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CURSO BCURSO BÁÁSICO PARA EL DISESICO PARA EL DISEÑÑO DE O DE ELEMENTOS PREFABRICADOSELEMENTOS PREFABRICADOS
Ing. David Felipe Rodríguez Díaz
Ing. Rolando Drago
Ing. Juan Juárez Lira
ANTECEDENTESANTECEDENTES
Antecedentes delAntecedentes delCemento y el ConcretoCemento y el Concreto
• 1824: - James Parker, Joseph Aspdin patentan el Cemento Portland, materia que obtuvieron de la calcinación a alta temperatura de una Caliza Arcillosa.
• 1845: - Isaac Johnson obtiene el prototipo del cemento moderno, quemando a alta temperatura una mezcla de caliza y arcilla hasta la formación del "clinker".
• 1854: El Constructor William Wilkinson patenta un sistema de armaduras de hierro para la mejora de construcción de edificaciones resistentes al fuego.
• 1855: Joseph –Lousi Lambot publicó el libro: Aplicaciones del hormigón al arte de la construcción, expuesto en la exposición mundial de París del año anterior. Construyó una lancha de concreto reforzada con alambres.
• 1861: Francoise Coignet en 1861 ideó la aplicación en estructuras como techos, paredes, bóvedas y tubos.
• Década de 1860: Joseph Monier patentó varias aplicaciones del concreto.
Antecedentes: Cemento / ConcretoAntecedentes: Cemento / Concreto
• 1868: - Se realiza el primer embarque de cemento Portland de Inglaterra a los Estados Unidos.
• 1871: - La compañía Coplay Cement produce el primer cemento Portland en lo Estados Unidos.
• 1894: Se complementan estudios del “Sistema Monier: Armazones de hierro cubiertos en cemento” iniciados en 1866 por G.A. Wayss de las empresasFreytag und Heidschuch y Martenstein, los estudios fueron concluidos porEdmond Coignet y De Tédesco.
• 1904: -La American Standard For Testing Materials (ASTM), publica por primera vez sus estándares de calidad para el cemento Portland.
• 1906: - En C.D. Hidalgo Nuevo Leon se instala la primera fabrica para la producción de cemento en México, con una capacidad de 20,000 toneladas por año.
• 1928: El día 2 de Octubre de 1928, Eugenio Freyssinet y su amigo Seailles registraban en Paris la patente No 680,547, definiendo con toda precisión la idea teórica de la pre compresión permanente de los hormigones o de otras materias y todas sus formas posibles de realización.
•
• Mi suerte, mi gran suerte, ha sido el ser asediado, desde
niño, por una vocación vehemente. He amado este
arte de la construcción que he concebido, tal y como hicieron mis ancestros artesanos, como modo de reducir al mínimo el
trabajo humano necesario para lograr un objetivo útil.
Nací constructor. Era para mi tanto una necesidad ineludible como una fuente inagotable de
felicidad imponer al material en bruto esas formas y
estructuras que surgían de mi imaginación.
• .Eugène Freyssinet
Eugenio Freyssinet (1879-1962)
Puente LuzancyPuente LuzancyRealizado por Freyssinet de 1941 a 1946 sobre el Rio Marne (Seine- Et Marne) con un claro de 55 metros de claro, 8 metros de ancho y 1.22 m en el centro del claro Formado por 3 trabes cajón prefabricadas y pretensadas a base deDovelas.
Profesor: Gustave MagnelProfesor: Gustave Magnel
Universidad de Ghent BUniversidad de Ghent Béélgicalgica
Publica sus apuntes de Diseño de Concreto Presforzado y los traduce al Inglés.El Decía:“Si no puedes diseñar una estructura de concreto Presforzado pensando en reducción de costos y tiempos no la construyas, sobre todo sé un ingeniero con conciencia profesional. Realiza la estructura correcta”.
Puente Walnut Lane MemorialPuente Walnut Lane Memorial
• Es un puente en Filadelfia, Pennsylvania construido en 1950. Fue el primer gran puente de vigas de concreto pretensado diseñado y construido en los Estados Unidos.
La forma del puente es simple, como muchos puentes en autopistas de los EE.UU. El tablero del puente con el apoyo de trece vigas de concreto. Estas vigas fueron pretensados ��con cables de postensado formado por cuatro tendones embebidos en el concreto. Aunque este tipo de construcción se ha utilizado en Europa, el Walnut Lane Memorial Bridge fue innovador en los Estados Unidos y dio lugar a la aplicación exitosa de esta tecnología en este país.
Diseñado por El Prof. Gustave Magnel
Algunos ejemplos en Algunos ejemplos en MMééxicoxico
• EdificaciónEstacionamientosNaves IndustrialesIglesiasEscuelasAuditoriosCentros ComercialesBibliotecasEdificios de ViviendaAgencias
AutomotricesFunción PúblicaHospitalesLaboratoriosHotelesBancos
Edificios Industriales
Tiendas y Centros ComercialesTiendas y Centros Comerciales
5 Meses de Construcci5 Meses de Construccióón, 45,000 mn, 45,000 m²²
Edificios PEdificios Púúblicos, Universidades.blicos, Universidades.
Escuelas, FachadasEscuelas, Fachadas
Puentes y Distribuidores VialesPuentes y Distribuidores Viales
Puentes de Gran AlturaPuentes de Gran Altura
• Especiales
EstadiosAlcantarillasPrisionesFachadasMuros de contenciónTanquesalmacenamientoEstructuras HíbridasAplicaciones dePresfuerzoPostensado linealPostensado CircularMuros M. E.Túneles
• PuentesPeatonales- cimentación- subestructuraAlfardas y rampas- superestructura
Puentes Vehiculares- subestructura- superestructura
Pasos Inferiores
Pasos a Desnivel, Encauce de RPasos a Desnivel, Encauce de Rííosos
Estadio AztecaEstadio Azteca
Estadio de Atletismos para los Juegos PanamericanosEstadio de Atletismos para los Juegos PanamericanosGuadalajara 2011Guadalajara 2011
• Edificación
EstacionamientosNaves IndustrialesIglesiasEscuelasAuditoriosCentros ComercialesBibliotecasEdificios de ViviendaAgencias
AutomotricesFunción PúblicaHospitalesLaboratoriosHotelesBancos
• Puentes
Pasos InferioresPuentes Vehiculares- subestructura- superestructura
Peatonales- cimentación- subestructuraAlfardas y rampas- superestructura
• Especiales
EstadiosAlcantarillasPrisionesFachadasMuros de contenciónTanques
almacenamientoEstructuras HíbridasAplicaciones de
PresfuerzoPostensado lineal y
circularTúnelesMuros M. E.
Estructuras Prefabricadas
DiseDiseñño de Concreto o de Concreto Presforzado Presforzado 1ª Parte - Conceptos Básicos
del presfuerzo2ª Parte – Repaso conceptos
de mecánica de materiales.
3ª Parte – Propiedades de los Materiales empleados en prefabricación.
4ª Parte - Ejercicio de Diseño5ª Parte – Cálculo de Pérdidas por
los métodos del AASHTO y del PCI. Cálculo de Deformaciones.
INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN
1ª PARTE:CONCEPTOS BÁSICOS
CONCEPTO DE PRESFUERZO
CONCEPTO DE PRETENSADO
CONCEPTO DE POSTENSADO
DEFORMACIONES DE UN ELEMENTO PRESFORZADO
ETAPAS CARGA DEFORMACIÓN DE ELEMENTOS PRESFORZADOS
PRESFUERZO TOTAL Y PRESFUERZO PARCIAL
PERDIDAS DE PRESFUERZO
ESFUERZOS PERMISIBLES
CONCEPTOS BASICOS DEL PRESFUERZOCONCEPTOS BASICOS DEL PRESFUERZO
• El concreto Presforzado consiste en crear deliberadamente esfuerzos permanentes en un elemento estructural para mejorar su comportamiento de servicio y aumentar su resistencia.
• Gracias a la combinación del concreto y el acero de presfuerzo es posible producir en un elemento estructural, esfuerzos y deformaciones que contrarresten total o parcialmente a los producidos por las cargas gravitacionales que actúan en un elemento, lográndose así diseños mas eficientes.
DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLEXIONANTESDIAGRAMAS DE MOMENTOS FLEXIONANTES• Como trabaja el presfuerzo:
TRABES PRETENSADAS
TRABES POSTENSADAS
+
+
+
+‐
PRETENSADO
POSTENSADO
PRETENSADO PRETENSADO
Producción en serie:
Características:1) Se tensan los torones “antes” del colado.2) Se requieren de muertos de anclaje o
moldes autotensables.
3) Se aplica a producción en serie en plantas prefabricadoras.
4) Se reutilizan moldes e instalaciones.
5) El anclaje se da por adherencia.
6) Se requiere enductar torones para controlar los esfuerzos durante la transferencia.
Aplica a:Trabes de puentes y edificios, Losas extruidas, Viguetas, Losas T, TT, TTV.
Características:1) Se tensan los torones una vez que se ha
realizado el colado.2) Se realiza en el lugar de la obra
principalmente.3) Se requiere dejar ductos ahogados y
ubicados según las trayectorias de cálculo.4) Una vez colocados y tensados los torones
se requiere inyectar los ductos con mortero para proteger a los torones.
5) La acción del postensado se ejerce externamente por medio de anclajes especiales.
Aplica a:Dovelas y Trabes para puentes, Losas con presfuerzo bidireccional,
Diafragmas de puentes, Vigas hiperestáticas.
Viga
Viga
Tendon apoyado
Anclaje
VigaDiafragmas Bloque extremo
Solido Gato
Anclaje Gato
Tendon conducto( a )
( b )
( c )
Losa
POSTENSADO
Gato
DEFORMACIDEFORMACIÓÓN TIPICA DE TRABES PRETENSADASN TIPICA DE TRABES PRETENSADAS
Fluencia del acero de presfuerzo
P P
Pp = Peso propio
Wm = Carga muertaWv = Carga viva
K1( Σ w) = Suma de cargas factorizadas
K2( Σ w) = Cargas incrementadas
TRANSFERENCIA
SERVICIO
Pp + Presfuerzo
1)
Wm + Wv
(Pp + Cm + Cv) + Presfuerzo
2)
K1 ( Σ W )3)
Agrietamiento a tension del concreto
K2 ( Σ W )4)
ETAPAS DE UN ELEMENTO ETAPAS DE UN ELEMENTO PRESFORZADOPRESFORZADO
Para prefabricados se debe analizar:1. Sacar del molde2. En transporte3. En montaje4. Condiciones finales
Contra flechas Flechas
PRESFUERZO PARCIAL Y TOTAL
El término de presfuerzo parcial se aplica a aquellos elementos que contienen en suarmado longitudinal, tanto su refuerzo ordinario como presforzado para resistir el momentoflexionante que actúe en este.
A su vez un elemento se considera con presfuerzo total cuando su índice de presfuerzo, “Ip” esta comprendido entre 0.9 y 1 incluyendo los valores extremos. Si el índice de presfuerzo es menor a 0.9 pero mayor o igual a 0.6, se considera una sección parcialmente presforzada y si elíndice de presfuerzo es menor a 0.6 se considera una sección sin presfuerzo, la expresión paraobtener el índice de presfuerzo es la siguiente.
MrpIp =
Mrp + Mrr
Una forma más sencilla de obtener el índice de presfuerzo es con la siguiente formula:
Asp FspIp =
Asp Fsp + As Fy
Asp = Área de acero de presfuerzoAs = Área de acero de refuerzoFsp = Esfuerzo en el acero presforzado cuando alcanza su resistenciaFy = Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo ordinario
Mrp = Momento resistente provocado por el acero de preesfuerzoMrr = Momento resistente provocado por el acero de refuerzoIp = Índice de presfuerzo
REFUERZO, PRESFUERZO REFUERZO, PRESFUERZO PARCIAL Y PRESFUERZO TOTALPARCIAL Y PRESFUERZO TOTAL
MR
Deflexión
A
B
C
C Ip (0.9 – 1) 0.9 Ip 1 Totalmente presforzada
B Ip 0.6 Ip 0.9 Parcialmente presforzada
A Ip Ip 0.6 Reforzada o sin presfuerzo
⇒
⇒
⇒
≤ ≤
≤ <
<
A B CEdificacion
en sitioEdificacion
PrefabricadaPuentes, Losas
o Trabes
La magnitud de la fuerza de presfuerzo en un elemento no es constante, sino que esta va perdiendo fuerza durante su vida útil. A este fenómeno se le conoce con el nombre de perdida de preesfuerzo. Existen dos tipos de perdidas de presfuerzo, aquellas que se presentan instantáneamente al aplicar el presfuerzo, y aquellas que dependen del tiempo para que se presenten. También existen pérdidas que dependen de las cargas aplicadas a dichos elementos.
Las perdidas de presfuerzo que son inmediatas, se presentan por las siguientes razones:
*Deslizamiento del anclaje, ya que al momento en que la fuerza pretensora se transfiere de los gatos a los anclajes, las cuñas de fricción que se emplean para sostener los cables de presfuerzo, se deslizan una distancia pequeña antes de sujetar firmemente al cable, provocando que este se afloje perdiendo consecuentemente algo de presfuerzo.
*Por acortamiento elástico del concreto, ya que al transferirse la fuerza de presfuerzo al concreto, se provoca un acortamiento elástico en este, a medida de que este elemento se va comprimiendo. Dicho acortamiento provoca que los cables de presfuerzo también sufran un acortamiento ocurriendo por tal motivo una perdida de presfuerzo.
*Fricción. Solo en elementos postensados, debido a la curvatura intencional óaccidental.
PERDIDAS DE PRESFUERZO
PERDIDAS DE PRESFUERZO
Por otro lado las perdidas de presfuerzo que dependen del tiempo se deben a las siguientes razones.
*Por contracción del concreto al momento de que este se seca, lo que provoca una reducción en la deformación del presfuerzo traduciéndose en perdidas.
*Por relajamiento del acero esta es una propiedad del acero que se presenta en el momento en que a la pieza se le aplican las cargas de servicio. Se puede decir que el relajamiento es la perdida de esfuerzo de un material que se mantiene esforzado a una longitud constante. La magnitud del relajamiento varia dependiendo del tipo y del grado de acero, aunque las causas principales son el tiempo y la intensidad del esfuerzo inicial.
*Se presentan también por escurrimiento ó flujo plástico del concreto, el cual es la propiedad de que el material se deforma continuamente bajo un estado de esfuerzo o de carga. Primeramente la deformación es elástica hasta que alcanza un valor constante, y este fenómeno se traduce en perdidas de preesfuerzo a lo largo del tiempo.
METODOS PARA ESTIMACION DE PERDIDAS
A) METODOS DE ESTIMACIÓN GLOBAL:
Se aplica en caso de no tener información para evaluar las perdidas de presfuerzo. En elementos pretensados se pueden suponer que la suma de las pérdidas varían entre 20 y 25 % de la fuerza aplicada por el gato.
En postensados la suma de pérdidas, incluyendo las de fricción se puede suponer de un 25 a un 30 % de la fuerza aplicada por el gato.
B) ESTIMACIÓN INDIVIDUAL: Se suma la contribución de cada una de ellas para obtener la perdida total.
C) ESTIMACIÓN POR EL MÉTODO DE INTERVALOS
CRITERIOS PARA SELECCIONAR EL METODO DE EVALUACION DE PERDIDAS
PRETENSADO POSTENSADO
Estimación PreliminarA
Estimación IndividualB
Estimación PreliminarA
Estimación DefinitivaC
Se efectúan estableciendo como mínimo cuatro intervalos de tiempo, que toman en cuenta la edad del concreto en la cual ocurre la perdida.
B) ESTIMACIÓN INDIVIDUAL: Se suma la contribución de cada una de ellas para obtener la perdida total.
C) ESTIMACIÓN POR EL MÉTODO DE INTERVALOS
ESFUERZOS PERMISIBLESEN LA TRANSFERENCIA
Existen ciertas restricciones en cuanto a los esfuerzos máximos a que pueden ser sujetados tanto el concreto como el acero de los elementos pretensados y estos son los siguientes:
Los esfuerzos permisibles en el concreto inmediatamente después de la transferencia del presfuerzo, y antes de las perdidas de presfuerzo dependiente del tiempo deben ser menores a:
*Esfuerzo a la fibra extrema a compresión 0.6 f’ci
*Esfuerzo en la fibra extrema a tensión 0.8 f’ci
*Esfuerzo en la fibra extrema de tensión, en los extremos del elemento simplemente apoyado 1.6 f’ci
f´ci = En Kg/cm², es la resistencia a compresión del concreto a la edad en que ocurre la transferencia. Esto ocurre en el concreto pretensado en el momento de que se cortan los cables o se disipa la presión del gato.
Cuando el esfuerzo a tensión excede a este valor, se requiere de acero de refuerzo en esta área de la sección para que resista la fuerza total de tensión.
• Los esfuerzos máximos cuando se aplican las cargas muertas y vivas de servicio son:
o Esfuerzo a la fibra extrema a compresión 0.45 f’c
o Esfuerzo en la fibra extrema a tensión 0.6 f’c
o Estos valores pueden excederse con tal que se justifique que el comportamiento estructuraldel elemento será el correcto, y siempre y cuando el valor a tensión no sea mayor a 3.2 f’c
• En el caso de que el valor a tensión sea mayor a este, se puede colocar acero de refuerzo en la fibra a tensión, de tal forma que se considera un elemento parcialmente presforzado si su índice de presfuerzo así lo indica.
• f´c = Kg/cm²
• En lo que se refiere a los esfuerzos permisibles en el acero de presfuerzo, se entiende lo siguiente:
o Debidos a la fuerza aplicada por el gato 0.8FSR (15, 200 Kg/cm²)
o Inmediatamente después de la transferencia 0.7FSR (13,300 Kg/cm²)
• FSR= Es el esfuerzo resistente del acero de presfuerzo, (19,000 Kg/cm²)
ESFUERZOS PERMISIBLES EN SERVICIO
CONCEPTOS BASICOSCONCEPTOS BASICOS
2ª PARTE:REPASO
UNIDADES/ CONCEPTOS BASÍCOS
LEY DE HOOKE / MÓDULO DE ELASTICIDAD
MOMENTO DE PRIMER ORDEN DE UN ÀREA Y CENTROIDE
MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN Ò MOMENTO DE INERCIA
ECUACIÓN GENERAL DE ESFUERZOS (ESCUADRÍA)
CALCULO DE ESFUERZO EN ELEMENTOS PRESFORZADOS
RESUMEN DE ETAPAS Y ESFUERZOS
FLEXIÓN
CORTANTE
CONCEPTOS BASICOS / UNIDADES
Pa, MPamm.mm.mm³(N mm) , (KN ml)N KN.
Kg./cm²cmcmcm³Kg. cm, Kg.m, Ton.mKg, Ton.
Módulo de elasticidadInerciaCentroideMódulo de SecciónMomento FlexiónanteCortante
EICSMV
Kg/cm²Limite de capacidad.
Fuerza por unidad de área
RESISTENCIA Y
ESFUERZO
mm.cm,mCambio de forma, ley de HookeDEFORMACIÓN
mm.²1cm ² = 100 mm ²
cm.², m²1m² = 10,000 cm²
Las dimensiones que quedan comprendidas dentro de un cuerpo.AREA
Newton, KN1N = 0.10197 KgfKg/ml x 0.00981=Kn/ml
Kg., Ton1 Kgf = 9.81 N1 Ton/ml x 9.81 = 9.81 KN/ml
Acción capaz de producir un movimiento ó deformación
FUERZA
UNIDADESMKS SIDEFINICIÓNCONCEPTO
2m1N1Pa =
22.101cmKgMPa =
261x101 N/MMPa =
MPa,Pa
4
MPa0986.0cmKg1 2 =
4
Lδ
∈=
LEY DE HOOKE : MLEY DE HOOKE : MÓÓDULO DE ELASTICIDADDULO DE ELASTICIDAD
Ley de Hooke.
(Robert Hooke matemático Ingles 1635-1703 )
AEPL
=δ
∈Ε=∴σ
AEP
E=∈=
σ
Para estructuras dentro del rango elástico tenemos que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación ε
Alargamiento unitario
E = Módulo de elasticidad ó módulo de Young [ Kg/ cm² ]Tomas Young científico Ingles (1773-1829 )
Parámetro que caracteriza el comportamiento elástico de los materiales ySe obtiene experimentalmente mediante una prueba de tracción.
Esta ecuación se puede reescribir como:
LL
E =∈⇒= δδ
(2)
(1)
B B
C
P
C
L
A δ
∈=
Sustituyendo (2) en (1) tenemos:
MOMENTO DE PRIMER ÓRDEN DE UN ÁREA “Q”Momento de Primer Órden: Centroide de un área:
Momento de primer orden del Área A respecto a X
Análogamente el momento de primer orden respecto a Y
AQxy=
AQy
=X
El eje centroidal de una área irregular ócompuesta es igual a la suma de Momentos Estáticos de las áreas en que se divide entre la suma total del Área.
ydAQx A∫=
dAQy A X∫=
∴
0 X
y
X
Y
0 X
y
A
c
A
dA
X
Y
EJEMPLO: MOMENTO DE PRIMER ÓRDEN Y CENTROIDE
1) Cálculo del Momento de Primer orden:
2) Localización del eje centroidal
20
Y=46 60
y
C
20 20
A
2y =30
xd =24
d =162
2
A1
1y =70
1
40
SECCIÓN b h A y Q=A y
A1
A2
80
40
20
60
1,600
2,400
70
30
112,000
72,000
∑ = 4,000 cm² 184,000 cm³
cm64000,4
000,184===
AtQxy
MOMENTO DE SEGUNDO ÓRDEN Ó MOMENTO DE INERCIA.
Radio de giroMomento de Inercia es una medida escalar que
refleja la distribución de la masa de un cuerpo en rotación respecto al eje de giro. Indica la resistencia de un cuerpo a rotar respecto de un eje determinado A
Ixxr =
21 AdIIx += x
dAxIy A2∫=
dAyIx A2∫=
0 X
y
A
dA
X
Y y1
0 X
y
A
dA
cd
X1
Teorema de los ejes paralelos
EJEMPLO DE MOMENTO DE INERCIA IxSeleccionamos un elemento de área diferencial dA como
una franja horizontal de longitud b y espesor dy, como todos los puntos de las franjas están a la misma distancia y del eje X, el momento de inercia de la franja respecto dicho eje es:
Integrando desde
2
2
2
2
322
31
h
h
h
hbybdyydAyIx A −−
=∫=∫=
12121 3
hbh
bh
AIr ===
)(dI 22 bdyydAyx ==
333
121
8831 )( bhhhb =+=
Radio de giro ry
22hhastah
+−b
h
y
x0
b
h
y
x0
h2
dyy
h2
EJEMPLO: Determine el Ix del área mostrada con respecto al eje centroidal x
1) Localización del eje centroidal
SECCIÓN b h A y Q=A y
A1
A2
80
40
20
60
1,600
2,400
70
30
112,000
72,000
42
2
11 m1,334,400c2400x16720,0002
222 AxII =+=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= dx
∑ = 4,000 cm² 184,000 cm³
4331 53,333.3cmx80x20121
121xI === bh
[ Dimensiones en cm]
2) MOMENTO DE INERCIA
Momento de Inercia del Área 1
2211 1600x2453,33311A1)I(xI +=+= dx
Momento de Inercia del Área 2
000,72060x40x121
121
23311 )xI( === bh
4
21333,309,2400,334,1933,974xIxII cmx =+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=cm64
000,4000,184
===AiQxy
20
Y=46 60
y
C
20 20
A
2y =30
xd =24
d =162
2
A1
1y =70
1
40 4974,933cm=
Momento de Inercia Total
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE AREAS PLANAS
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE LA SECCIÒN
y1
y2
C
73.8473.563.851.0039.00y2 (cm)
81.361.551.240.0732.00y1 (cm)
21,565,20010,261,0705,257,6382,056,660926,273I (cm4)
6,4634,9743,6292,325
71
A (cm²)
VIVIIIIIIPeralte 91 115 135 160
1,743
Wo(Kg/m)
418 558 871 1,194 1,551
TIPO
TRABES TIPO AASHTO
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE LA SECCIÒN
TIPO
PERALTE
NU 900
90
NU 1100
110
NU 1350
135
UN 1600
160
NU 1800
180
NU 2000
200
A (cm²) 4,168.32 4,467.40 4,841.06 5,214.74 5,513.81 5,812.88
I (cm4)4,589,490.94 7,587,024.8 12,584,091.18 19,083,461.65 25,445,392.49 32,906,923.52
y1 (cm) 40.89 49.78 60.96 72.14 81.28 90.68
y2 (cm) 49.11 60.22 74.04 87.87 98.72 109.32
Wo(Kg/m) 1,000 1,072 1,161 1,251 1,323 1,395
TRABES TIPO NEBRASKA
y1
y2
C
97.5
122.5
18
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE LA SECCIÒN
TRABES TIPO CAJÒN
PERALTE 85 115 135 150 170
A = cm² 5,142.7 5,737.7 6,095.5 6,367 6,734
I =cm44,905,294 10,541,098 15,669,164 20,306,424 27,602,737
y1=cm 51.6 69.2 80.6 89.1 100.3
y2=cm 33.4 45.8 54.4 60.9 69.7
WoKg/m 1,234 1,377 1,463 1,528 1,616
C
y2
y1
200
15
9
ECUACION GENERAL DE LA ESCUADRIA
IMyx
Mcx
σ
σ Ó
=
=I
⇒CI
xIyMyy
IxMx
APaσ ±±±=
Esfuerzo flexionante.
