Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Electrotecnia y Computación

Departamento de Electrónica

SISTEMAS DE CONTROL

Tema:

ANÁLISIS Y DISEÑO CON EL LUGAR DE LAS RAICES

ELABORADO POR:

Byron José Cáceres Velásquez.....................................................................2007-22453

GRUPO: 4N1 – Eo

DOCENTE: Ing. Hugo Picado.

Managua, 30 de noviembre de 2010

Introducción

En el análisis y diseño de sistemas de control es necesario asegurar una posición apropiada a los ceros y polos de malla abierta, de manera que al cerrar la malla, los polos resultantes determinen el comportamiento deseado del sistema.Para evaluar los polos de una función de transferencia es necesario factorizar el polinomio denominador lo que es complicado cuando se trata de polinomios de orden mayor que dos y con frecuencia manejan algún parámetro cuyo valor numérico no es definido, como la ganancia del controlador.

El método desarrollado por W. R. Evans permite graficar en el plano complejo los sucesivos valores de los polos de malla cerrada para todos los valores posibles del parámetro no definido. Este método es conocido como LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES. El parámetro a considerar será la ganancia K de trayectoria directa en su variación de 0 a infinito.

En teoría de control, el lugar de raíces o lugar de las raíces es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo.

El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto.

El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad. (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s (en el caso de sistemas continuos) o dentro del círculo unitario del plano z (para sistemas discretos).)

La técnica que se presenta es aplicable para sistemas de control analógico (plano de Laplace) y de control digital (plano Z) y la diferencia entre ellos se reduce a la aplicación del criterio de estabilidad de Routh (caso continuo) o Jury (caso discreto).

Los criterios anteriores nos definen la ubicación de los polos a la derecha del eje imaginario en el plano de Laplace y en el caso digital la ubicación de los polos fuera de la circunferencia unitaria.

Considere el siguiente sistema

La función de transferencia de este en lazo cerrado es:

El polinomio característico de la función de transferencia es:

Ec. 1.1.

El lugar geométrico de las raíces se realiza para variaciones de K desde cero hasta infinito, para las cuales dichas raíces deben satisfacer la ec 1.1. Como s es una variable compleja, es posible reescribir dicha ecuación en forma polar como sigue.

A partir de esto se pueden identificar dos condiciones que deben cumplirse para satisfacer la ecuación anterior, las cuales son conocidas como la Condición de Módulo y la Condición de Ángulo.

Criterio de Ángulo y Magnitud

Las dos condiciones deben cumplirse para cada una de las raíces que forme parte del lugar geométrico, de forma tal que se garantice que cada una de ellas sea solución de la ecuación característica a lazo cerrado.

Gracias a la condición de ángulo se determina la trayectoria del lugar geométrico de las raíces en el palno s, es decir, la forma del lugar geométrico, en tanto que la condición de magnitud permite determinar el valor de la ganancia K a lo largo de dicho lugar geométrico.

La ecuación característica se puede escribir como:

G( s )H ( s )=−1k

Lo que significa que si se evalúa la función de transferencia de malla G(s)H(s) en un punto que pertenece al Lugar Geométrico de las Raíces (un polo de malla cerrada), se obtiene un valor real negativo.

Es importante recordar que un número real negativo es una cantidad compleja de la misma magnitud y ángulo de -180° o sus múltiplos impares.

Entonces la ecuación característica puede descomponerse en sus términos de ángulo y magnitud, de acuerdo con lo siguiente

Condición de magnitud

Condición de ángulo

Donde k = 0,±1,±2, . . . . . .

La construcción grafica del lugar geométrico de las raíces se basa en el conocimiento de los polos y ceros de la función de G(s)H(s). Reescribiendo tenemos

Al aplicar las condiciones de magnitud y ángulo a esta expresión obtenemos:

|G( s )H ( s )|=∏k=1

m

|s+zk|

∏j=1

n

|s+ p j|∞<K<∞

Para 0≤K<∞

La interpretación de esta expresión es que cualquier punto s1 sobre el lugar de las raíces que corresponde a un valor positivo de K debe satisfacer la condición:

La diferencia entre las sumas de los ángulos de los vectores dibujados desde los ceros y aquellos desde los polos de G(s)H(s) a s1 es un múltiplo impar de 180º.

Para -∞<K≤0

Donde i=0 ,±1 ,±2 , .. .Esta expresión nos dice que:

La diferencia entre las sumas de los ángulos de los vectores dibujados desde los ceros y aquellos desde los polos de G(s)H(s) a s1 es un múltiplo par de 180º.

Los valores de K a lo largo de lugar de las raíces se pueden determinar

|K|=∏j=1

n

|s+ p j|

∏k=1

m

|s+zk|

Para determinar si un punto S1 se encuentra en el lugar de las raíces se sustituye en la expresión anterior. Si el punto S1 se encuentra en el lugar de las raíces, K positiva, si S1 está en el complemento del lugar geométrico, K resulta negativo.

Asíntotas

Las asíntotas son reglas direccionadas angularmente en cantidad n-m que indican los trazos del Lugar Geométrico de la Raíces que se van al infinito. Estas asíntotas se cruzan en un punto llamado centroide y solamente direccional al Lugar Geométrico de las Raíces.

El número de polos de malla abierta en exceso, en relación con el número de ceros finitos, tienden a buscar a sus respectivos ceros en el infinito, conforme , en direcciones específicas, llamadas asíntotas.

