vectores(colegio)

VECTORES

Por: Marcos Guerrero.

1 Ing. Marcos Guerrero

CANTIDADES FÍSICAS.

Es aquella que está definida por un número que la mide y una unidad de medición.

¿Qué es una cantidad Física?

Cantidades vectoriales ( o vectores)

Existen dos tipos de cantidades físicas

Cantidad escalares (o escalares)

2 Ing. Marcos Guerrero

¿Cuántos tipos de cantidades Físicas existen?

CANTIDADES ESCALARES.

Es una cantidad física que posee un número que las mide y una unidad de medición.

número + unidad

mide medición Ejemplos:

La masa 20 kg La distancia 45 m El volumen 15 m3

El tiempo 2 s La rapidez 30 m.s-1

¿Qué es una cantidad escalar?:

3 Ing. Marcos Guerrero

CANTIDADES VECTORIALES.

número + unidad + dirección

magnitud o módulo o norma

Es una cantidad física que a más de tener un número que las mide y una unidad de medición, posee dirección.

El desplazamiento 6m, en el eje x (+) La velocidad 25m.s-1, Sur La aceleración 5m.s-2, 180°

Fuerza 6,0N, Noreste Campo eléctrico 200 N.C-1, 45.0° SE

¿Qué es una cantidad vectorial?:

Ejemplos:

4 Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 5

PREGUNTAS CONCEPTUALES.

¿Cuál es la diferencia entre una cantidad escalar y una cantidad vectorial?:

Ing. Marcos Guerrero 6

Indique, ¿cuál de las siguientes alternativas no es una cantidad vectorial? A. Velocidad B. Desplazamiento C. Posición D. Rapidez E. Pienso que existen más de uno que no son cantidades

vectoriales.

Ing. Marcos Guerrero 7

Indique, ¿cuál de las siguientes alternatrivas es una cantidad vectorial? A. Masa B. Temperatura C. Aceleración D. Tiempo E. Pienso que mas de uno es una cantidad vectorial

Ing. Marcos Guerrero 8

¿Cuáles de los siguientes alternativas tiene solo cantidades vectoriales? A. Fuerza, volumen, altura, velocidad, edad. B. Densidad, aceleración, crecimiento de una persona. C. Temperatura, luz, campo eléctrico, sonido. D. Las manecillas del reloj, área, distancia recorrida. E. Al menos una de las alternativas anteriores contiene por lo

menos una cantidad vectorial.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTOR

Dirección

• Flecha

• Ángulo

Punto de aplicación

(donde nace el vector)

Magnitud o módulo o norma

(tamaño del vector según la cantidad física)

Línea de referencia( se la utiliza para medir un ángulo)

9 Ing. Marcos Guerrero

Adicionalmente, todo vector posee una línea imaginaria llamada línea de acción.

¿Qué está permitido hacer con el vector con respecto a la línea de acción?

10 Ing. Marcos Guerrero

Todo vector se lo puede mover sobre la línea de acción o paralela a la línea de acción y no se altera su magnitud y dirección

11 Ing. Marcos Guerrero

RESPUESTA:

SIMBOLOGÍA.

Vector.

Magnitud, módulo o norma.

a

A

a A

a

A

Otra nomenclatura de vector

A

B

AB

La magnitud de un vector es SIEMPRE MAYOR O IGUAL A CERO NUNCA NEGATIVA.

12 Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 13

Existen 3 maneras de representar un vector:

ONF 305

o omb 6020

Representación de un vector en coordenadas rectangulares (también llamado coordenadas cartesianas)

)5,3( mm

Representación de un vector en coordenadas cardinales

NEm o405

Representación de un vector en coordenadas polares

Explique ¿cómo se determina por lo general la dirección de un vector cuando se trabaja en coordenadas polares?

14 Ing. Marcos Guerrero

El eje x(+) es la línea de referencia. El ángulo se lo puede leer a favor del movimiento de las manecillas del reloj (ángulo negativo) y en contra del movimiento de las manecillas del reloj (ángulo positivo).

Ing. Marcos Guerrero 15

PREGUNTAS CONCEPTUALES.

ORIENTACIÓN VECTORIAL EN 2 DIMENSIONES.

16 Ing. Marcos Guerrero

Plano de orientación vectorial.

N

S

E O

NE=E del N

SE=E del S

NO=O del N

SO=O del S

N del E

S del E

N del O

S del O

17 Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 18

Explique ¿cómo se determina la dirección de un vector cuando se trabaja con coordenadas cardinales?

