Universidad Nacional de IngenieríaPROGRAMA ACADEMICO ESCUELA DE GRADUADOS

“ Análisis Sísmico de Reservorios Elevados con Estructura Cilindrica de Soporte ”

T E S I SPARA OPTAR EL GRADO DE MAGISTER EN CIENCIAS

“ MENCION ESTRUCTURAS”

Presentada

JULIO RAFAEL RIVERA FEIJOO

UMA • PERU • 1984

A mi hija Lucía fercedes, con el deseo que este trabaje le sirva de estímulo para su desarrollo personal.

RESU^N

La primera parte del trabajo sobre el comportamiento hidrodinámico de Reservorios Elevados con Estructura Cilindrica de Soporte es un com­pendio sobre el comportamiento hidrodinámico del agua, cuando ésta se encuentra almacenada en reservorios semi-infinitos y finitos. Se describe en esta primera parte las teorías que permiten encontrar las formas de modo del agua sometida a movimientos vibratorios; así como también, las presiones que se generan en los muros.

En base a un sistema mecánico equivalente que representa el comporta­miento del agua, se modeló el conjunto reservorio elevado - agua.

Se tomó una población de 360 reservorios que engloba en sus caracte­rísticas geométricas a la mayor parte de reservorios elevados de con­creto armado existentes en el Perú. Estos reservorios fueron anali­zados y luego los resultados han sido tabulados e interpretados; plan­teándose posteriormente una metodología simplificada para efectuar el análisis, proponiéndose un sistema estático simplificado para determi­nar los periodos de vibración y las fuerzas de inercia de los reser­vorios sometidos a eventos sísmicos.

Finalmente se realizó la comparación entre los análisis dinámicos de los reservorios y los análisis según el método estático propuesto, en­contrándose una buena concordancia entre ambos.

I N D I C E

Pag.

RESUMEN i

IOTRODUCCION

RESEÑA BIBLIOGRAFICA iiiii

CAPITULO I - CO^ORTAMIENTO HIDRODINAMICO DE RESERVORIOS

1.1 HIPOTESIS 11.2 wros Y FRECUENCIAS NATU^LES DE OSCILACION DEL AGUA.

RESERVORIO RECTANGULAR 41.3 PASIONES CONTRA LOS WROS. 8

1.3.1 Reservorio de longitud infinita 81.3.2 Reservorio finito rectangular 101.3.3 Influencia de la rigidez de las paredes y

rotación de la cimentación 121.4 ERRORES AL TO^R EL LIQUID C O ^ INCO^RESIBLE 131. 5 RESERVORIOS DE FOR^.S NO RECTANGULARES 141.6 SISTER ^CANICO EQUIVALENTE 17

1.6.1 Teoría general de reservorios rectangulares 171.6.2 Sistema mecánico equivalente simplificado.

Reservorio Rectangular 201.6.3 Sistema mecánico equivalente simplificado.

Reservorio Circular 201.6.4 Influencia de la rorma o d rondo del reservorio 20

1.7 RESERVORIOS CIERTOS Y LLENOS. 25

CAPITULO II - ANALISIS DINAMICO DE RESERVORIOS ELEVAMS

2.1 MODELAJE DE LA ESTRUCTURA 262.2 CARACTERISTICAS DE M S RESERTORIOS ESTUDIADOS 28

2.2.1 Características de las Cubas 282.2.2 Características del Fuste 30

2.3 METODO USADO 302.4 FOR^S DE MODO 332.5 PERIOMS DE VIBRACION 33

2.5.1 Primer todo de Vibración 332.5.2 Segundo Modo de Vibración 36

2.6 FUERZAS DE INERCIA 392.7 INFLUENCIA DE MODOS SUPERIORES 45

CAPITULO III - DETERMINACION SI^LIFICAPA DE PERIOMS DE VIB^CION

3.1 PRIf^R MODO3.2 SECUNDO MODO 433.3 ERRORES SI NO SE CONSIDERAN LAS DEFORMACIONES POR CORTE 53

CAPITULO IV - ^TODO ESTATICO SI^LIFICADO PARA DETERMINA CION DE LAS FUERZAS HORIZONTALES, FUERZAS DE CORTE Y MO—^NTOS FLECTORES

4.1 FORMULACION DEL I^TODO 554.1.1 Parámetros del Agua 554.1.2 Período de Vibración de la Estructura 564.1.3 Rierza de Inercia de masa móvil de agua 574.1.4 Fuerzas de Inercia de la Estructura 584.1.5 Fuerzas Cortantes y tomentos Electores 58

Pag.

4.2 TOMPA^CION ENT^ EL ANALISIS DINAMICO Y EL ANAL ISIS POR METODO ESTATICO SIMPLIFICADO 594.2.1 Metodología para el Análisis Dinámico 594.2.2 Metodología para el Análisis Estático 604.2.3 Interpretación de Resultados 60

CAPITU^ V CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1 CONCLUSIONES 625.2 RECO^NDACIONES 63

NO^NCLATURA USADA 6 5

reFERENCIAF 67

ANEXO A FIGURAS Y TABLAS 68

ANEXO B METODO DE RAYLEIGH 80

Pag.

ANEXO C ANALISIS DINAMICO MATRICIAL PE RESERVORIO V = 1,600 M3 «4

ii

INTRODUCCION

El presente trabajo trata sobre el Análisis Sísmico de Reservorios Elevados con Estructura Cilindrica de Soporte.

En ciudades, cuyas superficies geográficas se presentan bastante hori­zontales, es muy común el construir reservorios elevados con el objeto de dotar de agua a las edificaciones, la misma que debe tener una presión adecuada.

En nuestro medio, por motivos económicos, estéticos y de rapidez cons­tructiva se usa frecuentemente reservorios de concreto con estructuras cilindricas de apoyo.

Si al analizar el reservorio elevado, se tratara al fluido como una masa unida en su totalidad a la masa de la estructura que le sirve de soporte, se tendría diseños muy.' conservadores que conllevarían a estructuras scbredimensionadas y costosas, sobre t ^ o en cuanto alsoporte (fuste) y a la cimentación se refiere; es pues importante ejecutar diseños más razonables, que tengan en cuenta el verdadero c^portamiento hidrodinámico de la estructura.

En la primera parte de este trabajo, se presenta información sobre el comportamiento dinámico del agua sometida a movimientos vibratrios.Se determinar, de esta manera los m^os y frecuencias naturales deoscilación del agua, así como también la presión sobre los muros delos reservónos. Con el objeto de simplificar el análisishidrodinámico, se representa un Sistema tecánico Equivalente que tiene la característica de producir efectos sobre el reservorio, similares a los del líquido.

Ill

En base al sistema mecánico equivalente, y teniendo en cuenta las características estructurales del reservorio se prepara un modelo estructural que es procesado mediante un análisis modal.

Con el objeto que el presente estudio tenga resultados que puedan ser aplicados a cualquier reservorio elevado con estructura de soporte cilindrica, se trabajó con una gama de reservorios comprendidos entre los más chicos a los más grandes que comunmente se usan; los reser­vorios estuvieron entre los 350 a 3,000 metros cúbicos de capacidad de almacenamiento. Por este mismo motivo se efectuó en ellos una gr?n variación de alturas y en rigideces, cubriéndose un total de 360 reservorios.

Los reservorios fueron analizados teniendo en cuenta las deformaciones por flexión y corte. También se volvieron a analizar los mismos, sin incluir la deformación de corte evaluándose de esta manera las diferencias.

Analizando los resultados, se investigó la posibilidad de encontrar, de una manera simplificada, los períodos de vibración que corresponden a los dos primeros modos de vibración, obteniéndose expresiones p a a estos resultados con un margen de error muy pequeño.

Se plantea finalmente, un método estático simplificado de diseño, y se verifica s-u grado de validez, comparándolo con un análisis modal. Para evaluar el grado de certidumbre que tiene el método simplificado, se efectúa el diseño estático propuesto y se compara con el análisis sísmico modal, teniendo en cuenta lc-s tres tipos de suelos con que el Reglamento Nacional dr Construcciones del Perú (1977) clasifica a los diferentes terrenos de nuestro territorio. Como resultado de dicha comparación, se observa que el método planteado es en todos los casos conservador con valores muy cercanos a los obtenidos por el análisis modal.

iiii

El análisis dinámico fue realizado considerando que el reservorio se exporta en el rango elástico y que se encuentra em^trado en la base.

El análisis de los reservorios se efectuó usando el métráo de Reyleigh, para lo cual se contó con un Computador I.B.M. - PC.

Deseo hacer público mi agradecimiento a t^as aquellas personas que colaboraron en el desarrollo de este trabajo; ellos son, el Dr. Rafael Torres, Director de la Tesis el Dr. Jorge Alva y el Dr. Javier Pique ^ r sus valiosos comentarios, el Bachiller Albert Peyre, por la veri­ficación de cálculos mediante el computador y la Sra. Lucrecia Zuñiga por su paciente labor en el tipeo del trabajo.

11111

RESEÑA BIBLIOGRAFICA

La siguiente reseña bibliográfica fue tomada del trabajo de Tesis desarrollado por Armando Flores Victoria, señalado en la referencia 1 de esta Tesis.

Existe diversidad de estudios referente al comportamiento hidrodiná­mico del agua almacenada en presas y reservorios.

Lamb, en 1879, publicó su "Tratado sobre la Teoría ^temática del tovimiento de Fluidos". Analiza los modos naturales de oscilación de fluidos sujetos a ciertos tipos de movimientos forzados, oleaje y condición de borde libre.

Wertergaard, en 1933, determina las presiones en un muro vertical rígido, con movimiento periódico, en reservorios de longitud semi-in- finita. Tomó sólo el efecto bidimensional, suponiendo el nivel libre sin presiones (oleaje mínimo).

Hoskins y Jacobsen (1934), verifican experimentalmente, en un reser- vorio rectangular, los estudios planteados por Westergaard, haciendo notar que si la longitud del tanque "L", excede de 2.5 la altura "H", del nivel libre del agua en reposo; la presión total es menor en 4% que la de L = infinita.

Hinds, Creager y Justin, en 1945; estudian el efecto de pared incli­nada y señalan criterios básicos para diseño sísmico de presas.

Werner y Sundquist, en 1949, obtienen las ecuaciones de presiones y desplazamientos, para distintos tipos de recipientes sujetos a un movimiento horizontal armónico. Estudian el comportamiento de fluido incompresible. Estudian reservorios de longitud finita con movi­miento de una o dos paredes, medio cilindro con movimiento longitu­dinal y transversal, sección triangular, reservorio cilindrico, pila y semi esfera.

m m

Grankam y Rodríguez, en 1952, estudian tanques de combustibles rectan­gulares para valuar su efecto en aviones. Encuentran expresiones del sistema mecánico equivalente de masas y resortes que pr^ucen el mismo efecto dinámico que el líquido sobre las paredes del reservorio, tomando para ello el líquido como incompresible.

Zangar, en 1953, estudia la incompresibilidad del fluido. Señala la aplicación de redes de flujo para determinar las presiones.

Napedvaridze, en 1959, estudia el efecto de movimiento horizontal, vertical e inclinado para un reservorio de longitud infinita con fluido incomprensible y muros inclinados.

Housner, en 1957, propone un método aproximado y sencillo del efecto hidr^inámico del fluido incompresible, en reservorios con una o doble simetría y movimiento horizontal en una de esas direcciones. Trata recipientes rectangulares, cilindricos, pared inclinada y la flexibi­lidad del muro, mostrando que ésta disminuye las presiones al ser más flexible.

Jacobsen, en 1949, estudia el movimiento horizontal de reservorios circulares con fluido incompresible. Determina las masas equiva­lentes y las confirma experimentalmente.

Jacobsen y Ayre, en 1951, dan un reporte de experimentos en servoríos circulares sujetos a movimientos armónicos a^rtiguados. Estudiar el efecto de la cubierta del reservorio y señalan que si más del 2% del volumen es aire, se puede considerar abierto.

Housner, en ’960, señala el criterio de cálculo por sismo en reser- TOrios rectangulares y cilindricos a partir de formar el sistema mecá- nira equivalente de masas y resortes tomando rólo el efecto del primer ^ ^ o de opilación Ü^re del agua. En 1963 da las cosideraciones

reservorios elevados.

Flores, en 1963, desarrolla un trabajo sobre las presiones hidrodiná­micas empresas y tanques. Recopila t ^ a la información de trabajos anteriores y da las consideraciones más importantes en el diseño de recipientes y presas bajo movimientos arbitrarios. Estudia el fenó­meno de resonancia, sistema mecánico equivalente, influencia de la flexibilidad de los muros.

1

^PITULO I

CORONAMIENTO DINAMICO DEL AGUA

1.1 HIPOTESIS

Se considera al medio como homogéneo, continuo e isotrópico; así mismo, se supondrá que se trata de un fluido sin viscosidad, es decir, que durante el movimiento, los esfuerzos generados entre las partículas son normales a su superficie de contacto, y ^ r lo tanto se tiene que en un punto dado del fluido la presión en cualquier dirección será la misma.

Se considerará que las partículas se desplazan siguiendo un "movimiento continuo", entendiéndose con ello, que la veleidad relativa entre dos partículas adyacentes es pequeña, de tal manera que su distancia entre ellas permanece en el mismo orden de magnitud durante todo el movimiento.

