Anlisis Estructural (S-03) - Trabajo y Energa - Trabajo Virtual (Marcos)

M.I. Carlos Villaseor M.

Ejemplo 1.Obtener el desplazamiento horizontal y el giro en el apoyo "D", bajo las siguintescondiciones:a) Despreciar los efectos de deformacin axial y de cortante.b) Considerar los efectos por cortante y axial si los hay.

Usar seccin W10x33

E 30000ksi I 170in4P 10kip A 9.71in2 tw 0.29in

d 9.73in tf 0.435in 0.3

Diagrama de momentoinducido por la carga real: Ax 1kip Ay 1kip Dy 1kip

+ MA 0= Given P 10ft( ) 10ft( ) Dy 0= Dy Find Dy 10 kipFx 0= Given Ax P 0= Ax Find Ax 10 kip

+ Fy 0= Given Ay Dy 0= Ay Find Ay 10 kipElemento 1: M1 x( ) Ax x V1 x( ) xM1 x( )

dd

N1 x( ) Ay

Elemento 2: M2 x( ) M1 10ft( ) N1 10ft( ) x V2 x( ) xM2 x( )dd

N2 x( ) V1 10ft( ) P

Elemento 3: M3 x( ) M2 10ft( ) N2 10ft( ) x V3 x( ) xM3 x( )dd

N3 x( ) V2 10ft( )

0 2 4 6 8 10

20406080

100

0 50 100

2

4

6

8

10

20 0 20 40

2

1

MOMENTO FLEXIONANTE(CARGA REAL)

Pg.- 1 14/Mar/2011 21:40

0 2 4 6 8 10

15105

5

0 5 10

2

4

6

8

10

4 2 0 2

2

1

CORTANTE (CARGAREAL)

0 2 4 6 8 10

10.5

0.5

1

0 5 10 15

2

4

6

8

10

15 10 5 0

2

1

AXIAL (CARGA REAL)

Digrama de momento virtual para desplazamientohorizontal en "D":

Ay 0 Dy 0 Q 1kip

Fx 0= Given Ax Q 0= Ax Find Ax 1 kipElemento 1: M1 x( ) Ax x V1 x( ) xM1 x( )

dd

N1 x( ) Ay

Elemento 2: M2 x( ) M1 10ft( ) N1 10ft( ) x V2 x( ) xM2 x( )dd

N2 x( ) V1 10ft( )

Elemento 3: M3 x( ) M2 10ft( ) N2 10ft( ) x V3 x( ) xM3 x( )dd

N3 x( ) V2 10ft( )

Pg.- 2 14/Mar/2011 21:40

0 2 4 6 8 10

5

10

15

0 5 10 15 20

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20

2

1

MOMENTO FLEXIONANTE(VIRTUAL)

0 2 4 6 8 10

1

2

3

0 1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

2 1 0 1

2

1

CORTANTE (VIRTUAL)

0 2 4 6 8 10

1

2

3

4 2 0 2 4

2

4

6

8

10

2 1 0 1

2

1

AXIAL (VIRTUAL)

Desplazamiento horizontal en el apoyo "D"

a) considerando nicamente el momento flexionante:

Q xM ME I

d= 1Q

xMME I

d= que es el desplazamiento en la direccin de la fuerza vitual aplicada en el apoyo"D"

Pg.- 3 14/Mar/2011 21:40

1Q

0

10ft

xM1 x( )M1 x( )

E I

d

0

10ft

xM2 x( )M2 x( )

E I

d0

10ft

xM3 x( )M3 x( )

E I

d

8333.333 kip ft

3E I 2.824 in

b) desplazamiento considerando efectos de cortante:

en este caso debemos revisar los diagrams de carga axial:

para consederar la energa de deforacin debidas alcortanterevisemosla ecuacin corres pondiente: Q

0

L

xVV

As G

d=

GE

2 1 ( ) 11538.462 ksi As tw d 2 tf 0.065m in

M+V1Q

0

10ft

xM1 x( )M1 x( )

E I

d

0

10ft

xM2 x( )M2 x( )

E I

d0

10ft

xM3 x( )M3 x( )

E I

d

0

10ft

xV1 x( )V1 x( )

As G

d

0

10ft

xV2 x( )V2 x( )

As G

d0

10ft

xV3 x( )V3 x( )

As G

d

2.864 in M+V 2.864 in

la contribucin del cortante es:

cortante1Q

0

10ft

xV1 x( )V1 x( )

As G

d

0

10ft

xV2 x( )V2 x( )

As G

d0

10ft

xV3 x( )V3 x( )

As G

d

0.04 in

cortante 0.040476 inGiro en el apoyo "D"

a) considerando nicamente los efectos del momento flexionante: Q 1kip ft

reacciones inducifdas por la carga virtual

+ MA 0= Given Q 10ft( ) Dy 0= Dy Find Dy 0.1 kipFx 0= Given Ax 0= Ax Find Ax 0 kip

+ Fy 0= Given Ay Dy 0= Ay Find Ay 0.1 kipElemento 1: M1 x( ) Ax x V1 x( ) xM1 x( )

dd

N1 x( ) Ay

Elemento 2: M2 x( ) M1 10ft( ) N1 10ft( ) x V2 x( ) xM2 x( )dd

N2 x( ) V1 10ft( )

Elemento 3: M3 x( ) M2 10ft( ) N2 10ft( ) x V3 x( ) xM3 x( )dd

N3 x( ) V2 10ft( )

Pg.- 4 14/Mar/2011 21:40

0 2 4 6 8 10

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

2

4

6

8

10

0 0.5 1 1.5

2

1

MOMENTO FLEXIONANTE(VIRTUAL)

0 2 4 6 8 10

0.05

0.1

0 1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

2 1 0 1

2

1

CORTANTE (VIRTUAL)

0 2 4 6 8 10

10.5

0.5

1

1 0.5 0 0.5 1

2

4

6

8

10

1 0.5 0 0.5 1

2

1

CORTANTE (VIRTUAL)

1Q

0

10ft

xM1 x( )M1 x( )

E I

d

0

10ft

xM2 x( )M2 x( )

E I

d0

10ft

xM3 x( )M3 x( )

E I

d

166.667 kip ft

2E I 0.00471

b) desplazamiento considerando efectos de cortante y carga axial:

Pg.- 5 14/Mar/2011 21:40

M+V+N1Q

0

10ft

xM1 x( )M1 x( )

E I

d

0

10ft

xM2 x( )M2 x( )

E I

d0

10ft

xM3 x( )M3 x( )

E I

d

0

10ft

xV1 x( )V1 x( )

As G

d

0

10ft

xV2 x( )V2 x( )

As G

d0

10ft

xV3 x( )V3 x( )

As G

d

0

10ft

xN1 x( )N1 x( )

A E

d

0

10ft

xN2 x( )N2 x( )

A E

d0

10ft

xN3 x( )N3 x( )

A E

d

152.289 kip ft2

E I

M+V+N 0.0043

la contribucin del cortante es:

cortante1Q

0

10ft

xV1 x( )V1 x( )

As G

d

0

10ft

xV2 x( )V2 x( )

As G

d0

10ft

xV3 x( )V3 x( )

As G

d

11.946 kip ft

2E I

cortante 0.000337la contribucin de la fuerza axial es:

axial1Q

0

10ft

xN1 x( )N1 x( )

A E

d

0

10ft

xN2 x( )N2 x( )

A E

d0

10ft

xN3 x( )N3 x( )

A E

d

2.432 kip ft

2E I

axial 0.000069

Ejemplo 2. Obtener el desplazamiento vertical y el giro en el nodo 1

w 3Tonm

, L1 2m , L2 4m , H 5m , 30a) Considere solo flexin.b) Considere cortante y deformacin axial, determine lacontribucin de cada efecto.