La línea de referencia se la puede tomar ya sea con respecto al eje vertical o con respecto al eje horizontal

USANDO ESCALAS PARA DIBUJAR UN VECTOR.

Para dibujar un vector necesita una regla y un graduador.

19 Ing. Marcos Guerrero

MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.

Vector = escalar x vector

akb

Primero suponemos que k es un número sin unidades para poder comparar los vectores y . a

b

Con respecto a k puede haber 7 casos:

0 -1 1 k

1k

1k

01 k

0k 1k

10 k 1k

a

20 Ing. Marcos Guerrero

CASO 1: 1k

Si tomamos k=-2, entonces . ab

2

Conclusión:

ab

Los vectores y tienen direcciones opuestas (contrarias). a

b

21 Ing. Marcos Guerrero

a

b

CASO 2: 1k

Si tomamos k=-1, entonces . ab

Conclusión:

ab

Los vectores y tienen direcciones opuestas. a

b

Vector negativo.

Un vector es negativo si tiene la misma magnitud y dirección a opuesta a otro vector.

22 Ing. Marcos Guerrero

a

b

CASO 3: 01 k

Conclusión:

ab

Los vectores y tienen direcciones opuestas. a

b

Si tomamos ; entonces . ab

2

1

2

1k

23 Ing. Marcos Guerrero

a

b

CASO 4: 0k

Si tomamos k=0, entonces . 0

b

Conclusión:

ab

Vector cero o vector nulo.

Un vector que tiene una magnitud de cero e infinita direcciones.

Se lo representa con un punto, en donde se encuentra su punto de aplicación y la flecha.

24 Ing. Marcos Guerrero

a

b

CASO 5: 10 k

Conclusión:

ab

Los vectores y tienen la misma dirección. a

b

Si tomamos ; entonces . ab

2

1

2

1k

25 Ing. Marcos Guerrero

a

b

CASO 6: 1k

Conclusión:

ab

Los vectores y tienen la misma dirección. a

b

Si tomamos ; entonces . ab

1k

Vectores iguales.

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección.

26 Ing. Marcos Guerrero

a

b

CASO 7: 1k

Conclusión:

ab

Los vectores y tienen la misma dirección. a

b

Si tomamos ; entonces . ab

22k

27 Ing. Marcos Guerrero

a

b

Animación

CONCLUSIÓN.

¿Qué ocurre si el escalar k tiene unidades, se podrá comparar las magnitudes de los vectores y ? a

b

Cuando el escalar es negativo los vectores y tienen direcciones opuestas. En cambio, cuando el escalar es positivo los vectores y tienen la misma dirección

a

b

a

b

No se pueden comparar porque ambos vectores son diferentes cantidades físicas.

Ejemplo: gmW

Peso (N) Masa (kg) Aceleración de la gravedad (m/s2)

Ambos vectores tienen la misma dirección pero representan cantidades físicas diferentes.

28 Ing. Marcos Guerrero

OPERACIONES ENTRE VECTORES.

Suma y resta entre vectores: los vectores deben ser de la misma cantidad física.

Multiplicación: los vectores pueden ser de igual o de diferentes cantidades físicas.

vectorvectorvector Producto cruz o producto vectorial:

Producto punto o producto escalar:

vectorvectorescalar

29 Ing. Marcos Guerrero

SUMA Y RESTA ENTRE VECTORES

30 Ing. Marcos Guerrero

MÉTODOS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LOS QUE SE INVOLUCRA LA SUMA Y RESTA ENTRE VECTORES.

31 Ing. Marcos Guerrero

Métodos gráficos

Método del paralelogramo.

Método del triángulo.

Método del polígono cerrado.

Métodos analíticos

Método del paralelogramo.

Pitágoras y funciones trigonométricas básicas.

Ley seno y ley del coseno.

Método de las componentes. 32 Ing. Marcos Guerrero

MÉTODOS GRÁFICOS.

33 Ing. Marcos Guerrero

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.

Se lo utiliza cuando se tiene suma o resta entre 2 vectores.

El método para suma de 2 vectores consiste en:

•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.

•Trazar paralelas a los 2 vectores formando un paralelogramo.

•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en la unión de los 2 vectores y termina en la intersección de las 2 paralelas .

34 Ing. Marcos Guerrero

Ejercicio 1:

Solución:

Cuando se pide la resultante de 2 o más vectores, se asume que es la suma de todos los vectores que están en el gráfico.