Se observó quo en las presiones dinámicas, la viscosidad y la tensión superficial en el líquido, tienen un efecto mínimo en los resultados teóricos con respecto a los experimentales (!}*. El tener en cuenta la viscosidad, complica inútilmente las ecuaciones y consecuentemente su solución, ^ r lo que su efecto re se tomará en cuenta (1).

Cuando el líquido se encuentra en reposo y se le inducen movimientos de alguna manera, se tendría que usar tres COTrdenadas como se indica en la figura 1. Sin embargo, se puede simplificar el problema si es que consideramos que el movimiento del líquido se desarrolla en secciones paralelas entre sí. Por com^idad, la sección que se torne coto la representativa, se puede hacer de espesor unitario y en ese caso bastará solo dos COTrdenadas para determinar los movimientos en cualquier punto o partícula en un instante cualquiera.

Los números entre paréntesis indican la referencia usada.

2

FIG. I REC IP IEN TE RECTANGULAR. SISTEMA TRIDIMENSIONAL

IV

FIG. 2 RECIPIENTE RECTANGULAR. S ISTEM A BIDIMENSIONAL

3

De esta manera, cuando se tenga un movimiento bidimensional, y se quieren conocer las presiones que se generan en el agua; se tendrá el problema bidimensional. (Ver figura 2)

Se ha considerado que los reservorios están constituidos por paredes y fondo rígidos y que todos sus elementos se mueven en forma uniforme sin presentar giros ni desplazamientos relativos.

Forma del Reservorio

Dentro de un movimiento bidimensional, el movimiento pertubador del reservorio que alteró el estado inicial del agua producirá un movimiento en el fluido que puede ser horizontal, vertical o inclinado, dependiendo éste de la forma del reservorio. Este movimiento estará en el mismo plano que el movimiento pertubador.

El tipo de movimiento dependerá de la forma del reservorio, pudiendo ser este de forma rectangular., triangular, circular- etc., corno se muestra en la figura 3.

3.1 RECTANGULAR 3.2 TRIANGULAR

3.3 ARCO DE CIRCULO

Fig. 3 F O R M A S DE LOS RESERVORIOS

4

1.2 MODOS Y FRECUENCIAS NATURALES DE OSCILACION DEL AGUA. RESERVORIO RECTANGULAR

Tornando un reservorio como se indica en la figura 4, que tiene una altura del nivel libre de reposo H y una longitud L, con los ejes coordenados como se indica en la figura, la ecuación de onda en función del potencial de velocidades estará dada por la siguiente expresión( 1)

S V , ¿ V ( 1 1 ,a.2 á t z ' ’

La misma que debe cumplir las condiciones de frontera:

(1.2)

(1.3)

(1.4)

que expresan las condiciones de paredes inmóviles y la presencia de oleaje por gravedad en la superficie libre.

$ función potencial de velocidadest tiempo

2g aceleración de la gravedad=(9.81 m/seg.a velocidad del sonido en el agua = 1,438Ev = módulo de compresibilidad volumétrica

tn/m3o = peso volumétrico del aguarl tn/m3

5

Y

Fig. 4 R E S E R V O R I O R E C T A N G U L A R RIGIDO. S I S T E M A B ID IM E N S IO N A L

Suponiendo que el líquido se mueve periódicamente de tal que su configuración de movimiento en un instante dado, se expresar mediante una función armónica 5" (t) tal qu

Z (t) - w* X (tj

formada por una combinación de funciones periódicas en las ^ /T es la frecuencia del movimiento en rr.*,/carj - y T

período en segundos.

manerapuede

que wes el.

6

En este caso se determina que el movimiento de las partícul genera por ondas que se mueven a lo 1argo del eje X; longitud de dichas ondas resulta s e r A = 2L/m.

La solución a la ecuación de onda está dada por la expresión.

Donde

X (x) Mi cos (tt) ̂ X/L)

Y (y) = cos (ffn Y/H)

^ (t) sen wt

Kn Tan (Kn) = W* H/G

Constante

m 0, 1, 2, 3, .....

Para el caso de reservorios, la siguiente expresión nos p(0encontrar las formas de modo del agua .

as se y la

rmite

7

válida para el caso en que <(Hm ir/L) ó el valor equivalente L/T < 719m, donde

2 ^ H wHa T a

La expresión (1.6) es válida para reservorios de agua, ya que la relación L/T práctica es generalmente bastante menor que 719 m.

m 1, 2, 3 .......... modo de vibración

T período de vibración en seg.

Para el caso en que (2L) 0.1aT

se podrá despreciar su valor, ya que es muy pequeño comparativamente con m y de esta manera se tendrá la siguiente expresión simplificada:

m. tanh(^ mH/L) = 4 Lg T

(1.7)

En la figura 5, se tiene la relación obtenida para m 1, notándose que para L/H ^ 1,

H/L a L/TZ se cumple:

T 1.13 UL (1.8)

8

que corresponde al caso de recipiente profundo, en donde la altura ya no interviene.

De esta manera el fenómeno queda definido por las oscilaciones del nivel libre.

i r t . o . t . oL m 0-78y2 eeg.2

Fig. 5. Relación H/L a L/Tl para el primer modo de oscilación libre bidimensional para reservorio rectangular.

1.3 PRESIONES CONTRA LOS MUROS

1.3.1 Reservorio de longitud infinita

A continuación se plantean soluciones para reservorios infinitos, como se muestra en la figura 6.

Bajo la hipótesis de que el agua es imcomprensible^'^^*^, la ecuación 1.1 se convierte en:

(1.9)

9

que resolviéndola para las condiciones de frontera señaladas en las ec. (1.2), (1.3) y (1.4) se obtiene la expresión que nos da la ecuación' para la presión en el muro.

,cos¿< * - j r (1.10)

donde * (2n - 1) 'n/lj wH/a (2^/a)H/T

Proporción máxima de la aceleración de la gravedad en el movimiento pertubador.

V

Fig. 6 R ESER V O R IO DE LONGITUD SEMI INFINITA. MURO RIGIDO

En la figura 7, se muestra graficada la ecuación 1.10, en ella se observa claramente como varía la presión a lo alto del muro, en función a la presión en la base.

10

FIG. 7 DISTRIBUCION DE PRESIONES EN E L MURO MOVIL

1.3.2 Keservorio iiiuto rectangular

Cuando se trata de reservorios rectangulares finitos sometidos a vibraciones armónicas estacionarias, las presiones en los m.iros varían de acuerdo al movimiento relativo entre éstos, puditndo estar el movimiento en fase o en desfase.

Los valores obtenidos pare reservorios infinitos según la ecuación (1.10) es válida también para el caso en que un solo muro se mueva y el opuesto permanezca fijo, así como se muestra en la fiqura 8.

En este ^ s o de movimiento de un solo muro, se pueden evduar las presiones en la base de los muros así como también los empujes y los momentos de volteo que éstos producen en la base. Estos valores han sido graficados en la figura 9.

11

^ = Ao cos wt

Muro móvis „ r r iFLUIDO H

FIG. 8 RESERVORIO RECTANGULAR FINITO, MOVIMIENTO DEMURO IZQUIERDO

200 :50(ÜL)vseg;

I^ 0300

Fig.9 PRESIONES EN LA BASE Po, EMPUJE TOTAL Qo Y F L EX IO N Mo POR TR A N SL A C IO N ARMONICA DE LA P A R E D V E R T I C A L RIGIDA

donde la presión en la base es = pe ( «»<; H ) ,"l,el empuje en la base es QQ = QJo< ̂ H ) »

y el momento en la base es M #= M 0 (<=< Jf*0 H*) .

x\<

12

Cuando ocurre el movimiento de los dos muros, los valores de las presiones varían de acuerdo al desfase que exista entre los movimientos; sin embargo se dan dos valores; uno mínimo que corresponde al caso en que los dos muros se muevan en fase y otro máximo cuando se encuentran desfasados 180 ’. En la figura 10 se muestra la variación en las presiones de acuerdo al desfase del movimiento de las paredes.

P¡g. 10 DISTRIBUCION DE PRESION PRODUCIDA POR MOVIMIENTO DE LA S PAREDES

1.3.3 Influencia de la rigidez de las ^redes y rotación de la cimentación

Armando Flores Victoria (1963), realizó un análisis en reservorios rectangulares finitos y concluyó que el hecho de considerar los muros ríg^os e indeformables es conservador, sin embargo para tos dimensiones usuales de los reservorios de agua, estas diferencias no son muy

13

importantes y por consiguiente los valores obtenidos anteriormente se pueden considerar buenos dentro de la práctica ingenieril.

1.4 ERRORES AL TOMAR EL LIQUIDO COMO INCOMPASIBLE

Según estudios efectuados por Flores (1) y Rosenblueth y Newmark (6), se determina el error en los empujes sobre los muros, los mismos que se muestran en la figura 11.

El error señalado es válido para valores desde L/H ̂ 5, ya quesegún lo observado en la figura 9, los empujes no se ven afectados al tratarse de reservorius con L/H superiores a 5.

H80>5

Q eomp-Qjncomfi. y l00 Qcomp.,

100 H/200, m >T 'sea:

^ 350

Ffg. ü ERROR EN E M P U J E TOTAL AL TOMARFLUIDO INCOMPRESIBLE. V A ^ RECTANGULAR

14

Rosenblueth y Newmark (6) presentan una expresión sencilla para determinar el error que se tiene al considerar al líquido como incompresible. Esta expresión, que sirve cuando el fluido

a las temperaturas ordinarias, es la(agua), se encuentra s igu iente:

1H _

3 ó o T

Para un reservorio de H = 10 mts. y L/H = 4/3 el valor obtenido de la expresión es de 1.00002, que significa que el valor real del empuje considerando el empuje como comprensible es igual al valor considerando al líquido como incomprensible y multiplicándolo por 1.00002, esto representa un error de 0.02%, que desde el punto de vista ingenieril es despreciable.

1. 5 RESERVORIOS DE FO^AS NO RECTANGULARES

Las teorías descritas anteriormente están referidas a reservorios rectangulares; sin embargo, esas expresiones variarán para reservorios de otras formas. Kotsubo (1959), ha determinado las soluciones para algunos reservorios de secciones transversales no rectangulares (6).

En la figura 12, se muestran algunas formas no rectangulares.

Kotsubo deduce que es conservador y satisfactorio para casicualquier perfil de reservorio proceder de la siguiente manera:

1. Se puede asumir, conservadoramente, que las presiones sobre los muros de reservorios es la misma que para una sección transversal rectangular.

2. Tómese el período fundamental igual al de la seccióntransversal rectangular que tenga una altura H, multiplicado por ^ H/H donde H y H son, respectivamente, lasprofundidades máxima y media del reservorio (H = A/L).

15

3. Tómese todos los períodos superiores iguales a los de la sección rectangular de profundidad H.

Las soluciones obtenidas por Werner y Sundquist (1943) confirman los resultados correspondientes de Kotsubo (6).

_5Ü.

H H-A= LH

a}- RECTANGULAR b)- SEMICIRCULAR

c)-SEGMENTO CIRCULAR d)-TRIANGULO AGUDO

EIG. 12 SECCIONES T R A N S V E R S A L E S DE R E S E R V O R I O S

16

Aplicando la teoría de Kotsubo para los reservorios mostrados en la figura 12, se obtienen los siguientes períodos naturales.

SECCION T^NSVERSALEXACTO

Tl/T T2/T

SEGUN KOTSUBO ERROR

Tl/T en %

Rectangular 1.000 0.335 1.000 0.00

Semicircular 0.853 0.374 0.885 3.80

Segmento circular 0.727 0.331 0.748 2.97(*= 45 •)

Triángulo agudo 0.651 0.284 0.70c 8.30

T Período de vibración fundamental de reservorio rectangular

TI - Período correspondiente al primer modo

T2 = Período correspondiente al segundo modo

17

1.6 SISTmA MECANICO EQUI^LENTE

1.6.1 Teoría General de Reservorios Rectangulares

Hasta el presente, sólo ha sido posible encontrar analíticamente el sistema mecánico equivalente de masas y resortes que representa el fenómeno hidrodinámico, cuando se supone al fluido como incomprensible.

Graham y Rodríguez (1) hicieron los análisis para un tanque rectangular rígido, como se muestra en la fig. 1

A continuación se presentan los resultados obtenidos para un movimiento estacionario de traslación armónica a lo largo del eje "X" únicamente; tratándose el problema como un caso de análisis bidimensional como se muestra en la figura 13.

ÁZ

FIG. 13 R E S E R V O R IO RECTANC'JLAR

18

Sometiendo al recipiente a un movimiento de sus paredes de forma:

Ao eos w t,

se obtiene la solución al comportamiento del líquido, la misma que es asociada al de on sistema mecánico equivalente similar al mostrado en la figura 14.

En esta configuración, se tiene ura masa fija Mo a una distancia Zo del eje "X", y un n w r o infinito de masas puntuales Mn ligadas a las paredes del tanque, por meaio de resortes con una rigidez Kn situaos a una distancia Zn del eje "X".

r*G. 14 SISTEMA MECANICO EQUIVALENTE DEL LIQUIDO. RESERVORIO RECTANGULAR

19

Si llamamos Wf al peso total del fluido contenido en el recipiente, y llamando Mf = Wf/g a su masa; el sistema

2 estará dado por;T<vn K (i..10)H/L

M aM f

Ai ^-i (i..11)

B* 1 12)H 2 h /l (!•

Béi/ N - O

H Ms J H (1..13)

VI K-n 2 t o M k 2 (¿M-n H / ú (1..14)w *

d o n d e ^ n = (2n - 1 ) ^ / 2 (1.15)

En la figura 15 se muestran los valores de las masas asociadas al tanque y sus posici^^. en la paréd, en elle, se puede apreciar la poca influencia que tienen los m^os superiores: masas M2, MI, etc. , respecto a MI y Ko,así como su posición en ol tan^e, que en las masas de orden superior se van colocando a la altura- del nivel libre.

