análisis de sistemas lineales “respuesta de un sistema por transformada de laplace” ing. rafael...

Análisis de Sistemas Lineales

“Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace”

Ing. Rafael A. Díaz Chacón

ASL/RAD/2001

Respuesta de un Sistema por Transformada de Laplace

Representación General

ASL/RAD/2001

Sistema Lineal e Invariante en Tiempo

(LIT)

x(t) L{x(t)}=X(s)

En general

y(t) = (x(t))

Al aplicar Transformada de Laplace L, a esta ecuación queda Y(s)= L{ (x(t))} entonces el objetivo es estudiar

esa ecuación en el plano s

y(t) L{y(t)}=Y(s)

Definición de Transformada de Laplace

ASL/RAD/2001


)()(21

)(

Laplace de l UnilateradaTransforma-anti lay

)()()(

Laplace de l UnilateradaTransforma la define se manera igual De

)()(21

)(

aser Laplace de Bilateral daTransforma-anti la que mientras

)()()(

aser Laplace de Bilateral daTransformasu )(n ofunci una Dada

0

sXdsesXj

tx

dtetxsXtx

sXdsesXj

tx

dtetxsXtx

tx

U

j

j

stU

stU

B

j

j

stB

stB

Propiedades de Interés

ASL/RAD/2001


Se usara el operador para denotar la transformacion

mientras que el operador se usara para denotar la anti - transformacion

Algunas propiedades de interes seran

1) Linealidad

2) Desplazamiento en Tiempo

3) Desplazamiento en Frecuencia

( ) { ( )}

( ) { ( )}

{ * ( ) * ( )} * ( ) * ( )

{ ( ) ( )} ( )

{

L

X s L x t

L

x t L X s

L a x t b x t a X s b X s

L x t u t e X s

L e

U

U

s

at

1

1

1 2 1 2

0

x t X s a

L x ataXs

a

( )} ( )

{ ( )}

4) Escalamiento en Tiempo y Frecuencia

1


ASL/RAD/2001


5) Diferenciacion en Tiempo

particularmente

( )* ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ...

( )

( )( ) ( ) ( )

( )

Ldx t

dts X s x

Ld x t

dts X s s x s x

d x t

dt

Ld x t

dts X s sx x

Ld x t

dts

n

nn n n

n

n

t

0

0 0

0 0

1 21

1

0

2

22

3

33

X s s x sx x

L x dX s

s

L x dX s

sx d

t

t

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

2

0

0

0 0 0

6) Integracion en Tiempo


ASL/RAD/2001


7) Diferenciacion en Frecuencia

8) Integracion en Frecuencia

9) Convolucion en Tiempo

10) Convolucion en Frecuencia

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( )

L tx tdX s

ds

L t x td X s

ds

Lx t

tX u du

L x t x t L x x t d X s X s

L x t x tjX s X

n nn

n

s

1

1

2

1 2 1 2 1 2

1 2 1

2 1 2

1

2( )) ( ) ( )s

jX u X s u du

c j

c j

Algunos pares Transformados de Interés

ASL/RAD/2001


1

2

3

4

5

0

2 2

2 2

0) ( )

) ( )

) ( )

) cos( ) ( )

) sen( ) ( )

A t t Ae

Au tA

s

Ae u tA

s

A t u tAs

s

A t u tA

s

st

t

6

7

8

92

2 2

2 2

2

23

) cos( ) ( )( )

( )

) sen( ) ( )( )

) ( )

) ( )( )

Ae t u tA s

s

Ae t u tA

s

Atu tA

s

At e u tA

s

t

t

t

Métodos de Anti-Transformación de Laplace

ASL/RAD/2001


1) Integración en el campo complejo.

2) Identificación en una tabla de Transformadas.

2-A) Expansión en Fracciones Parciales.

2-B) Evaluación de Residuos.

Teoremas de Valor Inicial y Valor Final

ASL/RAD/2001


1) Teorema del Valor Inicial.

Si L{x(t)}=X(s) entonces x(0+) =

2) Teorema del Valor Final.