Sean los vectores y que se muestran a continuación en la siguiente gráfica. Dibujar el vector resultante.

A

B

A

B

35 Ing. Marcos Guerrero

Ejercicio 2:

A

B

BAR

Primero disfrazamos la resta de suma, es decir . )( BAR

Segundo graficamos el vector . B

B

Sean los vectores y del ejercicio 1. Dibujar el vector .

A

B

BAR

Solución:

36 Ing. Marcos Guerrero

B

Ejercicio 3:

)( BAR

B

Segundo graficamos el vector . A

A

Sean los vectores y del ejercicio 1. Dibujar el vector .

A

B

ABR

Primero disfrazamos la resta de suma, es decir . )( ABR

A

Solución:

37 Ing. Marcos Guerrero

A

Comparando los gráficos de los ejercicios 2 y 3 podemos decir que la resta de vectores no es conmutativa.

A

B

ABR

A

B

ABR

)( BAR

B

A

Propiedad anticonmutativa de la resta: . ABBA

Conclusión:

ABBA

ABBA

38 Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 39

PREGUNTAS CONCEPTUALES.

¿Se podría utilizar el método del paralelogramo cuando se tiene 3 o más vectores?

Ing. Marcos Guerrero 40

MÉTODO DEL TRIÁNGULO.

Se lo utiliza cuando se tiene resta entre 2 vectores.

El método consiste en:

•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.

•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en la flecha del segundo vector de la operación y termina en la flecha del primer vector de la operación.

41 Ing. Marcos Guerrero

Ejercicio 1: Sean los vectores y que se muestran a continuación. Dibujar el vector .

A

B

BAR

A

B

Solución:

A

B

BAR

Primer vector de la operación

Segundo vector de la operación

BAR

42 Ing. Marcos Guerrero

Ejercicio 2: Sean los vectores y que se muestran a continuación. Dibujar el vector .

A

B

ABR

A

B

Solución:

A

B

ABR

Primer vector de la operación

Segundo vector de la operación

ABR

43 Ing. Marcos Guerrero

Comparando los gráficos de los ejercicios 1 y 2 podemos decir que la resta de vectores no es conmutativa.

A

B

BAR

A

B

ABR

Comparando con el método del paralelogramo.

A

B

ABR

)( BAR

B

A

44 Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 45

PREGUNTAS CONCEPTUALES.

Ing. Marcos Guerrero 46

MÉTODO DEL POLÍGONO CERRADO.

Se lo utiliza cuando se tiene 2 o más vectores.

El método consiste en:

•Colocar el primero vector de la operación.

•Colocar el segundo vector de la operación de tal manera que su punto de aplicación coincida con la flecha del primer vector de la operación.

•Colocar el tercer vector de la operación de tal manera que su punto de aplicación coincida con la flecha del segundo vector de la operación y así sucesivamente……….. •El vector resultante se inicia en el punto de aplicación del primer vector y termina en la flecha del último vector de la operación.

Animación.

Se lo utiliza en las operaciones de suma y resta entre vectores.

47 Ing. Marcos Guerrero

Animación.

Conclusión:

ABBA

Propiedad conmutativa de la suma de vectores:

48 Ing. Marcos Guerrero

Animación.

Conclusión:

)()( CBACBA

Propiedad asociativa de la suma de vectores:

BmAmBAm

)(

Propiedad distributiva de la suma y resta de vectores:

49 Ing. Marcos Guerrero

¿Pueden 2 vectores de diferente magnitud sumar cero?

A. Si. B. No.

¿Pueden 3 vectores de igual magnitud sumar cero?

A. Si.

B. No.

PREGUNTAS CONCEPTUALES.

Ing. Marcos Guerrero 51

Ing. Marcos Guerrero 52

A B and C, ,

A C

Pink Blue Green Yellow

Purple: None of these!

B

Tres vectores son mostrados a continuación. S A B C

A) B) C) D)

E) Ninguna es correcta

¿Cuál alternativa representa mejor el vector

Ing. Marcos Guerrero 54

Para cada una de las siguientes afirmaciones indique V si es verdadero o F si es falso y justifique su respuesta en caso de ser falso.

1. La magnitud de un vector puede ser positiva, negativa o cero.

2. El mínimo número de vectores de igual magnitud para que su resultante sea cero es 3.

3. La magnitud de la suma de los 2 vectores es igual a la magnitud de la resta de los 2 vectores siempre que los 2 vectores sean perpendiculares entre sí. .

