vectores en r3

MATEMÁTICA APLICADA PARA LA INGENIERÍA III

Tema: 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝑹𝟑

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email.: mtarazona@uch.edu.pe

ESTUDIOS GENERALES

ÁREA DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS NATURALES

Estudios Generales

Unidad

INTRODUCCIÓN• Es una parte esencial de la matemática útil para físicos,

matemáticos, ingenieros y técnicos.

• Constituye una noción concisa y clara para presentar lasecuaciones de modelo matemático de las situacionesfísicas

• Proporciona además una ayuda inestimable en laformación de imágenes mentales de los conceptos físicos.

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VECTORES Y ESCALARES 1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse necesitan

de un número real y su correspondiente unidad. Ejm:La masa el tiempo; la temperatura.

2. VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan deuna magnitud, una dirección y un sentido Ejm: Lavelocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc.

3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud,múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normaly cortante, la presión

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VECTOR• Ente matemático cuya determinación exige el

conocimiento de un módulo una dirección y unsentido.

• Gráficamente a un vector se representa por unsegmento de recta orientado

• Analíticamente se representa por una letra con unaflecha encima.

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Elementos de un vector1. Dirección:

Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos

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2. sentido: Es el elemento que indica la orientación del vector. Gráficamente viene representada por la cabeza de flecha.

3. Magnitud: Representa el valor de la magnitud física a la cual se asocia. Gráficamente viene representado por la longitud del segmento de recta

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Algebra vectorial Antes de describir las operaciones de suma, resta,

multiplicación de vectores es necesario definir:

1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres elementos idénticos

2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto

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• Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regla delparalelogramo o del triángulo .

• La magnitud de la resultante R se determina mediante la ley decosenos

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 2

2 cosR A B A B

( )

AR B

sen sen sen

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• Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regla delparalelogramo o del triángulo .

• La magnitud del vector diferencia D es

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 22 2

2 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B

( )

AD B

sen sen sen

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Multiplicación de un escalar por un vector

Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector .El producto es un nuevo vector . La magnitud del vectorproducto es c veces la magnitud del vector . Si c > 0 el vectorproducto tiene la misma dirección y sentido de A. Por el contrariosi c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a

cA

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Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector

1. Les asociativa para la multiplicación.

Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe

2. Ley distributiva para la adición vectorial.

si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma de dosvectores se tiene

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3. Ley distributiva para la suma escalar.

Si b y c son la suma de dos escalares por el vector A setiene

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VECTOR UNITARIO • Es un vector colineal con el vector original

• Tiene un módulo igual a la unidad

• Se define como el vector dado entre su modulo correspondiente es decir

ˆA

Ae

A

ˆAA A e

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VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES • A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores

unitarios

• Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulosiguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí.

ˆˆ ˆ, ,i j k

ˆˆ ˆi j k

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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL En el espacio.

Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes

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ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆcos cos cos

ˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆ

ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )

x y z

x y z

A

A

A A A A

A A i A j A k

A A i A j A k

A A i j k

A Ae

e i j k

22 2 2

x y zA A A A

cos xA

A

cos yA

A

cos AzA

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VECTOR POSICIÓN

ˆˆ ˆr OP xi yj zk

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VECTOR POSICIÓN RELATIVO

1 2 1 2 1 2ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k

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PRODUCTO ESCALAREl producto escalar o producto punto de dos vectores Ay B denotado por y expresado A multiplicadoescalarmente B, se define como el producto de lasmagnitudes de los vectores A y B por el coseno delángulo que forman ellos.

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Propiedades del producto escalar1. El producto escalar es conmutativo

2. El producto escalar es distributivo

3. Producto de un escalar por el producto escalar

4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por untercer vector

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5. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales

6. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.

7. Producto escalar de dos vectores

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8. Producto escalar de dos vectores en forma decomponentes . Entoncestenemos

9. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entoncesdichos vectores son perpendiculares

. 0A B A B

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VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL

2 2

2

.( ) 0 ( ). 0

( . ) 0

.

c rb a rb rb

r a b r b

a br

b

2

.Pr ( ) [ . ]

ˆ ˆPr [ . ]

b

b bb

a b b boy a rb b a

b b b

oy a a e e

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PRODUCTO VECTORIALEl producto escalar o producto cruz de dos vectores A y B, es untercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los dosvectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudesmultiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo sentido sedetermina mediante la regla de la mano derecha. La notación delproducto cruz es

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Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice con elprimer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgarextendido nos da el vector producto de ambos.Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo ahacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgarextendido nos da el vector producto.

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PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL1. El producto vectorial no es conmutativo

2. El producto vectorial es distributivo

3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.

4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios

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5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es

6. La magnitud del producto vectorial es igual al área delparalelogramo que tiene a los vectores A y B

7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores sonparalelos.

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ ( ) ( ) ( )

x y z y z z y x z z x x y y z

x y z

i j k

AxB A A A i A B A B j A B A B k A B A B

B B B

( ) ( )Area AxB A Bsen A h

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GRACIAS