteado, como lo

es que el estudiante modele y

comprenda situaciones

cotidianas, fenómenos físicos

cíclicos, a través de la

función seno.

Esto significa que el docente

prioriza dentro de su planificación de

clase, como un elemento importante

la construcción de significados y de

sentidos de manera colaborativa.

Ello implica el trabajo en equipo.

Como lo asegura Vigotsky 1978

Amador y García 2015.

En un enfoque

socioconstructivista el maestro

propicia el diálogo y la participación

del estudiante con sus compañeros

(Díaz., Hernández., &Rigo., 2009),

principios que rigen las acciones del

maestro con las AHD., en torno a un

objeto matematico especifico como

lo es la función seno.

I24 La secuencia

didáctica, está diseñada, para

que sea dinamizada por la

utilización de la AHD, vista

esta como elemento

fundamental en el proceso de

aprehensión de los saberes

Esto significa que el docente

confronta sus saberes tecnológicos,

al diseñar, crear, estructurar, y

ejecutar nuevos conocimientos desde

una secuencia didáctica, alrededor de

un núcleo temático como lo es la

enseñanza de la función seno,

147

objeto de la misma

secuencia. ( la función seno)

colocando a prueba el conocimiento

pedagógico y conocimiento didáctico

del contenido alrededor del uso de la

AHD, como lo asegura Shulman

1987.

I25

La secuencia

didáctica, para la enseñanza

de la función seno, también

es diseñada y pensada desde

la posibilidad del uso de

recursos como disponibilidad

de Pcs, (6), conectividad,

(para poder ejecutar la

AHD), extensiones

eléctricas, en lo cual no se

tuvo dificultades, ya que la

institución, cuenta con muy

buenos recursos tecnológicos

para este propósito.

Lo que significa que el

docente aprovecho con su

planificación todos los recursos de la

institución para intersectar el

conocimiento didáctico del

contenido, como el pedagógico y el

tecnológico, en la perspectiva de

dinamizar la enseñanza de la función

seno, a través de una AHD, y una

secuencia didáctica, como lo asegura

el TPACK.

Inicio sección 1: ajustes.

No Análisis Interpretación

I26 La sesión uno se inició

con la conformación de grupos

de cinco estudiantes cada uno,

a cada grupo se le asignó un

Lo que significa que el

docente, desarrollo esta etapa,

teniendo en cuenta las características

del AC, el concepto de

148

portátil, en el cual se

encuentran los materiales de

apoyo para la clase. Además,

se asignaron los roles que cada

integrante desempeñará dentro

del grupo colaborativo, dichos

roles fueron: moderador,

secretario y relator, cada uno

de ellos explicado

debidamente al grupo.

Antes de iniciar la

sección 1, (funciones), Nivel 1

de la AHD, se observó un

video llamado “LAS

FUNCIONES EN LA VIDA

COTIDIANA”), como

estrategia de aprendizaje

autónomo con el objetivo de

motivar el inicio de la clase, la

intencionalidad de este recurso

multimedia es despertar en los

alumnos inquietudes por las

funciones y plantear las

necesidades de entender el

lenguaje algebraico del

análisis funcional, y el uso

para explicar situaciones

cotidianas y fenómenos físicos

tal y como se planeó en la

constructivismo social y dos de los

componentes del AC, como son:

compartir y construir, según

(Calzadilla, 2002); (Serrano & Pons,

2011); (Gómez, & Pérez, 2011).

Además, diseñó la clase,

atendiendo el contexto propio en que

se desenvuelven los estudiantes, tal

como lo expone Marqués (2000)

quien precisa que: “para incorporar

estos recursos didácticos a la práctica

educativa se deben considerar dos

aspectos fundamentales: sus

características y la adecuación al

contexto, donde va a ser utilizado”.

(Vílchez, 2007, )

Lo que significa, también, que

la docente eligió el recurso digital,

orientado en la AHD, y en la

secuencia didáctica, como estrategia

para alcanzar la meta planeada,

ENSEÑANZA DE LA FUNCIÓN

SENO, como lo afirma Jiménez

(2000), quien plantea que: “toda

planificación debe estar en función de

los objetivos a conseguir, y en todos

los casos los objetivos deben ser los

rectores de la acción didáctica”.

(Vilchez, 2007)

149

secuencia didáctica (ver SD,

sección introductoria).

El video relaciona

aspectos de la cotidianidad de

los estudiantes tales como

Internet, Facebook y el uso

masivo de las computadoras

con la necesidad de aprender

sobre funciones. (ver video. 0

AHD. VIDEO

INTRODUCTORIO).

I27 La aplicación de la

sesión uno, se llevó a cabo en

el aula que le corresponde al

grupo 11B, por ser el lugar

idóneo dentro de la institución

para tal fin; allí los grupos se

organizaron formando grupos

de 5 estudiantes. Además, se

permitió que los estudiantes

escogieran los integrantes en

sus grupos.

Lo que significa que se tuvo en

cuenta, en el diseño de la unidad

didáctica, nociones del ambiente de

aprendizaje, tales como: a. El entorno,

que comprende todo lo que abarca el

proceso educativo, además de

elementos de infraestructura y

materiales para la clase, como

aspectos físicos, afectivos y sociales,

de los estudiantes. b. El ambiente, que

es el espacio donde se lleva a cabo la

actividad educativa, con apoyo del

TIC (Computador). Lo anterior

teniendo en cuenta lo afirmado por

(Vité, 2012).

I28 Se hizo el diseño de la

sesión de modo que se

permitiera durante las clases la

Lo que significa que la

actividad de diseñar la sesión, se

desarrolló teniendo en cuenta

150

interacción de los estudiantes,

con el contenido, el

conocimiento y el maestro. El

ambiente creado fue simple, de

acuerdo a las características

del grupo y los recursos con

que cuenta la institución

educativa Nuestra Señora de la

Presentación, procurando

favorecer y equilibrar los

niveles de habilidad entre los

estudiantes y los recursos

puestos a su disposición.

principios básicos del diseño de

ambientes de aprendizaje: ofrecer

diferentes opciones de interacción

para los estudiantes, actividades

grupales, favoreciendo canales de

comunicación, colaboración y

compromiso, como lo describe

(Boettcher, 2007).

I29 Los objetivos

planteados en el nivel I de la

AHD, fueron de tipo

conceptual, procedimental y

actitudinal, se propusieron con

el fin de establecer las metas

de comprensión a lograr y

favorecer la comprensión del

concepto DE FUNCIONES

Lo que significa que los

objetivos, fueron elaborados para que

los estudiantes reconozcan el

propósito de las actividades

propuestas y se apropien de su

significado como lo afirma (Gallardo,

2004). Además, su elaboración tuvo

en cuenta la perspectiva de ambientes

de aprendizaje centrada en el

conocimiento sobre FUNCIONES, y

las metas de comprensión como

componente de la comprensión, según

(Stone, 1999).

I30 La planeación y

construcción de los temas,

objetivos y actividades del

nivel I de la AHD,

Lo que significa que se tuvo en

cuenta cómo se desarrollan el

conocimiento conceptual y

procedimental, en sus niveles

151

principalmente están

relacionados con concepciones

del constructivismo y de

ambientes de aprendizaje o

clima de aula. Teniendo en

cuenta las características de la

institución, y los estudiantes

que participaron del estudio,

con el fin de crear un espacio

que favoreciera la

comprensión del tema de

FUNCIONES

intermental e intrapsicológico, cuando

el sujeto actúa en un entorno

estructurado e interactuando con

otros, y su zona potencial, como lo

afirman (Vigotsky Serrano & Pons,

2011); (Cubero, 2005); (Díaz &

Hernández, 2002).