55 Ing. Marcos Guerrero

4. Las cantidades escalares pueden ser positivas, negativas o cero.

5. Son ejemplos de cantidades vectoriales el desplazamiento y la velocidad.

6. Son ejemplos de cantidades escalares la temperatura y la presión.

7. Si la ecuación escalar de 2 vectores es C=A+B y su ecuación vectorial es ,entonces el ángulo entre los vectores y es 00.

CBA

A

B

56 Ing. Marcos Guerrero

MÉTODOS ANALÍTICOS.

57 Ing. Marcos Guerrero

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.

B

A

Sean los vectores y que se muestran a continuación, y θ el ángulo que forma el vector con una línea de referencia.

A

B

A

Se lo puede utilizar entre 2 vectores.

Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.

58 Ing. Marcos Guerrero

Primero grafiquemos el vector resultante.

B

A

BAR

Observemos que θ es el ángulo entre los vectores y , además Φ es el ángulo entre los vectores y .

A

B

B

R

Ing. Marcos Guerrero 59

Si suponemos que conocemos la magnitud de los vectores y , como también el ángulo entre ellos, entonces podemos determinar la magnitud del vector resultante y el ángulo entre los vectores y mediante las ecuaciones:

A

B

B R

R

ABCosBAR 2222

ACosB

ASenTan

60 Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 61

EJERCICIO.

Ing. Marcos Guerrero 62

Ing. Marcos Guerrero 63

Las funciones trigonométricas básicas se las aplica en ángulos agudos que se encuentran en el interior de un triángulo rectángulo.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Y PITÁGORAS.

Las 3 más importantes son:

hipotenusa

opuestoSen

hipotenusa

adyacenteCos

adyacente

opuestoTan

64 Ing. Marcos Guerrero

Senac

Cos bc

Tana

b

Senbc

Cos ac

Tan ba

a

b

c

y son ángulos agudos

TEOREMA DE PITÁGORAS.

“La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de

los catetos”.

222 bac 65 Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 66

¿Cómo utilizar las funciones trigonométricas básicas y el teorema de Pitágoras en vectores?

Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.

A

B

BAR

A

B

C B

A BAR

0

C B A R 67 Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 68

EJERCICIO.

Ing. Marcos Guerrero 69

LEY DEL COSENO.

La ley deL Coseno permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para resolverlo pide que conozcas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. La ley de los Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemas de triángulos, como los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de 90°.

70 Ing. Marcos Guerrero

AB

CSuponiendo que se conoce los lados A y B, así como también el ángulo , entonces para determinar el lado C con la ecuación:

ABCosBAC 2222

71 Ing. Marcos Guerrero

La ley del Coseno dice así:

“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo

que forman”

AB

C

Suponiendo que se conoce los lados B y C, así como también el ángulo , entonces para determinar el lado A con la ecuación:

BCCosCBA 2222

72 Ing. Marcos Guerrero

AB

C

Suponiendo que se conoce los lados A y C, así como también el ángulo , entonces para determinar el lado B con la ecuación:

ACCosCAB 2222

73 Ing. Marcos Guerrero

¿Cómo utilizar la ley del coseno en vectores?

Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.

A

B

BAR

A

B

C

0

CBAR

B

A BAR

74 Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 75

EJERCICIO.

La ley del Seno es una relación de 3 igualdades que siempre se cumplen entre los lados y sus ángulos opuestos en un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. Especialmente los triángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que carecen de un ángulo recto o de 90°.

LEY DEL SENO.

76 Ing. Marcos Guerrero

AB

C

Sen

C

Sen

B

Sen

A

77 Ing. Marcos Guerrero

La ley de los Senos dice así:

“En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.

AB

C

Suponiendo que se conoce los lados A y B, así como también el ángulo , entonces para determinar el ángulo con la ecuación:

Sen

B

Sen

A

78 Ing. Marcos Guerrero

¿Cómo utilizar la ley del seno en vectores?

Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.

A

B

BAR

A

B

C

0

CBAR

B

A BAR

79 Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 80

EJERCICIO.

MÉTODO DE LAS COMPONENTES.