Y2eje neutro
P P
Wo
Y1e
Ecuación General de la escuadría
Para cualquier distancia Y
Depende solo de la geometría de la sección transversal y se conoce como módulo elástico de sección y se denota por S
CIS =∴
Sustituyendo en el flex.
SM=σ =σ Elementos mecánicos
Elementos geométricos
Ó usando el módulo de sección
SyMy
SxMx
APaσ ±±±=
δ
σ
APxσ ±=
Esfuerzo Axial. aσ
• EQUILIBRIO DE FUERZAS
ExternasFUERZAS EN UN CUERPO
Internas
Entre dos cuerpos se genera una fuerza en el punto en que se tocan.
Equilibrio = exteriores + interiores = 0
DISEÑO
EXTERIORES INTERIORES
Simplemente apoyado:
Empotrado:
Cantiliver:
APOYOS
ESFUERZOS EN ELEMENTOS PRESFORZADOS
Siempre que el concreto y el acero de un elemento estén trabajado dentro del rango elástico, se pueden calcular los esfuerzos tanto de la fibra inferior como de la superior del elemento provocados por la fuerza presforzante inicial mediante la superposición de los efectos axiales y de flexión, por lo que:
(-) Compresión(+) Tensión
ƒ 1 = Esfuerzos en la fibra inferiorƒ 2 = Esfuerzos en la fibra superiorPi = Fuerza presforzanteA = Área de la sección simplee = Excentricidad del presfuerzo medida desde el centroide de la sección simpleY1 = Distancia medida del centroide de la sección simple a la fibra inferior. Y2 = Distancia medida del centroide de la sección simple a la fibra superiorI = Momento de inercia de la sección del elemento de la sección simple
2
1
2 YIeP
APf
YIeP
APfi
ii
ii
+−=
−−=e
P PY1
Y2
i i
En el momento en que se transfiere la fuerza presforzante al elemento, se presenta unacontaflecha en éste, lo que provoca que el elemento en vez de tener toda la superficie inferior de este como apoyo, solo le queden algunos puntos de apoyo en los extremos, por lo que el peso propio de la pieza provoca esfuerzos inmediatamente después de la aplicación de la fuerza presforzante y estos se calculan de la siguiente manera:
ESFUERZOS EN ELEMENTOS PRESFORZADOS
Esfuerzos debidos al presfuerzo
22
11
2 YIMoY
IPe
APf
YIMoY
IPe
APfi
−+−=
+−−=
(1) (2)
(1) Esfuerzo debido al presfuerzo(2) Esfuerzo debido al peso
propio
El siguiente estado de esfuerzos que se debe analizar es el momento en que se le aplica el firme a la sección. Sin embargo, al encontrarse este en estado fresco, es una carga que en este momento debe ser absorbida solamente por la sección simple del elemento, por lo que se presentan los siguientes esfuerzos.
Mf = Momento flexionante debido al peso del firme.
Una vez que el firme ha adquirido su resistencia necesaria, se aplican las cargas muertas y vivas adicionales. La sección se debe de revisar para ver que esfuerzos se presentan, ya incluyendo la sección compuesta.
ESFUERZOS EN ELEMENTOS PRESFORZADOS
*2
2
11
)(*2
2)(2)(2
1)()(
YIcMcvMcmf
IccYMcvMcm
IYMfMoY
IPe
APf
IccYMcvMcmY
IMfMoY
IPe
APfic
+=
+−
+−+−=
++
++−−= Mcm = Momento flexionante causado por las cargas muerta
Mcv = Momento flexionante causado por las cargas vivasEl subíndice “ c ” en algunas letras significa que es de la sección compuesta.F2* = Fibra superior, incluyendo el firme de la piezaY2* = Distancia a la fibra superior, ya incluyendo el firme de la sección
ETAPAS DE UN ELEMENTO ETAPAS DE UN ELEMENTO PREFABRICADOPREFABRICADO
PARAMETROS GEOMETRICOSEtapa Área Propiedades Concreto
Sección Simple Ass
IssIss
Sss = Y1 ó Y2
F’ci
Sección Compuesta Asc
IscIsc
Ssc = Y1”c , Y2”c ó Y2*
F’c
ƒp = Esfuerzo debido al presfuerzo axial.ƒpe= Esfuerzo debido al presfuerzo excéntrico.ƒpp= Esfuerzo debido al peso propio en sección simple.ƒf= Esfuerzo debido al peso del firme.ƒmc= Esfuerzo debido al peso de la carga muerta.ƒcv= Esfuerzo debido al peso de la carga viva.
e1Y1
Y2
Sección
Simple
Sección
Compuesta
Y2"c
Y2*
Eje neutro seccion compuesta
Eje neutro seccion simple
-
+
Compresión
TensiónY1"c Y1"c
hss
hsc
nbe
Asp
Sección Simple Sección Compuesta
Ejemplo 1: Presfuerzo axial
EJEMPLO 1) .- CALCULAR el ESFUERZO en L/2 y en APOYOS debidos a P
P
L=6.0 mts.
W=2 t/ml.
P=90 tons
أ ) Propiedades geométricas
433 000,2706015121
121I cmxxbh ===
Área= bh = 15 x 60 = 900 cm²
3000,930
000,270IS cmc
===
322
000,966015
6bhS cmx
===Ó
أأ ) Elementos Mecánicos
ton.m862
8WL 9M 22
===x
Kgcm000,900=
22 /100
900000,90 cmkgcmKg
AP
C −=−=−=σ
2100kg/cm9,000
900,000SM
IMcfcft ±==±=±==
v) Esfuerzos en L/2 debido a Wأ
ESTADO DE ESFUERZOS.Esfuerzos debido al presfuerzo axial (أأأ
ESTADOS DE ESFUERZOS EN EL EXTREMO
cσ cσSolo actúa la fuerza preforzante ya que el Momento en el extremo es 0
c=30
c=30
60E N
-100K g/cm .
C argaW
P res fuerzoA x ia l
P resf.E xcéntrico
T ota l.
+ + 0 cct
c =
200K g/cm .
-100 K g/cm . = 0 K g/cm .
2
2 2
2
=100 K g/cm .215 cm
cσ tσ cσ
PresfuerzoAxial
Presf.Excéntrico
+ o c =
= 100 Kg/cm.2=100Kg/cm.2
+ o
W
SM
APfcft ±−==
CASO 2) .- VIGA CON PRESFUERZO EN EL LIMITE DEL NUCLEO CENTRAL
Estado de Esfuerzos en L/2
⇒±S
MS
PeAP
mEcuación de la escuadríafi = Esfuerzo en la fibra inferiorfs = Esfuerzo en la fibra superior
−==fsfi
L=6 m
W=2 t/ml.
P=45 ton 60
15
P=45 ton
P
h/6e=10( + ) Tensión
( - ) Compresión
PresfuerzoAxial
Presf.Excéntrico
+
cc
45,000
t
900= - 45,000 x 10
9,000 --+
900,0009,000
Cargas Externas
t
c
Fibra Super = - 50 Kg/cm2
+
+ 50 Kg/cm2
ct +
t
c=
- 100 Kg/cm 2 - 100 Kg/cm2
Fibra Inferior = - 50 Kg/cm2 - 50 Kg/cm2 + 100 Kg/cm2
W=2 t/ml.
P=22.5 ton 60
15
P=22.5 ton e=0.25e=25 cm
L=6 m
CASO 3) .- PRESFUERZO UBICADO A 5 cm. DE LA FIBRA INFERIOR
SM
SPe
AP-fsfi m±==
Esfuerzos al centro del claro
9,000900,000
9,00022,500x25
90022,500- m±=
22 100kg/cmcmKg62.5
cmKg-25 m±=
2
+ 37.5 Kg/cm2
c
t +
t
c=
- 100 Kg/cm2 - 62.5 Kg/cm2
t
c
- 87.5 Kg/cm2 100 Kg/cm2 12.5 Kg/cm2+
COMPRESIÓN
TENSIÓN
- COMPRESIÓN
+ TENSIÓN
TC =
Partiendo de la base de que la compresión debe ser igual a la fuerza de tensión de los elementos, la profundidad del bloque de esfuerzos a compresión, se puede calcular de la siguiente manera:
Finalmente el momento resistente de la sección está dado por la siguiente expresión:
* Esta expresión esta afectada por un factor de reducción que en este caso para elementos a flexión, su valor es de 0.9, de tal forma que la expresión queda de la siguiente manera:
MnMr 9.0* =
FLEXION FLEXION
(*)
Se puede calcular de una forma aproximada el acero de preesfuerzo a la falla con la siguiente expresión, siempre que el esfuerzo efectivo en este no sea menor a 0.5 FSR.
Para elementos con cables adheridos.
fsp = Esfuerzo en el refuerzo presforzado a la resistencia nominal.
fsr = Resistencia especificada en el acero de presfuerzo (19,000 Kg/cm2)ρp = Porcentaje de acero
f’’c = Resistencia del concreto = 0.85 f*c; f*c= 0.8 f´c.
El porcentaje de acero esta dado por:
Ap = Área de presfuerzo en el área de tensión del elementob = Ancho de la cara compresiónd = Peralte efectivo de la sección
FLEXION FLEXION
RESISTENCIA AL CORTANTE RESISTENCIA AL CORTANTE
En elementos presforzados donde los cables están adheridos, la resistencia al cortante del concreto está dado por la siguiente expresión:
Fr = Factor de resistencia, el cual para el cortante es igual a 0.8b = Al ancho del almad = Peralte efectivo de la secciónf*c = 0.8 f’cdp = a la distancia de la fibra extrema a compresión al centroide de los cables de preesfuerzoM = Momento flexionanteV = Fuerza cortante
Sin embargo el valor mínimo de Vcr = 0.5Fr d b
Y no debe ser mayor a Vcr = 1.3Fr b d
cf *
cf *
En secciones con preesfuerzo parcial se aplican las siguientes ecuaciones para obtener la capacidad del concreto al cortante según el caso:
El refuerzo por tensión diagonal en vigas presforzadas estará formada por estribos perpendiculares al eje de la pieza, de grado no mayor a 4200 Kg/cm2, o por mallaelectrosoldada cuyo valor de fluencia no debe ser mayor a 4200 Kg/cm2.
La separación de los estribos cuando Vu es mayor a Vcr, está dada por la siguiente ecuación:
Av = Área transversal del refuerzo por tensión comprendido en una distancia S.= Es el ángulo que forma el refuerzo transversal con el eje de la pieza. α
RESISTENCIA AL CORTANTE RESISTENCIA AL CORTANTE
Para la separación de los estribos en elementos totalmente presforzados existen las siguientes limitaciones:
*Esta no debe ser menor a 5 cm
*Si Vu es mayor que Vcr pero menor o igual que :
*La separación no debe ser mayor que 0.75 hh = peralte total de la pieza
*Si Vu es mayor la expresión (b)
*La separación de los estribos no deberá ser mayor que 0.37h
*Vu nunca debe ser mayor a:
)(*))((5.1 bcfdbFr −−−−−−−
cfdbFr *))((5.2
RESISTENCIA AL CORTANTE RESISTENCIA AL CORTANTE
En el caso de que la sección sea parcialmente presforzada, la separación de los estribos se calcula con la misma ecuación, y las limitaciones serán las siguientes:
*La separación no debe ser menor de 5 cm
*Si Vu es mayor que Vcr, pero menor o igual a :
*La separación máxima de los estribos no debe ser mayor que 0.5 d
*Si Vu es mayor que la expresión (c), la separación máxima de los estribos es de 0.25d
En ningún caso se permite que Vu sea mayor que:
)(*))((5.1 ccfdbFr −−−−−
cfdbFr *))((0.2
RESISTENCIA AL CORTANTE RESISTENCIA AL CORTANTE
MATERIALESMATERIALES
3ª PARTE:CARACTERÍSTICAS
DE LOS MATERIALES
CONCRETO, TIPOS.
VALORES DE DISEÑO Y MÓDULO DE ELASTICIDAD
TORÒN, E, Fpu.
ACERO DE REFUERZO
ACERO ESTRUCTURAL
MALLA ELECTROSOLDADA
CONCRETOCONCRETO
Simple
Reforzado
Presforzado
CONCRETO
Para resistir tensiones se emplea acero de refuerzo, el acero restringe el desarrollo de grietas originadas por la poca resistencia a la tensión. También el refuerzo aumenta la resistencia del elemento, para reducir las deformaciones debidas a las cargas de larga duración y para proporcionar confinamiento.
Resistencia a la compresión, pero débil a la tensión
Es la modalidad del concreto reforzado, en la que se crea un estado de esfuerzos a compresión ante la aplicación de las cargas. De este modo, los esfuerzos de tensión y producidos por las acciones quedan contrarrestados ó reducidos.
El concreto que se usa para presforzar se caracteriza por tener mayor resistencia con respecto al utilizado en las construcciones ordinarias. Los valores comunes se encuentran de f´c=350 Kg/cm² a f´c=500 Kg/cm² .
Se requiere de tales resistencias para poder hacer la transferencia del presfuerzo cuando haya alcanzado un f´ci = 280 Kg/cm² .
VALORES PARA DISEÑO DE ACUERDO A LAS NTC-CONCRETO.
VALORES MEDIDOS DE MÓDULO DE ELASTICIDAD. cfKE '=
CARACTERISTICAS DEL CONCRETO
EFECTO DE LA RELACIÒN AGUA – CEMENTO..
La resistencia del cemento depende del la relación agua / cemento; A mayor relación agua / cemento, menor resistencia.
CONTRACCIÓN POR SECADO
Uno de los efectos del fraguado del concreto es la disminución de volumen del mismo, esto es por la evaporación del agua excedente de la que se requiere para la hidratación del cemento. Esta contracción es proporcional a la cantidad de agua empleada en la mezcla, si se requieren contracciones mínimas, la relación agua- cemento debe ser mínima.
RELACIÓN DE POISSON
La relación entre deformación transversal y la longitudinal y su valor varia de 0.15 a 0.20.
DEFORMACIÓN POR FLUJO PLASTICO
Debido a la presencia de esfuerzos permanentes, las partículas que forman el concreto sufren un reacomodo que modifica las dimensiones de los elementos. Depende de la magnitud de las cargas permanentes; de las mezclas; de las condiciones de curado y de la edad en que el concreto empieza a ser cargado.
CARACTERISTICAS DEL CONCRETO
δ
E =
ε0.000050 e2 (0.40 δ)
s1 (0.000050)
s2 (0.40% δ)
s máx
S2 - S1
e2 - 0.000050
CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN DE TORÓN (diferentes diámetros)
E = 2,000,000 Kg/cm²
Fsr ò Fpu= 19,000 Kg/cm²
A(torón de ½)= 0.987 cm²
El esfuerzo de fluencia se calcula con la deformación unitaria del 1%. Para el toròn de ø ½” = 17,000 a 17,500 Kg/cm²para acero normal y de baja relación respectivamente
El esfuerzo máximo al que se tensan es igual a 0.8 fsr para toròn de ½”= 15,200 Kg / cm2
Se utilizan principalmente aceros de Baja relación ò LO-LAX.
ACERO DE REFUERZO
Es común el uso de acero de refuerzo en elementos de concreto presforzado para tomar los esfuerzos cortantes y de torsión, los esfuerzos por temperatura, los esfuerzos de tension durante latransferencia, los esfuerzos durante el transporte y dar confinamiento.
ACERO ESTRUCTURAL
Se emplea el Acero A-36 para accesorios metálicos que sirvan para diafragmas metálicos, conexiones en edificaciones fc = 2,530 Kg / cm²
MALLA ELECTROSOLDADA
Por su fácil colocación se usa principalmente como armado en aletas (losas) de trabes cajón, trabes T,TT y TTV
Fy = 5,000 Kg / cm²
• 4ª PARTEEJEMPLO DE
DISEÑO
EJEMPLO . DISEÑO DE TRABE DE CAJÓN PARA PUENTE
EJERCICIOS DE DISEÑO
CONCRETO PRESFORZADOEjemplo
EJEMPLO DE DISEÑO:Trabe Cajón 200/135 L=24.0m
MATERIALES:Trabe Prefabricada =f’c=350kg/cm²Firme de Compresión=f’c=250kg/cm²Acero de Presfuerzo=Fpu=19,000kg/cm²Torones de ½” Φ
15
135
200
Firme de Compresión
Condición de Apoyos:Trabe Simplemente Apoyada (Puente)
L=24 mts
Cargas:Carga Muerta= 254kg/m²X2= 508kg/m
Carga Viva= 1227kg/m²X2= 2454kg/m
SECCIONES MACIZAS
SECCIONES HUECAS
PROPIEDADES GEOMETRICAS
68
881
0
88
70
85
15
70
40
10 68 10
106 9938.3 38.3
81
8.6
200
7 3.4
15
10
1
135
15 40 15
10
10
Y1
Y2
Y1=77.93Centriode de la
Sección
106
8.6
124
7
106
81
11
6
200
3.4
124
200
CONCRETO PRESFORZADO
cmAiYAiY 93.77
80.601,5436,545.04.
==Σ
Σ=
CONCRETO PRESFORZADO
Σ 5,601.8 cm² Σ 436,545.04 cm³
Ai ΣAi Yi AiYi Ii
CALCULO DEL CENTROIDE DE LA SECCION
6464.4
4025498.7
15085.2
SECCION
119.77
74.11
23.18
68613.16
96269.95
657050.68
-93420.6
-497648.65
-19123.5
-780
-6715
-825
2270.8
3075.8
13921.8
13141.8
6426.8
5601.8
10,600.93
550.8
805
10846
124.57
119.59
60.58
520.87
3280.4
12,089,524.4
1720 1720 130.7 224804
No.1
No.2
No.3
Mac
iza
Hue
ca
No.1
No.2
No.3
No.4
a) Propiedades Geométricas de la Sección Simple:
b) Propiedades Geométricas de la Sección Compuesta:
CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA
2* dAII c +=
4.1208952466.41*8054.328064.46*8.55087.52077.52*17203.10693 222 ++++++=I2222 75.54*8252.1508532.8*67157.402549884.41*7804.646435.17*10846 −−−−−−+
43.243,770'14 cmI =
cmYcmY
cmIcmA
07.572.93.771
30.243,770'1480.601,5
4
2
==
=
=
/350'
/250'2
sec
2
=
=
cmkgcF
cmkgcF
ción
firme
200
Y2=57.07
Y1=77.93
43.243,77014,
)2
82.3*6,7157.4,025,498()2
84.41*7804.(6,464
)2
66.41*8054.3,280()2
64.46*8.55087.520
cmI =
−+−+
++++
)2
75.54*8252.15,082(
)2
35.17*10,8464.12,089,524(
()2
77.52*1,7203.10,693(
2*
I
dACII
+
−+
++=
+=
CALCULO DE MOMENTO DE INERCIA
CONCRETO PRESFORZADO
cmcmcmY
cmA
cmA
cmA
cmcmYA
cmYA
cmI
cmY
cmA
cmb
c
c
s
f
ss
ff
firme
firme
firme
firme
05.9826.137,8
32.851,797
26.137,8
80.601,5
46.535,2
32.851,79727.548,43693.77*80.601,5*
05.303,3615.142*46.535,2*
25.531,4712
)15*169(
5.1425.7135
46.535,215*169
169845.0*200
2
3
2
2
2
3
3
3
43
2
==
=
=
=
==
==
==
=+=
==
==
a) Propiedades Geométricas de la Sección Simple:
b) Propiedades Geométricas de la Sección Compuesta:
3.243,77014 cmI =
cmYcmY
cmIcmA
07.572.93.771
30.243,770'1480.601,5
4
2
=
==
=
845.0
350250
''
/350'
/250'
sec
2sec
2
=
==
=
=
N
cFcF
N
cmkgcF
cmkgcF
ción
firme
ción
firme
b=200nb=169
Centroide
Y2*=51.95Y2'=36.95
Y1'=98.05
15
135
77.93
20.12
44.45
CONCRETO PRESFORZADO
SECCION COMPUESTASECCION COMPUESTA
Y1'
Centroide
Y2*Y2'
cmYcmYcmY
cmI
cmA
c
c
95.51*295.36'205.98'1
06.032,095'22
26.137,84
2
====
=
4
22
2
06.032,095'22
)12.20*80.601,53.243,770'14()45.44*46.535,225.531,47(
*
cmI
I
dAII
c
c
c
=
+++=
+= ∑
CONCRETO PRESFORZADO
DATOS:
cmYcmY
cmI
cmA
07.572.93.771
30.243,770'14
80.601,54
2
==
=
=
Propiedades Geométricas:
Propiedades de la Sección Compuesta:Cargas
mlkgmmkgw
mlkgmmkgw
mlkgmmkgw
mlkgmkgmw
v
m
tF
o
/24542/1227
/5082/254
/7202/360
/1344/240056018.0
2
2
2/
32
=⋅=
=⋅=
=⋅=
=⋅=
Materiales:
Trabe Prefabricada =f’c=350kg/cm²Firme de Compresión=f’c=250kg/cm²Acero de Presfuerzo=Fpu=19,000kg/cm²Torones de ½” Φ
cmYcmYcmY
cmI
cmA
c
c
95.51*295.36'205.98'1
06.032,095'22
26.137,84
2
====
=
CONCRETO PRESFORZADO
kgkgT
cme
cmsgc
000,39228000,14
63.703.793.77
3.728
1013515...
=⋅=
=−=
=⋅+⋅
=
Pérdidas:
Por experiencia en Prefabricados las pérdidas totales son del 18 al 25% de las cuales el 40% aproximadamente son instantáneas.
Para este caso consideraremos 20% de pérdidas totales
Fuerza con pérdida total=392,000x0.20=78,400kg
Pérdidas Instantáneas=78,400x0.4=31,360kg
Revisaremos con 28torones de Φ ½”
CONCRETO PRESFORZADO
55
c.g.
