Análisis numérico

Michelle David Diaz 17228634

Definición de Análisis Numérico

Es en procedimientos que resuelven situaciones y realizan cálculos

aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los

instrumentos de cálculo (como calculadoras, computadoras) que nos

ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin de

calcular o aproximar alguna cantidad o función, para el estudio de errores

en los cálculos"

Definición de Número Máquina

Todas las computadoras trabajan con una cantidad fija de información. La

unidad fundamental mediante la cual se representa la información se llama

palabra. Una palabra es una unidad de información constituida por una

cadena fija de dígitos binarios o bits que son usados para representar las

instrucciones de un programa, símbolos alfabéticos, números, etc. El

número de dígitos de una palabra recibe el nombre de longitud de palabra.

Por ejemplo:

0.0158 se escribe como 0.0158 * 100

850000 se escribe como 0.850 * 106

35.519 se escribe como 0.35519 * 102

En general un número en cualquier base b se puede escribir en la forma

± 0.d1d2… * be [3]

Cada uno de los di (i = 1,2, …) son dígitos de la base b y e es un número entero (positivo, negativo o cero) el cual determina donde se encuentra el punto decimal.

Error Absoluto

"El error absoluto es la diferencia entre el valor exacto (un número

determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado, o sea el valor

exacto menos el valor calculado"; debido a que la ecuación se dio en

términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una

colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse.

Cota de Errores Absolutos y Relativos

Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error

absoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se

pretende encontrar cotas superiores de esos errores. Cuanta más pequeña

sean esas cotas superiores, mejor. Sea f una función derivable en I,[a, b] Í I,

P la solución exacta de la ecuación f(x)=0 y Pn una aproximación a P.

Supongamos |f ’(x)| ³ m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b]. Entonces:

Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de la solución

exacta, conociendo una cota inferior del valor absoluto de la derivada.

Algunas veces, en la práctica, la exactitud de una raíz aproximada Pn se

estima en función de cómo satisfaga f(Pn) = 0; es decir si el número |f(Pn)|

es pequeño, se considera entonces Pn una buena aproximación de P; pero si

|f(Pn)| es grande, entonces Pn no se considera como una buena

aproximación de la solución exacta P.

 Fuentes Básicas de Errores

Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error

de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el

número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC

(para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las

formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las

sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las

aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de

Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos

numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde

aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por

uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

Redondeo y Truncamiento

Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los

resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases

fundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representar

aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de

redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos.

En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está

dada por: Valor verdadero = valor aproximado + error, de donde se observa

que el error numérico está dado por: Ev = valor verdadero - valor

aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error. La deficiencia del

truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en

la representación decimal completa no tienen relevancia en la versión de

cortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo en

comparación con el truncamiento.

Error De Redondeo

Se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de

punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada

número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto

significa que todos los números en un intervalo local están representados

por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.

"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:

y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.

El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y después truncar

para que resulte un número de la forma

fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

El último método comúnmente se designa por redondeo. En este

método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl; esto es,

redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de

los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo

Para que obtengas información, esta es la conexión:

Error De Truncamiento

"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:

y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.

Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto

flotante de y, que se representará por fl , se obtiene terminando la mantisa

de y en k cifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la

terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para

obtener

fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

Este método es bastante preciso y se llama truncar el número.

Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número

infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos. Generalmente se

refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar

la suma de una serie infinita. El error de truncamiento, a diferencia del error

de redondeo no depende directamente del sistema numérico que se

emplee.

Errores De Una Suma Y Una Resta

En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos

números en la computadora. Como cada suma introduce un error,

proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se

acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al

problema del cálculo de productos interiores.

En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas

en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales.

Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números

existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar

situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar

cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un

número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores

relativos y absolutos poco relevantes.

Errores De Una Suma Y Una Resta

En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos

números en la computadora. Como cada suma introduce un error,

proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se

acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al

problema del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas

computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales

que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se

llaman bits de protección y permiten que los números existan

temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en

las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi

iguales o la división de un número muy grande entre un número muy

pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y

absolutos poco relevantes.

Estabilidad e Inestabilidad

La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los

cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es

numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada

aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso

numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en

alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan

seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.

El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería

decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la

inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual significa que un cambio

relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un

cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una

fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los

cálculos.

Condicionamiento

Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal

para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de

pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal

condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes

cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir

un número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la

razón de los errores relativos".

Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema

mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se

establece un número de condición, es decir para la evaluación de una

función se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas de

ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de condición; el

número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la

incertidumbre aumenta