81 Ing. Marcos Guerrero

DIBUJANDO LAS COMPONENTES DE UN VECTOR. Imaginemos que tenemos un vector en el primer cuadrante. a

X

Y

0

a

xa

ya

Del gráfico podemos observar que:

yx aaa

y son llamados componentes ortogonales del vector o proyecciones del vector a lo largo de los ejes x e y respectivamente.

xa

ya

a a

82 Ing. Marcos Guerrero

Animación

Imaginemos que tenemos un vector en el segundo cuadrante.

a

X

Y

0

a

xa

ya

83 Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el tercer cuadrante. a

X

Y

0

a

xa

ya

84 Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el cuarto cuadrante. a

X

Y

0

a

xa

ya

85 Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el eje x(+). a

X

Y

0 xaa

Como el vector se encuentra en el eje x la componente del vector en el eje y es .

a

a

0

ya

86 Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el eje y(-). a

X

Y

0

yaa

Como el vector se encuentra en el eje y la componente del vector en el eje x es .

a

a

0

xa

87 Ing. Marcos Guerrero

MAGNITUDES DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR.

Para determinar las magnitudes de las componentes de un vector a lo largo de los ejes x e y respectivamente, se necesita la magnitud del vector y el ángulo que forma el vector con el eje horizontal o vertical.

X

Y

0

a

xa

ya

Utilizando las funciones trigonométricas Coseno y Seno para el ángulo θ tenemos:

aSenaa

aSen y

y

aCosaa

aCos x

x

Imaginemos que tenemos el ángulo θ y la magnitud del vector a

88 Ing. Marcos Guerrero

X

Y

0

a

xa

ya

Ahora imaginemos que tenemos el ángulo y la magnitud del vector a

Utilizando las funciones trigonométricas Coseno y Seno para el ángulo tenemos:

aSenaa

aSen x

x

aCosaa

aCos y

y

89 Ing. Marcos Guerrero

SIGNO DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR.

X

Y

0

)(xa

)(ya

Cuadrante I

)(xa

)(ya

Cuadrante II

)(xa

)(ya

Cuadrante III

)(xa

)(ya

Cuadrante IV

90 Ing. Marcos Guerrero

MAGNITUD DE UN VECTOR.

Y

X 0

a

xa

ya

Imaginemos que conocemos las componentes y del vector . a

ya

xa

Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para determinar la magnitud del vector , entonces tenemos:

a

22

yx aaa

91 Ing. Marcos Guerrero

DIRECCIÓN DE UN VECTOR. Recordemos que la dirección de un vector se lo mide con respecto al eje x(+). Si la dirección se la mide a favor del movimiento de las manecillas del reloj el ángulo es negativo, pero si la dirección se la mide en contra del movimiento de las manecillas del reloj el ángulo es positivo.

92 Ing. Marcos Guerrero

Para determinar la dirección de un vector, imaginemos que conocemos las componentes y del vector . a

ya

xa

Utilizando la siguiente función trigonométrica tenemos:

x

y

a

aTan

Cada vez que se utilice esta ecuación debemos tener presente que el ángulo θ es el que forma el vector con el eje horizontal.

93 Ing. Marcos Guerrero

X 0

a

xa

ya

θ

Y

Ing. Marcos Guerrero 94

Imaginemos que tenemos un vector en el primer cuadrante. a

X

Y

0

a

(+) (-)

95 Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el segundo cuadrante.

a

X

Y

0

a

(+)

(-)

96 Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el tercer cuadrante. a

X

Y

0

a

(+)

(-)

97 Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el cuarto cuadrante. a

X

Y

0

a

(+)

(-)

98 Ing. Marcos Guerrero

Se lo puede utilizar cuando se tiene 2 o más vectores.

Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.

El método consiste en:

•Colocar los vectores de tal manera que sus puntos de aplicación coincidan con el origen de coordenadas.

•Dibujar las componentes de cada vector, trazando paralelas a los ejes X y Y respectivamente

•Determinar las magnitudes de las componentes de cada vector utilizando las funciones trigonométricas básicas seno y coseno.

•Colocar el signo de las componentes de cada vector según el cuadrante respectivo en el que se encuentre el mismo.

MÉTODO DE LAS COMPONENTES.

99 Ing. Marcos Guerrero

•Determinar las componentes del vector resultante.

•Dibujar el vector resultante en el cuadrante respectivo.

•Determinar la magnitud del vector resultante con ayuda del teorema de Pitágoras.

•Determinar la dirección del vector resultante, para esto se puede utilizar la función trigonométrica como herramienta adicional.

100 Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 101

Dos vectores A y B se muestran a continuación. Considere el

vector C = A+B. ¿Cuál es la componente del vector C en y?

(cada lado del cuadrado vale 1 u)

B

A

x

y A) 3

B) 2

C) -2

D) -4

E) Ninguno de ellos es la respuesta.