L

F i g . 1 5 ASÍ^IADAS AL S IS T R ^ . OCANICO EQUIVALENTE Y

SU POSICION RESPECTO A LA ffiDIA ALTURA. RESERWRIO

OCTANGULAR. (GRA^M Y ROMIGUEZ 1 9 5 2 )

20

1.6.2 Sistema Mecánico Equivalente simplificado. Reservorio Rectangular

Housner (1963), plantea un sistema mecánico equivalente más simplificado (1), como se muestra en la figura 16, considerando solo el primer modo de oscilación. Asimismo, evaluó los errores de su método con respecto al planteado por Graham y Rodríguez, encontrando como máximo, errores del 2.5%

El método planteado por Housner es válido para relaciones de L/H ^ 4/3.

En la figura 18 se muestran los valores de las masasasociadas al tanque y sus posiciones en la pared.

1.6.3 Sistema Mecánico equivalente simplificado. Reservorio Circular

Similarmente al caso de tanques rectangulares, Housner (1963) planteó expresiones para un sistema mecánico equivalente (1), que son válidas para rangos 'de D/H ̂ 4/3. En la figura 17 se muestra el sistema.

En la figura 18 se muestran los valores de las masasasociadas al tanque y. sus posiciones en la pared.

1.6.4 Influencia de la forma del Fondo dtí Reservorio

Cuando el fende de1 reservorio no ^ plano y horizontal, como es el caso de los reservonas elevados comúnmenteusados en el que el fondo es semi^férico y tronco cónico, se puede asuntar según Rosenblrath (-6) un reservorioequivalente que tenga el mismo d^rnetro y volumen que el f %nque en cuestión.

21

P L A N T A

H

k/2 x k/2- A y V s \ M l V - W ^ —

hi

(a) (b)

Mo _ T° n h 2 H Mf '

HKWf

/ £ _ l _2 H

12 (^-)2 (— )2 ¿ 'M f ' 1 L

K Tan h ( ^ 0 M i _ _ 5 _ _______ _________ LMF = 6

To = 2ff. MiK

'0 = T H ^ +* í Mo' - ' » ] hi = H I-cos h (>/10 ^

^ ~ * s e n H

Cuando se toman en cuenta las presiones del fondo y paredes del tanque:^ = 1.33 , 2

Cuando sólo se consideran los efectos de las presiones en las paredes (Caso usado en esta t e s i s ) :

< ^ - 0 , ^ = 1

FIG. 16 TANQUE RECTANGULAR, SISTEMA MECANICO EQUIVALENTESIMPLIFICADO H / L ^ 0 .7 5

22

H

K/2 K/2

hi

(a) (b)

Mo T°" ^ T T » M F " s/T D

2 HHK_ 45 . M j . 2 , H ,2 WF 2 ' M f D

HMi ___MF "5 1 2

363 T°" h O’1/ l 3 . 5 ^

Ta = 2 n Z ^ KV K

ho=-|- H I + <*( MF_m o

Cuando se toman en cuenta las presiones del fondo y paredes del tanque:<^ = 1.33 , ^ = 2

Cuando solo se consideran los efectos de las presiones en las paredes ( Caso usado en esta tesis ) :

- O

FIG. 17 TANQUES CIRCULARES. SISTEMA MECANICO EQUIVALENTESIMPLIFICADO H /D ^ 0 .7 5

L . D L . DTT 8 u o

FIG. 18 VALORES DEL SISTEMA MECANICO EQUIVALENTE. S ISTEM A SIM PLIF ICADO

NJU>

24

D

Ni = Nivel de masa Mi

Ni = NT-H + hi

No = Ni - H - ho

.00 Nivel asumido como empotrado

H = Altura promedio del aguahi,ho = Ubicación de masas Mi y Mo respectivamente NT, Ni,No= Cotas de niveles de agua

N = O

F1G. 19 UBICACION DE MASAS DE AGUA

25

De esta manera se puede trabajar con un reservorio que tiene una altura promedio (H), como se muestra en la figura 19

1.7 RESERWRIOS ABIERTOS Y LLENOS

Las expresiones deducidas anteriormente son válidas para reservorios abiertos. El comportamiento de reservorios rígidos completamente llenos, cubiertos con tapa rígida es diferente, sin embargo, si existe un pequeño espacio entre la superficie del líquido y la tapa (2% del volumen del reservorio), las presiones ejercidas sobre las paredes serán prácticamente iguales a las que se producirían en reservorios abiertos (6).

Si el volumen de aire entre la superficie del líquido y la tapa es inferior al 2% del volumen del reservorio, se debe considerar como reservorio completamente lleno y en ese caso la masa asociada Mo considerada fija al recipiente se asume como el 100% de Mr y Mi — (i.

26

CAPITULO II

ANALISIS DINA.MICO DE RESERVORIOS ELEVADOS

2.1 MODELAJE DE LA ESTRUCTURA

Según se vió en el item 1.6 y 1.7, la masa de agua se puede convertir en una parte fija a la estructura (Mo), que sigue el movimiento de la estructura y otra parte (Mi) ligada alreservorio mediante unos resortes de rigidez K, como se muestra en la figura 19.

Los reservorios se pueden modelar, diferenciando la zona del recipiente, que denominaremos cuba, y la zona de la estructura de soporte que llamaremos fuste. La altura total de la cuba (He) estará comprendida entre el centro de gravedad del fondo, que comprende el fondo tronco cónico y el fondo esférico, y el centro de gravedad del techo esférico. La altura (Hf) se considera desde la zona inferior del fuste, asumida como empotrada y la parte inferior de la cuba; la altura total será Ht = Hf + He.

En la figura 20 se observa el modelaje de la estructura, en ella se ha dividido el fuste en 5 partes iguales, las que están representadas por las 5 primeras masas. La masa M6 representa el peso del fondo de la cuba y está ubicada al mismo nivel que su centro de gravedad. La masa MI viene a ser la masa del agua MI, ligada a la estructura con el resorte de rigidez K. La masa 8 incluye la masa de las paredes del reservorio, la chimenea interior de acceso y la masa de agua Mo considerada fija a la estructura ubicada en el centro de gravedad del conjunto. La masa M9 representa la masa del techo del reservorio.

Dependiendo de las características geométricas de la cuba, en

27

Centro de gravedad del techo

Cuba

k/2 k/2

de cuba

HF

Fuste7

(EI)f

e gravedod del fondo de cuba

-b

+

-7T7r7T7777TT

Ht

-7W77ZT

< w < S -w

wQW ' < Ow IT a . 2 O ow<zoN'

HF = Altura del fuste HC= Altura de la cuba Ht = Altura total

H¡ = Altura hasta el centro de gravedad de masa mi'

m¡ = Masa concentrada en elH . IInivel 1

FIG.20 MODELAJE DEL RESERVO RIO

23

algunos reservorios la masa de agUa (M1) ligada con resorte a la estructura está por encima de la qUe corresponde a las paredes de la cuba.

2 .2 CARACTERISTICAS DE kOS HESKWORIOs ESTUDIADOS

Con el objeto que ésta estibio tenga una amplia cobertura, se han escogido reservorios comprendidos desde los más chicos hasta los más grandes usados en nuestro PaíSf habiéndose optado por 8 reservorios de 350, 5^, 8^, 1,000, 1,500, 1,600, 2,0^^ ^ 3,C00metros cúbicos de capacidad de almacenamiento.

2 .2 . 1 Características de las Cubas

tas cubas de los reservorios no tienen mu C ha variación geométrica para una determinada capacidad, razón Por la cual se ha tomado las características reales de varios reservorios construidos en el Perú El r u ^ e^a^e r>emuestra en la figura 21, y ias características se dan en la tabla 2.

O Wg

O V/7

W b = g M i

W¡ = Peso en el nivel

FIG. 21 MODELAJE DE LA CUBA

TART.A N ° ? ____ P A R A C T E R T S T T C A R PE TOE RE SER VO RT OR KT.RVAIX).S

Capacidad (El) Cuba H - A v , »/DK Ta W6 (Tn) W7 W8 W9 1Wf

(M3) (Tn.M2) ir 3)* (Tn/M) (seg) Z6 (M) Z7 Z8 Z9 (Tn / M)

350 2.03 x 108 3.89 0.364 57.5 3.554 67 219 161 16 110.70 2.90 3.41 5.80

500 5.85 x 108 4.99 0.441 72.2 3.35 111 319 200 19.4 12.40.83 3.71 4.49 7.45

800 4.995 x 108 5.67 0.423 100.2 3.695 129 519 340 29 17.721.00 4.45 5.27 8.61

1000

COo 1—1X\Dor- 5.93 0.400 89.0 4.41 150 630 431 30 16.01.00 4.90 3.70 8.50

1500 10.4 x 108 6.93 0.4175 152.0 4.08 240 938 615 39 22.61.15 4.48 4.38 9.60

1600 10.67 x 108 7.22 0.4296 158.0 4.107 272 1005 662 39 ' j 22.01.40 4.38 5 .63 9.75

2000 21.43 x 108 6.37 0.3183 179.0 4.72 383 1000 993 53 22.011.60 5.40 6.17 10.30

3000 410 x 108 7.04 0.302 234.4 5.041_________

430 1334 1 1545 100 37.95 :_________

1.60 6.20 7.10■

11.90

30

2.2.2 Características del fuste

El fuste se ha variado en altura como en rigidez, como se indica en la figura 22.

Se adoptaron relaciones de altura del fuste a altura de la cuba (Hf/Hc) = 2 , 3, 4, 5 y 6 respectivamente. Asimismoadoptaron relaciones de rigidez del fuste a rigidez de la cuba de : (EI)f/(EI)c = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7,0.8, 0.9.

Lo que dá para cada capacidad de reservorio, la cantidad de5 x 9 45 diseños, y para los 8 tipos diferentes dereservorios la cantidad de 45 x 8 = 360 diseños diferentes.

2.3 NETODO USADO

Para determinar las formas de modo, las fuerzas cortantes y momentos flectores en los reservorios se utilizó el método de Rayleigh.

Para el cálculo de las deformaciones por flexión, se utilizó elmétodo de "Area de Momentos" y a esta deformación se le sumó ladeformación por corte, dada por la expresión.

= RVihi B G.A

^>nde

R = Coeficiente de forma = 1.344 Vi Fuerza cortante del nivel i (tn) hi = Altura del nivel i (m)G = Módulo de corte (se asumió G 1 x 10^ tn/m2) A = Area (m2)B Coeficiente de plasticidad (asumido 2)

31

He

He

Hf=2Hck

HfHe

5 Variaciones

Hf=6Hc

a)= VARIACION DE LA ALTURA

(El)c

(El)f

(El)f

(El)cK — — — —9 Variaciones

b) = VARIACION DE LA RIGIDEZ

TOTAL VARIACIONES = 8 RESERVORIOS x 5 x 9 = 3 6 0

FIG. 22 VARIACION DEL F U S T E

32

Para elementos cilindricos de pared delgada, se puede asumir

I = ^ e D3 y A = ^ De8

De las expresiones anteriores se obtiene :

A 0o A = ^ e \ í 8 (EI^ V ^ e E

^ n d e e espesor de la pared.

Cuando 0.20 m y E = 2.3 x 10 tn/m2 se tiene :

A 0.011 (El)

Donde A es el área en m2 y (El) está expresada en tn-m2. Como en los reservorios se varía el valor de (El), se variará automáticamente el valor de A con la expresión anterior.

El método de Rayleigh es un método iterativo de aproximaciones sucesivas y para lograr un buen resultado, se trabajó haciendo uso de un computador IBM PC.

Las iteracciones se llevaron hasta l^rar un error relativo .t:eror de 0.0 01 para cada uno de los niveles, entre la forma de mcdo anterior y final; vale decir, que las iteraciones terminaban cuando en cada nivel se cumplía :

Y (n)_____ Y (n-1) ^0.001Y (n)

En esta expresión Y (n) es la forma de modo de cada nivel en la iteración n.

33

En el nivel donde se encuentra ubicada la masa móvil de agua, (W8), ver la figura 21, existen dos deformaciones; una que corresponde al desplazamiento del reservorio y otra que corresponde al propio desplazamiento del peso W8, influenciado por la deformación propia de su resorte de rigidez K.

2.4 FORMAS DE MODO

La primera forma de modo se caracteriza por el desplazamiento de toda la estructura a un lado, acompañado de un grandesplazamiento de la masa móvil del agua en el mismo sentido. Ver figura 23.

La segunda forma de modo se caracteriza por un desplazamiento similar de la estructura, acompañado de un pequeño desplazamiento de la masa móvil del agua en el sentido opuesto.

En la tabla 3 se observa los desplazamientos modales máximos y mínimos de la masa móvil de agua para los diferentes reservorios analizados en esta Tesis.

