ANALISIS MATEMATICO II

Nicolas H. Kosciuk

Mayo 2004

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Capıtulo 1

Funciones de variasvariables

1.1. Espacio metrico. Distancia. Espacio euclideano-dimensional. Sistemas de coordenadas

Falta!

1.2. Repaso de conceptos de Geometrıa Analıticaen < 2

Falta!

1.3. Nociones de Geometrıa Analıtica en < 3

Falta!Para representar una ecuacion del estilo Ax + By + Cz = D, lo mejor es

pasarla a la forma segmentaria.Con la ecuacion en forma segmentaria, se obtiene el punto en que la funcion

corta los distintos ejes: es el numero que divide a las variables.Para hallar la ecuacion que es paralela a un plano, se considera la variable

faltante como nula, es decir, si se busca la ecuacion que es paralela al plano XZ,se considera que Y = 0, por lo que se anula ese termino.

1.3.1. Representaciones graficas

Ej: 1) 8x + 4y + 2z − 16 = 0

8x + 4y + 2z = 16

2

8x

16+

4y

16+

2z

16=

1616

x

2+

y

4+

z

8= 1

Y con esto ya es posible graficar: la funcion corta al eje x en 2, al eje y en 4y al eje z en 8.

1.4. Definicion de relacion funcional

1.4.1. Campo escalar. Funciones de dos variables

1.4.2. Subconjunto real de variabilidad: determinacion yrepresentaciones

Falta!

Dominio

“Subconjunto de pares ordenados que satisface la funcion”. Cuales son losvalores que pueden tomar x e y.

Rango

Es el conjunto de llegada. El resultado de la funcion.

Ejemplo

z =

√25− x2 − y2

x− y

En esta funcion, 25− x2 − y2 debe ser ≥ 0 y x− y 6= 0.

3

1.5. Curvas y superficies de nivel

1.6. Conjuntos puntuales. Entornos. Recintos.Regiones

1.6.1. Intervalos

1.6.2. Entorno y entorno reducido

1.6.3. Conjunto acotado

1.6.4. Puntos de acumulacion, aislado, interior, exterior,frontera

Un punto puede ser:

de acumulacion son aquellos que “acumulan”[1].

aislado

1.6.5. Clasificacion de conjuntos

Un conjunto puede ser:

compacto

denso en sı: si el conjunto original es igual al conjunto derivado.

derivado: es igual a la suma de los puntos interiores y los puntosde frontera.

perfecto

4

Capıtulo 2

Lımite y continuidad

En funciones de dos variables es imposible asegurar la existencia del lımite,en cambio, es posible afirmar la inexistencia.1

Si se prueba de distintas formas y el resultado es el mismo, solo se puededecir que: si el lımite existe es ese. Si uno es distinto, entonces, no existe.

2.1. Lımite doble o simultaneo

2.1.1. Definicion

Falta!

2.1.2. Propiedades

2.2. Lımites sucesivos o reiterados

2.2.1. Definicion

En el lımite sucesivo se toma el lımite primero respecto de x y luego respectode y, cuando tienden a 0.

2.3. Lımites radiales

2.4. Relaciones existentes entre los distintos lımites

2.5. Continuidad

La discontinuidad puede ser:1Relacionar con el falsacionismo de Popper (lo que es haber estudiado Pensamiento Cientıfi-

co!)

5

evitable: puede hacerse que la funcion sea continua modificando eldominio, por ejemplo, agregando un valor de funcion especıficopara (x, y), como z = 1, cuando x + y = 0.

esencial: no se puede hacer continua la funcion, por ejemplo, cuan-do los lımites reiterados son distintos.

2.5.1. Definicion

2.5.2. Propiedades de las funciones continuas

2.6. Aplicacion al estudio de modelos economi-cos

6

Capıtulo 3

Derivadas Parciales

Al derivar una funcion de dos variables, se obtienen dos derivadas parciales,una respecto de x donde y se considera constante y la otra respecto de y dondela x se considera constante.

Para derivar en un punto, se deriva y luego se reemplaza en cada derivadaparcial con los valores pedidos.

