Análisis complejo 1

Análisis complejo

Gráfico de la función f(z)=(z2-1)(z-2-i)2/(z2+2+2i). La coloraciónrepresenta el argumento de la función, mientas que el brillo

representa el módulo.

El análisis complejo es la rama de las matemáticas queen parte investiga las funciones holomorfas, tambiénllamadas funciones analíticas. Una función esholomorfa en una región abierta del plano complejo siestá definida en esta región, toma valores complejos ypor último es diferenciable en cada punto de esta regiónabierta con derivadas continuas.

El que una función compleja sea diferenciable en elsentido complejo tiene consecuencias mucho másfuertes que la diferenciabilidad usual en los reales. Porejemplo, toda función holomorfa se puede representarcomo una serie de potencias en algún disco abiertodonde la serie converge a la función. Si la serie depotencias converge en todo el plano complejo se diceque la función es entera. Una definición equivalentepara función holomorfa es: una función compleja sobrelos complejos que puede ser representada como unaserie de potencias. Esta definición es la más comúnpara funciones holomorfas de varias variables. Enparticular, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, un hecho que es marcadamente diferente de loque ocurre en las funciones reales diferenciables. La mayoría de las funciones elementales como lo son, por ejemplo,algunos polinomios, la función exponencial y las funciones trigonométricas, son holomorfas.

Historia

Augustin Louis Cauchy, uno de losgrandes precursores del análisis

complejo.

El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas que tienesus raíces más allá del siglo XIX. Los nombres destacados en su desarrolloson Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y muchos más en el sigloXX. Tradicionalmente, el análisis complejo, en particular la teoría de lasaplicaciones conformes, tiene muchas aplicaciones en ingeniería, pero esampliamente usada también en teoría de números analítica. En tiemposmodernos se convirtió en popular gracias al empuje de la dinámica complejay los dibujos de fractales, producidos por la iteración de funcionesholomorfas, de los cuales el más popular es el conjunto de Mandelbrot. Otrasaplicaciones importantes del análisis complejo son las de la teoría de cuerdas,una teoría de campos cuánticos conforme-invariante.

Resultados principales

Integrales de contorno

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Una herramienta de central importancia en el análisis complejo es la integral de contorno. La integral de una funciónque sea holomorfa sobre y en el interior de un camino cerrado es siempre cero. Esto es el Teorema integral deCauchy. Los valores de una función holomorfa dentro de un disco pueden ser hallados mediante una integral decontorno sobre la frontera del disco (fórmula integral de Cauchy). Las integrales de contorno en el plano complejo seusan a menudo para encontrar integrales reales complicadas, y para esto es útil la teoría de los residuos. Si unafunción tiene un una singularidad en algún punto (o número finitos de ellos), que quiere decir que sus valores"estallan", que no tiene un valor finito en tales puntos, entonces se puede definir el residuo de la función en dichasingularidad, y estos residuos pueden ser usados para calcular integrales aparentemente difíciles de una manerasencilla, este es el contenido del poderoso teorema de los residuos. El curioso comportamiento de las funcionesholomorfas cerca de las singularidades esenciales es descrito por el teorema de Weierstrass-Casorati. Las funcionesque tienen sólo polos (un tipo de singularidad de funciones racionales donde el polinomio denominador tiene unnúmero finito de ceros) y no singularidades esenciales se dicen meromorfas.

Series de LaurentLas series de Laurent son similares a las series de Taylor pero pueden ser usadas para estudiar el comportamiento delas funciones cerca de las singularidades.

Teorema de LiouvilleUna función acotada que sea holomorfa en el plano complejo debe ser constante; esto es el Teorema de Liouville,que puede usarse para dar una prueba natural y breve del Teorema fundamental del álgebra, que dice que el cuerpode los números complejos es un cuerpo algebraicamente cerrado.

Continuación analíticaUna propiedad importante de las funciones holomorfas es que si una función lo es en un dominio simplementeconexo entonces sus valores están completamente determinados por sus valores sobre cualquier subdominio máspequeño. La función sobre el dominio más grande se diría que está analíticamente continuada, que es la continuacióndesde sus valores en el dominio más pequeño. Esto permite extender, a casi todo el plano, la definición de funcionescomo la función ζ de Riemann que están inicialmente definidas en términos de sumas infinitas que convergen sólosobre dominios limitados. Algunas veces, como en el caso del logaritmo natural, es imposible continuaranalíticamente una función holomorfa a un dominio conexo no simple en el plano complejo, pero es posibleextenderla a una función holomorfa sobre una superficie íntimamente relacionada conocida como superficie deRiemann.

OtrosExiste también una rica teoría en el caso de más de una dimensión compleja, donde las propiedades analíticas comolas de expansión en series de potencias permanece aún cierta pero que sin embargo la mayoría de las propiedadesgeométricas de las funciones en una dimensión compleja (como la de transformación conforme) ya no lo son. Elteorema de representación conforme de Riemann sobre las relaciones conformes de ciertos dominios en el planocomplejo, que puede ser el resultado más importante en la teoría unidimensional, falla totalmente en dimensionesmayores.

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Enlaces externos• Weisstein, Eric W. «Complex Analysis [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ ComplexAnalysis. html

Fuentes y contribuyentes del artículo 4

Fuentes y contribuyentes del artículoAnálisis complejo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69362666  Contribuyentes: Alefisico, Dark, Davidsevilla, Davius, Emijrp, Eyrryds, Felipe Cruz G., Jsanchezes, Jtico, JuanMayordomo, Matdrodes, Raulshc, Rodriguillo, Sanbec, Tano4595, 24 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Color complex plot.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Color_complex_plot.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: Claudio RocchiniArchivo:Augustin-Louis Cauchy 1901.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Augustin-Louis_Cauchy_1901.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Publicdomain

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