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Análisis de la lubricacióntermo-elastohidrodinámica y mixtamediante la aplicación de modelos

numéricos

Álvaro Blázquez de Mingo

Julio 2016

2 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)

Análisis de la lubricación TEHL y mixta mediante modelos numéricos

Resumen

La fricción es un fenómeno presente en los contactos entre sólidos. En al-gunos casos puede resultar deseable, como en el contacto rueda - carril, y enotros es un fenómeno a evitar. Los cuerpos se pueden encontrar en movimien-to relativo, existiendo entonces diferentes tipos de comportamiento según estemovimiento. El método utilizado para reducir la fricción consiste en la lubri-cación.

Combinando movimiento relativo de sólidos con lubricación se obtienenlos diferentes tipos de lubricación según la velocidad de desplazamiento: lu-bricación límite, mixta e hidrodinámica. La curva de Stribeck representa estassituaciones [1].

Figura 1: Curva de Stribeck.

En el caso de lubricación hidrodinámica la capa de lubricante impide elcontacto entre las rugosidades de los sólidos. De esta manera el coeficientede fricción está únicamente determinado por las características del lubricante,más concretamente por su tensión cortante (τ). Esta tensión cortante se puedeexpresar en función de la viscosidad (η) y de la velocidad de cizalla (γ̇) de lasiguiente forma: τ= η · γ̇.

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Resumen

Asímismo, cuando la presión existente en un contacto con lubricación eselevada, entre 0,5 - 4 GPa para contactos en rodamientos y engranajes, se pro-ducen dos fenómenos: los sólidos en contacto se deforman y el lubricante dejade comportarse como un fluido newtoniano. Esto se conoce como lubricaciónelasto-hidrodinámica (EHL).

A elevadas presiones y temperaturas existentes en los contactos EHL tam-bién se ve afectada la densidad del lubricante. Para predecir la variación de laviscosidad y densidad de los lubricantes existen diversos modelos (η= η(P, T )y ρ = ρ(P, T )).

En un lubricante newtoniano existe una relación lineal entre la tensión cor-tante (τ) y la velocidad de cizalla (γ̇), de forma que la viscosidad no varía conla velocidad de cizalla.

Por el contrario, en el momento que el lubricante deja de comportarse comoun fluido newtoniano y la relación entre la tensión cortante (τ) y la velocidadde cizalla (γ̇) no es lineal, la viscosidad depende de γ̇, siendo η= η(T, P, γ̇).

Para predecir el coeficiente de fricción en los contactos EHL se dispone tan-to de un modelo analítico como numérico.

El trabajo se estructura en los siguientes apartados: comparación del mo-delo numérico y el modelo analítico, comparación del modelo numérico conresultados experimentales y determinación de los límites de convergencia delmodelo numérico.

Comparación del modelo numérico y el modelo analíticoEl primer tema de interés es la comparación de ambos modelos para conocersus fortalezas y debilidades.

La comparación entre ambos modelos establece que el modelo numéricoofrece mayor precisión a costa de un tiempo de cálculo más elevado y posi-bles problemas de convergencia. El modelo analítico presenta menor tiempode cálculo, no cuenta con problemas de convergencia pero su precisión es li-mitada y generalmente sobreestima los resultados. Se presenta un extracto delas simulaciones:

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Figura 2: Simulaciones para lubricante PAO 40

Tal y como se puede observar esta sobreestimación es más acusada para elcaso del cálculo del coeficiente de fricción, siendo menor para el caso del espe-sor de película. Esto es debido a que las simplificaciones llevadas a cabo en elmodelo analítico afectan en mayor forma al cálculo del coeficiente de fricción.

Se presentan a continuación las ventajas e inconvenientes de cada modelo:

Modelo numéricoVentajas InconvenientesMayor precisión Tiempo de cálculo elevado(error máximo 11%-15 %) Convergencia limitadaVarios modelos reológicos Requiere conocimiento de MatLab

Modelo analíticoVentajas InconvenientesCálculo inmediato Menor precisiónConvergencia garantizada (error máximo 86%-222 %)Tan solo necesita una hoja de cálculo

Comparación del modelo numérico con resultados experimentalesEl segundo tema de interés radica en la comparación de los resultados obte-nidos por el modelo numérico con resultados experimentales publicados endiversos artículos.

En este caso la comparación se realizó con resultados experimentales obte-nidos de [2]. El artículo seleccionado hace uso de un modelo no newtonianode variación de la viscosidad denominado tensión cortante límite. Por otra parteel modelo numérico hace uso del modelo de Carreau. Las diferencias entre losmodelos se aprecian en la siguiente ilustración:

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Resumen

Figura 3: Comparación de los modelos de viscosidad

Este factor junto con el hecho de que el experimento se encuentra en unazona de lubricación mixta, donde el modelo numérico es menos preciso, expli-can las imprecisiones de los resultados obtenidos.

Posteriormente se realizaron comparaciones con resultados experimenta-les de [3] y [4]. En estos casos los modelos no newtonianos de variación dela viscosidad utilizados se comportan de forma semejante a como lo hace ellubricante y los resultados son más exactos.

De lo anterior se extrae la importancia de una buena caracterización dellubricante y de modelos viscosidad - presión adecuados con objeto de obtenerresultados precisos.

Límites de convergencia del modelo numéricoEl último tema de interés trata sobre los límites de convergencia del mode-lo numérico. Este modelo realiza un cálculo iterativo para la resolución delproblema EHL. Esto provoca que en determinadas ocasiones no se obtengaconvergencia y por lo tanto un resultado válido.

Las variables que expresan los límites de convergencia son las que definenlas condiciones de funcionamiento: presión, velocidad media y SRR (ratio entrela diferencia de velocidades de los sólidos y su velocidad media). La siguientetabla muestra los límites de convergencia del modelo numérico:

Límites de convergencia del modelo numéricoα SRR Presión (GPa) um (m/s)9 - 11 5 - 110 0,63 - 1,02 ≥ 111 - 14 5 - 170 0,63 - 1,3 ≥ 0,5

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El parámetro α o presión - viscosidad del lubricante establece como varíala viscosidad en función de la presión. Debido a que los problemas de conver-gencia surgen en el momento de calcular la viscosidad este parámetro es unode los más determinantes para definir la convergencia.

Los valores de SRR de convergencia se corresponden con la mayor parte delrango completo (0 - 200). La presión se ve limitada para valores aceptables,que sin ser los más altos (0,5 - 4 GPa), se corresponden con un rango de fun-cionamiento habitual. La velocidad media (um) únicamente ofrece problemaspara valores bajos (≤ 0, 5m/s). Sin embargo, el régimen de funcionamientoEHL para el que está destinado este modelo habitualmente consiste en veloci-dades superiores al límite de convergencia.

A continuación se muestran representadas las zonas de convergencia parael lubricante PAO 6 a 40oC:

Figura 4: Límites de convergencia PAO 6 40oC

En la figura podemos observar tres zonas representadas: zona verde, bue-na convergencia; zona morada, comienzan los problemas de convergencia perolos resultados se encuentran dentro del rango de error aceptado y zona roja,no se alcanza la convergencia.

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Índice general

Resumen I

1 Introducción 11.1 Antecedentes del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Justificación y aplicaciones del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1 Aspectos económicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2 Aspectos medioambientales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Fundamentos teóricos 72.1 Tribología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Contacto entre sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Fricción seca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.3 Fricción lubricada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.4 Regímenes de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.5 Desgaste y fatiga superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Lubricación elastohidrodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1 Distribución de presiones en lubricación EHL . . . . . . . 192.2.2 Espesor de película en lubricación EHL . . . . . . . . . . . 202.2.3 Ecuación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Lubricación Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Lubricación Mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Lubricantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5.1 Reología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Modelo numérico 393.1 Algoritmo y estructura del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Algoritmo de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.2 Algoritmo de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Utilización del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.1 Ejecución del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

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3.3 Modelo numérico y modelo analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.1 Modelo analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.2 Comparación de modelos para lubricación EHL . . . . . . 54

4 Comprobación del modelo numérico 614.1 Caracterización de lubricante SAE 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.1 Parámetros de la viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.2 Parámetros de Tait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.3 Parámetros de Carreau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3 Límites del modelo para lubricación EHL . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.1 Lubricante PAO 6 80oC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3.2 Lubricante PAO 6 40oC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3.3 Lubricante PAO 40 40oC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3.4 Lubricante newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3.5 Límites de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5 Conclusiones y trabajos futuros 1015.1 Modelo numérico y analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2 Comparación con resultados experimentales . . . . . . . . . . . . 1025.3 Límites de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.4 Líneas de trabajo futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6 Planificación temporal y presupuesto 1056.1 Planificación temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2 Presupuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7 Anexo 1117.1 Máquina de ensayos MPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Índice de figuras 113

Bibliografía 117

Álvaro Blázquez de Mingo VII

ÍNDICE GENERAL

VIII Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)


Introducción

Para comenzar la memoria se va a realizar una introducción a los antece-dentes, objetivos, marco de ejecucuión, justificación y aplicaciones del trabajoque se ha realizado. Este trabajo se ha llevado a cabo en la División de Ingenie-ría de Máquinas (DIM), perteneciente al Departamento de Ingeniería Mecáni-ca, en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la UniversidadPolitécnica de Madrid.

1.1. Antecedentes del trabajo

Durante los últimos años, la División de Ingeniería de Máquinas ha venidodesarrollando una línea de investigación centrada en la tribología: estudio dela interacción entre las superficies en movimiento relativo.

Los trabajos fin de carrera, máster y tesis doctorales enfocadas en dichalínea han dado como resultado un modelo numérico así como un modelo ana-lítico que resuelve el problema de la lubricación termo-elastohidrodinámica(TEHL). Los modelos desarrollados permiten la resolución del problema decontacto, tanto lineal como puntual. Además se dispone de modelos para regí-menes de lubricación límite y mixta.

La resolución de los problemas de contacto permite obtener los valores defricción, temperatura y espesor de película.

1.2. Objetivos

El objetivo principal del proyecto es la búsqueda de los límites de utilizacióny convergencia de los modelos mediante la realización de simulaciones con di-ferentes lubricantes en un rango amplio de condiciones de funcionamiento.

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Introducción

Así mismo, realizar una recopilación de artículos y resultados experimen-tales sobre métodos y modelos que permitan resolver el problema TEHL paracontactos lineales.

1.3. Justificación y aplicaciones del trabajo

La justificación y aplicación de este trabajo se basa en la necesidad de con-trolar y predecir la fricción en los sistemas tribológicos lubricados, ya que esteconcepto está intrínsecamente relacionado con la mejora de la eficiencia ener-gética y el ciclo de vida de muchos componentes en máquinas.

En la actualidad la tribología es fundamental en la maquinaria moderna,ya que utiliza superficies en contacto con deslizamiento o rodadura. La fricciónpuede ser un fenómeno deseado, como puede ocurrir en las ruedas de ferro-carril, embragues o en los discos de freno; algo análogo a lo que ocurre con eldesgaste en actividades como el mecanizado. Sin embargo, suele ser un efectosecundario y perjudicial en cualquier mecanismo que pone piezas en contacto.Por ello, la lubricación se hace necesaria con el fin de reducir la fricción y elconsiguiente desgaste.

1.3.1. Aspectos económicos

Esta fricción no deseada en los contactos tiene como consecuencia unaspérdidas económicas significativas. En 1966 Peter Jost [5] señaló en su informeque una mejora en la eficiencia que redujera las pérdidas por fricción podíasuponer un ahorro de unos 500 millones de libras esterlinas de la época alaño.



Figura 1.1: Ahorro mediante mejoras tribológicas [3].

Tal y como se observa en la gráfica la mayor parte del ahorro proviene deuna reducción en el mantenimiento y desgaste de los componentes. Es impor-tante tener en cuenta que el informe Jost ha sido considerado muy conservadoren cuanto al poder de ahorro posible.

Con posterioridad han surgido numerosos informes que corroboran la im-portancia de la tribología y el efecto que una mejora de la eficiencia tendríasobre la economía. El informe con mayor trascendencia [6], procedente de Es-tados Unidos, se centra en el ahorro energético. Establece que sería posible unahorro del 11 % de la energía consumida en el país mediante eventuales avan-ces que mejoren la eficiencia tanto en la generación eléctrica y el transportecomo diversos procesos industriales.

En 2001, el propio Jost estimó las pérdidas tribológicas en el 4% del PIBde un país industrializado y la optimización de estos contactos podría suponercerca de un 1% del PIB.

Como conclusión, se puede establecer que pese aunque las pérdidas tér-micas son dificiles de evitar, una disminucicón de la fricción seca y viscosacontribuye a una reducción global de las pérdidas. Esto se puede conseguirmediante la utilización de materiales, lubricantes y acabado superficial óptimojunto con unas condiciones de operación en el rango adecuado.


Introducción

1.3.2. Aspectos medioambientales

La fricción no solo afecta de forma negativa a la economía, también lo haceal medioambiente. En 2012, un informe del Laboratorio Central de Finlandia[7] estableció que un tercio del combustible utilizado en automóviles se dedicaa superar las pérdidas por fricción. En la siguiente figura se puede apreciar lautilización de la energía en un automóvil.

Figura 1.2: Utilización de le energía en un automóvil [7]



Aprovechando los nuevos avances desarrollados en el campo de la tribolo-gía es posible obtener una reducción de la fricción estimada de un 18% en elcorto plazo (5 - 10 años) y de un 61 % en el largo plazo (15 - 25 años). Estoequivaldría a unos ahorros de combustible de 117.000 y 385.000 millones delitros respectivamente y una reducción de emisiones de CO2 de 290 y 960 mi-llones de toneladas [7]. Para una estimación de las emisiones de CO2 del año2014 de 3,6 · 1010 toneladas [8], estos ahorros suponen un 0,8 % y un 2,6 %del total.

Al igual que sucede en el caso de los automóviles, las máquinas que po-sean fricción no deseada sufren una reducción de su rendimiento que provocala utilización de una cantidad de energía para compensar estas pérdidas. Estaenergía provoca un impacto mediambiental que sería reducido con un descen-so de la fricción.

Este impacto ambiental puede verse reducido de forma similar a la men-cionada en el impacto económico: mediante la utilización de materiales, lubri-cantes y acabado superficial óptimo junto con unas condiciones de operaciónen el rango adecuado.

Otro aspecto mediambiental significativo es el provocado por los lubrican-tes a lo largo de su vida útil. La cantidad de lubricantes generados en Europaascienden a unas 5 toneladas al año [9].

Existen unos criterios de compatibilidad medioambiental que son necesa-rios en un lubricante para minimizar su impacto ambiental. Los más importanteson [3]: biodegradabilidad, solubilidad en agua, ausencia de toxicidad y efec-tos sobre la salud, eficiencia energética y reducción de emisiones.