3.1. Definicion de derivada parcial. Interpretaciongeometrica

Para que una funcion de dos variables sea cortada por un plano: 1) se reem-plaza en dicha funcion por el valor del plano, 2) se deriva la funcion resultante,3) se reemplazan las variables por el punto en cuestion.

Al derivar la funcion, nos queda la curva de nivel que corta ese plano.

3.2. Derivadas parciales de orden superior. Teo-rema de Schwarz

3.3. Teorema del valor medio

3.4. Aplicaciones a la economıa y a la adminis-tracion de empresas

3.4.1. Funciones marginales, funcion demanda; elasticidad.Clasificacion de bienes: normales, necesarios, no nece-sarios, tıpicos, complementarios, sustitutivos.

7

Capıtulo 4

Diferenciales

4.1. Funciones diferenciales. Diferencial total

Queda!El diferencial se utiliza para averiguar cuanto varıa una funcion cuando

varıan los valores (x, y), pero no se calcula con esos valores sino con el incrementode dichos valores.

dz = z′x dx + z′y dy

Ejemplo: Queda!

4.2. Significado geometrico: plano tangente

Queda!

4.2.1. Ecuacion del plano tangente

z − z0 = z′x(x0,y0)(x− x0) + z′y(x0,y0)

(y − y0)

Voy a aclarar un poco esto:z′x(x0,y0)

significa la derivada de z respecto de x en el punto (x0, y0).

4.2.2. Ecuacion de la recta normal

(x− x0)z′x(x0,y0)

=(y − y0)z′y(x0,y0)

=z − z0

−1

8

4.3. Diferenciales sucesivas: formula simbolica

Queda!

4.4. Aplicaciones economicas: tasa marginal dosustitucion de factores de produccion y debienes de consumo

Queda!

9

Capıtulo 5

Funciones Compuestas

5.1. Funciones compuestas e implıcitas de una yde varias variables independientes

Queda!

5.2. Derivadas de funciones compuestas e im-plıcitas

5.2.1. Derivada de una funcion compuesta

dz

dt=

∂z

∂u

du

dt+

∂z

∂v

dv

dt+ . . . +

∂z

∂z

dz

dt(5.1)

5.2.2. Funciones implıcitas

∂z

∂x= −F ′

x

F ′z

(5.2)

∂z

∂y= −

F ′y

F ′z

(5.3)

5.3. Ecuacion del plano tangente cuando la su-perficie esta expresadas en forma implıcita

Queda!

10

5.4. Funciones homogeneas. Definicion

5.5. Teorema de Euler

5.6. Aplicaciones economicas. Funciones marginaleseconomicas definidas en forma implıcita ocompuesta. Funciones de produccion homogenea.

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Capıtulo 6

Desarrollo de Funciones deDos Variables

6.1. Formula de Taylor y de Mac-Laurin

6.2. Desarrollos en serie de potencias

6.3. Aplicaciones: Desarrollos en series para fun-ciones economicas

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Capıtulo 7

Extremos

Esta parte sobre extremos es un resumen que hice mientras estudiaba, porlo que sabıa que querıa significar con esto, ahora ya no recuerdo tanto.

7.1. Extremos relativos

El procedimiento es el siguiente:

1. Se hallan las derivadas primeras.

2. Se igualan a 0 y se resuelve el sistema. Los puntos encontrados,son puntos crıticos y son posibles extremos.

3. Se hallan las derivadas segundas en los puntos crıticos encon-trados.

4. Se arma el hessiano

H =(

A BB C

)donde:

A = z′′

xx B = z′′

xy C = z′′

yy

en los puntos crıticos.

5. Si el H > 0 existe extremo:

si A < 0 hay maximo.si A > 0 hay mınimo.

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7.2. Extremos libres de una funcion de dos vari-ables

7.3. Condiciones necesarias y suficientes para laexistencia de extremos

7.4. Extremos condicionados: multiplicadores deLagrange

Procedimiento para hallar los extremos condicionados:

1. la condicion se iguala a 0.

2. se suma a la funcion original el multiplicador de Lagrange (λ)mulplicando a la condicion.