e
CONCRETO PRESFORZADO
REVISIÓN POR TRANSFERENCIA
Presfuerzo=392,000-31,360 kg=360,640 kg
Se revisa con la fuerza de tensión después de las pérdidas instantáneas1.-
[ ] ( )simples imple
y IóyyM
IóyyPex
AP 2121
21 m±−=σ
Esfuerzos para la Fibra Inferior Esfuerzos para la Fibra Superior
Y2= 57.07
Y1= 77.93e= 70.63
Esfuerzos deb idos a lp resfuerzo ax ia l
-64 .38+
Esfuerzos deb idos a lp resfuerzo excéntrico
+ 98.84
Esfuerzos deb idos a lP op o
-37 .39 -2 .93
-147.72+ 51.05-134.39-64.38
+
=C(-)
T(+ )
C(-)
C(-)
T(+ )
cmkgfLM o⋅=
⋅== 800,676,9
8241344
8
22ω
21
21
72.14705.5139.13438.643.243,770,1493.77800,676,9
3.243,770,1493.7763.70640,360
8.601,5640,360
cmkgcmkg
−=+−−=
⋅+
⋅⋅−−=
σ
σ2
2
2
/93.239.3784.9838.643.243,770,1407.57800,676,9
3.243,770,1407.5763.70640,360
8.601,5640,360
cmkg−=−+−=
⋅−
⋅⋅+−=
σ
σ
222
222
2
2
/38.13/93.2/1682/
/38.13/72.147/1682/
)(/38.132808.0'8.0
)(/1682806.0'6.0
cmk gcmkgcmkgLFibra
cmkgcmk gcmkgLFibra
tensióncmkgcif
compresióncmk gcif
SUPE RIO R
INFE RIO R
+<−>−=
+<−>−=
∴
==
−=⋅=
∴
Esfuerzos Permisibles en Transferencia
•Fibra Extrema a Compresión = 0.6f’ci•Fibra Extrema a Tensión = 0.8 f’ci•Fibra Extrema a Tensión en los extremos de elementos simplemente apoyados = 1.6 f’ci
Donde:f’ci = Resistencia del concreto en el momento de la
transferencia (0.8f’c) = 0.8x350 kg/cm²=280 kg/cm²
CONCRETO PRESFORZADO
CONCRETO PRESFORZADO
Estado de Esfuerzos debidos a las Pérdidas a Largo Plazo
Tperdidas = Pérdidas Totales – Pérdidas InstantáneasFza perdida = 78,400 – 31,360A largo Plazo = 47,040 kg
Esfuerzos Fibra InferiorEsfuerzos Fibra Superior
93.2553.174.83.243,707'14
93.7763.70470408.5601
040,47
1
1
+=++=
⋅⋅++=
σ
σ
44.484.124.83.243,707'14
07.5763.70470408.5601
47040
2
2
−=−+=
⋅⋅−+=
σ
σ
2
2
=
=
σ
σ
( )IóyyPe
AP x
y21
21 m=+=σ
Y2=57.07
Y1=77.93e=70.63
Esfuerzos debidos alpresfuerzo axial
+8.4+
Esfuerzos debidos alpresfuerzo excéntrico
-12.84 -4.44
+25.93+17.53+8.4
=T(+)
C(-)
T(+)
T(+)
C(-)
CONCRETO PRESFORZADO
1.-Se utiliza la Sección simple para la revisión de esfuerzos
2.-
Esfuerzos debidos al Firme de compresión
Esfuerzos Fibra Superior
Y2=57.07
Y1=77.93e=70.63
-20.03 kg/cm²
+27.35kg/cm²
C(-)
T(+)
( )( ) 25
1 /35.2730.243,770,14
93.771084.51 cmkgXIyM if +=+=
⋅+=σ
( )( ) 25
22 /03.20
30.243,770,1407.571084.51 cmkgX
IyM f −=−=
⋅−=σ
cmkgXwfLM firme ⋅=⋅
== 522
1084.518
247208
Esfuerzos Fibra Inferior
Esfuerzos debidos a la Carga Muerta
( )
cmkgXM
mkgLwM
CM
cmCM
⋅=
⋅==⋅
=
5
22
10576.36
576,36824508
8
( )sc
CMy I
óyyyM *2'2'1*2'2'1
,=σ
1.-Se utiliza la Sección compuesta
2.-
3.-
8.6 kg/cm²
C(-)
T(+)
16.23 kg/cm²
6.12 kg/cm²
b=200
Centroide
Y2*=51.95Y2'=36.95
Y1'=98.05
15
135
77.93
20.12
CONCRETO PRESFORZADO
( )( )
( )( )
( )( ) )(/6.806.032,095,22
95.5110576.36
)(/12.606.032,095,22
95.3610576.36
)(/23.1606.032,095,22
05.9810576.36
25
'2
25
'2
25
'1
FirmecmkgX
iorFibraSupercmkgX
iorFibraInfercmkgX
−=−
=
−=−
=
+=+
=
σ
σ
σ
CONCRETO PRESFORZADO
Esfuerzos debidos a la Carga Viva
( )sc
CVy I
óyyyM *2'2'1*2'2'1
,=σ
41.54 kg/cm²
C(-)
T(+)
78.41 kg/cm²
29.55 kg/cm²
b=200
Centroide
Y2*=51.95Y2'=36.95
Y1'=98.05
15
135
77.93
20.12
1.-Se utiliza la Sección compuesta
2.-
3.-
( )
cmkgXM
mkgLwM
CV
cvCV
⋅=
⋅==⋅
=
5
22
10688.176
688,1768
24454,28
( )( )
( )( )
( )( ) 25
25
25
/54.4106.032,095,22
95.5110688.176
/55.2906.032,095,22
95.3610688.176
/41.7806.032,095,22
05.9810688.176
cmkgX
cmkgX
cmkgX
Firme
Superior
Inferior
−=−=
−=−=
=+=
σ
σ
σ
CONCRETO PRESFORZADO
b=200
Centroide
Y2*=51.95Y2'=36.95
Y1'=98.05
15
135
77.93
20.12 + + + + =
-2.93
-147.72 +25.93 +27.33 +16.23 +78.41 +0.18
-4.44 -20.03 -8.6 -41.54 -50.14
-6.12 -39.55 -63.1
T(+)
C(-)
C(-)
T(+)
C(-)
T(+)
C(-)
T(+)
C(-)
T(+)
C(-)
Estado Final de Esfuerzos
ESFUERZOS PERMISIBLES EN SERVICIO
1.-En la fibra extrema a compresión = 0.45 f’c2.-En la fibra extrema a tensión = 1.6 f’c (máximo 3.2 f’c)
*Solo si se justifica estructuralmente el buen comportamiento del elemento
1.- 0.45*f’c = 0.45*350 = -157.5kg/cm² (compresión)2.- 1.6 f’c = 1.6 √350 = +29.93kg/cm² (tensión)
RESUMENFibra inferior = -157.5kg/cm² > 0.18kg/cm² < 29.93kg/cm² Bien las fuerzas se encuentran Fibra superior = -157.5kg/cm² > -63.1kg/cm² < 29.93kg/cm² dentro de los esfuerzos permisibles
PERDIDAS TEORIA
1.-Pérdidas de presfuerzo.
La fuerza de presfuerzo en elementos postensados y pretensados, continuamente decrece con el tiempo.
A la reducción total del presfuerzo que ocurre durante la vida útil del elemento se le llama pérdida total
de presfuerzo. Es esencial estimar la magnitud de la pérdida total de presfuerzo , ya que aunque no
influye en la resistencia última , si afecta el comportamiento del elemento en condiciones de servicio.
La pérdida total de presfuerzo se debe a la contribución acumulativa de alguna a todas de las siguientes
razones:
1.-Acortamiento elástico.
Al aplicar a un elemento una carga de presfuerzo este se acorta y el tendón sufre este mismo
acortamiento causando que pierda parte de su esfuerzo.
2.-Relajación o flujo del acero de presfuerzo.
Es la pérdida de esfuerzo de un material que se mantiene esforzado a una longitud constante.
3.-Contracción del concreto.
La pérdida gradual con el tiempo del agua libre en el concreto , provoca una reducción en la
longitud del elemento lo cual se traduce en una pérdida de presfuerzo.
4.-Flujo plástico del concreto.
Es la deformación continua del material sujeto a un estado permanente de esfuerzo o carga.
Induce una disminución del esfuerzo de presfuerzo adicional al causado por el acortamiento
elástico la cual se incrementa con el tiempo.
5.-Pérdidas por fricción.
Ocurren durante el tensado de los cables de postensado y representa una diferencia en los
esfuerzos entre los anclajes y cualquier sección a lo largo del elemento.
6.-Deslizamiento del anclaje.
Ocurre en elementos postensados debido al asentamiento que sufre el anclaje y que se traduce
en pérdida de presfuerzo.
2.-Métodos para estimación de pérdidas.a).-Estimación de pérdida total.
En caso de no tener información para evaluar las pérdidas de presfuerzo, se puede suponer que la suma de las pérdidas varía entre 20 y 25% de la fuerzaaplicada por el gato.
b).-Evaluación de pérdida total.En el presente ejemplo se consideró el método del AASTHO para evaluar la pérdidatotal de presfuerzo.
c).-Evaluación de pérdida en intervalos de tiempo.Se consideraron las recomendaciones para estimar pérdidas de presfuerzopresentada por comité de pérdidas de presfuerzo del P.C.I.
PERDIDAS METODO DEL AASHTO
1).-Las pérdidads de presfuerzo pueden ser estimadas mediante el siguiente método.
Perdida total.
Δfs = SH + ES + CRc + CRs
Donde:
Δfs = Pérdida total excluyendo las de fricción en kg/cm2
SH = Pérdida debida a la contracción del concreto en kg/cm2
ES = Pérdida debida al acortamiento elástico en kg/cm2
CRc = Pérdida debida al flujo plástico del concreto en kg/cm2
CRs = Pérdida debida a la relajación del acero de presfuerzo en kg/cm2
1.1).-Contracción del concreto.
SH = 1,195.27 -10.5465 RH Para miembros presforzadosSH = 0.8(1,195.27 -10.5465 RH) Para miembros postensadosRH = Es la humedad relativa ambiental promedio anual en porcentaje
1.2).-Acortamiento elástico.
ES = (Es / Eci) fcir Para miembros presforzadosES = 0.5(Es / Eci) fcir Para miembros postensados
Donde:Es = Modulo de elasticidad del acero de presfuerzo
Eci = Modulo de elasticidad del concreto en la transferenciafcir = Esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de
presfuerzo debido a la fuerza de presfuerzo y la carga muerta enla trabe inmediantamente despúes de la transferencia;En esta etapael esfuerzo inicial en el tendón ha sido reducido por elacortamiento elástico del concreto y por la relajación de lostendones durante la colocación y cura del contreto en miembrospretensados , o por el acortamiento elástico del concreto y lafricción de los tendones en miembros postensados. La reducción del esfuerzo inicial en los tendones debido a estos factores puede ser estimada o se puede tomar como 0.63 f's.
1.3).-Flujo plástico del concreto.CRc = 12 fcir - 7 fcds Para miembros presforzados y postensados
Donde:fcds = Esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de
presfuerzo debido a todas las cargas muertas excepto la carga
muerta presente cuando la carga de presfuerzo es aplicada
1.4).-Relajación del acero de presfuerzo.
1.4.1).-Elementos presforzados.CRs = 1,406.2 -0.4 ES -0.2(SH + CRc) Para Torones 250 a 270 K
1.4.2).-Elementos postensados.CRs = 1,406.2 -0.3 FR -0.4 ES -0.2(SH + CRc) Para Torones 250 a 270 KCRs = 1,265.4 -0.3 FR -0.4 ES -0.2(SH + CRc) Para alambre 240 KCRs = 2,109 Para barras 145 a 160 K
Donde:
FR = Reducción del esfuerzo debido a las pérdidas por fricción abajode 0.7 f's en el punto bajo consideración
ES,SH y CRc = Valores calculados para elementos pretensados o postensados.
2).-Para nuestro ejemplo, tenemos.
2.1).-Contracción del concreto.
SH = 1,195.27 -10.5465 RHRH = 70%SH = 457.02kg/cm2
2.2).-Acortamiento elástico.ES = (Es / Eci) fcirEs = 1960946.00 kg/cm2
f'ci = = 280 kg/cm2Eci = 14,000 (f'ci)^1/2Eci = 234264.81 kg/cm2
fs pp = 37.23 kg/cm2fs presf = -34.16 kg/cm2
0.9 fs presf = -30.75 kg/cm2 0.7 x 0.9 = 0.63fs = 6.48 kg/cm2
fi pp = -50.84kg/cm2fi presf = 201.69kg/cm2
0.9 fi presf = 181.52kg/cm2 0.7 x 0.9 = 0.63fi = 130.68kg/cm2
El esfuerzo en el concreto al nivel del acero de presfuerzo será:
fcir = (fi - fs) Hs / H + fsH = 135.00cme' = 7.32cm
Hs = 127.68cm
fcir = 123.94kg/cm2
Tenemos para ES :
ES = 1037.50kg/cm2
2.3).-Flujo plástico del concreto.CRc = 12 fcir - 7 fcds
fs cm = 26.17kg/cm2 Excepto peso propiofi cm = -43.66kg/cm2 Excepto peso propio
El esfuerzo en el concreto al nivel del acero de presfuerzo será:fcds = (fi - fs) Hs / H + fs
H = 135.00cme' = 7.32cm
Hs = 127.68cmfcds = -39.87kg/cm2
Tenemos para CRc :CRc = 1208.24kg/cm2
2.4).-Relajación del acero de presfuerzo.
CRs = 1,406.2 -0.4 ES -0.2(SH + CRc)
CRs = 658.15kg/cm2
2.5).-Perdida total.
Δfs = SH + ES + CRc + CRs
SH = 457.02kg/cm2
ES = 1037.50kg/cm2
CRc = 1208.24kg/cm2
CRs = 658.15kg/cm2
Δfs = 3360.90 kg/cm2
Considerando que el esfuerzo efectivo en el acero de presfuerzo durante la transferenciadel presfuerzo es 0.7 fpu tenemos :
fpu = 19000.00 kg/cm20.7 fpu = 13300.00 kg/cm2
El porcentaje de pérdida sera:% pérdida = 3360.90 / 13300.00 % pérdida = 0.25%
PERDIDAS METODO DEL PCI
1).-Las pérdidads de presfuerzo por etapas pueden ser estimadas mediante el siguiente método.
Pérdida total.
TL = DEF + ES + ∑( CR +SH + RET)
En donde:
TL = Pérdida total
DEF = En el acero de presfuerzo con cambio de dirección la pérdida DEF
se localiza en los accesorio de deflexión.
ES = Acortamiento elástico.
CR = Flujo plástico del concreto.
SH = Contracción del concreto.
RET = Relajación del acero de presfuerzo.
1.1).- Acortamiento elástico.
ES = fcr ( Es Eci)
En donde:
fcr = Esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero depresfuerzo debido a la fuerza de presfuerzo y la carga muerta en
la trabe inmediantamente despúes de la transferencia.
Es = Modulo de elasticidad del acero de presfuerzo
Eci = Modulo de elasticidad del concreto en la transferencia
1.2).-Flujo plástico del concreto.
CR = UCR SCF MCF PCR fc Para cada intervalo de tiempo
En donde:
UCR = Flujo plástico últimoUCR = 95 - 284.5 Ec/10^6 >= 11 Curado normal sin exceder de 7 díasUCR = 63 - 284.5 Ec/10^6 >= 11 Para curado con vaporSCF = Efecto de tamaño y forma. Ver tabla 3
MCF = Efecto de la edad del concreto en la tranferencia del presfuerzoVer tabla 4
PCR = Porción del flujo plástico último dentro del intervalo de tiempot1 a t
PCR = AUCt - AUCt1AUC = Variación del flujo plástico con la edad del concreto Ver tabla 5
fc = Esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero depresfuerzo debido a la fuerza de presfuerzo en el tiempo t1teniendo en cuenta la pérdida de presfuerzo en el intervalosiguiente.