Entre los métodos para comprobar la biodegradabilidad, los más importan-tes establecen una degradación ecológica del 60 % en 28 días (OECD - 31) ydel 80% en 21 días (L - 33 - A - 93) [3].

En España, hasta 1997, el método más extendido de eliminación de loslubricantes era la incineración. Desde 1997 con la creación del Protocolo deintenciones en relación con las gestión de los aceites industriales usados en Españapor parte de la Asociación Española de Lubricantes se estableció un protocolopara su correcta recogida y eliminación. En 2006 este protocolo fue actualizadomediante el Real Decreto 679/2006 que genera un nuevo marco en la gestiónde residuos de lubricantes.


Introducción



Fundamentos teóricos

En este capítulo se va a realizar un resumen sobre los fundamentos teóricosy técnicos enmarcados en el ámbito de desarrollo del trabajo.

2.1. Tribología

La tribología es la ciencia que estudia la interacción de superficies que seencuentran en movimiento relativo. Incluye el estudio y aplicación de la lu-bricación, fricción y desgaste y fatiga superficial. Fue establecida en 1966 enInglaterra debida a la necesidad de estudiar lo sucedido en las capas externasde los materiales [4].

2.1.1. Contacto entre sólidos

Cuando dos cuerpos entrán en contacto producen una huella que es di-ferente según la geometría de ambos cuerpos: lineal (cilindro-cilindro; típicoen engranajes, levas y rodamientos de rodillos), puntual (esfera-esfera; habi-tual en rodamientos de bolas) y elíptica (cilindro-plano; común en el contactorueda-carril) [3].En este trabajo es de interés únicamente el contacto lineal. La teoría de con-tacto más extendida corresponde a Hertz [10].

Contacto lineal

Para el caso de contacto lineal seco se considera que la superficie de contac-to es mucho menor que las dimensiones de los sólidos y la carga (F) es aplicadaperpendicularmente a la generatriz de contacto.



Figura 2.1: Contacto lineal entre dos cilindros

Establece un distribución de presiones parabólica de la forma,

P(x) = P0

s

1− (xb)2 (2.1)

con una presión máxima:

P0 =2Fπbl

(2.2)

Figura 2.2: Ditribución de presiones en la teoría de Hertz

La huella de contacto se corresponde con una superficie rectangular conlongitud l y anchura 2b, siendo



b =

√

√

√4FR′

lπ E′2

(2.3)

donde,E′ es el módulo elástico equivalente y se calcula a partir de los módulos elás-ticos (E1 y E2) y los coeficientes de Poisson (υ1 y υ2).

1E′=

12

�

1−υ21

E1+

1−υ22

E2

�

(2.4)

R′ es el radio equivalente del contacto.1R′=

1R1+

1R2

(2.5)

Deformación elástica de los sólidos en un contacto lineal

Debido a que el tipo de contactos que son de interés en este trabajo estánsometidos a presiones elevadas, los sólidos en contacto sufren deformaciones.

En el interior de la zona de contacto se considera la hipótesis de la presióncomo una sucesión de fuerzas puntuales. Se supone también comportamientolineal en la deformación, propiedades homogéneas e isotrópicas y que las di-mensiones del contacto son de magnitud inferior al tamaño de los sólidos. Deesta forma se llega a que la deformación elástica (wi) que provoca una fuerzaF viene dada por [3]:

w(x) =2(1−υ2)ΠE

∫ −b

b

P(x)ln | x − S | dS (2.6)

donde,υ es el coeficiente de Poisson del sólido.E es el módulo elástico del material.S es el coeficiente adimensional de desplazamiento slide to roll ratio (SRR).

El coeficiente adimensional S se define como:

S =(ua − ub)

um(2.7)

donde,ua y ub son las velocidades de giro de los cuerpos.um es la velocidad media de giro (um =

ua+ub2 ).



Contacto puntual

Para contacto puntual, por ejemplo entre dos esferas, la presión sigue unadistribución normal como una función de la distancia del centro de la huellade contacto [11]

p(r) = p0

√

√

(1−r2

a2) (2.8)

donde,a es el radio de la huella de contacto puntual.

La presión máxima se expresa de la siguiente forma:

p0 =3F

2πa2(2.9)

Figura 2.3: Contacto puntual entre dos esferas

El radio de la huella de contacto se establece como

a = (3FR′

4E∗)

13 (2.10)

donde,E∗es el módulo elástico equivalente y se calcula a partir de los módulos elásticos(E1 y E2) y los coeficientes de Poisson (υ1 y υ2).



1E∗=

1−υ21

E1+

1−υ22

E2(2.11)

Se puede establecer la siguiente relación entre los módulos elásticos equi-valentes de los diferentes contacto como:

E′ = 2 · E∗ (2.12)

R′ es el radio equivalente del contacto.

1R′=

1R1+

1R2

(2.13)

2.1.2. Fricción seca

La fricción seca es un fenómeno que se opone al movimiento relativo entredos superficies en contacto. El primer modelo pertenece a Amontons (1669)verificado posteriormente por Coulomb (1781) [12]. El modelo desarrolladoestablece que entre dos sólidos en contacto existe fricción estática y friccióncinética y que ambas son independientes del tamaño de las superficies y estángobernadas por el siguiente modelo:

Fr ¶ µFn (2.14)

donde,Fr es la fuerza de rozamiento producida por cada superficie sobre la contraria.Sigue una dirección paralela a la superficie y un sentido tal que se oponga almovimiento.µ es el coeficiente de fricción.Fn es la fuerza normal producida por cada superficie sobre la contraria. Sigueuna dirección perpendicular a la superficie.

La fricción estática aparece cuando no existe movimiento relativo entre lassuperficies. Se produce fundamentalmente por los enlaces interatómicos quese producen en el contacto entre superficies.

La fricción cinética solo se produce cuando existe movimiento relativo, suvalor es inferior al de la fricción estática y es independiente de la velocidad dedeslizamiento.

Coeficiente de fricción

El coeficiente de fricción es una magnitud adimensional que establece lacantidad de fuerza de rozamiento entre dos superficies en función de la fuerza



normal entre las mismas. Ha de ser medido experimentalmente y generalmen-te toma valores entre 0 y 1. En la siguiente gráfica se puede observar comoevoluciona el coeficiente de rozamiento en los distintos estados de fricción.

Figura 2.4: Fuerza de rozamiento frente a fuerza aplicada

donde,Fr es la fuerza de rozamiento.Fa es la fuerza aplicada para deslizar el sólido.Frmaxest es la fuerza de rozamiento máxima para fricción estática.Frmaxdes es la fuerza de rozamiento máxima para fricción cinética.

2.1.3. Fricción lubricada

En un contacto lubricado en el que existe movimiento relativo entre las su-perficies también se produce fricción. Sin embargo, esta fricción se produce enel seno del fluido y se refleja en las superficies en forma de fuerzas tangencialescortantes a las mismas.



Figura 2.5: Fuerzas tangenciales en un contacto lubricado

Para obtener un valor de coeficiente de rozamiento comparable con la ex-presión 2.14 es necesario integrar el esfuerzo cortante (τx y) a lo largo del areade las superficies de la forma [13]:

F1 =

∫∫

τx y(z = h)d xd y (2.15)

F2 =

∫∫

τx y(z = 0)d xd y (2.16)

En el capítulo dedicado a lubricantes se establecerá la relación entre lafuerza tangencial producida por el lubricante y sus propiedades reológicas.

2.1.4. Regímenes de funcionamiento

En función de la capacidad del lubricante para mantener separadas las su-perficies se establecen tres regímenes de funcionamiento: lubricación límite;lubricación mixta y lubricación hidrodinámica (HL).

Para limitar de forma cuantitativa los diferentes regímenes de lubricaciónes necesario definir un parámetro de espesor específico de película (λ) [3].

λ=h0

Æ

σ21 +σ

22

(2.17)

donde,h0 es el espesor mínimo de película del lubricante.σi es la rugosidad media de cada superficie.

Cuando la película de lubricante es insuficiente comparada con la rugosidadde las superficies se produce lubricación límite. La carga es soportada por lasirregularidades de las superficies y se producen microsoldaduras metal-metal.



Cuando la película de lubricante tiene suficiente espesor las irregularidadesde las superficies están cubiertas y no entran en contacto. Se produce entonceslubricación hidrodinámica. En el caso de que exista deformación elástica en-tre las superficies debida a las altas cargas se denomina elastohidrodinámica(EHL).

El régimen de lubricación mixta se corresponde a un estado intermedio en-tre las dos anteriores. Exite contaco directo ocasional entre las irregularidadespero también existe un espesor de película suficiente para mantener separadasambas superficies.

En la siguiente figura [14] se pueden observar los diferentes regímenes asícomo los límites del espesor específico de película (λ) que los delimitan.

Figura 2.6: Regímenes de lubricación



Curva de Stribeck

La curva de Stribeck (1902) representa el coeficiente de fricción (µ) enfunción del parámetro de espesor específico de película (λ) o de la velocidadadimensionalizada [1].

η∆uF

(2.18)

donde,η es la viscodidad del lubricante.∆u es la velocidad de deslizamiento.F es la carga aplicada.

Figura 2.7: Curva de Stribeck.

En la curva de Stribeck se puede observar la variación del coeficiente defricción en los diferentes regímenes de lubricación. Este puede aumentar unorden de margnitud y ello afecta significativamente el desgaste. Dicho ordende magnitud se puede apreciar en la siguiente gráfica: [3]



Figura 2.8: Coeficiente de fricción en función del régimen de lubricación.

2.1.5. Desgaste y fatiga superficial

El desgaste de un material está muy relacionado con la magnitud del coe-ficiente de rozamiento al que es sometido. Cuanto mayor sea el rozamientomayor será la tasa de desgaste y este se presentará en las zonas con mayorespresiones. Aunque desgaste y fricción son fenómenos relacionados esta rela-ción no siempre es proporcional.

Existen ciertas aplicaciones en las que un coeficiente de rozamiento elevadoes necesario, como es el caso de un embrague. En este caso un valor alto esrequerido para garantizar un correcto acoplamiento.

Por el contrario, en otras aplicaciones el coeficiente de rozamiento ha de serbajo. Es el caso de un cojinete, donde es necesario el menor rozamiento posible.

En la siguiente figura se puede observar la variación de la tasa de desgasteen función de los diferentes regímenes de lubricación y la carga. [3]



Figura 2.9: Tasa de desgaste en función del régimen de lubricación.

Para reducir la tasa de desgaste lo idóneo es mantenerse en un regímende película gruesa o (elasto)hidrodinámico, pero teniendo en cuenta que unexceso de espesor de película conlleva un aumento de la fricción.

2.2. Lubricación elastohidrodinámica

El régimen de funcionamiento elastohidrodinámica (EHL o EHD) es en lamayoría de las aplicaciones el punto deseado de trabajo. Está caracterizado poráreas de contacto pequeñas (0,1 - 0,5 mm2) y presiones máximas áltas (0,5 - 4GPa). Las presiones tan altas provocan variaciones de viscosidad del lubricantemuy acusadas y la deformación de los sólidos en contacto.

El régimen EHL es el más estudiado y está basado en la ecuación de Rey-nolds (1886) que determina el comportamiento de la presión y el espesor depelícula en función de la viscosidad y la velocidad. La ecuación de Reynolds[15]:

∂

∂ x(ρh3

η

∂ P∂ x) +

∂

∂ y(ρh3

η

∂ P∂ y) = 6u

∂ (ρh)∂ x

+ 6ρh∂ u∂ x+ 12

∂ (ρh)∂ t

(2.19)

donde,u es la suma de las velocidades de las superficies (u= u1 + u2).t es el tiempo.



P es la presión.h es es espesor de película.η es la viscosidad.ρ es la densidad.

Para llegar a dicha ecuación Reynolds realizó las siguientes hipótesis [16]:

1. Se consideran despreciables el resto de fuerzas que actúan sobre el fluido(peso, inercia o las fuerzas magnéticas).

2. La presión del fluido es constante a lo largo del espesor de la película.

3. Las superficies se consideran planas. La curvatura de las mismas es mu-cho mayor que el espesor de película.

4. La velocidad de la capa de lubricante en contacto con cada superficiecoincide con la velocidad de ésta.

5. El fluido es Newtoniano. La relación entre la tensión cortante y el gra-diente de velocidad es constante.

6. El flujo es laminar.

7. El fluido es incompresible. La densidad del fluido y la viscosidad se con-sideran constantes.

8. Las superficies no se deforman debido a la presión.

Debido a las altas presiones las hipótesis de la ecuación de Reynolds no secumplen ya que existe deformación de las superficies y es muy probable que elfluido se comporte como no Newtoniano (la viscosidad no es constante).

Hasta 1950 las teorías hidrodinámicas no tenian en consideración la varia-ción de viscosidad del lubricante y la deformación de los sólidos en contacto.Estaban, por tanto, alejadas de la realidad para contactos EHL. Mediante lacombinación de la ecuación de Reynolds junto con el modelo de viscosidadde Barus (2.44), Grubin (1950) obtuvo la primera teoría hidrodinámica válidapara contactos EHL. Grubin también llegó a la conclusión de que el espesor depelícula en el interior del contacto se mantenía constante e igual al espesor depelícula central (hc) representado en la figura 2.10 [17].

Los resultados publicados por Dowson y Higginson en 1959 dieron forma ala teoría EHL actual con la introducción de la ecuación de deformación elásticade los sólidos en contacto [17].Para resolver el problema EHL es necesariorealizar un proceso iterativo que agrupa las siguientes ecuaciones:



Ecuación de Reynolds

Ecuación Presión - Viscosidad Se presentarán diversos modelos en el apar-tado 3.5.1 correspondiente al estudio de la reología de los lubricantes.

Ecuación Deformación Elástica

En el caso de realizar el cálculo para problemas no isotermos es nece-sario añadir la ecuación de la energía para el cálculo de las temperaturasen el contacto. El conjunto de estas ecuaciones comprende la teoría termo-elastohidrodinámica (TEHL).

2.2.1. Distribución de presiones en lubricación EHL

En un contacto seco la ditribución de presiones se corresponde con la teoríade Hertz presentada previamente. Sin embargo, cuando las superficies estánen movimiento relativo en presencia de un lubricante la distribución de pre-siones se ve modificada [17]. Los mayores cambios se aprecian a la entrada ysalida del contacto.

Figura 2.10: Distribución de presión y espesor de película en lubricación EHL[17].

En la entrada el movimiento relativo de las superficies empuja el lubricantehacia el interior del contacto. Según el lubricante se introduce su viscosidad



aumenta exponencialmente debido a las altas presiones y temperaturas exis-tentes [18]. Los efectos del movimiento relativo y el lubricante provocan unasuperficie de contacto mayor de forma que las presiones a la entrada son me-nores que para un contacto seco Hertziano [17].