103 Marcos Guerrero

REPASO DE VECTORES

104 Marcos Guerrero

105 Marcos Guerrero

106 Marcos Guerrero

Marcos Guerrero 107

SISTEMAS DE COORDENADAS ESPACIALES.

x

y

z

z

x

y

y

z

x

Sistema de coordenadas espaciales que contiene:

•3 ejes que son perpendiculares entre sí x, y, z.

•3 planos x-y, x-z, y-z.

•8 octantes :

X(+), y(+),z(+). X(+), y(+),z(-). X(+), y(-),z(+). X(-), y(+),z(+).

X(-), y(-),z(+). X(-), y(+),z(-). X(+), y(-),z(-). X(-), y(-),z(-).

UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL SISTEMA DE COORDENADAS ESPACIALES.

Marcos Guerrero 108

• En el origen, las 3 coordenadas valen cero.

(0,0,0)

z

x

y

a

b

c

(a,0,0)

(0,b,0)

(0,0,c)

(a,b,0)

(a,0,c)

(0,b,c)

(a,b,c)

(x,y,z) Triada ordenada

Cuando el punto de coordenadas está:

• En el eje, 2 coordenadas valen cero.

• En el plano, una coordenada vale cero.

• En el espacio, las 3 coordenadas son diferente de cero.

VECTORES EN EL ESPACIO.

Marcos Guerrero 109

z

x

y

a

xa ya

za

z

x

y xa

ya

za

a

zyx aaaa

kajaiaa zyxˆˆˆ

son llamados componentes ortogonales del vector o proyecciones del vector a lo largo de los ejes x,y,z respectivamente.

zyx aaa

,,a

a Representación de un vector utilizando

vectores unitarios

Observar que la proyección del vector en el plano XZ son las componentes del vector en los ejes x y z respectivamente

Marcos Guerrero 110

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR

UTILIZANDO VECTORES UNITARIOS

(VECTORES BASES). ¿Qué es un vector base?

Es un vector unitario que posee dirección y cuya magnitud es igual a la

unidad. Se localizan en los ejes x, y e z tal como se muestra en la figura

111 Marcos Guerrero

¿Para qué se utiliza los vectores base?

Se lo utiliza para darle dirección a las componentes de un vector

Marc

os

Guerr

ero

112

¿Qué ocurre si el vector se encuentra en un plano o en un eje?

Si el vector se encuentra en un plano sólo tiene dos componentes y si se encuentra en un eje sólo tiene una componente.

z

x

y

a

xaa

za

z

x

y

zx aaa

xa

MAGNITUD DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.

Marcos Guerrero 113

a

Conociendo las 3 componentes ortogonales del vector , demostrar que su magnitud viene dada por la expresión:

222

zyx aaaa

DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.

Marcos Guerrero 114

z

x

y

a

xa

ya

za

α

β

γ

α,β,γ se llaman ángulos directores y son los

ángulos que determinan la dirección de un

vector en el espacio.

α es el ángulo que forma el vector con el eje x(+) a

β es el ángulo que forma el vector con el eje y(+) a

γ es el ángulo que forma el vector con el eje z(+) a

Marcos Guerrero 115

¿Cómo se determinan los ángulos que forma el vector con los ejes negativos? a

x(+) x(-)

a

α 1800 -α

1800-α es el ángulo que forma el vector con el eje x(-) a

1800 -βes el ángulo que forma el vector con el eje y(-) a

1800 -γes el ángulo que forma el vector con el eje z(-) a

Marcos Guerrero 116

ax

a

α

ay

a

β

az

a

γ

Con ayuda de los cosenos directores.

¿Cómo se determinan los ángulos directores?

Conociendo las ángulos directores del vector , demostrar que los 3 ángulos directores están relacionados por la expresión:

a

a

aCos x

z

x

y

a

xa ya

za

a

aCos

y

1222 CosCosCos

a

aCos z

GRAFICANDO UN VECTOR EN EL ESPACIO.

Marcos Guerrero 117

)(4ˆ2ˆ3 mkjia

Graficar el vector

x

y

z

a

118 Marcos Guerrero

119 Marcos Guerrero

120 Marcos Guerrero

Marcos Guerrero 121

VECTOR UNITARIO ( )

Es un vector que posee una dirección y cuya magnitud es igual a la unidad.