Funcion original + λ(condicin = 0)

3. se deriva la ecuacion resultante, al derivar respecto de λ quedara lacondicion inicial.

4. (no me acuerdo, disculpas).

Consejo: siempre distribuir λ antes de derivar.

Para determinar si es maximo o mınimo se utiliza el diferencial segundo. Sereemplaza el diferencial de la condicin en el diferencial. Si es menor que 0 esmaximo.

7.5. Aplicaciones a la economıa y a la adminis-tracion de empresas

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Capıtulo 8

Integracion Multiple

8.1. Concepto de integral doble

8.2. Condiciones de integrabilidad

8.3. Calculo de integrales dobles por integralesiteradas

8.4. Calculo de areas y volumenes

8.5. Integral triple concepto

8.6. Apiicacioncs economicas de integrales dobles

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Capıtulo 9

Ecuaciones Diferencialesordinarias de primer orden

9.1. Definicion y conceptos fundamentales: or-den y grado

El orden indica el nivel de derivadas.En las ecuaciones de primer aparecen derivadas primeras. En las de segundo

aparecen derivadas segundas, etc.El grado es el mayor valor del exponente al que aparece elevada alguna de

las variables.

9.2. Enunciacion de las condiciones de existen-cia y unicidad de la solucion

9.3. Soluciones: general, particular, singular

9.4. Resolucion de ecuaciones diferenciales

9.4.1. Variables separables

9.4.2. Homogeneas

En las ecuaciones homogeneas se debe dividir la ecuacion por x elevado algrado de la funcion, para luego poder hacer la sustitucion:

y

x= v (9.1)

y = v.x (9.2)

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que derivandola tenemosdy = x.dv + v.dx (9.3)

Ejercicios

1) y2 − x2 = 2xydy

dx

y2

x2− x2

x2=

2xy

x2

dy

dx(y

x

)2

− 1 = 2y

x

dy

dx

reemplazando yx = v y dividiendo dy = x.dv + v.dx por dx nos queda dy

dx =x dv

dx + v

v2 − 1 = 2v (xdv

dx+ v)

v2 − 1 = 2vxdv

dx+ 2v2

−(v2 + 1) = 2vxdv

dx

v2 + 12v

= −xdv

dx

haciendo un pasaje de terminos

− 1x

dx =2v

v2 + 1dv

−∫

1x

dx =∫ (

2v

v2 + 1

)dv

(−1) ln x + ln C = ln (v2 + 1)

ln x−1 + ln C = ln (v2 + 1)

ln (x−1.C) = ln (v2 + 1)

x−1.C = v2 + 1

x−1.C =(y

x

)2

+ 1

9.4.3. Lineales

Queda!

9.4.4. Exactas

Queda!

17

9.4.5. Factor integrante

Queda!

9.4.6. Bernoulli

Queda!

9.5. Aplicaciones: resolucion de ecuaciones difer-enciales correspondientes a modelos economi-cos

Queda!

18

Capıtulo 10

Ecuaciones DiferencialesLineales de Segundo Ordencon Coeficientes Constantes

10.1. Enunciacion de las condiciones do existen-cia y unicidad de la solucion

Queda!

10.2. Ecuaciones diferenciales homogeneas. Solu-cion. Ecuacion caracterıstica. Distintos ca-sos

Queda!

10.3. Ecuaciones diferenciales completas: Res-olucion con segundo miembro polinomico,exponencial o trigonometrico o en el queaparecen algunas o todas las funciones ex-presadas anteriormente

Queda!

19

10.4. Aplicaciones a la economıa y a la admin-istracion de empresas

Queda!

