ANÁLISIS DIMENSIONAL

I.- INTRODUCCIÓN.La planificación experimental es fundamental en la investigación científica. A la misma

puede ayudar el conocimiento del Análisis Dimensional. Esta herramienta sencilla, pero que impregna toda la Física, se basa en los conceptos de medida de una magnitud física y de las dimensiones asociadas con ella, una vez fijada una base de magnitudes fundamentales para una determinada teoría física.

El análisis dimensional es un método para verificar ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos. A partir del análisis dimensional se obtienen una serie de grupos adimensionales, que van a permitir utilizar los resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en casos en que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se tuvieron durante los experimentos. La importancia del análisis dimensional viene dada por la dificultad del establecimiento de ecuaciones en determinados flujos, además de la dificultad de su resolución, siendo imposible obtener relaciones empíricas y teniendo que recurrir al método experimental. Es importante considerar que si en un experimento en un modelo (a escala geométrica del prototipo), se pueden obtener las escalas cinemáticas (relaciones de velocidades) y las escalas dinámicas (relaciones de fuerzas), los resultados adimensionales que se obtienen para el modelo son también válidos para el prototipo.

Uno de dichos usos está basado en el requerimiento de consistencia dimensional. Este requerimiento está relacionado con la 2da Ley de Newton: cuando se describen magnitudes mecánicas, el conjunto de magnitudes que se utilice puede ser arbitrario; sin embargo existen dos tipos de sistemas de magnitudes, los consistentes y los no consistentes. Se dirá que un sistema de magnitudes es consistente si las magnitudes que lo define verifican la siguiente propiedad:

[F] = [M][A], donde los corchetes indican la magnitud. Para que un sistema pueda ser utilizado en la mecánica, este debe ser consistente.

“Julián Martínez de la Calle

Área de Mecánica de Fluidos

Gijón noviembre 2004”

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II.- OBJETIVOS.

2.1.- OBJETIVO GENERAL.

Identificar que el análisis dimensional es muy importante para la demostración de algunos números adimensionales, para relacionar las variables existentes en un problema utilizando el método de PI de Buckingham.

2.2.- OBJETIVOS ESPECIFICOS. Demostrar que el análisis dimensional puede aplicarse a cualquier problema en

el que intervenga el flujo de un fluido y utilizarse para simplificar la expresión de la dependencia entre las propiedades importantes del flujo mediante las variables del flujo.

El uso del teorema de Buckingham. Para obtener una función adimensional a partir de partir de la ecuación dimensional.

Como deducir información útil a partir de los experimentos con el modelo. Un estudio de las fuerzas ascensionales o de sustentación que obran sobre los

cuerpos sumergidos en un flujo.

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III.- MARCO TEÓRICO. 3. ANÁLISIS DIMENSIONAL. El análisis dimensional es un método para verificar ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos. A partir del análisis dimensional se obtienen una serie de grupos adimensionales, que van a permitir utilizar los resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en casos en que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se tuvieron durante los experimentos. La importancia del análisis dimensional viene dada por la dificultad del establecimiento de ecuaciones en determinados flujos, además de la dificultad de su resolución, siendo imposible obtener relaciones empíricas y teniendo que recurrir al método experimental. Es importante considerar que si en un experimento en un modelo (a escala geométrica del prototipo), se pueden obtener las escalas cinemáticas (relaciones de velocidades) y las escalas dinámicas (relaciones de fuerzas), los resultados adimensionales que se obtienen para el modelo son también válidos para el prototipo.

3.1. HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL. En toda ecuación física, cada término deberá tener las mismas dimensiones: la

ecuación debe ser dimensionalmente homogénea; además la división de todos los términos por uno cualquiera de ellos, haría la ecuación adimensional, y cada cociente sería un grupo adimensional. Las dimensiones de las magnitudes empleadas normalmente en Mecánica de Fluidos, incluyen sólo una o más de las siguientes 4 dimensiones: M (masa), L (longitud), T (tiempo) y T (temperatura):

Longitud [l] = L entropía [s] = M L2 T-2 T-1

Calor especifico [c] = L2 T-2 T-1

Conductividad térmica >N] = M L T-3 T-1

Caudal volumétrico [Q] = L3 T-1

Caudal másico [m] = M T-1

Energía, entalpía [E] = M L2 T-2

Viscosidad absoluta [P] = M L-1 T-1

Viscosidad cinemática [Q] = L2 T-1

Tensión superficial [V] = M T-2

Compresibilidad [K] = M L-1 T2

Potencia [W] = M L2 T-3

Área [A] = L2

Volumen [V] = L3

Momento de inercia [I] = L4

Velocidad [v] = L T-1

Aceleración [a] = L T-2

Velocidad angular [Z] = T-1

Aceleración angular [D] = T-2

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Densidad [U] = M L-3 Volumen especifico [v] = L3 M-1

3.2.-Teorema π de Vaschy-Buckingham.El Teorema de Π (pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del análisis dimensional. El teorema establece que dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de k cantidades físicas dimensionalmente independientes, entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n - k números adimensionales construidos con las variables originales.

Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida. De todas formas la elección de parámetros adimensionales no es única y el teorema no elige cuáles tienen significado físico. Si tenemos una ecuación física que refleja la relación existente entre las variables que intervienen en un cierto problema debe existir una función f tal que:

(a)

En donde Ai  son la n variable o magnitudes físicas relevantes, y se expresan en términos de k  unidades físicas independientes. Entonces la anterior ecuación se puede reescribir como:

En donde   son los parámetros adimensionales construidos de n − k  ecuaciones de la forma:

En donde los exponentes mi  son números enteros. El número de términos adimensionales construidos n - k es igual a la nulidad de la matriz dimensional en donde k es el rango de la matriz. La notación de πi como parámetros adimensionales fue introducida por Edgar Buckingham en su artículo de 1914, de ahí el nombre del teorema. No obstante, la autoría del mismo debe adscribirse a Aimé Vaschy, quien lo enunció en 1892.

Aplicación practica del teorema Dado un problema a estudio, deben seguirse los siguientes pasos: Identificar todas las magnitudes físicas existentes en el modelo Elegir las magnitudes física más relevantes en función de aquellos aspectos que se quieren analizar en el modelo. Este paso requiere un profundo conocimiento del comportamiento

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físico. Habrá que pensar en las posibles restricciones del problema y la posibilidad, o no, de que pueda variar las diferentes magnitudes físicas de forma independiente. Si estudiamos el peso de un objeto P = ρgV, solo podemos actuar sobre dos parámetros, la masa ρ y el volumen V, a no ser que seamos capaces de cambiar la gravedad. Incluso puede ser posible que no podamos variar la masa, como puede ser el caso de un modelo hidráulico donde la existencia de un volumen de agua importante en circulación no pueda sustituirse por otro fluido. Expresar las n magnitudes físicas del problema en función del conjunto de variables fundamentales {[M][L][T][θ]} ´o {[F][L][T][θ]}, donde [M] es masa, [L] longitud [T], tiempo, [θ] temperatura y [F] es fuerza. Seleccionar dentro de las magnitudes físicas más relevantes, el conjunto linealmente independiente de dimensión k sobre el que se expresaran las demás (j = n − k) variables como monomios adimensionales. Calcular los Πj monomios adimensionales. Para ello basta con trabajar sobre una matriz con todas las magnitudes físicas del problema, e ir realizando transformaciones hasta conseguir que las k magnitudes elegidas como fundamentales formen una matriz unitaria. Los coeficientes asociados al resto de las j variables son las potencias que las relacionan a esas k magnitudes. Comprobar la adimensional dad de los monomios para evitar posibles errores. Expresar los monomios en función de la magnitud que se ha considerado como relevante. Si esta es Π1: Π1 = φ (Π2, . . . , Πn−k).

3.3.-MODELACIÓN HIDRÁULICAMuchos de los fenómenos que ocurren en la naturaleza y dentro del campo de la

hidráulica son tan complejos que no es fácil tratarlos únicamente con métodos matemáticos.  Por lo anterior es conveniente recurrir al empleo de técnicas experimentales, como herramienta en la obtención de soluciones prácticas, aplicadas a problemas de ingeniería, estuarios, fluvial y obras hidráulicas en general. Algunas de las aplicaciones más comunes se presentan en: estudios de propagación de oleaje, acción de mareas y corrientes, movimiento de sedimentos, estabilidad de estructuras sujetas a la acción del oleaje, efecto de estructuras en protección de playas, acción del oleaje sobre embarcaciones atracadas o en movimiento, propagación de mareas, funcionamiento de estuarios, erosión y sedimentación de cauces, control de avenidas, obras de toma, cárcamos de bombeo, vertederos, conducción de agua a presión, difusión térmica y desechos, etc. Los métodos matemáticos plantean soluciones con modelos matemáticos idealizados, lo que permite simplificaciones importantes, que a su vez causan efectos que deben ser valorados mediante ensayos experimentales, a través de modelos físicos a escala reducida o de tipo analógico.  En hidráulica, el término modelo corresponde a un sistema que simula un objeto real llamado prototipo, mediante la entrada de cierta información se procesa y se presenta adecuada para emplearse en

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el diseño y operación de obras de ingeniería civil.  Un modelo físico a escala reducida es una representación a escala del objeto real o prototipo, y cumple ciertas condiciones matemáticas definidas.

