Unidad III:Solución de Sistemas de Ecuaciones

LinealesAntonio Alvarado C.I 25688915

SAIA-A

Introducción:

• A través de matrices y algoritmos podemos resolver sistemas de ecuaciones de forma eficiente.

• Tenemos los métodos directos donde resolvemos el problema inicial Ax= b, se ejecutan a través de un numero finito de pasos y generan una solución X.

Métodos:

• Método de Eliminación de Gaussiana • Método de Gauss-Jordán• Factorización de Cholesky• Descomposición de LU• Factorización de QR, Householder

Método de Eliminación de Gaussiana

• Este método consiste en la eliminación de variables en el sistema de ecuaciones hasta tener solo una ecuación con una incógnita y una vez conseguido se resuelve por sustitución para obtener todas las variables. Se realiza operaciones con filas o columnas.

Método de Gauss-Jordán

• Se realizan transformaciones en el sistema inicial para transformarlo en un sistema diagonal y luego a través de un proceso de eliminación en la matriz y la resolución de un sistema con esta matriz. Al resolver el sistema de llegada por remonte, el número de operaciones de este método es menor al de Gauss por lo tanto este es superior cuando hablamos computacionalmente al resolver varios sistema con la misma matriz A.

Factorización de Cholesky

• Se basa en demostrar que si una matriz A es simétrica y definida positiva, puede ser factorizada como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior. Es decir: A= L. LT.

Descomposición de LU

• El producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular superior U, cuando llegamos a la parte de eliminación solo involucramos operaciones con los coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los términos independientes. Si los valores de la diagonal de la matriz L tienen números 1, se utiliza la Descomposición de Dootlitle, pero si los valores de la diagonal de la matriz U tienen números 1, usamos la Descomposición de Crout.

Factorización de QR, Householder

• La factorización consiste en descomponer la matriz Amxn en el producto de dos matrices:

• Una matriz Ortogonal: Qmxn ® QT. Q = INxN.

• Una matriz Triangular Superior: U = RNxN.

• Y para encontrar las matrices Q y R se utiliza un método basado en transformaciones sucesivas de Householder.

Métodos Iterativos o Indirectos

• Método de Gauss Seidel:Se emplean los valores

iniciales y después itera para obtener estimaciones refinadas de la solución. La fórmula utilizada para hallar los Xi viene dada por el despeje de cada una de las Xi en cada una de las ecuaciones y se les da un valor inicial a cada Xi de cero.

• Método de Jacobi:Se transforma una

matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal, entonces la sucesión que resulta de la iteración de Jacobi converge a la solución de Ax = b para cualquier vector inicial Xo