Usar seccin W12x40

E 2.039 106 kgf

cm2

I 307in4

A 11.7in2 tw 0.295in

d 12.2in tf 0.380in 0.3

Clculo de reacciones: Ax 1Ton Ay 1Ton B 1Ton

+ MA 0= Given w L2 L1 12 L2 B cos ( ) L1 L2

0=

B Find B( ) 9.238 Ton

Fx 0= Given Ax B sin ( ) 0=Ax Find Ax 4.619 Ton

+ Fy 0= Given w L2 B cos ( ) Ay 0=Ay Find Ay 4 Ton

Pg.- 6 14/Mar/2011 21:40

atanHL1

68.199

Ax'

Ay'

t ( )TAx

Ay

1.9995.774

Ton

Elemento 1

M1 x( ) Ay' x V1 x( ) xM1 x( )dd

N1 x( ) Ax'

N'

V'

t ( )

N1

L1cos ( )

V1

L1cos ( )

4.6194

Ton

Elemeto 2

M2 x( ) M1

L1cos ( )

V' x

12

w x2 V2 x( ) xM2 x( )dd

N2 x( ) N'

Elemento 3 M3 x( ) M2 L2 N2 L2 x V3 x( ) xM3 x( )dd N3 x( ) V2 L2

20 0 20 40 60

2

4

0 1 2 3 4

10

20

30

20 0 20 40

4

3

2

1

MOMENTO FLEXIONANTE(REAL)

Pg.- 7 14/Mar/2011 21:40

0 1 2 3 4

10

5

5

30 20 10 0

2

4

30 20 10 0 10

4

3

2

1

FUERZA CORTANTE (REAL)

0 1 2 3 44.614

4.616

4.618

4.62

4.622

4.624

30 20 10 0 10

2

4

30 20 10

4

3

2

1

FUERZA AXIAL(REAL)

Desplazamiento vertical en el nudo 1: Q 1Ton

+ MA 0= Given Q L1B cos ( ) L1 L2

0=

B Find B( ) 0.385 Ton

Fx 0= Given Ax B sin ( ) 0=Ax Find Ax 0.192 Ton

+ Fy 0= Given Q B cos ( ) Ay 0=Ay Find Ay 0.667 Ton

Pg.- 8 14/Mar/2011 21:40

Ax'

Ay'

t ( )TAx

Ay

0.54750.4263

Ton

Elemento 1:

M1 x( ) Ay' x V1 x( ) xM1 x( )dd

N1 x( ) Ax'

L1cos ( )

5.385mN'

V'

t ( )

N1

L1cos ( )

V1

L1cos ( )

0.1920.667

Ton

Elemento 2:

M2 x( ) M1

L1cos ( )

V' x Q x V2 x( ) xM2 x( )

dd

N2 x( ) N'

Elemento 3: M3 x( ) M2 L2 N2 L2 x V3 x( ) xM3 x( )dd N3 x( ) V2 L2

0 1 2 3 40.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3

2

4

1 0 1 2 3

4

3

2

1

MOMENTO FLEXIONANTE(VIRTUAL)

0 1 2 3 4

10.8

0.6

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

2

4

1 0.8 0.6 0.4 0.2

4

3

2

1

FUERZA CORTANTE (VIRTUAL)

0 8Pg.- 9 14/Mar/2011 21:40

0 1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0.8 0.6 0.4 0.2

2

4

1 0.8 0.6 0.4 0.2

4

3

2

1

FUERZA AXIAL(VIRTUAL)

a) considerando efectos de flexin

1y1Q

0

L1cos ( )

xM1 x( )M1 x( )

E I

d

0

L2xM2 x( )

M2 x( )

E I

d0

H

xM3 x( )M3 x( )

E I

d

371.32 Ton m

3E I 1y 14.251 cm

b) considerando los dems efectos: GE

2 1 ( ) 784230.769kgf

cm2

As tw d 2 tf 21.773 cm2

1y M+V+N1Q

0

L1cos ( )

xM1 x( )M1 x( )

E I

d

0

L2xM2 x( )

M2 x( )

E I

d0

H

xM3 x( )M3 x( )

E I

d

0

L1cos ( )

xV1 x( )V1 x( )

As G

d

0

L2xV2 x( )

V2 x( )

As G

d0

H

xV3 x( )V3 x( )

As G

d

0

L1cos ( )

xN1 x( )N1 x( )

A E

d

0

L2xN2 x( )

N2 x( )

A E

d0

H

xN3 x( )N3 x( )

A E

d

374.813 Ton m3

E I

1y M+V+N 14.385 cm

La contribucin del cortante es:

1y V1Q

0

L1cos ( )

xV1 x( )V1 x( )

As G

d

0

L2xV2 x( )

V2 x( )

As G

d0

H

xV3 x( )V3 x( )

As G

d

3.108 Ton m

3E I 1y V 1.193 mm

La contribucin de la fuerza axial es:

1y N1Q

0

L1cos ( )

xN1 x( )N1 x( )

A E

d

0

L2xN2 x( )

N2 x( )

A E

d0

H

xN3 x( )N3 x( )

A E

d

0.386 Ton m

3E I 1y N 0.148 mm

Pg.- 10 14/Mar/2011 21:40

Giro en el nudo 1: Q 1Ton m

+ MA 0= Given Q B cos ( ) L1 L2 0=B Find B( ) 0.192 Ton

Fx 0= Given Ax B sin ( ) 0=Ax Find Ax 0.096 Ton

+ Fy 0= Given B cos ( ) Ay 0=Ay Find Ay 0.167 Ton

Ax'

Ay'

t ( )TAx

Ay

0.19050.0274

Ton

Elemento 1:

M1 x( ) Ay' x V1 x( ) xM1 x( )dd

N1 x( ) Ax'

L1cos ( )

5.385mN'

V'

t ( )

N1

L1cos ( )

V1

L1cos ( )

0.0960.167

Ton

Elemento 2:

M2 x( ) M1

L1cos ( )

V' x Q V2 x( ) xM2 x( )

dd

N2 x( ) N'

Elemento 3: M3 x( ) M2 L2 N2 L2 x V3 x( ) xM3 x( )dd N3 x( ) V2 L2

0.4 0.2 0 0.2 0.4

2

4

0 1 2 3 4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

1.5 1 0.5 0 0.5

4

3

2

1

MOMENTO FLEXIONANTE(VIRTUAL)

Pg.- 11 14/Mar/2011 21:40

0 1 2 3 4

1

0.5

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

2

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

4

3

2

1

FUERZA CORTANTE (VIRTUAL)

0 1 2 3 4

10.80.60.40.2

1 0.8 0.6 0.4 0.2

2

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

4

3

2

1

FUERZA AXIAL(VIRTUAL)

a) considerando efectos de flexin

1Q

0

L1cos ( )

xM1 x( )M1 x( )

E I

d

0

L2xM2 x( )

M2 x( )

E I

d0

H

xM3 x( )M3 x( )

E I

d

129.845 Ton m

2E I 0.04983

b) desplazamiento considerando efectos de cortante y carga axial:

M+V+N1Q

0

L1cos ( )

xM1 x( )M1 x( )

E I

d

0

L2xM2 x( )

M2 x( )

E I

d0

H

xM3 x( )M3 x( )

E I

d

0

L1cos ( )

xV1 x( )V1 x( )

As G

d

0

L2xV2 x( )

V2 x( )

As G

d0

H

xV3 x( )V3 x( )

As G

d

0

L1cos ( )

xN1 x( )N1 x( )

A E

d

0

L2xN2 x( )

N2 x( )

A E

d0

H

xN3 x( )N3 x( )

A E

d

130.626 Ton m2

E I

M+V+N 0.050135

Pg.- 12 14/Mar/2011 21:40

la contribucin del cortante es:

cortante1Q

0

L1cos ( )

xV1 x( )V1 x( )

As G

d

0

L2xV2 x( )

V2 x( )

As G

d0

H

xV3 x( )V3 x( )

As G

d

0.673 Ton m

2E I

cortante 0.000258la contribucin de la fuerza axial es:

axial1Q

0

L1cos ( )

xN1 x( )N1 x( )

A E

d

0

L2xN2 x( )

N2 x( )

A E

d0

H

xN3 x( )N3 x( )

A E

d

0.108 Ton m

2E I

axial 0.000042

Pg.- 13 14/Mar/2011 21:40