I31 El papel que jugó el

docente, atendió a aspectos

relacionados con el clima de

aula positivo, que favoreciera

la organización, motivación y

aprendizaje de los estudiantes,

apoyándose en la metodología,

el uso de materiales y la forma

de comunicación con los

estudiantes, permitiendo

interacciones positivas con

ellos, que permitieran la

construcción de sus propios

significados y creencias.

Lo que significa que el docente

planeó y desarrolló su papel dentro

del grupo: siendo responsable de

proporcionar un clima de aula

positivo, organizando el espacio de la

clase, la metodología y el uso de

materiales, estableciendo una

comunicación relacional con los

estudiantes, teniendo en cuenta sus

conocimientos previos para construir

puentes con el nuevo conocimiento.

Basada en las concepciones de

(López, 2015); (Boettcher, 2007);

(Bransford et al., 2007)

152

Desarrollo Sección 1: Ajustes

N Análisis Interpretación

I32 Los estudiantes enuncian

sus saberes previos sobre

funciones, utilizan la AHD para

realizar un repaso sobre

funciones, para así confrontar

mediante un conversatorio , a

través de un trabajo realizado en

equipos los conocimientos

previos y el concepto

matematico. Como se observa

en el video 1 de la sección 1,

entre los minutos 10 y 30. ,

además, siguiendo la AHD,

observan video sugerido por la

AHD, en donde reafirman el

nuevo concepto adquirido, ya

que el objetivo del video es

establecer semejanzas y

diferencias sobre una relación y

una función, como se observa en

la filmación de sección 1 video

1 entre el minuto 29 y el 33.

Esto significa que los

estudiantes accedieron al material

digital que el docente preparó en la

AHD, y la secuencia didáctica,

para que consultaran sobre

funciones, comparando sus saberes

previos y el nuevo conocimiento

adquirido. Como lo asegura

(Rowland,2018).

I33 Los estudiantes elaboran

una idea central sobre el

concepto de función, agregando

otros elementos en su discurso

como dominio, codominio y

rango, dependencia entre

Esto significa que el acceso

al material digital propuesto por la

AHD, les ha permitido crecer

conceptualmente sobre el particular

objeto de estudio (funciones),

dinamizado por el trabajo en

153

variables y dando ejemplos

cotidianos sobre funciones

equipo, (APRENDIZAJE

COLABORATIVO) que realizan,

ya que cada uno elabora su

constructo sobre lo que es una

función (APRENDIZAJE

AUTONOMO), para luego

socializar una sola idea que recoge

el sentir del equipo de trabajo.

Como lo asegura (Fernández &

Trigueros, 2016).

I34 La planeación y

construcción de los temas,

objetivos y actividades de la

sesión, principalmente están

relacionados con concepciones

del constructivismo y de

ambientes de aprendizaje o

clima de aula. Teniendo en

cuenta las características de la

institución, y los estudiantes que

participaron del estudio, con el

fin de crear un espacio que

favoreciera la comprensión del

tema funciones

Lo que significa que se tuvo

en cuenta cómo se desarrollan el

conocimiento conceptual y

procedimental, en sus niveles

intermental e intrapsicológico,

cuando el sujeto actúa en un

entorno estructurado e

interactuando con otros, y su zona

potencial, como lo afirman

(Vigotsky Serrano & Pons, 2011);

I35 El docente realiza

intervención para aclarar las

semejanzas y diferencias que

existen entre una relación y una

función, ya que algunos

Esto significa que el

docente utiliza formas de

representación, en este caso para

una mejor comprension sobre lo

que es una relación y una función,

154

estudiantes presentan

incertidumbre al respecto, como

se observa en el video 2 de la

seccion1, entre el minuto 4 y el

14

como lo expresa Shulman :"formas

de expresar, exponer, escenificar o

representar ideas de otra manera,

de suerte que los que no saben

puedan llegar a saber, los que no

entienden puedan comprender y

discernir, y los inexpertos puedan

convertirse en expertos" (Shulman,

1987), en otras palabras, se trata de

las estrategias de enseñanza a la luz

del tópico específico,

FUNCIONES o bien, la didáctica

del contenido específico. Así pues,

el profesor debe tener un amplio

repertorio de formas o alternativas

de representación, algunas de las

cuales derivan de la investigación,

mientras que otras se originan de la

práctica docente.

I36 Se observa video

propuesto por la AHD, sobre

tipos de funciones, en donde el

docente, realiza intervención y

encuentra fundamental las

diferentes representaciones de

una función: su forma general,

su representación, a través, de

diagramas de Venn y su

representacion geométrica, a

través, del plano cartesiano,

Esto significa que el

docente, hace uso de una de las

dimensiones del cuarteto del

conocimiento, demostrado tanto en

la planificación de lo que se va a

enseñar como en el mismo acto de

enseñar. Las descripciones y los

significados propios del profesor se

transforman y se presentan en

método y manera que los alumnos

sean capaces de aprenderlos. Como

155

como también su aplicación en

situaciones cotidianas del

entorno, esta combinación, la

encuentra fundamental el

docente para la comprension del

tema, ya que estas

representaciones permiten saltar

las barreras presentadas en

cuanto al tema. Como se

observa en el video 3 de la

sección 1, entre el minuto 8 al

15

Shulman indica (1986), la

presentación de ideas a los

alumnos conlleva la representación

de las mismas en forma de

analogías, ilustraciones, ejemplos,

explicaciones y demostraciones. Es

particularmente importante la

elección que hacen los futuros

profesores de los ejemplos

presentados a sus alumnos con el

fin de ayudarlos a la formación de

un concepto, a la adquisición del

lenguaje y para demostrar

procedimientos (Rowland,

Huckstep y Thwaites, 2008).

I37 La forma de representar

el concepto de función, desde

cuatro componentes como son:

a. el concepto teórico, b. su

representacion a través de un

diagrama de Venn, c. su

representacion en el plano

cartesiano, d. su representacion

algebraica, e. su aplicación y

modelación de una situación

cotidiana o fenómeno físico,

permite minimizar las

dificultades de aprendizaje por

parte de los estudiantes.

Esto significa que el

docente apropia dentro de su

discurso las diferentes formas de

representacion, evidenciando el

CDC, en torno a la enseñanza de

funciones, como lo asegura

Shulman 1987.

156

I38 Los estudiantes

resuelven taller de ejercicios,

haciendo uso de la AHD,

PREGUNTA 1, en el cual se le

da la forma algebráica de la

función, para que elabore tabla

de datos y grafique, buscando

reafirmación de los conceptos

vistos y una mejor apropiación

de la parte algebráica y su

representación gráfica.

En la pregunta 2 del

taller de ejercicios sobre

funciones, se le propone al

estudiante, que represente de

forma algebraica una función,

expresada ésta en forma de

enunciado.

En la pregunta 3, se le

propone al estudiante, una

situación problema cotidiana,

para que la exprese a través, de

una función, señalando la

variable dependiente de la

independiente.