Si L{x(t)}=X(s) entonces

lim sX ss

( )

lim x t lim sX st s

( ) ( )0

Solución de Ecuaciones Diferenciales

ASL/RAD/2001


dy

dtay x t

sY s y aY s X s

Y

Y sX s y

s a

y t LX s y

s aL

X s

s ay L

s a

y t x

( )

[ ( ) ( )] ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

aplicando Transformada de Laplace a ambos lados

la ecuacion diferencial se ha convertido en una ecuacion algebraica,

despejando (s)

entonces, al aplicar anti - Transformada

0

0

00

11 1 1

( ) ( )

*t e y eat at 0

igual solucion a la encontrada al resolver la ecuacion diferencial

por metodos analiticos

Solución de Ecuaciones Diferenciales

ASL/RAD/2001


A partir de la solucion en el plano s

si se conoce ( ), por ejemplo =

de donde

( )( ) ( )

( ) { ( )}

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

Y sX s y

s a

X s X ssL u t

y t LX s y

s aL

s s ay L

s a

y t LC

s

D

s ay e u t

C=a

at

0

1

0 10

1

0

1

1 1 1

1

, ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( )) ( )

sustituyendo

D=a

y taL

s s ay e u t

au t e u t y e u t

y ta

ay e u t

at at at

at

1

1 1 10

10

11 1 0

1

Solución de Ecuaciones Diferenciales (ejemplo)

ASL/RAD/2001


La ecuacion diferencial del sistema sera

se puede escribir como

aplicando Transformada de Laplace

ya que (0 ) = 5, se obtiene

aplicando anti - transformada de Laplace

-

. *( )

( ) ( )

( )* ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( * ) ( )

0 2 100

5 500

0 5500

5005

5

100 95 5

dv t

dtv t u t

dv t

dtv t u t

sV s v V ss

v

V s = ss

v(t)= e u tt

+

-100 v

R= 1 M

+

-

C= 0.2 F

5 v

Solución de Ecuaciones Diferenciales (otro ejemplo)

ASL/RAD/2001


La ecuacion diferencial del sistema

en terminos de la corriente ( ) sera

aplicando Transformada de Laplace se obtiene

sustituyendo los datos del problema

aplicando anti - transformada de Laplace

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )( )( )

(

i t

Ldi t

dtRi t

Ci d v t

I sV s Li

vs

R LsCs

I s =s

s s x

s x

s s x

i(t)= e

t

c

t

1

00

1

6000

5000 4 10

6 10

10 4 10

5

3

2

2 6

3

3 3

1000

34000e u tt ) ( )

+

-100 v

R= 50

+

-

C= 25 F

vc(0-)

t=0+

L= 10 mH

i(t)

Condiciones iniciales

vc(0-) = 40 v

i(0-) = 1 A


ASL/RAD/2001


Un sistema, que esta inicialmente en reposo,

se explica por la ecuacion diferencial

se aplica una señal

Hallar la respuesta a esta excitacion.

Aplicando Transformada de Laplace

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )( )(

d y t

dt

d y t

dt

dy t

dty t x t

en t x t e u t

s s s Y ss

Y ss s s s s s

t

3

3

2

2

3

3 2

3 2

8 37 50

0 4

8 37 504

34

3 8 37 50

4

3 2

s s

Y sA

s

B

s

Cs D

s s

2

2

6 25

3 2 6 25

)

( )


ASL/RAD/2001


Resolviendo para conocer estas constantes resulta

aplicando anti - Transformada

A B C D

y t L Y s LA

s

B

s

Cs D

s s

y t Ae u t Be u t LCs

s sL

D

s

y t Ae u

t t

t

1

4

4

17

1

68

7

68

3 2 6 25

6 9 16 3 4

1 12

3 2 12

12 2

3

, , , ,

( ) { ( )} { }

( ) ( ) ( )( )

( ) (t Be u tDe t u t L

C s C

s

y t Ae u t Be u tD C

e t u t Ce t u t

t t

t t t t

) ( ) sen( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) sen( ) ( ) cos( ) ( )

2 3 12 2

3 2 3 3

44

3 3

3 4

3

44 4

ASL/RAD/2001

Sistema Lineal e Invariante en Tiempo

(LIT)

Inicialmente en reposo

(t) h(t)

En general, se puede escribir

h(t) = ((t)) y(t) = x(t) * h(t)

Aplicando Transformada de Laplace a esta última ecuación

Y(s) = X(s)H(s)

Integral de Convolución


Función de Transferencia

ASL/RAD/2001

cia.Transferen den oFunci o Sistema deln oFunci

como conoce le sen e tambi)s(Hn ofunci laA

).t(h impulsiva respuesta la

de Laplace de daTransforma la es )s(H donde

)s(X

)s(Y)s(H

tienese )s(H despejando


“La Función de Transferencia de un sistema es la relación de las Transformadas de Laplace de la salida y

la entrada, bajo condiciones iniciales iguales a cero”

Función de Transferencia

ASL/RAD/2001


“El conocimiento de la Función de Transferencia de un sistema proporciona un conjunto de informaciones

importantes acerca del sistema que representa”

“El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema proporciona información

acerca de su respuesta natural y de la estabilidad”

ASL/RAD/2001


POLOS: p es un polo de un sistema si H(p)

“El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema es una gráfica en el

plano complejo s donde los ceros se destacan con un símbolo ‘o’ y los polos con un símbolo ‘x’ ”

CEROS: c es un cero de un sistema si H(c) 0

Diagrama de polos y ceros

Diagrama de polos y ceros (ejemplo)

ASL/RAD/2001


Un sistema, que esta inicialmente en reposo,

se explica por la Funcion de Transferencia

los ceros del sistema seran

c c

los polos del sistema seran

p p p p

adicionalmente se puede decir que en

1 2

1 2 3 4

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

,

, , ,

H ss s j

s s s s

H ss s j

s s s j s j

j

j j

5

3 2 6 25

5

3 2 3 4 3 4

5

3 2 3 4 3 4

2

hay un cero doble

Diagrama de polos y ceros (ejemplo)

ASL/RAD/2001


Re(s) =

j Imag(s) =j

1

4

-4

-2-3-5

Sistemas de Primer Orden

ASL/RAD/2001


seránescalón y impulso respuestas las de gráficas las

)t(ue1)t(y )t(ue1

)t(h

1s

1)s(H )t(x)t(y

dt

)t(dy

siguientes ticascaracterís las eorden tienprimer de sistema Un

t

u

t

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

yu(t)

h(t)

= 1

“El parámetro se conoce como

constante de tiempo del sistema”

Sistemas de Segundo Orden

ASL/RAD/2001


1 si )t(uee12

e

1 si )t(ute

10 si )t(ut1sen1

e

)t(h

s2s)s(H )t(x)t(y

dt

)t(dy2

dt

)t(yd

siguientes ticascaracterís las eorden tien segundo de sistema Un

t1t1

2

tn

t-2n

2n2

tn

2nn

2

2n2

n2nn2

2

2n

2n

n

n

n

“El parámetro se conoce como razón de amortiguamiento y el parámetro n como frecuencia natural no amortiguada”


ASL/RAD/2001


serán y de valoresparaescalón y impulso respuestas las de gráficas las

1 si )t(ue)1(e)1(12

e1

1 si )t(u tee-1

10 si )t(ut1cos1t1sen1

e1

)t(y

n

t12t12

2

t

t-n

t-

2n

22n2

t

u

2n

2n

n

nn

n


ASL/RAD/2001


-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Respuesta impulsiva del sistema de segundo orden

n = 1

= 0.5

= 1.5

= 1


ASL/RAD/2001


Respuesta escalón del sistema de segundo orden

0

0,5

1

1,5

2

n = 1

= 0.2

= 1.7

= 1

ASL/RAD/2001

Consiga la respuesta de los sistemas descritos por las ecuaciones diferenciales siguientes aplicando

Transformada de Laplace

ecuación

y’’(t) + 8y’(t)+25y = 6 sin(2t) p2(t-2)

y’’(t) + 8y’(t)+165y = 6e-2tu(t)

y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6u(t)

y’’(t) + 10y’(t)+24y = 50e-2t p2(t-2) y’’(t) + 10y’(t)+24y = q2(t-2)

y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6p2(t-4)

y’’(t) + 8y’(t)+25y = q2(t-2)

y’’(t) + 8y’(t)+165y = e-2tq1(t-1)

ecuación


ASL/RAD/2001

Consiga la función de transferencia de los sistemas descritos por las ecuaciones diferenciales siguientes

ecuación

y’’(t) + 8y’(t)+25y = 6 sin(2t) p2(t-2)

y’’(t) + 8y’(t)+165y = 6e-2tu(t)

y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6u(t)

y’’(t) + 10y’(t)+24y = 50e-2t p2(t-2) y’’(t) + 10y’(t)+24y = q2(t-2)

y’’(t) + 8y’(t)+12y = 6p2(t-4)

y’’(t) + 8y’(t)+25y = q2(t-2)

y’’(t) + 8y’(t)+165y = e-2tq1(t-1)

ecuación


análisis de sistemas lineales “respuesta de un sistema por transformada de laplace” ing. rafael...

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