Todo vector posee su vector unitario.

z

x

y

a

a

Definición:

Los vectores y tienen la misma dirección.

a

a

a

El vector es adimensional.

a

aa

a : vector unitario del vector a

Marcos Guerrero 122

kajaiaa zyxˆˆˆ

a

kajaia zyx

a

ˆˆˆ

ka

aj

a

ai

a

a zyxa

ˆˆˆ

kCosjCosiCosaˆˆˆ

222

zyx aaaa

En función de las componentes y

la magnitud

En función de los cosenos

directores

Marcos Guerrero 123

Dos vectores, uno de velocidad y otro de fuerza, tienen magnitudes diferentes e iguales

direcciones. ¿Tienen el mismo vector unitario? Explique su respuesta.

V F

Ambos tienen el mismo vector unitario.

V

F

Ambos vectores unitarios tienen la misma magnitud y la misma dirección.

1 FV

MULTIPLICACIÓN ENTRE

VECTORES.

Marcos Guerrero 124

oPueden ser de igual o de diferentes unidades.

oExisten dos tipos:

•Producto punto o producto escalar.

vectorvectorescalar

•Producto cruz o producto vectorial.

vectorvectorvector

sFW

Fr

Marcos Guerrero 125

PRODUCTO PUNTO.

También llamado producto escalar.

Definición:

A

B es el ángulo entre los vectores

y .

CosBABA

Animación.

Viene dado en unidades cuadradas sólo

si los vectores que se multiplican

tienen unidades u.

Marcos Guerrero 126

PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO.

Propiedad Conmutativa: ABBA

Propiedad Distributiva: CABACBA

)(

Propiedad de

Homogenidad:

)()()( BmABAmBAm

donde m es un escalar

Propiedad de Positividad: 2

AAA

0

Asi

Marcos Guerrero 127

PRODUCTO PUNTO ENTRE

VECTORES UNITARIOS . kji ˆ,ˆ,ˆ

Producto punto entre vectores unitarios iguales .

1ˆˆ

0ˆˆˆˆ 0

ii

Cosiiii

Utilizando la definición de producto punto tenemos:

1ˆˆ jj 1ˆˆ kk

El producto punto entre dos vectores unitarios iguales siempre es

igual a 1.

En general, el producto punto entre dos vectores unitarios paralelos

y de la misma dirección siempre es igual a 1.

Marcos Guerrero 128

Producto punto entre vectores unitarios perpendiculares.

0ˆˆ

90ˆˆˆˆ 0

ji

Cosjiji

Utilizando la definición de producto punto tenemos:

0ˆˆ kj 0ˆˆ ik

El producto punto entre dos vectores unitarios perpendiculares

siempre es igual a 0.

Marcos Guerrero 129

PRODUCTO PUNTO ENTRE DOS

VECTORES.

Sean los vectores y : A

B

kBjBiBB

kAjAiAA

ZYX

ZYX

ˆˆˆ

ˆˆˆ

demostrar que: ZZYYXX BABABABA

Marcos Guerrero 130

ZZYYXX BABABABA

Para utilizar esta ecuación se considera el signo de las componentes.

Marcos Guerrero 131

APLICACIONES DEL PRODUCTO

PUNTO.

Se lo puede utilizar para:

•Determinar el ángulo entre dos vectores.

•Determinar proyecciones escalares y vectoriales de un vector

sobre otro vector.

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES UTILIZANDO EL

PRODUCTO PUNTO.

Recordemos que para determinar el ángulo entre dos vectores deben

estar unidos por un mismo punto de aplicación.

Marcos Guerrero 132

Para determinar el ángulo entre dos vectores podemos utilizar la

ecuación:

BA

BACos

1

Marcos Guerrero 133

PROYECCIÓN ESCALAR Y VECTORIAL DE UN

VECTOR SOBRE OTRO VECTOR.

Proyección escalar de un vector sobre otro vector.

A

B

Imaginemos que tenemos dos vectores y unidos por un mismo

punto de aplicación. A

B

Vamos a determinar la

proyección escalar del

vector sobre el vector

que se lo denota como .

A

B

BA

BA

Marcos Guerrero 134

Del gráfico anterior tenemos:

CosAAB

Si comparamos con la definición de producto punto:

CosBABA

La ecuación anterior la podemos expresar como:

BABBA

Despejando : BAB

BAAB

Marcos Guerrero 135

Proyección vectorial de un vector sobre otro vector. Del gráfico anterior tenemos:

A

B

BA

Dibujemos el vector unitario

del vector ( ). B

B

Donde:

B

BB

B

BA Ahora dibujemos la

proyección vectorial del vector

sobre el vector y lo

denotamos .