En la zona central o Hertziana existe una cantidad de lubricante suficientepara separar ambas superficies, conocida como espesor de película central (hc).La presión se puede aproximar por la teoría de Hertz. El aumento en la visco-sidad provoca que el lubricante se encuentre en un estado pseudoplástico [18].

En la región de salida el lubricante sufre un descenso acusado de la presióny por lo tanto de su viscosidad. Esta disminución de la viscosidad a valores cer-canos a presión ambiente provoca un estrechamiento del espesor de películade forma que se mantenga el flujo de lubricante constante [17]. Esto es debidoa que la viscosidad se opone al flujo del lubricante. El espesor en esta zonase conoce como el espesor de película mínimo (h0). El descenso del espesorde película provoca un pico de presiones que depende de la relación presión -viscosidad del lubricante.

2.2.2. Espesor de película en lubricación EHL

En los contactos EHL se alcanzan presiones lo suficientemente elevadas co-mo para que el espesor de película del lubricante (h) vea su geometría modifi-cada como consecuencia de las deformaciones elásticas sufridas por los sólidos[3]. Por lo tanto, el espesor de película es función de la geometría de los sólidosy de su deformación.



Figura 2.11: Geometría del espesor de película considerando la deformaciónelástica [3].

Como muestra la figura anterior, el espesor de película queda determinadopor la siguiente expresión [19]:

h(x) = h0 +w(x) + uz(x) (2.20)

donde,h0 es el espesor de película en el punto central sin deformación elástica o elespesor mínimo con deformación.w(x) establece la posición de todos los puntos de los sólidos sin deformar.uz(x) introduce la variación del espesor de película debida a la deformaciónelástica.

La suma de los términos h0 y w(x) representa el espesor de película sindeformación elástica. El valor de h0 se obtiene mediante la resolución de laexpresión del balance de carga unidimensional [20].

W =

∫

P(x)d x (2.21)

La integral de la distribución de presión P(x) obtenida de la resolución dela ecuación de Reynolds a lo largo del dominio del contacto tiene que ser igualal valor de la carga aplicada W para que se produzca un equilibrio de fuerzas



en el contacto [20].

Para el caso de dos cilindros con el mismo radio, la expresión de w(x) esde la forma [3]:

w(x) =x2

2R1+

x2

2R2=

x2

2R(2.22)

El término uz(x) se obtiene teniendo en cuenta la deformación elástica delos cuerpos en contacto. Su expresión es la siguiente [20]:

uz(x) = −2ΠE′

∫ −b

b

P(x)ln(x − S)2dS (2.23)

donde,E′ es el módulo de elasticidad equivalente.b es el semi-ancho del contacto Hertziano.P(x) es la distribución de presiones.S es el coeficiente adimensional slide to roll ratio (SRR) definido en la expre-sión 2.7.

La expresión completa del espesor de película para contactos EHL es portanto [3]:

h(x) = h0 +x2

R−

2ΠE′

∫ −b

b

P(x)ln(x − S)2dS (2.24)

2.2.3. Ecuación de la energía

El calor producido por la fricción viscosa del lubricante tiene como resulta-do un aumento de la temperatura en el contacto. Este aumento de temperaturaprovoca cambios en la densidad y viscosidad del lubricante afectando al coefi-ciente de fricción y el espesor de película.

Para poder estimar el valor de la temperatura del lubricante en cada puntoes necesario realizar un balance térmico. Para ello se utilizará la ecuación di-ferencial de conservación de energía para un volumen de fluido y de sólidos.En el caso de un elemento diferencial del sólido el balance es [3]:

∂ 2T∂ x2

+∂ 2T∂ y2

+∂ 2T∂ z2

=ρscs

ks(u∂ T∂ x) (2.25)



donde,cs es el calor específico del lubricante.ks la conductividad térmica del lubricante.ρs la densidad del lubricante.u es la velocidad en el contacto, habitualmente se utiliza la velocidad media(u0).

2.3. Lubricación Límite

En el régimen de lubricación límite la película de lubricante no es capazde cubrir la rugosidad de las superficies y por lo tanto estas asperezas son lasencargadas de soportar la mayor parte de la carga. Debido a esto se producenmicrosoldaduras y hay interacción metal-metal. En este régimen son comuneslas presiones altas, las velocidades reducidas así como la baja viscosidad dellubricante.

Figura 2.12: Contaco en régimen de lubricación límite.

En la imagen anterior [14] se pueden apreciar las dos zonas de contacto:tipo I, donde hay separación por medio de la capa límite de lubricante y tipoII, donde existe contacto directo de las superficies. La formación de zonas conprotección de lubricante depende de la untuosidad en mayor manera que dela viscosidad del lubricante.

El coeficiente de fricción es comparable al de un contacto seco e influyenlos fenómenos químicos del lubricante así cómo de las superficies en contac-to. Su obtención únicamente es posible mediante resultados experimentales ométodos analíticos.



2.4. Lubricación Mixta

Tal y como se describió previamente, el régimen de lubricación mixta secorresponde con un estado intermedio entre los dos regímenes anteriores. Exi-te contacto directo ocasional entre las irregularidades pero también existe unespesor de película suficiente para mantener separadas ambas superficies.

La resolución de este tipo de lubricación se basa en una ponderación y com-binación de los resultados de los regímenes límite y EHL en unas condicionesde funcionamiento dependientes de las originales.

Se comienza resolviendo el problema EHL y se realiza una ponderación enfunción del espesor de película específico (λ). Esto se realiza puesto que seestablece la hipótesis de desacople de los problemas EHL y límite de forma quese resolverán por separado. El reparto de las cargas soportadas es de la forma:

P = P EH L + PBDR (2.26)

donde,P es la presión total del contacto.P EH L es la presión soportada por el lubricante, en régimen EHL.PBDR es la presión soportada por las rugosidades, en régimen límite.

Para determinar la distribución de la fuerza normal y el coeficiente de ro-zamiento entre los regímenes se utilizan correlaciones. En este caso se optapor utilizar la correlación Zhu y Castro [21]. Estas correlaciones se basan en elespesor de película específico (λ) proveniente del problema EHL desacoplado.Para la carga normal se establece:

F EH LN = fλFN (2.27)

F EH LN = (1− fλ)FN (2.28)

FN = F EH LN + F EH L

N (2.29)

donde,FN es la fuerza normal total del contacto.F EH L es la fuerza normal soportada por el lubricante, en régimen EHL.F BDR es la fuerza normal soportada por las rugosidades, en régimen límite.fλ es el parámetro de la correlación.

De manera análoga para el coeficiente de rozamiento se establece [22]:

µ= fλµEH L + (1− fλ)µ

BDR (2.30)



donde,µ es el coeficiente de rozamiento total del contacto.µEH L es el coeficiente de rozamiento debido a la tensiones cortantes del lubri-cante en lubricación EHL.µBDR es el coeficiente de rozamiento provocado por las rugosidades en lubri-cación límite.

La correlación utilizada es la siguiente:

f Cast roλ

= 0, 82λ0,28 (2.31)

f Zhuλ=

1,21λ0,64

1+ 0,37λ1,26(2.32)

donde,λ es el espesor específico de película.

A continuación se puede observar una representación de los valores de fλy λ [22]:

Figura 2.13: Correlaciones para régimen de lubricación mixta.

Las hipótesis realizadas para la resolución del problema de régimen mixtoparte de una combinación de las hipótesis realizadas en la resolución de losregímenes EHL y límite.



2.5. Lubricantes

Un lubricante es una sustancia, generalmente en estado líquido, que tienecomo objetivo evitar el contacto entre dos piezas con movimiento relativo. Asi-mismo, reduce el rozamiento en el contacto puesto que la fricción producidaen el seno del lubricante es menor que la generada por contacto de dos superfi-cies. Tal y como se expuso previamente, el rozamiento creado por el lubricanteparte de la tensión cortante soportada por el seno del mismo.

En función del estado en el que se encuentren existen: lubricantes sólidos,semisólidos o grasas y líquidos.

Los lubricantes sólidos son utilizados en condiciones de funcionamientomuy extremas (muy altas temperaturas y presiones). Los más comunmenteutilizados son el grafito y el disulfuro de molibdeno [3].

Los lubricantes semisólidos son productos entre sólidos y semifluidos. Tie-nen la capacidad de fluir pero poseen una viscosidad más elevada que los lu-bricantes líquidos. Son idóneos para permanecer en contacto con superficiesen movimiento y no desbordarse del alojamiento por gravedad u otras fuerzas.

Los lubricantes líquidos incluyen sustancias naturales, sintéticas y mezclade ambas. Para mejorar sus propiedades es común añadir aditivos. Los másutilizados dentro de este grupo son los aceites minerales y los sintéticos.

Los lubricantes minerales son derivados del petróleo. Están compuestosprincipalmente por hidrocarburos y sus principales tipos son: parafínicos, naf-ténicos, olefínicos y aromáticos. Su rango de utilización llega hasta los 130oC[3].

Los lubricantes sintéticos tienen su origen en la necesidad de contar conlubricantes con propiedades adaptadas a condiciones más exigentes. Su ran-go de utilización llega hasta aproximadamnete 370oC. Los tipos más comunesson: polialfaolefinas (PAO), poli-internalolefinas (PIO), polibutenos (PB) e hi-drocarburos halogenados.

2.5.1. Reología

La reología es la ciencia que estudia la deformación y el flujo de la mate-ria. Para el ámbito de este trabajo se van a exponer los diferentes modelos quepredicen el comportamiento de los lubricantes en función de la temperatura,



la presión y la velocidad de cizalla.Para el caso de contactos en régimen EHL el abanico de condiciones es bas-tante amplio pudiendo llegar a presiones de 4 GPa, temperaturas de 200oC yvelocidades de cizalla de 109s−1.

Es importante destacar la dificultad que supone la obtención de los pará-metros que rigen las propiedades de los lubricantes debido a la complejidad delos equipos de medición dadas las exigentes condiciones de funcionamiento.Por ello la escasez de existencia de valores para caracterizar los lubricantes.

Densidad

La densidad (ρ) es una propiedad física que relaciona la masa de una sus-tancia contenida en una unidad de volumen. Dadas las altas presiones y tempe-raturas soportadas en los contactos la hipótesis de densidad constante para unfluido no es válida. Por ello son necesarios modelos que predigan la densidadde los lubricantes para diferentes valores de presión y temperatura.

Figura 2.14: Variación de la densidad del lubricante SAE 30 en función de lapresión (MPa).

Modelos dependientes de la presiónModelo de Feng y Ramesh [23]



ρ(P) =ρ0

1+ C12C2+ (s

r

1+ 4C2(P−C3)C2

1)

(2.33)

donde,ρ0 es la densidad a presión ambiente.s, C1, C2 y C3 son parámetros de ajuste empíricos.

Modelo de Dowson-Higginson [12]

ρ(P)ρ0= 1+

D1P1+ D2P

(2.34)

donde,D1 y D2 son parámetros de ajuste empíricos.

Modelos dependientes de la temperaturaModelo de Dowson-Higginson [12]

ρ(T ) = 1− ε(T − T0) (2.35)

ε = ε0e−cP (2.36)

donde,ε es el coeficiente de expansión térmica del lubricante.ε0 es el coeficiente de expansión térmica a presión atmosférica.T0 es la temperatura de referencia.c es una constante de valor aproximado 1,5GPa−1.

Modelos dependientes de la presión y la temperaturaModelo de Tait [24]

ρ(P, T ) =ρ0

1− 1K0′+1 ln(1+ P

K0(1+ K0

′))(2.37)

donde,K0 es el módulo volumétrico a P=0.



K0′ es la derivada del módulo volumétrico.

En caso de no contar con valores específicos para un lubricante es posibleutilizar los valores universales para cálculos EHL: K0 = 1, 67GPa y K0

′ = 6,67.

El modelo de Tait es en muchas ocasiones expresado en función del volu-men específico adimensional según la expresión:

v̄(P, T ) =ρ0

ρ(2.38)

v̄(P, T ) =vv0

(2.39)

donde,ρ0 es la densidad en las condiciones de referencia.v0 es el volumen en las condiciones de referencia.

Viscosidad

La viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales.Es una fuerza interna que tienen los fluidos debido al tipo de interacción queposeen. Debido a las condiciones de los contactos EHL no es posible considerarcomo válida la hipótesis de viscosidad constante sino dependiente de la tem-peratura (T), presión (P) y velocidad de cizalla (γ̇).

η= η(T, P, γ̇) (2.40)

La viscosidad solo se manifiesta en líquidos en movimiento y se ha definidocomo la relación existente entre la tensión cortante (τ) y la velocidad de ci-zalla (γ̇). Esta viscosidad recibe el nombre de viscosidad absoluta o viscosidaddinámica y su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Pa·s.

η=τ

γ̇(2.41)

donde,γ̇ tiene la siguiente expresión:



γ̇=ua − ub

hc(2.42)

donde,ua y ub son las velocidades de giro de los sólidos en contacto.hc es el espesor central de película del contacto.

Es importante realizar la distinción entre viscosidad a baja velocidad de ci-zalla (µ) y la viscosidad a alta velocidad de cizalla (η).

Se denomina viscosidad a baja velocidad de cizalla (µ) la viscosidad del lu-bricante en estado newtoniano. En este estado existe una relación lineal entrela tensión cortante (τ) y la velocidad de cizalla (γ̇).

Por el contrario, en el momento que el lubricante deja de comportarse comoun fluido newtoniano y la relación entre la tensión cortante (τ) y la velocidadde cizalla (γ̇) no es lineal, se entra en la zona de viscosidad a alta velocidad decizalla (η).

El límite entre ambas zonas está relacionado con el módulo a cortante dellubricante (G) y, tal y como se verá más adelante, es un parámetro de los mo-delos que definen los comportamientos a alta velocidad de cizalla.

Se define también otra viscosidad, denominada viscosidad cinemática, yse representa por ν. Para calcular la viscosidad cinemática basta con dividirla viscosidad dinámica por la densidad del fluído. Su unidad de medida en elSistema Internacional es el m2/s.

ν=η

ρ(2.43)

La viscosidad de un fluido concreto depende fundamentalmente de tresvariables: la temperatura, la presión y la velocidad de cizalla (γ̇). Cuando laviscosidad de un fluido depende únicamente de las dos primeras, se dice queel fluido tiene comportamiento newtoniano. Sin embargo, cuando también de-pende de la velocidad de cizalla, se dice que el fluido tiene un comportamientono-newtoniano.

Cuando la velocidad de cizalla es baja, su influencia sobre la viscosidades despreciable y la viscosidad depende fundamentalmente de la presión y dela temperatura. Sin embargo, cuando la velocidad de cizalla aumenta, en al-gunos fluidos se produce una disminución de la viscosidad. Esta tendencia se



conoce como comportamiento pseudoplástico, y es una clase de los posiblescomportamientos no newtonianos que se dan en la naturaleza.

Figura 2.15: Variación de la viscosidad según el tipo de fluido.