1.3).- Contracción del concreto.
SH = USH SSF PSH Para cada intervalo de tiempo
En donde:
USH = Contracción última
USH = 1898.10 - 3000 Ec/10^6 >= 843.60 kg/cm2
SSF = Efecto de tamaño y forma. Ver tabla 6
PSH = Porción del flujo plástico último dentro del intervalo de tiempo
t1 a t
PSH = AUSt - AUSt1
AUS = Variación de la contracción con la edad del concreto Ver tabla 7
1.4).- Relajación del acero de presfuerzo.
1.4.1).- Para acero relevado de esfuerzos.RET = fst ((log 24t-log 24t1)/10)(fst/fpy-0.55)
En donde:fst/fpy-0.55> = 0.05
fpy = 0.85 fpu
1.4.2).- Para acero de baja relajación.RET = fst ((log 24t-log 24t1)/45)(fst/fpy-0.55)
En donde:fst/fpy-0.55 > = 0.05
fpy = 0.9 fpu
2).-Tablas.
Tabla no.3
Factores de flujo plástico para diferentes relaciones de volumen superficie.
Relación Vol./Sup. Factor de flujo Plástico SCF
1.00 1.05 2.00 0.96
>3.00 0.87 4.00 0.77 5.00 0.68 5.00 0.68
Tabla no.4
Factores de flujo plástico para diferentes edades de presfuerzo y periodos de curado.
Edad de transferencia del presfuerzo Periodo de cura Factor de flujo Plástico MCF(días) (días)
3 3 1.14 5 5 1.07 7 7 1.00 10 7 0.96 20 7 0.84 30 7 0.72 40 7 0.60
Tabla no.5
Variación del flujo plástico con respecto al tiempo posterior a la transferencia del presfuerzo.
Tiempo posterior a Fracción de flujo Plástico
Transferencia (días) Ultimo AUC
1 0.08
2 0.15
5 0.18
7 0.23
10 0.24
20 0.30
30 0.35
60 0.45
90 0.51
180 0.61
365 0.74
Fin de vida util 1.00
Tabla no.6
Factores de contracción para diferentes relaciones de volumen superficie.
Relación Vol./Sup.Factor de
contracción SSF
1.00 1.04 2.00 0.96 3.00 0.86 4.00 0.77 5.00 0.69 6.00 0.60
Tabla no.7
Tabla de factores de contracción para diferentes tiempos de curado.
Tiempo después del curado. Fracción de contracción última AUS
1.00 0.08 3.00 0.15 5.00 0.20 7.00 0.22 10.00 0.27 20.00 0.36 30.00 0.42 60.00 0.55 90.00 0.62 180.00 0.68 365.00 0.86 Fin de vida útil 1.00
3).-Para nuestro ejemplo, tenemos.
3.1).-Datos.
3.1.1).-Tipo de elemento.Trabe pretensada sección cajón ,curada con vapor , concreto de peso normal, con un firme de 15 cm para formar sección compuesta.
3.1.2).-Materiales.
3.1.2a).-Concretof'c = 350.00 kg/cm2 Ec = 261916 kg/cm2
f'ci = 280.00 kg/cm2 Eci = 234265 kg/cm2
3.1.2b).-Acero de presfuerzo.
Grado = 270 kfpu = 19000.00kg/cm2 fpy =16150.00 kg/cm2
Área de un torón =0.98 cm2 Es =1970000 kg/cm2
3.1.3).-Propiedades de la sección.
Sección simple
Peralte total = 135.00 cm
Área = 5568.43 cm2
Inercia = 14750311 cm4
Y. Superior = 57.07 cm
Y. Inferior = 77.93 cm
S. Superior = 258465 cm3
S. Inferior = 189274 cm3
Sección compuesta
Peralte total = 150.00 cm
Área = 8103.89 cm2
Inercia = 22061302 cm4
Y. Superior = 51.87 cm
Y. Inferior = 98.13 cm
S. Superior = 425342 cm3
3.1.4).-Cargas.
Condición Momento
Peso propio 96.22 t-m
Carga muerta 51.84 t-m
Sobre carga muerta 36.58 t-m
3.1.5).-Presfuerzo.
La trabe esta presforzada con 28 torones de 1/2" de diámetro, con un presfuerzo inicial
de 0.7 fpu con la siguiente excentricidad de los torones:
Lecho no.tor. ei no.tor.ei1 15.00 5.00 75.00 2 13.00 10.00 130.00 3 0.00 15.00 0.00 4 0.00 20.00 0.00
-------- --------28.00 205.00
e' = 205.00 / 28.00 = 7.32 cm
e = 57.07 - 7.32 = 49.75 cmPo = 19000 x 0.70 x 0.98 x 28.00
Po = 364952 kg
3.2).- Cálculo de datos básicos de pérdidas.
Volumen = 5568.43cm3Superficie = 631.18cm2
Relación volumen superficie = 5568.43 / 631.18 Relación volumen superficie = 8.82 / 2.54Relación volumen superficie = 3.47
SCF =0.823 Se calculó interpolando linealmente (tabla no.3)MCF =1.000 No se incluye para cura acelerada (tabla no.4)AUC =Varia Varia según las etapas consideradas (tabla no.5)SSF =0.817 Se calculó interpolando linealmente (tabla no. 6)
AUS =Varia Varia según las etapas consideradas (tabla no.7)
UCR = 63 - 284.5 Ec/10^6 >= 11 Para cura acelerada
UCR = 11.00 USH = 1898.10 - 3000 Ec/10^6 >= 843.60 kg/cm2
USH = 1112.35 kg/cm2
Los valores de UCR y USH estan basados en una humedad relativa ambiente del 70%
(UCR)(SCF) = 9.05
(USH)(SSF) = 909.24 kg/cm2
3.3).- Cálculo de pérdidas.
3.3.1).- Cálculo de esfuerzos al nivel del acero de presfuerzo.
3.3.1a).- Debido a las cargas.
fc = M x 10^5 x e / I
CondiciónM
(t-m)e
(cm)I
(cm4)Fc
(kg/cm2)--------- --------- --------- --------- ---------p.p.trabe 96.22 49.75 14750311 32.45
c.m. 51.84 49.75 14750311 17.48 s.c.m. 36.58 44.55 22061302 7.39
3.3.1b).- Debido al presfuerzo.
fe = Po/A + Po e^2 / I
CondiciónPo
(kg)A
(cm2)e
(cm)I
(cm4)Fe
(kg/cm2)--------- --------- --------- --------- --------- ---------Etapa 1 364952 5568.432 49.75 14750310.57 126.77
3.4).-Cálculo de pérdidas en cada etapa.Etapa 1 - Del tensado del presfuerzo a la transferencia.Etapa 2 - De la transferencia al colado del firme a los 30 días.Etapa 3 - Del colado del firme a un año.Etapa 4 - De un año al término de la vida útil (40 años)
3.4.1).- Pérdidas debidas a la relajación del acero de presfuerzo (RET)
RET = fst ((log 24t-log 24t1)/10)(fst/fpy-0.55)
Etapat1
(dias)t
(dias)t1
(dias)t
(dias)fst
(kg/cm2)fpy
(kg/cm2)RET
(kg/cm2)
--------- --------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------
1 1/24 18/24 0.04 0.75 13300.00 16150.00 456.66
2 18/24 30 0.75 30 12400.88122 16150.00 432.81
3 30 365 30 365 11459.11022 16150.00 198.39
4 365 14600 365 14600 10705.07541 16150.00 193.54
3.4.2).-Pérdidas debidas a la contracción elástica (ES)
fcr = fe - fc
ES = fcr ( Es / Eci )
Se supondrá fe = 0.9 fe
Etapafe
(kg/cm2)fc
(kg/cm2)fcr
(kg/cm2)Es
(kg/cm2)Eci
(kg/cm2)ES
(kg/cm2)
--------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------
1 114.09 32.45 81.64 1970000 234265 686.55
2 0.00
3 0.00
4 0.00
3.4.3).- Pérdidas debidas a la contracción del concreto (SH)
SH = (USH)(SSF)(PSH)
Etapa USH SSF PSH SH (kg/cm2)
--------- --------- --------- --------- ---------
1 1112.35 0.82 0.00 0.00
2 1112.35 0.82 0.42 381.88
3 1112.35 0.82 0.44 400.06
4 1112.35 0.82 0.14 127.29
3.4.4).-Pérdidas debidas al flujo plástico del concreto (CR)
CR = (UCR)(SCF)(PCR)(fc)
PCR = (AUC)t - (AUC)t1
Etapa UCR SCF (AUC)t (AUC)t1 PCR fcr CR (kg/cm2)
--------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------
1 0.00 0.00 0.00 0.00 81.64 0.00
2 9.05 0.35 0.00 0.35 81.64 258.58
3 9.05 0.74 0.35 0.39 59.82 211.13
4 9.05 1.00 0.74 0.26 52.11 122.61
3.5).-Pérdidas totales.
EtapaRET
(kg/cm2)ES
(kg/cm2)SH
(kg/cm2)CR
(kg/cm2)Pérdida total
(kg/cm2)
--------- --------- --------- --------- --------- ---------
1 456.66 686.55 0.00 0.00 1143.21
2 432.81 0.00 381.88 258.58 1073.27
3 198.39 0.00 400.06 211.13 809.58
4 193.54 0.00 127.29 122.61 443.45
3.6).-Esfuerzo en el acero de presfuerzo.
fst = fsi - fperd + f pp + f cm + fscm
EtapaFsi
(kg/cm2)fperd.
(kg/cm2)f p.p.
(kg/cm2)f c.m.
(kg/cm2)fs.c.m.
(kg/cm2)Fst
(kg/cm2)--------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------
1 13300.00 1143.21 244.09 0.00 0.00 12400.882 12400.88 1073.27 0.00 131.50 0.00 11459.113 11459.11 809.58 0.00 0.00 55.55 10705.084 10705.08 443.45 0.00 0.00 0.00 10261.62
3.7).-Porcentaje de pérdidas.
% Presf.efect. = 10261.62 / 13300.00 = 0.77 %
Perd. total = 0.23 x 13300.00 = 3038.38 kg/cm2
D E F L E X I O N E S
1.- Deflexión.La deflexión se define como el movimiento total inducido en un punto de un miembro dela posición que tenía antes de la aplicación de una caga a la posición después de lacarga. En miembros con una carga uniforme y simplemente apoyados la deflexión máxima ocurreal centro del claro, que es la que nos interesa más. A la deformación hacia arriba causadapor el presfuerzo se le llama contraflecha y la consideraremos con signo (-), y a las deformaciones hacia abajo causadas por las cargas "flechas" y la denotaremos con signo (+). En miembros tanto de concreto reforzado como pretensado las deflexiones bajo una cargasostenida continúa incrementándose con el tiempo , debido principalmente a los efectos de lacontracción y flujo plástico del concreto y a la relajación del acero de presfuerzo, poresta causa las deflexiones se separan en dos partes ; las inmediatas y las diferidas.
2.-Método de la viga conjugada.
La viga conjugada es un metodo muy útil para encontrar las deflexiones en un miembro.
Las relaciones entre una viga conjugada y una viga real son las siguientes:
a).-El claro de la viga conjugada es igual al claro de la viga real.
b).-La carga de la viga conjugada es el diagrama M/EI de la viga real.
c).-El corte en cualquier sección de la viga conjugada es igual a la pendiente de
la sección correspondiente de la viga real.
d).-El momento en cualquier sección de la viga conjugada es igual a la flecha de
la sección correspondiente de la viga real.
3.-Consideraciones en el ejemplo.
La figura 1 muestra una viga en la cual actua una carga de presfuerzo con una excentricidade con respecto al eje neutro, es posible descomponer al presfuerzo en dos componentes, unacarga concéntrica P a través del centroide, y un momento Pe. Cargamos a la viga con eldiagrama de momentos, W = Pe y el momento al centro del claro nos dará la contraflechaΔpresf = pe L^2/(8 EI). Si los torones son desviados , engrasados o en trabes postensadas
en las cuales el trazo del cable es generalmente variable con respecto al eje neutro, parallevar a cabo nuestro cálculo de defelxiones es conveniente dividir en un cierto número detramos la longitud de la viga y entonces calcular el diagrama de momento flexionanteconsiderando estas secciones como se muestra en la figura 2. y en una hoja de cálculo calcular los momentosDe una viga conjugada que son las deflexiones de una viga real.