2.5 PERIODOS DE VIBRACION

2.5.1 Primer Modo de Vibración

Se ha determinado para cada uno de los 360 reservorios estudiados, sus formas de modo y los períodos de vibración que les corresponde, observándose que el período del primer modo (Ti) es prácticamente igual al período de vibración del agua móvil (Ta), es decir, que el movimiento de la masa móvil del agua es prácticamente independiente del movimiento del propio reservorio, esto es lógico y

36

entendible ya que si observa la figura 23, se puede notar que el desplazamiento de la estructura es prácticamente despreciable contra el desplazamiento de la masa móvil del agua.

En la Tabla 4 se muestra la diferencia en porcentaje entre los valores de Ti y Ta, siendo siempre Ti ligeramente mayor que Ta.

Tabla 4 - Máxima Diferencia de Ta con respecto a Ti

Volumen de Reservorio

350 500 800 1000 1500 1600 2000 3000

Ta 3.554 3. 35 3.695 4.41 O 00 4.107 4.72 5.04^1 - Ta)x 100

Ti 1.8 1.8 4.7 2.5 4.3 4.5 2.7 4.7

2.5.2 Segundo Modo de Vibración

Observando los desplazamientos de los segundos modos de vibración mostrados en la figura 23 y en la Tabla 3 se puede inducir de una manera análoga a la descrita en el item 2.5.1, que el segundo modo de vibración es similar al que le correspondería a un modo de vibración sin masa móvil, ya que su influencia es despreciable desde el punto de vista ingenieril. Para corroborar esta hipótesis se procedió a determinar los períodos de vibración, en su primer modo de reservorios sin masa móvil de agua (Ti) vacío, y luego se comparó con los obtenidos para el segundo modo de vibración de reservorios en los que se consideró la masa de agua (T2) , observándose una diferencia muy pequeña.

37

En la Tabla 5 se presenta la comparación para algunos rcservorios que están en la relación Hf/Hc = 3.5.

La Tabla es representativa de los 360 reservorios diseñados en esta Tesis.

Tabla 5 - Comparación entre el segundo modo de vibración y el

correspondiente a reservorios sin masa móvil de anua

★ ■k ★

(El) f T2 TI DiferenciaCAPACIDAD (El) c (Seg) (Seg) en %

350 0.369 0.217 0.217 0.0%500 0.148 0,360 0.3 61 - 0.3%800 0.327 C.404 0.405 - 0.2%

1000 0 . 4 G.233_ __ 0. % |1500 0.326 0.428 0.429 - 0.2% 11600 0.316 0.431 0. 432 - 0.2%2000 0.11 C.576 0.579 - 0.5%3000 OCMO 0.470 0.471 - 0.2%

T2* Período del segunde modo de vibración de lo^reservorios que incluyen la masa móvil del agua MI.

Ti** Período del primer modo de vibración de los reservorios que no incluyen la masa móvil del agua.

En la figura 24 se muestran los espectros de diseño

39

sísmico especificados en el Reglamento Nacional de Construcciones del Perú (1977); se gráfico los espectros para los suelos tipo I, tipo II y tipo III. En la parte superior de la figura se muestra el rango en que se ubican los valores de Ti y T2 para los 360 reservorios estudiados.

2.6 FUERZAS DE INERCIA

Se determinaron las fuerzas cortantes en los diferentes niveles, para cada uno de los modos, con la siguiente expresión :

Vi =

H [

j [v í 1 D ión J [ 9J [ c / Rd]Factor de Participaci<

i = Fuerza cortante modalizada del análisis dinámico

Factor de Participación^ = El correspondiente a cada modo

Aceleración de la gravedad = 9.81 m/seg.

Z.U.S

C = 0.8 Espectro de diseñoT + 1 Ts

Rd Factor de ductilidad 3

Z = Factor de zona

U Factor de uso e importancia = 1.3

S = Factor del tipo de suelo

40

Para los diseños efectuados en el capítulo II y III de esta tesis se tomó un valor representativo de ZUS = 1.

En la figura 25 se muestra un análisis típico de un reservorio de 1,600 M3 de capacidad, que corresponde al que tiene las- siguientes relaciones :

H fuste/ H cuba = 3.5 (El) f = 0.316 (EI)c.

En esa figura se puede notar que el primer modo corresponde prácticamente al comportamiento del agua y el segundo modo corresponde al reservorio sin considerar la masa móvil del agua.

Estos resultados, presentados en forma similar para los 360 reservorios diseñados, hacen pensar que el problema se puede atacar de una manera equivalente si es que se procesan los reservorios sin la masa móvil de agua y posteriormente se les suma el efecto ocasionado por el agua, calculado considerando que el resorte de la masa móvil del agua se apoya en un elemento sin desplazamiento.

Para verificar esta hipótesis se ha subdividido el comportamiento del mismo reservorio, como se muestra en la figura 26. En este caso el comportamiento del agua se obtiene directamente de la siguiente manera :

Ca 0.8 ^ 0 . 4Ta + 1 ^ 0.16Ts

Para suelo tipo I se tendrá

41

9 O *0

35.8

.3

-o

■o

■0

■o

•o

,er( a )

M o d o

©

©

■5.7

118.8

27.9

■10.3

— 6.8

|— 3.8

- 1.5

- .2

(b) (c) = (a)abso luto + (b)abso luto2 d0 Modo

Las fuerzas cortantes están en Tn.

FI6. 25 F U E R Z A S DE INERCIA PARA R ESER V O R IO V = l 6 0 0 m 3 , ANALISIS DINAMICO Hf/He = 3.5 , (EI)f/(EI)c = 0.316

42

OJJ A A A A r-n 35 31' | ^ V A A - Q =

+

0 9

7 ©

6 ©

O s ©

0 4 ©

O 3 ©

0 2

i7777777

5.7

©

119.2

28.0

10.4

6.9

3.8

1.5

.2

1^ MODO J ( f ) = (d )+ (e )

d) = Efecto de la masa móvil ( e ) = Reservorio sin la masamóvil

Las fuerzas cortantes están en Tn.

FIG. 26 ANALISIS CONSIDERANDO UNA SUBDIVISION DE L A ESTRUCTURA PARA RESERVORIO V= 1,600 m3 H f / H C = 3 . 5 , ( E I ) f / ( E I ) C = 0 .3 1 69

43

Ca = ____0.8_____ = 0.054 /.Se adopta Ca = 0.164.107 + 1 0.3

F8 = (ZUS) C W8 = ( 1 ) x 0.16 x 662 35.31 TnRd 3

Las fuerzas correspondientes al primer modo de la estructura (e), ver figura 26, en la que no se considera la masa móvil del agua han sido procesadas por el Computador usando el método de Rayleigh.

En la figura 27 se presenta la comparación de los resultados obtenidos para el análisis dinámico integral (correcto) y el de sub-división de la estructura, notándose que por estar en el orden del -0.33%, se puede aceptar desde el punto de vistaingenieril este planteamiento ya que la diferencia es pequeña.

Para concluir, se puede plantear la idea que para reservorios elevados entre 350 M3 y 3,000 M3 de capacidad, con estructura de soporte de forma cilindrica, se puede solucionar el problema del comportamiento hidrodinámico de la estructura, realizando una sub-división; de esta forma, se analizaría el reservorio sin considerar el efecto de la masa móvil de agua, y por separado se encontraría la fuerza que produce la masa móvil del agua y luego se efectuaría una suma de esos valores, así como se esquematiza en la figura 26.

44

©

©

2.69

17.3456.12

■13.18

----^4.87

--- - 3 . 2 1

1.79

.71

.09777777

Q = 2 l l . 7 T n ( l 0 0 %)

ANALISIS INTEGRAL

777777

l

O 9

® -Q 7

o 6 © L

O 5 © -

n® -

O 3 © ■

O 2 © -

V '© -

4+77 7TV

2.69

16.6856.31

13.2

4.91

3.26

1.79

.71

.09

0=211.01 Tn (9 9 .6 7 % )

ANALISIS POR SUBDIVISION

Los fuerzas concentradas en los diferentes niveles están en % , siendo 211.7 Tn = 100 %

FIG. 27 COMPARACION ENTRE DISEÑO INTEGRAL Y ESTRUCTURA SUBDIVIDIDA. PARA RESERVORIO V = 1,600 m3

Hf/HC = 3 . 5 , ( E l ) f / ( E I ) c = 0 . 3 1 6

45

2.7 INFLUENCIA DE MODOS SUPERIORES

Habiendo efectuado una sub-división de la estructura como se muestra en la figura 26, se procedió a realizar el análisis dinámico de la sub estructura que no contiene la masa de agua.

De los resultados por computadora para los 360 reservorios analizados, se observa claramente la importancia que tiene el trabajar como mínimo con los dos primeros modos de vibración.En la figura 28 se puede observar que de no considerar el segundo modo de vibración, la diferencia en fuerzas cortantes estaría por el orden del 7.4% y en momentos de flexión estaría por el orden del 4.8%; esto significa que la diferencia observada en los momentos de flexión es aproximadamente el 65% de la diferencia observada en fuerzas cortantes y fuerzas de inercia.

Estos valores aún cuando son presentados para el reservorio de 1,600 M3 de capacidad descrito en el item 2.6 son representativos para otros reservorios.

Para la agrupación de la participación de cada uno de estos modos se utiliza el concepto señalado por el Reglamento Nacional de Construcciones del Perú (1977), en el que señala que las fuerzas cortantes y momentos de los diferentes modos se agrupan según la siguiente expresión :

Qí, ♦ •Valores Absolutos de Qn

En la Tabla 6 se presentan los valores que corresponden primeras formas de modo del reservorio descrito en el para la sub estructura que no lleva la masa móvil de agu

a las dos Item 2.6; a.

4/bfó £

R E S F R V 0 R 1 Ü S I N NñSfí MOVIL ÜL ÑGUfí

VulMEP btl ttPiEkVMlQ ióOf ijttfumii ti>¡l i n d a 1/e oe'orsscion par carie* (£l/caíte .326 * tüiCabs 07.) P.esarte - 0 ían?»t

hLfl/Pi íOl/ti /*c.

H tas te t >¡ cana - 3. 5 dDUbs -- 2.0672̂ . ' T.! 3<;í3 - /.JO?’ Si].

H U Ii t i l l '? . ! PiSG m o ! KOM 2* n * m n n 4 < ¡ h * > t t * i u n t 4 * * i t i f i ¥ t n t m i i t n t ' . i f n t t > n * t > n t t t : } t - ? * * * * * m -

0.3S920

9521000 m o ¡ - 0.432 sej. m u c . m o ¡ S2.iiP U IW n m 2 -- 0.0*¿ $*$. PM/K. Míft 2 M.v* !

P3ÍHC. üCCft. »'<■'. :

nc3t*"Q.i7C f c u M*Cf> rt. p e r a o Ft

HOLtíUX b i t P tSmt lP iO j m »J Al H?.M 7J;0c 37,575 üt.

*Sl i n d a / e <¡efor*ecion par c o r te * S f a i t e ! H cam : 3,5■' ÍDfas ie . S U * ( E M a b a (EDáaba -- ¡.0672*09 Jen f?2(*) Pi'orie - ¡5$ Tcp/st I egai - *.107 ‘¡eg.

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i*t*+*r**!****nit**t***n*rtitt*M*í*t**i****a**t*i**t*i****nnii*******nn*

in*fi*n**r***tit*>t**ti** *****************************************************

48

CAPITULO III

DETERMINACION SIMPLICADA DE PERIODOS DE VIBRACION

3.1 PRIMER MODO

Como se indico en el Item 2.5.1 el primer modo de vibración proporciona un período Ti que se puede asumir igual al período de vibración del agua móvil, calculada según lo descrito en las figuras 16, 17 y 18.

El error máximo es de 4.7% para los 360 Reservorios diseñados. Además, de la figura 24, se puede notar que para todos los casos en que se trabajó con suelos tipo I y tipo II, así como también en la mayor parte de casos de suelos tipo III, se localiza en la zona que corresponde a C = 0.16, que es el valor mínimo; por lo tanto , el error se hace prácticamente nulo.

3.2 SEGUNDO MODO

En todos los reservorios diseñados se ha observado una gran dispersión de los valores T2, sin embargo tratando de encontrar una ley que permita determinar de una manera simplificada este período de vibración, se ensayó con varias relaciones en las que interviene la rigidez de la estructura, el peso y la altura del reservorio, habiéndose encontrado que la mejor expresión es la siguiente :

T2 = f2 Ft (Ht - Hc/2)'g (El),

49

f2 Constante adimensional

Pt Peso total de la estructura, incluyendo el de las masas deagua fija a la estructura (Mo) y la masa móvil (Mi). En Tn. (ver figura 20).

Ht = Altura total del reservorio = Hf + He. En mts.

g = Aceleración de la gravedad 9.81 m/seg2.

E M^ulo de elasticidad del fuste. En Tn/M2

I Momento de inercia del fuste en M.

T2 Seg.

Si llamamos J2 = f2, la expresión anterior se puede escribir como:

T2 J2 !Pt (Ht - Hc/2)(Ellf

Para cada uno de los 360 reservorios se calculó la expresión J2, la misma que ha sido graficada en la figura 29, en la que se puede observar como varia de acuerdo a la relación (EI)f / (EI)c.