Modelos a baja velocidad de cizallaModelo de Barus [17]

µ(P, T ) = µ0eα(T )P (2.44)

α(T ) =1µ(dµdP)T (2.45)

donde,µ es la viscosidad del lubricante a baja velocidad de cizalla.µ0 es la viscosidad a presión atmosférica.α es el coeficiente viscosidad-presión (Pa−1).

El coeficiente viscosidad-presión es obtenido experimentalmente. Sin em-bargo, para mejorar la precisión del modelo existen diferentes expresiones deα en función de la presión y la temperatura. Una de ellas es la ecuación delmódulo que se presenta a continuación:

α(P, T ) =1

a1 + a2T + (b1 + b2T )P(2.46)



donde,a1, a2, b1 y b2 son parámetros propios de cada lubricante.

El cálculo de estos parámetros puede realizarse de manera experimental omediante aproximación cuando son conocidos diferentes puntos de la viscosi-dad del lubricante.

A continuación se puede observar la variación de la viscosidad en funciónde la presión (MPa) para el lubricante PAO 40 siguiendo el modelo de Barus.

Figura 2.16: Variación de la viscosidad del lubricante PAO 40 en función de lapresión (MPa) a 40oC siguiendo el modelo de Barus.



Modelo de Vogel [17]

µ(P, T ) = µ0(P)− br(cT −d) (2.47)

donde,b, c y d son constantes empíricas dependientes del lubricante.

Modelo de Doolittle [25]

µ

µR= ex p[BR0(

1+ ε(T − Tr)(v/vR)− R0(1+ ε(T − TR))

−1

1− R0)] (2.48)

donde,el subíndice R denota el estado de referencia o inicial.K ′0, K∞, K̇0, av, B y R0 son obtenidos experimentalmente.v/vR es la relación entre el volumen del lubricante y el volumen en las condi-ciones de referencia o iniciales procedente de la ecuación de Tait (3.28).

Modelo de Roelands [3]El modelo de Roelands establece la siguiente relación entre la viscosidad y latemperatura:

µ(T ) = µ0e−β(T−T0) (2.49)

donde,β es una constante empírica del lubricante denominada coeficiente temperatura-viscosidad.

Modelos a elevada velocidad de cizallaLa hipótesis de fluido Newtoniano establece que la viscosidad de un fluido novaría en función de la velocidad de cizalla, tan solo en función de la presión ytemperatura. En este tipo de fluidos simplemente son necesarios los modelosexpuestos anteriormente, a baja velocidad de cizalla, para definir su viscosidad.

Sin embargo, los fluidos de estudio en este trabajo, los lubricantes, cam-bian su comportamiento en función de la velocidad de cizalla. De modo que abajas velocidades de cizalla (γ̇) se comportan como fluidos newtonianos peroa partir de un determinado valor de γ̇ la viscosidad disminuye al aumentar lacizalla, se comportan como fluidos pseudoplásticos. Este fenómeno es reversi-ble al cesar el cizallamiento y recibe el nombre de shear thinning [4].



Figura 2.17: Comportamientos de un fluido en función de la velocidad de ci-zalla.

Los fluidos no newtonianos son aquellos cuya viscosidad depende del gra-diente de velocidad, y los más representativos son los pseudoplásticos, los di-latantes y los plásticos de Bingham [3].

τ= η(γ̇)γ̇ (2.50)

Los modelos más utilizados para caracterizar la viscosidad a elevadas ve-locidades de cizalla son: el modelo de tensión cortante límite y el modelo deCarreau. En la siguiente figura se puede obervar una comparación de ambos.

Figura 2.18: Modelos para elevada velocidad de cizalla.



Modelo de CarreauEl modelo de Carreau establece la viscosidad a elevada velocidad de cizalla

partiendo de un valor previo a baja velocidad de cizalla. Tiene caracter expo-nencial y se adapta correctamente a la zona de comportamiento pseudoplásticode gran parte de los lubricantes.

η=τ

γ̇= µ2 + (µ1 −µ2)(1+ (

µ1γ̇

Gcr)2)

n−12 (2.51)

donde,η es la viscosidad a alta velocidad de cizalla.τ es la tensión cortante.γ̇ es la velocidad de cizalla.µ1 es la viscosidad a baja velocidad de cizalla.µ2 es la viscosidad para tensión de cizalla tendiente a infinito.n es el exponente de Carreau.Gcr es la tensión crítica de cizalla del fluido.

Por norma general se suele tomar µ2 = 0 [26].

Los parámetros característicos de este modelo son n y Gcr , y serán por tantolos parámetros a determinar cuando se caracterize un lubricante. El parámetroGcr es función de presión y temperatura a través de la expresión:

Gcr =ρRθM0

(2.52)

donde,M0 es el peso molecular del lubricante.ρ es la densidad.θ es la temperatura.R es la constante de los gases ideales (R= 8314J/kmol∆K).

Este parámetro Gcr determina el punto de transición entre la zona de com-portamiento newtoniano del pseudoplástico.

Por su parte, el parámetro n, o exponente de Carreau, da una idea del ca-rácter pseudoplástico que presenta un lubricante (determina la pendiente dedecrecimiento de la viscosidad con la cizalla). Este parámetro puede variar en-tre 0 y 1, y como puede observarse en la siguiente figura, cuanto más pequeñosea su valor, tanto más marcado será el carácter pseudoplástico del lubricanteen cuestión, y tanto más disminuirá su viscosidad con la velocidad de cizalla.



Figura 2.19: Parámetro exponencial del modelo de Carreau.

Un lubricante con exponente n= 1 tendría un comportamiento puramentenewtoniano, como se puede comprobar sustituyendo este valor en la expresión.A diferencia de lo que sucede con el valor de Gcr , no existe ninguna teoría querelacione con precisión el parámetro n con la estructura molecular del aceite,y por tanto su obtención queda reducida a los ensayos experimentales.

Modelo de la tensión cortante límiteEl modelo de la tensión cortante límite es generalmente utilizado para ran-

gos de cizalla más elevados. Con muy elevadas presiones y bajas temperaturasla viscosidad del lubricante podría ser del orden de 1012 Pa·s [3]. En estascondiciones la tensión cortante no se corresponde con los modelos anteriores(Barus, para estado Newtoniano y Carreau, pseudoplástico), sino que presentala rigidez de un sólido, implicando que es un sólido plástico que fluye con unvalor de tensión cortante [27].

El valor de la tensión cortante límite depende de las características de cadalubricante. En algunos casos se puede establecer dicha tensión límite como unporcentaje de la tensión máxima de Hertz presente en el contacto.

A continuación se puede observar un ejemplo del modelo de tensión cortan-te límite en el lubricante SAE 30. La zona lineal esta gobernada por el modelode Barus. En el eje de ordenadas está representada la tensión cortante (τ) yen el eje de abscisas la velocidad de cizalla (γ̇).



Figura 2.20: Modelo de la tensión cortante límite para SAE 30.

El modelo establece una zona de comportamiento lineal (Newtoniano) se-guido de una zona de comportamiento pseudoplástico.

§

τ= η(P, T )γ̇ ηγ̇≤ τl im

τ= τl im ηγ̇= τl im(2.53)

donde,τl im es la tensión cortante límite del lubricante.η(P, T ) es la viscosidad en la zona lineal.γ̇ es la velocidad de cizalla.

Es importante destacar que este modelo simplemente establece el inicio dela zona de comportamiento pseudoplástico del lubricante. Para la zona lineales habitual la utilización del modelo Newtoniano de comportamiento.



Modelo numérico

En este capítulo se va a proceder a exponer de manera breve el mecanismode funcionamiento del software de resolución del problema TEHL. En primerlugar se va a exponer el algoritmo de funcionamiento interno del modelo paraposteriormente explicar cómo se utiliza.

El proceso que se va a describir a continuación permite únicamente el cálcu-lo de lubricación EHL. Para el cálculo de lubricación mixta, también disponibleen el modelo, se realiza mediante el método explicado en el apartado 2.4. Eneste método primeramente se resuelve el contacto EHL para posteriormenteponderar el resultado según el espesor específico de película (λ). El coeficien-te de rozamiento para lubricación límite se obtiene de forma experimental.

3.1. Algoritmo y estructura del modelo

El modelo de resolución tiene carácter iterativo de forma que está com-puesto por varios bucles de resolución que finalizan cuando se han cumplidoalguna de las dos condiciones: número máximo de iteraciones o convergenciaen el cálculo.

El número máximo de iteraciones en cada bucle está establecido teniendoen cuenta la relación entre el tiempo y la convergencia. De esta forma no seestablece un número de iteraciones demasiado alto que solamente demore elcálculo sin aportar mejores resultados ni un número demasiado bajo que nopermita un resultado lo suficientemente preciso.

La convergencia de las variables es el principal problema de la utilizaciónde un método numérico. En secciones posteriores se abordará con más detalleseste problema así como los rangos de funcionamiento donde se ha conseguidola convergencia.


Modelo numérico

A continuación se van a exponer los algoritmos y las ecuaciones utilizadasen el modelo. Mayor detalle sobre el proceso que sigue el modelo de cálculose puede encontrar en [3].

3.1.1. Algoritmo de cálculo

Para el cálculo de las propiedades de densidad y viscosidad del lubricantese optó por utilizar:

DensidadModelo de Tait (expresión 2.37).

Viscosidad a baja velocidad de cizallaModelo de Barus (expresión 2.44) con opción de la utilización de la ecua-ción del módulo (expresión 2.46) de forma que el parámetro viscosidad-presión este en función de presión y temperatura.

Viscosidad a elevada velocidad de cizallaModelo de Carreau (expresión 2.51).

La resolución del problema TEHL conlleva la utilización de los modelosreológicos presentados así como del sistema de ecuaciones formado por laecuación de Reynolds (P(h(x),η,ρ, u), la ecuación del espesor de película(h(P(x), h0, R′, E′), la ecuación de la energía (Tm(Tsa, Tsb, H, P(x)) y la ecua-ción del balance de carga (h0(P(x), W ).

En el caso de la ecuación de Reynolds y la ecuación de la energía no se handefinido todos los parámetros de los que dependen, faltando las característicasfísicas y térmicas del lubricante y los materiales.

Donde,P es la presión del contacto según el modelo de Hertz.h(x) es el espesor de película.h0 es el espesor inicial de película.R′ es el radio equivalente de contacto.E′ es el módulo elástico equivalente.Tm es el perfil de temperaturas del contacto.Tsi es el perfil de temperaturas de ambos cilindros.H es el espesor de película adimensionalizado.W es la carga adimensionalizada.

Es importante destacar la diferencia en la notación en lo referente a lasmayúsculas. Es este trabajo, y en la mayor parte de trabajos y artículos de in-vestigación, las letras mayúsculas se refieren a variables adimensionalizadas.



Dichas variables sin adimensionalizar se representan con la misma letra peroen minúscula. Siguiendo con este tema, pese a que en las ecuaciones las va-riables aparezcan con dimensiones, a la hora de realizar el cálculo se realizaun paso previo de adimensionalización. Esto es debido a la mayor facilidad decálculo que aportan las variables adimensionalizadas. Se presenta la adimen-sionalización de las variables más comunes:

W =w

E′R′(3.1)

U =ηum

E′R′(3.2)

H =hR′

b(3.3)

donde,w es la carga por unidad de longitud en N/m.um es la velocidad media.U es la velocidad adimensionalizada.b es el semi-ancho del contacto.

Junto con el problema de la convergencia, la fuerte interrelación entre lasdiferentes variables del problema es otra de las dificultades. Esto provoca quelas diferentes ecuaciones del sistema estén acopladas, lo que obliga a resolverel sistema en su conjunto, complicando considerablemente el cálculo. Ademásel problema no es lineal, ya que la ecuación de Reynolds y los modelos de pre-dicción de las propiedades del lubricante no lo son [4]. Esto obliga al desarrollode un proceso de cálculo largo y complejo. Para el proceso iterativo se escogióel método de Levenberg-Marquard [3].

Las variables iniciales del problema son las características geométricas (ra-dio equivalente) y físicas de los materiales (módulo elástico equivalente), lascondiciones de funcionamiento (velocidad, deslizamiento y carga), las propie-dades del lubricante y las temperaturas de cilindros y lubricantes.

El algoritmo de cálculo desarrollado se compone de dos bucles iterativosinternos que se engloban en un tercer bucle externo. A continuación se expo-nen los dos bucles internos para el cálculo de la viscosidad y las temperaturassuperficiales.

Cálculo de la viscosidad


Modelo numérico

El bucle iterativo de cálculo de viscosidad aparente tiene como finalidad laobtención de la solución de viscosidad aparente y del gradiente de cizalla en elcontacto. Para ello se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la ecuacióndel gradiente de cizalla y el modelo de Carreau. Finaliza con la convergenciade la viscosidad aparente y el cálculo de la viscosidad aparente del lubricanteen todos los puntos del contacto.

Figura 3.1: Bucle para el cálculo de la viscosidad.

Cálculo de las temperaturas superficiales

El bucle iterativo de cálculo de las temperaturas superficiales de los discoscalcula estos parámetros a partir de una hipótesis inicial y de funciones aso-ciadas a las propiedades térmicas de los materiales, viscosidad y espesor depelícula. Se realiza la suposición inicial de que los cilindros se encuentran a latemperatura del baño de lubricante. El bucle finaliza con la convergencia deestas temperaturas superficiales.



Figura 3.2: Bucle para el cálculo de las temperaturas superficiales.

Bucle iterativo externo

El bucle iterativo externo comprende las ecuaciones de Reynolds, de laenergía y del balance de carga. Con los valores de distribución de presiones, es-pesor de película y temperaturas de la iteración anterior (o los de la suposicióninicial para el caso de comienzo del cálculo), y los cálculos de viscosidad y tem-peraturas de los bucles internos, se realiza el cálculo del sistema de ecuacionesformado por la ecuación de Reynolds discretizada en cada sección del contac-to y el balance de carga. La finalidad es la consecución de una distribución depresiones y un factor de compensación del espesor de película actualizado. Elbucle termina con la obtención de una solución que cumpla el criterio de con-vergencia establecido.


Modelo numérico

Figura 3.3: Bucle iterativo externo.

La combinación de estos algoritmos permite resolver el modelo lineal y ob-tener los resultados finales para lubricación EHL: distribución de presiones enel contacto, espesor de película a lo largo del contacto, mapa de temperaturasa lo largo del contacto y coeficiente de fricción entre ambas superficies.

En el caso de tratarse de lubricación mixta se sigue el procedimiento desa-rrollado en el apartado 2.4 y al comienzo de este capítulo.



3.1.2. Algoritmo de convergencia

El método utilizado para la resolución de los sistemas de ecuaciones es elmétodo de Levenberg-Marquard. Este algoritmo es una mezcla del método deNewton-Raphson junto con el descenso por gradiente. Su utilización es bastan-te común a la hora de ajustar curvas cálculando mínimos locales sin necesidadde calcular mínimos globales.