“Mecánica de fluidos e hidráulica, Schaum

Giles Ranald v., Liu Cheng, Evett Jack B.

Pg. 93-96”.

En la actualidad se dispone de técnicas avanzadas de modelación física de fenómenos hidráulicos que, unidas al desarrollo de instrumento de medición y equipos generadores de fenómenos a escala, permiten predecir con alto grado de certidumbre lo que pueda ocurrir en el prototipo y, por tanto, se obtienen óptimos resultados en los aspectos de funcionalidad, estabilidad y economía de las estructuras a construir.  Esto justifica ampliamente la utilización de modelos hidráulicos.

El empleo de un modelo hidráulico implica establecer un programa definido de investigación experimental sobre todas las variables que intervienen, en forma particular o en grupo.  Lo anterior se hace para poder verificar en su caso la validez de soluciones analíticas de un problema dado, o determinar las leyes de relación entre las diferentes variables que, extrapoladas al prototipo, permitan optimizar la eficiencia de cada uno de los elementos del sistema modelo-prototipo.  En ciertas etapas del programa y cuando el problema se puede describir con suficiente detalle utilizando modelos matemáticos, éstos se emplean complementariamente con resultados satisfactorios. 

3.4.-MODELOS MATEMÁTICOS.El conjunto de hipótesis y relaciones de las variables que describen un fenómeno,

constituyen unos modelos matemático (ecuaciones), que conduce a un problema matemático que es necesario resolver mediante apropiadas técnicas. 

  En la mayoría de los casos las ecuaciones que rigen los fenómenos físicos a considerar no pueden resolverse analíticamente, por lo que es necesario utilizar métodos aproximados mediante un proceso de computación, siendo los más utilizados los métodos de elementos finitos y el de diferencia finitas.  El primero hace discreto el medio en que tiene lugar el fenómeno en estudio utilizando comúnmente una red de triángulos, mientras que el segundo utiliza una red de rectángulos, que es menos complicada, y proporciona una descripción suficiente de los contornos.  La esencia de éste método de diferencia finitas, es sustituir los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales que rigen el fenómeno en estudio, por sistemas de ecuaciones algebraicas

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proporcionando valores en los puntos de la malla mediante la solución de métodos explícitos e implícitos.

  La precisión de los modelos matemáticos está íntimamente ligada a su costo de explotación, por lo que deben tomarse en cuenta los siguientes factores: exactitud de los datos iniciales, tipo de fenómeno a estudiar, exactitud de las ecuaciones que rigen el fenómeno, forma de aproximar las ecuaciones y evolución del modelo.

“SeverianoF.PérezRemesal, CarlosRenedoEstébanez DPTO.DEINGENIERÍAELÉCTRICA YENERGÉTICA”

3.5.-MODELOS ANÁLOGOS.Dos fenómenos físicos de diferente naturaleza se llaman analógicos si las

ecuaciones que los describen se expresan con formas matemáticas idénticas, aun cuando los símbolos de cada una de ella tengan significado diferente.  Es común que uno de los dos fenómenos sea de menor dificultad, por lo que éste se emplea para resolver el otro. Lo anterior ofrece una posibilidad de resolver problemas hidráulicos a base de mediciones hechas sobre un  fenómeno análogo, siendo los más comunes:

          Analogía entre un flujo a través de medios permeables y flujo laminar en capas delgadas (modelos de Hele-Shaw).

          Analogía entre flujo laminar y flujo turbulento.

          Analogía entre un flujo a través de medios permeables y la deformación de una placa elástica bajo carga.

          Analogía eléctrica y otros fenómenos físicos (como hidráulicos, mecánicos, etc.).

3.6.-MODELOS FÍSICOS REDUCIDOS.El uso de modelos físicos a escala reducida, llamados simplemente modelos

hidráulicos, implica que éstos deben ser semejantes al prototipo, para lo cual debe satisfacerse las leyes de similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica, que en conjunto relacionan magnitudes físicas homólogas definidas entre ambos sistemas. Cuando se va a realizar una comparación con respecto a la similitud geométrica se definen puntos homólogos sobre los cuales se definen magnitudes tales como velocidad, presión, etc.; de igual manera se definen lados, superficies y volúmenes homólogos.  La similitud

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geométrica implica una relación constante para cualquier longitud L, esta relación es denominada escala de líneas de longitudes.