La cuarta pregunta, se le

propone al estudiante cuatro

Esto significa que el

docente tiene en cuenta las

categorías planteadas al momento

de la enseñanza de las funciones

planteadas por Sierpinska 1992. ,

como también las diferentes

representaciones del conocimiento,

que debe tener el docente dentro

del CDC, planteado por Shulman y

Sykes, 1986.

157

gráficas, para que determine

cuál de ellas corresponde a una

función.

La pregunta 5, hace

referencia a la solución de una

situación problema, haciendo

uso del concepto de función,

dando su gráfica en el plano

cartesiano para su respectivo

análisis.

I39 La sección se termina,

realizando un conversatorio

sobre las respuestas

desarrolladas por los estudiantes

en el taller propuesto. Según

AHD,

Evidenciándose, algunas

dificultades entre la

representacion algebraica de una

función, es decir su forma

general, su representacion

gráfica en el plano cartesiano, y

la aplicación de esta en su

entorno para resolver o

representar una situación. El

docente, realiza intervención

para aclarar preguntas y dudas

al respecto, como se evidencia

Esto significa que el

docente dinamiza su rol en clase y

el del estudiante, cuando propone

trabajo colaborativo y autónomo,

como también el aprendizaje

basado en problemas, como lo

asegura (Cardozo Cardone, 2010) .

Barrows (1986).

Lo que significa que se

reconoció que los procesos

educativos, desde el

constructivismo, requieren apoyo

mutuo para construir conocimiento

y los procesos de interacción

debían mejorar los resultados que

se iban obteniendo a nivel

formativo y de esa construcción en

los estudiantes, como lo indican

158

en la filmación de la sección 1

video 4 entre el minuto 2 y el 7.

La sección termina,

preguntándosele a cada equipo

de trabajo que fue lo que se

aprendió durante la sección,

como se observa en la sección 1

video 4 de la filmación.

(Serrano & Pons, 2011). Además,

el integrar, como componente del

AC, permitió que los grupos

reflexionaran e hicieran evaluación

diagnóstica continua de las metas

de comprensión, mediante

comentarios de la docente, trabajos

escritos, comentarios de los

estudiantes, análisis y reflexión de

las actividades realizadas, revisión

de la integración de lo aprendido

con lo conocido, como lo afirman

(Bransford et. al., 2007); (Stone,

1999); (Collazos & Mendoza,

2006); (Gómez & Pérez, 2011)

I40 Si bien los estudiantes

debieron trabajar en equipo y

tuvieron el apoyo del docente

durante la sesión para atender

inquietudes y cuestiones, cada

estudiante de forma individual

fue responsable de su propio

desempeño de comprensión,

para así poder contribuir a su

equipo, mediante su interés por

el tema, su curiosidad por

investigarlo y descubrir cosas

nuevas, poner al servicio del

grupo su capacidad para

Lo que significa que

además del trabajo colaborativo se

requirió para alcanzar los objetivos

propuestos, del compromiso

individual, como aspecto que

favorecía que cada grupo

desarrollara las competencias y

habilidades esperadas, de modo

que cada integrante del grupo fue

responsable de su propio

desempeño de comprensión y a

partir de éste, contribuyó a la

construcción del conocimiento

grupal, como lo afirman (Gros,

159

interpretar la información, el

uso de sus propias

2008); (Bransford et al., 2007);

(Stone, 1999)

I41 se utilizaron las tic a

través de videos explicativos, la

guía digital de aprendizaje,

páginas web, archivos de word,

como medio para obtener la

comprensión del concepto de

funciones, como alternativa al

método tradicional de la

explicación por parte del

docente en el tablero y

posteriormente la práctica por

parte de los estudiantes; se

esperó que con el uso del

ordenador, los estudiantes

pudieran acceder a información,

aplicaciones, ejemplos y

actividades de refuerzo, de

modo que pudieran seleccionar

y apropiar los conocimientos

que requerían de una forma

principalmente autónoma y

consciente

Esto significa que el

docente hizo una propuesta de

enseñanza, buscando superar

dificultades de aprendizaje de los

estudiantes, aprovechando al apoyo

que brindan actualmente las TIC

con recursos de videos explicativos

sobre funciones, la guía digital de

aprendizaje, páginas web, archivos

de Word, como lo afirma (Litwin,

1994). Además, se consideró el

ordenador, para aprender de él y

con él, como lo indica (Quintana,

citado en Capllonch, 2005) y la

integración que tuvo de los

recursos semióticos

convencionales (letras, texto,

ecuaciones, gráficos, etc.) sumado

a la ampliación de los límites de

presentar, compartir, transmitir

grandes cantidades de información

con menor tiempo y espacio, lo que

favorecía la autonomía y

experimentación del estudiante, al

permitirle explorar, profundizar,

juzgar los contenidos, como lo

indican (Coll & Monereo, 2008);

160

(Coll, Mauri, & Onrubia, 2008);

(Gros, 2008).

INICIO ANALISIS

SECCION 2

FUNCIÓN

TRIGONOMÉTRICA SENO

I42 En la segunda sesión se

formaron los mismos grupos,

conservando los roles dentro de

cada uno, como se hizo en la

sesión anterior. Se indicaron los

contenidos de la sesión:

funciones trigonométricas,

función seno, características de

la función seno, dominio y

rango inversa de la función

seno, sus objetivos y se

recordaron las reglas de clase.

Lo que significa que las

nociones del ambiente de

aprendizaje, tales como: El

entorno, elementos de

infraestructura y materiales para la

clase, se siguieron teniendo en

cuenta el ambiente, como espacio

donde se llevó a cabo la actividad

educativa, con apoyo de TIC, con

recursos como: videos sobre

propiedades de las funciones

trigonométricas, dominio y rango

de la función seno, vínculos de

páginas web). Como lo sugieren

(Vité, 2012); (López, 2015).

I43 Los objetivos planteados

en la sesión dos, respecto al

tema de la función seno, fueron

de tipo conceptual,

procedimental y actitudinal, se

propusieron con el fin de

establecer las metas que se

esperaban alcanzar y favorecer

Lo que significa que los

objetivos permitieron a los

estudiantes conocer el propósito de

la sesión y actividades propuestas,

para que se apropien de su

significado como lo afirma

(Gallardo, 2004). Además, su

elaboración tuvo en cuenta la

perspectiva de ambientes de

161

la comprensión de los conceptos

en los estudiantes.

aprendizaje centrada en el

conocimiento, según (Bransford et

al, 2007) y el componente de la

comprensión denominado, metas

de comprensión, según (Stone,

1999).

I44 El contenido en la sesión

dos, correspondió a las

funciones trigonométricas, en

especial la función seno, y

algunas de sus aplicaciones,

como conocimientos conceptual

y procedimental,

respectivamente. Los anteriores

tópicos generativos, se

consideró que constituyen

conceptos básicos en la

enseñanza de la trigonometría

de grado 10.

Lo que significa que se tuvo

en cuenta uno de los elementos del

constructivismo: el contenido,

como lo es características de la

función seno y su gráfica, como

también su inversa,). Para lo

anterior, se consideró uno de los

principios básicos del diseño de

ambientes de aprendizaje, centrado

el contenido, como foco de la

experiencia de aprendizaje, según

(Boettcher, 2007). Además, uno de

los componentes de la

comprensión, los tópicos

generativos según (Stone, 1999).

