vibraciones mecánicas - introducción a la teoría de las...
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Contenido 1dgl Libre Forzada
Vibraciones MecanicasIntroduccion a la teorıa de las vibraciones mecanicas
Profesor
Dr. Ing. Martın Sanchez
Jefe de Trabajos Practicos
Ing. Gustavo Rosenthal
Universidad Tecnologica Nacional - Facultad Regional La Plata
Departamento de Ingenierıa Mecanica
10 de Abril 2013
Contenido 1dgl Libre Forzada
1 Sistemas de un grado de libertad (SDoF)Definicion: 1gdlEcuacion de movimientoEcuacion de movimiento para un sistema torsionalRelaciones en la ecuacion de movimientoClasificacion de los sistemas
2 Respuesta libre de los sistemas de 1gdlSolucion de la ecuacion diferencial
3 Respuesta forzada de los sistemas de 1gdlSolucion de la ecuacion diferencialFenomeno de resonancia
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Definicion: Sistemas de un grado de libertad (SDoF)
¿Que son las vibraciones?Todo movimiento que se
repite despues de un intervalo
de tiempo.
¿Que son los GdL?Mınimo de coordenadas
independientes para
determinar las posiciones de
todas las partes.
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Definicion: Sistemas de un grado de libertad (SDoF)
¿Que son las vibraciones?Todo movimiento que se
repite despues de un intervalo
de tiempo.
¿Que son los GdL?Mınimo de coordenadas
independientes para
determinar las posiciones de
todas las partes.
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Ecuacion de movimiento: Newton
La ecuacion diferencial ordinaria de 2◦ orden sera:
mx(t) + cx(t) + kx(t) = f (t)
con condiciones inciales:
x(t=0) = X0
x(t=0) = V0
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Ecuacion de movimiento: Lagrange
Las ecuaciones de Lagrange, en terminos de coordenadasgeneralizadas, tienen la forma:
Qx =∂
∂t
(∂T
∂x
)− ∂T
∂x+∂V
∂x+∂D
∂x
Funcion Disipacion
D = 12cx
2
Fuerza Generlizada
Qx = f (t)
Energıa Cinetica
T = 12mx2
Energıa Potencial
V = −mg(δ+x) + 12k(δ+x)2
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Sistema torsional
Torque:
Mt = GI0l θ
donde:
I0 = πd4
32
Rigidez torsional:
kt = Mtθ = GI0
l = πGd4
32l
Ecuacion de movimiento:
J0θ(t) + ct θ(t) + ktθ(t) = Mt
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Relaciones en la ecuacion de movimiento
Teniendo en cuenta distintas relaciones se puede expresar laecuacion de movimiento del sistema:
mx(t) + cx(t) + kx(t) = f (t)
Definiciones:
Frecuencia natural: ω0 =√
km
Relacion de amortiguamiento: ζ = c2mω0
x(t) + 2ζω0x(t) + ω20x(t) =
f (t)
m
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Clasificacion en base a la excitacion
Estudiaremos la respuesta dinamica (los cambios dependientes deltiempo) de un sistema mecanico vibratorio debido a dos tipos deconsideraciones:
Respuesta libre: Movimiento debido a condiciones inicialesespecificadas (perturbaciones del equilibrio).
Respuesta forzada: Movimiento resultante de excitacionesexternas especificas.
Excitaciones deterministas
Periodicas: Armonicas simples y complejas.No Periodicas: Transitorias e impulsivas.
Excitaciones aleatorias
Estacionarias: Senales estadısticas, no dependientes deltiempo.No Estacionarias: Senales estadısticas, dependientes deltiempo.
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Clasificacion en base a la excitacion
Estudiaremos la respuesta dinamica (los cambios dependientes deltiempo) de un sistema mecanico vibratorio debido a dos tipos deconsideraciones:
Respuesta libre: Movimiento debido a condiciones inicialesespecificadas (perturbaciones del equilibrio).
Respuesta forzada: Movimiento resultante de excitacionesexternas especificas.
Excitaciones deterministas
Periodicas: Armonicas simples y complejas.No Periodicas: Transitorias e impulsivas.
Excitaciones aleatorias
Estacionarias: Senales estadısticas, no dependientes deltiempo.No Estacionarias: Senales estadısticas, dependientes deltiempo.
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Clasificacion en base a la excitacion
Estudiaremos la respuesta dinamica (los cambios dependientes deltiempo) de un sistema mecanico vibratorio debido a dos tipos deconsideraciones:
Respuesta libre: Movimiento debido a condiciones inicialesespecificadas (perturbaciones del equilibrio).
Respuesta forzada: Movimiento resultante de excitacionesexternas especificas.
Excitaciones deterministas
Periodicas: Armonicas simples y complejas.No Periodicas: Transitorias e impulsivas.
Excitaciones aleatorias
Estacionarias: Senales estadısticas, no dependientes deltiempo.No Estacionarias: Senales estadısticas, dependientes deltiempo.
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Respuesta libre sin amortiguamiento (i)
La respuesta libre se basa en:
mx(t) + kx(t) = 0 (1)
cuya solucion es de la forma:
x(t) = Cest (2)
Introduciendo 2 en 1 ⇒ Ecuacion Caracteristica
ms2 + k = 0
con:
s = ±(− k
m
)1/2
= ±iω0
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Respuesta libre sin amortiguamiento (ii)
La solucion sera
x(t) = C1eiω0t + C2e
−iω0t (3)
x(t) debe ser real =⇒ C1 es el conjugado de C2 y:
x(t) = Acos (ω0t − φ) (4)
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Respuesta forzada sin amortiguamiento
mx(t) + cx(t) + kx(t) = f (t)
Al estudiar al sistema sin amortiguamiento y para excitacionarmonica:
mx(t) + kx(t) = F0cos(ωt) (5)
la solucion sera de la forma:
x(t) = x(t)h + x(t)p
asumiendo la solucion particular del tipo:
x(t)p = Xcos(ωt) (6)
Introduciendo la 6 en 5 se obtiene:
X =F0
k −mω2=
δs
1−(ωω0
)2(7)
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Respuesta forzada sin amortiguamiento
Respuesta en frecuencia Respuesta en tiempo ω0 = ω
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Fenomeno de resonancia (i)
Contenido 1dgl Libre Forzada
Fenomeno de resonancia (ii)
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