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Vertidos hipersalinos

superficiales

Teoría y problemas

Objetivos 1.- Describir, de forma cualitativa, el comportamiento los fluidos hipersalinos en el mar, al ser vertidos en canales superficiales (ramblas o canales) 2.- Derivar las ecuaciones de gobierno que permiten describir (de forma cuantitativa) el comportamiento de fluidos hipersalinos. 3.- Establecer expresiones que nos permitan cuantificar la dilución entre el vertido hipersalino y el agua mar, como función de variables del entorno - Vertidos confinados lateralmente � Derivación - Vertidos no-confinados lateralmente

“Si nos limitamos a utilizar fórmulas, sin conocer los procesos

y principios fundamentales que hay detrás de ellas, terminamos perpetuando los errores de nuestros

predecesores”

(Von Kármán)

Corrientes de gravedad

¿Hasta donde profundiza la corriente de gravedad?

Al llegar a la profundidad de flotabilidad neutra, la corriente abandona el fondo, se introduce lateralmente en el medio, y, a efectos prácticos, no se mezcla con el medio.

Balance entre fuerzas de flotabilidad (gravedad) e inercia Número de Froude interno Fi ó número de Richardson Ri.

Rigd

u

dg

uFi

1

'

20

22

=∆

==ρ

ρ

Podemos definirlo a la entrada

0

202

'0 dg

uFi =

ó en cualquier punto de la corriente de densidad, … en particular, en el punto de hundimiento.

Localización del punto de hundimiento

3/1

2

20

3/1

232

20

22

'

1

''

=⇒==

pip

p

ppp

p

ipWg

Q

Fd

dWg

Q

dg

uF

Wp = anchura del canal dp = prof. en el p. hundimiento Q0 = caudal vertido Experimentos en laboratorio muestran que

11.0 << ipF

Mezcla en el punto de hundimiento

γ+=Γ=

1

0Q

Qp

ó

γ

γ

+

+=

10CC

C amp

C0 = concentración de sales en el flujo de entrada Cam = concentración ambiente Cp = concentración después del punto de hundimiento Qp = caudal después del punto de hundimiento Q0 = caudal inicial (= en el punto de hundimiento)

Γ

U

U=0

Mezcla en la zona dominada por flotabilidad

■ Conservación de volumen (continuidad)

Eubuadx

d=)(

E = coeficiente de incorporación (entrainment)

bLEuauauQQ ×=−=− )( 112212

Q1= u1a1

E u bL

L

b

Q2= u2a2

Área = a2

■ Conservación de masa

0)()(0

=∆

=′ uagdx

duag

dx

d

ρ

ρ

0)()(0)()(

(1)en (3)y (2) dosustituyeny );( )3(

);( )2(

; )1(

11122211012202110220111222

1102200

11122212

012

=∆−∆=−−−⇒=−−−

−=×

−=−

×=−

auauauauauauauau

auaubLEu

auauQQ

bLEuQQ

MM

MM

ρρρρρρρρρρ

ρρρ

ρρ

ρ

Q1M= ρ1u1a1 Q2M= ρ2u2a2

E u ρ0bL

L T

Área = a2

■ Conservación de cantidad de movimiento (c.m.)

{ } θρθρρρ sincos)()( 22gahhag

dx

dPuCua

dx

dcD ∆+−∆−−=

(1) (2) (3) (4)

CD es el coeficiente de arrastre en las paredes P es el perímetro que moja la corriente de gravedad h la profundidad de la lámina de agua en la corriente de gravedad hc elevación del centroide de la sección a

θ pendiente

(1) Inercia o advección de momento (2) Fricción en las paredes (3) Gradiente de presiones en las caras del elemento de control (4) Componente de la gravedad en la dirección de avance del flujo

Dilución para corrientes confinadas lateralmente

Suponed una sección rectangular con db/dx=0 y b >> h (i.e. P ~ b). Suponed, además, que los perfiles de densidad ρ(z) no son uniformes � coeficientes de uniformidad (S1 y S2, que suponemos independientes de x). En esas condiciones, la ecuación de c.m. es

{ } )sin(')cos('2

1)( 020

21

22ShgSShgS

dx

duChu

dx

dD +−−=

Trabajaremos con esta ecuación, para llegar a Q/Q0 = f(E)

S1 ~ 0.2-0.3 S2 ~ 0.6-0.9

Paso 1.- Recordad, primero, que en las corrientes de gravedad hay un balance entre fuerzas de flotabilidad e inercia. Lo que sugiere que, el número adimensional que controla su comportamiento es Fi, ó el número de Richardson Ri

2

cos'

u

hgRi

θ=

Su derivada en espacio podemos, puede ser expresada como

( )

( )

+−=

+−

=+−

=+

=

dx

hgd

hgdx

du

uRi

dx

hgd

hgdx

du

uu

hg

hgdx

d

u

hg

hgdx

du

u

hg

u

hgdx

d

uudx

dhg

dx

dRi

)'(

'

12)'(

'

12cos'

'cos'

'

1cos'2

'cos1

cos'