A continuación se ofrece una breve descripción del proceso iterativo quepermita entender los resultados obtenidos al ejecutar el software. Mayor deta-lle y profundidad se puede encontrar en [3].

La iteración se lleva a cabo de la siguiente manera:

x i−1 = x i − (H + Lambda · I)−1Ï f (x i) (3.4)

donde,H es la matriz Hessiana evaluada en el punto x i.Ï f (x i) es el gradiente de la función.Lambda es un parámetro que recoge la influencia del descenso del gradiente.

La actualización del parámetro Lambda es de la forma:

1. Se efectúa una iteración del vector de variables.

2. Se evalua el error mediante la norma del vector residuos:

‖ f vec ‖≤ 10−3 (3.5)

3. Si el error disminuye con respecto a la iteración anterior se admite dichaactualización del vector de variables, se reduce Lambda en un factor de10 (esto solo se realiza a partir de Lambda > 100), con el fin de reducirla influencia del gradiente.

4. Si el error aumenta con respecto a la iteración anterior, la actualizacióndel vector de variables no se acepta, y se incrementa el valor del pará-metro Lambda en un factor de 10.

En caso de aumentar el parámetro Lambda excesivamente, la matriz Hes-siana se vuelve irrelevante ya que adquiere mucha mayor importancia el gra-diente.


Modelo numérico

Los tres elementos que marcan el final de la iteración son el parámetroLambda, el número máximo de iteraciones y el error. El parámetro Lambdacomienza en 10−16 y en caso de aumentar hasta 1010 se da por finalizada laiteración. El número máximo de iteraciones para los bucles de temperatura yviscosidad está establecido en 2.000 y para el bucle externo en 10.500. El errorda por finalizado el bucle cuando este es inferior a 10−2. La situación ideal seproduce cuando el fin de las iteraciones se ha producido por el límite introdu-cido por el error. Un final debido a los otros dos condicionantes no desecha elresultado pero sí da señales de dificultad en la convergencia.

3.2. Utilización del modelo

Para la resolución del problema TEHL se han desarrollado tres ramas delmismo modelo: Liso, Rugoso y Mixto.

El modelo Liso se corresponde a situaciones en régimen hidrodinámico enlas que la rugosidad no se tiene en cuenta.

El modelo Rugoso se corresponde a las mismas situaciones que el anterioraunque en esta rama sí se tienen en cuenta las rugosidades de las superficies.

Por último, el modelo Mixto resuelve condiciones en régimen mixto me-diante una combinación de los anteriores y las correlaciones de Zhu y Castro(Sección 2.4).

A continuación se va a describir cómo utilizar el modelo así como las dife-rentes partes de las que está compuesta su interfaz.

3.2.1. Ejecución del modelo

El archivo que contiene el código que controla la interfaz de usuario prin-cipal se denomina TEHL.m. Para ejecutar el modelo simplemente es necesarioejecutar dicho archivo o ejecutar el comando TEHL en la ventana de comandode MATLAB. Es importante recordar que para que se ejecute el comando TEHLcorrectamente el espacio de trabajo debe estar situado en la ruta del modelo.

Una vez ejecutado el modelo se muestra la siguiente ventana:



Figura 3.4: Pantalla principal del modelo.

En ella se pueden apreciar las diferentes secciones en las que está divididala introducción de datos: Condiciones de funcionamiento, Propiedades de losmateriales y Lubricante.

En caso de ejecutar el modelo Rugoso o Mixto se muestra también un cuadrode texto para introducir la rugosidad combinada (σ =

Æ

σ21 +σ

22) en metros.

También se puede establecer el tipo de mallado a realizar: muy grueso,grueso, fino y muy fino. Un mallado más fino otorga más puntos de cálculo enel contacto que se traduce en un número mayor de iteraciones y un resultadomás preciso a costa de un tiempo de cálculo más alto.

El botón Vista preliminar ofrece una vista previa con todos los parámetrosde cálculo.


Modelo numérico

Figura 3.5: Sección de vista preliminar del modelo.

Condiciones de funcionamiento

En esta sección se pueden introducir las características geométricas y defuncionamiento: radios de los cilindros; carga (N/m); velocidad media; SRR;temperatura inicial del baño de lubricante y la longitud de contacto, habitual-mente 1 mm.

Figura 3.6: Sección de condiciones de funcionamiento del modelo.



Propiedades de los materiales

Encontramos un menú desplegable dónde seleccionar el tipo de materiala utilizar. Las propiedades del acero y el cobre se encuentran ya programadasde forma que solo es necesario seleccionarlos. EN caso de querer introducir unnuevo material sería necesario pulsar Seleccionar e introducir sus propiedadesen la ventana que se muestra.

Figura 3.7: Sección de propiedades de los materiales del modelo.

Lubricantes

La sección de lubricantes permite seleccionar un lubricante ya introducidopreviamente, introducir uno nuevo, modificar uno existente y seleccionar losmodelos reológicos y sus parámetros.

Para seleccionar un lubricante introducido previamente simplemente es ne-cesario escribir su nombre en el recuadro Cargar desde base de datos. Es impor-tante respetar mayúsculas y minúsculas.


Modelo numérico

Figura 3.8: Sección de lubricantes del modelo.

La introducción de un nuevo lubricante se realiza pulsando el botón Intro-ducir nuevo lubricante y cumplimentando las propiedades de la ventana corres-pondiente.

Para modificar un lubricante ya introducido es necesario pulsar el recuadroLubricante modificado correspondiente a la propiedad que se quiere modificary posteriormente el botón correspondiente a los parámetros a variar. De estaforma aparecerá una ventana dónde introducir los nuevos valores.



Figura 3.9: Sección introducir lubricante del modelo.

Si el recuadro Lubricante modificado no se encuentra marcado los nuevosparámetros no se tendrán en cuenta al realizar el cálculo.

Figura 3.10: Sección lubricante modificado del modelo.

Los modelos reológicos se seleccionan de los menús desplegables situadosbajo las propiedades a las que responden (viscosidad, densidad, Carreau y pro-piedades térmicas).

Por último señalar la importancia de los parámetros presión-viscosidad (α),n y G. Una pequeña variación de estos parámetros afecta de forma muy signifi-cativa a los resultados. Por ello es muy importante introducir estos parámetrosmedidos o estimados en las condiciones adecuadas.

Asímismo, el parámetro α es quizás el más influyente en el resultado y suvariación con la presión y la temperatura es significativa. Por ejemplo, α para


Modelo numérico

PAO 6 a presión ambiente y 40oC tiene un valor de 11,5 GPa−1 y para unapresión de 0,88 GPa y 50oC desciende hasta 10,8 GPa−1.

3.3. Modelo numérico y modelo analítico

En esta sección se va a exponer de manera breve el funcionamiento delmodelo analítico que permite resolver el problema TEHL lineal. Tal y como sedesarrolló en el capítulo 2.2, Los contactos en condiciones EHL están some-tidos a elevadas presiones y temperaturas. Debido a esto los sólidos en con-tacto sufren deformación y el lubricante entra en régimen de comportamientopseudoplástico. Habitualmente las soluciones a los contactos EHL consideranuna aproximación isotérmica, donde las variaciones de temperatura debidas aldeslizamiento son despreciadas. Sin embargo, esto solo es aplicable en ciertascondiciones [28]. El modelo analítico que es de interés en este trabajo sí tieneen cuenta las variaciones en la temperatura.

También se realizará una comparación con el modelo numérico.

3.3.1. Modelo analítico

El modelo analítico permite resolver el problema TEHL lineal utilizandouna hoja de cálculo y un pequeño número de iteraciones.

Las principales ventajas de este método frente al método numérico son dos:mayor velocidad de cálculo y la certeza de que se obtendrá un resultado bajocualquier condición de funcionamiento al no existir problemas de convergen-cia.

Sin embargo, la debilidad del método analítico es la menor precisión de losresultados respecto al modelo numérico.

El modelo analítico obtiene el resultado de la siguiente expresión [29]:

µ= CnG1−n(4

P0π+αn3[(1−

p3

2)enαP0

Ç

12+p

34 + enαP0/

p2 + (1+

p3

2)enαP0

Ç

12−p

34 ])

(3.6)donde,

µ es el coeficiente de rozamiento.G es la tensión cortante límite del modelo de Carreau.n es el parámetro del modelo de Carreau.α es el parámetro presión - viscosidad del modelo de Barus.



P0 es la presión máxima del contacto.C es un parámetro que tiene la siguiente expresión:

C = (η0∆uK

hc)n (3.7)

donde,

η0 es la viscosidad inicial.∆u es la diferencia de velocidades entre los discos.hc es el espesor de película corregido.K es la conductividad térmica del lubricante.

Espesor de películaEl espesor de película corregido con la influencia de la temperatura (hc) se con-sidera constante en todo el contacto [30]. Primeramente se obtiene un espesorde película en condiciones isotermas (hNc) con la siguiente expresión:

hNc = 2, 154α0,47(η0um)0,692E′0,11R′0,308P−0,332

0 (3.8)

donde,hNc es el espesor de película no corregido, sin la influencia de la temperatura.um es la velocidad media.E′ es el modulo elástico equivalente.R′ es el radio equivalente.

Posteriormente se corrige este espesor para adaptarlo a las variaciones de-bidas a los cambios de temperatura mediante el parámetro ΦT de la formahc = hNc ·ΦT . El parámetro ΦT se expresa como:

ΦT =1− 13, 2(P0/E

′)L0,47

1+ 0, 213�

1+ 2,23(∆uum)0,83

�

L0,64(3.9)

donde,L se expresa como:

L ≈ βη0u2m/kl (3.10)

donde,β es el parámetro temperatura - viscosidad del lubricante.η0 es la viscosidad del lubricante.kl es la conductividad del lubricante.


Modelo numérico

La expresión del espesor de película teniendo en cuenta también efectos depiezoviscosidad queda de la siguiente forma:

hNc

hc=�

1+ 0,79((1+SRR100)umη0

hNcG)

11+0,002·SRR

�3,6(1−n)1,7

(3.11)

donde,U es la velocidad adimensional.

Viscosidad

Para el cálculo de la viscosidad a baja velocidad de cizalla se utiliza el mo-delo de Barus. Se puede encontrar en la sección 2.5.1.

A alta velocidad de cizalla se utiliza el modelo Tait-Doolitle:

η

ηR= ex p[(B

vvR)(

1+ ε(T − Tr)(v/vR)− R0(1+ ε(T − TR))

−1

1− R0)] (3.12)

donde,R denota el estado de referencia.v es el volumen del lubricante.B y ε son parámetros del lubricante.

Para el cálculo del volumen adimensional ( vvR

) se utiliza la ecuación de Taitdescrita en la expresión 2.37.

3.3.2. Comparación de modelos para lubricación EHL

A continuación se van a mostrar diferentes resultados numéricos, analíti-cos y experimentales con el objetivo de exponer graficamente las fortalezas ydebilidades de ambos métodos de cálculo. Se ha seleccionado un lubricantecon viscosidad elevada (PAO 40) y un lubricante con viscosidad baja (PAO 6).

Los resultados experimentales se han tomado de [4] y [3]. Ambos se hanrealizado con una máquina MPR con los siguientes valores:



MPRR1: 27 mmR2: 6 mmE′: 210 GPaυ1: 0,3υ2: 0,3ρ: 7850 kg/m3

k: 41 W/m KCp: 418 J/kg K

Mayor detalle y una breve descripción de una máquina MPR puede encon-trarse en el anexo correspondiente.

Lubricante PAO 40 40oC

Las diferentes características del lubricante PAO 40 a 40oC son:

PAO 40 [3]TR: 40oCηR: 0,348 Pa sPresión - viscosidad (α): 14,4 x 10−9 Pa−1

Temperatura - viscosidad (β): 0,027 K−1

ρ0: 829 Kg/m3

n: 0,4G: 6 MPak: 0,1472 W/m KCp: 2194 J/kg KExpansión térmica: 0,0007 K−1

Estos ensayos se realizaron con una presión de Hertz máxima (P0) de 0,88GPa correspondiente a una carga de 100 N en la máquina MPR, velocidadesmedias de 1, 1,5 y 2 m/s y un SRR de 10-190. Los resultados de los mismos asícomo los valores del modelo analítico y numérico pueden observarse a conti-nuación:


Modelo numérico

Figura 3.11: Resultados PAO 40 1 m/s.

Figura 3.12: Resultados PAO 40 1,5 m/s.



Figura 3.13: Resultados PAO 40 2 m/s.

Tal y como muestran los resultados el modelo numérico se aproxima con-siderablemente mejor a los resultados reales que el modelo analítico. Para elmodelo analítico se produce un error medio del 222% por un error medio del11% para el modelo numérico.

Por otra parte, el tiempo medio de cálculo del modelo numérico son 576 s(9,6 minutos) en contraposición al tiempo casi nulo del modelo analítico.


Modelo numérico

Lubricante PAO 6 80oC

Las diferentes características del lubricante PAO 6 a 80oC son:

PAO 6 [4]TR: 80oCηR: 0,00736 Pa sPresión - viscosidad (α): 9 x 10−9 Pa−1

a1: 49290000 Paa2: 390100 Pa/oCb1: 0,02479 b2: 0,0002354 oC−1


ρ0: 820 Kg/m3

K0: 0,85 GPaK ′0: 10,19n: 0,73G: 0,1 MPak: 0,15 W/m KCp: 2000 J/kg KExpansión térmica: 0,0007 K−1

En este caso de van a utilizar presiones de 0,88 GPa (100 N en la máquinaMPR) y 1,02 GPa (150 N en la máquina MPR), velocidades medias de 1,5, 2 y2,5 m/s y SRR de 10-100 y de 10-190.

Figura 3.14: Resultados PAO 6 100 N 2 m/s.



Figura 3.15: Resultados PAO 6 150 N 1,5 m/s.

Figura 3.16: Resultados PAO 6 150 N 2 m/s.


Modelo numérico

Figura 3.17: Resultados PAO 6 150 N 2,5 m/s.

Al igual que en los resultados con el lubricante PAO 40 se observa unamejor precisión del modelo numérico. El error medio del modelo numérico esun 15% mientras que en el modelo analítico es de un 86 %.

El tiempo medio de cálculo para el modelo numérico es de 590 s (9,8 mi-nutos).

Modelo numéricoVentajas InconvenientesMayor precisión (error 11%-15 %) Tiempo de cálculo elevadoCálculo de h(x), P(x) y T (x) Convergencia limitadaVarios modelos reológicos Requiere conocimiento de MatLab

Modelo analíticoVentajas InconvenientesCálculo inmediato Menor precisión (error 86 %-222%)Convergencia garantizada Únicamente obtiene Po, hc y ∆TTan solo necesita una hoja de cálculo



Comprobación del modelo numérico

Tal y como se estableció al comienzo de este trabajo uno de los objetivos esla comprobación del modelo numérico lineal en un mayor rango de condicionesde funcionamiento. Para ello, primero, se realizó una búsqueda de artículos ypublicaciones sobre contacto lineal. Posteriormente se procedió a caracterizarel lubricante utilizado en los artículos encontrados de forma que se adapte alos parámetros de los módelos que se utilizan.