DESARROLLO

SECCION 2 FUNCIONES

TRIGONOMETRCAS

(FUNCIÓN SENO)

I45 El trabajo en equipo en

esta segunda sesión, guiada por

la AHD, continuó buscando

alcanzar a través de una

comunicación efectiva entre los

Lo que significa que, en el

desarrollo de la clase, se esperó

observar procesos

Interpsicológicos de los

estudiantes, los cuales representan

162

estudiantes, la apropiación de

habilidades como, escribir,

generar estrategias para resolver

problemas, establecer una

sincronía como actividad

coordinada que permitiera

mantener una meta en común.

Con apoyo, además, de

negociaciones para tomar

decisiones grupales que

intervinieran con la producción

final.

puentes desde el constructivismo,

que favorecían obtener el

conocimiento esperado, con apoyo

de las interacciones sociales,

negociaciones, el lenguaje y la

comunicación, la sincronía entre

los integrantes de cada grupo,

producto de la colaboración, como

lo indican (Cubero, 2005)

I46 Aunque los estudiantes

trabajaron en equipo, guiados

por la AHD, tuvieron el apoyo

del docente durante la clase para

atender inquietudes, cada

estudiante debía ser responsable

de su propio desempeño, para

así poder contribuir a su grupo,

por medio de: su interés por el

tema, su curiosidad por

investigarlo y descubrir cosas

nuevas, poner al servicio del

grupo su capacidad para

interpretar la información, el

uso de sus propias palabras,

descripciones de las situaciones

matemáticas, etc.

Lo que significa que

además del trabajo colaborativo,

con la AHD, para alcanzar los

objetivos propuestos, se requirió

del compromiso individual,

evidenciado en el autoaprendizaje,

como aspecto que favorecía el

desarrollo las competencias y

habilidades esperadas, de modo

que cada integrante del grupo fue

responsable de su propio

desempeño y a partir de este,

contribuyó a la construcción del

conocimiento grupal, como lo

afirman (Gros, 2008); (Bransford

et al., 2007).

163

I47 LA SECCION 2, trató

sobre la función trigonométrica

seno, sus características,

dominio y rango, graficas de la

función seno, aplicaciones y su

inversa dando continuidad a la

guía de la sesión uno, para

completar el estudio de los

objetos matemáticos que son

interés en la presente

investigación.

Lo que significa que el

contenido conceptual en la segunda

sesión se fundamentó en la función

trigonométrica seno, su gráfica, su

dominio y rango, sus aplicaciones,

se tuvo en cuenta las categorías

que propone Sierpinska 1992.

ambas sesiones, se relacionaron y

organizaron las partes que

conformaron los tópicos

generativos de la secuencia

didáctica propuesta: la función

trigonométrica seno, procurando

mantener una secuencia temporal

en el aprendizaje, conceptos

previos, como grado, el concepto

de función, dominio, codominio y

rango de una función, su

representación algebraica y en el

plano cartesiano, como lo propone

Sierpinska 1992.

Esto significa también, que

el docente tuvo en cuenta los

criterios de conexión y coherencia

al planificar los contenidos

digitales de la AHD, buscando

suplir las necesidades cognitivas de

los estudiantes, como lo afirma

Tim Rowland 2008

164

I48 El compromiso

individual fue importante en la

construcción del conocimiento

grupal para alcanzar las metas

de comprensión propuestas en la

AHD, con apoyo del lenguaje

como mediador entre ambos

aspectos; así como el uso de

recursos, para consultar

información necesaria. Se

observó cierta dificultad al

momento de realizar actividades

conjuntas con el aporte de cada

integrante, las negociaciones, de

manera reflexiva y crítica por

todos los integrantes del grupo.

Lo que significa que la

intervención activa de quien

aprende es un elemento esencial

para que se dé el aprendizaje y para

alcanzar las metas de comprensión

grupales mediante el aprendizaje

colaborativo, según (Gros, 2008);

(Gómez & Pérez, 2011); (Stone,

1999). Sin embargo, se observaron

algunas dificultades por parte de

algunos estudiantes, para integrarse

con su grupo y poder aportar sus

saberes, interactuar y compartir

con los demás, a través de

negociaciones dialógicas, contrario

a lo que afirman (Gros, 2008);

(Gómez & Pérez, 2011).

I49 Los estudiantes, reunidos

en los mismos equipos de

trabajo y haciendo uso de la

AHD, realizan trabajo de repaso

sobre ángulos y triángulos, ya

que el docente considera

importante realizar este repaso.

Después de que los estudiantes,

interactuaran en esta parte con

la AHD, haciendo el repaso

sobre sistemas de medidas de

ángulos, leyendo y discutiendo

el documento que propone la

Esto significa que, el

docente estructura su clase

incluyendo planes de contingencia,

previamente pensados, de tal forma

que el desarrollo de su clase no se

altere, ni se interrumpa, en la

eventualidad que se presente

alguna dificultad tecnológica, (el

conocimiento tecnológico del

profesor), como lo plantea

TPACK.

165

AHD, se invita a los estudiantes

a que observen el video adjunto,

después se realiza una

intervención por parte del

docente, tratando de reafirmar

los conceptos vistos.

Al iniciar el trabajo bajo

la guía de la AHD, se presentan

algunas dificultades técnicas

con dos de los seis Pcs, ya que,

iniciando, tenían conectividad, y

después de algunos minutos, se

desconectaron, el docente opta

por trabajar con el televisor

instalado en cada aula y

previamente, llevo un cable

HDMI por si sucedía alguna

eventualidad y conecto la señal

de internet desde su Pc,

superando esta dificultad

técnica. Como se observa en el

video 1 de la sección 2, entre el

minuto 1 4

Lo que significa que, el

profesor construyó y seleccionó

diversos mediadores digitales, para

guiar a los alumnos en su proceso

de comprensión de los contenidos

(sistemas de medidas de ángulos),

así como también apoyarlos en el

desarrollo de sus competencias

(Modelar situaciones periódicas,

cíclicas del mundo que los rodea,

con la función seno), como lo

asegura (Araujo & Sastre, 2008).

Además, el docente prepara

su clase de tal forma, que el

estudiante adquiera una secuencia

de conceptos fundamentales y

básicos para poder estructurar en el

nuevo conocimiento, como se

observa con el repaso realizado

sobre sistemas de medidas de

ángulos, como lo asegura Shulman

1987, El conocimiento didáctico

del contenido es especialmente

interesante porque identifica los

diferentes bagajes de

conocimientos para la enseñanza.

Como señala Shulman (1987):

Representa la mezcla entre

materia y pedagogía por la que se

llega a una comprensión de cómo

166

determinados temas y problemas se

organizan, se representan y se

adaptan a los diversos intereses y

capacidades de los alumnos, y se

exponen para su enseñanza. Como

lo asegura Shulman.

I50 Con los equipos

conformados, los estudiantes

exteriorizan sus conocimientos

y saberes previos, alrededor de

las siguientes preguntas:

¿Qué es una función

senosoidal?

¿Cuáles son sus

características?

¿Cuál es su

representación gráfica?

¿Se puede representar

gráficamente una función?

¿Qué situaciones de la

vida cotidiana se podrían

representar a través de una

función seno?