PT (H

t -H

c/

2)3

(E l

)f

IIOJ"D

9.0

8.8

8.6

8.4

8.2 ^

8.0

7.8

LPO

FIG. 29 VARIACION DE T2 EN FUNCION AL TIPO DE RESERVORIO

PtÍH

t-H

C/2

)3

(E I

),

51

(E Dfuste (E Dcuba

FIG. 3 0 P L 0 T E 0 DE RESULTADO DE 360 DISEÑOS DE R E S E R V O R IO S ELEVADOS

52

valores máximos y mínimos encontrados en la figura 29, han sido llevados a la figura 30, determinándose una zona muy bien definida dentro de la cual se encuentran los valores de J2. Tratando de presentar expresiones conservadoras (períodos más cortos), se pueden obtener los valores de J2 de la Tabla 7.

Tabla 7 - Valores de J2 para determinar el período de vibración

T2, para reservorios elevados

(El) fuste/(EI) Cuba 0.1 0.3 0.5 ^0.9

J2 = T2, *¡Pt (Ht - Hc/2? 0.79 0.81 0.82 0.831 V (EI)f

Se observa en la figura 30, que el error máximo estaría en el orden ue 7.3%. Si ese error lo llevamos al espectro de diseco, en la vecindad de C = 0.4, el °rror máximo en el cálculo delespectro C estaría en el orden de 4.5% para los tres tipos de suelos. Ver figura 24.

Esto en realidad se puede considerar aceptable desde el punto de vista de Ingeniería.

expresiones encontradas han tomado en cuenta la deformación corte de la estructura.

53

3.3 ERRORES SI NO SE CONSIDE^N DEFORMCIONES POR CORTE

Uniendo en cuenta que el hecho de considerar la deformación de corte para el cálculo de los modos de vibración hace más laborioso el problema, cuando no se hace uso de un computador; se procesaron los 360 reservorios nuevamente sin considerar la deformación por corte y se compararon los períodos de vibración a fin de observar el grado de error que esto produce.

Se observó que en cuanto al período Ti, no existe prácticamente ninguna diferencia, ya que este valor está gobernado por el movimiento propio del agua.

En cuanto a los períodos T2 sí existe diferencia, la misma que se hace muy marcada cuando la relación de la altura del reservorio al diámetro del fuste es baja.

En la figura 31 se han graficado las diferencias entre los períodos para todos los 360 reservorios estudiados pudiéndose observar que para relaciones de (Ht - He/2) / Df = 1.5, el error es de aproximadamente 5%. y que para (Ht - Hc/2) / Df = 2 el.

en el orden del 3%.Hc/2) / Df

00

95

9 0

.85

801.0 1.5 2.0 2.5

Ht - —

3.0 3.5 4.

Envolvente para valores obtenidos de 360 reservorios

(T2)sc= Periodo T2 evaluado sin considerar la deformación de corte

(T2)cc = Pericjdo T2 evaluando consideráis© la deformación de corte

DfFIG. 3 1 ERRO RES AL EVALUAR T2 SIN CONSIDERAR DEFORMACION

POR CORTE

55

CAPITULO IV

^T O D O ESTATICO S I ^ L IF IC A D O PARA LA DETERMINACION DE FUERZAS

HORIZONTALES, FUERZAS DE CORTE Y MOMENTOS FLECTORES

4.1 FORMULACION DEL ^TODO

El método de análisis estático simplicado es concordante con lo especificado en el acápite de Normas Sísmicas del Perú (RNO - 1977).

4.1.1 Parámetros del Agua

D eterm in ar l o s s i g u i e n t e s v a l o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s a l

f l u i d o a lm a c en a d o .

Wo Piso del agua a considerarse fija al reservorio

W1 = Peso del agua móvil ligada al reservorio

Ho y H1 = Alturas donde se ujican Wo y W1 respectivamente

Ta = Período de vibración drl agua

tós valores anteriormente descritos pueden evaluarse con las figuras y tablas dei anexo A.

Para l a e v a l u a c i ó n de l o s v a l o r e s a n t e r i o r e s en r e s e r v o r i o s

de fondo irregular se considerará la altura equivalente H = x4 V / ^ D , como se muestra en la figura A. 5 del anexo A.

56

4.1.2 Período de vibración de la estructura

Determinar el período T2 de la estructura

T2 f2 Pt (Ht - Hc/2) (El) f

, donde

Pt = Pe + Wo + Wl Peso total en Tn.

Pe Peso de la estructura

Ht Altura total del reservorio en mts. (ver fig. A.6)

He = Altura de la cuba en mts. (ver fig. A.6)

E Modulo de elasticidad del fuste, en Tn/m2

I Momento de inercia del fuste, en m4

T2 Período de vibración de la estructura, en seg.

f2 Constante adimensional (ver Tabla 8)

g Aceleración de la gravedad (9.81 m/seg2)

Tabla 8_____Valores de f2 ¿ara determinar T2

(El) fuste/(El) Cuba 0.1 0.3 0.5 £0.9

0.78 0.81 0.82 0.83

57

Para valores intermedios podrá efectuarse una interpolación lineal.

4.1.3 Fuerza de inercia de masa móvil de agua. Fa

Se evaluará en concordancia con el Reglamento Nacional de' Construcciones del Perú.

En el Reglamento vigente del año 1977 se estipula

Fa = ZUSC (Wl)Rd

^ n d e

Fa Fuerza en Tn. ubicada en el nivel de Wl (ver fig. A.6 del anexo A)

Wl Peso de la masa móvil de agua

Z Factor de zona

U = 1.3 factor de una importancia

S 1.0, 1.2 ó 1.4 para suelos tipo I, II ó III

Rd=3 Coeficiente de ductilidad

C = _____ 0.8Ta + 1Ts

Ts Período predominante del suelo

58

4.1.4 Fuerzas de inercia de la estructura

Se considerará a la estructura, conformada por una serie de masas concentradas, como se muestra en la figura A. 6 del anexo A.

F ZUSC (Pe + Wo)Rd

Donde

F Fuerza Basal en Tn.

Z, U, S, y Rd están descritos en 4.1.3

C = 0.8T2 + 1Ts

La fuerza basal, será distribuida en fuerzas horizontales por niveles mediante la siguiente expresión.

Fi (0.95 F) (Pi) (hi)^ ( P i ) (hi)

Adicionalmente se deberá concentrar en el techo un 5% de H.

4.1.5 berzas cortantes y momentos flectores

Serán evaluados teniendo en cuenta la suma de los efectos producidos por la fuerza de inercia de la masa móvil de agua, calculada en la sección 4.1.3, y las fuerzas de inercia de la estructura, calculadas en la sección 4.1.4.

59

4.2 COMPARACION ENTRE EL ANALISIS DINAMICO Y EL ANALISIS POR METODO ESTATICO SIMPLIFICADO

Se efectuó los análisis para los reservorios motivo del presente trabajo. Cada uno de los reservorios fue analizado para lassiguientes relaciones .*

Condición más rígida He/Hc 2 y (El) f / (El) c 0.9

Condición más flexible Hf/Hc 6 y (El) f / (El) c 0.1

Para suelo tipo I; (S 1.0, Ts 0.3 seg.)

Para suelo tipo II; (S 1.2, Ts 0.6 seg.)

Para suelo tipo III; (S 1.4, Ts 0.9 seg.)

Lo que da la cantidad de 6 diseños completos para cada uno de los 8 tipos diferentes de reservorios (48 diseños en total)

4.2.1 Metodología para el análisis dinámico

Se procedió sub-dividiendo la estructura de la forma descrita en la sección 2.6 de esta Tesis. Ver fig. A.6 del anexo A.

La estructura fue analizada con 2 modos de vibración, estos resultados fueron combinados efectuándose el promedio entre la suma absoluta y la media cuadrática de los modos. Finalmente se efectuó la suma de los valores absolutos de la combinación de los dos modos y la fuerza de la masa móvil del agua evaluada según 4 1.3.

60

4.2.2 Metodología para el análisis estático

Se procedió de manera similar a la planteada en el item 4.1 de este capítulo.

4.2.3 Interpretación de resultados

Para evaluar el grado de aproximación del método estático simplicado propuesto, se procedió a relacionar las fuerzas cortantes y momentos flectores encontrados mediante un análisis dinámico y los evaluados mediante el Estático Equivalente.

Al calcular las fuerzas de inercia mediante el Método Estático Simplificado, se realizaron varios análisis preliminares, concentrando un porcentaje de la fuerza basal en el techo del reservorio, de manera que la relación (Diseño Dinámico) / (Diseño Estático) se mantuviera aproximadamente en forma pareja a todo lo alto del reservorio, habiéndose observado que al concentrar un 5% de la fuerza basal en el techo se encontraba un cierto equivalente. Esta es la razón fundamental por la que en el Método Estático Simplificado se plantea que se efectúe esa concentración.

En las Tablas 9 y 10 se puede observar que el Método Estático Simplificado es más conservador que el Dinámico, existiendo una diferencia entre ellos que varía entre un 4% y un 17% dependiendo del tipo de suelo, rigidez y altura del reservorio.

TABLA N° 10 RELACION (DINAMICO / ESTATICO) PARA FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES

CapacidadM3

HfHe

(El) f (El) c

★

(T2)

★ ★

(T2)

CORTANTES MOMENTOS

Suelo I Suelo IISueloIII Suelo I Suelo II

SueloIII

350 2 0.9 0.069 0.067 0.8987 0.8987 0.8995 0.8936 0.8931 0.89456 0.1 0.908 0.934 0.9335 0.8640 0.8399 0.9091 0.8621 0.8445

Cflfl 2 0.9 0.074 0.069 0.8996 0.8996 0.9003 0.9936 0.8936 0.8944O vj vj6 0.1 0.962 0.973 0.9302 0.8593 0.8356 0.9051 0.8556 0.8388

onn 2 0.9 0.120 0.117 0.8932 0.8933 0.8933 0.8874 0.8874 0.8875oUU6 0.1 1.596 1.641 0.9563 0.9124 0.8702 0.9209 0.8950 0.8651

1000 2 0.9 0.113 0.103 0.9118 0.9118 0.9118 0.9059 0.9059 0.90596 0.1 1.419 1.399 0.9604 0.8915 0.8613 0.9294 0.8796 0.8583

i qnn 2 0.9 0.129 0.124 0.9130 0.9130 0.9130 0.9044 0.9044 0.90441 3 U U6 0.1 1.685 1.699 0.9599 0.9192 0.8815 0.9269 0.9004 0.8740

1600 2 0.9 0.127 0.124 0.9201 0.9201 0.9201 0.9116 0.9116 0.91166 0.1 1.672 1.676 0.9614 0.9197 0.8852 0.9304 0.9022 0.8780

orinn 2 0.9 0.106 0.102 0.9227 0.9227 0.9227 0.9176 0.9176 0.9176vj vj vj6 0.1 1.319 1.355 0.9653 0.9180 0.8892 0.9379 0.9092 0.8870

2 0.9 0.049 0.036 0.9222 0.9222 0.9240 0.9085 0.9085 0.9107jUUU

6 0.1 0.467 0.498 0.8994 0.8422 0.8446 0.8907 0.8424 0.8451

(T2)* Período de vibración (T2) según Análisis Dinámico(T2)** = Período de vibración (T2) según Análisis Estático propuestoLos cortantes y momentos de la Tabla corresponden a la base de los reservorios

62

CAPITULO V

CONCLUSIONES Y RECO^NDACIONES

5.1 CONCLUSIONES

La masa de agua en un reservorio se puede modelar usando un Sistema Mecánico Equivalente, que consiste en una masa fija Mo y una serie de masas puntuales Mn ligadas a las paredes del reservorio, por medio de resortes con una rigidez Kn. Cuando la relación altura a longitud es H/L < 3/4, las masas Mn se pueden reemplazar por una sola masa MI.

Si los reservorios elevados son de Concreto Armado con estruc­tura Cilindrica de Soporte, el primer modo de vibración corresponde a un movimiento arande de la masa móvil de son? y a un desplazamiento muy pequeño de la estructura. El segundo modo de vibración corresponde a un movimiento de la estructura similar al del reservorio vacío y a un movimiento casi n ’*n de la masa móvil del agua.

Si se efectúa una subdivisión del comportamiento estructu­ra-agua considerando la masa móvil del agua ligada a un nuuto fijo y se le suma el efecto que produce el reservorio sin '.a masa móvil de agua, los valores de las fuerzas de inercia, coreantes y momentos de flexión tienen una gran similitud con los que corresponden al análisis integral de la estructura, efectuando la suma absoluta de sus dos primeros moaos de vibración.

E1 período de vibración correspondiente al primer modo de vibración es muy parecido al período de vibración de la masa móvil del agua, existiendo una diferencia entre ellos de hasta 4.7%.

63

El período de vibración correspondiente al segundo modo de vibración es muy parecido al período del primer modo de vibra­ción correspondiente a un reservorio sin la masa móvil de agua Mi, existiendo una diferencia entre ellos de hasta 2.7%.

El periodo de vibración correspondiente al segundo modo de vioración se puede calcular aproximadamente con la siguiente expresión

T2 Pt (Ht - Kc/2) (EI)f

máximo que se observó entre la fórmula y el verdadero análisis modal es de 7.3%.

muestran en la Tabla 7. El error los valores de T2 calculados con

valor de T2 obtenido mediante un

Pi en el análisis ^ ^ a l de un reservorio elevado con e«^fac­tura cilindrica de soporte no se considera la deformación por corte, el error en la evaluación del período de vibración T2 en de aproximadamente 5% para relaciones (Ht - HC/2; / Cf =1.5 y se incrementa rápidamente cuando la relación es rncrr do i . 5

El método estático simplificado propuesto en esta Tesis da valores para fuerzas cortantes y momentos flectores, entre 4% y 17% superiores a los obtenidos mediante análisis dinámico.

5.2 RECOJ^ffiNDACIONES

Se recomienda hacer un programa de trabajo experimental para determinar con instrumentos los valores reales de los períodos de vibración y compararlos con los obtenidos mediante métodos analíticos; de esta manera se podrá evaluar la influencia del suelo y también se podrán encontrar expresiones para corregir les valores de la rigidez de la estructura El.

64

Se recomienda efectuar el diseño de reservorios mediante méto­dos más exactos, considerando la interacción entre el suelo y la estructura para evaluar la diferencia que existe con un análisis simplificado considerando el empotramiento en la base.

65

NOMENCLATOR, USADA

A ■ = Area de la sección transversal de la estructura del reservorioAo = Amplitud máxima del movimiento en la base del muro del reser­

vorioa Velocidad del sonido en el agua = 1438.4456 m/seg.D = Diámetro del tanque circularE = Módulo de elasticidad de la estructura del reservorio Ev M^ulo de compresibilidad volumétrico del agua = 210,920 tn/moe = ErrorG Módulo de rigidez de corte del reservoriog Aceleración de la gravedad. Asumido = 9.81 m/seg.2H = Altura del nivel libre del agua en reposoH Altura promedio del nivel libre del agua en reposoHe = Altura de la cubaHt Altura del fuste (soporte de la cuba)Ht = He t Hfho = Altura de masa fija del agua, con respecto al fondo del rese'-

votiohl =■ Altura de masa móvil con respecto al fondo del reservorio I = nento de inercia de la estructura del reservorioK = Rig.dez que liga la masa 1 con el tanqueKn = Rigidez que liga móviles con paredes del tanqueL Longitud del fondo del reservorioM = lamento de volteom = 1, 3 ..... modos de vibraciónm = Masas asociadas al movimiento del tanque p Presión dinámica del fluidopo = Presión en la base del murop = Presión adimensional = p / ^ ̂ HQ = j'Merza cortante en el muro~Q = Empuje adimensional

6 6

TTaTstV Wf Wi XY Z

f a

&

A

£(t)

(seg) PeríodoPeríodo de la masa móvil de agua Período predominante del suelo Tiempo VolumenPeso total del fluidoPeso de la masa en el nivel iEje coordenadoEje coordenadoEje coordenadoProporción máxima de la aceleración de la gravedad en el movi­miento perturbadorFrecuencia adimensional de las ondas elásticasPeso volumétrico del aguaDesplazamientosDesplazamiento de las partículas de fluido a lo largo del eje "X"longitud de onda de la ola 3 . 1 4 1 5 9 2

Función armónica que depende del tiempo Función potencial de velocidadesFrecuencia angular del movimiento armónico perturbador o de oscilación libre

67

REFERENCIAS

1. Armando Flores Victoria. "Presión Hidrodinámica en Presas y Tanques". Universidad Nacional Autónoma de México, 1963

2. Reglamento Nacional de Construcciones del Perú 1972

3. George W. Housner. "The Dynamic Behavior of Water Tanks", Bulletin of the Seismological Society of Perica, Vol 53, N* 2, February 1963

4. George W. Housner. "The Behavior of inverted Pendulum Structures During Earthquakes". Bulletin of the Seismological Society of America* February 1963

5. Jorg° Bustamante, Erailio Rosenblueth, Ismael Herreya y Armando Flores. "Presión Hidrodinámica en Presas y Depósitos". Boletin de la Scciedad Mexicana de Ingeniería Sísmica, 1964

6. Emilio Rosenblueth, N.M. Newark. "Fundamentals of Earthquake Engineering". 1971

7. Aurel A. Beles, Michail D. Ifriiu y A. García Yagüe. "Elementos de Ingeniería Sísmica". Ediciones Omega, Barcelona, 1975

8. Roberto Montes Gómez. "Diseño Sísmico de Chimeneas". Tesis de maestro en Ingeniería, México, 1967

9. Robert L. Wiegel. "Earthquake Engineering" Prentice Hall,U.S.A., 1970

68

ANEXO "A" - FIGURAS Y TABLAS

Figura A.l Reservorio rectangular. Sistema Mecánico Equi­valente. H/L ^0.75

Figura A.2 Reservorio circular. Sistema Mecánico Equiva­lente. ^ 0.75

Figura A,3 Valores Wo, Wl, ho y hi. Sistema Mecánico Equi­valente. H/L, H/D ^ 0 . 7 5

Figura A.4 Valores T y K. Sistema Mecánico Equivalente. H/L,. H/D ^ 0 . 7 5

Figura A. 5 Va lores de W0, Wl, W2, Z0, Zl y Z2. Sistema Me ■ cánico Equivalente. Cualquier valor H/L.

Figura A.6 Valores de TI, T2, Kl,S3. Sistema Mecánico Equivalente. Cualquier valor H/L.

Figuic. A.l Solución aproximada. Sub-dividiendo el compor­tamiento del reservorio.

Table. A.l Valores para Reservorios circulares H/D ^0.75

Tabla A.2 Valores para Reservorios rectangulares H/L 0.75

Tabla A.3 Valores para Reservorios rectangulares H/L cualquier valor

69

P L A N T A

h

w/z k/a^ V V - ( w t W V \ A "

y ^ xv y

Kt

( o ) Í M

T w l ^ L t TanWa,_______2 HW? > ^ L

2 HHK „ fWi f.H .» 12 J (-£■)

W r 5 T c U ^ f )W 6

Ta = 2n

h o - | H I f^( W fWo I) ht = H I-

COS h

~ sen ~ )

Cuando se toman en cuenta las presiones del fondo y paredes del tonque: ■ ' ^ = 1.33, ^ = 2

Cuando sólo se consideran los efectos ae las presionas en los poredes (Coso usado en esta t e s i s ) :

^ s O t •

F1G. A"! TANQUE RECTANGULAR. SISTEM A MECANICO EQUIVALENTESIM PLIFICA D O H / L ^ 0 .75 '

70

(a )

w, T°" w, 363 Tml' (,̂ T lv r

2 H WF 512 f ü s -g-

31L .Wf

45 ,w 1 . i . H . iT 1 '"o '1- T° ‘ 2" / F

wp _ i\”ieos h(/?3]5-g-)- ^

no 13 M - n' ^Í3!5 “ -senh(^Í3:5^ )

Cuando se toman an cuenta las presiones del fondo y paredes del tanque:^=1.33 t ^ = 2

Cuando soto se consideran los efectos de las presiones en las paredes (Caso usado en esta tesis ) :

^ » I<^*0 > •F I6.A 2 TANQUES CIRCULARES. SISTEM A MECANICO EQUIVALENTE

SIMPLIFICADO H/O < 0.75

71

72

- 73

~ 74 -

'.4

1.2

.0

T«V - i /ÍT

X\

—s.

\

K T ». \ f ü L -

R - ■,

0.8

0 . 6

0 . 4

0 .3.75 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.8

; £

W F

0.817

.75 1.0 1.5 2 .0 2.5H/L

FIG. A6 SISTEMA' MECANICO EQ UIVALEN TE - RESERVORIOS RECTANGULARES. PARA CUALQUIER H /L . "T11 y " K "

75

(El)f

(El)

MODELO DE LA EFECTO DEESTRUCTURA Y AGUA MOVILEL AGUA -M O V I L

FIG. A - 7 SOLUCION APROXIMADA. SBDIVJDIENDO EL COMPORTAMIENTODEL RESERVORIO

76 -

Wt, _ Ton h ( ^ n H/ L )WP " H/L

* (isWo WftWp n=l Wp

Z n _ J ____ Ton h Q#n .H/L)H ” 2 ' ^ n H / L

■

. . - .■■ .. V’-. , ZnH -• Wo ÍT Í ' WF 1 ~H

H K n _ 2 Ton h2 ( 2^ n H /Lw

T .1

( 2 n - D ^ / 2

Los valores de Wn para n^.3 son muy pequeños

FIG. A8- SISTEMA MECANICO EQUIVALENTE PARAR E S E R V O L O S R E C T A N G U LA R E S # CUALQUIER H /L (Graham y Rodriguez)

no»?*

77 -

Tom.ft ñ, í

c X & C L f £ .

<H/B < 0 . 7 5 >

m Ho/Hf H UH / Ho/H H UH Is/ H HKl/Hf#HWIÍíHfHJHfííHííHH»HfHííííHHHÍÍHfíHHííHHfíiííHHHHíHHHHíHHHI*«

0 . 0 2 5 0.022 0 . 7 0 7 0 , 3 7 5 0 . 5 0 0 2 0 . 1 1 9 0 . 0 0 70 . 0 5 0 0 . 0 5 0 0 . 7 0 1 0 . 3 7 5 0 . 5 0 1 - 1 0 . 1 0 2 0 . 0 2 00 . 0 7 5 0 . 0 0 7 0 . 6 9 2 0 . 3 7 5 0 , 5 0 3 6 , 7 0 1 0 . 0 6 1

0 . 1 0 0 o . m 0 . 6 7 9 0 . 3 7 5 0 . 5 0 6 5 . 1 3 4 0 . 1 0 4

0 .1 2 5 0 . 1 4 4 0 . 6 6 3 0 . 3 7 5 0 . 5 0 9 4 , 1 5 5 0 , 1 5 50 . ISO 0 . 1 7 3 0 . 6 4 5 0 . 3 7 5 0 . 5 1 2 3 . 5 1 1 0 . 2 1 10 . 1 7 5 0 . 2 0 2 0 . 6 2 5 0 . 3 7 5 0 . 5 1 7 3 ,0 5 7 0 . 2 6 9

0 . 2 0 0 0 , 2 1 1 0 . 6 0 4 0 . 3 7 5 0 . 5 2 1 2 . 7 2 1 0 . 3 2 6

0 , 2 2 5 0 . 2 6 0 0 . 5 0 2 0 .375 0 . 5 2 7 2 . 4 6 4 0 . 3 6 60 . 2 5 0 0.200 0 . 5 6 6 0 . 3 7 5 0 . 5 3 2 2 . 2 6 1 0 . 4 4 10 . 2 7 5 0 . 3 1 6 0 . 5 3 7 0 . 3 7 5 0 . 5 3 % 2 . 0 9 6 0 . 4 9 1

0 . 7 0 0 0 . 3 4 4 0 . 5 1 5 0 . 3 7 5 0 , 5 4 5 1 . 9 6 4 0 . 5 3 6

0 . 3 2 9 0 . 3 7 2 0 . 4 9 4 0 : ^ 5 0 . 5 5 2 1 . 0 5 2 0 . 5 6 00 . 7 5 0 0 . 3 2 0 0 . 4 7 3 0 .3 7 5 0 . 5 5 9 1 . 7 5 7 0 . 6 1 70 . 3 7 5 0 . 4 2 5 0 . 4 5 3 0 .Í7 S 0 . 5 6 7 1 . 6 7 6 0 . 6 4 9

0 . 4 0 0 0 . 4 5 0 0 . 4 3 4 0 .375 0 . 5 7 4 1 . 6 0 5 0 . 6 7 6

0 . 4 2 5 0 . 4 7 4 0 . 4 1 6 0 . 3 7 5 0 . 5 0 2 1 . 5 4 3 0 .7020 . 4 5 0 0 . 4 9 0 0 . 3 9 0 0 . 3 7 5 0 . 5 9 0 1 . 4 0 9 0 . 7 2 40 . 4 ) 5 0 . 5 2 1 0 . 3 0 2 ■ 0 , 3 7 5 0 . 5 9 7 1 . 4 4 0 0 . 7 4 2

0 . 5 0 0 0 . 5 4 2 0 . 3 6 7 0 . 3 7 5 0 . 6 0 5 1 . 3 9 7 0 . 7 5 7

0 . 5 2 5 0 . 5 6 3 0 . 3 5 2 0 . 3 7 5 0 . 6 1 3 1 . 3 5 7 0 . 7 7 00 , 5 5 0 0 .5 0 3 . 0 . 3 3 9 - 0 . 3 7 5 0 . 6 2 1 ' 1 . 3 2 1 0 . 7 6 10 . 5 7 5 0 . 6 0 2 0 . 3 2 6 0 .3 7 5 0 . 6 2 9 1.200 0 . 7 9 0

0 . 6 0 0 0 . 6 2 0 0 . 3 1 4 0 . 3 1 5 0 . 6 3 7 1 . 2 5 6 0 . 7 9 6

0 . 6 2 5 0 . 6 3 7 0 . 3 0 3 0 ,375 0 . 6 4 4 1 . 2 3 0 V. 51/50 < ^ ¡ 0 ,0 5 3 0 . 2 9 2 0)32-5 0 . 6 5 2 1 . 2 0 4 • 0 . S 1 00 . 6 / 5 0 . 6 6 0 0 . 2 0 2 0 . 3 7 5 0 . 6 5 9 L U O 0 . 6 1 5

Q.JO0 0 . 6 0 3 ' 0 . 2 7 2 0 . 3 7 5 0 . 6 6 6 1 . 1 5 7 0 . 6 1 6

0 . 7 2 5 0 , 6 9 6 0 . 2 6 4 0 . 3 7 5 0 . 6 7 4 1 . 1 3 6 0 . 6 2 20 . . 7 S O 0 . 7 1 0 0 . 2 5 5 0 . 3 7 5 0 . 6 0 0 1 . 1 1 6 0 , 6 2 4

78

T M i L ñ ñ . 2

<fí/L < 0 . 7 5 )

t#teft#ftf*g*iff*t*ftt**t****f*ftí*ffí*íftffti-fn#t*tfi*ttnfttititf*ítnfittt**t-*tffitt**ttifBIL BolBf HltHf t¡o/H M i l i W é BXlIBf

MttnttttííitflíiilttHHZtMMmi-t-tfUittttUm-MIÍ-XtXiti-tt-iHHÍfttitiZiitiigSfiti-HMiUtiltn

0 .0 2 5 0 . 0 2 9 0 . 0 3 2 0 . 3 7 5 . 0 . 5 0 0 2 5 . 4 0 2 0 . 0 0 50 .0 5 0 0 ,05% 0 . 0 2 6 0 ,5 7 5 0 , 5 0 1 1 2 . 7 4 0 0 . 0 2 00 . 0 7 5 0 . 0 0 7 0 . 0 1 0 0 . 3 7 5 0 . 5 0 2 8 . 5 3 7 0 . 0 4 5

0 . 1 0 0 0 . 1 1 5 0 . 0 0 7 0 . 3 7 5 0 . 5 0 4 6 . 4 4 8 0 . 0 7 8

0 . 1 2 5 0 . 1 4 4 0 . 7 9 2 0 . 3 7 5 0 . 5 0 6 5 . 2 0 4 0 , 1 1 80 . 1 5 0 0 . 1 7 3 0 . 7 7 6 0 . 3 7 5 0 . 5 0 9 4 . 3 8 3 0 . 1 6 30 . 1 7 5 0 , 2 0 2 0 , 7 5 0 0 , 3 7 5 0 . 5 1 2 3 . 8 0 2 o . m

0 . 2 0 0 0 , 2 3 1 0 . 7 3 0 0 . 3 7 5 0 . 5 1 6 3 . 3 7 2 0 . 2 6 1

0 . 2 2 5 0 , 2 6 0 0 , 7 1 6 0 . 3 7 5 0 . 5 2 0 3 . 5 4 1 0 . 3 1 20 . 2 5 0 0 . 2 0 0 0 . 6 9 4 0 . 3 7 5 0 . 5 2 5 2 . 7 8 5 0 . 3 6 20 . 2 7 5 0 . 3 1 6 0 ,6 7 2 0 . 3 7 5 0 . 5 2 9 2 . 5 6 9 0 . 4 1 0

0 . 3 0 0 0 . 3 4 4 0 . 6 4 9 0 . 3 7 5 0 . 5 3 4 2 . 3 9 6 0 . 4 5 5

'0. <25 0 , 3 7 2 $ . . « ? • 0 . 3 7 5 0 . 5 4 0 2 . 2 5 1 0 , 4 9 80 . 3 5 0 0 . 3 9 0 0.6Ó5 0 . 3 7 5 0 . 5 4 5 2 . 1 2 8 0 . 5 3 70 . 3 7 5 0 . 4 2 5 0 . 5 0 3 0 ,7 7 5 0 . 5 5 1 ■ 2 . 5 2 3 0 . 5 7 3

0 , 4 0 0 0 . 4 5 0 0 . 5 6 2 0 .7 7 5 0 . 5 5 7 1 . 9 3 2 0 .606

0 . 4 2 5 0 . 4 7 4 0 . 5 4 1 0 . 3 7 5 0 . 5 6 4 1 . 8 5 2 0 .6 7 50 . 4 5 0 0 , 4 9 0 0 . 5 2 1 0 . 3 7 5 0 . 5 7 0 1 . 7 8 2 0 .6 6 00 , 4 7 5 0 . 5 2 1 0 . 5 0 2 0 . 3 7 5 . 0 . 5 7 7 1 . 7 2 0 0 .607

0 . 5 0 0 0 . 5 4 2 0 , 4 0 1 0 . 3 7 5 0 , 5 3 3 1 , 6 6 4 0 .707

0 . 5 2 5 ■ 0 . 5 6 3 0 . 4 6 7 0 .3 7 5 0 , 5 9 0 1 . 6 1 4 0 . 7 2 10 . 5 5 0 0 . 5 S 3 0 . 4 5 0 0 .3 7 5 0 . 5 9 7 1 , 5 6 9 0 . 7 3 70 . 5 7 5 0 . 0 0 2 0 . 4 3 5 0 ,3 7 5 0 , 6 0 4 1 . 5 2 7 0 . 7 5 0

0 . 6 0 0 0 , 6 2 0 0 , 4 2 0 0 .375 0 . 6 1 0 1 . 4 9 0 0 . 7 6 2

0 . 6 2 5 ■ 0 . 6 3 7 0 . 4 0 6 0 .3 7 5 0 . 6 1 7 1 . 4 5 5 0 . 7 7 20 . 6 5 0 0 .653 0 . 3 9 2 0 .3 7 5 0 . 6 2 4 1 . 4 2 2 0 . / 8 50 . 6 7 5 0 , 6 6 0 0 . 3 0 0 0 . 3 7 5 0 . 6 3 1 i . m 0 , 7 8 8

0 . 7 0 0 0 . 6 0 3 0 . 3 6 0 0 .7 7 5 0 . 6 3 7 1 . 3 6 5 0 , 7 9 4

0 . 7 2 5 0 . 6 9 6 0 , 3 5 6 0 . 3 7 5 0 . 6 4 4 7.770 0 . 8 0 00 . 7 5 0 0 . 7 1 0 0 . 3 4 5 0 , 3 7 5 0 . 6 5 0 1 . 3 1 4 0 .6 0 5

~ 79

T A B L A fi.3

S I S T E M A MECANICO E Q U IV A L E N T E (TOBO VALOR DE N / D

¥*rtftf*t**tfftf**#*t*'*tHtHtfttltff*fi*fi*fftttt***ítftif#**t*f**fH**t*#**f*i*t*»t* * *ii***tl***¡í*t*****Ziiñ/L 8 o / 8 f H U M W M l o l t 1 U 8 2 2 / 8 8 8 2 / 8 / 8 8 2 / 8 / W 8 W 8

0 . 7 5 6 0 . 6 1 5 0 . 3 3 8 0 . 0 1 3 0 , 0 8 9 - 0 . 2 0 2 0 . 2 1 8 0 . 7 ñ 0 . 0 9 0 1 . 3 1 9 0 . 7 5 50 . 8 7 5 0 . 6 9 2 0 , 2 9 2 0 . 0 1 1 0 . 0 5 3 - 0 . 1 4 0 0 .2 5 8 0 . 7 8 7 0 . 0 8 0 1 . 2 1 5 0 . 6 8 9

1 . 0 0 0 0 , 7 3 0 ■ 0 . 2 5 7 0 . 0 1 0 0 , 0 2 1 - 0 . 0 3 1 0 . 2 8 8 0 . 8 0 5 0 . 0 8 0 U 3 1 0 , 6 5 3

1 . 1 2 5 0 . 7 5 8 0 . 2 2 8 0 . 0 0 8 0 . 0 0 5 - 0 , 0 3 1 0 . 3 1 1 0 . 8 0 8 0 , 0 8 0 1 , 0 6 8 0 . 6 1 61 . 2 5 0 0 , 7 8 3 0 . 2 0 6 0 . 0 0 8 - 0 , 0 0 8 0 . 0 1 0 0 . 3 3 0 0 . 8 0 9 0 . 0 8 0 1 . 0 1 3 0 . 5 8 41 . 3 7 5 0 . 8 0 3 0 . 1 8 8 0 . 0 0 7 - 0 . 0 1 6 ■ 0 . 0 1 9 0 . 3 1 6 0 . 8 1 0 0 . 0 8 0 0 . 9 6 5 0 . 5 5 7

1 . 5 0 0 0 . 8 1 8 0 . 1 7 2 0 . 0 0 6 - 0 . 0 2 2 0 . 0 8 3 0 . 3 5 9 0 . 8 1 0 0 . 0 9 0 0 , 9 2 4 0 . 5 3 4

1 . 6 2 5 0 , 8 3 3 0 . 1 5 9 0 . 0 0 6 - 0 . 0 2 5 0 . 1 1 3 0 . 3 6 9 „ 0 , 8 1 0 0 . 0 8 0 0 , 8 8 8 0 . 5 1 31 , 7 5 0 0 . 8 1 5 0 . 1 4 7 0 . 0 0 5 - 0 , 0 2 8 • 0 . 1 3 8 0 . 3 7 9 0 . 8 1 1 0 . 0 8 0 0 . 8 5 6 0 . 4 8 41 , 8 7 5 0 , 8 5 5 0 . ¡ 38 0 . 0 0 5 - 0 , 0 2 9 0 . 1 6 2 0 . 3 8 7 0 . 8 1 1 0 . 0 8 0 0 . 8 2 7 0 . 4 7 7

2 , 0 0 0 O ' M i 0 . 1 2 9 0 . 0 0 5 - 0 , 0 3 $ 0 . 1 8 3 0 . 3 9 1 0 . 8 Ü 0 . 0 H ' 6 . 8 0 0 0 . 46¿

2 . 1 2 5 0 . 8 7 2 0 . 1 2 1 0 . 0 0 1 - 0 . 0 3 1 0 . 2 0 1 0 . 1 0 0 0 . 8 1 1 0 . 0 8 0 0 . 7 7 6 0 . 4 ¿ 82 . 2 5 0 0 . 8 7 9 0 . 1 1 5 0 . 0 0 1 - 0 . 0 3 1 0 . 2 1 8 0 . 1 0 6 0 . 8 1 1 0 . 0 9 0 0 . 7 5 5 Í . i 3 62 . 1 7 5 0 . 8 8 6 0 , f09 0 . 0 0 1 - 0 . 0 3 1 0 . 2 3 2 0 . 1 U 0 . 8 1 1 0 . 0 8 0 0 . 7 3 4

2 , 5 0 0 0 . 8 8 2 0 . 1 0 3 0 . 0 0 1 - 0 . 0 3 1 0 . 2 1 6 0 . 4 Í 5 0 . 8 1 1 0 . 0 8 0 0 . 7 . 6 0 . 4 1 3

2 . 6 2 5 0 . 8 8 7 0 . 0 9 8 0 . 0 M . - 0 , 0 3 1 0 . 2 5 8 0 . 1 1 9 0 . 8 1 1 0 . 0 8 0 0 . 6 9 8 0 . 1 0 32 . 7 5 0 0 . 8 0 1 0 . 0 8 1 0 . 0 0 3 - 0 . 0 3 0 0 . 2 6 9 0 . 1 2 3 0 . 8 1 1 0 . 0 8 0 0 . 6 8 3 0 . 3 8 42 , 8 7 5 0 . 9 0 6 0 . 0 8 0 ' 0 . 0 0 3 - 0 . 0 3 0 0 . 2 7 8 0 . 1 2 6 0 , 8 1 1 0 . 0 8 0 0 . 6 6 8 y f í i

3 , 0 0 0 0 . 9 1 0 0 . 0 8 6 0 . 0 0 3 - 0 . 0 2 9 0 . 2 8 8 0 . 1 2 9 0 . 8 1 1 0 . 0 9 0 0 . 6 5 3 0 . 3 7 7

3 . 1 2 5 0 . 9 1 3 0 . 0 8 3 0 . 0 0 3 - 0 . 0 2 9 0 . 2 8 6 0 . 1 3 2 0 . 8 1 1 0 . 0 8 0 0 . 6 4 0 0.~7Q3 . 2 5 0 0 . 9 1 7 0 . 0 7 9 0 , 0 0 3 - 0 . 0 2 8 0 , 3 0 1 0 . 1 3 5 0 . 8 1 1 0 . 0 8 0 0 . 6 2 8 0 . 3 6 13 . 3 7 5 0 . 9 2 0 0 . 0 7 6 0 . 0 0 3 - 0 . 0 2 8 0 . 3 H 0 . 1 3 7 0 . 8 1 1 0 . 0 8 0 0 . 6 1 6 0 . 3 5 6

3 . 5 0 0 0 . 9 2 3 0 . 0 7 1 0 . 0 0 3 - 0 . 0 2 7 ' 0 . 3 1 8 0 . 1 3 8 0 . 8 1 1 0.V8V ». fa VlW w 0 . 3 4 9

3 . 6 2 5 0 . 8 2 5 0 , 0 7 1 0 . 0 0 3 - 0 . 0 2 7 0 . 3 2 1 0.111 0 . 8 1 1 0 . 0 8 0 0 . 5 8 4 0 . 3 4 33 . 7 5 0 0 . 8 ? 8 0 . 0 6 8 0 . 0 0 3 - 0 . 0 2 6 0 . 3 3 0 0 . 1 1 3 0 . 8 1 1 0 . 0 9 0 0 . 5 8 4 M J 73 . 8 7 5 0 . 8 3 0 0 . 0 6 7 0 , 0 0 2 - 0 . 0 2 6 0 . 3 3 6 0 . 1 1 5 0 . 8 1 1 0 . 0 8 0 0 , 5 7 5 6 . 3 3 2

1 , 0 0 0 0 , 8 3 2 0 . 0 6 5 0 , 0 0 2 - 0 . 0 2 5 0 . 3 4 Í 0 . 1 1 7 0 , 8 1 1 0 . 0 9 0 0 . 5 6 6 6 . 3 2 7

*í***t*t**tt*******f****«i****t**t***HWHí*i*i*i**#H*#-t*-****n*****t****tt*t*l*tti*t*itH*******ífÍ***t**H

80 -

METODO DE ^YLEIGH

OBTENCION DE LA FORMA DE MODO FUNDA^NTAL DE VIBRACION

Para el diseño de los reservorios motivo de este trabajo, se consideró9 masas, 5 de ellas en la ' estructura de soporte (fuste) y 4 en lacuba, así como se muestra en la figura A.l.