  Cuando la comparación entre el prototipo y modelo es con respecto a un movimiento, se establece entonces la similitud cinemática; ésta se cumple cuando los patrones la forma de los patrones de flujos homólogos son iguales en cualquier tiempo, es decir, hay similitud en el movimiento de los sistemas.  Es por esto que la relación de velocidades entre estos puntos debe ser constante y es denominada escala de velocidades.  Es un requisito que se cumpla con la similitud geométrica para que se cumpla la similitud cinemática. El movimiento de un fluido en el modelo y el en el prototipo, para que sea similar en forma completa, no es suficiente con que se cumpla con las similitudes geométrica y cinemática, también es necesario tomar en consideración la acción de fuerzas sobre las partículas de un fluido, tales como fricción, tensión superficial, gravedad o peso, fuerzas de inercia, de Coriolis, etc.  Lo anterior implica que la relación de fuerzas homólogas también debe ser constante, estableciéndose así la escala dinámica de fuerzas.  

 

En el diseño de estructura hidráulicas comunes se ha determinado cuales son los factores típicos que gobiernan su comportamiento y por lo tanto su modelación y diseño.  A continuación se presentan algunos ejemplos:

3.7.-TIPO DE ESTRUCTURA FACTORES DE DISEÑO TÍPICOS

1. ESTRUCTURAS DE CONTROL          Descarga, niveles de agua,

            a. Tomas                                             velocidades, pérdidas, presión

            b. Muros de Contención                    (fuerzas), vibraciones, inestabilidades,

            c. Compuertas                                   vórtices, demanda de aire, sedimentos,

            d. Ataguías                                         hielo, cavitación, oleaje,

            e. Divisorias de Aguas                    patrones de flujo.

 

2. CONDUCCIÓN                                        Descarga, niveles de agua,

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            a. Vertederos                                    velocidades, pérdidas, entrada

            b. Canales                                        de aire, cavitación.

            c. Túneles

3. DISIPADORES DE ENERGÍA               Niveles de agua, pérdidas,

            a. Ampliaciones Abruptas               presión, vibración, demanda de aire,

            b. Difusores                                    cavitación, abrasión, oleaje.

            c. Pantallas. “Carpóforo Olivares, Alfredo De león.EMBALSES, Obras

Hidráulicas “

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Las obras modeladas se encuentran incluidas dentro del proyecto de sistematización del cauce del río Suquía, el cual comprende la reparación y readecuación del cauce principal y su llanura de inundación. Este modelo físico hidráulico es de tipo tridimensional con semejanza de Froude ejecutado en escala no distorsionada de longitudes 1:40, permitiendo analizar el tramo

1.1 UNA PRESA MIXTA

De concreto que incluye casa de máquinas y vertederos, y un segundo tramo de enrocado con núcleo de arcilla.

TRASVASE BENEFICIARÁ A MÁS DE 2 MIL PERSONAS

El túnel de trasvase de la Laguna de TAIGUAIGUAI beneficiará a más de dos mil personas del Valle TUCUTUNEMO, Municipio Zamora, estado Aragua, quienes podrán utilizar el agua en diversos sistemas de riego para mejorar su calidad de vida.

“Edsger Dijkstra (marzo de 1968). «Go To Statement Considered Harmful»”.

V.-Conclusiones.

Se determinó que en este fenómeno los parámetros que intervienen son: fuerza, velocidad, volumen, tiempo, altura).

Se conoció sobre en teorema de Buckingham (teorema Π) con el cual se determinó que unidades básicas son longitud (L), tiempo (T), masa (M) y que las variables fijas en este ejercicio son fluido (densidad), geométrica (altura, volumen), cinemática (velocidad, tiempo).

Concluimos que no siempre se puede lo que se está analizando construir (prototipo) por su tamaño o por sus condiciones por lo cual se utiliza un modelo a escala (geométricamente semejantes) y que sus parámetros de análisis pueden servir para el prototipo esto se lo realiza mediante el teoría de modelos (semejanza).

 Justificamos los parámetros encontrados en el ejercicio 5.60 de WHITE el cual se ha basado para la solución del problema en el TEOREMA DE BUCKINGHAM y la TEORÍA DE MODELOS.

Se concluyó que el análisis dimensional es muy importante ya que con este análisis se puede verificar una ecuación y obtener ecuaciones adimensionales los cuales nos sirven para poder experimentar con parámetros distintos a los iniciales.

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VI.- Recomendaciones.

Establecer correctamente los parámetros que interviene en el fenómeno. Reconocer las variables fijas correctamente.

Tener presente siempre las magnitudes independientes: masa, tiempo, longitud, temperatura.

VII.- Bibliografía.http://www.monografias.com/trabajos90/

analisis-experimental/analisis-experimental.shtml

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