4.- Ejemplo de aplicación.
4.1).- Materiales
Concreto: f'c = 350.00 kg/cm2 f'ci = 280.00 kg/cm2
Acero de refuerzo: fy = 4200.00 kg/cm2
Acero de presfuerzo: fpu = 19000.00 kg/cm2
Eci = 14,000 (f'ci)^1/2 = 234264.81 kg/cm2Eci = 14,000 (f'c)^1/2 = 261916.02 kg/cm2
4.2).- Propiedades geométricas.
Etapa H Área I ys yi Ss SiS simple 135.00 5568.43 14750310.57 57.07 77.93 258464.99 189273.72S comp 135.00 8103.89 22061301.67 51.87 98.13 425341.70 224810.78
4.3).- Acciones en cada estado de carga.
4.3.1).- Peso propio.
Sección Vi Mti Mi
1 16.04 0.00 0.00
2 12.83 0.00 34.64
3 9.62 0.00 61.58
4 6.41 0.00 80.83
5 3.21 0.00 92.37
6 0.00 0.00 96.22
7 -3.21 0.00 92.37
8 -6.41 0.00 80.83
9 -9.62 0.00 61.58
10 -12.83 0.00 34.64
11 -16.04 0.00 0.00
4.3.2).- Carga muerta.
Sección Vi Mti Mi
1 8.64 0.00 0.00
2 6.91 0.00 18.66
3 5.18 0.00 33.18
4 3.46 0.00 43.55
5 1.73 0.00 49.77
6 0.00 0.00 51.84
7 -1.73 0.00 49.77
8 -3.46 0.00 43.55
9 -5.18 0.00 33.18
10 -6.91 0.00 18.66
11 -8.64 0.00 0.00
4.3.3).- Sobre carga muerta.
Sección Vi Mti Mi
1 6.10 0.00 0.00
2 4.88 0.00 13.17
3 3.66 0.00 23.41
4 2.44 0.00 30.72
5 1.22 0.00 35.11
6 0.00 0.00 36.58
7 -1.22 0.00 35.11
8 -2.44 0.00 30.72
9 -3.66 0.00 23.41
10 -4.88 0.00 13.17
11 -6.10 0.00 0.00
4.3.4).- Carga viva
Sección Vi Mti Mi
1 29.45 0.00 0.00
2 23.56 0.00 63.61
3 17.67 0.00 113.08
4 11.78 0.00 148.42
5 5.89 0.00 169.62
6 0.00 0.00 176.69
7 -5.89 0.00 169.62
8 -11.78 0.00 148.42
9 -17.67 0.00 113.08
10 -23.56 0.00 63.61
11 -29.45 0.00 0.00
4.4).-Acciones debido al presfuerzo, en la transferencia.
Sección Vi Mti Mi
1 0.00 0.00 0.00
2 0.00 0.00 257.69
3 0.00 0.00 257.69
4 0.00 0.00 257.69
5 0.00 0.00 257.69
6 0.00 0.00 257.69
7 0.00 0.00 257.69
8 0.00 0.00 257.69
9 0.00 0.00 257.69
10 0.00 0.00 257.69
11 0.00 0.00 0.00
En condiciones de servicio:
Se considerará 20% de pérdidas a corto y largo plazo (total) = 20 %
4.5).-Deflexiones debidas al presfuerzo.
E = 234264.81 kg/cm2 E = EciI = 14750310.57 cm4 Sección simple
Se considerará que en los dos primeros tramos en que dividimos la viga Estan engrasados 4 torones y en los demás tramos actúan todos.
4.5.1).-Momento debido al presfuerzo considerando 24 torones.
e' = 6.88
e = Yi - e´fpi = 0.7 * fpu = 13300 kg/cm2
P presf = Asp * fp fs = P / A + M / Ss
M presf = P * e fi = P / A - M / Si
Elemento e Asp P presf M presfTP 71.06 23.52 312816 22227488
4.5.2).-Momento debido al presfuerzo considerando 28 torones.
e' = 7.32
e = Yi - e´
fpi = 0.7 * fpu = 13300 kg/cm2
P presf = Asp * fp fs = P / A + M / Ss
M presf = P * e fi = P / A - M / Si
Elemento e Asp P presf M presf
TP 70.61 27.44 364952 25769144
4.5.3).- Cálculo de deflexiones debido al presfuerzo.
Tramo Ma Mb EI/10^8 Ma/EI Mb/EI1-2 -222.27 -222.27 34555 -6.43E-06 -6.43E-062-3 -222.27 -222.27 34555 -6.43E-06 -6.43E-063-4 -257.69 -257.69 34555 -7.46E-06 -7.46E-064-5 -257.69 -257.69 34555 -7.46E-06 -7.46E-065-6 -257.69 -257.69 34555 -7.46E-06 -7.46E-066-7 -257.69 -257.69 34555 -7.46E-06 -7.46E-067-8 -257.69 -257.69 34555 -7.46E-06 -7.46E-068-9 -257.69 -257.69 34555 -7.46E-06 -7.46E-06
9-10 -222.27 -222.27 34555 -6.43E-06 -6.43E-0610-11 -222.27 -222.27 34555 -6.43E-06 -6.43E-06
Tramo Li xi xci ci Pi Pici1-2 240.00 2160.00 120.00 2280.00 -1.54E-03 -3.52E+002-3 240.00 1920.00 120.00 2040.00 -1.54E-03 -3.15E+003-4 240.00 1680.00 120.00 1800.00 -1.79E-03 -3.22E+004-5 240.00 1440.00 120.00 1560.00 -1.79E-03 -2.79E+005-6 240.00 1200.00 120.00 1320.00 -1.79E-03 -2.36E+006-7 240.00 960.00 120.00 1080.00 -1.79E-03 -1.93E+007-8 240.00 720.00 120.00 840.00 -1.79E-03 -1.50E+008-9 240.00 480.00 120.00 600.00 -1.79E-03 -1.07E+00
9-10 240.00 240.00 120.00 360.00 -1.54E-03 -5.56E-0110-11 240.00 0.00 120.00 120.00 -1.54E-03 -1.85E-01
---------- ---------- ----------2400.00 -0.0169 -20.30
Teta AB = -0.0085
Sección Roti desplaz.
1 -0.0085 0.00
2 -0.0069 -1.84
3 -0.0054 -3.32
4 -0.0036 -4.39
5 -0.0018 -5.04
6 0.0000 -5.25
7 0.0018 -5.04
8 0.0036 -4.39
9 0.0054 -3.32
10 0.0069 -1.84
11 0.0085 0.00
4.6).- Debido al peso propio.
E = 234264.81 kg/cm2 E = EciI = 14750310.57 cm4 Sección simple
Tramo Ma Mb EI/10^8 Ma/EI Mb/EI1-2 0.00 34.64 34555 0.00E+00 1.00E-062-3 34.64 61.58 34555 1.00E-06 1.78E-063-4 61.58 80.83 34555 1.78E-06 2.34E-064-5 80.83 92.37 34555 2.34E-06 2.67E-065-6 92.37 96.22 34555 2.67E-06 2.78E-066-7 96.22 92.37 34555 2.78E-06 2.67E-067-8 92.37 80.83 34555 2.67E-06 2.34E-068-9 80.83 61.58 34555 2.34E-06 1.78E-069-10 61.58 34.64 34555 1.78E-06 1.00E-06
10-11 34.64 0.00 34555 1.00E-06 0.00E+00
Tramo Li xi xci ci Pi Pici1-2 240.00 2160.00 80.00 2240.00 1.20E-04 2.69E-012-3 240.00 1920.00 108.80 2028.80 3.34E-04 6.78E-013-4 240.00 1680.00 114.59 1794.59 4.95E-04 8.88E-014-5 240.00 1440.00 117.33 1557.33 6.01E-04 9.37E-015-6 240.00 1200.00 119.18 1319.18 6.55E-04 8.64E-016-7 240.00 960.00 120.82 1080.82 6.55E-04 7.08E-017-8 240.00 720.00 122.67 842.67 6.01E-04 5.07E-018-9 240.00 480.00 125.41 605.41 4.95E-04 2.99E-019-10 240.00 240.00 131.20 371.20 3.34E-04 1.24E-01
10-11 240.00 0.00 160.00 160.00 1.20E-04 1.92E-02---------- ---------- ----------2400.00 0.004 5.293
Teta AB = 0.0022
Sección Roti desplaz.
1 0.0022 0.00
2 0.0021 0.51
3 0.0018 0.98
4 0.0013 1.34
5 0.0007 1.57
6 0.0000 1.64
7 -0.0007 1.57
8 -0.0013 1.34
9 -0.0018 0.98
10 -0.0021 0.51
11 -0.0022 0.00
4.7).- Debido a la carga muerta en 1a. Etapa.
E = 261916.02 kg/cm2 E = EcI = 14750310.57 cm4 Sección simple
Tramo Ma Mb EI/10^8 Ma/EI Mb/EI1-2 0.00 18.66 38633 0.00E+00 4.83E-072-3 18.66 33.18 38633 4.83E-07 8.59E-073-4 33.18 43.55 38633 8.59E-07 1.13E-064-5 43.55 49.77 38633 1.13E-06 1.29E-065-6 49.77 51.84 38633 1.29E-06 1.34E-066-7 51.84 49.77 38633 1.34E-06 1.29E-067-8 49.77 43.55 38633 1.29E-06 1.13E-068-9 43.55 33.18 38633 1.13E-06 8.59E-079-10 33.18 18.66 38633 8.59E-07 4.83E-07
10-11 18.66 0.00 38633 4.83E-07 0.00E+00
Tramo Li xi xci ci Pi Pici1-2 240.00 2160.00 80.00 2240.00 5.80E-05 1.30E-012-3 240.00 1920.00 108.80 2028.80 1.61E-04 3.27E-013-4 240.00 1680.00 114.59 1794.59 2.38E-04 4.28E-014-5 240.00 1440.00 117.33 1557.33 2.90E-04 4.51E-015-6 240.00 1200.00 119.18 1319.18 3.16E-04 4.16E-016-7 240.00 960.00 120.82 1080.82 3.16E-04 3.41E-017-8 240.00 720.00 122.67 842.67 2.90E-04 2.44E-018-9 240.00 480.00 125.41 605.41 2.38E-04 1.44E-019-10 240.00 240.00 131.20 371.20 1.61E-04 5.98E-02
10-11 240.00 0.00 160.00 160.00 5.80E-05 9.27E-03---------- ---------- ----------2400.00 0.0021 2.5506
Teta AB = 0.0011
Sección Roti desplaz.
1 0.0011 0.00
2 0.0010 0.25
3 0.0008 0.47
4 0.0006 0.64
5 0.0003 0.75
6 0.0000 0.79
7 -0.0003 0.75
8 -0.0006 0.64
9 -0.0008 0.47
10 -0.0010 0.25
11 -0.0011 0.00
4.8).- Debido a la carga muerta en 2a. Etapa.
E = 261916.02 kg/cm2 E = EcI = 22061301.67 cm4 Sección compuesta
Tramo Ma Mb EI/10^8 Ma/EI Mb/EI
1-2 0.00 13.17 57782 0.00E+00 2.28E-072-3 13.17 23.41 57782 2.28E-07 4.05E-073-4 23.41 30.72 57782 4.05E-07 5.32E-074-5 30.72 35.11 57782 5.32E-07 6.08E-075-6 35.11 36.58 57782 6.08E-07 6.33E-076-7 36.58 35.11 57782 6.33E-07 6.08E-077-8 35.11 30.72 57782 6.08E-07 5.32E-078-9 30.72 23.41 57782 5.32E-07 4.05E-079-10 23.41 13.17 57782 4.05E-07 2.28E-07
10-11 13.17 0.00 57782 2.28E-07 2.77E-22
Tramo Li xi xci ci Pi Pici1-2 240.00 2160.00 80.00 2240.00 2.73E-05 6.13E-022-3 240.00 1920.00 108.80 2028.80 7.60E-05 1.54E-013-4 240.00 1680.00 114.59 1794.59 1.12E-04 2.02E-014-5 240.00 1440.00 117.33 1557.33 1.37E-04 2.13E-015-6 240.00 1200.00 119.18 1319.18 1.49E-04 1.96E-016-7 240.00 960.00 120.82 1080.82 1.49E-04 1.61E-017-8 240.00 720.00 122.67 842.67 1.37E-04 1.15E-018-9 240.00 480.00 125.41 605.41 1.12E-04 6.81E-029-10 240.00 240.00 131.20 371.20 7.60E-05 2.82E-02
10-11 240.00 0.00 160.00 160.00 2.73E-05 4.38E-03---------- ---------- ----------2400.00 0.0010 1.2032
Teta AB = 0.0005
Sección Roti desplaz.