Para aplicar el método de Rayleigh se tomó el siguiente procedimiento :

1„ Se determina las propiedades características del agua :Masas 'Mo y MI), Rigidez del resorte de masa Ml (K), período de vibración de masa MI (Ta) y alturas donde se ubican Mo y MI (ho y hl).

2. Se halla las masas concentradas en cada punto, Mi, así como las características de la estructura como la inercia (I), el área (A), módulo de elasticidad (E), módulo dw corte (G).

3. Se asume una configuración Yi en cada punto, el computador asirne para todos los puntos, un valor de Yi = 1.

4. Se calcula las fuerzas de inercia en cada punto

Fi = Mi Yi

5. Se halla, utilizando el método de Newmark, los desplazamientos por flexión que producen las fuerzas de inercia..

6. Se determina los desplazamietos por corte.

7. Se determina el desplazamiento de la masa móvil de- agua (F/K) cuando se está analizando r^érvorios que tienen dicha masa.

81

8. Los desplazamientos totales (flexión + corte + F/K) son mróalizados dividiéndolos entre el desplazamiento total del último nivel.

9. - Se repiten los pasos "4, 5, 6, 7 y 8 hasta que la diferenciarelativa de los • desplamientos en cada nivel, calculados en dos ciclos seguidos sea menor que 0.001.

Y '(n) ~ Y ( n - 1 ) ^ 0.001Y.(n)

OBTENCION DE LA F O ^ DEL SEGWTO MOTO DE VIB^CION '

Una vez obtenida la forma del primer m^o, calculamos el coeficiente de participación correspondiente.

TOnde í

Mi Y2i YliM¿ *«J

Y2i = Ln forma asumida para el segunde) modo Yli «, La .forma del primer ^ ^ o ya culralada

(A.D.

Luego al 3^gundo modo asumido le quitarnos las componentes del primer rodo y. obteneros :

Con.. valares Y2ic pr^ederos . igual que' en el primer mráo desde el p ^ w v^arto. respués ds. cada ciclo se deben eliminar las componentes d^.>pxi^r ;^^o calculado nuevamente Y, y usando la expresión (A.2).

taa :ÍtíciH ;las iteraciones se asumió , todos los valores de Y2i ■ 1, ^ ^ ^ t o e l ^ e co.rxesponde a la masa móvil de agua (^), que se asumió

$y--------0 ------ - 0 -----— '--0— ----0-— ■*t ■

I T E R fÜC I O N F I N O L P R I M E R M O D O ( M E T O D O R O L E I B M >

i MSI) (m J)a 13.108 13.108 12.108 13.108 1 3 .1 0 8 27 .727 102.446 67 .482 3 .976 i

t ñ i i m !k \ t 2 .7 8 $ .57 5 .57 5 .5 7 5 .57 4 .1 8 2 .9 8 1 .2 5 4 .12 tfEl i 33 .721*07 33 .721*07 33 .721*07 12,721*07 33 .721*07 33.721*07 10.67E*08 10 .071*08 10.67E*08 t

* f i t 0 .00000 0.01051 0.07722 0.19537 5 .35350 0.54024 0.69252 0 .80288 140.38530 1.00000 t

i F i n i * H * 0 .0 (0 0 .128 1.012 2.561 4.634 7 . 0 8 1 19.201 82.252 9473.505 3 .976 t

t M U S * 22060). 60 292911.30 240519.50 187123.30 1337$1,30 8 0 4 15 .12 40251.23 11862.23 16 .28 0 .0 0 *

i o<: -Jf/ £I * 950.9E -06 87 1 .7 1 -0 6 713.3E -06 555.0E -06 396. n - 06 23 8.5E-0 6 278.2E -07 I U .2 E -0 7 1 5 3 .5 1 -1 0 0 .01 *0 0 t

M - Siró r e l a t . t ¡2 8 .6 £ Oí 2 5 2 .8 1 -0 5 2 9 7 .0 1 -0 5 20S.9E-95 220 .8 f.-05 1 2 2 .6 E - 0 5 2 7 6 .2 Í -0 6 344.6E -07 ■ 2 2 4 .4 Í -0 8 105.4E -10 t

t s h . Siró a b so l .t 228.6E -05 481.4E -05 8 7 8 .4 Í -0 5 1 1 8 .7 1 -0 4 1 4 0 .8 1 -0 4 153.1E -04 156.8E -04 157.2E -04 157.2E -04 t

^ J A O J M . . . ... 0 .A U .2 1 ... 0.08.207 . ... O.lSóOl1

0 .22024 0.29614 0 .2 4 4 2 8 “ 0 .36461 0 .42966 ti ®C 9 '0 .0 0 0 0 0 , 0.00094 o . o o m 0.00197 0 .00187 0.00141 0 .00068 .0 ,0 0 0 2 8 0 .00000 *

B M i /K * 59 .95890 *

f S M M c + l r * 0.00000 0.00452 0 .03318 0 .08294 o . t & p 0 .23212 0 .29754 0 .34496 60 .32379 0 .42966 t

a fi (o )* B it /B t9 * 0 .00000 0.01051 0.07722 0.19536 0.333 50 0 .54024 0 .69252 0.80287 140.40030 1 .00000 í

iutftntfiitiHHHHHHHHiffitnnfHtninntinnttif£nnuinnntttii*iUitnntiuuiUinnnnnnunnHnnnntHinnnuinnun

t i f íe lo rsscion por flexion Oc-hfrraseiar por carl- Sr-Sefnnación de rezarte SUBe fonación total Reservarlo 0-1600 *sJ SflSc=¡.5 (El W t i l le * ! ) .316

I T E Ñ ñ C I O N F I H ñ L S E G U N D O N O D O ( M E T O D O R ñ L E I G H )

t m í ) ¡m il i 13.108 13.108 13.108 13.108 13.108 27.727 102.446 67.482 3.976 *

i ñ u m fft lt 2.78 5.57 5.57 5.57 5.57 4.18 2.98 1.25 4.12 i

* £í 33.72E+07 UJ2E+07 33.72E+07 33.72E+07 33.72E+07 33.72E+07 10.676*08 10.67E+08 10.67E+08 i

i n * 0.00000 0.01122 0.08090 0.20261 0.36325 0.55004 0.70014 0.80788 -0.00950 1.00000 t

* f i - s i i t i f 0.000 0.147 1.060 2.656 4.762 7.210 19.413 82.765 -0.641 3.976 i

i M i * i ! * . m o .20 3342.56 2668.08 1999.51 1345,72 718.42 277.12 20.55 16.38 0.00 *

i ot --H!íl i 109.1E-07 991.4E-08 791.3E-08 593.0E-08 399.16-08 213.1E-08 259.7E-09 192.6E-10 153.5E-10 O.OEtOO t

f#T- Biro re la t . t 147.2E-07 399.9E-07 440.5E-07 330.4E-07 222.8E-07 112.0E-07 289.9E-08 159.3E-09 314.9E-10 105.4E-10 i

f 4 Z Siró absol.* 147.2E-07 547.1E-07 987.6E-07 131.8E-06 154.1E-06 < 165.3E-06 168.2E-06 168.3E-06 168.4Í-06 *

* M -d*Ab+1 * 0.00000 0.00004 0.00036 0.00093 0.00169 0.00257 0.00328 0.00380 0.00401 0.00471 t

* h * 0.00000 0.00001 0.00002 0.00002 0 .000$2 0.00002 0.00002 0.00001 0.00000 0.00000 *

* dr-fi/K -0.00406

* Ht-¡irSc*Sr * O.OOOoO 0.00005 0.00038 0.00095 O.OOL'l 0.00259 0.00330 0.00380 -0.00004 0.00471 t

* m e W i t l W i 0.000(0 0.01122 0.08090 0.20261 0.36325 0.55004 0.70014 0.80788 -0.00951 1.00000 *

& / * S e / o r M c i c r n r / i exion t ic r fe fo -a u lo B pr*r e e r ie 8 r -8 e íc rta c io u ¿e resorbe H sd e fe r »a d o o to ta lRe server ío 0=1600 ta l 8 flñ c= 3 . 5 <E Z )f/(E Z )c--(U 16

€3

84

ANEXO "C" ANALISIS DINAMICO ^TRICIAL DE RESERVORIO V = 1,600 M3.

Se efectuó el análisis modal de un reservorio de 1,600 M3 de capaci­dad , el mismo que se describe en la sección 2.6 de esta Tesis. Se trabajó con un programa de computadora matricial, considerando a cada segmento de reservorio 6 grados de libertad; giros, desplazamientos relativos y deformación axial.

En la evaluación d é l a matriz de rigidez se consideró la deformación por corte. A continuación se presentan unos cuadros que resumen los resultados para los nueve modos de vibración de la estructura.

MOTOS DE VIBRACION

Ni MODOS'* ' " DE VIBRACIONvel 1 2 3 4 5 6

¡n~ : 7 8 9

9 0.01 -1.00 -0.54 -0.52■ -0.88 0.88 1.00 1.000 - 1,008 1.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.007 0.01 -0.84 -0.17 -0.13 -0.11 0.03 -0.05 -0.09 •0.116 0.01 -0.75 0.14 0.42 0.87 -0.64 -0.08 0.26 -C. 575 0.01 -0.60 0.58 O ♦ 00 00 0.59 0.50 0.41 -0.17 0.884 0.00 -0.42 0.95 0.49 -1.00 0.72 -0.27 0.00 '-Ü.813 oo

•o -0.26 1.00 -0.49 -0.7 5 -1.00 0.08 0.25 0.72

2 0.00 -0.12 b.72 -1.00 0.91 0.20 0.19 O

«o1 -Ú.69

1 C.00 -0.03 ' 0.25 -0.49 0.82 0.90 -0.35 0.51 0.66Pe-ríodos 4.13 0.49 0.07 0.03- 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02Seg.

Se puede observar que el primer modo de vibración corresponde al

85

rovimiento de la masa móvil del agua y un movimiento prácticamente nulo de la estructura. Los modos 2 al 9 se caracterizan ^ r un des­plazamiento de la estructura y w movimiento nulo del agua.

F^RZAS DE INERCIA

Ni M O D C > Svel 1 2 3 4 5 6 7 8 99 0.02 -5.08 -1.99 -0.95 -0.84 0.85 1.45 1.44 -0.46B 35.87 1.08 0.00 0.00 0.00 o • o o 0.00 0.00 0.007 0.40 -110.54 -16.12 -6.22 -2.85 o a H -2.05 -3.24 1.346 0.08 -22.12 N) • VO to 4.46 ■ 4.85 -3.61 -0.68 2.21 -1.535 0.04 -10.11 7.05 5.29 1.88 1.58 1.94 -0.80 1.334 0.02 -7.03 11.66 - 2.94 -3.17 2.28 -1.29 -0.02 -1.233 0.01 -4.27 12.23 -2.96 -2.37 -3.18 0.38 1.17 1.102 O • O H -2.02 8.85 -5.99 2.87 0.63 0.93 -1.88 -1.041 0.00 -0.46 3.04 -2.93 2.6 2.86 -1.66 2 ..44 1.00

TORTANTES

V3 V9Nivel * ** * ** Vd Ve9 6.27 6.28 9.56 9.57 7.6 16.38 39.02 41.12 42.06 44.46 42.9 51.6ü 145.22 160.60 153.22 168.60 170.5 181.58 165.23 181.05 169.38 185.20 .191.3 208.25 171.38 187.36 179.32' 191.30 197.4 221.14 175.92 192.01 180.50 196.59 205.4 231.13 186.61 202.78 190.64 206.80 215'. 2 238.3

193.58 209.78 197.02 213.22 220.4 242.61 197.79 212.00- 203.00 219.22 221.5 244.1

^nrnico.va ■ 0.31 O • 00 0.83 0.90 0.91 1.000

- 8 6

V3(*) Cortantes calculados agrupando los tres primeros modos según el RNC ***

V3(**) Cortantes calculados haciendo la suma absoluta del primer modo con el agrupamiento del 2do. y 3er. modo según RNC ***

V9(*) Cortantes calculados agrupando los nueve modos según el RNC ***V9(**) Cortantes calculados haciendo la suma absoluta del primer modo

con el agrupamiento de los 8 modos restantes según el RNC ***Vd n Según método dinámico propuesto- en esta Tesis. Ver sección

4.2.1

I!¡> Según método estático propuesto en esta Tesis. Ver sección 4.1*** ■ S Según el RNC 1977 se específica que se tome la combinación de

los modos haciendo' el promedio entre la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados con la suma de los valores absolutos, para los cortantes y momentos de flexión.