Seguidamente, observan

el video sobre FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS, que

propone la AHD y se realiza un

conversatorio entre ellos

mismos, que luego a través del

líder socializan para todo el

Esto significa que el

docente planifica la clase, desde

una secuencia didáctica, dando

prioridad a los saberes previos, de

los estudiantes, bajo una

metodología de aprendizaje

colaborativo, autónomo y basado

en problemas, en torno al núcleo

temático la función seno, teniendo

en cuenta su Zona de desarrollo

real, (ZDR), para luego acercarlos

a su zona de desarrollo potencial

(ZDP), bajo la guía de un adulto o

con la colaboración de pares más

capaces. Como lo asegura

Vygotski (1980), citado por

Vallejo, García y Pérez (1999).

167

grupo. Como se observa en el

video 1 de la sección 2, entre el

minuto 20 a 25

I51 Al terminar el

conversatorio, se les indica a los

estudiantes, que continúen

llevando la ruta de la AHD y

que observen el video propuesto

por la misma, el cual tiene por

nombre LA FUNCIÓN SENO,

en el cual se realiza un análisis a

dicha función, realizando un

recorrido por sus características,

desde la gráfica, su dominio,

codominio y rango, su periodo.

(VER VIDEO 3 y documento

propuesto 1 de la AHD. Nivel II

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS), como

se observa en video 1 de la

sección 2, entre el minuto 40 al

45

Esto significa que el

docente, recurre al uso de

mediadores digitales en la

planificación y desarrollo de su

clase, con el objeto de volver

aprehensible un conocimiento LA

FUNCIÓN SENO, por parte del

estudiante, seleccionando los

contenidos digitales para guiar a

los estudiantes como lo describe

Coll y Monereo (2008), citado por

(Acosta Luévano, 2015)

I52 Siguiendo la ruta de la

AHD, el estudiante observa el

video 4 propuesto, llamado

APLICACIONES DE LA

FUNCIÓN SENO, el cual lleva

al estudiante, a recrearse con

situaciones cotidianas de uso de

la función seno desde su

Esto significa que el

docente, diseñó la clase,

atendiendo el contexto propio en

que se desenvuelven los

estudiantes, tal como lo expone

Marqués (2000) quien precisa que:

“para incorporar estos recursos

didácticos a la práctica educativa

168

entorno, como se observa en el

video 1 de la sección 2, entre el

minuto 55 al 62.

se deben considerar dos aspectos

fundamentales: sus características

y la adecuación al contexto donde

va a ser utilizado”. (Vílchez,

2007).

Lo que significa, también,

que el docente eligió el recurso

digital, desde una secuencia

didáctica, como estrategia para

alcanzar la meta planeada,

(ENSEÑANZA DE LA FUNCIÓN

SENO), como lo afirma Jiménez

(2000), quien plantea que: “toda

planificación debe estar en función

de los objetivos a conseguir, y en

todos los casos los objetivos deben

ser los rectores de la acción

didáctica”. (Vilchez, 2007)

I53 Los estudiantes,

siguiendo la ruta de la AHD,

observan video 5 sobre

INVERSA DE LA FUNCIÓN

SENO, en el cual, se parte de

expresiones generales como

senx=1/2, para llegar a

encontrar el valor del ángulo por

medio del arcsen, en esta parte,

se trata de manejar algunos

conceptos algebraicos con el

manejo de ecuaciones.

Esto significa que el

docente busca estructurar en el

estudiante, la secuencialidad de las

categorías que propone Sierpinska,

al momento de enseñar funciones.

la discriminación entre dos

modos de pensamiento

matemático: uno en términos de

cantidades conocidas y

desconocidas y otro en términos de

variables y constantes.

169

I54 Siguiendo la ruta de la

AHD, esta le propone al

estudiante de manera autónoma

y haciendo uso de ABP, que

resuelva las siguientes

preguntas, en el archivo de

Word adjunto que se despliega

en el concepto EVALUACION:

¿Qué elementos o

categorías significativos

encontramos hasta ahora?

¿trigonométricamente,

que es la función seno?

¿Qué situaciones de la

vida cotidiana se pueden

representar con la función seno?

¿Como podrías modelar

una situación para que se

represente a través de la función

seno?

¿Según el video

observado que condiciones

deben existir para representar la

función seno?

Modele tres situaciones

de la vida cotidiana, que se

puedan realizar con la función

seno

¿Que aprendimos hoy?

Lo que significa que la

sesión 2 de la AHD, se diseñó con

la metodología del ABP

(Aprendizaje Basado en

Problemas) (para enseñar la

representacion se situaciones

cotidianas con la función seno y su

respectiva modelación), teniendo

en cuenta que para Lester. 1983

“Un problema es una situación que

un individuo o un grupo quiere o

necesita resolver, para la cual no

dispone de un camino rápido y

directo que le lleve a la solución”.

Referenciado por (Amador y otros,

2014).

Lo que significa también

que, por medio de la problemática

planteada, se pretende enfrentar a

los alumnos a una serie de dilemas

sobre los que los estudiantes no

disponen, de manera previa, de una

abundante información, con lo que

se le incita a la indagación. De esta

manera, se posibilitan

oportunidades para el desarrollo de

habilidades específicas tales como

el análisis, la comprensión y, en su

caso, la resolución del problema.

(Carmen & Elvira, sf).

170

Como se observa en el

video 1 de la sección 3, entre el

minuto 69 al 91

I55 A partir de la resolución

de problemas propuestos en las

actividades, orientadas por la

AHD, se pretendió acortar la

distancia que existe entre la

zona potencial de los estudiantes

y su zona real, es decir, que

lograran pasar de necesitar la

ayuda de otra persona más

capaz para resolver situaciones

problema que involucren

funciones a realizarlos

independientemente, producto

de haber madurado las

competencias que les permitía

hacerlo.

Lo que significa que los

problemas propuestos en las

actividades, que se relacionaron

con problemas que involucran

funciones, buscaron intervenir para

que los estudiantes alcanzaran el

aprendizaje esperado, teniendo en

cuenta las zonas de desarrollo

próximo, potencial y real, descritas

por (Vigotsky, 2009), además

correspondieron al conocimiento

procedimental que era necesario

para favorecer el aprendizaje,

según lo señalado por (Díaz &

Hernández, 2002)

CIERRE SECCION 2

I56 Al cierre de la sección

2, El estudiante, de forma

individual debe resolver las

siguientes preguntas:

¿Qué elementos o

categorías significativos

encontramos hasta ahora?

¿trigonométricamente,

que es la función seno?

Lo que significa que, desde

una perspectiva constructivista, se

intentó revisar y observar la

comprensión generada en los

estudiantes sobre el tópico

generativo de la función seno, sus

características, dominio y rango,

como también aplicaciones en la

vida diaria y cómo ésta cambió

171

¿Qué situaciones de la

vida cotidiana se pueden

representar con la función?

¿Como podrías modelar

una situación para que se

represente a través de la función

seno?

¿Según el video

observado que condiciones

deben existir para representar la

función seno?

Modele tres situaciones

de la vida cotidiana, que se

puedan realizar con la función

seno

¿Qué aprendimos hoy?.

Se recogió esta actividad

para su respectiva revisión y

evaluación de la interiorización

que habían realizado los

estudiantes.

desde la evaluación diagnóstica,

con la participación del proceso

con los otros compañeros del

curso, como lo afirman (Cubero,

2005); (Stone, 1999).