20

Bibliografıa

[1] Di Caro, E., Analisis Matematico II

21

Indice general

1. Funciones de varias variables 21.1. Espacio metrico. Distancia. Espacio euclideano-dimensional. Sis-

temas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Repaso de conceptos de Geometrıa Analıtica en < 2 . . . . . . . . 21.3. Nociones de Geometrıa Analıtica en < 3 . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1. Representaciones graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Definicion de relacion funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1. Campo escalar. Funciones de dos variables . . . . . . . . . 31.4.2. Subconjunto real de variabilidad: determinacion y repre-

sentaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Curvas y superficies de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Conjuntos puntuales. Entornos. Recintos. Regiones . . . . . . . . 4

1.6.1. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6.2. Entorno y entorno reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6.3. Conjunto acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6.4. Puntos de acumulacion, aislado, interior, exterior, frontera 41.6.5. Clasificacion de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Lımite y continuidad 52.1. Lımite doble o simultaneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Lımites sucesivos o reiterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. Lımites radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4. Relaciones existentes entre los distintos lımites . . . . . . . . . . 52.5. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5.2. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . 6

2.6. Aplicacion al estudio de modelos economicos . . . . . . . . . . . 6

3. Derivadas Parciales 73.1. Definicion de derivada parcial. Interpretacion geometrica . . . . . 73.2. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz . . . 7

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3.3. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4. Aplicaciones a la economıa y a la administracion de empresas . . 7

3.4.1. Funciones marginales, funcion demanda; elasticidad. Clasi-ficacion de bienes: normales, necesarios, no necesarios,tıpicos, complementarios, sustitutivos. . . . . . . . . . . . 7

4. Diferenciales 84.1. Funciones diferenciales. Diferencial total . . . . . . . . . . . . . . 84.2. Significado geometrico: plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2.1. Ecuacion del plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2.2. Ecuacion de la recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3. Diferenciales sucesivas: formula simbolica . . . . . . . . . . . . . 94.4. Aplicaciones economicas: tasa marginal do sustitucion de factores

de produccion y de bienes de consumo . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Funciones Compuestas 105.1. Funciones compuestas e implıcitas de una y de varias variables

independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2. Derivadas de funciones compuestas e implıcitas . . . . . . . . . . 10

5.2.1. Derivada de una funcion compuesta . . . . . . . . . . . . 105.2.2. Funciones implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3. Ecuacion del plano tangente cuando la superficie esta expresadasen forma implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.4. Funciones homogeneas. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.5. Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.6. Aplicaciones economicas. Funciones marginales economicas definidas

en forma implıcita o compuesta. Funciones de produccion ho-mogenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6. Desarrollo de Funciones de Dos Variables 126.1. Formula de Taylor y de Mac-Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . 126.2. Desarrollos en serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.3. Aplicaciones: Desarrollos en series para funciones economicas . . 12

7. Extremos 137.1. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.2. Extremos libres de una funcion de dos variables . . . . . . . . . . 147.3. Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos 147.4. Extremos condicionados: multiplicadores de Lagrange . . . . . . 147.5. Aplicaciones a la economıa y a la administracion de empresas . . 14

8. Integracion Multiple 158.1. Concepto de integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.2. Condiciones de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.3. Calculo de integrales dobles por integrales iteradas . . . . . . . . 158.4. Calculo de areas y volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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8.5. Integral triple concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.6. Apiicacioncs economicas de integrales dobles . . . . . . . . . . . . 15

9. Ecuaciones diferenciales de 1er orden 169.1. Definicion y conceptos fundamentales: orden y grado . . . . . . . 169.2. Enunciacion de las condiciones de existencia y unicidad de la

solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169.3. Soluciones: general, particular, singular . . . . . . . . . . . . . . . 169.4. Resolucion de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . 16

9.4.1. Variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169.4.2. Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169.4.3. Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179.4.4. Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179.4.5. Factor integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.4.6. Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

9.5. Aplicaciones: resolucion de ecuaciones diferenciales correspondi-entes a modelos economicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

10.Ecuaciones diferenciales de 2do orden 1910.1. Enunciacion de las condiciones do existencia y unicidad de la

solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1910.2. Ecuaciones diferenciales homogeneas. Solucion. Ecuacion carac-

terıstica. Distintos casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1910.3. Ecuaciones diferenciales completas: Resolucion con segundo miem-

bro polinomico, exponencial o trigonometrico o en el que aparecenalgunas o todas las funciones expresadas anteriormente . . . . . . 19

10.4. Aplicaciones a la economıa y a la administracion de empresas . . 20

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