4.1. Caracterización de lubricante SAE 30

En esta sección se va a caracterizar un lubricante tipo SAE 30 procedentedel artículo Theoretical and experimental investigation of traction coefficient inline-contact EHL of rough surfaces realizado por M. Masjedi y M.M. Khonsari dela Universidad de Luisiana [2].

En este artículo se realizan una serie de experimentos para hayar el coefi-ciente de rozamiento en diferentes condiciones de deslizamiento. Los modelosreológicos utilizados corresponden a la ecuación de Tait modificada, la ecua-ción de Doolittle para el volumen libre y el modelo de tensión cortante límite.

La escuación de Tait modificada es de la siguiente forma:

vvR= [1+ av(T − TR)]

�

1−1

1+ K ′0ln(1+

P

K∞ + (K̇0/T )(1+ K ′0))

�

(4.1)

donde,el subíndice R denota el estado de referencia.v es el volumen del lubricante.T es la temperatura.P es la presión.

La ecuación de Doolittle para volumen libre:

µ

µR= ex p[BR0(

1+ ε(T − Tr)(v/vR)− R0(1+ ε(T − TR))

−1

1− R0)] (4.2)



donde,µ es la viscosidad del lubricante a baja velocidad de cizalla.

Los parámetros K ′0, K∞, K̇0, av, B yR0 son obtenidos experimentalmente pa-ra el lubricante.

El modelo de tensión cortante límite:

§

τ= η(P, T )γ̇ ηγ̇≤ τl im

τ= τl im ηγ̇= τl im(4.3)

El fluido tiene comportamiento newtoniano en la zona lineal (ηγ̇≤ τl im) ycuando alcanza su tensión cortante límite se comporta de forma pseudoplásti-ca. Para el caso del artículo en cuestión, τl im = ΛPh con Λ= 0,091, donde,τ es la tensión cortante.Ph es la presión de Hertz máxima.η es la viscosidad a alta velocidad de cizalla. Para el ajuste se tomará este va-lor como el resultado de introducir en el modelo de Barus la presión de Hertzmáxima (Ph).γ̇ es la velocidad de cizalla.

Los diferentes valores del lubricante y del ensayo son:

Lubricante EnsayoTR: 20oC R1: 53 mmµR: 0,35 Pa s R2: 38 mmK ′0: 10,4 E′: 228 GPaK∞: -0,9282 GPa σ1: 0,2 µmK̇0: 580,7 GPa K σ2: 0,2 µmav: 8 x 10−4 K−1 ρ: 7850 kg/m3

R0: 0,698 k: 47 W/m KB: 3,52 C: 460 J/kg Kε: -15 x 10−4 K−1

ρ0: 888 Kg/m3

k: 0,145 W/m KCp: 1880 J/kg KβT : 0,00007 K−1

Para poder adecuar el lubricante a nuestro modelo numérico es necesariopor lo tanto el ajuste de los parámetros presión-viscosidad (α) y temperatura-viscosidad (β); las constantes K0 y K ′0 del modelo de Tait y los valores de n yG (módulo cortante del lubricante) del modelo de Carreau.



El procedimiento seguido para ajustar los parámetros es un proceso itera-tivo de cálculo, representación y aproximación de los resultados.

A continuación se detalla cada uno de ellos.

4.1.1. Parámetros de la viscosidad

Presión-viscosidad

El ajuste del parámetro presión-viscosidad se realiza representando paradiferentes valores de presión máxima de interés en este caso (300-600 MPa)tanto el modelo de Barus como el modelo de Doolitle. En el caso del modelode Barus (expresión 2.44) la comparación se realiza a una temperatura cons-tante T0 = 20oC. De esta forma se va variando el valor del coeficiente presión-viscosidad hasta alcanzar una similutud de valores entre ambos modelos.

En la siguiente gráfica se puede obsevar la representación de los valores dela viscosidad (µ) para ambos modelos:

Figura 4.1: Coeficiente presión-viscosidad (α) para SAE 30

Al finalizar el proceso se obtiene un coefiente de 12 GPa−1.

Temperatura-viscosidad

Para el parámetro temperatura-viscosidad (β; expresión 2.49) se realiza elmismo procedimiento descrito anteriormente. La comparación se ha realizado



a presión constante de 0,1 MPa.

El resultado se puede observar en la siguiente gráfica:

Figura 4.2: Coeficiente temperatura-viscosidad (β) para SAE 30

El coeficiente temperatura-viscosidad obtenido es de 0,053 K−1.

4.1.2. Parámetros de Tait

El cálculo de los parámetros de la ecuación de Tait sigue el mismo pro-cedimiento anteriormente descrito. Aunque en este caso la densidad no estáexplicitamente representada en los modelos del artículo se ha utilizado la re-lación: v

vR= ρR

ρ . En la siguiente gráfica se muestra la comparación de valoresde ambos modelos:



Figura 4.3: Densidad de SAE 30 según los modelos comparados.

Tras el ajuste del modelo se obtiene los parámetros del modelo de Tait:K0 = 1, 3GPa y K ′0 = 9,4

4.1.3. Parámetros de Carreau

El ajuste de los parámetros de Carreau es el más condicionante para el re-sultado final y en el que, por las características de ambos modelos, mayoresimprecisiones se cometen.

La gran importancia de los parámetros de Carreau (n y G) está en su re-lación más estrecha a la hora de calcular el coeficiente de rozamiento. Comoya fue descrito en el Capítulo 2 (2.1.3. Fricción lubricada) el cálculo del coefi-ciente de rozamiento de un fluido se calcula mediante la integral de la tensióncortante (τ) producida por dicho fluido en la superficie del contacto. De formagráfica esto supone el cálculo del área encerrada bajo la curva que marca latensión cortante del lubricante (τ) en función de la velocidad de cizalla (γ̇).Dicha curva está definida mediante el modelo de Carreau (η(τ, γ̇)) Es por ellode la gran relevancia del modelo de Carreau en el cálculo del coeficiente defricción.

El grado de error cometido en la aproximación está dado por las carac-terísticas intrínsecas de ambos modelos. El modelo de Carreau es un modeloexponencial que a altas velocidades de cizalla converge en un valor de vis-



cosidad. Sin embargo, el modelo de la tensión cortante límite establece unaprimera zona lineal seguida de una zona con la tensión cortante constante es-tablecida en el valor límite. Es en la transición de ambas zonas donde surgenlas mayores diferencias debido a la dificultad del aproximar mediante el mo-delo de Carreau el modelo de la tensión cortante límite. Esta diferencia quedarepresentada graficamente en la siguiente ilustración:

Figura 4.4: Comparación de los modelos de tensión cortante

Como se puede apreciar en la figura en la aproximación se comete un errorque queda representado mediante el área rayada. La magnitud del área, y porlo tanto del error, dependerá de las condiciones de funcionamiento.

Para comenzar la aproximación es necesario primero establecer la presióna baja velocidad de cizalla (µ1) que será introducida en el modelo de Carreau.Se consideran dos posibilidades: la presión de Hertz máxima (PhoP0) o la pre-sión media, que en el caso de la presión de Hertz queda establecida en 2

3 Ph

debido a la forma parabólica de la misma.

Es importante destacar que debido a las condiciones de los ensayos se al-canza la tensión cortante límite en la mayoría de los mismos (a partir de SRR50). Esto junto al menor error de aproximación cometido con la presión deHertz máxima dicta que esta será la utilizada.

A continuación se puede observar graficamente la aproximación realizada.Se ha representado la tensión cortante (τ) en el eje de ordenadas y la velocidadde cizalla (γ̇) en el eje de abscisas.



Figura 4.5: Aproximación mediante el modelo de Carreau

Asímismo se puede apreciar, tal y como se ha establecido, el menor errorcometido mediante la utilización de la presión máxima.

Con objeto de realizar una aproximación que sea válida para el mayor ran-go posible se ha decidido ajustar los parámetros de Carreau (n y G) en losvalores medios de la velocidad de cizalla. En el caso del artículo en cuestióndichos valores están entre 5 x 104 y 5 x 105.

Tras realizar el ajuste de los parámetros los mismos quedan establecidos dela siguiente forma: n= 0,5yG = 10M Pa.



4.2. Resultados obtenidos

Tras realizar las simulaciones se han obtenido los siguientes resultados:

Figura 4.6: Resultados de la simulación con SAE 30

El trazo rojo corresponde a los resultados experimentales [2], el trazo ver-de son los resultados de la simulación en condiciones de lubricación sin efectode la rugosidad y el trazo morado son las simulaciones de lubricación mixta enlas condiciones de los experimentos de [2].

En la figura se pueden apreciar dos factores importantes: la forma de lacurva de los resultados experimentales y la diferencia de esta con las simula-ciones realizadas.

Para entender la forma que toma la curva con los resultados experimen-tales es importante destacar el caracter rugoso de los mismos. A lo largo delos experimentos el espesor específico de película (λ) se encuentra en valorescercanos a 1,35. Tal y como se puede observar en la Fígura 2.6 estos valoresde λ se encuentran muy próximos al régimen de lubricación límite. Debido aesto, a partir de un régimen de deslizamiento bajo el coeficiente de rozamientoestá, en mucha mayor medida, influenciado por la untuosidad del lubricantey no por las fuerzas tangenciales del mismo. Teniendo en cuenta este factor sepuede entender la forma horizontal que toma la curva experimental ya que el



coeficiente de rozamiento debido a la untuosidad es un valor constante.

La diferencia entre las simulaciones realizadas y la curva experimental seexplica teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente junto con los modelosreolóligos utilizados. El modelo numérico alcanza su mayor precisión cuan-do λ se encuentra en valores de lubricación mixta más próximos al régimende lubricación EHL. La reducción de λ, con la aproximación al régimen límiteque conlleva, reduce también la precisión del modelo. Este hecho junto con elerror cometido en la estimación de los parámetros de Carreau (3.1.3.) provocaque las diferencias se vayan reduciendo conforme las condiciones de funcio-namiento se acerquen a unas en las que el error cometido al estimar n y G esmenor.

4.3. Límites del modelo para lubricación EHL

Tal y como ya se expuso en la sección 3.2.2. de comparación de los modelosnuméricos y analíticos, el modelo numérico presenta problemas de convergen-cia en ciertas condiciones de funcionamiento.

El objetivo de esta sección es definir dichas zonas con problemas de con-vergencia así como establecer una comparación con diferentes modelos en lu-bricación EHL.

Los lubricantes a utilizar en las simulaciones son: PAO 6 a 40oC y 80oC(baja viscosidad); PAO 40 a 40aC (alta viscosidad) y un lubricante de carac-ter newtoniano. Se deciden utilizar estos lubricantes puesto que se encuentrancaracterizados en un rango amplio de condiciones y porque se conocen resul-tados experimentales de los mismos.

Las condiciones de las simulaciones son las siguientes:

Parámetros simulacionesR1: 27 mmR2: 6 mmE′: 210 GPaυ1: 0,3υ2: 0,3ρ: 7850 kg/m3

k: 41 W/m KCp: 418 J/kg K



Al igual que se estableció en la sección 3.3.2 (Comparación de modelos)el modelo numérico se aproxima con mayor precisión al valor real de fricciónque el modelo analítico. Por lo tanto es posible establecer que el valor real defricción se encontrará entre el valor de ambos modelos pero con mucha mayorcercanía al modelo numérico.

Las condiciones de presión de las simulaciones se deciden basadas en con-diciones reales de funcionamiento de contactos lineales (p.ej.: engranajes yrodamientos de rodillos) para presiones de entre 0,8 - 2 GPa [31] [32].

Para el caso de la velocidad y el SRR se utiliza el mayor rango posible, va-riando la velocidad entre 0,01 - 3 m/s y el SRR entre 5 - 190. Sin embargo, laslimitaciones de convergencia establecen una velocidad mínima de las simula-ciones de 1 m/s en la mayoría de los casos.

Es importante recordar que el modelo numérico alcanza su resultado entres condiciones: el valor de la norma del vector de errores es inferior al va-lor establecido (10−3); el número de iteraciones sobrepasa el valor establecido(10.500) y el parámetro Lamdba se incrementa por encima de 1010.

De las simulaciones realizadas se han obtenido tanto resultados de friccióncomo de espesor de película central. La variación del espesor de pelíca conllevauna variación contraria en el coeficiente de fricción.

A continuación se establece cómo afecta la variación de la presión, veloci-dad y SRR en el coeficiente de fricción y en el espesor de película central.

Coeficiente de fricciónAl tratarse de lubricación EHL el coeficiente de rozamiento viene determinadopor la viscosidad del lubricante (η) y la velocidad de cizalla (γ̇) y no por larugosidad de las superficies tal y como se estableció en la sección 2.1.3 con laexpresión 2.15.

Un aumento de la carga provoca un aumento de la presión en el contacto.Esta mayor presión aumenta la viscosidad del lubricante de forma exponencialsiguiendo el modelo presión - viscosidad utilizado, en este caso el modelo deBarus (expresión 2.44). Se conoce que el rozamiento es función de la tensióncortante del lubricante (expresión 2.15) y esta a su vez aumenta linealmentecon la viscosidad (τ= η · γ̇). Por ello un aumento de la viscosidad, como con-secuencia de un aumento de la carga, incrementa el coeficiente de rozamiento.

La velocidad afecta de forma menos significativa al coeficiente de roza-



mientos para situaciones en las que la velocidad media no sea excesivamentebaja (' 0, 1− 0, 01m/s). Este rango de velocidad media provoca un descensodel espesor mínimo de película con la consecuente entrada en régimen de lu-bricación mixta (λ < 2,5). En este régimen el coeficiente de rozamiento estádeterminado por la untuosidad del lubricante y no por la tensión cortante. Esimportante señalar que el modelo numérico no se comporta de manera precisapara régimen de lubricación mixta.

Para valores de velocidad media por encima de 0, 1m/s, un aumento de lamisma provoca un aumento del espesor de película debido al fenómeno de cu-ña hidrodinámica. Puesto que la velocidad de cizalla se puede expresar comoγ̇= ua−ub

hcesto provoca un descenso del coeficiente de fricción.

El SRR (definido como ua−ubum

) es el parámetro que menos afecta al coeficien-te de rozamiento. Al aumentar el SRR, manteniendo constante la velocidadmedia, se produce un aumento en la diferencia de velocidades de forma quese incrementa la velocidad de cizalla y la fricción del lubricante. Esta forma esmucho más acusada en el modelo analítico que en el modelo numérico.

Espesor de película centralLa variación del espesor de película se comprueba que es inverso al aumentode la carga. Una mayor carga provoca una disminución del espesor de pelícu-la. Este resultado que parece lógico se comprueba en las gráficas representadaspara cada lubricante.

En cuanto a la velocidad, un aumento de la velocidad media lleva un au-mento del espesor de película. Esto es debido a la mayor presión generada enel fluido, debido al fenómeno de cuña hidrodinámica, y por lo tanto mayorseparación entre superficies.

El SRR y el espesor de película están inversamente relacionados. Esto sepuede obervar en la expresión 2.24 de espesor de película en lubricación EHL,donde el parámetro SRR (denominado S en ese caso) se encuentra con signonegativo de forma que su incremento disminuye el espesor de película.

4.3.1. Lubricante PAO 6 80oC

El lubricante PAO 6 a 80oC ha sido ya estudiado y caracterizado con ante-rioridad de forma que se conocen los parámetros necesarios para su simula-ción. Para el caso del modelo numérico se encuentran definidos los valores de



la ecuación del módulo (expresión 2.46) que permite modificar el coeficientepresión-viscosidad (α) del modelo de Barus en función de presión y tempera-tura. Esto permite una mejor aproximación dado que dicho coeficiente es muysensible a modificaciones en la presión y temperatura.

PAO 6 80oC [4]ηR: 0,00736 Pa sPresión - viscosidad (α): 9 x 10−9 Pa−1

a1: 49290000 Paa2: 390100 Pa/oCb1: 0,02479 b2: 0,0002354 oC−1


ρ0: 820 Kg/m3

K0: 0,85 GPaK ′0: 10,19n: 0,73G: 0,1 MPak: 0,15 W/m KCp: 2000 J/kg KExpansión térmica: 0,0007 K−1

Presión

Para determinar los límites de convergencia para la presión se realizan si-mulaciones en las siguientes condiciones:

Límite presión PAO 6 80oCVelocidad media: 1 m/sSRR: 50Carga: 50 N (0,63 GPa) - 75 N (0,75 GPa) - 100 N (0,88GPa)125 N (0,98GPa) - 150 N (1,02 GPa) - 175 N (1,17 GPa)

Los resultados de las simulaciones con los modelos numérico y analítico sepueden obervar a continuación:



Figura 4.7: Fricción PAO 6 80oC - Presión

Figura 4.8: Espesor de película central PAO 6 80oC - Presión

Velocidad media

En cuanto a los límites de convergencia para valores de velocidad se reali-zan simulaciones en las siguientes condiciones:



Límite velocidad media PAO 6 80oCSRR: 50Carga: 150 N (1,02 GPa)Velocidad media: 1 m/s - 1,25 m/s - 1,5 m/s - 1,75 m/s2 m/s - 2,25 m/s - 2,5 m/s - 2,75 m/s - 3 m/s


Figura 4.9: Fricción PAO 6 80oC - Velocidad media

Figura 4.10: Espesor de película central PAO 6 80oC - Velocidad media



SRR

Los límites de convergencia para valores de SRR se obtienen con simula-ciones en las siguientes condiciones:

Límite SRR PAO 6 80oCCarga: 100 N (0,88 GPa)Velocidad media: 1 m/sSRR: 5 - 10 - 15 - 20 - 30 - 4050 - 60 - 70 - 80 - 90 - 100 - 110


Figura 4.11: Fricción PAO 6 80oC - SRR



Figura 4.12: Espesor de película central PAO 6 80oC - SRR

La gráfica del coeficiente de fricción para SRR muestra tendencia similaren ambos modelos. Para el caso de la velocidad media la tendencia del modeloanalítico es más pronunciada. Esto es debido a que la velocidad media y el es-pesor hc son proporcionales en el modelo analítico (expresión 3.11) mientrasque en el numérico la velocidad media está introducida en el cálculo de h(x)(expresión 2.24) mediante el SRR en forma de sumando negativo.

La diferencia entre los valores de fricción para velocidad media y SRRparte del hecho de que las simulaciones se han realizado con un valor deP0 = 1,02GPa. Si se observa la gráfica de variación del coeficiente de fric-ción en función de la presión se puede comprobar como para ese valor de P0

se obtienen las mayores diferencias. Y esas diferencias entre ambos modeloscrecerán con un aumento de la presión.

Esto es debido a las simplificaciones realizadas en el modelo analítico con elfin de simplificar el cálculo. En el modelo analítico se mantiene un α constantemientras que en el modelo numérico este parámetro se modifica con la presióny temperatura. Al tratarse α de un parámetro exponencial afecta de forma sig-nificativa al resultado. Esto es especialmente visible para el caso del cálculodel coeficiente de fricción, donde la sobreestimación del modelo analítico esmayor. Para el caso del espesor de película esta sobreestimación es menor yaque no se encuentra en parámetro α en la expresión correspondiente (expre-sión 3.11).



Límites de convergencia

Los límites de convergencia representados gráficamente son los siguientes:

Figura 4.13: Límites de convergencia PAO 6 80oC

En la figura podemos observar cinco zonas representadas: zona verde, bue-na convergencia; zona amarilla, límite de iteraciones alcanzado; zoma morada,límite del parámetro Lamdba alcanzado con resultados válidos; zona azul, ími-te del parámetro Lamdba alcanzado con resultados incoherentes y zona roja,



no se alcanza la convergencia.

En el interior de la zona verde (buena convergencia) el resultado obtenidoes preciso y la convergencia se obtiene sin problemas.

En la zona amarilla (límite de iteraciones alcanzado) si bien es cierto que ellímite de iteraciones se ha alcanzado, el error obtenido es del orden de 10−3 ypor lo tanto muy cercano al límite establecido. Por ello pese a no estar marcadacomo una zona verde, la convergencia es buena y el resultado correcto.

En la zona morada (límite del parámetro Lamdba alcanzado) se produceuna situación muy similar a la zona amarilla: se produce el fin de las iteracionesdebido a una circunstancia otra que un error inferior al establecido de 10−3.Sin embargo, dicho error también se encuentra muy próximo al límite de 10−3

y por tanto se puede concluir que existe buena convergencia y el resultado esaceptado.

De las dos situaciones recientemente mencionadas se puede extraer que laobtención de un resultado debido a sobrepasar el valor del límite de iteracioneso del parámetro Lamdba no lleva necesariamente a un resultado desechable.Es necesario comprobar la magnitud del error en el momento del fin de itera-ciones junto con el número de iteraciones y el parámetro Lamdba para realizaruna conclusión.

En la zona definida con el color azul (falta de caracterización) no se obtie-nen resultados válidos debido a un aumento del parámetro lamdba que pro-voca el fin de las iteraciones. Pese a obtener un resultado, en esta zona ya seevidencian problemas de convergencia.

En la zona de color rojo no se alcanza la convergencia y no es posible ob-tener resultado.

Para concluir, la zona de buena convergencia para el caso del lubricantePAO 6 a 80oC pese a que se ha establecido exclusivamente en el area de colorverde es seguro ampliarla al conjunto de la zona morada de la gráfica.

Zona convergencia PAO 6 80oCSRR: 5 - 110Carga: 50 N (0,63 GPa) - 150 N (1,02 GPa)Velocidad media: ≥ 1 m/s




El lubricante PAO 6 a 40oC no se encuentra caracterizado con la misma ex-tensión que a 80oC. Sin embargo, los parámetros y datos experimentales pre-sentes en [3] permiten completar la caracterización. Los parámetros utilizadosen las simulaciones son los siguientes:

PAO 6 40oC [3]ηR: 0,025 Pa sPresión - viscosidad (α): 11,5 x 10−9 Pa−1


ρ0: 820 Kg/m3


Presión

Los límites de convergencia para la presión se obtienen con las siguientescondiciones:

Límite presión PAO 6 40oCVelocidad media: 1 m/sSRR: 50Carga: 50 N (0,63 GPa) - 75 N (0,75 GPa) - 100 N (0,88GPa)125 N (0,98GPa) - 150 N (1,02 GPa) - 175 N (1,17 GPa)

Los resultados de las simulaciones con los modelos numérico y analíticoson:





Velocidad media

Para los límites de convergencia para valores de velocidad se realizan si-mulaciones en las siguientes condiciones:



Límite velocidad PAO 6 40oCSRR: 50Carga: 150 N (1,02 GPa)Velocidad media: 1 m/s - 1,25 m/s - 1,5 m/s - 1,75 m/s2 m/s - 2,25 m/s - 2,5 m/s - 2,75 m/s - 3 m/s






SRR

Las simulaciones para los límites de convergencia de SRR se realizan en lassiguientes condiciones:

Límite SRR PAO 6 40oCCarga: 150 N (1,02 GPa)Velocidad: 1 m/sSRR: 5 - 10 - 15 - 20 - 30 - 4050 - 60 - 70 - 80 - 90 - 100 - 110






Los resultados obtenidos para el lubricante PAO 6 a 40oC se muestran simi-lares a los obtenidos a 80oC en cuanto a tendencias y diferencias entre modelos.Esto se explica con lo desarrollado para las simulaciones a 80oC previamente.






En la figura podemos observar tres zonas representadas: zona verde, bue-na convergencia; zona morada, límite del parámetro Lamdba alcanzado y zonaroja, no se alcanza la convergencia.



En el interior de la zona verde (buena convergencia) el resultado obtenidoes preciso y la convergencia se obtiene sin problemas. En comparación con lassimulaciones realizadas también para PAO 6 a 80oC se puede observar que lazona dónde se obtiene buena convergencia (zona morada de la convergenciade PAO 6 80oC) es similar.

La zona morada actúa como zona de transición entre la zona de buena con-vergencia y la zona dónde no se alcanza la convergencia. En valores próximosa la zona verde, aún estando en la zona morada, se sigue dando buena conver-gencia, con un error muy cercano a 10−3 y los resultados son aceptados. En lamedida que las condiciones son más próximas a la zona de no convergencia esrecomendable tomar los resultados con mayor prudencia.

Zona convergencia PAO 6 40oCSRR: 5 - 140Carga: 50 N (0,63 GPa) - 150 N (1,02 GPa)Velocidad media: ≥ 1 m/s


Una vez realizadas las simulaciones con un lubricante de baja viscosidad(PAO 6; ηR (40oC): 0,025 Pa s) se procede a obtener los resultados en lasmismas condiciones para un lubricante con alta viscosidad (PAO 40; ηR (40oC):0,348 Pa s). Las propiedades del lubricante PAO 40 a 40oC son las siguientes:

PAO 40 [3]TR: 40oCηR: 0,348 Pa sPresión - viscosidad (α): 14,4 x 10−9 Pa−1


ρ0: 829 Kg/m3


Presión




Límite presión PAO 6 40oCVelocidad media: 1 m/sSRR: 50Carga: 50 N (0,63 GPa) - 75 N (0,75 GPa) - 100 N (0,88GPa)125 N (0,98GPa) - 150 N (1,02 GPa) - 175 N (1,17 GPa)200 N (1,2 GPa) - 225 N (1,3 GPa) - 250 N (1,36 GPa)






Velocidad media


Límite velocidad media PAO 6 40oCSRR: 50Carga: 100 N (0,88 GPa)Velocidad media: 0,1 m/s - 0,5 m/s - 1 m/s - 1,25 m/s - 1,5 m/s1,75 m/s - 2 m/s - 2,25 m/s - 2,5 m/s - 2,75 m/s - 3 m/s






SRR




Límite SRR PAO 6 40oCCarga: 100 N (0,88 GPa)Velocidad media: 1 m/sSRR: 5 - 10 - 15 - 20 - 30 - 4050 - 60 - 70 - 80 - 90 - 100 - 110120 - 130 - 140 - 150 - 160 - 170180 - 190






Los resultados obtenidos para el lubricante PAO 40 a 40oC se muestran si-milares a los obtenidos con PAO 6 a 80oC en cuanto a tendencias y diferenciasentre modelos. Esto se explica con lo desarrollado para las simulaciones dePAO 6 a 80oC previamente.






Tal y como sucedió para la PAO 6 a 40oC, en la figura únicamente pode-mos observar tres zonas representadas: zona verde, buena convergencia; zomamorada, límite del parámetro Lamdba alcanzado y zona roja, no se alcanza laconvergencia.

El área de buena convergencia es en el caso de la PAO 40 a 40oC más am-plio, especialmente en cuanto a cargas elevadas y velocidades bajas, que parala PAO 6 a 40oC. Esto es posiblemente debido a la mayor viscosidad del lubri-cante, que parece ayudar a la convergencia significativamente.



La zona dónde se alcanza el límite del parámetro Lamdba se comporta dela misma manera que lo hacía con la PAO 6, como una zona de transición. Losresultados de valores próximos a la zona de buena convergencia pueden seraceptados mientras que los que se encuentran más próximos a la zona de noconvergencia han de ser tomados con cautela. La aceptación o no de los valoresdependerá del valor del error y su cercanía al límite establecido de 10−3.

Zona convergencia PAO 40 40oCSRR: 5 - 170Carga: 50 N (0,63 GPa) - 225 N (1,3 GPa)Velocidad media: ≥ 0,5 m/s

4.3.4. Lubricante newtoniano

Para finalizar se realizan simulaciones con un lubricante newtoniano ob-tenido de [33]. Al tratarse de un lubricante com comportamiento newtonianoen el rango de presiones estudiado, la viscosidad del mismo corresponde conla determinada por el modelo de Barus (viscosidad a baja velocidad de cizalla).

Por lo tanto, los modelos reológicos que predicen la viscosidad a alta velo-cidad de cizalla no son utilizados en este caso. Este hecho mejorará la conver-gencia del modelo numérico en un rango más amplio de condiciones así comola precisión del modelo analítico.

El artículo del que se han obtenido los datos de este lubricante [33] con-tiene resultados de simulaciones realizadas (Carga: 400 - 520 N/m; Velocidadmedia: 3,6 - 5,5 y 7,3 m/s). Sin embargo, no ha sido posible obtener resulta-dos coherentes con el modelo numérico con el objeto de compararlas con losresultados del artículo.

Los parámetros del lubricante utilizado son:



Newtoniano 40oC [33]TR: 40oCηR: 0,04 Pa sPresión - viscosidad (α): 8,9 x 10−9 Pa−1


ρ0: 846 Kg/m3

n: 1k: 0,14 W/m KCp: 2000 J/kg KExpansión térmica: 0,00064 K−1

Presión


Límite presión Newtoniano 40oCVelocidad media: 1 m/sSRR: 50Carga: 50 N (0,63 GPa) - 75 N (0,75 GPa) - 100 N (0,88GPa)125 N (0,98GPa) - 150 N (1,02 GPa) - 175 N (1,17 GPa)


Figura 4.28: Fricción Newtoniano 40oC - Presión



Figura 4.29: Espesor de película central Newtoniano 40oC - Presión

Velocidad media


Límite velocidad media Newtoniano 40oCSRR: 50Carga: 100 N (0,88 GPa)Velocidad media: 0,1 m/s - 0,5 m/s - 1 m/s - 1,25 m/s - 1,5 m/s1,75 m/s - 2 m/s - 2,25 m/s - 2,5 m/s - 2,75 m/s - 3 m/s




Figura 4.30: Fricción Newtoniano 40oC - Velocidad media

Figura 4.31: Espesor de película central Newtoniano 40oC - Velocidad media

SRR




Límite SRR Newtoniano 40oCCarga: 100 N (0,88 GPa)Velocidad media: 1 m/sSRR: 5 - 10 - 15 - 20 - 30 - 4050 - 60 - 70 - 80 - 90 - 100 - 110120 - 130 - 140 - 150 - 160 - 170180 - 190


Figura 4.32: Fricción Newtoniano 40oC - SRR



Figura 4.33: Espesor de película central Newtoniano 40oC - SRR

Las tendencias del coeficiente de fricción en función de la velocidad media,presión y SRR se mantienen respecto al PAO 6 y PAO 40. La diferencia se en-cuentra en que al tratarse de un lubricante Newtoniano el modelo analítico norealiza una sobreestimación.

Esto es debido en gran parte a que la viscosidad a elevada velocidad de ci-zalla en un lubricante Newtoniano es la misma que a baja velocidad de cizallay no depende de la presión. Puesto que no depende de la presión, la suposiciónde viscosidad homogénea se comprueba.





Figura 4.34: Límites de convergencia Newtoniano 40oC

En la figura podemos observar cuatro zonas representadas: zona verde,buena convergencia; zoma morada, límite del parámetro Lamdba alcanzado;zona azul, ímite del parámetro Lamdba alcanzado con resultados incoherentesy zona roja, no se alcanza la convergencia.



En este caso la zona de buena convergencia es bastante amplia pudientoincluso extenderse a la zona de límite de Lamdba con seguridad.

La zona azul presenta convergencia, sin embargo, los resultados no soncoherentes. El parámetro Lamdba sube por encima de 1010 y ello provoca elfin de las iteraciones.

Zona convergencia Newtoniano 40oCSRR: 5 - 190Carga: 50 N (0,63 GPa) - 175 N (1,17 GPa)Velocidad media: ≥ 0,5 m/s

4.3.5. Límites de convergencia

Una vez realizadas las simulaciones se presentan los límites de convergen-cia del modelo en función del coeficiente presión - viscosidad (α) a temperaturay presión ambiente por ser el más influente para n' 0, 4 y G ' 106Pa. En casode modificar significativamente n o G estos valores de convergencia podríanverse alterados ligeramente, siendo n el más influyente de los dos.

Límites de convergencia del modelo numéricoα SRR Presión (GPa) um (m/s)9 - 11 5 - 110 0,63 - 1,02 ≥ 111 - 14 5 - 170 0,63 - 1,3 ≥ 0,5

Se observa que un valor elevado de α favorece la convergencia del modelopara valores más elevados de presión y más bajos de velocidad.

Para el caso de un lubricante Newtoniano la convergencia es completa enel rango completo de SRR (5 - 190) y velocidad media (≥ 0,5). El límite deconvergencia para la presión depende del coeficiente α aunque dicho límite esmayor que para un lubricante no Newtoniano con el mismo α.



Conclusiones y trabajos futuros

Las conclusiones de este trabajo se van a estructurar en torno a los tres te-mas tratados: comparación entre el modelo numérico y analítico, comparacióndel modelo numérico con resultados experimentales y límites de convergenciadel modelo numérico.

5.1. Modelo numérico y analítico

La comparación entre ambos modelos establece que el modelo numéricoofrece mayor precisión pero a costa de un tiempo de cálculo más elevado yposibles problemas de convergencia.

El modelo analítico no conlleva gran tiempo de cálculo ni problemas deconvergencia pero cuenta con precisión limitada y generalmente sobreestimalos resultados.

Esta sobreestimación sucede debido a que en el modelo analítico se reali-zan una serie de simplificaciones que facilitan el cálculo. La que más afecta alresultado es la no actualización del parámetro presión - viscosidad del lubri-cante (α) en función de la presión y la temperatura. Puesto que este parámetroforma parte de un exponente su influencia es significativa. La sobreestimaciónpara el caso del cálculo del espesor de película es considerablemente menor.

También es importante destacar que ambos modelos son únicamente váli-dos para el caso de lubricantes que se comporten de manera definida por losmodelos reológicos utilizados. En caso de no ser así, los resultados no son pre-cisos.



5.2. Comparación con resultados experimentales

Una primera comparación se realizó con resultados experimentales obteni-dos de [2]. El artículo seleccionado hace uso del modelo de tensión cortantelímite en una zona de lubricación mixta. En nuestro caso se utiliza el modelode Carreau de forma que los resultados difieren de los mostrados en [2].

Posteriormente se realizaron comparaciones con resultados experimentalesde [3] y [4]. En estos casos los modelos reológicos utilizados se comportan deforma semejante a como lo hace el lubricante y los resultados son más precisos.

De lo anterior se extrae la importancia de una buena caracterización y mo-delos reológicos del lubricante con objeto de obtener resultados precisos.

5.3. Límites de convergencia

Se han encontrado los límites de convergencia del modelo numérico. Aligual que los resultados, son dependientes de las propiedades del lubricante.Para lubricantes en entornos de trabajo habituales el parámetro más influyentees la dependencia de la viscosidad con la presión (parámetro α). Debido a quelos problemas de convergencia surgen en el momento de calcular la viscosidadeste parámetro es uno de los más determinantes para definir la convergencia.

Los valores de SRR de convergencia se corresponden con la mayor partedel rango completo (0 - 200).

La presión se ve limitada para valores aceptables, que sin ser los más altos(0,5 - 4 GPa), se corresponden con un rango de funcionamiento habitual.

La velocidad media (um) únicamente ofrece problemas para valores bajos(≤ 0,5m/s). Sin embargo, el régimen de funcionamiento EHL para el que es-tá destinado este modelo habitualmente consiste en velocidades superiores allímite de convergencia.

Para el caso de un lubricante Newtoniano la convergencia es completa enel rango completo de SRR y velocidad media. El límite de convergencia para lapresión depende del coeficiente α aunque dicho límite es mayor que para unlubricante no Newtoniano con el mismo α.



5.4. Líneas de trabajo futuras

A continuación se presentan posibles líneas de trabajo futuras:

Mejora de la convergencia del modelo numéricoRealización de un análisis matemático del modelo con el fin de mejorar la con-vergencia del mismo.

Ampliación de modelos reológicosExpandir la cantidad de modelos reológicos del modelo numérico permitiría laresolución de contactos con una mayor cantidad de lubricantes.

Modelo numérico para contacto puntualDesarrollo de un modelo numérico que permita resolver contactos puntuales.Sería posible la utilización de la base matemática del modelo actúal con lascorrespondientes modificaciones para contactos puntuales.

Red neuronal artificialUna red neuronal es un modelo simplificado que emula el modo en que elcerebro humano procesa la información. Funciona simultaneando un númeroelevado de unidades de procesamiento interconectadas que se asemejan a ver-siones abstractas de neuronas [34].

Mediante este sistema se pueden resolver contactos introduciendo resulta-dos experimentales en diferentes condiciones. Esto podría ayudar a resolverel problema del contacto en condiciones dónde la convergencia no sea posiblecon el modelo numérico.



Planificación temporal y presupuesto

6.1. Planificación temporal

Para el desarrollo del trabajo se incluyen y preveen las siguientes fases:

1. Estudios teóricos y análisis de la situación actual.

2. Análisis y familiarización con el modelo numérico y analítico.

3. Comparación del modelo numérico con resultados experimentales.

4. Comparación del modelo numérico con el modelo analítico.

5. Límites de convergencia del modelo numérico.

6. Difusión de resultados.



6.2. Presupuesto

Esta sección del trabajo tiene como finalidad realizar una valoración delos costes incurridos en el mismo, incluyendo los estudios realizados, personalnecesario y los recursos materiales utilizados.



Anexo

7.1. Máquina de ensayos MPR

La máquina de ensayos MPR es una máquina controlada por ordenador quepermite la realización de ensayos de fatiga superficial, pitting y micropittingasí como la medida del coeficiente de fricción lubricado en un contacto linealentre discos. Mayor detalle sobre la máquina y su software de control se puedeencontrar en [3].

Figura 7.1: Máquina MPR [3].

La máquina contiene tres discos de contacto de igual diámetro (54,2 mm),en contacto con un cuarto más pequeño que hace de testigo, y gracias a quesólo este está en contacto con los tres discos a la vez, permite simular tres ciclosde carga por cada vuelta que da el testigo [3].


Anexo

Figura 7.2: Discos y testigo de la máquina MPR [3].

Tanto el rodillo como los tres discos van conectados a ejes independientes,lo que les permite girar a diferentes velocidades, de tal manera que se puedecontrolar la velocidad media de las superficies (um) y el grado de slide to rollratio (SRR) en el contacto.

Todo ellos va alojado en un recinto hermético que aloja el lubricante a ensa-yar. Por barboteo durante el funcionamiento se consigue que el aceite asciendey lubrique los tres contactos.



Índice de figuras

1 Curva de Stribeck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

2 Simulaciones para lubricante PAO 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . III

3 Comparación de los modelos de viscosidad . . . . . . . . . . . . . IV

4 Límites de convergencia PAO 6 40oC . . . . . . . . . . . . . . . . . V

1.1 Ahorro mediante mejoras tribológicas [3]. . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Utilización de le energía en un automóvil [7] . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Contacto lineal entre dos cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Ditribución de presiones en la teoría de Hertz . . . . . . . . . . . 82.3 Contacto puntual entre dos esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Fuerza de rozamiento frente a fuerza aplicada . . . . . . . . . . . 122.5 Fuerzas tangenciales en un contacto lubricado . . . . . . . . . . . 132.6 Regímenes de lubricación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 Curva de Stribeck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.8 Coeficiente de fricción en función del régimen de lubricación. . 162.9 Tasa de desgaste en función del régimen de lubricación. . . . . . 172.10 Distribución de presión y espesor de película en lubricación EHL

[17]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.11 Geometría del espesor de película considerando la deformación

elástica [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.12 Contaco en régimen de lubricación límite. . . . . . . . . . . . . . . 232.13 Correlaciones para régimen de lubricación mixta. . . . . . . . . . 252.14 Variación de la densidad del lubricante SAE 30 en función de la

presión (MPa). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.15 Variación de la viscosidad según el tipo de fluido. . . . . . . . . . 312.16 Variación de la viscosidad del lubricante PAO 40 en función de

la presión (MPa) a 40oC siguiendo el modelo de Barus. . . . . . . 322.17 Comportamientos de un fluido en función de la velocidad de

cizalla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.18 Modelos para elevada velocidad de cizalla. . . . . . . . . . . . . . 342.19 Parámetro exponencial del modelo de Carreau. . . . . . . . . . . 36


ÍNDICE DE FIGURAS

2.20 Modelo de la tensión cortante límite para SAE 30. . . . . . . . . . 37

3.1 Bucle para el cálculo de la viscosidad. . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Bucle para el cálculo de las temperaturas superficiales. . . . . . . 433.3 Bucle iterativo externo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 Pantalla principal del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5 Sección de vista preliminar del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . 483.6 Sección de condiciones de funcionamiento del modelo. . . . . . . 483.7 Sección de propiedades de los materiales del modelo. . . . . . . 493.8 Sección de lubricantes del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.9 Sección introducir lubricante del modelo. . . . . . . . . . . . . . . 513.10 Sección lubricante modificado del modelo. . . . . . . . . . . . . . 513.11 Resultados PAO 40 1 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.12 Resultados PAO 40 1,5 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.13 Resultados PAO 40 2 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.14 Resultados PAO 6 100 N 2 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.15 Resultados PAO 6 150 N 1,5 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.16 Resultados PAO 6 150 N 2 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.17 Resultados PAO 6 150 N 2,5 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1 Coeficiente presión-viscosidad (α) para SAE 30 . . . . . . . . . . 634.2 Coeficiente temperatura-viscosidad (β) para SAE 30 . . . . . . . 644.3 Densidad de SAE 30 según los modelos comparados. . . . . . . . 654.4 Comparación de los modelos de tensión cortante . . . . . . . . . 664.5 Aproximación mediante el modelo de Carreau . . . . . . . . . . . 674.6 Resultados de la simulación con SAE 30 . . . . . . . . . . . . . . . 684.7 Fricción PAO 6 80oC - Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.8 Espesor de película central PAO 6 80oC - Presión . . . . . . . . . . 734.9 Fricción PAO 6 80oC - Velocidad media . . . . . . . . . . . . . . . . 744.10 Espesor de película central PAO 6 80oC - Velocidad media . . . . 744.11 Fricción PAO 6 80oC - SRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.12 Espesor de película central PAO 6 80oC - SRR . . . . . . . . . . . . 764.13 Límites de convergencia PAO 6 80oC . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.14 Fricción PAO 6 40oC - Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.15 Espesor de película central PAO 6 40oC - Presión . . . . . . . . . . 804.16 Fricción PAO 6 40oC - Velocidad media . . . . . . . . . . . . . . . . 814.17 Espesor de película central PAO 6 40oC - Velocidad media . . . . 824.18 Fricción PAO 6 40oC - SRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.19 Espesor de película central PAO 6 40oC - SRR . . . . . . . . . . . . 834.20 Límites de convergencia PAO 6 40oC . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.21 Fricción PAO 40 40oC - Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86



4.22 Espesor de película central PAO 40 40oC - Presión . . . . . . . . . 874.23 Fricción PAO 40 40oC - Velocidad media . . . . . . . . . . . . . . . 884.24 Espesor de película central PAO 40 40oC - Velocidad media . . . 884.25 Fricción PAO 40 40oC - SRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.26 Espesor de película central PAO 40 40oC - SRR . . . . . . . . . . . 904.27 Límites de convergencia PAO 40 40oC . . . . . . . . . . . . . . . . 914.28 Fricción Newtoniano 40oC - Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.29 Espesor de película central Newtoniano 40oC - Presión . . . . . . 944.30 Fricción Newtoniano 40oC - Velocidad media . . . . . . . . . . . . 954.31 Espesor de película central Newtoniano 40oC - Velocidad media 954.32 Fricción Newtoniano 40oC - SRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.33 Espesor de película central Newtoniano 40oC - SRR . . . . . . . . 974.34 Límites de convergencia Newtoniano 40oC . . . . . . . . . . . . . 98

7.1 Máquina MPR [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.2 Discos y testigo de la máquina MPR [3]. . . . . . . . . . . . . . . . 112


ÍNDICE DE FIGURAS



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análisis de la lubricación termo-elastohidrodinámica y...

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