INICIO ANALISIS

SECCION 3

I57 En la tercera sesión se

formaron los mismos grupos,

conservando los roles dentro de

cada uno, como se hizo en la

sesión anterior. Se indicaron los

contenidos de la sesión:

Lo que significa que las

nociones del ambiente de

aprendizaje, tales como: El

entorno, elementos de

infraestructura y materiales para la

clase, se siguieron teniendo en

172

transformaciones de la función

seno, amplitud, fase, frecuencia,

periodo, traslaciones en X y Y

sus objetivos y se recordaron las

reglas de clase

cuenta el ambiente, como espacio

donde se llevó a cabo la actividad

educativa, con apoyo de TIC, con

recursos como: videos sobre

propiedades de las funciones

trigonométricas, dominio y rango

de la función seno, vínculos de

páginas web). Como lo sugieren

(Vité, 2012); (López, 2015).

I58 Al iniciar la sección 3,

con el núcleo temático

TRANSFORMACIONES DE

LA FUNCIÓN SENO, se les

propone a los estudiantes que

con la misma dinámica de

trabajo en equipo (colaborativo

y autónomo), exterioricen sus

saberes previos sobre lo que

entienden por transformaciones

de la función seno, alrededor de

las siguientes preguntas:

¿A que llamamos

transformación de una

función, en este caso la

función seno?

¿Cuáles pueden ser las

aplicaciones de las

transformaciones de la

función seno en la vida

cotidiana?

Esto significa que, para el

docente, es fundamental partir de

los conocimientos previos de los

estudiantes, para así confrontarlos

con conocimientos nuevos como lo

afirma (Cardozo Cardone, 2010).

Lo que significa que, en el

desarrollo de la práctica

pedagógica, guiada por el uso de la

AHD, y la secuencia didáctica, los

alumnos experimentaron algunas

dificultades u obstáculos

cognitivos, comunes en el

aprendizaje DE FUNCIONES,

cuando se avanza a un sistema de

representación más abstracto, en el

cual aumenta tanto el poder del

lenguaje simbólico como el grado

de abstracción. Como lo asegura

Sierpinska (1992), cuando

173

Además, el docente

realiza intervención, generando

a través, de expresión algebraica

en el tablero, de una función

trigonométrica que el estudiante

trate de analizar cuál podría ser

el significado de cada estructura

de la función. Como se observa

en el video 1 de la sección 3,

entre los minutos 1 y 5 ,

seguidamente, la respuesta de

los estudiantes es asumir la

expresión colocada en el tablero

como una ecuación, algunos

dicen formulas, presentándose

algunos obstáculos cognitivos.

La situación anterior, fue

aprovechada por el docente para

hacer reflexionar a los alumnos

sobre las hipótesis realizadas y

generar interacción grupal. El

líder busca explicaciones en

otros grupos, para luego

compartir con su equipo.

categoriza las diferentes

situaciones al momento de enseñar

funciones.

Lo que significa que el

docente actuó como facilitador del

proceso promoviendo

interdependencia positiva en el

grupo para favorecer el aprendizaje

colaborativo. Según Coll bajo

determinadas condiciones, la

interacción entre alumnos puede

ser igualmente origen de ZDP y

puede ofrecer elementos de avance

en su interior. (Onrubia, Coll,

Martín, Mauri, Miras, & Zabala.,

1999).

174

Cierre: Ajustes

No Análisis Interpretación

I59 Al iniciar la sección 3

(TRANSFORMACIONES Y

TRASLACIONES DE LA

FUNCIÓN SENO), sucede algo

inesperado, como lo es que los

seis equipos (PCs), para el trabajo

en equipo que estaban

inicialmente conectados a

internet, 2 de ellos por problemas

técnicos no se pudieron conectar,

en tal sentido, entonces el

docente tomo como plan B, hacer

uso de televisor que tiene cada

aula, para proyectar la AHD, de

tal forman que los estudiantes

que conformaban estos equipos

de trabajo, no se desvincularan

de la actividad y por el contrario,

siguieran siendo parte activa de

dicha dinámica de trabajo, como

se observa en el video 1 de la

sección 3.

En la sección 3 de la SD,

se presentaron dificultades para

acceder a INTERNET, Por lo

anterior el docente utilizando un

televisor y el computador propio,

pudo desarrollar la sección de

clase en el aula. tal como se

observa en el video 2 sección 3

(video clase), lo cual representó

diferencias significativas en

cuanto a la estrategia

metodológica y el desarrollo de la

practica pedagógica termino

cayendo en el conductismo

tradicional.

Lo que significa que la

AHD, sin los ambientes

informáticos y las herramientas

que puedan ayudar a crear y

supervisar las interacciones del

grupo, y que permitan ambiente

colaborativo no ofrece mucha

ventaja en cuanto a aportes

didácticos para el profesor. Como

lo expresa Johnson y Johnson

175

(1999) referenciado por Fuente

especificada no válida..

Esto significa que el

docente, presentó plan de

contingencia al abordar este nivel

III (TRANSFORMACIONES Y

TRASLACIONES DE LA

FUNCIÓN SENO), adaptándose

y superando dicha dificultad, con

otra estrategia de trabajo y

soporte técnico, planeada

inicialmente como plan de

contingencia, como lo asegura

plantea el TPACK, cuando se

refiere al conocimiento

tecnológico del profesor.

I60 Siguiendo la ruta de la

AHD, observaremos el siguiente

video sobre

TRANSFORMACIONES DE LA

FUNCIÓN SENO, interiorizando

y comprendiendo la estructura de

una función de la forma y =

2.Senx, evidenciándolo , cuando

los estudiantes resuelven algunos

ejercicios propuestos en la AHD,

como lo muestra el video 1 de la

sección 3, entre los minutos 8 a

12.Posteriormente, se realiza

Esto significa que el

docente estructura dentro del

manejo del Contenido Didáctico

del Contenido y Conocimiento

Didáctico del Contenido

Especifico, dinamizado por los

recursos didácticos trabajados

(AHD), y la secuencia didáctica,

el andamiaje, o ayuda necesaria

para que la construcción del

conocimiento (transformaciones y

traslaciones de la función seno),

se genere mediante actos

176

intervención del docente, en la

perspectiva de contrastar los

conocimientos y saberes previos

emitidos al inicio de la sección,

con los nuevos conocimientos

adquiridos hasta el momento.

conscientes y activos,

promoviendo una cultura

participativa, donde los

estudiantes identifiquen que las

condiciones de la actividad

conjunta, contribuyen a su

formación y lo proveen de

elementos para resolver

problemas de su entorno (Araujo

& Sastre, 2008).

Además, significa que el

docente utiliza, de acuerdo con

Coll y Moreno (2008). Genera las

estructuras digitales que le

permiten apropiar el nuevo

conocimiento en los estudiantes,

de una forma escalonada,

"Los mediadores son los

diversos recursos, con los cuales

el tutor o facilitador construye un

andamio (andamiaje), en el que se

apoya, en este caso pueden ser

digitales o de otra naturaleza los

cuales son un escalón diseñado

para conducir a los alumnos hacia

la independencia" (Acosta

Luévano, 2015) .

177

I61 Posteriormente, se realiza

un recorrido, haciendo uso de la

AHD, por conceptos como

amplitud, periodo y traslación de

la función seno, en donde se

observan videos que reafirman

los conceptos aprehendidos. Se

realiza intervención del docente,

aclarando algunas dudas desde la

representacion geométrica en el

plano cartesiano de cada función

tomada como ejemplo. Como se

observa en el video 1 de la

sección 3, entre el minuto 15 al

20.