1 0.0005 0.00
2 0.0005 0.12
3 0.0004 0.22
4 0.0003 0.30
5 0.0001 0.36
6 0.0000 0.37
7 -0.0001 0.36
8 -0.0003 0.30
9 -0.0004 0.22
10 -0.0005 0.12
11 -0.0005 0.00
4.9).- Debido a la carga viva.
E = 261916.02 kg/cm2 E = EcI = 22061301.67 cm4 Sección compuesta
Tramo Ma Mb EI/10^8 Ma/EI Mb/EI1-2 0.00 63.61 57782 0.00E+00 1.10E-062-3 63.61 113.08 57782 1.10E-06 1.96E-063-4 113.08 148.42 57782 1.96E-06 2.57E-064-5 148.42 169.62 57782 2.57E-06 2.94E-065-6 169.62 176.69 57782 2.94E-06 3.06E-066-7 176.69 169.62 57782 3.06E-06 2.94E-067-8 169.62 148.42 57782 2.94E-06 2.57E-068-9 148.42 113.08 57782 2.57E-06 1.96E-069-10 113.08 63.61 57782 1.96E-06 1.10E-06
10-11 63.61 0.00 57782 1.10E-06 0.00E+00
Tramo Li xi xci ci Pi Pici1-2 240.00 2160.00 80.00 2240.00 1.32E-04 2.96E-012-3 240.00 1920.00 108.80 2028.80 3.67E-04 7.44E-013-4 240.00 1680.00 114.59 1794.59 5.43E-04 9.75E-014-5 240.00 1440.00 117.33 1557.33 6.60E-04 1.03E+005-6 240.00 1200.00 119.18 1319.18 7.19E-04 9.49E-016-7 240.00 960.00 120.82 1080.82 7.19E-04 7.77E-017-8 240.00 720.00 122.67 842.67 6.60E-04 5.57E-018-9 240.00 480.00 125.41 605.41 5.43E-04 3.29E-019-10 240.00 240.00 131.20 371.20 3.67E-04 1.36E-01
10-11 240.00 0.00 160.00 160.00 1.32E-04 2.11E-02---------- ---------- ----------2400.00 0.0048 5.81
Teta AB = 0.0024
Sección Roti desplaz.
1 0.0024 0.00
2 0.0023 0.57
3 0.0019 1.07
4 0.0014 1.47
5 0.0007 1.72
6 0.0000 1.81
7 -0.0007 1.72
8 -0.0014 1.47
9 -0.0019 1.07
10 -0.0023 0.57
11 -0.0024 0.00
4.10).- Resumen de deflexiones (cm).
Sección Presf+PP.Inicial
Presf+PP.(1)Largo plazo
CM (2)Inicial
CM (2)Largo plazo Cvi Total
1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.002 -1.33 -1.15 0.37 0.73 0.57 -0.823 -2.34 -2.01 0.69 1.38 1.07 -1.214 -3.06 -2.60 0.95 1.90 1.47 -1.355 -3.47 -2.95 1.11 2.22 1.72 -1.376 -3.61 -3.06 1.17 2.33 1.81 -1.367 -3.47 -2.95 1.11 2.22 1.72 -1.378 -3.06 -2.60 0.95 1.90 1.47 -1.359 -2.34 -2.01 0.69 1.38 1.07 -1.2110 -1.33 -1.15 0.37 0.73 0.57 -0.8211 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
(ΔPresf+ΔPP) Largo plazo = ((Δpresf inicial x 0.8) + Δ pp.)(Ec/Eci)(Iss/Isc))x2(ΔCM) Largo plazo = ((Δ CM)(Iss/Isc)+ ΔSCM)x2Deflexión permisible= 2400 / 1000 = 2.40
Deflexión máxima cv = 1.81 cm < 2.40 cm
REVISIÓN A LA RUPTURA
Momento último actuante (para puentes según el código AASHTO 93).
Φ = 1 para elementos de concreto presforzado, precolado yproducido en planta.
Nota: Los factores de carga varían según el Reglamento en Función del destinoDel elemento prefabricado en cuestión al tipo de Estructura y a su importancia.
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++= )(
353.1 ICCM VMu φ
( )
mkgM
M
u
u
⋅=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++=
2.563,623
688,17635)36576840,51768,96(3.1
C = T
C
d-a/2
7.3
a/2
150d
7.3Tsp
a
000981.07.142200
128
5.01 ''
''
''
=⋅
⋅=
⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⋅−=
⋅⋅
=
⋅=⋅⋅
dbAsp
f
fsrfsrfsp
fbfspAspa
fspAspfba
p
C
p
C
C
ρ
ρ
)(158.14170200
4.958,1728
/4.958,17
17019000000981.05.01000,19
2
delfirmecmcma
cmkgfsp
fsp
<=⋅
⋅=
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅
⋅−=( )
uNR
N
N
N
N
MMM
mkgMmkgM
M
adfspAspM
<==
⋅=⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅=
302,6129.0
336,6806.602,033,68
28.147.1424.1795828
2)(
NO PASA-REQUIERE ACERO DE REFUERZO
a = profundidad del bloque de compresión
fsp = esfuerzo en el refuerzo presforzado a la resistencia nominal
ρp = porcentaje de acero
dp=142.7
7.3
dr=145
5
C
Tsp
a
TR
cmcmfbTa
kgT
kgcmT
kgcmfAsrTcmcmAsr
cmkgrefuerzof
c
presfuerzo
yrefuerzo
y
151.15170200503,513
503,513
835,5024.958,1728
668,10420054.254.227.12
/4200
''
2
2
22
2
≈=⋅
=⋅
=
=
=⋅=
=⋅=⋅=
=⋅=
=
uTOTAL MmkgMR
refuerzomkgMR
MR
presfuerzomkgMR
MR
>⋅=
⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
2.820,624
)(85.196,13
1002
1.15145668,109.0
)(35.623,611
1002
1.157.142835,5029.0
2
2
1
1
PASA POR FLEXIÓN
Se proponen 2Vs #4c
( )MagrIpMR 3.05.1 −>MAGR = Momento de Agrietamiento
(fr =Módulo de ruptura = 2√f’c)
cmkgXM
XM
yIMcf
APy
IPe
yIM
cmkgXM
XcmkgXMMM
MMM
iiisc
SC
FPP
AGR
⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−++=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅−++⋅=
⋅=
+⋅=+=
+=
52
5
2
12
51
551
21
1014.297
93.77243,770,141060.1483502
8.601,5600,313
243,770,1493.77*63.70*600,313
05.98032,095,22
'2
10601.148
1084.5110768.96
REVISIÓN POR ACERO MÍNIMOPara Secciones Compuestas
Índice de Presfuerzo
( )
cmkgXMcmkgXM
cmkgXXXM
Factor
fyAsfspAspfspAspI
RAGR
AGR
P
⋅=<⋅=
⋅=+=
=−=
=+
=⋅+⋅
⋅=
55
555
10820.6241035.53921.1
1074.4451014.29710601.148
21.197.0*3.05.1
97.0200,4*54.24.958,17*18
4.958,17*18
REVISIÓN POR CORTANTE
R1
Wx
x
x/2
2
2
1wxxRM X −=
( )
( )
kgV
V
kgV
V
CCV
L
L
PERALTE
PERALTE
u
u
u
u
VMu
272,40
411,1135960,113.1
235,92
135,2635392,273.1
353.1
4/
4/
1
1
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
1
'3.15.0
5.2
**
*
<
≤≤
⋅=
MVdp
fbdFVfbdF
fbdFV
NESRESTRICCIO
cRCRcR
cRuMAXIMOL=24 mtsR1cm=30,864kgR1cv=29,448kg
wm=wo+wf+wmad=2,572 kg/mwv=2454 kg/m
R1 R1
1.35m
6.00m
1 Peralte
L/4
POSICION
UNPERALTE
L/4
X(m) CM
1.35
6.0
27,391.8
11,959.8
26,135
11,411
39,322
138,888
37,518
132,516
CV CM CV
CORTANTE (kg) MOMENTO (kg?m)
Vx=R1-Wi(x) Mx=R1x-Wi x²/2
REVISION A UN PERALTE (COMO REFORZADA)
Notas: Se revisa como reforzada ya que el presfuerzono se encuentra totalmente adherido por los enductadosó bien por la longitud de adherencia
dp=142.7
7.3
dr=145
5
u
u
ypp
syppp
cR
VkgV
paredcmbproponeseVVkgV
cmd
d
fAsfsAsdfAsdfsAs
d
fbdFV
NESRESTRICCIO
>=⋅⋅⋅=
=→→∴>=⋅⋅⋅=
=⋅+⋅
⋅⋅+⋅⋅=
⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅
=
⋅=
714,95280143208.05.2
/10142,86280143188.05.2
143200,454.24.958,1728
145200,454.27.1424.958,1728
5.2
max
max
max
*max
( )( )( )
( )( )
cmcEstpropongo
cmS
cmS
bfAF
VVdfAF
S
estribosrequiereVkgV
V
fdbFV
yVR
CRu
yVR
uCR
CR
cRCR
15@4#:
92.121205.3
200,427.128.0
7.16235,19235,92
143200,427.128.05.3
142,19280143208.05.0
5.0
2
1
*
=⋅
⋅=
=−
⋅=
≤−
=
→∴<=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
REVISION EN L/4 COMO PRESFORZADARestricciones
** 3.15.0 cRCRcR fdbFVfdbF ⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅
( )( )( ) cmS
VestribosrequierekgVkgV
kgX
V
MdpVfdbFV
kgfdbF
kgfdbF
LCR
uLCR
LCR
cRLCR
cR
cR
33.33800,19272,40
143200,471.028.0
771,49800,19143,19)(272,40800,19
1980010404.271
7.142371,235028015.0143208.0
5015.0
771,49280143208.03.13.1
143,19280143208.05.05.0
4/
4/
54/
*4/
*
*
=−
⋅=
≤≤=→=<=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅⋅
+⋅⋅=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅
+⋅⋅=
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
Revisaremos con estribos #3c Av=0.71cm²
Proponemos Est. #3c @30cm
Restricción a la separación de Estribos
kg
REVISANDO
hSfbdFsiV
hSfbdFperoVVsiV
cmS
cRu
cRuCRu
428,54280143*20*8.0*5.1
:
37.05.1.3
75.05.1.2
5.1
max*
max*
=
=⇒>−
=⇒<>−
>−
<Vu1peralte = 92,235kg
>Vu L/4 = 40,272kg
en L1peralte Smax = 0.37x143 = 53 > Steórica = 15cm (rige)
en L/4 Smax = 0.75h = 107 > Steórica = 33cm (rige)
REVISION DE DEFLEXIONES
1)Etapa de Transferencia (Contra Flecha)
pppresfC Δ+Δ−=Δ
( )( )( )
( )( )
cm
haContraflec
cmmkgIELw
cmkgE
cmIELeP
c
ss
pppp
ci
ssimpleci
ipresf
65.35.115.5
5.13.243,770,14916,261
2400100//1344384
5384
5
/916,261350000,14
15.53.243,770,14*916,261
240063.70000,14*2881
81
44
2
22
−=+−=Δ
∴
+=⋅
⋅=⋅⋅
⋅=Δ
==
−=⋅−=⋅
⋅⋅⋅−=Δ
Contra Flecha debido al presfuerzo
Contra Flecha debido al peso propio
2)Deflexiones Finales
Cf = Coeficiente de Flujo Plástico= (Valor recomendado en normas)
( )( ) CVfppCMfcontrafpresf
contraff CCT
Δ++Δ+Δ+Δ+Δ
−Δ−=Δ 12
4.2=−
i
if
δδδ
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
finalperm
f
s
vCv
CM
s
mCmuerta
ss
ffirme
CmuertafirmeCM
cmcmL
haContrafleccm
cmIELw
cm
cmmkgIELw
cmmkgIELw
C
T
C
T
Δ>=+=+=Δ
→−=++++⋅+
−−=Δ
=⋅=⋅⋅
⋅=Δ
=Δ
=⋅=⋅⋅
⋅=Δ
=⋅=⋅⋅
⋅=Δ
Δ+Δ=Δ
5.105.0240
24005.0240
37.383.14.215.118.14.22
65.315.565.3
83.1032,095,22*916,261
2400100/454,2384
5384
5
18.1
38.0032,095,22*916,261
2400100//508384
5384
5
8.03.243,770,14*916,261
2400100//720384
5384
5
44
44
44
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
• NTC, Diseño de Estructuras de Concreto Reforzado.
• Manual de Diseño de Estructuras Prefabricadas y Presforzadas.Anippac, Instituto de Ingeniería de la UNAM.
• Mecánica de Materiales.Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston, Jr.
• PCI Hand Book• Código Aashto
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