A

B

BA

Marcos Guerrero 136

Del gráfico, podemos observar que:

BBB AA

Marcos Guerrero 137

PRODUCTO CRUZ.

También llamado producto vectorial.

Definición:

A

B

es el ángulo entre los vectores

y .

Viene dado en unidades cuadradas sólo

si los vectores que se multiplican

tienen unidades u.

SenBABA

Magnitud

Marcos Guerrero 138

Animación.

Con la regla de la mano derecha:

“Consiste en colocar la mano derecha en el primer vector de la operación,

luego rotar y cerrar los dedos hacia el segundo vector de la operación(la menor

rotación), al levantar el pulgar este dará la dirección del vector resultante”

¿Cómo se determina la dirección del vector ? BA

Animación.

El producto vectorial sólo

existe en el espacio

tridimensional. CB

CA

Marcos Guerrero 139

¿Cómo se determina la dirección del vector ? AB

Animación.

CB

CA

PROPIEDADES DEL

PRODUCTO CRUZ.

Marcos Guerrero 140

Propiedad homogenidad

escalar

BABABA

:

)()()(

ABBA

Propiedad anti-conmutativa

CABACBA

)(Propiedad distributiva

0

BA si BA

//

Marcos Guerrero 141

PRODUCTO CRUZ ENTRE

VECTORES UNITARIOS . kji ˆ,ˆ,ˆ

Producto cruz entre vectores unitarios perpendiculares.

kji ˆˆˆ

i

j

k

jik ˆˆˆ

ikj ˆˆˆ i

j

k

kij ˆˆˆ

jki ˆˆˆ

ijk ˆˆˆ

Marcos Guerrero 142

Producto cruz entre vectores unitarios iguales.

0ˆˆ

ii

0ˆˆ

jj

0ˆˆ

kk

El producto vectorial de dos

vectores unitarios iguales es el

vector nulo.

Marcos Guerrero 143

PRODUCTO CRUZ ENTRE DOS

VECTORES.

Sean los vectores y : A

B

kBjBiBB

kAjAiAA

ZYX

ZYX

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ZYX

ZYX

BBB

AAA

kji

BAC

ˆˆˆ

fila

columna

Marcos Guerrero 144

kBB

AAj

BB

AAi

BB

AA

BBB

AAA

kji

BACYX

YX

ZX

ZX

ZY

ZY

ZYX

ZYXˆˆˆ

ˆˆˆ

kCjCiCC ˆˆˆ131211

donde:

YZZY BABAC 11

XZZX BABAC 12

XYYX BABAC 13

Marcos Guerrero 145

A

B

¿Cómo se determina el área del paralelogramo formado por los

vectores y ?

A

B

Altura

Base

ABase

SenBAltura

B

AlturaSen

SenBAArea

AlturaBaseArea

Marcos Guerrero 146

Si la comparamos con la ecuación:

SenBABAC

Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores y

viene dada por la magnitud del vector .

A

B

C

BACArea

Marcos Guerrero 147

A

B

A

B¿Cómo se determina el área del triángulo formado por los

vectores , y ? BA

BA

Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores , y

viene dada por la mitad de la magnitud del vector .

A

B

C BA

22

BACArea

Marcos Guerrero 148

APLICACIONES DEL PRODUCTO

CRUZ.

Se lo puede utilizar para:

•Determinar un vector perpendicular al plano formado por dos

vectores.

•Determinar el área del paralelogramo formado por dos

vectores.

•Determinar el área del triángulo formado por tres vectores.

Marcos Guerrero 149

TRIPLE PRODUCTO ENTRE

VECTORES .

A

B

D

BAC

Vamos a determinar el producto

cruz entre los vectores y

( ). B

BAC

A

CDVamos a determinar la

proyección escalar del vector

sobre el vector ( ). D

C

CD

Marcos Guerrero 150

Podemos observar del gráfico anterior que la proyección escalar del vector

sobre el vector es la altura del paralelepípedo. D

C

C

CDDh C

BA

BADh

Donde es el área de la base del paralelepípedo. BA

Marcos Guerrero 151

Ahora si multiplicamos la altura del paralelepípedo por el área de la

base del paralelepípedo obtenemos el volumen del paralelepípedo,

entonces tenemos que:

BADBAhVolumen

BADVolumen