Esto significa que el

docente hace uso conceptual de lo

que Amador y otros 2014, llaman

ANDAMIAJE, donde se refieren

a la función del maestro

relacionada con el brindar soporte

adecuado a los estudiantes

durante el proceso didáctico y

cuando en el mismo, el maestro

debe ajustar la dirección y

planeación para garantizar

resultados satisfactorios y el

cumplimiento de las metas de

aprendizaje para todos los

estudiantes.

I62 La sección termina, según

AHD, solicitándosele al

estudiante, que de forma

individual piense en una situación

cotidiana o fenómeno físico que

se pueda representar con la

función seno, se socializa dicha

actividad, realizando un

conversatorio entre los diferentes

equipos de trabajo. Además, se le

solicita a cada líder que como

equipo construyan la conclusión

de lo aprendido en el día de hoy.

Esto significa, que el

docente está extrayendo a través

de preguntas, está valorando y

revisando la comprensión del

estudiante, con el propósito de

realizar un ajuste para hacer una

adaptación de la evaluación

planeada.

Significa también, que el

docente en su estructura de clase,

y guiado por la AHD, a la luz de

las diferentes teorías de

aprendizaje utilizadas para el

desarrollo de la clase, (autónoma,

178

Como se observa en el video 2 de

la sección 3.

aprendizaje basado en problemas

y colaborativo), tiene en cuenta

el concepto de VALIDACION,

enunciado por Guy Brousseau,

(1994), en la Teoría de las

Situaciones Didácticas, cuando

confronta la respuesta de dos o

más estudiantes, en este caso en

torno a las transformaciones y

traslaciones de la función seno, y

sus aserciones, donde ellos deben

de ponerse de acuerdo en la

veracidad o falsedad de las

mismas.

Esto significa que el

docente secuencia el aprendizaje

de nuevos saberes,

contextualizando al estudiante

con su entorno, como lo asegura

Vigotsky con los Procesos de

Internalización.

Además, diseñando una

estructura (andamiaje), que le

permita al docente soportar

didácticamente los nuevos saberes

objeto del conocimiento en el

estudiante. Como lo asegura

Amador 2015.

I63 SECCION 4, en esta, el

estudiante presenta una

Esto significa que el

docente establece paralelos entre

179

evaluación escrita de todo lo

visto en los tres niveles anteriores

(funciones, función

trigonométrica seno,

transformaciones y traslaciones

de la función seno), como

característica de esta evaluación,

se le propone al estudiante,

resolver la misma evaluación que

presentó como prueba

diagnóstica al inicio de las

actividades de la sección 1, ver

video 1 sección 4, esto se realiza

para realizar comparación de

conocimientos interiorizados y

aprendidos, como también

desarrollo de competencias entre

el momento inicial y el final.

el conocimiento inicial de los

estudiantes, (saberes previos) y el

conocimiento adquirido a través

de la interaccion tenida con la

AHD, en el transcurso de las

diferentes secciones y niveles

propuestos por la misma, en la

perspectiva de llegar al objetivo

inicial propuesto, el cual es

Describir y modelar fenómenos

periódicos del mundo real, usando

relaciones y funciones

trigonométricas, en especial la

función seno.

180

Valoraciones.

N Análisis Interpretación

I64 El uso e interaccion de

los estudiantes y el profesor,

con la AHD, creó expectativa

en las diferentes secciones

(1,2,3), ya que era una

experiencia de aprendizaje

nueva para el docente y los

mismos estudiantes. En el

transcurso de las mismas, los

estudiantes fueron

estructurando sus saberes, con

los nuevos conocimientos

brindados por la AHD, a

través de los diferentes

recursos digitales propuestos

por la misma, en torno al

núcleo temático LA

FUNCIÓN SENO.

Esto significa que el docente,

diseño, creo, planificó sus

actividades en clase alrededor del

núcleo temático la función seno,

guiado por un recurso didáctico

digital, como lo es una AHD, y una

secuencia didáctica, concebida como

“un producto multimedia provisto

de: un sistema de hipertextualidad,

un conjunto de estrategias

comunicativas, un contenido

específico, un sistema de evaluación

y de un soporte específico para uso

en procesos de enseñanza y

aprendizaje, desde un enfoque

socioconstructivista” (Rojas,

Sánchez, Amador & Duque, 2013,

p.44).

I65 Para el docente, el

desarrollo de cada sección,

significa enfrentarse a nuevos

retos, que involucran aspectos

relevantes en lo que tiene que

ver con el conocimiento

didáctico del contenido, el

conocimiento tecnológico, el

conocimiento tecnológico

Esto significa que el docente,

incorporó dentro de su conocimiento

didáctico del contenido, una serie de

componentes nuevos, los cuales le

han permitido crecer en torno al

desarrollo de mejores prácticas

educativas, desde la perspectiva de

la enseñanza de la función seno y

mediado por categorías como CDC,

181

pedagógico y el conocimiento

tecnológico del contenido, en

torno a la enseñanza de la

función seno, además, la

pertinencia de los saberes

aprendidos y la aplicación de

estos en su entorno, para

entender los diferentes

fenómenos, a través de las

matemáticas, específicamente

el comportamiento de los

fenómenos oscilatorios y su

estudio por medio de la

función seno.

CT, CTP Y CTC, como lo afirma la

metodología TPACK.

I66 El aprendizaje

colaborativo, Basado en

problemas y autónomo,

presente en cada sección de

trabajo guiado por la AHD, ha

permitido que los estudiantes,

estructuren nuevas estrategias

de comunicación

interpersonal, respetando la

posición y los conceptos

emitidos por su par, alrededor

del núcleo temático enseñanza

de la función seno, como

también aprender a interactuar

con medios didácticos

tecnológicos diseñados para

Esto significa que el docente

se abre y versatiliza su práctica

docente y pedagógica, como su

didáctica, (uso de la AHD y

secuencia didáctica), abriéndose a

nuevas experiencias que tienen que

ver con su rol, además, de

estructurar en el estudiante procesos

de enseñanza, donde es fundamental

el proceso de validación, visto este

como componente que permite

validar o no un concepto de un par y

llegar a puntos de acuerdo a un tema

académico, en especial matemático

(la función seno), Todo esto

enmarcado dentro de los tipos de

182

fortalecer los procesos de

enseñanza y aprendizaje,

además de Validar (procesos

de Validación) y valorar los

conceptos de su par y

encontrar puntos de encuentro

con respecto a una posición

dada.

situaciones en especial la de

“validación”, como lo afirma Guy

Brouseau, en la teoría de las

situaciones didácticas.

I67 Es importante, resaltar

que durante las diferentes

secciones, ( y haciendo uso de

las diferentes teorías de

aprendizaje, los estudiante

estuvieron expuestos a

situaciones donde el líder de

cada grupo, lanzaba conceptos

a otro estudiante o grupo, para

que este refutara o

complementara sobre la

valides de una hipótesis o

enunciado de un par alrededor

de la función trigonométrica

seno

Esto significa que el docente

diseña su clase, desde la perspectiva

de un momento fundamental en la

teoría de las situaciones didácticas

de Guy Brousseau (1992), como lo

es las situaciones de formulación,

donde un alumno (o grupo de

alumnos) emisor debe formular

explícitamente un mensaje destinado

a otro alumno (o grupo de alumnos)

receptor que debe comprender el

mensaje y actuar (sobre un medio,

material o simbólico) en base al

conocimiento contenido en el

mensaje.

