UNIVERSIDAD FERMIN TORO 127/11/2015

Solución de sistema de ecuaciones lineales y Método

de solución gaussiana

Claudia Hernández

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Métodos De Eliminación Gaussiana

El proceso de eliminación de Gaussisana o de Gauss, consiste en

realizar transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de

filas, intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes, operaciones con filas o

columnas, . . . ), destinadas a transformarlo en un sistema triangular

superior, que resolveremos por remonte. Además, la matriz de partida

tiene el mismo determinante que la matriz de llegada, cuyo determinante

es el producto de los coeficientes diagonales de la matriz.

Antes de ilustrar el método con un ejemplo, es necesario primeramente conocer las operaciones básicas de renglón las cuales son presentas a continuación:1. Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante diferente de cero.2. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra ecuación3. El orden de las ecuaciones es intercambiable.Una vez conocidas las operaciones que en mi afán por resolver un sistema de ecuaciones puedo realizar procedo a ilustrar el método con un ejemplo:1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z= −27x + 8y + 10z = 5Donde cada ecuación representa un renglón y las variables iguales de las 3 ecuaciones representan las columnas 1, 2 y 3 respectivamente.

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Método de gauss-jordan

En base a lo anteriormente expuesto, solo haríamos un proceso de eliminación en la matriz y la resolución de un sistema con esta matriz es muy fácil. Un ejemplo en el que se suele usar Gauss - Jordán es en el cálculo de la matriz inversa, ya que calcular la inversa de A, es calcular N sistemas con la misma matriz.

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 Descomposición LU

El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se puede factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L

con una matriz triangular superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran

operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los términos independientes

bi de manera eficiente.

La implementación del algoritmo de la Descomposición LU tiene

sus variantes en cuanto a los valores iniciales de la diagonal que tomen las

matrices L y U, es decir si los valores de la diagonal de la matriz L tiene números 1.

Formalmente esto se refiere a la Descomposición de Doolitle. Pero si

los valores de la diagonal de la matriz U tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Crout  

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Factorización De Cholesky

Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji para toda i y j, En

otras palabras, [A] =[A] T.Tales sistemas ocurren

comúnmente en problemas de ambos contextos: el matemático y

el de ingeniería. Ellos ofrecen ventajas computacionales ya que

sólo se necesita la mitad de almacenamiento

El método de Factorización de Cholesky se basa en demostrar

que si una matriz A es simétrica y definida sativa en lugar de

factorizarse como LU, puede ser factorizada como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular

inferior, es decir los factores triangulares resultantes son la

traspuesta de cada uno.

A = L . LT

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Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos Iterativos

El método de Gauss y sus variantes son conocidos como métodos directos para resolver el problema inicial Ax = b. Se

ejecutan a través de un número finito de pasos y generan una solución x que

sería exacta sino fuera por los errores de redondeo. El cálculo se detiene cuando se cuenta con una solución aproximada

con cierto grado de precisión especificado de antemano o después de

cierto número de iteraciones. Los métodos indirectos son casi siempre

iterativos.

Un método iterado de resolución del sistema Ax = b es aquel que genera, a

partir de un vector inicial x0, una sucesión de vectores x1, x2, . . . xn.. "Un

método iterado se dirá que es consistente con el sistema Ax = b, si el límite x de la sucesión (xn), en caso de existir, es solución del sistema. Se dirá

que el método es convergente si la sucesión generada por cualquier vector

inicial x0 es convergente a la solución del sistema.

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Método De Gauss Seidel

El Método de Gauss Seidel emplea valores iniciales y después itera para obtener estimaciones refinadas de la solución; es particularmente adecuado para un gran número de ecuaciones, lo cual en cierto modo lo hace un método más comúnmente usado. La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de cada una de las xi en cada una de las ecuaciones y se les da un valor inicial a cada xi de cero.

Observase que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de

inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de

Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi

depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., x i-1.

La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre converge a la solución exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta.

Únicamente es confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente.

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Método de Jacobi

El Método de Jacobi transforma una matriz

simétrica en una matriz diagonal al eliminar de

forma simétrica los elementos que están fuera

de la diagonal. Desafortunadamente, el

método requiere un número infinito de

operaciones, ya que la eliminación de cada elemento no cero a

menudo crea un nuevo valor no cero en el

elemento cero anterior.

Si A es diagonalmente dominante, entonces la

sucesión que resulta de la iteración de Jacobi

converge a la solución de Ax = b para cualquier

vector inicial Xo. Partimos de una aproximación inicial Xo para las soluciones Xi

al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores

en la ecuación:

Que es la expresión que nos proporciona las

nuevas componentes del vector x (k) en función de vector anterior x(k-1) en la iteración de Jacobi, en su

respectivo algoritmo; donde el a el método de Jacobi más que usar el

último valor disponible de , con base en un conjunto de las x anteriores (). De

esta forma, como se generan nuevos valores,

no se usan en forma inmediata sino que se

retienen para la siguiente iteración.