2

22

22

θ

θθ

θθ

Esta expresión incluso podemos reducirla más aún considerando la ecuación de conservación de masa

dx

ud

udx

hgd

hgdx

udhg

dx

hgdu

dx

hugd )(1)(

'

10

)()()(−=

′⇒=′+

′=

′

Y, por tanto, la derivada espacial de Ri admite otras dos expresiones alternativas

−

=

=

+−=

dx

du

uRi

dx

hgd

hgRi

dx

hgd

hgdx

du

uRidx

dRi

13

)'(

'

13

)'(

'

121

Paso 2- Trabajaremos con la ecuación de c.m. Dividimos por u2, y desarrollamos cada uno de los términos teniendo en cuenta las expresiones de d(Ri)/dx,

{ }2

2212

22

sin'cos'

2

1)(

1

u

hgShgS

dx

d

uChu

dx

d

uD

θθ +−−=

(1) (2) (3) (4)

dx

dRi

Ri

h

dx

dh

dx

du

u

h

dx

dhhu

dx

d

u 3

22)(

1)1( 2

2−=+=

dx

dRihS

dx

dhRiS

dx

hgd

hg

RihS

dx

dhRiS

dx

hgd

u

hS

dx

dh

u

hgShgS

dx

d

u

1111

21

212

12

6

1

2

1)'(

'2

1

2

1

)'(

2

cos

2

cos')cos'(

2

1)3(

−−=−−

=−−=−θθ

θ

θθ

tansin'

)4( 222 RiS

u

hgS=

Sustituyendo estos desarrollos en la ecuación de c.m. tenemos

θtan6

1

2

1

3

2211 RiS

dx

dRihS

dx

dhRiSC

dx

dRi

Ri

h

dx

dhD +−−−=−

y reagrupando, tenemos

ó tan6

1

3

2

2

11 211 θRiSC

dx

dRihS

Ri

h

dx

dhRiS D +−=

−−

+

θtan3

)2(

2

11 2

121

1 RiSCdx

dRi

Ri

hRiS

dx

dhRiS D +−=

−−

+

Paso 3.- Ahora la ecuación de conservación de volumen (continuidad) podemos utilizarla para obtener una relación entre dh/dx y dRi/dx,

Edx

dRi

Ri

h

dx

dh

dx

du

uh

dx

dhEuh

dx

d

u=−=+⇒=

3

1)(

1

que utilizamos en la ecuación de c.m.

( )

( )

( )RiS

ERiSRiSC

dx

dh

ERiSRiSCdx

dhRiS

RiSCEdx

dhRiS

dx

dhRiS

D

D

D

1

121

2

121

21

2121

121

1

)2(tan

)2(tan1

tan)2(1

−

−+−=

⇒−−+−=+−

⇒+−=

−−−+

θ

θ

θ

Paso 4.- Si sustituimos en la ecuación de c.m. dh/dx = f(dRi/dx)

( )

( ) ( )

( )( )RiS

RiSCERiS

dx

dRi

Ri

h

ERiSRiSCdx

dRi

Ri

hRiS

RiSCdx

dRi

Ri

hRiS

dx

dRi

Ri

hERiS

D

D

D

1

2121

121

21

212

1

121

1

tan1

3

1tan3

1

tan3

)2(

31

−

−++=

⇒+−+−=+−

⇒+−=−

−

++

θ

θ

θ

¿Recordáis lo que es un régimen de flujo NORMAL, de hidráulica (No. Froude = constante)? Pues bien, ¡también en flujos estratificados existe este régimen normal! Como era el caso en el movimiento de lámina libre, a este régimen tienden naturalmente las corrientes de gravedad. Como en el movimiento en lámina libre, donde F = cte., el régimen normal en corrientes de densidad, se caracteriza por Ri = cte, que identificaremos como Rin. En estas condiciones, la ecuación de conservación de volumen se simplifica

E

dx

dh=

La experimentación demuestra que el coeficiente E tiene la forma

nRiE

0015.0≈

Una expresión para el número de Richardson normal puede derivarse como sigue. Definimos un régimen ‘normal’ de flujo por la condición Rin = cte (i.e. dRi/dx=0)

( )( )

( )

)tan()tan(

0tan1

01

tan1

3

121

212

12

2121

1

2121

ESS

ECRiECESSRi

RiSCERiS

RiS

RiSCERiS

dx

dRi

Ri

h

DD

D

D

−

+=⇒+=−

⇒=−++

⇒=−

−++=

θθ

θ

θ

En pendientes suaves E ≈ 0, y obtenemos la expresión

0.1-0.01 fricción) de te(coeficien C donde tan D

2

≈≈θS

CRi D

n

Si integramos la ecuación de continuidad entre el punto de hundimiento xp y otro punto a una distancia x de la entrada

pp hxxEh +−= )(

donde hp es la profundidad en el punto de hundimiento. La distancia xp se obtiene como = (hp-h0)/S0, siendo S0 la pendiente del fondo y h0 = calado en la desembocadura Cálculo de la dilución (Q/Q0) y concentración de sal

1) Estimamos el calado y posición del punto de hund. (hp y xp) 2) Calculamos Rin y, a partir de él, el coeficiente E 3) Estimamos h = E(x-xp)+hp, aguas abajo del punto de hund. 4) Utilizamos la ecuación de conservación de volumen para

estimar u, d(uh)/dx = Eu; y la de masa para calcular ρ(x) 5) Calculamos Q = u h, y la dilución Q/Q0

Ejemplo 1 Encontrar la evolución espacial del calado de una corriente de gravedad en un canal rectangular de anchura fija, con las siguientes condiciones. •Q0 = 1 m3/s (86400 m3/d) •h0 = 0.25 m •b = 4 m •CD = 0.02 •S0 = 0.02 •∆ρ/ρ = 0.026 (70 vs. 38 psu);

Onondaga Lake – (www.cormix.info/picgal/lakes.php)

Embalse de Béznar (Diciembre, 2004)

Un modelo analítico para corrientes no confinadas

Hauenstein & Dracos, 1984 – Journal of Hydraulic Research

x

S0

b0

h0

Ua=0, ρ0

U0, ρ0+∆ρ

¿Qué parámetros controlan el flujo?

Caudal inicial

0000 hbuQ =

Flujo inicial de cantidad de movimiento

002

00 hbuM =

Flujo inicial de flotabilidad

0000 hbugBρ

ρ∆=

Número densimétrico de Froude inicial ( ) 2/1

00

00

hg

uFi

ρρ∆=

Número de Froude inicial ( ) 2/1

0

00

gh

uF =

Campo cercano (dominado por fuerzas de inercia)

Ecuaciones de gobierno

uhEubhdx

dh2)( =

Continuidad

0)( 2 =bhudx

d

Conservación de la cantidad de mov.

xShh 00 += Geometría

0)( =∆

gubhdx

d

ρ

ρ Conservación de masa

Condiciones de frontera (en x = 0)

000 ; ; bbuuhh ===

Campo lejano (dominado por fuerzas de flotabilidad)

Ecuaciones de gobierno

ubEuhEubhdx

dvh += 2)( Continuidad

022

2

1)( gbhSgbh

dx

dbhu

dx

d

ρ

ρ

ρ

ρ ∆−

∆=

Cantidad de mov.(x)

2

2

1)( ghuvbh

dx

d

ρ

ρ∆=

Cantidad de mov.(y)

0)( =∆

gubhdx

d

ρ

ρ Conservación de masa

Condiciones de frontera

Los flujos volumétricos calculados con las ecuaciones del campo cercano y las del campo lejano deben coincidir.

Soluciones en el campo cercano (para h >> h0) **

022

11

2/1

0

03

13

,

2,

2,

SIxIh

EIxIb

SE

MIxIu

v

hv

h

v

==

==

== −

0

0

S

hxxv +=

Eh ~ 0.1 (Turner, 1973)

** Se obtienen suponiendo que la solución es auto-similar

h(x)

b(x)

Eh u

Eh uh h(x)

b(x)

Ev ub

Soluciones en el campo lejano **

( )

( )

( )

5/3

0

0

321

321000

132105

3/55

1343/1

4

3/1

12

1

03

3/13

22

2/1

0

211

y ,),,,(

,

22

1,

22

3,

5

3,

25

6,

+−+===

==∆

−==

−==

==

−++==

−−

−

−

S

hx

KKK

IIIxxxcteSFFBfE

KKgKBKxK

EKKKxKv

EKK

BKxKu

EKxKh

ES

EEEKxKb

ppviov

v

hv

h

v

vv

v

vhhv

ρ

ρ

** Se obtienen suponiendo que las variables son auto-similares

Localización del punto de hundimiento (xp) El punto de hundimiento marca un punto de equilibrio entre fuerzas de flotabilidad y de inercia, expresado el equilibrio en el número densimétrico de Froude

( ) ( )4/1

2/10

2/12/3

2/1 086.1 −≈=∆

= h

pp

pp

p

ip EB

bu

hg

uF

ρρ

Si introducimos los valores de u y b, en el campo cercano,

≈

>>

=

02

02

000

00

0 1

,2

1

hhFC

hhbhE

SF

C

h

h

ti

t

h

it

u0 = 1 m/s ; b0 = 4 m ; h0 = 0.25 m; S0 = 0.01 ; ∆ρ/ρ = 0.026 (70 vs. 38 psu); Vertical entrainment Ev = 0.0022

650 m

Foto - Manuel Antequera Ramos y Ana Jauregui Ponte Ensayos del comportamiento de vertidos hipersalinos al mar – (CEDEX – Congreso AEDyR, 2001)

u0 = 1 m/s ; b0 = 4 m ; h0 = 0.25 m; S0 = 0.005 ; ∆ρ/ρ = 0.026 (70 vs. 38 psu); Ev = 0.0011

u0 = 1 m/s ; b0 = 4 m ; h0 = 0.25 m; S0 = 0.02 ; ∆ρ/ρ = 0.026 (70 vs. 38 psu); Vertical entrainment Ev = 0.0045

Eh = 0.1 !