Permitiendo esto, un mejor

escucha y atención.

I68 Una de las situaciones

importantes que es de resaltar

dentro del proceso y trabajo

con la AHD, es que al

momento de realizar el repaso

Esto significa que el docente

haciendo uso de su conocimiento

específico del contenido, (la función

trigonométrica seno), como también

del uso de diferentes sistemas de

183

sobre funciones, se notó mejor

comprension del tema, cuando

al estudiante se le presentó con

la ayuda de la AHD y sus

recursos digitales, además, de

la intervención del docente,

varias posibilidades de

comprender el tema como lo

fue, la presentación del

concepto de función, seguida

de su representacion general o

algebraica, como también, su

representacion mediante

diagramas de VENN,

sagitales, y su representacion

geométrica en el plano

cartesiano, tal situación,

permitió a los estudiantes, una

mejor comprensión y

apropiación del tema.

representación, permitiendo

establecer diferentes variables

didácticas como lo asegura Brouseau

(1995) cuando asegura que: El

docente “puede utilizar valores que

permiten al alumno comprender y

resolver la situación con sus

conocimientos previos, y luego

hacerle afrontar la construcción de

un conocimiento nuevo fijando un

nuevo valor de una variable. La

modificación de los valores de esas

variables permite entonces

engendrar, a partir de una situación,

ya sea un campo de problemas

correspondientes a un mismo

conocimiento, ya sea un abanico de

problemas que corresponden a

conocimientos diferentes.”

I69 El resultado de la

evaluación final contrastada

con la evaluación diagnóstica,

aplicada inicialmente, (es de

anotar, que se aplicó la misma

evaluación), y que en su

momento mostró unos

resultados en los cuales ningún

estudiante supero el NIVEL I,

o, sea, el 100% no alcanzó 25

Esto significa que, el uso de

esta propuesta didáctica basada en

(AHD) y la secuencia didáctica, para

la enseñanza de la función seno en el

grado diez, con la

complementariedad de la secuencia

didáctica como estrategia de

enseñanza, le ha permitido al

docente dinamizar los procesos de

enseñanza con este núcleo temático,

184

puntos o más, en la prueba

fina, el resultado fue

totalmente positivo y

halagador en la perspectiva de

la consecución del objetivo,

se obtuvo un 72.97% de

estudiantes que superaron el

NIVEL III, de la AHD,

(transformaciones de la

función seno), es decir de 37

estudiantes que conforman el

grupo, 27 superaron la prueba

o evaluación final, teniendo en

cuenta que la institución,

posee un sistema de

evaluación en la cual el

estudiante adquiere un nivel

básico cuando saca una

calificación igual o mayor a

tres con cinco (3,5),

observándose una media en el

resultado de las notas de dicha

evaluación (la final), de 4,16

sobre una valoración de 1 a 5.

a la luz de la teoría del modelo

pedagógico socioconstructivista,

enunciada por Lev Vigotsky, a la

luz de teorías del aprendizaje como

el aprendizaje autónomo, Basado en

problemas y el colaborativo, han

cumplido con el objetivo de volver

más significativo el aprendizaje de la

función seno y su utilización en el

contexto para la resolución de

problemas.

Vigotsky 1978.

I70 El resultado de la

evaluación final, con un 72,9%

de aprobación del nivel 3 de la

AHD, permite establecer, que

los contenidos digitales

planificados y desarrollados en

Esto significa que el docente

apropio y evidencio el uso de cada

una de las categorías que propone

Rowland en cada una de las

secciones de clase, como lo son: EL

FUNDAMENTO, LA

185

cada una de las secciones

fueron apropiados, en la

perspectiva de la consecución

del objetivo como lo es la

enseñanza de la función seno.

TRANSFORMACION, LA

CONEXIÓN Y LA

CONTINGENCIA, cuando nos

habla de la teoría del cuarteto del

conocimiento

186

Anexo K. Análisis estadístico resultados evaluación diagnóstica vs evaluación

final

Evaluación diagnóstica.

Resultados evaluación final

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

ESTUDIANTES APROBADOS

ESTUDIADOS REPROBADOS

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

ESTUDIANTES REPROBADOS

ESTUDIANTES APROBADOS

187

Realizando un análisis sobre los dos cuadros comparativos, (evaluación diagnostica vs

evaluación final, se observa que con respecto a la pregunta uno, en la evaluación diagnostica,

el 83% de los estudiantes contesto correctamente, en la evaluación final el valor d estudiantes

con respuesta correcta es del 94%, evidenciándose una mayor apropiación e interiorización

del núcleo temático evaluado.

Con respecto a la pregunta dos, el 87% contesto correctamente en la evaluación

diagnostica, en la final el valor es del 91%, evidenciándose mayor apropiación.

En la pregunta tres, de la evaluación diagnostica, el valor correspondiente a

estudiantes con respuesta correcta es del 12% y en la evaluación final, es del 85%,

evidenciándose mayor apropiación del núcleo temático evaluado

En la pregunta cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, de la evaluación

diagnostica, el porcentaje de estudiantes sin respuesta correcta, es del 100%, en la evaluación

final el valor es de 82%, 76%, 88%, 94%, 79%, 88%, 73% respectivamente, evidenciándose

mayor apropiación de los núcleos temáticos evaluados.

Se evidencia, entonces, la pertinencia de la ayuda didáctica utilizada, como lo es AHD

EN LA ENSEÑANZA DE LA FUNCION SENO.

188

Anexo L. Evaluación diagnostica y final

INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE LA PRESENTACION

PRUEBA DIAGNOSTICA

GRADO 10. NOMBRE ESTUDIANTE: __________________________________

NUCLEO TEMATICO: LA FUNCION SENO

ESTANDAR: Describo y modelos fenómenos periódicos del mundo real usando

relaciones y funciones trigonométricas.

TEORIA DE APRENDIZAJE COLABORATIBO, ABP Y AUTONOMO

DOCENTE: JHONIER MOLINA CASTAÑEDA.

1. Que ángulo corresponde a 1/3 /rad :

a. 30° b. 60° c. 90° d. 70°

2 . ¿Cuál es la ubicación de los siguientes puntos?, en el plano cartesiano

adjunto:

189

3.

4. Traza la gráfica de la función y=2+sen4x

5 . El valor de la amplitud y la frecuencia en la siguiente grafica es:

a. Amplitud 3 ; frecuencia 3,5

b. Amplitud 3 ; frecuencia 3

c. Amplitud 3,5 ; frecuencia 3

d. Amplitud 3,5 ; frecuencia 3,5

6 . Graficar la siguiente funcion y determina su amplitud, ¿Cuáles son sus valores

máximos y mínimos? y= -3 Sen x+1

7 . Calcula la amplitud, periodo y desplazamiento de fase de y= 2senx+4)

190

8 . Halla amplitud, periodo, desplazamientos verticales y horizontales (si los hay),

dominio y rango de las siguientes funciones.

𝑎) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛𝑥 b) 𝑦 = −3

2𝑠𝑒𝑛𝑥 c) 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛(−𝑥) d) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2

9 . Escriba la función que determina cada gráfica.

10 . Elabore una situación o fenómeno de la vida cotidiana que se pueda representar

gráficamente con la función seno.

191

Anexo M.

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