8. Una caja rectangular con base cuadrada debe tener una capacidad de 125 cm3. El material de la base tiene un costo de 20 nuevos soles por centímetro cuadrado y el material para los lados de 10 nuevos soles por centímetro cuadrado. Determinar las dimensiones de la caja abierta que se quiere fabricar para que el costo del material sea mínimo.

Solución:

V ( x )=125m3=(a−2x )2 . x

125=(a−2x )2 . x125x

=(a−2x )2

√ 125x =a−2 x√ 125x +2 x=a

Área de la base:

Ab=(a−2x ) (a−2x )

Ab=(√ 125x +2x−2 x)(√ 125x +2x−2x )Ab=(√ 125x )(√ 125x )Ab=

125x

Área de los lados:

∑ A l=A1+A2+A3+A4Al=x . (a−2x )+x . (a−2 x )+ x . (a−2x )+x . (a−2 x )

Al=4. x .(√ 125x +2x−2 x )Al=4. x .(√ 125x )

4. f ( x )= 3√x2 (8−x )

Solución:

a) Intervalo donde la funcion crece o decrece Hallamos Puntos críticos

f ' ( x )=23.13√x

(8−x )+( 3√ x2) .(−1) f ' ( x )=0

A1

A2

A3

A4

f ' ( x )=23.8−x3√x

−3√ x2

f ' ( x )=16−3 x3 3√x

− 3 x

3 3√xf ' ( x )=16−2x−3 x

3 3√xf ' ( x )=16−5 x

3 3√x0=16−5 x

3 3√ x

P .C .→ {0 , 165 }−∞ Decrece0Cerce 165 Decrece+∞

←∞ ,0>¿0 , 165

>¿

←∞ ,0>; x=−1→f ' (−1 )=−7<0∴ f decrece

¿0 , 165

>; x=1→f ' (1 )=113

>0∴ f crece

¿b) Máximos y minimos relativos

Si f ( x )=16−5 x3 3√ x f ' ' ( x )=1

3.

(−5 ) . 3√x+(16−5 x ) . 13.13√x2

3√x2f ' ' ( x )=1

3.

−15.x+16−5 x33√x23√ x2

f ' ' ( x )=13.−15. x+16−5 x

3f ' ' ( x )=16−20 x

90=16−20 x

9x=45=0.8

f ' ' (0 )=169

>0→∃unmáximo( 165 , 96.3√205 )f ' ' (1 )=−4

9<0→∃unmínimo(0,0)

c) Grafica de la funcion

d)

14. f ( x )=sin( x2 )[0,4 π ]

Solución:

a) Intervalo donde la funcion crece o decrece Hallamos Puntos críticos

f ' ( x )=12.cos ( x2 )0=12 .cos( x2 )cos ( x2 )=0arccos(0¿)= x2 ¿π

2= x2→x=2π

3π2

= x2→x=3πP .C .→ {π ,3 π ,5π ,…}−∞π 3π+∞

¿−∞ ,π>¿ ¿ ¿¿−∞ ,180>¿

b) Máximos y minimos relativos

c) Grafica de la funcion

21. f ( x )=2sin x+cos2 x

Solución:

29. f ( x )=x−arctg x

Solución:

6. f ( x )= 3√x+ 3√ x4

Solución:

12. f ( x )= 4 x

√ x2+15

Solución: