86351869 analisis estructural de marcos planos ortogonales en excel
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Unidad Acadeacutemica de Ingenieriacutea
Programa Acadeacutemico Ingenieriacutea Civil
ldquoAnaacutelisis Estructural de Marcos Planos En Excelrdquo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez
Zacatecas Zac Julio 2008
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p1
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CONTENIDO Introduccioacuten Capiacutetulo 1 Anaacutelisis Estructural mediante el meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial
11 Meacutetodo de la rigidez
12 Aacutelgebra lineal
13 Meacutetodo de la rigidez en formulacioacuten matricial
Capiacutetulo 2 Microsoft Excelreg 21 Entorno de trabajo
22 Funciones matemaacuteticas
23 Visual Basic para aplicaciones
Capiacutetulo 3 Anaacutelisis Estructural de un marco plano en Microsoft Excelreg
31 Explicacioacuten del coacutedigo fuente
32 Forma de introducir los datos
33 Forma de interpretar los resultados
34 Alcance del programa
341 Ventajas
342 Limitaciones
Capiacutetulo 4 Ejemplos 41 Marcos planos con miembros de seccioacuten constante
42 Marcos planos con miembros de seccioacuten variable
Capiacutetulo 5 Conclusiones Referencias
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Introduccioacuten Con el creciente y amplio uso de la tecnologiacutea digital que se ha dado
recientemente es imposible que su influencia no llegue a la rama de la
ingenieriacutea civil y de manera maacutes especiacutefica al campo de la ingenieriacutea
estructural tanto asiacute que existen en la actualidad infinidad de
herramientas computacionales dirigidas a resolver problemas de
anaacutelisis y disentildeo de estructuras
Existen aplicaciones como por ejemplo el SAP Tricalc uStatic
Etabs entre otras de caraacutecter comercial muy conocidas y bastante
utilizadas por los ingenieros civiles incluso dentro de las universidades
del paiacutes ya se ha trabajado en este campo de hecho en la Universidad
Autoacutenoma de Zacatecas existen programas computacionales para el
anaacutelisis de estructuras
El anaacutelisis de estructuras mediante tecnologiacuteas digitales es muy
recurrido ya que es de enorme utilidad al realizar caacutelculos laboriosos y
extremadamente repetitivos evitando asiacute cometer posibles errores Sin
embargo la parte importante y crucial de un problema de este tipo no
es el realizar las operaciones requeridas por el meacutetodo de anaacutelisis sino
plantear el problema en cuestioacuten de forma correcta La tarea que lleva a
cabo una computadora en el anaacutelisis estructural es tan soacutelo una parte
de un proceso donde el ingeniero observa el problema lo plantea
introduce en la computadora los datos correctos y finalmente
interpreta los resultados obtenidos entonces no es posible que una
maacutequina detecte un error en el planteamiento del problema por
consiguiente sigue siendo responsabilidad del ingeniero el ofrecer
resultados correctos
Es obvio que cuando un calculista hace uso de un programa
computacional debe de estar familiarizado con el procedimiento que la
maacutequina estaacute realizando consecuentemente cualquiera que desee
delegar el caacutelculo de una estructura a algoritmos computacionales
primero debe saber coacutemo se hacen a mano Una vez que se ha ensayado
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y se tiene cierta experiencia se puede hacer uso de un programa
computacional como apoyo en el anaacutelisis para esto se ha realizado un
programa computacional que pueda servir de ayuda para el anaacutelisis de
estructuras dicho programa es una hoja de caacutelculo en Microsoft Office
Excel reg dicha hoja resuelve marcos planos mediante el meacutetodo
matricial se desprecian las deformaciones axiales y el nuacutemero maacuteximo
de grados de libertad debe ser como maacuteximo de 60 el programa
resuelve problemas con elementos de seccioacuten variable
Se eligioacute el tema para afianzar los conocimientos sobre anaacutelisis
estructural ademaacutes para alentar a otros estudiantes a desarrollar sus
propios programas ya que es un meacutetodo de autoaprendizaje tambieacuten
para que al utilizar un programa comercial o cualquier otro programa se
conozca ndasha grandes rasgosndash la mecaacutenica del mismo
El objetivo no es el competir con los programas de su ramo que
existen en el mercado ya que eacutestos son en su mayoriacutea desarrollados no
por una sola persona sino por equipo de profesionistas con estudios en
leguajes de programacioacuten sin embargo se contribuye en que el
programa ndashcomo estudiante de ingenieriacutea civilndash estaacute orientado no a un
uso profesional sino a un uso didaacutectico que sirva a los intereses de los
estudiantes de ingenieriacutea civil
Asimismo contrario a lo que se podriacutea pensar el programa
computacional tiene ventajas sobre el resto de los que existen en el
mercado en cuanto al hecho de que eacuteste puede servir como un primer
acercamiento al caacutelculo estructural mediante herramientas
computacionales ya que debido a su simplicidad seraacute faacutecil para un
estudiante comprender el mecanismo de operacioacuten
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CAPIacuteTULO 1 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE EL MEacuteTODO DE RIGIDEZ EN FORMULACIOacuteN MATRICIAL
11 Meacutetodo De La Rigidez Una de las definiciones fundamentales es la de estructura concepto que
Juan Tomaacutes Celiguumleta en su Curso de Anaacutelisis Estructural define de la
siguiente forma ldquoUna estructura es para un ingeniero cualquier tipo
de construccioacuten formada por uno o varios elementos enlazados entre siacute
que estaacuten destinados a soportar la accioacuten de una serie de fuerzas
aplicadas sobre ellosrdquo (Celiguumleta 1998 1)
Un concepto tambieacuten definido por Roberto A Falcoacuten aunque de
manera maacutes teacutecnica ldquoUna estructura es una cadena elaacutestica estable
compuesta por un nuacutemero finito de elementos unidos entre si mediante
un nuacutemero finito de juntashelliprdquo (Falconiacute 2004 5)
Consecuencia de lo anterior se dice que las estructuras estaacuten
formadas por miembros unidos entre siacute (en lo sucesivo los miembros de
la estructura se denominaraacuten elementos y a las uniones y voladizos se
les designaraacute nudos) los cuales se encargan de mantener estable un
estado de fuerzas (o una carga) lo que nos lleva a definir anaacutelisis estructural
Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes Para efectuar el anaacutelisis de una estructura es necesario proceder primero a su idealizacioacuten es decir a asimilarla a un modelo cuyo caacutelculo sea posible efectuar Esta idealizacioacuten se hace baacutesicamente introduciendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura sobre la forma en que eacutestos estaacuten unidos entre siacute y sobre la forma en que se sustenta Una vez idealizada la estructura se procede a su anaacutelisis calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella y utilizando para ello las teacutecnicas propias del Anaacutelisis Estructural Para este anaacutelisis siempre se dispone como datos de partida de los valores de las acciones exteriores y las dimensiones de la estructurahellip (Celiguumleta 1998 3)
Entonces el objetivo del anaacutelisis estructural es calcular las fuerzas y
las deflexiones en un punto cualquiera de una estructura para esto se
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pueden seguir muchos meacutetodos algunos de los cuales se enumeran a
continuacioacuten y se clasifican en cuatro grupos de acuerdo a su
naturaleza
1 Soluciones analiacuteticas consisten en resolver directamente las
ecuaciones que controlan el problema por lo que normalmente
soacutelo se pueden aplicar a casos sencillos
o Integracioacuten de la ecuacioacuten de la elaacutestica en v
o Teoremas de Mohr para vigas
o Meacutetodo de la viga conjugada para vigas
2 Empleo de las ecuaciones de la estaacutetica soacutelo se pueden aplicar a
estructuras isostaacuteticas
o Meacutetodo del equilibrio de los nudos para armaduras
o Meacutetodo de las secciones para armaduras
o Meacutetodo de la barra sustituida para armaduras
3 Meacutetodos basados en la flexibilidad
o Principio del trabajo virtual complementario y principio del
potencial complementario estacionario
o Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser
o Meacutetodo general de flexibilidad basado en el segundo teorema
de Engesser
o Meacutetodo de la compatibilidad de deformaciones en vigas
o Foacutermula de los tres momentos para vigas
o Principio de Muumlller-Breslau para cargas moacuteviles
4 Meacutetodos basados en la rigidez
o Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total
estacionario
o Primer teorema de Castigliano
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o Meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial para estructuras
de cualquier tipo
o Meacutetodo de la distribucioacuten de momentos o de Cross para
poacuterticos planos
De todos los meacutetodos anteriores para este trabajo el que nos
interesa es el meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial debido a
su faacutecil implementacioacuten y sistematizacioacuten en computadoras
Para explicar el meacutetodo de la rigidez hace falta definir ciertos
conceptos e hipoacutetesis necesarios Se dice que un modelo matemaacutetico es
maacutes exacto mientras maacutes variables se involucren en el mismo en el
caso del anaacutelisis estructural intervienen muchiacutesimas variables como
son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que
estaacuten unidas tambieacuten intervienen los procedimientos de construccioacuten
los cambios de temperatura la calidad de los materiales etc En lo que
atantildee a nuestro caso muchas de estas variables se despreciaraacuten
suponiendo comportamientos que si bien no son los reales se acercan
muy bien a la realidad A continuacioacuten se enumeran las hipoacutetesis
1-Comportamiento lineal de la estructura y de los materiales
2-Movimientos pequentildeos comparados con las dimensiones de la
estructura
3-Se desprecian los fenoacutemenos que afectan y variacutean la rigidez
4-Los materiales son homogeacuteneos e isoacutetropos
5-Las uniones de los elementos y de la estructura son
ortogonales
6-Los desplazamientos y el sistema de cargas estaacuten sobre un
plano (estructura en dos dimensiones)
7-Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el
eje longitudinal de los elementos
8-No necesariamente la seccioacuten de los elementos debe ser
constante sin embargo debe ser rectangular
Las hipoacutetesis uno dos y siete son de vital importancia ya que son
condiciones que debe cumplir una estructura para que se aplique el
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principio de superposicioacuten Dicho principio establece que los efectos que
produce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura son
equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las
fuerzas del sistema actuando independientemente
Dentro de la estructura en cualquier elemento seccioacuten o nudo la
suma de las fuerzas y momentos seraacute cero en este caso como es una
estructura plana se debe cumplir que
0xF 0yF 0M
Para analizar una estructura primero se debe evaluar su
estabilidad se dice que una estructura es estable cuando la estructura
mantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas Si una
estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir con el
anaacutelisis y deberaacute replantearse una nueva estructura
En el caso de que se trate de una estructura estable entonces se
procede a determinar su grado de indeterminacioacuten Como se mencionoacute
anteriormente se dispone de tres ecuaciones de equilibrio entonces el
grado de indeterminacioacuten seraacute el nuacutemero de incoacutegnitas que excedan el
nuacutemero de ecuaciones disponibles
Las incoacutegnitas en el meacutetodo de la rigidez son los desplazamientos
en los nudos ya sean traslaciones verticales traslaciones horizontales o
giros Esto lleva a definir el teacutermino grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica que no es otra cosa que la suma de todos los
desplazamientos independientes en los nudos
Ahora bien ya que se han definido las hipoacutetesis y las condiciones
de la estructura se debe hablar del meacutetodo que se usaraacute a saber el
meacutetodo de la rigidez (o de los desplazamientos) Dicho meacutetodo se llama
asiacute porque parte de la definicioacuten de rigidez la cual nos dice que la
fuerza que actuacutea sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo
multiplicada por la deformacioacuten que sufre debido a dicha accioacuten En
este meacutetodo se utilizan acciones producidas por desplazamientos
unitarios eacutestas son traslaciones o rotaciones unitarias y las acciones
seraacuten fuerzas o momentos
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Las acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocen
como ldquorigidecesrdquo
Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y
determinar sus rigideces
jMkM
1
Figura 11-1
L
En la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del
elemento se produce un desplazamiento giratorio unitario Si la fuerza
necesaria para producir dicho desplazamiento es igual a la rigidez del
elemento multiplicada por el mismo desplazamiento kF y 1
entonces kF Por el meacutetodo de la viga conjugada
EIM k
EIM j
Figura 11-2
L
032
231
20
L
EILML
EILM
M kjj kj MM 2
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Al provocar un giro unitario en el extremo j con jM se genera
2j
k
MM es decir existe un factor de transporte de
21
VR jkR
EIM k
EIM j
Figura 11-3
L
El cortante en j es el valor del giro en ese punto jR
0
31
232
20 j
kjk LRLL
EIMLL
EIM
M
Como 2
jk
MM
0121
620
31
221
32
2
22
j
jjj
jj LREI
LMEI
LMLRLL
EIMLL
EIM
4jj R
LEIM Como 1jR 4
LEIM j 2
LEIM k
De manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se
aplica en el extremo izquierdo y en el derecho tambieacuten cuando se aplica
una traslacioacuten en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces
correspondientes se muestran en las figuras 11-4 11-5 11-6 y 11-7
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2
6LEI
2
6LEI
LEI2L
EI41j
j k
Figura 11-4
2
6LEI
2
6LEI
LEI2
LEI4
1k
j k
Figura 11-5
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 j
Figura 11-6
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 k
Figura 11-7
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Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita
conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales
por ejemplo si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las
cargas de empotramiento seriacutean
2wL
2wL
12
2wL12
2wL
Figura 11-8
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12 Aacutelgebra Lineal El aacutelgebra lineal incluye la teoriacutea y la aplicacioacuten de sistemas lineales de
ecuaciones para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones
de las cuales para el propoacutesito de este trabajo bastaraacuten los siguientes
El primer concepto a definir es el de matriz que es un arreglo
rectangular de elementos ndash en nuestro caso nuacutemeros ndash escritos entre
corchetes por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3
sucursales en un trimestre
1000$800$750$1600$1550$1400$1650$1600$1500$
321
SucursalSucursalSucursal
MarzoFebreroEnero
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3
columnas entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el
primer teacutermino el nuacutemero de renglones el cual se denominaraacute m y el
segundo teacutermino seraacute el nuacutemero de columnas y se le denominaraacute con la
letra n De manera geneacuterica una matriz cualquiera de nm seraacute
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
21
22221
11211
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al
rengloacuten y luego a la columna por ejemplo el elemento 23a de la matriz de
ventas seraacute $1600 que corresponde a la sucursal ndash 2 en el mes de
marzo Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un
vector si m = 1 entonces es un vector rengloacuten y si 1n seraacute un vector
columna
Matrices especiales
Existen ciertas matrices que deberaacuten mencionarse debido a su
utilidad en el meacutetodo de le rigidez
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Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
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333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
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En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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CONTENIDO Introduccioacuten Capiacutetulo 1 Anaacutelisis Estructural mediante el meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial
11 Meacutetodo de la rigidez
12 Aacutelgebra lineal
13 Meacutetodo de la rigidez en formulacioacuten matricial
Capiacutetulo 2 Microsoft Excelreg 21 Entorno de trabajo
22 Funciones matemaacuteticas
23 Visual Basic para aplicaciones
Capiacutetulo 3 Anaacutelisis Estructural de un marco plano en Microsoft Excelreg
31 Explicacioacuten del coacutedigo fuente
32 Forma de introducir los datos
33 Forma de interpretar los resultados
34 Alcance del programa
341 Ventajas
342 Limitaciones
Capiacutetulo 4 Ejemplos 41 Marcos planos con miembros de seccioacuten constante
42 Marcos planos con miembros de seccioacuten variable
Capiacutetulo 5 Conclusiones Referencias
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Introduccioacuten Con el creciente y amplio uso de la tecnologiacutea digital que se ha dado
recientemente es imposible que su influencia no llegue a la rama de la
ingenieriacutea civil y de manera maacutes especiacutefica al campo de la ingenieriacutea
estructural tanto asiacute que existen en la actualidad infinidad de
herramientas computacionales dirigidas a resolver problemas de
anaacutelisis y disentildeo de estructuras
Existen aplicaciones como por ejemplo el SAP Tricalc uStatic
Etabs entre otras de caraacutecter comercial muy conocidas y bastante
utilizadas por los ingenieros civiles incluso dentro de las universidades
del paiacutes ya se ha trabajado en este campo de hecho en la Universidad
Autoacutenoma de Zacatecas existen programas computacionales para el
anaacutelisis de estructuras
El anaacutelisis de estructuras mediante tecnologiacuteas digitales es muy
recurrido ya que es de enorme utilidad al realizar caacutelculos laboriosos y
extremadamente repetitivos evitando asiacute cometer posibles errores Sin
embargo la parte importante y crucial de un problema de este tipo no
es el realizar las operaciones requeridas por el meacutetodo de anaacutelisis sino
plantear el problema en cuestioacuten de forma correcta La tarea que lleva a
cabo una computadora en el anaacutelisis estructural es tan soacutelo una parte
de un proceso donde el ingeniero observa el problema lo plantea
introduce en la computadora los datos correctos y finalmente
interpreta los resultados obtenidos entonces no es posible que una
maacutequina detecte un error en el planteamiento del problema por
consiguiente sigue siendo responsabilidad del ingeniero el ofrecer
resultados correctos
Es obvio que cuando un calculista hace uso de un programa
computacional debe de estar familiarizado con el procedimiento que la
maacutequina estaacute realizando consecuentemente cualquiera que desee
delegar el caacutelculo de una estructura a algoritmos computacionales
primero debe saber coacutemo se hacen a mano Una vez que se ha ensayado
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y se tiene cierta experiencia se puede hacer uso de un programa
computacional como apoyo en el anaacutelisis para esto se ha realizado un
programa computacional que pueda servir de ayuda para el anaacutelisis de
estructuras dicho programa es una hoja de caacutelculo en Microsoft Office
Excel reg dicha hoja resuelve marcos planos mediante el meacutetodo
matricial se desprecian las deformaciones axiales y el nuacutemero maacuteximo
de grados de libertad debe ser como maacuteximo de 60 el programa
resuelve problemas con elementos de seccioacuten variable
Se eligioacute el tema para afianzar los conocimientos sobre anaacutelisis
estructural ademaacutes para alentar a otros estudiantes a desarrollar sus
propios programas ya que es un meacutetodo de autoaprendizaje tambieacuten
para que al utilizar un programa comercial o cualquier otro programa se
conozca ndasha grandes rasgosndash la mecaacutenica del mismo
El objetivo no es el competir con los programas de su ramo que
existen en el mercado ya que eacutestos son en su mayoriacutea desarrollados no
por una sola persona sino por equipo de profesionistas con estudios en
leguajes de programacioacuten sin embargo se contribuye en que el
programa ndashcomo estudiante de ingenieriacutea civilndash estaacute orientado no a un
uso profesional sino a un uso didaacutectico que sirva a los intereses de los
estudiantes de ingenieriacutea civil
Asimismo contrario a lo que se podriacutea pensar el programa
computacional tiene ventajas sobre el resto de los que existen en el
mercado en cuanto al hecho de que eacuteste puede servir como un primer
acercamiento al caacutelculo estructural mediante herramientas
computacionales ya que debido a su simplicidad seraacute faacutecil para un
estudiante comprender el mecanismo de operacioacuten
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CAPIacuteTULO 1 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE EL MEacuteTODO DE RIGIDEZ EN FORMULACIOacuteN MATRICIAL
11 Meacutetodo De La Rigidez Una de las definiciones fundamentales es la de estructura concepto que
Juan Tomaacutes Celiguumleta en su Curso de Anaacutelisis Estructural define de la
siguiente forma ldquoUna estructura es para un ingeniero cualquier tipo
de construccioacuten formada por uno o varios elementos enlazados entre siacute
que estaacuten destinados a soportar la accioacuten de una serie de fuerzas
aplicadas sobre ellosrdquo (Celiguumleta 1998 1)
Un concepto tambieacuten definido por Roberto A Falcoacuten aunque de
manera maacutes teacutecnica ldquoUna estructura es una cadena elaacutestica estable
compuesta por un nuacutemero finito de elementos unidos entre si mediante
un nuacutemero finito de juntashelliprdquo (Falconiacute 2004 5)
Consecuencia de lo anterior se dice que las estructuras estaacuten
formadas por miembros unidos entre siacute (en lo sucesivo los miembros de
la estructura se denominaraacuten elementos y a las uniones y voladizos se
les designaraacute nudos) los cuales se encargan de mantener estable un
estado de fuerzas (o una carga) lo que nos lleva a definir anaacutelisis estructural
Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes Para efectuar el anaacutelisis de una estructura es necesario proceder primero a su idealizacioacuten es decir a asimilarla a un modelo cuyo caacutelculo sea posible efectuar Esta idealizacioacuten se hace baacutesicamente introduciendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura sobre la forma en que eacutestos estaacuten unidos entre siacute y sobre la forma en que se sustenta Una vez idealizada la estructura se procede a su anaacutelisis calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella y utilizando para ello las teacutecnicas propias del Anaacutelisis Estructural Para este anaacutelisis siempre se dispone como datos de partida de los valores de las acciones exteriores y las dimensiones de la estructurahellip (Celiguumleta 1998 3)
Entonces el objetivo del anaacutelisis estructural es calcular las fuerzas y
las deflexiones en un punto cualquiera de una estructura para esto se
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pueden seguir muchos meacutetodos algunos de los cuales se enumeran a
continuacioacuten y se clasifican en cuatro grupos de acuerdo a su
naturaleza
1 Soluciones analiacuteticas consisten en resolver directamente las
ecuaciones que controlan el problema por lo que normalmente
soacutelo se pueden aplicar a casos sencillos
o Integracioacuten de la ecuacioacuten de la elaacutestica en v
o Teoremas de Mohr para vigas
o Meacutetodo de la viga conjugada para vigas
2 Empleo de las ecuaciones de la estaacutetica soacutelo se pueden aplicar a
estructuras isostaacuteticas
o Meacutetodo del equilibrio de los nudos para armaduras
o Meacutetodo de las secciones para armaduras
o Meacutetodo de la barra sustituida para armaduras
3 Meacutetodos basados en la flexibilidad
o Principio del trabajo virtual complementario y principio del
potencial complementario estacionario
o Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser
o Meacutetodo general de flexibilidad basado en el segundo teorema
de Engesser
o Meacutetodo de la compatibilidad de deformaciones en vigas
o Foacutermula de los tres momentos para vigas
o Principio de Muumlller-Breslau para cargas moacuteviles
4 Meacutetodos basados en la rigidez
o Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total
estacionario
o Primer teorema de Castigliano
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o Meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial para estructuras
de cualquier tipo
o Meacutetodo de la distribucioacuten de momentos o de Cross para
poacuterticos planos
De todos los meacutetodos anteriores para este trabajo el que nos
interesa es el meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial debido a
su faacutecil implementacioacuten y sistematizacioacuten en computadoras
Para explicar el meacutetodo de la rigidez hace falta definir ciertos
conceptos e hipoacutetesis necesarios Se dice que un modelo matemaacutetico es
maacutes exacto mientras maacutes variables se involucren en el mismo en el
caso del anaacutelisis estructural intervienen muchiacutesimas variables como
son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que
estaacuten unidas tambieacuten intervienen los procedimientos de construccioacuten
los cambios de temperatura la calidad de los materiales etc En lo que
atantildee a nuestro caso muchas de estas variables se despreciaraacuten
suponiendo comportamientos que si bien no son los reales se acercan
muy bien a la realidad A continuacioacuten se enumeran las hipoacutetesis
1-Comportamiento lineal de la estructura y de los materiales
2-Movimientos pequentildeos comparados con las dimensiones de la
estructura
3-Se desprecian los fenoacutemenos que afectan y variacutean la rigidez
4-Los materiales son homogeacuteneos e isoacutetropos
5-Las uniones de los elementos y de la estructura son
ortogonales
6-Los desplazamientos y el sistema de cargas estaacuten sobre un
plano (estructura en dos dimensiones)
7-Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el
eje longitudinal de los elementos
8-No necesariamente la seccioacuten de los elementos debe ser
constante sin embargo debe ser rectangular
Las hipoacutetesis uno dos y siete son de vital importancia ya que son
condiciones que debe cumplir una estructura para que se aplique el
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principio de superposicioacuten Dicho principio establece que los efectos que
produce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura son
equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las
fuerzas del sistema actuando independientemente
Dentro de la estructura en cualquier elemento seccioacuten o nudo la
suma de las fuerzas y momentos seraacute cero en este caso como es una
estructura plana se debe cumplir que
0xF 0yF 0M
Para analizar una estructura primero se debe evaluar su
estabilidad se dice que una estructura es estable cuando la estructura
mantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas Si una
estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir con el
anaacutelisis y deberaacute replantearse una nueva estructura
En el caso de que se trate de una estructura estable entonces se
procede a determinar su grado de indeterminacioacuten Como se mencionoacute
anteriormente se dispone de tres ecuaciones de equilibrio entonces el
grado de indeterminacioacuten seraacute el nuacutemero de incoacutegnitas que excedan el
nuacutemero de ecuaciones disponibles
Las incoacutegnitas en el meacutetodo de la rigidez son los desplazamientos
en los nudos ya sean traslaciones verticales traslaciones horizontales o
giros Esto lleva a definir el teacutermino grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica que no es otra cosa que la suma de todos los
desplazamientos independientes en los nudos
Ahora bien ya que se han definido las hipoacutetesis y las condiciones
de la estructura se debe hablar del meacutetodo que se usaraacute a saber el
meacutetodo de la rigidez (o de los desplazamientos) Dicho meacutetodo se llama
asiacute porque parte de la definicioacuten de rigidez la cual nos dice que la
fuerza que actuacutea sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo
multiplicada por la deformacioacuten que sufre debido a dicha accioacuten En
este meacutetodo se utilizan acciones producidas por desplazamientos
unitarios eacutestas son traslaciones o rotaciones unitarias y las acciones
seraacuten fuerzas o momentos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocen
como ldquorigidecesrdquo
Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y
determinar sus rigideces
jMkM
1
Figura 11-1
L
En la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del
elemento se produce un desplazamiento giratorio unitario Si la fuerza
necesaria para producir dicho desplazamiento es igual a la rigidez del
elemento multiplicada por el mismo desplazamiento kF y 1
entonces kF Por el meacutetodo de la viga conjugada
EIM k
EIM j
Figura 11-2
L
032
231
20
L
EILML
EILM
M kjj kj MM 2
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Al provocar un giro unitario en el extremo j con jM se genera
2j
k
MM es decir existe un factor de transporte de
21
VR jkR
EIM k
EIM j
Figura 11-3
L
El cortante en j es el valor del giro en ese punto jR
0
31
232
20 j
kjk LRLL
EIMLL
EIM
M
Como 2
jk
MM
0121
620
31
221
32
2
22
j
jjj
jj LREI
LMEI
LMLRLL
EIMLL
EIM
4jj R
LEIM Como 1jR 4
LEIM j 2
LEIM k
De manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se
aplica en el extremo izquierdo y en el derecho tambieacuten cuando se aplica
una traslacioacuten en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces
correspondientes se muestran en las figuras 11-4 11-5 11-6 y 11-7
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p10
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2
6LEI
2
6LEI
LEI2L
EI41j
j k
Figura 11-4
2
6LEI
2
6LEI
LEI2
LEI4
1k
j k
Figura 11-5
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 j
Figura 11-6
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 k
Figura 11-7
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p11
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita
conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales
por ejemplo si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las
cargas de empotramiento seriacutean
2wL
2wL
12
2wL12
2wL
Figura 11-8
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p12
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
12 Aacutelgebra Lineal El aacutelgebra lineal incluye la teoriacutea y la aplicacioacuten de sistemas lineales de
ecuaciones para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones
de las cuales para el propoacutesito de este trabajo bastaraacuten los siguientes
El primer concepto a definir es el de matriz que es un arreglo
rectangular de elementos ndash en nuestro caso nuacutemeros ndash escritos entre
corchetes por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3
sucursales en un trimestre
1000$800$750$1600$1550$1400$1650$1600$1500$
321
SucursalSucursalSucursal
MarzoFebreroEnero
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3
columnas entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el
primer teacutermino el nuacutemero de renglones el cual se denominaraacute m y el
segundo teacutermino seraacute el nuacutemero de columnas y se le denominaraacute con la
letra n De manera geneacuterica una matriz cualquiera de nm seraacute
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
21
22221
11211
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al
rengloacuten y luego a la columna por ejemplo el elemento 23a de la matriz de
ventas seraacute $1600 que corresponde a la sucursal ndash 2 en el mes de
marzo Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un
vector si m = 1 entonces es un vector rengloacuten y si 1n seraacute un vector
columna
Matrices especiales
Existen ciertas matrices que deberaacuten mencionarse debido a su
utilidad en el meacutetodo de le rigidez
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Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
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333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
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En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p31
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p2
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Introduccioacuten Con el creciente y amplio uso de la tecnologiacutea digital que se ha dado
recientemente es imposible que su influencia no llegue a la rama de la
ingenieriacutea civil y de manera maacutes especiacutefica al campo de la ingenieriacutea
estructural tanto asiacute que existen en la actualidad infinidad de
herramientas computacionales dirigidas a resolver problemas de
anaacutelisis y disentildeo de estructuras
Existen aplicaciones como por ejemplo el SAP Tricalc uStatic
Etabs entre otras de caraacutecter comercial muy conocidas y bastante
utilizadas por los ingenieros civiles incluso dentro de las universidades
del paiacutes ya se ha trabajado en este campo de hecho en la Universidad
Autoacutenoma de Zacatecas existen programas computacionales para el
anaacutelisis de estructuras
El anaacutelisis de estructuras mediante tecnologiacuteas digitales es muy
recurrido ya que es de enorme utilidad al realizar caacutelculos laboriosos y
extremadamente repetitivos evitando asiacute cometer posibles errores Sin
embargo la parte importante y crucial de un problema de este tipo no
es el realizar las operaciones requeridas por el meacutetodo de anaacutelisis sino
plantear el problema en cuestioacuten de forma correcta La tarea que lleva a
cabo una computadora en el anaacutelisis estructural es tan soacutelo una parte
de un proceso donde el ingeniero observa el problema lo plantea
introduce en la computadora los datos correctos y finalmente
interpreta los resultados obtenidos entonces no es posible que una
maacutequina detecte un error en el planteamiento del problema por
consiguiente sigue siendo responsabilidad del ingeniero el ofrecer
resultados correctos
Es obvio que cuando un calculista hace uso de un programa
computacional debe de estar familiarizado con el procedimiento que la
maacutequina estaacute realizando consecuentemente cualquiera que desee
delegar el caacutelculo de una estructura a algoritmos computacionales
primero debe saber coacutemo se hacen a mano Una vez que se ha ensayado
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y se tiene cierta experiencia se puede hacer uso de un programa
computacional como apoyo en el anaacutelisis para esto se ha realizado un
programa computacional que pueda servir de ayuda para el anaacutelisis de
estructuras dicho programa es una hoja de caacutelculo en Microsoft Office
Excel reg dicha hoja resuelve marcos planos mediante el meacutetodo
matricial se desprecian las deformaciones axiales y el nuacutemero maacuteximo
de grados de libertad debe ser como maacuteximo de 60 el programa
resuelve problemas con elementos de seccioacuten variable
Se eligioacute el tema para afianzar los conocimientos sobre anaacutelisis
estructural ademaacutes para alentar a otros estudiantes a desarrollar sus
propios programas ya que es un meacutetodo de autoaprendizaje tambieacuten
para que al utilizar un programa comercial o cualquier otro programa se
conozca ndasha grandes rasgosndash la mecaacutenica del mismo
El objetivo no es el competir con los programas de su ramo que
existen en el mercado ya que eacutestos son en su mayoriacutea desarrollados no
por una sola persona sino por equipo de profesionistas con estudios en
leguajes de programacioacuten sin embargo se contribuye en que el
programa ndashcomo estudiante de ingenieriacutea civilndash estaacute orientado no a un
uso profesional sino a un uso didaacutectico que sirva a los intereses de los
estudiantes de ingenieriacutea civil
Asimismo contrario a lo que se podriacutea pensar el programa
computacional tiene ventajas sobre el resto de los que existen en el
mercado en cuanto al hecho de que eacuteste puede servir como un primer
acercamiento al caacutelculo estructural mediante herramientas
computacionales ya que debido a su simplicidad seraacute faacutecil para un
estudiante comprender el mecanismo de operacioacuten
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CAPIacuteTULO 1 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE EL MEacuteTODO DE RIGIDEZ EN FORMULACIOacuteN MATRICIAL
11 Meacutetodo De La Rigidez Una de las definiciones fundamentales es la de estructura concepto que
Juan Tomaacutes Celiguumleta en su Curso de Anaacutelisis Estructural define de la
siguiente forma ldquoUna estructura es para un ingeniero cualquier tipo
de construccioacuten formada por uno o varios elementos enlazados entre siacute
que estaacuten destinados a soportar la accioacuten de una serie de fuerzas
aplicadas sobre ellosrdquo (Celiguumleta 1998 1)
Un concepto tambieacuten definido por Roberto A Falcoacuten aunque de
manera maacutes teacutecnica ldquoUna estructura es una cadena elaacutestica estable
compuesta por un nuacutemero finito de elementos unidos entre si mediante
un nuacutemero finito de juntashelliprdquo (Falconiacute 2004 5)
Consecuencia de lo anterior se dice que las estructuras estaacuten
formadas por miembros unidos entre siacute (en lo sucesivo los miembros de
la estructura se denominaraacuten elementos y a las uniones y voladizos se
les designaraacute nudos) los cuales se encargan de mantener estable un
estado de fuerzas (o una carga) lo que nos lleva a definir anaacutelisis estructural
Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes Para efectuar el anaacutelisis de una estructura es necesario proceder primero a su idealizacioacuten es decir a asimilarla a un modelo cuyo caacutelculo sea posible efectuar Esta idealizacioacuten se hace baacutesicamente introduciendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura sobre la forma en que eacutestos estaacuten unidos entre siacute y sobre la forma en que se sustenta Una vez idealizada la estructura se procede a su anaacutelisis calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella y utilizando para ello las teacutecnicas propias del Anaacutelisis Estructural Para este anaacutelisis siempre se dispone como datos de partida de los valores de las acciones exteriores y las dimensiones de la estructurahellip (Celiguumleta 1998 3)
Entonces el objetivo del anaacutelisis estructural es calcular las fuerzas y
las deflexiones en un punto cualquiera de una estructura para esto se
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pueden seguir muchos meacutetodos algunos de los cuales se enumeran a
continuacioacuten y se clasifican en cuatro grupos de acuerdo a su
naturaleza
1 Soluciones analiacuteticas consisten en resolver directamente las
ecuaciones que controlan el problema por lo que normalmente
soacutelo se pueden aplicar a casos sencillos
o Integracioacuten de la ecuacioacuten de la elaacutestica en v
o Teoremas de Mohr para vigas
o Meacutetodo de la viga conjugada para vigas
2 Empleo de las ecuaciones de la estaacutetica soacutelo se pueden aplicar a
estructuras isostaacuteticas
o Meacutetodo del equilibrio de los nudos para armaduras
o Meacutetodo de las secciones para armaduras
o Meacutetodo de la barra sustituida para armaduras
3 Meacutetodos basados en la flexibilidad
o Principio del trabajo virtual complementario y principio del
potencial complementario estacionario
o Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser
o Meacutetodo general de flexibilidad basado en el segundo teorema
de Engesser
o Meacutetodo de la compatibilidad de deformaciones en vigas
o Foacutermula de los tres momentos para vigas
o Principio de Muumlller-Breslau para cargas moacuteviles
4 Meacutetodos basados en la rigidez
o Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total
estacionario
o Primer teorema de Castigliano
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o Meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial para estructuras
de cualquier tipo
o Meacutetodo de la distribucioacuten de momentos o de Cross para
poacuterticos planos
De todos los meacutetodos anteriores para este trabajo el que nos
interesa es el meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial debido a
su faacutecil implementacioacuten y sistematizacioacuten en computadoras
Para explicar el meacutetodo de la rigidez hace falta definir ciertos
conceptos e hipoacutetesis necesarios Se dice que un modelo matemaacutetico es
maacutes exacto mientras maacutes variables se involucren en el mismo en el
caso del anaacutelisis estructural intervienen muchiacutesimas variables como
son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que
estaacuten unidas tambieacuten intervienen los procedimientos de construccioacuten
los cambios de temperatura la calidad de los materiales etc En lo que
atantildee a nuestro caso muchas de estas variables se despreciaraacuten
suponiendo comportamientos que si bien no son los reales se acercan
muy bien a la realidad A continuacioacuten se enumeran las hipoacutetesis
1-Comportamiento lineal de la estructura y de los materiales
2-Movimientos pequentildeos comparados con las dimensiones de la
estructura
3-Se desprecian los fenoacutemenos que afectan y variacutean la rigidez
4-Los materiales son homogeacuteneos e isoacutetropos
5-Las uniones de los elementos y de la estructura son
ortogonales
6-Los desplazamientos y el sistema de cargas estaacuten sobre un
plano (estructura en dos dimensiones)
7-Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el
eje longitudinal de los elementos
8-No necesariamente la seccioacuten de los elementos debe ser
constante sin embargo debe ser rectangular
Las hipoacutetesis uno dos y siete son de vital importancia ya que son
condiciones que debe cumplir una estructura para que se aplique el
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principio de superposicioacuten Dicho principio establece que los efectos que
produce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura son
equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las
fuerzas del sistema actuando independientemente
Dentro de la estructura en cualquier elemento seccioacuten o nudo la
suma de las fuerzas y momentos seraacute cero en este caso como es una
estructura plana se debe cumplir que
0xF 0yF 0M
Para analizar una estructura primero se debe evaluar su
estabilidad se dice que una estructura es estable cuando la estructura
mantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas Si una
estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir con el
anaacutelisis y deberaacute replantearse una nueva estructura
En el caso de que se trate de una estructura estable entonces se
procede a determinar su grado de indeterminacioacuten Como se mencionoacute
anteriormente se dispone de tres ecuaciones de equilibrio entonces el
grado de indeterminacioacuten seraacute el nuacutemero de incoacutegnitas que excedan el
nuacutemero de ecuaciones disponibles
Las incoacutegnitas en el meacutetodo de la rigidez son los desplazamientos
en los nudos ya sean traslaciones verticales traslaciones horizontales o
giros Esto lleva a definir el teacutermino grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica que no es otra cosa que la suma de todos los
desplazamientos independientes en los nudos
Ahora bien ya que se han definido las hipoacutetesis y las condiciones
de la estructura se debe hablar del meacutetodo que se usaraacute a saber el
meacutetodo de la rigidez (o de los desplazamientos) Dicho meacutetodo se llama
asiacute porque parte de la definicioacuten de rigidez la cual nos dice que la
fuerza que actuacutea sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo
multiplicada por la deformacioacuten que sufre debido a dicha accioacuten En
este meacutetodo se utilizan acciones producidas por desplazamientos
unitarios eacutestas son traslaciones o rotaciones unitarias y las acciones
seraacuten fuerzas o momentos
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Las acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocen
como ldquorigidecesrdquo
Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y
determinar sus rigideces
jMkM
1
Figura 11-1
L
En la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del
elemento se produce un desplazamiento giratorio unitario Si la fuerza
necesaria para producir dicho desplazamiento es igual a la rigidez del
elemento multiplicada por el mismo desplazamiento kF y 1
entonces kF Por el meacutetodo de la viga conjugada
EIM k
EIM j
Figura 11-2
L
032
231
20
L
EILML
EILM
M kjj kj MM 2
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Al provocar un giro unitario en el extremo j con jM se genera
2j
k
MM es decir existe un factor de transporte de
21
VR jkR
EIM k
EIM j
Figura 11-3
L
El cortante en j es el valor del giro en ese punto jR
0
31
232
20 j
kjk LRLL
EIMLL
EIM
M
Como 2
jk
MM
0121
620
31
221
32
2
22
j
jjj
jj LREI
LMEI
LMLRLL
EIMLL
EIM
4jj R
LEIM Como 1jR 4
LEIM j 2
LEIM k
De manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se
aplica en el extremo izquierdo y en el derecho tambieacuten cuando se aplica
una traslacioacuten en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces
correspondientes se muestran en las figuras 11-4 11-5 11-6 y 11-7
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2
6LEI
2
6LEI
LEI2L
EI41j
j k
Figura 11-4
2
6LEI
2
6LEI
LEI2
LEI4
1k
j k
Figura 11-5
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 j
Figura 11-6
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 k
Figura 11-7
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Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita
conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales
por ejemplo si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las
cargas de empotramiento seriacutean
2wL
2wL
12
2wL12
2wL
Figura 11-8
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12 Aacutelgebra Lineal El aacutelgebra lineal incluye la teoriacutea y la aplicacioacuten de sistemas lineales de
ecuaciones para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones
de las cuales para el propoacutesito de este trabajo bastaraacuten los siguientes
El primer concepto a definir es el de matriz que es un arreglo
rectangular de elementos ndash en nuestro caso nuacutemeros ndash escritos entre
corchetes por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3
sucursales en un trimestre
1000$800$750$1600$1550$1400$1650$1600$1500$
321
SucursalSucursalSucursal
MarzoFebreroEnero
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3
columnas entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el
primer teacutermino el nuacutemero de renglones el cual se denominaraacute m y el
segundo teacutermino seraacute el nuacutemero de columnas y se le denominaraacute con la
letra n De manera geneacuterica una matriz cualquiera de nm seraacute
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
21
22221
11211
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al
rengloacuten y luego a la columna por ejemplo el elemento 23a de la matriz de
ventas seraacute $1600 que corresponde a la sucursal ndash 2 en el mes de
marzo Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un
vector si m = 1 entonces es un vector rengloacuten y si 1n seraacute un vector
columna
Matrices especiales
Existen ciertas matrices que deberaacuten mencionarse debido a su
utilidad en el meacutetodo de le rigidez
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Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
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333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
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En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
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32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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y se tiene cierta experiencia se puede hacer uso de un programa
computacional como apoyo en el anaacutelisis para esto se ha realizado un
programa computacional que pueda servir de ayuda para el anaacutelisis de
estructuras dicho programa es una hoja de caacutelculo en Microsoft Office
Excel reg dicha hoja resuelve marcos planos mediante el meacutetodo
matricial se desprecian las deformaciones axiales y el nuacutemero maacuteximo
de grados de libertad debe ser como maacuteximo de 60 el programa
resuelve problemas con elementos de seccioacuten variable
Se eligioacute el tema para afianzar los conocimientos sobre anaacutelisis
estructural ademaacutes para alentar a otros estudiantes a desarrollar sus
propios programas ya que es un meacutetodo de autoaprendizaje tambieacuten
para que al utilizar un programa comercial o cualquier otro programa se
conozca ndasha grandes rasgosndash la mecaacutenica del mismo
El objetivo no es el competir con los programas de su ramo que
existen en el mercado ya que eacutestos son en su mayoriacutea desarrollados no
por una sola persona sino por equipo de profesionistas con estudios en
leguajes de programacioacuten sin embargo se contribuye en que el
programa ndashcomo estudiante de ingenieriacutea civilndash estaacute orientado no a un
uso profesional sino a un uso didaacutectico que sirva a los intereses de los
estudiantes de ingenieriacutea civil
Asimismo contrario a lo que se podriacutea pensar el programa
computacional tiene ventajas sobre el resto de los que existen en el
mercado en cuanto al hecho de que eacuteste puede servir como un primer
acercamiento al caacutelculo estructural mediante herramientas
computacionales ya que debido a su simplicidad seraacute faacutecil para un
estudiante comprender el mecanismo de operacioacuten
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CAPIacuteTULO 1 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE EL MEacuteTODO DE RIGIDEZ EN FORMULACIOacuteN MATRICIAL
11 Meacutetodo De La Rigidez Una de las definiciones fundamentales es la de estructura concepto que
Juan Tomaacutes Celiguumleta en su Curso de Anaacutelisis Estructural define de la
siguiente forma ldquoUna estructura es para un ingeniero cualquier tipo
de construccioacuten formada por uno o varios elementos enlazados entre siacute
que estaacuten destinados a soportar la accioacuten de una serie de fuerzas
aplicadas sobre ellosrdquo (Celiguumleta 1998 1)
Un concepto tambieacuten definido por Roberto A Falcoacuten aunque de
manera maacutes teacutecnica ldquoUna estructura es una cadena elaacutestica estable
compuesta por un nuacutemero finito de elementos unidos entre si mediante
un nuacutemero finito de juntashelliprdquo (Falconiacute 2004 5)
Consecuencia de lo anterior se dice que las estructuras estaacuten
formadas por miembros unidos entre siacute (en lo sucesivo los miembros de
la estructura se denominaraacuten elementos y a las uniones y voladizos se
les designaraacute nudos) los cuales se encargan de mantener estable un
estado de fuerzas (o una carga) lo que nos lleva a definir anaacutelisis estructural
Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes Para efectuar el anaacutelisis de una estructura es necesario proceder primero a su idealizacioacuten es decir a asimilarla a un modelo cuyo caacutelculo sea posible efectuar Esta idealizacioacuten se hace baacutesicamente introduciendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura sobre la forma en que eacutestos estaacuten unidos entre siacute y sobre la forma en que se sustenta Una vez idealizada la estructura se procede a su anaacutelisis calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella y utilizando para ello las teacutecnicas propias del Anaacutelisis Estructural Para este anaacutelisis siempre se dispone como datos de partida de los valores de las acciones exteriores y las dimensiones de la estructurahellip (Celiguumleta 1998 3)
Entonces el objetivo del anaacutelisis estructural es calcular las fuerzas y
las deflexiones en un punto cualquiera de una estructura para esto se
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pueden seguir muchos meacutetodos algunos de los cuales se enumeran a
continuacioacuten y se clasifican en cuatro grupos de acuerdo a su
naturaleza
1 Soluciones analiacuteticas consisten en resolver directamente las
ecuaciones que controlan el problema por lo que normalmente
soacutelo se pueden aplicar a casos sencillos
o Integracioacuten de la ecuacioacuten de la elaacutestica en v
o Teoremas de Mohr para vigas
o Meacutetodo de la viga conjugada para vigas
2 Empleo de las ecuaciones de la estaacutetica soacutelo se pueden aplicar a
estructuras isostaacuteticas
o Meacutetodo del equilibrio de los nudos para armaduras
o Meacutetodo de las secciones para armaduras
o Meacutetodo de la barra sustituida para armaduras
3 Meacutetodos basados en la flexibilidad
o Principio del trabajo virtual complementario y principio del
potencial complementario estacionario
o Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser
o Meacutetodo general de flexibilidad basado en el segundo teorema
de Engesser
o Meacutetodo de la compatibilidad de deformaciones en vigas
o Foacutermula de los tres momentos para vigas
o Principio de Muumlller-Breslau para cargas moacuteviles
4 Meacutetodos basados en la rigidez
o Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total
estacionario
o Primer teorema de Castigliano
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o Meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial para estructuras
de cualquier tipo
o Meacutetodo de la distribucioacuten de momentos o de Cross para
poacuterticos planos
De todos los meacutetodos anteriores para este trabajo el que nos
interesa es el meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial debido a
su faacutecil implementacioacuten y sistematizacioacuten en computadoras
Para explicar el meacutetodo de la rigidez hace falta definir ciertos
conceptos e hipoacutetesis necesarios Se dice que un modelo matemaacutetico es
maacutes exacto mientras maacutes variables se involucren en el mismo en el
caso del anaacutelisis estructural intervienen muchiacutesimas variables como
son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que
estaacuten unidas tambieacuten intervienen los procedimientos de construccioacuten
los cambios de temperatura la calidad de los materiales etc En lo que
atantildee a nuestro caso muchas de estas variables se despreciaraacuten
suponiendo comportamientos que si bien no son los reales se acercan
muy bien a la realidad A continuacioacuten se enumeran las hipoacutetesis
1-Comportamiento lineal de la estructura y de los materiales
2-Movimientos pequentildeos comparados con las dimensiones de la
estructura
3-Se desprecian los fenoacutemenos que afectan y variacutean la rigidez
4-Los materiales son homogeacuteneos e isoacutetropos
5-Las uniones de los elementos y de la estructura son
ortogonales
6-Los desplazamientos y el sistema de cargas estaacuten sobre un
plano (estructura en dos dimensiones)
7-Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el
eje longitudinal de los elementos
8-No necesariamente la seccioacuten de los elementos debe ser
constante sin embargo debe ser rectangular
Las hipoacutetesis uno dos y siete son de vital importancia ya que son
condiciones que debe cumplir una estructura para que se aplique el
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principio de superposicioacuten Dicho principio establece que los efectos que
produce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura son
equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las
fuerzas del sistema actuando independientemente
Dentro de la estructura en cualquier elemento seccioacuten o nudo la
suma de las fuerzas y momentos seraacute cero en este caso como es una
estructura plana se debe cumplir que
0xF 0yF 0M
Para analizar una estructura primero se debe evaluar su
estabilidad se dice que una estructura es estable cuando la estructura
mantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas Si una
estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir con el
anaacutelisis y deberaacute replantearse una nueva estructura
En el caso de que se trate de una estructura estable entonces se
procede a determinar su grado de indeterminacioacuten Como se mencionoacute
anteriormente se dispone de tres ecuaciones de equilibrio entonces el
grado de indeterminacioacuten seraacute el nuacutemero de incoacutegnitas que excedan el
nuacutemero de ecuaciones disponibles
Las incoacutegnitas en el meacutetodo de la rigidez son los desplazamientos
en los nudos ya sean traslaciones verticales traslaciones horizontales o
giros Esto lleva a definir el teacutermino grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica que no es otra cosa que la suma de todos los
desplazamientos independientes en los nudos
Ahora bien ya que se han definido las hipoacutetesis y las condiciones
de la estructura se debe hablar del meacutetodo que se usaraacute a saber el
meacutetodo de la rigidez (o de los desplazamientos) Dicho meacutetodo se llama
asiacute porque parte de la definicioacuten de rigidez la cual nos dice que la
fuerza que actuacutea sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo
multiplicada por la deformacioacuten que sufre debido a dicha accioacuten En
este meacutetodo se utilizan acciones producidas por desplazamientos
unitarios eacutestas son traslaciones o rotaciones unitarias y las acciones
seraacuten fuerzas o momentos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocen
como ldquorigidecesrdquo
Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y
determinar sus rigideces
jMkM
1
Figura 11-1
L
En la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del
elemento se produce un desplazamiento giratorio unitario Si la fuerza
necesaria para producir dicho desplazamiento es igual a la rigidez del
elemento multiplicada por el mismo desplazamiento kF y 1
entonces kF Por el meacutetodo de la viga conjugada
EIM k
EIM j
Figura 11-2
L
032
231
20
L
EILML
EILM
M kjj kj MM 2
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Al provocar un giro unitario en el extremo j con jM se genera
2j
k
MM es decir existe un factor de transporte de
21
VR jkR
EIM k
EIM j
Figura 11-3
L
El cortante en j es el valor del giro en ese punto jR
0
31
232
20 j
kjk LRLL
EIMLL
EIM
M
Como 2
jk
MM
0121
620
31
221
32
2
22
j
jjj
jj LREI
LMEI
LMLRLL
EIMLL
EIM
4jj R
LEIM Como 1jR 4
LEIM j 2
LEIM k
De manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se
aplica en el extremo izquierdo y en el derecho tambieacuten cuando se aplica
una traslacioacuten en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces
correspondientes se muestran en las figuras 11-4 11-5 11-6 y 11-7
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2
6LEI
2
6LEI
LEI2L
EI41j
j k
Figura 11-4
2
6LEI
2
6LEI
LEI2
LEI4
1k
j k
Figura 11-5
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 j
Figura 11-6
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 k
Figura 11-7
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita
conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales
por ejemplo si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las
cargas de empotramiento seriacutean
2wL
2wL
12
2wL12
2wL
Figura 11-8
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12 Aacutelgebra Lineal El aacutelgebra lineal incluye la teoriacutea y la aplicacioacuten de sistemas lineales de
ecuaciones para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones
de las cuales para el propoacutesito de este trabajo bastaraacuten los siguientes
El primer concepto a definir es el de matriz que es un arreglo
rectangular de elementos ndash en nuestro caso nuacutemeros ndash escritos entre
corchetes por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3
sucursales en un trimestre
1000$800$750$1600$1550$1400$1650$1600$1500$
321
SucursalSucursalSucursal
MarzoFebreroEnero
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3
columnas entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el
primer teacutermino el nuacutemero de renglones el cual se denominaraacute m y el
segundo teacutermino seraacute el nuacutemero de columnas y se le denominaraacute con la
letra n De manera geneacuterica una matriz cualquiera de nm seraacute
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
21
22221
11211
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al
rengloacuten y luego a la columna por ejemplo el elemento 23a de la matriz de
ventas seraacute $1600 que corresponde a la sucursal ndash 2 en el mes de
marzo Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un
vector si m = 1 entonces es un vector rengloacuten y si 1n seraacute un vector
columna
Matrices especiales
Existen ciertas matrices que deberaacuten mencionarse debido a su
utilidad en el meacutetodo de le rigidez
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p16
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p32
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p33
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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CAPIacuteTULO 1 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE EL MEacuteTODO DE RIGIDEZ EN FORMULACIOacuteN MATRICIAL
11 Meacutetodo De La Rigidez Una de las definiciones fundamentales es la de estructura concepto que
Juan Tomaacutes Celiguumleta en su Curso de Anaacutelisis Estructural define de la
siguiente forma ldquoUna estructura es para un ingeniero cualquier tipo
de construccioacuten formada por uno o varios elementos enlazados entre siacute
que estaacuten destinados a soportar la accioacuten de una serie de fuerzas
aplicadas sobre ellosrdquo (Celiguumleta 1998 1)
Un concepto tambieacuten definido por Roberto A Falcoacuten aunque de
manera maacutes teacutecnica ldquoUna estructura es una cadena elaacutestica estable
compuesta por un nuacutemero finito de elementos unidos entre si mediante
un nuacutemero finito de juntashelliprdquo (Falconiacute 2004 5)
Consecuencia de lo anterior se dice que las estructuras estaacuten
formadas por miembros unidos entre siacute (en lo sucesivo los miembros de
la estructura se denominaraacuten elementos y a las uniones y voladizos se
les designaraacute nudos) los cuales se encargan de mantener estable un
estado de fuerzas (o una carga) lo que nos lleva a definir anaacutelisis estructural
Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes Para efectuar el anaacutelisis de una estructura es necesario proceder primero a su idealizacioacuten es decir a asimilarla a un modelo cuyo caacutelculo sea posible efectuar Esta idealizacioacuten se hace baacutesicamente introduciendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura sobre la forma en que eacutestos estaacuten unidos entre siacute y sobre la forma en que se sustenta Una vez idealizada la estructura se procede a su anaacutelisis calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella y utilizando para ello las teacutecnicas propias del Anaacutelisis Estructural Para este anaacutelisis siempre se dispone como datos de partida de los valores de las acciones exteriores y las dimensiones de la estructurahellip (Celiguumleta 1998 3)
Entonces el objetivo del anaacutelisis estructural es calcular las fuerzas y
las deflexiones en un punto cualquiera de una estructura para esto se
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p5
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
pueden seguir muchos meacutetodos algunos de los cuales se enumeran a
continuacioacuten y se clasifican en cuatro grupos de acuerdo a su
naturaleza
1 Soluciones analiacuteticas consisten en resolver directamente las
ecuaciones que controlan el problema por lo que normalmente
soacutelo se pueden aplicar a casos sencillos
o Integracioacuten de la ecuacioacuten de la elaacutestica en v
o Teoremas de Mohr para vigas
o Meacutetodo de la viga conjugada para vigas
2 Empleo de las ecuaciones de la estaacutetica soacutelo se pueden aplicar a
estructuras isostaacuteticas
o Meacutetodo del equilibrio de los nudos para armaduras
o Meacutetodo de las secciones para armaduras
o Meacutetodo de la barra sustituida para armaduras
3 Meacutetodos basados en la flexibilidad
o Principio del trabajo virtual complementario y principio del
potencial complementario estacionario
o Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser
o Meacutetodo general de flexibilidad basado en el segundo teorema
de Engesser
o Meacutetodo de la compatibilidad de deformaciones en vigas
o Foacutermula de los tres momentos para vigas
o Principio de Muumlller-Breslau para cargas moacuteviles
4 Meacutetodos basados en la rigidez
o Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total
estacionario
o Primer teorema de Castigliano
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
o Meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial para estructuras
de cualquier tipo
o Meacutetodo de la distribucioacuten de momentos o de Cross para
poacuterticos planos
De todos los meacutetodos anteriores para este trabajo el que nos
interesa es el meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial debido a
su faacutecil implementacioacuten y sistematizacioacuten en computadoras
Para explicar el meacutetodo de la rigidez hace falta definir ciertos
conceptos e hipoacutetesis necesarios Se dice que un modelo matemaacutetico es
maacutes exacto mientras maacutes variables se involucren en el mismo en el
caso del anaacutelisis estructural intervienen muchiacutesimas variables como
son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que
estaacuten unidas tambieacuten intervienen los procedimientos de construccioacuten
los cambios de temperatura la calidad de los materiales etc En lo que
atantildee a nuestro caso muchas de estas variables se despreciaraacuten
suponiendo comportamientos que si bien no son los reales se acercan
muy bien a la realidad A continuacioacuten se enumeran las hipoacutetesis
1-Comportamiento lineal de la estructura y de los materiales
2-Movimientos pequentildeos comparados con las dimensiones de la
estructura
3-Se desprecian los fenoacutemenos que afectan y variacutean la rigidez
4-Los materiales son homogeacuteneos e isoacutetropos
5-Las uniones de los elementos y de la estructura son
ortogonales
6-Los desplazamientos y el sistema de cargas estaacuten sobre un
plano (estructura en dos dimensiones)
7-Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el
eje longitudinal de los elementos
8-No necesariamente la seccioacuten de los elementos debe ser
constante sin embargo debe ser rectangular
Las hipoacutetesis uno dos y siete son de vital importancia ya que son
condiciones que debe cumplir una estructura para que se aplique el
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principio de superposicioacuten Dicho principio establece que los efectos que
produce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura son
equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las
fuerzas del sistema actuando independientemente
Dentro de la estructura en cualquier elemento seccioacuten o nudo la
suma de las fuerzas y momentos seraacute cero en este caso como es una
estructura plana se debe cumplir que
0xF 0yF 0M
Para analizar una estructura primero se debe evaluar su
estabilidad se dice que una estructura es estable cuando la estructura
mantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas Si una
estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir con el
anaacutelisis y deberaacute replantearse una nueva estructura
En el caso de que se trate de una estructura estable entonces se
procede a determinar su grado de indeterminacioacuten Como se mencionoacute
anteriormente se dispone de tres ecuaciones de equilibrio entonces el
grado de indeterminacioacuten seraacute el nuacutemero de incoacutegnitas que excedan el
nuacutemero de ecuaciones disponibles
Las incoacutegnitas en el meacutetodo de la rigidez son los desplazamientos
en los nudos ya sean traslaciones verticales traslaciones horizontales o
giros Esto lleva a definir el teacutermino grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica que no es otra cosa que la suma de todos los
desplazamientos independientes en los nudos
Ahora bien ya que se han definido las hipoacutetesis y las condiciones
de la estructura se debe hablar del meacutetodo que se usaraacute a saber el
meacutetodo de la rigidez (o de los desplazamientos) Dicho meacutetodo se llama
asiacute porque parte de la definicioacuten de rigidez la cual nos dice que la
fuerza que actuacutea sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo
multiplicada por la deformacioacuten que sufre debido a dicha accioacuten En
este meacutetodo se utilizan acciones producidas por desplazamientos
unitarios eacutestas son traslaciones o rotaciones unitarias y las acciones
seraacuten fuerzas o momentos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocen
como ldquorigidecesrdquo
Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y
determinar sus rigideces
jMkM
1
Figura 11-1
L
En la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del
elemento se produce un desplazamiento giratorio unitario Si la fuerza
necesaria para producir dicho desplazamiento es igual a la rigidez del
elemento multiplicada por el mismo desplazamiento kF y 1
entonces kF Por el meacutetodo de la viga conjugada
EIM k
EIM j
Figura 11-2
L
032
231
20
L
EILML
EILM
M kjj kj MM 2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p9
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Al provocar un giro unitario en el extremo j con jM se genera
2j
k
MM es decir existe un factor de transporte de
21
VR jkR
EIM k
EIM j
Figura 11-3
L
El cortante en j es el valor del giro en ese punto jR
0
31
232
20 j
kjk LRLL
EIMLL
EIM
M
Como 2
jk
MM
0121
620
31
221
32
2
22
j
jjj
jj LREI
LMEI
LMLRLL
EIMLL
EIM
4jj R
LEIM Como 1jR 4
LEIM j 2
LEIM k
De manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se
aplica en el extremo izquierdo y en el derecho tambieacuten cuando se aplica
una traslacioacuten en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces
correspondientes se muestran en las figuras 11-4 11-5 11-6 y 11-7
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2
6LEI
2
6LEI
LEI2L
EI41j
j k
Figura 11-4
2
6LEI
2
6LEI
LEI2
LEI4
1k
j k
Figura 11-5
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 j
Figura 11-6
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 k
Figura 11-7
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p11
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita
conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales
por ejemplo si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las
cargas de empotramiento seriacutean
2wL
2wL
12
2wL12
2wL
Figura 11-8
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
12 Aacutelgebra Lineal El aacutelgebra lineal incluye la teoriacutea y la aplicacioacuten de sistemas lineales de
ecuaciones para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones
de las cuales para el propoacutesito de este trabajo bastaraacuten los siguientes
El primer concepto a definir es el de matriz que es un arreglo
rectangular de elementos ndash en nuestro caso nuacutemeros ndash escritos entre
corchetes por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3
sucursales en un trimestre
1000$800$750$1600$1550$1400$1650$1600$1500$
321
SucursalSucursalSucursal
MarzoFebreroEnero
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3
columnas entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el
primer teacutermino el nuacutemero de renglones el cual se denominaraacute m y el
segundo teacutermino seraacute el nuacutemero de columnas y se le denominaraacute con la
letra n De manera geneacuterica una matriz cualquiera de nm seraacute
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
21
22221
11211
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al
rengloacuten y luego a la columna por ejemplo el elemento 23a de la matriz de
ventas seraacute $1600 que corresponde a la sucursal ndash 2 en el mes de
marzo Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un
vector si m = 1 entonces es un vector rengloacuten y si 1n seraacute un vector
columna
Matrices especiales
Existen ciertas matrices que deberaacuten mencionarse debido a su
utilidad en el meacutetodo de le rigidez
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
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333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
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En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p25
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p29
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p38
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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pueden seguir muchos meacutetodos algunos de los cuales se enumeran a
continuacioacuten y se clasifican en cuatro grupos de acuerdo a su
naturaleza
1 Soluciones analiacuteticas consisten en resolver directamente las
ecuaciones que controlan el problema por lo que normalmente
soacutelo se pueden aplicar a casos sencillos
o Integracioacuten de la ecuacioacuten de la elaacutestica en v
o Teoremas de Mohr para vigas
o Meacutetodo de la viga conjugada para vigas
2 Empleo de las ecuaciones de la estaacutetica soacutelo se pueden aplicar a
estructuras isostaacuteticas
o Meacutetodo del equilibrio de los nudos para armaduras
o Meacutetodo de las secciones para armaduras
o Meacutetodo de la barra sustituida para armaduras
3 Meacutetodos basados en la flexibilidad
o Principio del trabajo virtual complementario y principio del
potencial complementario estacionario
o Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser
o Meacutetodo general de flexibilidad basado en el segundo teorema
de Engesser
o Meacutetodo de la compatibilidad de deformaciones en vigas
o Foacutermula de los tres momentos para vigas
o Principio de Muumlller-Breslau para cargas moacuteviles
4 Meacutetodos basados en la rigidez
o Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total
estacionario
o Primer teorema de Castigliano
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p6
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
o Meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial para estructuras
de cualquier tipo
o Meacutetodo de la distribucioacuten de momentos o de Cross para
poacuterticos planos
De todos los meacutetodos anteriores para este trabajo el que nos
interesa es el meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial debido a
su faacutecil implementacioacuten y sistematizacioacuten en computadoras
Para explicar el meacutetodo de la rigidez hace falta definir ciertos
conceptos e hipoacutetesis necesarios Se dice que un modelo matemaacutetico es
maacutes exacto mientras maacutes variables se involucren en el mismo en el
caso del anaacutelisis estructural intervienen muchiacutesimas variables como
son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que
estaacuten unidas tambieacuten intervienen los procedimientos de construccioacuten
los cambios de temperatura la calidad de los materiales etc En lo que
atantildee a nuestro caso muchas de estas variables se despreciaraacuten
suponiendo comportamientos que si bien no son los reales se acercan
muy bien a la realidad A continuacioacuten se enumeran las hipoacutetesis
1-Comportamiento lineal de la estructura y de los materiales
2-Movimientos pequentildeos comparados con las dimensiones de la
estructura
3-Se desprecian los fenoacutemenos que afectan y variacutean la rigidez
4-Los materiales son homogeacuteneos e isoacutetropos
5-Las uniones de los elementos y de la estructura son
ortogonales
6-Los desplazamientos y el sistema de cargas estaacuten sobre un
plano (estructura en dos dimensiones)
7-Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el
eje longitudinal de los elementos
8-No necesariamente la seccioacuten de los elementos debe ser
constante sin embargo debe ser rectangular
Las hipoacutetesis uno dos y siete son de vital importancia ya que son
condiciones que debe cumplir una estructura para que se aplique el
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principio de superposicioacuten Dicho principio establece que los efectos que
produce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura son
equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las
fuerzas del sistema actuando independientemente
Dentro de la estructura en cualquier elemento seccioacuten o nudo la
suma de las fuerzas y momentos seraacute cero en este caso como es una
estructura plana se debe cumplir que
0xF 0yF 0M
Para analizar una estructura primero se debe evaluar su
estabilidad se dice que una estructura es estable cuando la estructura
mantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas Si una
estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir con el
anaacutelisis y deberaacute replantearse una nueva estructura
En el caso de que se trate de una estructura estable entonces se
procede a determinar su grado de indeterminacioacuten Como se mencionoacute
anteriormente se dispone de tres ecuaciones de equilibrio entonces el
grado de indeterminacioacuten seraacute el nuacutemero de incoacutegnitas que excedan el
nuacutemero de ecuaciones disponibles
Las incoacutegnitas en el meacutetodo de la rigidez son los desplazamientos
en los nudos ya sean traslaciones verticales traslaciones horizontales o
giros Esto lleva a definir el teacutermino grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica que no es otra cosa que la suma de todos los
desplazamientos independientes en los nudos
Ahora bien ya que se han definido las hipoacutetesis y las condiciones
de la estructura se debe hablar del meacutetodo que se usaraacute a saber el
meacutetodo de la rigidez (o de los desplazamientos) Dicho meacutetodo se llama
asiacute porque parte de la definicioacuten de rigidez la cual nos dice que la
fuerza que actuacutea sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo
multiplicada por la deformacioacuten que sufre debido a dicha accioacuten En
este meacutetodo se utilizan acciones producidas por desplazamientos
unitarios eacutestas son traslaciones o rotaciones unitarias y las acciones
seraacuten fuerzas o momentos
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Las acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocen
como ldquorigidecesrdquo
Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y
determinar sus rigideces
jMkM
1
Figura 11-1
L
En la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del
elemento se produce un desplazamiento giratorio unitario Si la fuerza
necesaria para producir dicho desplazamiento es igual a la rigidez del
elemento multiplicada por el mismo desplazamiento kF y 1
entonces kF Por el meacutetodo de la viga conjugada
EIM k
EIM j
Figura 11-2
L
032
231
20
L
EILML
EILM
M kjj kj MM 2
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Al provocar un giro unitario en el extremo j con jM se genera
2j
k
MM es decir existe un factor de transporte de
21
VR jkR
EIM k
EIM j
Figura 11-3
L
El cortante en j es el valor del giro en ese punto jR
0
31
232
20 j
kjk LRLL
EIMLL
EIM
M
Como 2
jk
MM
0121
620
31
221
32
2
22
j
jjj
jj LREI
LMEI
LMLRLL
EIMLL
EIM
4jj R
LEIM Como 1jR 4
LEIM j 2
LEIM k
De manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se
aplica en el extremo izquierdo y en el derecho tambieacuten cuando se aplica
una traslacioacuten en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces
correspondientes se muestran en las figuras 11-4 11-5 11-6 y 11-7
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2
6LEI
2
6LEI
LEI2L
EI41j
j k
Figura 11-4
2
6LEI
2
6LEI
LEI2
LEI4
1k
j k
Figura 11-5
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 j
Figura 11-6
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 k
Figura 11-7
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Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita
conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales
por ejemplo si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las
cargas de empotramiento seriacutean
2wL
2wL
12
2wL12
2wL
Figura 11-8
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12 Aacutelgebra Lineal El aacutelgebra lineal incluye la teoriacutea y la aplicacioacuten de sistemas lineales de
ecuaciones para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones
de las cuales para el propoacutesito de este trabajo bastaraacuten los siguientes
El primer concepto a definir es el de matriz que es un arreglo
rectangular de elementos ndash en nuestro caso nuacutemeros ndash escritos entre
corchetes por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3
sucursales en un trimestre
1000$800$750$1600$1550$1400$1650$1600$1500$
321
SucursalSucursalSucursal
MarzoFebreroEnero
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3
columnas entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el
primer teacutermino el nuacutemero de renglones el cual se denominaraacute m y el
segundo teacutermino seraacute el nuacutemero de columnas y se le denominaraacute con la
letra n De manera geneacuterica una matriz cualquiera de nm seraacute
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
21
22221
11211
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al
rengloacuten y luego a la columna por ejemplo el elemento 23a de la matriz de
ventas seraacute $1600 que corresponde a la sucursal ndash 2 en el mes de
marzo Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un
vector si m = 1 entonces es un vector rengloacuten y si 1n seraacute un vector
columna
Matrices especiales
Existen ciertas matrices que deberaacuten mencionarse debido a su
utilidad en el meacutetodo de le rigidez
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Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
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333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
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En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p22
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p23
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p42
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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o Meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial para estructuras
de cualquier tipo
o Meacutetodo de la distribucioacuten de momentos o de Cross para
poacuterticos planos
De todos los meacutetodos anteriores para este trabajo el que nos
interesa es el meacutetodo de rigidez en formulacioacuten matricial debido a
su faacutecil implementacioacuten y sistematizacioacuten en computadoras
Para explicar el meacutetodo de la rigidez hace falta definir ciertos
conceptos e hipoacutetesis necesarios Se dice que un modelo matemaacutetico es
maacutes exacto mientras maacutes variables se involucren en el mismo en el
caso del anaacutelisis estructural intervienen muchiacutesimas variables como
son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que
estaacuten unidas tambieacuten intervienen los procedimientos de construccioacuten
los cambios de temperatura la calidad de los materiales etc En lo que
atantildee a nuestro caso muchas de estas variables se despreciaraacuten
suponiendo comportamientos que si bien no son los reales se acercan
muy bien a la realidad A continuacioacuten se enumeran las hipoacutetesis
1-Comportamiento lineal de la estructura y de los materiales
2-Movimientos pequentildeos comparados con las dimensiones de la
estructura
3-Se desprecian los fenoacutemenos que afectan y variacutean la rigidez
4-Los materiales son homogeacuteneos e isoacutetropos
5-Las uniones de los elementos y de la estructura son
ortogonales
6-Los desplazamientos y el sistema de cargas estaacuten sobre un
plano (estructura en dos dimensiones)
7-Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el
eje longitudinal de los elementos
8-No necesariamente la seccioacuten de los elementos debe ser
constante sin embargo debe ser rectangular
Las hipoacutetesis uno dos y siete son de vital importancia ya que son
condiciones que debe cumplir una estructura para que se aplique el
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principio de superposicioacuten Dicho principio establece que los efectos que
produce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura son
equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las
fuerzas del sistema actuando independientemente
Dentro de la estructura en cualquier elemento seccioacuten o nudo la
suma de las fuerzas y momentos seraacute cero en este caso como es una
estructura plana se debe cumplir que
0xF 0yF 0M
Para analizar una estructura primero se debe evaluar su
estabilidad se dice que una estructura es estable cuando la estructura
mantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas Si una
estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir con el
anaacutelisis y deberaacute replantearse una nueva estructura
En el caso de que se trate de una estructura estable entonces se
procede a determinar su grado de indeterminacioacuten Como se mencionoacute
anteriormente se dispone de tres ecuaciones de equilibrio entonces el
grado de indeterminacioacuten seraacute el nuacutemero de incoacutegnitas que excedan el
nuacutemero de ecuaciones disponibles
Las incoacutegnitas en el meacutetodo de la rigidez son los desplazamientos
en los nudos ya sean traslaciones verticales traslaciones horizontales o
giros Esto lleva a definir el teacutermino grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica que no es otra cosa que la suma de todos los
desplazamientos independientes en los nudos
Ahora bien ya que se han definido las hipoacutetesis y las condiciones
de la estructura se debe hablar del meacutetodo que se usaraacute a saber el
meacutetodo de la rigidez (o de los desplazamientos) Dicho meacutetodo se llama
asiacute porque parte de la definicioacuten de rigidez la cual nos dice que la
fuerza que actuacutea sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo
multiplicada por la deformacioacuten que sufre debido a dicha accioacuten En
este meacutetodo se utilizan acciones producidas por desplazamientos
unitarios eacutestas son traslaciones o rotaciones unitarias y las acciones
seraacuten fuerzas o momentos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocen
como ldquorigidecesrdquo
Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y
determinar sus rigideces
jMkM
1
Figura 11-1
L
En la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del
elemento se produce un desplazamiento giratorio unitario Si la fuerza
necesaria para producir dicho desplazamiento es igual a la rigidez del
elemento multiplicada por el mismo desplazamiento kF y 1
entonces kF Por el meacutetodo de la viga conjugada
EIM k
EIM j
Figura 11-2
L
032
231
20
L
EILML
EILM
M kjj kj MM 2
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Al provocar un giro unitario en el extremo j con jM se genera
2j
k
MM es decir existe un factor de transporte de
21
VR jkR
EIM k
EIM j
Figura 11-3
L
El cortante en j es el valor del giro en ese punto jR
0
31
232
20 j
kjk LRLL
EIMLL
EIM
M
Como 2
jk
MM
0121
620
31
221
32
2
22
j
jjj
jj LREI
LMEI
LMLRLL
EIMLL
EIM
4jj R
LEIM Como 1jR 4
LEIM j 2
LEIM k
De manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se
aplica en el extremo izquierdo y en el derecho tambieacuten cuando se aplica
una traslacioacuten en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces
correspondientes se muestran en las figuras 11-4 11-5 11-6 y 11-7
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2
6LEI
2
6LEI
LEI2L
EI41j
j k
Figura 11-4
2
6LEI
2
6LEI
LEI2
LEI4
1k
j k
Figura 11-5
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 j
Figura 11-6
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 k
Figura 11-7
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p11
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Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita
conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales
por ejemplo si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las
cargas de empotramiento seriacutean
2wL
2wL
12
2wL12
2wL
Figura 11-8
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12 Aacutelgebra Lineal El aacutelgebra lineal incluye la teoriacutea y la aplicacioacuten de sistemas lineales de
ecuaciones para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones
de las cuales para el propoacutesito de este trabajo bastaraacuten los siguientes
El primer concepto a definir es el de matriz que es un arreglo
rectangular de elementos ndash en nuestro caso nuacutemeros ndash escritos entre
corchetes por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3
sucursales en un trimestre
1000$800$750$1600$1550$1400$1650$1600$1500$
321
SucursalSucursalSucursal
MarzoFebreroEnero
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3
columnas entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el
primer teacutermino el nuacutemero de renglones el cual se denominaraacute m y el
segundo teacutermino seraacute el nuacutemero de columnas y se le denominaraacute con la
letra n De manera geneacuterica una matriz cualquiera de nm seraacute
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
21
22221
11211
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al
rengloacuten y luego a la columna por ejemplo el elemento 23a de la matriz de
ventas seraacute $1600 que corresponde a la sucursal ndash 2 en el mes de
marzo Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un
vector si m = 1 entonces es un vector rengloacuten y si 1n seraacute un vector
columna
Matrices especiales
Existen ciertas matrices que deberaacuten mencionarse debido a su
utilidad en el meacutetodo de le rigidez
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Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
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333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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principio de superposicioacuten Dicho principio establece que los efectos que
produce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura son
equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las
fuerzas del sistema actuando independientemente
Dentro de la estructura en cualquier elemento seccioacuten o nudo la
suma de las fuerzas y momentos seraacute cero en este caso como es una
estructura plana se debe cumplir que
0xF 0yF 0M
Para analizar una estructura primero se debe evaluar su
estabilidad se dice que una estructura es estable cuando la estructura
mantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas Si una
estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir con el
anaacutelisis y deberaacute replantearse una nueva estructura
En el caso de que se trate de una estructura estable entonces se
procede a determinar su grado de indeterminacioacuten Como se mencionoacute
anteriormente se dispone de tres ecuaciones de equilibrio entonces el
grado de indeterminacioacuten seraacute el nuacutemero de incoacutegnitas que excedan el
nuacutemero de ecuaciones disponibles
Las incoacutegnitas en el meacutetodo de la rigidez son los desplazamientos
en los nudos ya sean traslaciones verticales traslaciones horizontales o
giros Esto lleva a definir el teacutermino grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica que no es otra cosa que la suma de todos los
desplazamientos independientes en los nudos
Ahora bien ya que se han definido las hipoacutetesis y las condiciones
de la estructura se debe hablar del meacutetodo que se usaraacute a saber el
meacutetodo de la rigidez (o de los desplazamientos) Dicho meacutetodo se llama
asiacute porque parte de la definicioacuten de rigidez la cual nos dice que la
fuerza que actuacutea sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo
multiplicada por la deformacioacuten que sufre debido a dicha accioacuten En
este meacutetodo se utilizan acciones producidas por desplazamientos
unitarios eacutestas son traslaciones o rotaciones unitarias y las acciones
seraacuten fuerzas o momentos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocen
como ldquorigidecesrdquo
Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y
determinar sus rigideces
jMkM
1
Figura 11-1
L
En la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del
elemento se produce un desplazamiento giratorio unitario Si la fuerza
necesaria para producir dicho desplazamiento es igual a la rigidez del
elemento multiplicada por el mismo desplazamiento kF y 1
entonces kF Por el meacutetodo de la viga conjugada
EIM k
EIM j
Figura 11-2
L
032
231
20
L
EILML
EILM
M kjj kj MM 2
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Al provocar un giro unitario en el extremo j con jM se genera
2j
k
MM es decir existe un factor de transporte de
21
VR jkR
EIM k
EIM j
Figura 11-3
L
El cortante en j es el valor del giro en ese punto jR
0
31
232
20 j
kjk LRLL
EIMLL
EIM
M
Como 2
jk
MM
0121
620
31
221
32
2
22
j
jjj
jj LREI
LMEI
LMLRLL
EIMLL
EIM
4jj R
LEIM Como 1jR 4
LEIM j 2
LEIM k
De manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se
aplica en el extremo izquierdo y en el derecho tambieacuten cuando se aplica
una traslacioacuten en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces
correspondientes se muestran en las figuras 11-4 11-5 11-6 y 11-7
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2
6LEI
2
6LEI
LEI2L
EI41j
j k
Figura 11-4
2
6LEI
2
6LEI
LEI2
LEI4
1k
j k
Figura 11-5
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 j
Figura 11-6
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 k
Figura 11-7
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Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita
conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales
por ejemplo si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las
cargas de empotramiento seriacutean
2wL
2wL
12
2wL12
2wL
Figura 11-8
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12 Aacutelgebra Lineal El aacutelgebra lineal incluye la teoriacutea y la aplicacioacuten de sistemas lineales de
ecuaciones para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones
de las cuales para el propoacutesito de este trabajo bastaraacuten los siguientes
El primer concepto a definir es el de matriz que es un arreglo
rectangular de elementos ndash en nuestro caso nuacutemeros ndash escritos entre
corchetes por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3
sucursales en un trimestre
1000$800$750$1600$1550$1400$1650$1600$1500$
321
SucursalSucursalSucursal
MarzoFebreroEnero
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3
columnas entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el
primer teacutermino el nuacutemero de renglones el cual se denominaraacute m y el
segundo teacutermino seraacute el nuacutemero de columnas y se le denominaraacute con la
letra n De manera geneacuterica una matriz cualquiera de nm seraacute
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
21
22221
11211
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al
rengloacuten y luego a la columna por ejemplo el elemento 23a de la matriz de
ventas seraacute $1600 que corresponde a la sucursal ndash 2 en el mes de
marzo Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un
vector si m = 1 entonces es un vector rengloacuten y si 1n seraacute un vector
columna
Matrices especiales
Existen ciertas matrices que deberaacuten mencionarse debido a su
utilidad en el meacutetodo de le rigidez
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Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
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333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p17
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p18
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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Las acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocen
como ldquorigidecesrdquo
Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y
determinar sus rigideces
jMkM
1
Figura 11-1
L
En la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del
elemento se produce un desplazamiento giratorio unitario Si la fuerza
necesaria para producir dicho desplazamiento es igual a la rigidez del
elemento multiplicada por el mismo desplazamiento kF y 1
entonces kF Por el meacutetodo de la viga conjugada
EIM k
EIM j
Figura 11-2
L
032
231
20
L
EILML
EILM
M kjj kj MM 2
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Al provocar un giro unitario en el extremo j con jM se genera
2j
k
MM es decir existe un factor de transporte de
21
VR jkR
EIM k
EIM j
Figura 11-3
L
El cortante en j es el valor del giro en ese punto jR
0
31
232
20 j
kjk LRLL
EIMLL
EIM
M
Como 2
jk
MM
0121
620
31
221
32
2
22
j
jjj
jj LREI
LMEI
LMLRLL
EIMLL
EIM
4jj R
LEIM Como 1jR 4
LEIM j 2
LEIM k
De manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se
aplica en el extremo izquierdo y en el derecho tambieacuten cuando se aplica
una traslacioacuten en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces
correspondientes se muestran en las figuras 11-4 11-5 11-6 y 11-7
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2
6LEI
2
6LEI
LEI2L
EI41j
j k
Figura 11-4
2
6LEI
2
6LEI
LEI2
LEI4
1k
j k
Figura 11-5
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 j
Figura 11-6
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 k
Figura 11-7
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Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita
conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales
por ejemplo si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las
cargas de empotramiento seriacutean
2wL
2wL
12
2wL12
2wL
Figura 11-8
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12 Aacutelgebra Lineal El aacutelgebra lineal incluye la teoriacutea y la aplicacioacuten de sistemas lineales de
ecuaciones para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones
de las cuales para el propoacutesito de este trabajo bastaraacuten los siguientes
El primer concepto a definir es el de matriz que es un arreglo
rectangular de elementos ndash en nuestro caso nuacutemeros ndash escritos entre
corchetes por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3
sucursales en un trimestre
1000$800$750$1600$1550$1400$1650$1600$1500$
321
SucursalSucursalSucursal
MarzoFebreroEnero
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3
columnas entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el
primer teacutermino el nuacutemero de renglones el cual se denominaraacute m y el
segundo teacutermino seraacute el nuacutemero de columnas y se le denominaraacute con la
letra n De manera geneacuterica una matriz cualquiera de nm seraacute
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
21
22221
11211
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al
rengloacuten y luego a la columna por ejemplo el elemento 23a de la matriz de
ventas seraacute $1600 que corresponde a la sucursal ndash 2 en el mes de
marzo Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un
vector si m = 1 entonces es un vector rengloacuten y si 1n seraacute un vector
columna
Matrices especiales
Existen ciertas matrices que deberaacuten mencionarse debido a su
utilidad en el meacutetodo de le rigidez
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Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
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333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p17
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p33
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p34
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p35
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p37
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p9
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Al provocar un giro unitario en el extremo j con jM se genera
2j
k
MM es decir existe un factor de transporte de
21
VR jkR
EIM k
EIM j
Figura 11-3
L
El cortante en j es el valor del giro en ese punto jR
0
31
232
20 j
kjk LRLL
EIMLL
EIM
M
Como 2
jk
MM
0121
620
31
221
32
2
22
j
jjj
jj LREI
LMEI
LMLRLL
EIMLL
EIM
4jj R
LEIM Como 1jR 4
LEIM j 2
LEIM k
De manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se
aplica en el extremo izquierdo y en el derecho tambieacuten cuando se aplica
una traslacioacuten en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces
correspondientes se muestran en las figuras 11-4 11-5 11-6 y 11-7
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p10
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2
6LEI
2
6LEI
LEI2L
EI41j
j k
Figura 11-4
2
6LEI
2
6LEI
LEI2
LEI4
1k
j k
Figura 11-5
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 j
Figura 11-6
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 k
Figura 11-7
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p11
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita
conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales
por ejemplo si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las
cargas de empotramiento seriacutean
2wL
2wL
12
2wL12
2wL
Figura 11-8
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12 Aacutelgebra Lineal El aacutelgebra lineal incluye la teoriacutea y la aplicacioacuten de sistemas lineales de
ecuaciones para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones
de las cuales para el propoacutesito de este trabajo bastaraacuten los siguientes
El primer concepto a definir es el de matriz que es un arreglo
rectangular de elementos ndash en nuestro caso nuacutemeros ndash escritos entre
corchetes por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3
sucursales en un trimestre
1000$800$750$1600$1550$1400$1650$1600$1500$
321
SucursalSucursalSucursal
MarzoFebreroEnero
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3
columnas entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el
primer teacutermino el nuacutemero de renglones el cual se denominaraacute m y el
segundo teacutermino seraacute el nuacutemero de columnas y se le denominaraacute con la
letra n De manera geneacuterica una matriz cualquiera de nm seraacute
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
21
22221
11211
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al
rengloacuten y luego a la columna por ejemplo el elemento 23a de la matriz de
ventas seraacute $1600 que corresponde a la sucursal ndash 2 en el mes de
marzo Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un
vector si m = 1 entonces es un vector rengloacuten y si 1n seraacute un vector
columna
Matrices especiales
Existen ciertas matrices que deberaacuten mencionarse debido a su
utilidad en el meacutetodo de le rigidez
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p15
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p16
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p33
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p34
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p37
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p10
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2
6LEI
2
6LEI
LEI2L
EI41j
j k
Figura 11-4
2
6LEI
2
6LEI
LEI2
LEI4
1k
j k
Figura 11-5
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 j
Figura 11-6
3
12LEI
2
6LEI
2
6LEI
3
12LEI
j k
1 k
Figura 11-7
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p11
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita
conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales
por ejemplo si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las
cargas de empotramiento seriacutean
2wL
2wL
12
2wL12
2wL
Figura 11-8
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12 Aacutelgebra Lineal El aacutelgebra lineal incluye la teoriacutea y la aplicacioacuten de sistemas lineales de
ecuaciones para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones
de las cuales para el propoacutesito de este trabajo bastaraacuten los siguientes
El primer concepto a definir es el de matriz que es un arreglo
rectangular de elementos ndash en nuestro caso nuacutemeros ndash escritos entre
corchetes por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3
sucursales en un trimestre
1000$800$750$1600$1550$1400$1650$1600$1500$
321
SucursalSucursalSucursal
MarzoFebreroEnero
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3
columnas entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el
primer teacutermino el nuacutemero de renglones el cual se denominaraacute m y el
segundo teacutermino seraacute el nuacutemero de columnas y se le denominaraacute con la
letra n De manera geneacuterica una matriz cualquiera de nm seraacute
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
21
22221
11211
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al
rengloacuten y luego a la columna por ejemplo el elemento 23a de la matriz de
ventas seraacute $1600 que corresponde a la sucursal ndash 2 en el mes de
marzo Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un
vector si m = 1 entonces es un vector rengloacuten y si 1n seraacute un vector
columna
Matrices especiales
Existen ciertas matrices que deberaacuten mencionarse debido a su
utilidad en el meacutetodo de le rigidez
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p15
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p16
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p33
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p34
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p37
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p11
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Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita
conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales
por ejemplo si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las
cargas de empotramiento seriacutean
2wL
2wL
12
2wL12
2wL
Figura 11-8
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12 Aacutelgebra Lineal El aacutelgebra lineal incluye la teoriacutea y la aplicacioacuten de sistemas lineales de
ecuaciones para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones
de las cuales para el propoacutesito de este trabajo bastaraacuten los siguientes
El primer concepto a definir es el de matriz que es un arreglo
rectangular de elementos ndash en nuestro caso nuacutemeros ndash escritos entre
corchetes por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3
sucursales en un trimestre
1000$800$750$1600$1550$1400$1650$1600$1500$
321
SucursalSucursalSucursal
MarzoFebreroEnero
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3
columnas entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el
primer teacutermino el nuacutemero de renglones el cual se denominaraacute m y el
segundo teacutermino seraacute el nuacutemero de columnas y se le denominaraacute con la
letra n De manera geneacuterica una matriz cualquiera de nm seraacute
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
21
22221
11211
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al
rengloacuten y luego a la columna por ejemplo el elemento 23a de la matriz de
ventas seraacute $1600 que corresponde a la sucursal ndash 2 en el mes de
marzo Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un
vector si m = 1 entonces es un vector rengloacuten y si 1n seraacute un vector
columna
Matrices especiales
Existen ciertas matrices que deberaacuten mencionarse debido a su
utilidad en el meacutetodo de le rigidez
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Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
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En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p18
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p33
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p34
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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12 Aacutelgebra Lineal El aacutelgebra lineal incluye la teoriacutea y la aplicacioacuten de sistemas lineales de
ecuaciones para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones
de las cuales para el propoacutesito de este trabajo bastaraacuten los siguientes
El primer concepto a definir es el de matriz que es un arreglo
rectangular de elementos ndash en nuestro caso nuacutemeros ndash escritos entre
corchetes por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3
sucursales en un trimestre
1000$800$750$1600$1550$1400$1650$1600$1500$
321
SucursalSucursalSucursal
MarzoFebreroEnero
Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3
columnas entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el
primer teacutermino el nuacutemero de renglones el cual se denominaraacute m y el
segundo teacutermino seraacute el nuacutemero de columnas y se le denominaraacute con la
letra n De manera geneacuterica una matriz cualquiera de nm seraacute
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
21
22221
11211
Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al
rengloacuten y luego a la columna por ejemplo el elemento 23a de la matriz de
ventas seraacute $1600 que corresponde a la sucursal ndash 2 en el mes de
marzo Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un
vector si m = 1 entonces es un vector rengloacuten y si 1n seraacute un vector
columna
Matrices especiales
Existen ciertas matrices que deberaacuten mencionarse debido a su
utilidad en el meacutetodo de le rigidez
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p16
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p17
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p18
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p34
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p35
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p37
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p42
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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Matrices cuadradas- nm
Matriz simeacutetrica- jiij aa
Matriz diagonal- 0 jiij aa excepto cuando ji
Matriz identidad- 0 jiij aa excepto cuando ji entonces 1ija
Adicioacuten de Matrices
La adicioacuten se define uacutenicamente para matrices ijaA y ijbB
del mismo tamantildeo y su suma ndashdenotada por A+Bndash se obtiene sumando
los elementos correspondientes Las matrices de orden diferente no
pueden sumarse
Multiplicacioacuten por escalares
El producto de cualquier matriz ijaA de nm y cualquier
escalar (un escalar es un nuacutemero o tambieacuten es una matriz de orden
11) c denotado por cA es la matriz ijcacA de nm obtenida al
multiplicar cada elemento de A por c
Multiplicacioacuten de matrices
El producto C=AB (en este orden) de una matriz ijaA de AA nm
y una matriz ijbB de BB nm estaacute definido si y soacutelo si BA mn es
decir el nuacutemero de renglones del segundo factor B debe ser igual al
nuacutemero de columnas del primer factor A y entonces se define como la
matriz ijcC de BA nm con elementos
jninjiji
n
kkjikij AA
A
babababac
22111
Transpuesta de una matriz
Resulta uacutetil definir la transpuesta de una matriz ijaA como
jiT aA
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p15
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p16
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p21
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p37
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p38
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p42
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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Inversa de una matriz
Para el meacutetodo de las rigideces uacutenicamente se utilizaraacuten inversas
de matrices cuadradas asiacute pues la inversa de una matriz ijaA de
nn se denota por 1A y es una matriz de nn tal que
IAAAA 11
donde I es una matriz identidad de orden nn
Si A tiene inversa entonces A se llama matriz no singular Si A no
tiene inversa entonces A se llama matriz singular
Determinante de una matriz
Un determinante es un escalar asociado a una matriz Sea una
aplicacioacuten uno a uno del conjunto n4321 sobre siacute misma en
este caso el nuacutemero de permutaciones seraacute n Se dice que es par o
impar si hay un nuacutemero par o impar de parejas ij tal que ji si es
par la permutacioacuten es positiva si es impar la permutacioacuten es
negativa
131321221312321311323121323321221231331221312322310323121123
Sea el determinante de la matriz cuadrada ijaA que se denota
por A la suma calculada de todas las permutaciones
322311332112311213
322113312313332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
Menores y cofactores
Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p15
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p16
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p18
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p21
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p22
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p23
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p24
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
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32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Los menores son
2221
121133
2321
131132
2322
131231
3231
121123
3331
131122
3332
131221
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
aaaa
Maaaa
Maaaa
M
Y los cofactores son
333332323131
232322222121
131312121111
MCMCMC
MCMCMC
MCMCMC
Inversioacuten de una matriz por el meacutetodo de la matriz adjunta
Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento ija se
remplaza por el cofactor ijC a esta matriz se le llama matriz de
cofactores A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz
adjunta y se denota asiacute TijCadjA Si cada elemento de la matriz
adjunta se divide entre el determinante entonces resulta la inversa de
la matriz siempre y cuando el determinante sea diferente de cero
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
AadjAA
nmnn
n
21
322212
12111
1
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En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p29
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
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32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En este breve repaso de aacutelgebra lineal se ha definido las
herramientas necesarias que serviraacuten para relacionar los elementos de
una estructura asiacute como sus cargas deformaciones y reacciones en
una forma matricial lo anterior para poder sistematizar un
procedimiento que lleve a la solucioacuten del problema particular que se
busca
13 Meacutetodo De Rigidez En Formulacioacuten Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento
Como se ha visto ya en la primera parte de este capiacutetulo para aplicar el
meacutetodo de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer
desplazamientos unitarios de traslacioacuten y de rotacioacuten en cada extremo
de dicho elemento para asiacute determinar las rigideces Al considerar dos
traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que
se puede deformar un elemento y para cada situacioacuten se obtendraacuten
cuatro reacciones a saber dos momentos y dos cortantes Se puede
relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento
asiacute
3322
3322
22
22
121266
121266
6642
6624
1111
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
LEI
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del
elemento y como se puede observar es simeacutetrica Cuando un elemento
es de seccioacuten variable conviene expresarla de la siguiente manera
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p25
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p29
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p32
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p33
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p34
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
221122211
22112221121222111
221122211
22112221112221211
212212222221
211112111211
1111
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkkkk
Lkk
Lkk
Lkk
Lkkkk
Lkk
Lkkkk
V
V
M
M
K
k
j
k
j
kjkj
La matriz de rigidez queda en funcioacuten de la longitud del elemento
y de los elementos 22211211 kkkk Para calcular la matriz de rigidez de un
miembro o elemento de seccioacuten variable se recurre a la definicioacuten de
flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez
Si se toman los elementos 22211211 kkkk de la matriz de rigidez
2221
1211
kkkk
LEIK
La flexibilidad seraacute
2221
12111
ffff
EILKF
Y los desplazamientos seraacuten
j
i
j
i
MM
ffff
EIL
2221
1211
Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuacioacuten
de rigidez
j
i
j
i
ffff
fffLEI
MM
1112
12222
122211
1
Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una seccioacuten variable
seraacuten
2122211
2211 fff
fL
EIk i
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p20
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p21
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
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32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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2122211
1212 fff
fL
EIk i
2122211
1122 fff
fL
EIk i
De donde 11f 12f 22f son
H
x
i dxI
xLLI
f0
2
311
H
x
i dxI
xLxLI
f0
312
H
x
i dxIx
LI
f0
2
322
Vector de cargas del miembro o elemento
En el caso de las cargas que actuacutean sobre un elemento tambieacuten
se puede asignar una matriz o maacutes especiacuteficamente un vector cuyo
nombre seraacute vector de cargas Q Por ejemplo para el caso de un
elemento sometido a una carga uniformemente distribuida el vector de
cargas seraacute
2
2
12
122
2
wL
wL
wL
wL
Q
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las
matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados La nueva matriz seraacute una matriz cuadrada de orden igual
al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica de la estructura y se denotaraacute
por la letra S
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p21
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p24
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p25
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p28
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p30
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p31
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p38
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p42
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p19
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Vector de cargas de la estructura
Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de
cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que esteacuten
involucrados y se representaraacute por la letra J
Deformaciones en los nudos
Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector
de cargas de la estructura se pueden obtener faacutecilmente las
deformaciones en los nudos asiacute
ascdeVectorestructuraladerigidezdeMatriznesDeformacio arg1
JSD 1
Reacciones finales en los nudos
Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de
rigidez de cada elemento por su deformacioacuten real y se suma la carga
expresada en su vector de carga correspondiente
elementoascdeVectorelementorigidezMatriz
VVMM
j
i
j
i
j
i
j
i
arg
QDKR i
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p20
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p35
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p37
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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CAPIacuteTULO 2 MICROSOFT EXCELreg
21 Entorno de Trabajo Para el propoacutesito que se persigue se partiraacute del hecho de que la
mayoriacutea conoce los aspectos maacutes baacutesicos de Excel y soacutelo se limitaraacute a
describir los componentes que seraacuten de especial utilidad en el programa
a desarrollar
Un archivo de Excel es en realidad un libro de caacutelculo que consta
de una o maacutes hojas cada hoja contiene 16 777 216 campos llamados
celdas ordenados en 65 536 filas y 256 columnas estas celdas pueden
contener texto nuacutemeros fechas y foacutermulas En la siguiente figura se
muestra un libro abierto en Excel
Figura 21-1
Como puede verse las filas o renglones estaacuten numeradas en
forma sucesiva 1 2 3hellipetc mientras las columnas estaacuten nombradas
con letras del abecedario A B Chellipetc En el ejemplo anterior la celda
seleccionada es la de la fila 3 columna 2 o en notacioacuten propia del
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Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p25
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p29
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p30
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p31
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p32
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p33
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p34
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p37
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p38
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p42
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p46
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p21
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Excel es la celda B3 En el entorno de trabajo de Excel pueden
seleccionarse varias celdas a la vez a un conjunto de celdas se le llama
rango y su notacioacuten consiste en escribir la primera celda arriba a la
izquierda luego separar con dos puntos y escribir la uacuteltima celda abajo
a la derecha por ejemplo si seleccionamos las celdas A1 A2 A3 B1
B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1B3 Abajo en la
izquierda pueden observarse tres fichas tituladas ldquoHoja 1rdquo ldquoHoja 2rdquo y
ldquoHoja 3rdquo que son las hojas que conforman el libro
22 Funciones Matemaacuteticas Como ya se mencionoacute las celdas pueden contener foacutermulas y para que
una foacutermula no sea confundida con texto simple eacutestas siempre deben
empezar con el signo igual (=) las foacutermulas estaacuten compuestas de una o
maacutes funciones Hareacute hincapieacute en algunas funciones que si bien no son
todas las disponibles seraacuten las necesarias para resolver un problema de
anaacutelisis estructural A continuacioacuten se presenta una tabla con dichas
funciones
FUNCIOacuteN SINTAXIS DESCRIPCIOacuteN
SUMA SUMA(nuacutemero1nuacutemero2 )Suma todos los nuacutemeros en los rangos indicados
MAX MAX(nuacutemero1nuacutemero2 )Devuelve el valor maacuteximo de un conjunto de valores
MMULT MMULT(matriz1matriz2)Devuelve la matriz producto de dos matrices El resultado es una matriz con el mismo nuacutemero de filas que matriz1 y el mismo nuacutemero de columnas que matriz2
MINVERSA MINVERSA(matriz)Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz
Ademaacutes de las funciones anteriores tambieacuten en una celda se
pueden realizar operaciones directas por ejemplo si escribimos en
cualquier celda ldquo=58+1rdquo la celda mostraraacute el resultado de esta
operacioacuten o sea ldquo41rdquo de igual forma si en otra celda escribimos
ldquo=A1+3rdquo entonces se sumaraacute el valor de la celda ldquoA1rdquo maacutes tres
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
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32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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23 Visual Basic para aplicaciones
Excel cuenta con un lenguaje de programacioacuten como una
extensioacuten de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones
dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron
anteriormente es decir libros hojas celdas funciones etc esto
permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo A
continuacioacuten se explica como hacer uso de esta caracteriacutestica de Excel
Figura 21-2
En el menuacute HerramientasgtMacrogtEditor de Visual Basic o bien
pulsando Alt+F11 se abre una ventana como eacutesta
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
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32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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Figura 21-3
El espacio a la derecha sirve para escribir el coacutedigo que deseemos
ejecutar es decir aquiacute escribiremos todas las instrucciones que
deseamos que el programa ejecute en este entorno se le llama macro
Una macro estaacute constituida de uno o maacutes bloques de
instrucciones llamados procedimientos Veamos el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo1
ApplicationWorkBooks(1)WorkSheets(1)Range(A1)Value = 2 + 3
End Sub
Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre
anteponiendo la instruccioacuten Sub A continuacioacuten se escribe la lista de
tareas que llevaraacute a cabo dicho procedimiento En el ejemplo anterior el
procedimiento se llama ldquoEjemplo1rdquo y la tarea que va a realizar es llamar
a Excel ldquoApplicationrdquo llamar al libro 1 ldquoWorkBooks(1)rdquo llamar a la hoja
1 ldquoWorkSheets(1)rdquo y al rango A1 asignarle el valor ldquo2+3rdquo y se mostraraacute
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p24
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p25
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p28
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p29
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p34
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p35
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p37
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p38
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p46
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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el resultado ldquo5rdquo finalmente se termina el procedimiento con la
instruccioacuten End Sub
En la mayoriacutea de los casos Application no seraacute necesario
especificarlo ya que en todo momento se estaraacute trabajando en la misma
aplicacioacuten o sea Excel A menos que sucediera lo contrario Workbook
tampoco seraacute necesario porque se trabajaraacute con un solo libro
Worksheets siacute seraacute necesario especificarlo ya que se trabajaraacuten con
diferentes hojas y obviamente Range tambieacuten deberaacute estar definido
Variables
Como en todo lenguaje de programacioacuten existen datos variables
que nos sirven para almacenar diferentes valores seguacuten lo requiera el
programa Para ilustrar lo anterior veacutease el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo2
i = 0
i =WorkSheets(1)Range(A1)Value
End Sub
En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda
A1
En VBA tambieacuten se pueden definir variables del tipo matriz como
se hace en el siguiente ejemplo
Sub Ejemplo3
Dim m(03)
m(00) =WorkSheets(1)Range(A1)Value
m(01) =315
m(02) =WorkSheets(1)Range(A1)Value+315
m(00) = m(00)
End Sub
En el ejemplo3 se declara una matriz de un rengloacuten y cuatro
columnas (a menos que se especifique lo contrario el nuacutemero de
renglones y columnas se cuenta desde cero o sea la matriz m tiene el
rengloacuten 0 y las columnas 0 1 2 3) Obviamente las matrices pueden
contener diferentes tipos de datos por ejemplo nuacutemeros texto etc Pero
en VBA si no se les indica un tipo de datos especiacutefico se toma un tipo
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p35
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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variable pero hay que ser congruente en el momento de realizar
operaciones ya que si se multiplica un nuacutemero por un texto devolveraacute
un error
Instrucciones loacutegicas
Existen determinadas sentencias o instrucciones loacutegicas que son
de gran utilidad para evaluar datos una de las maacutes importantes es la
sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es
If condicioacuten Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else]
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque
If condicioacuten Then [instrucciones]
[ElseIf condicioacuten-n Then [instrucciones_elseif]
[Else [instrucciones_else]]
End If
A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento
Sub ejemplo4
Dim m(0 3)
m(0 0) = 1
m(0 1) = 5
m(0 2) = 3
valor1 = m(0 1)
valor2 = m(0 2)
If valor1 gt valor2 Then
m(0 3) = valor1
Else
m(0 3) = valor2
End If
End Sub
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En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p32
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p33
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores
a los tres primeros elementos despueacutes se almacena en la variable
valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del
elemento tres A continuacioacuten se evaluacutea si la variable valor1 es mayor
que valor2 en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro
de la matriz m seraacute igual a la variable valor1 si no entonces seraacute igual a
la variable valor2 y se termina la instruccioacuten con End If
Instrucciones ciacuteclicas
Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando
intervienen este tipo de instrucciones una instruccioacuten muy utilizada
seraacute la instruccioacuten For a continuacioacuten se indicaraacute su sintaxis y se daraacute
un ejemplo de su utilizacioacuten
For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones]
Next [contador]
En el siguiente ejemplo se escribiraacuten los nuacutemeros del 1 al 10 en
las primeras 10 celdas de la columna uno
Sub Ejemplo5
For i = 1 to 10 Step 1
WorkSheets(1)Cells(i1) = i
Next i
End Sub
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p27
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CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p28
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p29
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p30
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p31
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p32
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p38
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p42
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p46
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p27
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 3 ANAacuteLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCELreg
31 Explicacioacuten Del Coacutedigo Fuente Para explicar el coacutedigo fuente es necesario mencionar algunos
detalles acerca de coacutemo se van a ordenar los datos en el libro de Excel
El libro va a contener seis hojas la hoja uno se llamaraacute
ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo en eacutesta se van a escribir los datos necesarios para
el caacutelculo las hojas dos tres cuatro y cinco llamadas ldquoPASO_1rdquo
ldquoPASO_2rdquo ldquoPASO_3rdquo y ldquoPASO_4rdquo respectivamente se escribiraacuten los
resultados y en la hoja seis titulada ldquoSECCIONESrdquo se almacenaraacuten los
tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el
caacutelculo
A continuacioacuten se explica el procedimiento llamado ldquoPASO_1rdquo el
cual calcula y escribe en la hoja ldquoPASO_1rdquo las matrices de rigidez de los
elementos de la estructura (El texto color negro es el coacutedigo fuente el
texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1()
Worksheets(PASO_1)Select Selecciona la Hoja llamada PASO_1
Dim mrei(4 4) Declara matriz de elementos de 4 x 4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_1)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_1
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
For i = 1 To numel Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento
L = Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 2)Value lsquoSe guarda en la variable L la longitud del
elemento
iner = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
3)Value lsquoSe guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento
elas = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
2)Value lsquoSe guarda en la variable elas el moacutedulo de elasticidad del elemento
tipo = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
8)Value lsquoSe guarda en la variable tipo el tipo de seccioacuten del elemento
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p28
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p46
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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Select Case tipo lsquoSe evaluacutea el tipo de seccioacuten y de acuerdo a eacutesta se calculan los coeficientes
de rigidez
Case 1 rsquoCaso uno la seccioacuten es constante
mrei(1 1) = (4 iner elas) L
mrei(1 2) = (2 iner elas) L
mrei(2 1) = (2 iner elas) L
mrei(2 2) = (4 iner elas) L
Case 2 rsquoCaso dos la seccioacuten es variacutea de una altura en j a otra altura en k
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
a = 1
f11 = Integral(1 0 L hj hk hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L hj hk hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L hj hk hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 3 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(1 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(1 L - L a L hk hj hmin L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(2 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(2 L - L a L hk hj hmin L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hmin L a) + Integral(3 L a L - L a hk hk hk L 1) +
Integral(3 L - L a L hk hj hmin L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p29
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
Case 4 lsquoLa seccioacuten varia de hj a hk luego h a h y de hk a hj a lo largo de L
hj = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
4)Value
hk = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
5)Value
h = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
6)Value
a = Worksheets(SECCIONES)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 3)Value + 1
7)Value
If hj lt hk Then hmin = hj
If hj gt hk Then hmin = hk
If hj = hk Then hmin = hk
If h lt hmin Then hmin = h
If hj = hk = h Then hmin = h
f11 = Integral(1 0 L a hj hk hk L a) + Integral(1 L a L - L a h h h L 1) + Integral(1
L - L a L hk hj hk L a)
f12 = Integral(2 0 L a hj hk hk L a) + Integral(2 L a L - L a h h h L 1) + Integral(2
L - L a L hk hj hk L a)
f22 = Integral(3 0 L a hj hk hk L a) + Integral(3 L a L - L a h h h L 1) + Integral(3
L - L a L hk hj hk L a)
mrei(1 1) = iner elas f22 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(1 2) = iner elas f12 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
mrei(2 1) = mrei(1 2)
mrei(2 2) = iner elas f11 (L (f11 f22 - f12 ^ 2))
End Select lsquoTermina el caacutelculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularaacuten los demaacutes
elementos de la matriz de rigidez
mrei(1 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(1 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 1)) L
mrei(2 3) = (mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(2 4) = -(mrei(2 2) + mrei(1 2)) L
mrei(3 1) = mrei(1 3)
mrei(3 2) = mrei(2 3)
mrei(3 3) = (mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(3 4) = -(mrei(1 1) + mrei(2 2) + mrei(2 1) + mrei(1 2)) (L ^ 2)
mrei(4 1) = mrei(1 4)
mrei(4 2) = mrei(2 4)
mrei(4 3) = mrei(3 4)
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
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32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p46
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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mrei(4 4) = mrei(3 3)
Una vez obtenida la matriz del elemento i llamada mrei se escribe en la Hoja PASO_1
Worksheets(PASO_1)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
For r = 1 To 4 Ciclo para contar los Renglones por matriz
For c = 1 To 4 Ciclo para contar las columnas por matriz
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value = mrei(r c) Se escribe la matriz
mrei en la hoja PASO_1
dar_formato (Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c))
Next c
RENGLON = RENGLON + 1 Se aumenta el rengloacuten
Next r
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON - 3 5) = ELEMENTO amp i Se enumeran las matrices
titulo (Worksheets(PASO_1)Range(Cells(RENGLON - 3 5) Cells(RENGLON 5)))
Next i
error
End Sub lsquoTermina el Prodecimiento ldquoPASO_1rdquo
Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se
procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la
estructura en lo que seraacute el procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Sub PASO_2()
Worksheets(PASO_2)Select Se selecciona la Hoja PASO_2
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(dg)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
Worksheets(PASO_2)CellsClear Se limpian los datos existentes en la hoja PASO_2
RENGLON = 1 Se establece un contador para renglones
Worksheets(PASO_2)Cells(1 1) = MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp gdl
titulo (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ
For r = 2 To gdl + 1
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_2)Cells(r c) = 0
Next c
Next r
CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ
For i = 1 To numel
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p31
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For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
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Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p35
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p37
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p38
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p31
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
For r = 1 To 4
For c = 1 To 4
With Worksheets(PASO_2)
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Or
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value = Then
Else
Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) = Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r
+ 3)Value + 1 Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 3)Value) +
Worksheets(PASO_1)Cells(RENGLON + 1 c)Value
End If
End With
Next c
RENGLON = RENGLON + 1
Next r
Next i
Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_2)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For c = 4 To 5
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 4) -1 JLu
End If
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2)Value = Then
Else
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) =
Worksheets(PASO_2)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 2) + 1 gdl + 2) +
Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 c + 6) -1 JLr
End If
Next
Next
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_2)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
End Sub lsquoTermina procedimiento ldquoPASO_2rdquo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p32
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p33
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p34
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p38
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p42
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p32
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los
elementos la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de
la estructura ahora se calculan las deformaciones en los nudos como
se puede observar en el procedimiento ldquoPASO_3rdquo
Sub PASO_3()
PASO 3 OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA
ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA
Worksheets(PASO_3)Select Se selecciona la Hoja PASO_3
Worksheets(PASO_3)CellsClear Se borran los Datos existentes en la hoja PASO_3
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene el
nuacutemero de desplazamientos
Worksheets(PASO_3)Cells(1 1) = INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ amp DE amp gdl amp X amp
gdl
titulo (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 1) Cells(1 gdl)))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl))Select Se selecciona el rango
en donde se escribiraacute la inversa de la matriz de rigidez de la estructura
SelectionFormulaArray = =MINVERSE(PASO_2R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp ) Se
obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2) = VECTOR DE CARGAS amp DE amp gdl amp X amp 1
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 2))
CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS
For r = 1 To gdl
For c = 1 To gdl
Worksheets(PASO_3)Cells(r + 1 gdl + 2) = Worksheets(PASO_2)Cells(r + 1 gdl + 2)
Next c
Next r
Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4) = DEFORMACIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_3)Cells(1 gdl + 4))
Worksheets(PASO_3)Range(Cells(1 + 1 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4))Select Se
selecciona el rango donde se escribiraacute el producto
SelectionFormulaArray = =MMULT(R2C1R amp gdl + 1 amp C amp gdl amp amp R2 amp C amp gdl + 2
amp R amp gdl + 1 amp C amp gdl + 2 amp ) Se multiplica Suu^-1 JLr
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 1) Cells(gdl + 1 gdl)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 2) Cells(gdl + 1 gdl + 2)))
dar_formato (Worksheets(PASO_3)Range(Cells(2 gdl + 4) Cells(gdl + 1 gdl + 4)))
End Sub
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p33
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p34
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p35
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p37
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento las
cuales se obtienen en procedimiento ldquoPASO_4rdquo
Sub PASO_4()
PASO 4 ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA
EXTREMO
Worksheets(PASO_4)Select Se selecciona la Hoja PASO_4
numel = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(aa)) Se obtiene
el numero de elementos
gdl = ApplicationWorksheetFunctionMax(Worksheets(CONFIG)Range(DG)) Se obtiene
nuacutemero de direcciones de desplazamientos
Worksheets(PASO_4)CellsClear Se borran los datos existentes en la hoja PASO_4
Worksheets(PASO_4)Cells(1 1) = MATRICES DE ELEMENTOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(1 1) Cells(1 4)))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA
PASO_1 EN LA HOJA PASO_4
For r = 1 To numel 4
For c = 1 To 4
Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c) = Worksheets(PASO_1)Cells(r + 1 c)
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(r + 1 c))
Next
Next
For r = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Cells(r 4 - 2 11) = ELEMENTO amp r
titulo (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(r 4 - 2 11) Cells(r 4 + 1 11)))
Next r
Worksheets(PASO_4)Cells(1 6) = REACCIONES EN LOS NUDOS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 6))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 8) = VECTOR DE CARGAS
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 8))
Worksheets(PASO_4)Cells(1 10) = REACCIONES FINALES
titulo (Worksheets(PASO_4)Cells(1 10))
CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA
PASO_3 A LA PASO_4 Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA
ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p35
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p46
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p34
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6)Value =
Worksheets(PASO_3)Cells(Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 3)Value + 1 gdl +
4)Value + 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 6))
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS
ELEMENTOS EN LA HOJA PASO_4
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
For r = 1 To 4
If Worksheets(CONFIG)Cells(i + 1 r + 7)Value = Then
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = 0
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8))
Else
Worksheets(PASO_4)Cells(RENGLON + 1 8)Value = Worksheets(CONFIG)Cells(i
+ 1 r + 7)Value + 0
End If
RENGLON = RENGLON + 1
Next
Next
CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER
LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO
RENGLON = 1
For i = 1 To numel
Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4 10))Select
SelectionFormulaArray = =MMULT(R amp RENGLON + 1 amp C1R amp RENGLON + 4 amp
C4R amp RENGLON + 1 amp C6 amp R amp RENGLON + 4 amp C6)+R amp RENGLON + 1 amp C8R
amp RENGLON + 4 amp C8
dar_formato (Worksheets(PASO_4)Range(Cells(RENGLON + 1 10) Cells(RENGLON + 4
10)))
RENGLON = RENGLON + 4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p35
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p37
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p35
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Next
End Sub
En esencia el procedimiento para el caacutelculo de una estructura se
realiza con los procedimientos anteriores sin embargo se han omitido
detalles menores del coacutedigo original de este trabajo por la sencilla razoacuten
de que seriacutea inuacutetil saturar de funciones y procedimientos que si bien
son uacutetiles no son necesarios para resolver el problema en cuestioacuten
entonces podriacutea decirse que este coacutedigo fuente es una versioacuten
simplificada del programa original sin embargo en los capiacutetulos
siguientes se explicaraacute la forma de introducir los datos con base al
programa original
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p37
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p46
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p36
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
32 Forma De Introducir Los Datos En este capiacutetulo se explica la forma en que el usuario puede introducir
los datos en la hoja de caacutelculo el proceso es bastante sencillo sin
embargo es aquiacute donde se ponen en praacutectica los conocimientos y la
capacidad por parte del usuario de plantear el problema
adecuadamente en especial en detectar los grados de libertad de la
estructura En el capiacutetulo anterior para fines de explicar el coacutedigo
fuente se mencionoacute que el libro de Excel contiene seis hojas de caacutelculo
la primera hoja ldquoCONFIGURACIOacuteNrdquo es donde se ha de introducir la
informacioacuten necesaria para el caacutelculo que se puede hacer de forma
manual o haciendo uso de el cuadro de diaacutelogo de configuracioacuten
haciendo clic en botoacuten CONFIGURACIOacuteN de la barra de herramientas
adjunta al libro de Excel En la figura 21-4 se muestra dicha hoja
Figura 21-4
En la columna A titulada ELEMENTOS se escribiraacuten los elementos
con nuacutemeros consecutivos 1 2 3 4 etc lo cual se puede hacer en
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p37
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p38
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p42
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p46
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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forma manual o mediante el cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco
como se muestra en la siguiente figura
Figura 32-1
En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos
al pulsar el botoacuten Aceptar automaacuteticamente se escribiraacuten los nuacutemeros
1 2 y 3 en la hoja de configuracioacuten
La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada
elemento En este programa se ha limitado el nuacutemero de secciones
disponibles para el anaacutelisis a diez en la tercera columna llamada
SECCIOacuteN se escribe un nuacutemero del uno al diez y en el cuadro de diaacutelogo
Configuracioacuten del Marco se editaraacuten dichas secciones Se considera que
los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las
secciones pueden caer dentro de cuatro tipos
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Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p38
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 1- La seccioacuten es constante
h
L
Figura 32-2
Figura 32-3
Tal como se muestra en la figura 32-2 la altura es uniforme a lo
largo del elemento por lo que al introducir los datos soacutelo es necesario
escribir el momento de inercia y el moacutedulo de elasticidad
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p42
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p46
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p39
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Tipo 2- La altura variacutea de hj a hk a lo largo de L
hj
L
hk
Figura 32-4
hj gt hk
hj
L
hk
Figura 32-5
hk gt hj
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p42
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
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Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p40
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Figura 32-6
Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de
inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo
j y en el campo hk la altura en el extremo k Como se observa en las
figuras 32-4 y 32-5 pueden existir dos casos que hj sea mayor que hk
o que hk sea mayor que hj
Tipo 3-La altura variacutea de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L
ahj
L
hkhk hja
Figura 32-7
hj gt hk
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a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
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hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
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Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
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En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p41
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
a a
hj
L
hjhkhk
Figura 32-8
hk gt hj
Figura 32-9
El procedimiento es similar al tipo de seccioacuten anterior pero con
un nuevo dato la distancia a la cual debe considerarse como un factor
de la longitud L por ejemplo si la longitud del miembro es de seis
metros y la distancia a es de dos metros entonces se debe escribir en el
campo distancia a 26 o 03333
Tipo 4- La altura variacutea de hj a hk luego de h a h y de hk a hj a
lo largo de L
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p42
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p46
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p42
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-10
hj gt hk gt h
hj
La
hk hhj
ahk
Figura 32-11
h gt hk gt hj
Figura 32-12
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p46
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p43
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Por uacuteltimo se considera el caso en que existan tres alturas
diferentes y para definirlo se llenan los campos hj hk h y distancia a
tal como se explicoacute anteriormente Cabe recalcar que para secciones
constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos como por
ejemplo perfiles estructurales pero para secciones variables tienen que
ser forzosamente rectangulares
En las columnas D F G y H tituladas j k j y k se escribe
la direccioacuten de desplazamiento Si es una rotacioacuten en el extremo j se
escribe en la columna j si se trata de una traslacioacuten en j entonces de
escribe en la columna j y asiacute para cada direccioacuten dejando en blanco
las celdas que no tengan una direccioacuten
En las columnas I J K y L tituladas jRm kRm jRd y jRd se
escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se
puede hacer uso del cuadro de diaacutelogo Configuracioacuten del Marco el cual
contempla seis casos diferentes de condiciones de carga A continuacioacuten
se muestra coacutemo hacer uso de esta caracteriacutestica
Figura 32-13
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p46
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p44
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 32-13 se observa una lista en la cual se puede
seleccionar el elemento que se desea cargar despueacutes se marca la
configuracioacuten de carga deseada A continuacioacuten se muestra los datos
necesarios para cada tipo de carga
Carga
Figura 32-14
Carga uniformemente distribuida
Carga
Figura 32-15
Carga triangular simeacutetrica
Carga
a
Figura 32-16
Carga trapezoidal simeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p45
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p46
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p47
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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L2
Carga
Figura 32-17
Carga puntual al centro del miembro
a
Carga
Figura 32-18
Carga puntual descentrada
Carga
Extremo cargado 1
Figura 32-19
Carga triangular asimeacutetrica
Carga
Extremo cargado 2
Figura 32-20
Carga triangular asimeacutetrica
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p48
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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Una vez elegida la configuracioacuten y despueacutes de haber introducido
los datos necesarios para eacutesta se hace clic en antildeadir cargas y se
sumaraacuten las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas para
borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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33 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuracioacuten del marco se presenta en una sola hoja
de caacutelculo los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas
diferentes esto porque como se ha dicho se muestra paso a paso el
desarrollo del caacutelculo Para explicar los datos arrojados por el programa
se debe recordar el meacutetodo del caacutelculo como se presentoacute en el capiacutetulo
uno La precisioacuten que se maneja es de cuatro diacutegitos y los valores
positivos se muestran con letra negra los negativos en rojo y los valores
cero en azul En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada
elemento como se muestra en la siguiente figura
Figura 33-1
El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la
estructura y el vector general de cargas J los cuales estaraacuten separados
entre siacute por una columna vaciacutea y obviamente tendraacuten el mismo nuacutemero
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p49
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
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laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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de renglones igual al grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica A
continuacioacuten se muestra un ejemplo
Figura 33-2
Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el
vector J para asiacute obtener el vector de deformaciones escrito en forma
matricial JSD 1
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
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CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
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Figura 33-3
Por uacuteltimo se obtienen las reacciones dos momentos y dos
cortantes por cada elemento y seraacute el resultado de multiplicar la matriz
de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le
corresponde y sumarle las cargas de empotramiento Q asiacute
QDKR i Si en la figura 33-4 se localiza el elemento tres se
puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 112886
Tonmsup2 y un cortante positivo de 206046 Ton en el extremo j un
momento negativo de 140561 Tonmsup2 y un cortante de 213953 Ton
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Figura 33-4
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34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p50
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 33-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p51
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
34 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa
pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes
apartados
341 Ventajas Para los estudiantes de anaacutelisis estructural seraacute coacutemodo disponer de
una herramienta que haga los mismos caacutelculos que se hacen en clase
en una forma automaacutetica pero sobre todo seraacute uacutetil para revisar y
detectar errores sin tener que verificar los caacutelculos repetitivos de esta
manera el problema se centraraacute en el planteamiento y razonamiento de
la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales No se desea
restarle importancia a realizar un caacutelculo de manera manual porque
seriacutea inapropiado omitir este tipo de aprendizaje sentildealamiento con el
que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un
caacutelculo manual no estaacute en condiciones de utilizar un programa
computacional para resolver dicho caacutelculo
Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible
como es Excel que resultaraacute faacutecil de asimilar para alguien que se inicia
en el caacutelculo de estructuras asistido por computadora ademaacutes de la
ventaja de que no necesita instalacioacuten
342 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente el entorno en que se ha
desarrollado el programa ademaacutes de ser una ventaja tambieacuten es una
desventaja porque Excel no estaacute concebido para realizar caacutelculos de
iacutendole estructural esto lleva a imponer una limitante bastante
importante al programa Excel no puede almacenar matrices mayores de
sesenta renglones y columnas lo cual limita a calcular estructuras con
un nuacutemero maacuteximo de grados de libertad de sesenta Otra de las
dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los
resultados es posible hacer esta tarea en Excel pero seriacutea demasiado
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p52
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente auacuten no se
habriacutea concluido con este trabajo
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p53
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 4 EJEMPLOS
41 Marcos Plano Con Miembros De Seccioacuten Constante
Ejemplo 1
600 400 300
4 Tonm
I IIIII
Figura 41-1
EI=cte=1
En la figura anterior (41-1) se observa que el nuacutemero de elementos son
3 el grado de indeterminacioacuten cinemaacutetica es de 4 se considera un
moacutedulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la
unidad para todos los elementos
Figura 41-2
CONFIG
PASO_1
PASO_2
PASO_3
PASO_4
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
| 2 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 3 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 4 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
| ELEMENTOS | LONGITUD | SECCIOacuteN | qj | qK | Dj | Dk | Rmj | Rmk | Rdj | Rdk |
PASO_1
PASO_2
PASO_3
PASO_4
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
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| 3 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 4 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_2
PASO_3
PASO_4
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
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| 3 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
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| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_3
PASO_4
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
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| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
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| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_4
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
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| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
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| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
CONFIG
PASO_1
PASO_2
PASO_3
PASO_4
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
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| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
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PASO_1
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| 4 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_2
PASO_3
PASO_4
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
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| 2 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
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| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_3
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SECCIONES
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| 4 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_4
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
| 2 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 3 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 4 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
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| 4 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
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| 10 | 1 | 1 | 1 |
CONFIG
PASO_1
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SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
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| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
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| 10 | 1 | 1 | 1 |
| ELEMENTOS | LONGITUD | SECCIOacuteN | qj | qK | Dj | Dk | Rmj | Rmk | Rdj | Rdk |
PASO_1
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SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
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| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_2
PASO_3
PASO_4
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
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| 2 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
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| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_3
PASO_4
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
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| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
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| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_4
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
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| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
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| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
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| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
CONFIG
PASO_1
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SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
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| 10 | 1 | 1 | 1 |
| ELEMENTOS | LONGITUD | SECCIOacuteN | qj | qK | Dj | Dk | Rmj | Rmk | Rdj | Rdk |
PASO_1
PASO_2
PASO_3
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SECCIONES
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| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_2
PASO_3
PASO_4
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
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| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_3
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SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
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| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_4
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
| 2 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
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| 4 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
SECCIONES
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
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| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
CONFIG
PASO_1
PASO_2
PASO_3
PASO_4
SECCIONES
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p54
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-3
Figura 41-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p55
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-5
Figura 41-6
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p56
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las reacciones finales en cada elemento son
6 mts
97551 Ton 142449 Ton
0 Ton-m 134697 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-7
4 mts
107045 Ton 26515 Ton
26515 Ton-m134697 Ton-m w = 4 Tonm
Figura 41-8
3 mts
68838 Ton 51162 Ton
26515 Ton-m 0 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-9
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p57
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ejemplo 2
w = 4 Tonm
w = 45 Tonm
200 200
200 200
350
300
100900
300
350400
2 Ton
I
III
V
II
IV
VI
Figura 41-10 En la siguiente tabla se describen las cinco secciones existentes
para el anaacutelisis
Seccioacuten Dimensiones (m x m) Elasticidad (Tonmsup2) Inercia (m^4)
1 030 x 060 221359436 00054
2 035 x 065 221359436 00080
3 030 x 030 221359436 00007
4 035 x 035 221359436 000135 035 x 040 221359436 00019
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p58
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 41-11 se muestra la configuracioacuten del marco y en la
figura 41-12 se muestran los resultados obtenidos
Figura 41-11
ELEMENTOS LONGITUD SECCIOacuteN θj θK ∆j ∆k Rmj Rmk Rdj Rdk
1 9 1 1 2 2462963 -246296 14 142 9 2 3 4 3017747 -296836 1691598 16584023 35 3 1 3 6 74 35 3 2 4 6 75 3 4 3 76 4 5 4 5 7
Figura 41-12
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES531262647 265631323 88543774 -88543774 -000507 246296296 1111478265631323 531262647 88543774 -88543774 000505 -246296296 -112558288543774 88543774 19676394 -19676394 0 14 1398433
-88543774 -88543774 -19676394 19676394 0 14 1401567788029345 394014672 131338224 -131338224 -000315 301774691 1638717394014672 788029345 131338224 -131338224 00028 -29683642 -2000775131338224 131338224 29186272 -29186272 0 169159808 1645882
-131338224 -131338224 -29186272 29186272 0 165840192 1704118170762994 85381497 7318414 -7318414 -000507 0 -111147885381497 170762994 7318414 -7318414 -000315 0 -9476957318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 -588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 588335170762994 85381497 7318414 -7318414 000505 0 112558285381497 170762994 7318414 -7318414 00028 0 9335917318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 -588335369086116 184543058 184543058 -184543058 -000315 0 -691022184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -109366184543058 184543058 123028705 -123028705 000256 0 -266796
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 266796413204281 20660214 154951605 -154951605 00028 0 106718420660214 413204281 154951605 -154951605 -000236 0 00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000256 0 266796-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -266796
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p59
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
42 Marcos Planos Con Miembros De Seccioacuten Variable Consideacuterese el ejemplo anterior y toacutemense las mismas cargas
dimensiones materiales etc Ahora supoacutengase las secciones variables
que se muestran en la siguiente figura
030x040
030 x 030
030x060030x060
035 x 040035 x 035
035x045 035x065035x065
030 x 030
Figura 42-1
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES252144434 154064111 45134283 -45134283 -000802 246296296 1666031154064111 252144434 45134283 -45134283 000795 -246296296 -169371545134283 45134283 10029841 -10029841 0 14 1396924
-45134283 -45134283 -10029841 10029841 0 14 1403076402486186 24224607 71636917 -71636917 -000406 301774691 219279524224607 402486186 71636917 -71636917 000335 -29683642 -260543671636917 71636917 15919315 -15919315 0 169159808 1640262
-71636917 -71636917 -15919315 15919315 0 165840192 1709738170762994 85381497 7318414 -7318414 -000802 0 -166603185381497 170762994 7318414 -7318414 -000406 0 -13284867318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 -855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 855576170762994 85381497 7318414 -7318414 000795 0 169371585381497 170762994 7318414 -7318414 000335 0 13008027318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 -855576369086116 184543058 184543058 -184543058 -000406 0 -864309184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -114166184543058 184543058 123028705 -123028705 000345 0 -326158
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 326158413204281 20660214 154951605 -154951605 000335 0 130463420660214 413204281 154951605 -154951605 -000297 0 -00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000345 0 326158-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -326158
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Figura 42-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p60
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 5 CONCLUSIONES
Como se ha visto en los capiacutetulos anteriores hay mucho potencial en
anaacutelisis estructural asistido por computadoras caacutelculos que en el
pasado se realizaban en diacuteas hoy se ejecutan en al instante asimismo
modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de
variables que habiacutea que evaluar ahora se llevan a cabo con hacer un
solo clic Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto la creatividad y la loacutegica del calculista
Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el
sentido de hacer comprensible el anaacutelisis de estructuras se ha dado
solamente una idea de la implementacioacuten en programas de
computacioacuten pero obviamente queda en la imaginacioacuten del lector la
gama de posibilidades para crear un programa maacutes faacutecil maacutes completo
en un lenguaje maacutes apropiado etc
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
KREYSZIG Edwin Matemaacuteticas Avanzadas para Ingenieriacutea Vol 1
Limusa Meacutexico 2003
MORA F Walter y Joseacute Luis Espinoza B Programacioacuten en Visual Basic
(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
-
- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
-
- 34113
- 34213
-
- CAPIacuteTULO 4
-
- 4113
- 4213
-
- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
-
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
| 2 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 3 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 4 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
| ELEMENTOS | LONGITUD | SECCIOacuteN | qj | qK | Dj | Dk | Rmj | Rmk | Rdj | Rdk |
PASO_1
PASO_2
PASO_3
PASO_4
SECCIONES
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p54
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-3
Figura 41-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p55
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-5
Figura 41-6
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p56
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las reacciones finales en cada elemento son
6 mts
97551 Ton 142449 Ton
0 Ton-m 134697 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-7
4 mts
107045 Ton 26515 Ton
26515 Ton-m134697 Ton-m w = 4 Tonm
Figura 41-8
3 mts
68838 Ton 51162 Ton
26515 Ton-m 0 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-9
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p57
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ejemplo 2
w = 4 Tonm
w = 45 Tonm
200 200
200 200
350
300
100900
300
350400
2 Ton
I
III
V
II
IV
VI
Figura 41-10 En la siguiente tabla se describen las cinco secciones existentes
para el anaacutelisis
Seccioacuten Dimensiones (m x m) Elasticidad (Tonmsup2) Inercia (m^4)
1 030 x 060 221359436 00054
2 035 x 065 221359436 00080
3 030 x 030 221359436 00007
4 035 x 035 221359436 000135 035 x 040 221359436 00019
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p58
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 41-11 se muestra la configuracioacuten del marco y en la
figura 41-12 se muestran los resultados obtenidos
Figura 41-11
ELEMENTOS LONGITUD SECCIOacuteN θj θK ∆j ∆k Rmj Rmk Rdj Rdk
1 9 1 1 2 2462963 -246296 14 142 9 2 3 4 3017747 -296836 1691598 16584023 35 3 1 3 6 74 35 3 2 4 6 75 3 4 3 76 4 5 4 5 7
Figura 41-12
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES531262647 265631323 88543774 -88543774 -000507 246296296 1111478265631323 531262647 88543774 -88543774 000505 -246296296 -112558288543774 88543774 19676394 -19676394 0 14 1398433
-88543774 -88543774 -19676394 19676394 0 14 1401567788029345 394014672 131338224 -131338224 -000315 301774691 1638717394014672 788029345 131338224 -131338224 00028 -29683642 -2000775131338224 131338224 29186272 -29186272 0 169159808 1645882
-131338224 -131338224 -29186272 29186272 0 165840192 1704118170762994 85381497 7318414 -7318414 -000507 0 -111147885381497 170762994 7318414 -7318414 -000315 0 -9476957318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 -588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 588335170762994 85381497 7318414 -7318414 000505 0 112558285381497 170762994 7318414 -7318414 00028 0 9335917318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 -588335369086116 184543058 184543058 -184543058 -000315 0 -691022184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -109366184543058 184543058 123028705 -123028705 000256 0 -266796
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 266796413204281 20660214 154951605 -154951605 00028 0 106718420660214 413204281 154951605 -154951605 -000236 0 00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000256 0 266796-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -266796
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p59
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
42 Marcos Planos Con Miembros De Seccioacuten Variable Consideacuterese el ejemplo anterior y toacutemense las mismas cargas
dimensiones materiales etc Ahora supoacutengase las secciones variables
que se muestran en la siguiente figura
030x040
030 x 030
030x060030x060
035 x 040035 x 035
035x045 035x065035x065
030 x 030
Figura 42-1
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES252144434 154064111 45134283 -45134283 -000802 246296296 1666031154064111 252144434 45134283 -45134283 000795 -246296296 -169371545134283 45134283 10029841 -10029841 0 14 1396924
-45134283 -45134283 -10029841 10029841 0 14 1403076402486186 24224607 71636917 -71636917 -000406 301774691 219279524224607 402486186 71636917 -71636917 000335 -29683642 -260543671636917 71636917 15919315 -15919315 0 169159808 1640262
-71636917 -71636917 -15919315 15919315 0 165840192 1709738170762994 85381497 7318414 -7318414 -000802 0 -166603185381497 170762994 7318414 -7318414 -000406 0 -13284867318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 -855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 855576170762994 85381497 7318414 -7318414 000795 0 169371585381497 170762994 7318414 -7318414 000335 0 13008027318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 -855576369086116 184543058 184543058 -184543058 -000406 0 -864309184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -114166184543058 184543058 123028705 -123028705 000345 0 -326158
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 326158413204281 20660214 154951605 -154951605 000335 0 130463420660214 413204281 154951605 -154951605 -000297 0 -00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000345 0 326158-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -326158
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Figura 42-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p60
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 5 CONCLUSIONES
Como se ha visto en los capiacutetulos anteriores hay mucho potencial en
anaacutelisis estructural asistido por computadoras caacutelculos que en el
pasado se realizaban en diacuteas hoy se ejecutan en al instante asimismo
modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de
variables que habiacutea que evaluar ahora se llevan a cabo con hacer un
solo clic Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto la creatividad y la loacutegica del calculista
Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el
sentido de hacer comprensible el anaacutelisis de estructuras se ha dado
solamente una idea de la implementacioacuten en programas de
computacioacuten pero obviamente queda en la imaginacioacuten del lector la
gama de posibilidades para crear un programa maacutes faacutecil maacutes completo
en un lenguaje maacutes apropiado etc
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
KREYSZIG Edwin Matemaacuteticas Avanzadas para Ingenieriacutea Vol 1
Limusa Meacutexico 2003
MORA F Walter y Joseacute Luis Espinoza B Programacioacuten en Visual Basic
(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
-
- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
-
- 34113
- 34213
-
- CAPIacuteTULO 4
-
- 4113
- 4213
-
- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
-
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
| 2 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 3 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 4 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_2
PASO_3
PASO_4
SECCIONES
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p54
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-3
Figura 41-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p55
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-5
Figura 41-6
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p56
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las reacciones finales en cada elemento son
6 mts
97551 Ton 142449 Ton
0 Ton-m 134697 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-7
4 mts
107045 Ton 26515 Ton
26515 Ton-m134697 Ton-m w = 4 Tonm
Figura 41-8
3 mts
68838 Ton 51162 Ton
26515 Ton-m 0 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-9
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p57
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ejemplo 2
w = 4 Tonm
w = 45 Tonm
200 200
200 200
350
300
100900
300
350400
2 Ton
I
III
V
II
IV
VI
Figura 41-10 En la siguiente tabla se describen las cinco secciones existentes
para el anaacutelisis
Seccioacuten Dimensiones (m x m) Elasticidad (Tonmsup2) Inercia (m^4)
1 030 x 060 221359436 00054
2 035 x 065 221359436 00080
3 030 x 030 221359436 00007
4 035 x 035 221359436 000135 035 x 040 221359436 00019
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p58
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 41-11 se muestra la configuracioacuten del marco y en la
figura 41-12 se muestran los resultados obtenidos
Figura 41-11
ELEMENTOS LONGITUD SECCIOacuteN θj θK ∆j ∆k Rmj Rmk Rdj Rdk
1 9 1 1 2 2462963 -246296 14 142 9 2 3 4 3017747 -296836 1691598 16584023 35 3 1 3 6 74 35 3 2 4 6 75 3 4 3 76 4 5 4 5 7
Figura 41-12
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES531262647 265631323 88543774 -88543774 -000507 246296296 1111478265631323 531262647 88543774 -88543774 000505 -246296296 -112558288543774 88543774 19676394 -19676394 0 14 1398433
-88543774 -88543774 -19676394 19676394 0 14 1401567788029345 394014672 131338224 -131338224 -000315 301774691 1638717394014672 788029345 131338224 -131338224 00028 -29683642 -2000775131338224 131338224 29186272 -29186272 0 169159808 1645882
-131338224 -131338224 -29186272 29186272 0 165840192 1704118170762994 85381497 7318414 -7318414 -000507 0 -111147885381497 170762994 7318414 -7318414 -000315 0 -9476957318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 -588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 588335170762994 85381497 7318414 -7318414 000505 0 112558285381497 170762994 7318414 -7318414 00028 0 9335917318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 -588335369086116 184543058 184543058 -184543058 -000315 0 -691022184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -109366184543058 184543058 123028705 -123028705 000256 0 -266796
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 266796413204281 20660214 154951605 -154951605 00028 0 106718420660214 413204281 154951605 -154951605 -000236 0 00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000256 0 266796-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -266796
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p59
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
42 Marcos Planos Con Miembros De Seccioacuten Variable Consideacuterese el ejemplo anterior y toacutemense las mismas cargas
dimensiones materiales etc Ahora supoacutengase las secciones variables
que se muestran en la siguiente figura
030x040
030 x 030
030x060030x060
035 x 040035 x 035
035x045 035x065035x065
030 x 030
Figura 42-1
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES252144434 154064111 45134283 -45134283 -000802 246296296 1666031154064111 252144434 45134283 -45134283 000795 -246296296 -169371545134283 45134283 10029841 -10029841 0 14 1396924
-45134283 -45134283 -10029841 10029841 0 14 1403076402486186 24224607 71636917 -71636917 -000406 301774691 219279524224607 402486186 71636917 -71636917 000335 -29683642 -260543671636917 71636917 15919315 -15919315 0 169159808 1640262
-71636917 -71636917 -15919315 15919315 0 165840192 1709738170762994 85381497 7318414 -7318414 -000802 0 -166603185381497 170762994 7318414 -7318414 -000406 0 -13284867318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 -855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 855576170762994 85381497 7318414 -7318414 000795 0 169371585381497 170762994 7318414 -7318414 000335 0 13008027318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 -855576369086116 184543058 184543058 -184543058 -000406 0 -864309184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -114166184543058 184543058 123028705 -123028705 000345 0 -326158
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 326158413204281 20660214 154951605 -154951605 000335 0 130463420660214 413204281 154951605 -154951605 -000297 0 -00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000345 0 326158-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -326158
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Figura 42-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p60
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 5 CONCLUSIONES
Como se ha visto en los capiacutetulos anteriores hay mucho potencial en
anaacutelisis estructural asistido por computadoras caacutelculos que en el
pasado se realizaban en diacuteas hoy se ejecutan en al instante asimismo
modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de
variables que habiacutea que evaluar ahora se llevan a cabo con hacer un
solo clic Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto la creatividad y la loacutegica del calculista
Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el
sentido de hacer comprensible el anaacutelisis de estructuras se ha dado
solamente una idea de la implementacioacuten en programas de
computacioacuten pero obviamente queda en la imaginacioacuten del lector la
gama de posibilidades para crear un programa maacutes faacutecil maacutes completo
en un lenguaje maacutes apropiado etc
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
KREYSZIG Edwin Matemaacuteticas Avanzadas para Ingenieriacutea Vol 1
Limusa Meacutexico 2003
MORA F Walter y Joseacute Luis Espinoza B Programacioacuten en Visual Basic
(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
-
- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
-
- 34113
- 34213
-
- CAPIacuteTULO 4
-
- 4113
- 4213
-
- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
-
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
| 2 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 3 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 4 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_3
PASO_4
SECCIONES
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p54
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-3
Figura 41-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p55
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-5
Figura 41-6
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p56
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las reacciones finales en cada elemento son
6 mts
97551 Ton 142449 Ton
0 Ton-m 134697 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-7
4 mts
107045 Ton 26515 Ton
26515 Ton-m134697 Ton-m w = 4 Tonm
Figura 41-8
3 mts
68838 Ton 51162 Ton
26515 Ton-m 0 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-9
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p57
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ejemplo 2
w = 4 Tonm
w = 45 Tonm
200 200
200 200
350
300
100900
300
350400
2 Ton
I
III
V
II
IV
VI
Figura 41-10 En la siguiente tabla se describen las cinco secciones existentes
para el anaacutelisis
Seccioacuten Dimensiones (m x m) Elasticidad (Tonmsup2) Inercia (m^4)
1 030 x 060 221359436 00054
2 035 x 065 221359436 00080
3 030 x 030 221359436 00007
4 035 x 035 221359436 000135 035 x 040 221359436 00019
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p58
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 41-11 se muestra la configuracioacuten del marco y en la
figura 41-12 se muestran los resultados obtenidos
Figura 41-11
ELEMENTOS LONGITUD SECCIOacuteN θj θK ∆j ∆k Rmj Rmk Rdj Rdk
1 9 1 1 2 2462963 -246296 14 142 9 2 3 4 3017747 -296836 1691598 16584023 35 3 1 3 6 74 35 3 2 4 6 75 3 4 3 76 4 5 4 5 7
Figura 41-12
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES531262647 265631323 88543774 -88543774 -000507 246296296 1111478265631323 531262647 88543774 -88543774 000505 -246296296 -112558288543774 88543774 19676394 -19676394 0 14 1398433
-88543774 -88543774 -19676394 19676394 0 14 1401567788029345 394014672 131338224 -131338224 -000315 301774691 1638717394014672 788029345 131338224 -131338224 00028 -29683642 -2000775131338224 131338224 29186272 -29186272 0 169159808 1645882
-131338224 -131338224 -29186272 29186272 0 165840192 1704118170762994 85381497 7318414 -7318414 -000507 0 -111147885381497 170762994 7318414 -7318414 -000315 0 -9476957318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 -588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 588335170762994 85381497 7318414 -7318414 000505 0 112558285381497 170762994 7318414 -7318414 00028 0 9335917318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 -588335369086116 184543058 184543058 -184543058 -000315 0 -691022184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -109366184543058 184543058 123028705 -123028705 000256 0 -266796
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 266796413204281 20660214 154951605 -154951605 00028 0 106718420660214 413204281 154951605 -154951605 -000236 0 00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000256 0 266796-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -266796
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p59
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
42 Marcos Planos Con Miembros De Seccioacuten Variable Consideacuterese el ejemplo anterior y toacutemense las mismas cargas
dimensiones materiales etc Ahora supoacutengase las secciones variables
que se muestran en la siguiente figura
030x040
030 x 030
030x060030x060
035 x 040035 x 035
035x045 035x065035x065
030 x 030
Figura 42-1
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES252144434 154064111 45134283 -45134283 -000802 246296296 1666031154064111 252144434 45134283 -45134283 000795 -246296296 -169371545134283 45134283 10029841 -10029841 0 14 1396924
-45134283 -45134283 -10029841 10029841 0 14 1403076402486186 24224607 71636917 -71636917 -000406 301774691 219279524224607 402486186 71636917 -71636917 000335 -29683642 -260543671636917 71636917 15919315 -15919315 0 169159808 1640262
-71636917 -71636917 -15919315 15919315 0 165840192 1709738170762994 85381497 7318414 -7318414 -000802 0 -166603185381497 170762994 7318414 -7318414 -000406 0 -13284867318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 -855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 855576170762994 85381497 7318414 -7318414 000795 0 169371585381497 170762994 7318414 -7318414 000335 0 13008027318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 -855576369086116 184543058 184543058 -184543058 -000406 0 -864309184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -114166184543058 184543058 123028705 -123028705 000345 0 -326158
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 326158413204281 20660214 154951605 -154951605 000335 0 130463420660214 413204281 154951605 -154951605 -000297 0 -00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000345 0 326158-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -326158
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Figura 42-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p60
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 5 CONCLUSIONES
Como se ha visto en los capiacutetulos anteriores hay mucho potencial en
anaacutelisis estructural asistido por computadoras caacutelculos que en el
pasado se realizaban en diacuteas hoy se ejecutan en al instante asimismo
modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de
variables que habiacutea que evaluar ahora se llevan a cabo con hacer un
solo clic Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto la creatividad y la loacutegica del calculista
Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el
sentido de hacer comprensible el anaacutelisis de estructuras se ha dado
solamente una idea de la implementacioacuten en programas de
computacioacuten pero obviamente queda en la imaginacioacuten del lector la
gama de posibilidades para crear un programa maacutes faacutecil maacutes completo
en un lenguaje maacutes apropiado etc
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
KREYSZIG Edwin Matemaacuteticas Avanzadas para Ingenieriacutea Vol 1
Limusa Meacutexico 2003
MORA F Walter y Joseacute Luis Espinoza B Programacioacuten en Visual Basic
(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
-
- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
-
- 34113
- 34213
-
- CAPIacuteTULO 4
-
- 4113
- 4213
-
- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
-
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
| 2 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 3 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 4 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
PASO_4
SECCIONES
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p54
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-3
Figura 41-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p55
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-5
Figura 41-6
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p56
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las reacciones finales en cada elemento son
6 mts
97551 Ton 142449 Ton
0 Ton-m 134697 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-7
4 mts
107045 Ton 26515 Ton
26515 Ton-m134697 Ton-m w = 4 Tonm
Figura 41-8
3 mts
68838 Ton 51162 Ton
26515 Ton-m 0 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-9
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p57
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ejemplo 2
w = 4 Tonm
w = 45 Tonm
200 200
200 200
350
300
100900
300
350400
2 Ton
I
III
V
II
IV
VI
Figura 41-10 En la siguiente tabla se describen las cinco secciones existentes
para el anaacutelisis
Seccioacuten Dimensiones (m x m) Elasticidad (Tonmsup2) Inercia (m^4)
1 030 x 060 221359436 00054
2 035 x 065 221359436 00080
3 030 x 030 221359436 00007
4 035 x 035 221359436 000135 035 x 040 221359436 00019
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p58
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 41-11 se muestra la configuracioacuten del marco y en la
figura 41-12 se muestran los resultados obtenidos
Figura 41-11
ELEMENTOS LONGITUD SECCIOacuteN θj θK ∆j ∆k Rmj Rmk Rdj Rdk
1 9 1 1 2 2462963 -246296 14 142 9 2 3 4 3017747 -296836 1691598 16584023 35 3 1 3 6 74 35 3 2 4 6 75 3 4 3 76 4 5 4 5 7
Figura 41-12
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES531262647 265631323 88543774 -88543774 -000507 246296296 1111478265631323 531262647 88543774 -88543774 000505 -246296296 -112558288543774 88543774 19676394 -19676394 0 14 1398433
-88543774 -88543774 -19676394 19676394 0 14 1401567788029345 394014672 131338224 -131338224 -000315 301774691 1638717394014672 788029345 131338224 -131338224 00028 -29683642 -2000775131338224 131338224 29186272 -29186272 0 169159808 1645882
-131338224 -131338224 -29186272 29186272 0 165840192 1704118170762994 85381497 7318414 -7318414 -000507 0 -111147885381497 170762994 7318414 -7318414 -000315 0 -9476957318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 -588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 588335170762994 85381497 7318414 -7318414 000505 0 112558285381497 170762994 7318414 -7318414 00028 0 9335917318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 -588335369086116 184543058 184543058 -184543058 -000315 0 -691022184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -109366184543058 184543058 123028705 -123028705 000256 0 -266796
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 266796413204281 20660214 154951605 -154951605 00028 0 106718420660214 413204281 154951605 -154951605 -000236 0 00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000256 0 266796-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -266796
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p59
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
42 Marcos Planos Con Miembros De Seccioacuten Variable Consideacuterese el ejemplo anterior y toacutemense las mismas cargas
dimensiones materiales etc Ahora supoacutengase las secciones variables
que se muestran en la siguiente figura
030x040
030 x 030
030x060030x060
035 x 040035 x 035
035x045 035x065035x065
030 x 030
Figura 42-1
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES252144434 154064111 45134283 -45134283 -000802 246296296 1666031154064111 252144434 45134283 -45134283 000795 -246296296 -169371545134283 45134283 10029841 -10029841 0 14 1396924
-45134283 -45134283 -10029841 10029841 0 14 1403076402486186 24224607 71636917 -71636917 -000406 301774691 219279524224607 402486186 71636917 -71636917 000335 -29683642 -260543671636917 71636917 15919315 -15919315 0 169159808 1640262
-71636917 -71636917 -15919315 15919315 0 165840192 1709738170762994 85381497 7318414 -7318414 -000802 0 -166603185381497 170762994 7318414 -7318414 -000406 0 -13284867318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 -855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 855576170762994 85381497 7318414 -7318414 000795 0 169371585381497 170762994 7318414 -7318414 000335 0 13008027318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 -855576369086116 184543058 184543058 -184543058 -000406 0 -864309184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -114166184543058 184543058 123028705 -123028705 000345 0 -326158
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 326158413204281 20660214 154951605 -154951605 000335 0 130463420660214 413204281 154951605 -154951605 -000297 0 -00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000345 0 326158-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -326158
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Figura 42-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p60
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 5 CONCLUSIONES
Como se ha visto en los capiacutetulos anteriores hay mucho potencial en
anaacutelisis estructural asistido por computadoras caacutelculos que en el
pasado se realizaban en diacuteas hoy se ejecutan en al instante asimismo
modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de
variables que habiacutea que evaluar ahora se llevan a cabo con hacer un
solo clic Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto la creatividad y la loacutegica del calculista
Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el
sentido de hacer comprensible el anaacutelisis de estructuras se ha dado
solamente una idea de la implementacioacuten en programas de
computacioacuten pero obviamente queda en la imaginacioacuten del lector la
gama de posibilidades para crear un programa maacutes faacutecil maacutes completo
en un lenguaje maacutes apropiado etc
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
KREYSZIG Edwin Matemaacuteticas Avanzadas para Ingenieriacutea Vol 1
Limusa Meacutexico 2003
MORA F Walter y Joseacute Luis Espinoza B Programacioacuten en Visual Basic
(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
-
- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
-
- 34113
- 34213
-
- CAPIacuteTULO 4
-
- 4113
- 4213
-
- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
-
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
| 2 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 3 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 4 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
SECCIONES
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p54
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-3
Figura 41-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p55
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-5
Figura 41-6
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p56
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las reacciones finales en cada elemento son
6 mts
97551 Ton 142449 Ton
0 Ton-m 134697 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-7
4 mts
107045 Ton 26515 Ton
26515 Ton-m134697 Ton-m w = 4 Tonm
Figura 41-8
3 mts
68838 Ton 51162 Ton
26515 Ton-m 0 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-9
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p57
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ejemplo 2
w = 4 Tonm
w = 45 Tonm
200 200
200 200
350
300
100900
300
350400
2 Ton
I
III
V
II
IV
VI
Figura 41-10 En la siguiente tabla se describen las cinco secciones existentes
para el anaacutelisis
Seccioacuten Dimensiones (m x m) Elasticidad (Tonmsup2) Inercia (m^4)
1 030 x 060 221359436 00054
2 035 x 065 221359436 00080
3 030 x 030 221359436 00007
4 035 x 035 221359436 000135 035 x 040 221359436 00019
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p58
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 41-11 se muestra la configuracioacuten del marco y en la
figura 41-12 se muestran los resultados obtenidos
Figura 41-11
ELEMENTOS LONGITUD SECCIOacuteN θj θK ∆j ∆k Rmj Rmk Rdj Rdk
1 9 1 1 2 2462963 -246296 14 142 9 2 3 4 3017747 -296836 1691598 16584023 35 3 1 3 6 74 35 3 2 4 6 75 3 4 3 76 4 5 4 5 7
Figura 41-12
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES531262647 265631323 88543774 -88543774 -000507 246296296 1111478265631323 531262647 88543774 -88543774 000505 -246296296 -112558288543774 88543774 19676394 -19676394 0 14 1398433
-88543774 -88543774 -19676394 19676394 0 14 1401567788029345 394014672 131338224 -131338224 -000315 301774691 1638717394014672 788029345 131338224 -131338224 00028 -29683642 -2000775131338224 131338224 29186272 -29186272 0 169159808 1645882
-131338224 -131338224 -29186272 29186272 0 165840192 1704118170762994 85381497 7318414 -7318414 -000507 0 -111147885381497 170762994 7318414 -7318414 -000315 0 -9476957318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 -588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 588335170762994 85381497 7318414 -7318414 000505 0 112558285381497 170762994 7318414 -7318414 00028 0 9335917318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 -588335369086116 184543058 184543058 -184543058 -000315 0 -691022184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -109366184543058 184543058 123028705 -123028705 000256 0 -266796
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 266796413204281 20660214 154951605 -154951605 00028 0 106718420660214 413204281 154951605 -154951605 -000236 0 00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000256 0 266796-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -266796
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p59
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
42 Marcos Planos Con Miembros De Seccioacuten Variable Consideacuterese el ejemplo anterior y toacutemense las mismas cargas
dimensiones materiales etc Ahora supoacutengase las secciones variables
que se muestran en la siguiente figura
030x040
030 x 030
030x060030x060
035 x 040035 x 035
035x045 035x065035x065
030 x 030
Figura 42-1
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES252144434 154064111 45134283 -45134283 -000802 246296296 1666031154064111 252144434 45134283 -45134283 000795 -246296296 -169371545134283 45134283 10029841 -10029841 0 14 1396924
-45134283 -45134283 -10029841 10029841 0 14 1403076402486186 24224607 71636917 -71636917 -000406 301774691 219279524224607 402486186 71636917 -71636917 000335 -29683642 -260543671636917 71636917 15919315 -15919315 0 169159808 1640262
-71636917 -71636917 -15919315 15919315 0 165840192 1709738170762994 85381497 7318414 -7318414 -000802 0 -166603185381497 170762994 7318414 -7318414 -000406 0 -13284867318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 -855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 855576170762994 85381497 7318414 -7318414 000795 0 169371585381497 170762994 7318414 -7318414 000335 0 13008027318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 -855576369086116 184543058 184543058 -184543058 -000406 0 -864309184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -114166184543058 184543058 123028705 -123028705 000345 0 -326158
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 326158413204281 20660214 154951605 -154951605 000335 0 130463420660214 413204281 154951605 -154951605 -000297 0 -00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000345 0 326158-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -326158
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Figura 42-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p60
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 5 CONCLUSIONES
Como se ha visto en los capiacutetulos anteriores hay mucho potencial en
anaacutelisis estructural asistido por computadoras caacutelculos que en el
pasado se realizaban en diacuteas hoy se ejecutan en al instante asimismo
modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de
variables que habiacutea que evaluar ahora se llevan a cabo con hacer un
solo clic Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto la creatividad y la loacutegica del calculista
Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el
sentido de hacer comprensible el anaacutelisis de estructuras se ha dado
solamente una idea de la implementacioacuten en programas de
computacioacuten pero obviamente queda en la imaginacioacuten del lector la
gama de posibilidades para crear un programa maacutes faacutecil maacutes completo
en un lenguaje maacutes apropiado etc
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
KREYSZIG Edwin Matemaacuteticas Avanzadas para Ingenieriacutea Vol 1
Limusa Meacutexico 2003
MORA F Walter y Joseacute Luis Espinoza B Programacioacuten en Visual Basic
(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
-
- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
-
- 34113
- 34213
-
- CAPIacuteTULO 4
-
- 4113
- 4213
-
- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
-
| Seccioacuten | Elasticidad | Inercia | hj | hk | h | a | Tipo seccioacuten | ||||||||
| 1 | 118321595662 | 31 | 1 | ||||||||||||
| 2 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 3 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 4 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 5 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 7 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 8 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 9 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 10 | 1 | 1 | 1 |
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p54
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-3
Figura 41-4
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p55
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-5
Figura 41-6
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p56
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las reacciones finales en cada elemento son
6 mts
97551 Ton 142449 Ton
0 Ton-m 134697 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-7
4 mts
107045 Ton 26515 Ton
26515 Ton-m134697 Ton-m w = 4 Tonm
Figura 41-8
3 mts
68838 Ton 51162 Ton
26515 Ton-m 0 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-9
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p57
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ejemplo 2
w = 4 Tonm
w = 45 Tonm
200 200
200 200
350
300
100900
300
350400
2 Ton
I
III
V
II
IV
VI
Figura 41-10 En la siguiente tabla se describen las cinco secciones existentes
para el anaacutelisis
Seccioacuten Dimensiones (m x m) Elasticidad (Tonmsup2) Inercia (m^4)
1 030 x 060 221359436 00054
2 035 x 065 221359436 00080
3 030 x 030 221359436 00007
4 035 x 035 221359436 000135 035 x 040 221359436 00019
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p58
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 41-11 se muestra la configuracioacuten del marco y en la
figura 41-12 se muestran los resultados obtenidos
Figura 41-11
ELEMENTOS LONGITUD SECCIOacuteN θj θK ∆j ∆k Rmj Rmk Rdj Rdk
1 9 1 1 2 2462963 -246296 14 142 9 2 3 4 3017747 -296836 1691598 16584023 35 3 1 3 6 74 35 3 2 4 6 75 3 4 3 76 4 5 4 5 7
Figura 41-12
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES531262647 265631323 88543774 -88543774 -000507 246296296 1111478265631323 531262647 88543774 -88543774 000505 -246296296 -112558288543774 88543774 19676394 -19676394 0 14 1398433
-88543774 -88543774 -19676394 19676394 0 14 1401567788029345 394014672 131338224 -131338224 -000315 301774691 1638717394014672 788029345 131338224 -131338224 00028 -29683642 -2000775131338224 131338224 29186272 -29186272 0 169159808 1645882
-131338224 -131338224 -29186272 29186272 0 165840192 1704118170762994 85381497 7318414 -7318414 -000507 0 -111147885381497 170762994 7318414 -7318414 -000315 0 -9476957318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 -588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 588335170762994 85381497 7318414 -7318414 000505 0 112558285381497 170762994 7318414 -7318414 00028 0 9335917318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 -588335369086116 184543058 184543058 -184543058 -000315 0 -691022184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -109366184543058 184543058 123028705 -123028705 000256 0 -266796
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 266796413204281 20660214 154951605 -154951605 00028 0 106718420660214 413204281 154951605 -154951605 -000236 0 00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000256 0 266796-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -266796
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p59
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
42 Marcos Planos Con Miembros De Seccioacuten Variable Consideacuterese el ejemplo anterior y toacutemense las mismas cargas
dimensiones materiales etc Ahora supoacutengase las secciones variables
que se muestran en la siguiente figura
030x040
030 x 030
030x060030x060
035 x 040035 x 035
035x045 035x065035x065
030 x 030
Figura 42-1
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES252144434 154064111 45134283 -45134283 -000802 246296296 1666031154064111 252144434 45134283 -45134283 000795 -246296296 -169371545134283 45134283 10029841 -10029841 0 14 1396924
-45134283 -45134283 -10029841 10029841 0 14 1403076402486186 24224607 71636917 -71636917 -000406 301774691 219279524224607 402486186 71636917 -71636917 000335 -29683642 -260543671636917 71636917 15919315 -15919315 0 169159808 1640262
-71636917 -71636917 -15919315 15919315 0 165840192 1709738170762994 85381497 7318414 -7318414 -000802 0 -166603185381497 170762994 7318414 -7318414 -000406 0 -13284867318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 -855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 855576170762994 85381497 7318414 -7318414 000795 0 169371585381497 170762994 7318414 -7318414 000335 0 13008027318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 -855576369086116 184543058 184543058 -184543058 -000406 0 -864309184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -114166184543058 184543058 123028705 -123028705 000345 0 -326158
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 326158413204281 20660214 154951605 -154951605 000335 0 130463420660214 413204281 154951605 -154951605 -000297 0 -00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000345 0 326158-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -326158
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Figura 42-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p60
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 5 CONCLUSIONES
Como se ha visto en los capiacutetulos anteriores hay mucho potencial en
anaacutelisis estructural asistido por computadoras caacutelculos que en el
pasado se realizaban en diacuteas hoy se ejecutan en al instante asimismo
modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de
variables que habiacutea que evaluar ahora se llevan a cabo con hacer un
solo clic Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto la creatividad y la loacutegica del calculista
Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el
sentido de hacer comprensible el anaacutelisis de estructuras se ha dado
solamente una idea de la implementacioacuten en programas de
computacioacuten pero obviamente queda en la imaginacioacuten del lector la
gama de posibilidades para crear un programa maacutes faacutecil maacutes completo
en un lenguaje maacutes apropiado etc
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
KREYSZIG Edwin Matemaacuteticas Avanzadas para Ingenieriacutea Vol 1
Limusa Meacutexico 2003
MORA F Walter y Joseacute Luis Espinoza B Programacioacuten en Visual Basic
(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
-
- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
-
- 34113
- 34213
-
- CAPIacuteTULO 4
-
- 4113
- 4213
-
- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
-
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p55
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Figura 41-5
Figura 41-6
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p56
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las reacciones finales en cada elemento son
6 mts
97551 Ton 142449 Ton
0 Ton-m 134697 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-7
4 mts
107045 Ton 26515 Ton
26515 Ton-m134697 Ton-m w = 4 Tonm
Figura 41-8
3 mts
68838 Ton 51162 Ton
26515 Ton-m 0 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-9
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p57
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ejemplo 2
w = 4 Tonm
w = 45 Tonm
200 200
200 200
350
300
100900
300
350400
2 Ton
I
III
V
II
IV
VI
Figura 41-10 En la siguiente tabla se describen las cinco secciones existentes
para el anaacutelisis
Seccioacuten Dimensiones (m x m) Elasticidad (Tonmsup2) Inercia (m^4)
1 030 x 060 221359436 00054
2 035 x 065 221359436 00080
3 030 x 030 221359436 00007
4 035 x 035 221359436 000135 035 x 040 221359436 00019
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p58
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 41-11 se muestra la configuracioacuten del marco y en la
figura 41-12 se muestran los resultados obtenidos
Figura 41-11
ELEMENTOS LONGITUD SECCIOacuteN θj θK ∆j ∆k Rmj Rmk Rdj Rdk
1 9 1 1 2 2462963 -246296 14 142 9 2 3 4 3017747 -296836 1691598 16584023 35 3 1 3 6 74 35 3 2 4 6 75 3 4 3 76 4 5 4 5 7
Figura 41-12
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES531262647 265631323 88543774 -88543774 -000507 246296296 1111478265631323 531262647 88543774 -88543774 000505 -246296296 -112558288543774 88543774 19676394 -19676394 0 14 1398433
-88543774 -88543774 -19676394 19676394 0 14 1401567788029345 394014672 131338224 -131338224 -000315 301774691 1638717394014672 788029345 131338224 -131338224 00028 -29683642 -2000775131338224 131338224 29186272 -29186272 0 169159808 1645882
-131338224 -131338224 -29186272 29186272 0 165840192 1704118170762994 85381497 7318414 -7318414 -000507 0 -111147885381497 170762994 7318414 -7318414 -000315 0 -9476957318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 -588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 588335170762994 85381497 7318414 -7318414 000505 0 112558285381497 170762994 7318414 -7318414 00028 0 9335917318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 -588335369086116 184543058 184543058 -184543058 -000315 0 -691022184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -109366184543058 184543058 123028705 -123028705 000256 0 -266796
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 266796413204281 20660214 154951605 -154951605 00028 0 106718420660214 413204281 154951605 -154951605 -000236 0 00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000256 0 266796-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -266796
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p59
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
42 Marcos Planos Con Miembros De Seccioacuten Variable Consideacuterese el ejemplo anterior y toacutemense las mismas cargas
dimensiones materiales etc Ahora supoacutengase las secciones variables
que se muestran en la siguiente figura
030x040
030 x 030
030x060030x060
035 x 040035 x 035
035x045 035x065035x065
030 x 030
Figura 42-1
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES252144434 154064111 45134283 -45134283 -000802 246296296 1666031154064111 252144434 45134283 -45134283 000795 -246296296 -169371545134283 45134283 10029841 -10029841 0 14 1396924
-45134283 -45134283 -10029841 10029841 0 14 1403076402486186 24224607 71636917 -71636917 -000406 301774691 219279524224607 402486186 71636917 -71636917 000335 -29683642 -260543671636917 71636917 15919315 -15919315 0 169159808 1640262
-71636917 -71636917 -15919315 15919315 0 165840192 1709738170762994 85381497 7318414 -7318414 -000802 0 -166603185381497 170762994 7318414 -7318414 -000406 0 -13284867318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 -855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 855576170762994 85381497 7318414 -7318414 000795 0 169371585381497 170762994 7318414 -7318414 000335 0 13008027318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 -855576369086116 184543058 184543058 -184543058 -000406 0 -864309184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -114166184543058 184543058 123028705 -123028705 000345 0 -326158
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 326158413204281 20660214 154951605 -154951605 000335 0 130463420660214 413204281 154951605 -154951605 -000297 0 -00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000345 0 326158-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -326158
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Figura 42-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p60
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 5 CONCLUSIONES
Como se ha visto en los capiacutetulos anteriores hay mucho potencial en
anaacutelisis estructural asistido por computadoras caacutelculos que en el
pasado se realizaban en diacuteas hoy se ejecutan en al instante asimismo
modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de
variables que habiacutea que evaluar ahora se llevan a cabo con hacer un
solo clic Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto la creatividad y la loacutegica del calculista
Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el
sentido de hacer comprensible el anaacutelisis de estructuras se ha dado
solamente una idea de la implementacioacuten en programas de
computacioacuten pero obviamente queda en la imaginacioacuten del lector la
gama de posibilidades para crear un programa maacutes faacutecil maacutes completo
en un lenguaje maacutes apropiado etc
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
KREYSZIG Edwin Matemaacuteticas Avanzadas para Ingenieriacutea Vol 1
Limusa Meacutexico 2003
MORA F Walter y Joseacute Luis Espinoza B Programacioacuten en Visual Basic
(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
-
- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
-
- 34113
- 34213
-
- CAPIacuteTULO 4
-
- 4113
- 4213
-
- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
-
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p56
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Las reacciones finales en cada elemento son
6 mts
97551 Ton 142449 Ton
0 Ton-m 134697 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-7
4 mts
107045 Ton 26515 Ton
26515 Ton-m134697 Ton-m w = 4 Tonm
Figura 41-8
3 mts
68838 Ton 51162 Ton
26515 Ton-m 0 Ton-mw = 4 Tonm
Figura 41-9
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p57
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ejemplo 2
w = 4 Tonm
w = 45 Tonm
200 200
200 200
350
300
100900
300
350400
2 Ton
I
III
V
II
IV
VI
Figura 41-10 En la siguiente tabla se describen las cinco secciones existentes
para el anaacutelisis
Seccioacuten Dimensiones (m x m) Elasticidad (Tonmsup2) Inercia (m^4)
1 030 x 060 221359436 00054
2 035 x 065 221359436 00080
3 030 x 030 221359436 00007
4 035 x 035 221359436 000135 035 x 040 221359436 00019
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p58
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 41-11 se muestra la configuracioacuten del marco y en la
figura 41-12 se muestran los resultados obtenidos
Figura 41-11
ELEMENTOS LONGITUD SECCIOacuteN θj θK ∆j ∆k Rmj Rmk Rdj Rdk
1 9 1 1 2 2462963 -246296 14 142 9 2 3 4 3017747 -296836 1691598 16584023 35 3 1 3 6 74 35 3 2 4 6 75 3 4 3 76 4 5 4 5 7
Figura 41-12
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES531262647 265631323 88543774 -88543774 -000507 246296296 1111478265631323 531262647 88543774 -88543774 000505 -246296296 -112558288543774 88543774 19676394 -19676394 0 14 1398433
-88543774 -88543774 -19676394 19676394 0 14 1401567788029345 394014672 131338224 -131338224 -000315 301774691 1638717394014672 788029345 131338224 -131338224 00028 -29683642 -2000775131338224 131338224 29186272 -29186272 0 169159808 1645882
-131338224 -131338224 -29186272 29186272 0 165840192 1704118170762994 85381497 7318414 -7318414 -000507 0 -111147885381497 170762994 7318414 -7318414 -000315 0 -9476957318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 -588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 588335170762994 85381497 7318414 -7318414 000505 0 112558285381497 170762994 7318414 -7318414 00028 0 9335917318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 -588335369086116 184543058 184543058 -184543058 -000315 0 -691022184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -109366184543058 184543058 123028705 -123028705 000256 0 -266796
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 266796413204281 20660214 154951605 -154951605 00028 0 106718420660214 413204281 154951605 -154951605 -000236 0 00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000256 0 266796-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -266796
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p59
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
42 Marcos Planos Con Miembros De Seccioacuten Variable Consideacuterese el ejemplo anterior y toacutemense las mismas cargas
dimensiones materiales etc Ahora supoacutengase las secciones variables
que se muestran en la siguiente figura
030x040
030 x 030
030x060030x060
035 x 040035 x 035
035x045 035x065035x065
030 x 030
Figura 42-1
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES252144434 154064111 45134283 -45134283 -000802 246296296 1666031154064111 252144434 45134283 -45134283 000795 -246296296 -169371545134283 45134283 10029841 -10029841 0 14 1396924
-45134283 -45134283 -10029841 10029841 0 14 1403076402486186 24224607 71636917 -71636917 -000406 301774691 219279524224607 402486186 71636917 -71636917 000335 -29683642 -260543671636917 71636917 15919315 -15919315 0 169159808 1640262
-71636917 -71636917 -15919315 15919315 0 165840192 1709738170762994 85381497 7318414 -7318414 -000802 0 -166603185381497 170762994 7318414 -7318414 -000406 0 -13284867318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 -855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 855576170762994 85381497 7318414 -7318414 000795 0 169371585381497 170762994 7318414 -7318414 000335 0 13008027318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 -855576369086116 184543058 184543058 -184543058 -000406 0 -864309184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -114166184543058 184543058 123028705 -123028705 000345 0 -326158
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 326158413204281 20660214 154951605 -154951605 000335 0 130463420660214 413204281 154951605 -154951605 -000297 0 -00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000345 0 326158-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -326158
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Figura 42-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p60
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 5 CONCLUSIONES
Como se ha visto en los capiacutetulos anteriores hay mucho potencial en
anaacutelisis estructural asistido por computadoras caacutelculos que en el
pasado se realizaban en diacuteas hoy se ejecutan en al instante asimismo
modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de
variables que habiacutea que evaluar ahora se llevan a cabo con hacer un
solo clic Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto la creatividad y la loacutegica del calculista
Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el
sentido de hacer comprensible el anaacutelisis de estructuras se ha dado
solamente una idea de la implementacioacuten en programas de
computacioacuten pero obviamente queda en la imaginacioacuten del lector la
gama de posibilidades para crear un programa maacutes faacutecil maacutes completo
en un lenguaje maacutes apropiado etc
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
KREYSZIG Edwin Matemaacuteticas Avanzadas para Ingenieriacutea Vol 1
Limusa Meacutexico 2003
MORA F Walter y Joseacute Luis Espinoza B Programacioacuten en Visual Basic
(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
-
- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
-
- 34113
- 34213
-
- CAPIacuteTULO 4
-
- 4113
- 4213
-
- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
-
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p57
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
Ejemplo 2
w = 4 Tonm
w = 45 Tonm
200 200
200 200
350
300
100900
300
350400
2 Ton
I
III
V
II
IV
VI
Figura 41-10 En la siguiente tabla se describen las cinco secciones existentes
para el anaacutelisis
Seccioacuten Dimensiones (m x m) Elasticidad (Tonmsup2) Inercia (m^4)
1 030 x 060 221359436 00054
2 035 x 065 221359436 00080
3 030 x 030 221359436 00007
4 035 x 035 221359436 000135 035 x 040 221359436 00019
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p58
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 41-11 se muestra la configuracioacuten del marco y en la
figura 41-12 se muestran los resultados obtenidos
Figura 41-11
ELEMENTOS LONGITUD SECCIOacuteN θj θK ∆j ∆k Rmj Rmk Rdj Rdk
1 9 1 1 2 2462963 -246296 14 142 9 2 3 4 3017747 -296836 1691598 16584023 35 3 1 3 6 74 35 3 2 4 6 75 3 4 3 76 4 5 4 5 7
Figura 41-12
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES531262647 265631323 88543774 -88543774 -000507 246296296 1111478265631323 531262647 88543774 -88543774 000505 -246296296 -112558288543774 88543774 19676394 -19676394 0 14 1398433
-88543774 -88543774 -19676394 19676394 0 14 1401567788029345 394014672 131338224 -131338224 -000315 301774691 1638717394014672 788029345 131338224 -131338224 00028 -29683642 -2000775131338224 131338224 29186272 -29186272 0 169159808 1645882
-131338224 -131338224 -29186272 29186272 0 165840192 1704118170762994 85381497 7318414 -7318414 -000507 0 -111147885381497 170762994 7318414 -7318414 -000315 0 -9476957318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 -588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 588335170762994 85381497 7318414 -7318414 000505 0 112558285381497 170762994 7318414 -7318414 00028 0 9335917318414 7318414 41819509 -41819509 000288 0 588335
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000256 0 -588335369086116 184543058 184543058 -184543058 -000315 0 -691022184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -109366184543058 184543058 123028705 -123028705 000256 0 -266796
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 266796413204281 20660214 154951605 -154951605 00028 0 106718420660214 413204281 154951605 -154951605 -000236 0 00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000256 0 266796-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -266796
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p59
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
42 Marcos Planos Con Miembros De Seccioacuten Variable Consideacuterese el ejemplo anterior y toacutemense las mismas cargas
dimensiones materiales etc Ahora supoacutengase las secciones variables
que se muestran en la siguiente figura
030x040
030 x 030
030x060030x060
035 x 040035 x 035
035x045 035x065035x065
030 x 030
Figura 42-1
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES252144434 154064111 45134283 -45134283 -000802 246296296 1666031154064111 252144434 45134283 -45134283 000795 -246296296 -169371545134283 45134283 10029841 -10029841 0 14 1396924
-45134283 -45134283 -10029841 10029841 0 14 1403076402486186 24224607 71636917 -71636917 -000406 301774691 219279524224607 402486186 71636917 -71636917 000335 -29683642 -260543671636917 71636917 15919315 -15919315 0 169159808 1640262
-71636917 -71636917 -15919315 15919315 0 165840192 1709738170762994 85381497 7318414 -7318414 -000802 0 -166603185381497 170762994 7318414 -7318414 -000406 0 -13284867318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 -855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 855576170762994 85381497 7318414 -7318414 000795 0 169371585381497 170762994 7318414 -7318414 000335 0 13008027318414 7318414 41819509 -41819509 000413 0 855576
-7318414 -7318414 -41819509 41819509 000345 0 -855576369086116 184543058 184543058 -184543058 -000406 0 -864309184543058 369086116 184543058 -184543058 0 0 -114166184543058 184543058 123028705 -123028705 000345 0 -326158
-184543058 -184543058 -123028705 123028705 0 0 326158413204281 20660214 154951605 -154951605 000335 0 130463420660214 413204281 154951605 -154951605 -000297 0 -00
154951605 154951605 77475803 -77475803 000345 0 326158-154951605 -154951605 -77475803 77475803 0 0 -326158
ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Figura 42-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p60
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 5 CONCLUSIONES
Como se ha visto en los capiacutetulos anteriores hay mucho potencial en
anaacutelisis estructural asistido por computadoras caacutelculos que en el
pasado se realizaban en diacuteas hoy se ejecutan en al instante asimismo
modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de
variables que habiacutea que evaluar ahora se llevan a cabo con hacer un
solo clic Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto la creatividad y la loacutegica del calculista
Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el
sentido de hacer comprensible el anaacutelisis de estructuras se ha dado
solamente una idea de la implementacioacuten en programas de
computacioacuten pero obviamente queda en la imaginacioacuten del lector la
gama de posibilidades para crear un programa maacutes faacutecil maacutes completo
en un lenguaje maacutes apropiado etc
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
KREYSZIG Edwin Matemaacuteticas Avanzadas para Ingenieriacutea Vol 1
Limusa Meacutexico 2003
MORA F Walter y Joseacute Luis Espinoza B Programacioacuten en Visual Basic
(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
-
- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
-
- 34113
- 34213
-
- CAPIacuteTULO 4
-
- 4113
- 4213
-
- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
-
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p58
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
En la figura 41-11 se muestra la configuracioacuten del marco y en la
figura 41-12 se muestran los resultados obtenidos
Figura 41-11
ELEMENTOS LONGITUD SECCIOacuteN θj θK ∆j ∆k Rmj Rmk Rdj Rdk
1 9 1 1 2 2462963 -246296 14 142 9 2 3 4 3017747 -296836 1691598 16584023 35 3 1 3 6 74 35 3 2 4 6 75 3 4 3 76 4 5 4 5 7
Figura 41-12
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES531262647 265631323 88543774 -88543774 -000507 246296296 1111478265631323 531262647 88543774 -88543774 000505 -246296296 -112558288543774 88543774 19676394 -19676394 0 14 1398433
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ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p59
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
42 Marcos Planos Con Miembros De Seccioacuten Variable Consideacuterese el ejemplo anterior y toacutemense las mismas cargas
dimensiones materiales etc Ahora supoacutengase las secciones variables
que se muestran en la siguiente figura
030x040
030 x 030
030x060030x060
035 x 040035 x 035
035x045 035x065035x065
030 x 030
Figura 42-1
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES252144434 154064111 45134283 -45134283 -000802 246296296 1666031154064111 252144434 45134283 -45134283 000795 -246296296 -169371545134283 45134283 10029841 -10029841 0 14 1396924
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ELEMENTO4
ELEMENTO5
ELEMENTO6
MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Figura 42-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p60
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 5 CONCLUSIONES
Como se ha visto en los capiacutetulos anteriores hay mucho potencial en
anaacutelisis estructural asistido por computadoras caacutelculos que en el
pasado se realizaban en diacuteas hoy se ejecutan en al instante asimismo
modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de
variables que habiacutea que evaluar ahora se llevan a cabo con hacer un
solo clic Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto la creatividad y la loacutegica del calculista
Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el
sentido de hacer comprensible el anaacutelisis de estructuras se ha dado
solamente una idea de la implementacioacuten en programas de
computacioacuten pero obviamente queda en la imaginacioacuten del lector la
gama de posibilidades para crear un programa maacutes faacutecil maacutes completo
en un lenguaje maacutes apropiado etc
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
KREYSZIG Edwin Matemaacuteticas Avanzadas para Ingenieriacutea Vol 1
Limusa Meacutexico 2003
MORA F Walter y Joseacute Luis Espinoza B Programacioacuten en Visual Basic
(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
-
- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
-
- 34113
- 34213
-
- CAPIacuteTULO 4
-
- 4113
- 4213
-
- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
-
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p59
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
42 Marcos Planos Con Miembros De Seccioacuten Variable Consideacuterese el ejemplo anterior y toacutemense las mismas cargas
dimensiones materiales etc Ahora supoacutengase las secciones variables
que se muestran en la siguiente figura
030x040
030 x 030
030x060030x060
035 x 040035 x 035
035x045 035x065035x065
030 x 030
Figura 42-1
REACCIONES EN LOS
NUDOS
VECTOR DE CARGAS
REACCIONES
FINALES252144434 154064111 45134283 -45134283 -000802 246296296 1666031154064111 252144434 45134283 -45134283 000795 -246296296 -169371545134283 45134283 10029841 -10029841 0 14 1396924
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ELEMENTO4
ELEMENTO5
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MATRICES DE ELEMENTOS
ELEMENTO1
ELEMENTO2
ELEMENTO3
Figura 42-2
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p60
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 5 CONCLUSIONES
Como se ha visto en los capiacutetulos anteriores hay mucho potencial en
anaacutelisis estructural asistido por computadoras caacutelculos que en el
pasado se realizaban en diacuteas hoy se ejecutan en al instante asimismo
modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de
variables que habiacutea que evaluar ahora se llevan a cabo con hacer un
solo clic Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto la creatividad y la loacutegica del calculista
Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el
sentido de hacer comprensible el anaacutelisis de estructuras se ha dado
solamente una idea de la implementacioacuten en programas de
computacioacuten pero obviamente queda en la imaginacioacuten del lector la
gama de posibilidades para crear un programa maacutes faacutecil maacutes completo
en un lenguaje maacutes apropiado etc
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
KREYSZIG Edwin Matemaacuteticas Avanzadas para Ingenieriacutea Vol 1
Limusa Meacutexico 2003
MORA F Walter y Joseacute Luis Espinoza B Programacioacuten en Visual Basic
(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
-
- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
-
- 34113
- 34213
-
- CAPIacuteTULO 4
-
- 4113
- 4213
-
- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
-
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p60
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
CAPIacuteTULO 5 CONCLUSIONES
Como se ha visto en los capiacutetulos anteriores hay mucho potencial en
anaacutelisis estructural asistido por computadoras caacutelculos que en el
pasado se realizaban en diacuteas hoy se ejecutan en al instante asimismo
modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de
variables que habiacutea que evaluar ahora se llevan a cabo con hacer un
solo clic Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto la creatividad y la loacutegica del calculista
Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el
sentido de hacer comprensible el anaacutelisis de estructuras se ha dado
solamente una idea de la implementacioacuten en programas de
computacioacuten pero obviamente queda en la imaginacioacuten del lector la
gama de posibilidades para crear un programa maacutes faacutecil maacutes completo
en un lenguaje maacutes apropiado etc
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
KREYSZIG Edwin Matemaacuteticas Avanzadas para Ingenieriacutea Vol 1
Limusa Meacutexico 2003
MORA F Walter y Joseacute Luis Espinoza B Programacioacuten en Visual Basic
(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
-
- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
-
- 34113
- 34213
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- CAPIacuteTULO 4
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- 4113
- 4213
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- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
-
Leonel Ivaacuten Miranda Meacutendez ndash Anaacutelisis Estructural de Marcos Planos en Excel p61
Universidad Autoacutenoma de Zacatecas ldquoFrancisco Garciacutea Salinasrdquo
REFERENCIAS
CAMBA C Joseacute Luis Francisco Chacoacuten G y Francisco Peacuterez A
Apuntes de Anaacutelisis Estructural UNAM Meacutexico
CELIGUumlETA Juan Tomaacutes Curso de Anaacutelisis Estructural EUNSA San
Sebastiaacuten 1998
FALCONIacute Roberto Aguilar Anaacutelisis Matricial de Estructuras ESPE
Ecuador 2004
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Limusa Meacutexico 2003
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(VBA) para Excel y Anaacutelisis Numeacuterico Escuela de Matemaacuteticas del
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica Costa Rica 2005
- IacuteNDICE
- INTRODUCCIOacuteN
- CAPIacuteTULO 1
-
- 1113
- 1213
- 1313
-
- CAPIacuteTULO 2
-
- 2113
- 2213
- 2313
-
- CAPIacuteTULO 3
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- 3113
- 3213
- 3313
- 3413
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- 34113
- 34213
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- CAPIacuteTULO 4
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- 4113
- 4213
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- CAPIacuteTULO 5
- REFERENCIAS
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