Los lugares de las raíces para valores muy grandes de S deben ser asintóticos a líneas rectas cuyos ángulos están dados por:

θ=±180 º (2 l+1)

n−m( l=0,1,2 , .. .)

m: orden del polinomio del numerador en lazo abierton: orden del polinomio del denominador en lazo abierto

Centro de las asíntotas

El lugar geométrico de las raíces es simétrico respecto del eje real del plano s. En general, el lugar geométrico de las raíces es simétrico respecto a los ejes de simetría de la configuración de los polos y ceros de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s).

K

Ángulos de las Asíntotas

Consideremos la siguiente función de transferencia

Colocando los polos y ceros de forma arbitraria dibujamos:

Siendo S1 un punto de prueba este debe satisfacer según la expresión antes descrita que:

∠( S1+Z1 )−∠ S1−∠ (S1+P2 )−∠ (S1+P3 )=θZ 1−θP 1−θP 2−θP 3=(2 i+1)∗180º

Si S1 no cumple significa que no está en el lugar de las raíces y además

∠( S1+Z1 )−∠ S1−∠ (S1+P2 )−∠ (S1+P3 )=θZ 1−θP 1−θP 2−θP 3=2 i∗180 º

En general cuando el grado del numerador y denominador de la función de transferencia es

igual habrán 2|n−m| asíntotas que describen el comportamiento del lugar

geométrico de las raíces en |s|=∞ . Los ángulos de las asíntotas y su intersección con el eje real del plano s se describen como sigue:

Para valores grandes de s, el lugar geométrico de las raíces para K≥0, son asintóticas con asíntotas con ángulos dados por:

θi=2i+1

|n−m|∗180º

Donde i=0 ,±1 ,±2 , .. . n−m

n →→numero de polos m →→numero de ceros

Para K≤0

θi=2 i

|n−m|∗180º

Número de Ramas

Una rama del lugar geométrico de las raíces es el lugar geométrico de una raíz cuando K varía entre -∞ e ∞. El número total de ramas Corresponde con el número de polos en lazo abierto GH(s). Cada rama termina en un cero.

Ejemplo.

Intersección de las Asíntotas (centroide)

Esta intersección representa el centro de gravedad del lugar geométrico de las raíces, y siempre es un número real.

La intersección de las 2|n−m| asíntotas del lugar geométrico de las raíces cae en el eje real del plano s como:

σ A=∑ ( polosfinitos )−(zeros finitos )

n−m

Donde n es el número infinito de polos y m es el numero de ceros infinitos de G(s)H(s), respectivamente.

Puntos de ruptura

Los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces de una ecuación corresponden a raíces de orden múltiple de la ecuación.

La condición de ruptura se escribe como:

Ángulos de Salida y Llegada del Lugar Geométrico de las Raíces

El ángulo de salida o llegada de un lugar geométrico de las raíces a un cero o polo de G(s)H(s), respectivamente, denotan el ángulo de la tangente del lugar geométrico cerca del punto. Los ángulos de salida y llegada de un lugar geométrico se determinan por medio de :

Ejemplo #1Graficar el lugar de las raíces teniendo en cuenta las reglas básicas de representación.

Encontramos la Función de lazo cerrado, aplicando algebra de bloques:

Del resultado anterior determinamos la Ecuación característica:

Para determinar los polos y ceros, hacemos la siguiente relación.

(1)

Determinamos los polos estableciendo 𝐾=∞, en la expresión anterior:

p1=−3 p2=−2,5+0,866𝑗 p3=−2,5−0,866𝑗Determinamos los ceros estableciendo k=0, en la expresión (1)

z1=−1El numero de ceros en el infinito: 𝑛−𝑚 = 2

𝑠2=−∞ 𝑠3=+∞

Número de ramas = 3 Es igual al número de polos

Calculo de asíntotas

Centro de las asíntotas (𝜎𝑐)= (𝛴𝑝𝑖 − 𝛴𝑧𝑖)/(𝑛−𝑚)

Ángulo de partida

Para K=0

Para K=1

Ayudándonos con MATLAB obtenemos la grafica del lugar de las raíces así como la trayectoria que siguen estos al variar la ganancia

Claramente se ve la tendencia hacia los ceros en ±∞. Se puede apreciar claramente la dirección en la que varían los polos a medida que aumentamos la ganancia K en el sistema.

Ejemplo #2

Para el siguiente sistema con ganancia de lazo:

KG (s ) H (s )= 1(s+2)( s+7 )( s+12)

Determine el lugar de las raíces paso a paso

Solución

Reordenamos la expresión

KG (s ) H (s )=0⇒G( s )H ( s )= 1( s+2 )(s+7)( s+12 )

De aquí podemos ver los polos y ceros:

Polos: s=-2,-7,-12 ⇒ n=3

zeros: ninguno ⇒ m=0

Número de ramas = 3 Es igual al número de polos

Dibujamos los polos y seros en el plano-s con ayuda de MATLAB

Asíntotas

El numero de asíntotas es n-m=3

σ A=∑ ( polosfinitos )−(zeros finitos )

n−m=σ A=∑ (−2−7−12)−(0 )

3−0=−7

Angulo de las asíntotas:

θi=2i+1

|n−m|∗180º= 2 i+1

|3−0|∗180 º=60 º,180 º, 300 º→→ i=0,1,2

En la siguiente grafica dibujamos las asintotas en el plano-s, ayudándonos

de MATLAB

Determinamos lo puntos de ruptura:

K= 1G( s )H ( s )

=( s+7 )(s+12)( s+2 )

∂kds

=0=3 s2+42 s+122⇒⇒⇒⇒ s1,2=−4 . 11 ,−9. 89

El punto de ruptura aplicable para este caso es -4.11, dibujamos con MATLAB el resultado: