varianza, moda, desviación estándar
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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE
CHETUMAL
PROBLEMA
En una ciudad costera, un sábado de agosto, se
midió con radar la velocidad, en kilómetros por
hora, de 50 motocicletas que pasaron frente a un
paso de nivel. Los datos se encuentran en la
siguiente tabla:
TABLA DE DATOS (NO AGRUPADOS)
90 85 110 80 75 120 105 100 103 98
96 89 135 108 125 130 120 102 97 86
132 128 115 142 106 102 95 89 96 107
121 132 126 128 134 138 139 110 123 108
102 98 92 90 128 135 138 143 109 133
OBTENER RANGO
90 85 110 80 75 120 105 100 103 98
96 89 135 108 125 130 120 102 97 86
132 128 115 142 106 102 95 89 96 107
121 132 126 128 134 138 139 110 123 108
102 98 92 90 128 135 138 143 109 133
RANGO= VALOR MAYOR - VALOR MENOR
RANGO= 143-75
RANGO= 68
OBTENER MEDIA
90 85 110 80 75 120 105 100 103 98
96 89 135 108 125 130 120 102 97 86
132 128 115 142 106 102 95 89 96 107
121 132 126 128 134 138 139 110 123 108
102 98 92 90 128 135 138 143 109 133
X=
x= Ʃ x i
ni=1
n
90+85+110+80+75+120+105+100+103+98+96+89+135+108+125+ 130+120+102+97+86+132+128+115+142+106+102+95+89+96+107
+121+132+126+128+134+138+139+110+123+108+102+98+92+90+
128+135+138+143+109+133
50
X= 111.86
OBTENER MEDIANA
90 85 110 80 75 120 105 100 103 98
96 89 135 108 125 130 120 102 97 86
132 128 115 142 106 102 95 89 96 107
121 132 126 128 134 138 139 110 123 108
102 98 92 90 128 135 138 143 109 133
75 80 85 86 89 89 90 90 92 95
96 96 97 98 98 100 102 102 102 103
105 106 107 108 108 109 110 110 115 120
120 121 123 125 126 128 128 128 130 132
132 133 134 135 135 138 138 139 142 143
ORDENAR
DATOS
OBTENER MEDIANA
LA MEDIANA ES EL DATO CENTRAL, EN ESTE CASO HAY 2 (POR QUE EL
NÚMERO DE DATOS ES PAR). POR LO TANTO, SE TOMAN LOS 2
VALORES, SE SUMAN Y SE DIVIDEN ENTRE 2.
75 80 85 86 89 89 90 90 92 95
96 96 97 98 98 100 102 102 102 103
105 106 107 108 108 109 110 110 115 120
120 121 123 125 126 128 128 128 130 132
132 133 134 135 135 138 138 139 142 143
M= 108+109
2M= 108.5
OBTENER MODA
LA MODA ES EL DATO QUE MÁS SE REPITE, EN ESTE CASO HAY 2.
75 80 85 86 89 89 90 90 92 95
96 96 97 98 98 100 102 102 102 103
105 106 107 108 108 109 110 110 115 120
120 121 123 125 126 128 128 128 130 132
132 133 134 135 135 138 138 139 142 143
MODA= 102 Y 128
OBTENER DESVIACIÓN ESTÁNDAR
σ =
ii=1
n
(111.86-75) 2 + (111.86-80) 2 + (111.86-85) 2 + (111.86-86) 2 +
(111.86-89) 2 + (111.86-89) 2 + ................… (111.86-138) 2 +
(111.86-139) 2 + (111.86-142) 2 + (111.86-143) 2
50
σ= Σ (x-x )2
n√75 80 85 86 89 89 90 90 92 95
96 96 97 98 98 100 102 102 102 103
105 106 107 108 108 109 110 110 115 120
120 121 123 125 126 128 128 128 130 132
132 133 134 135 135 138 138 139 142 143
√σ= 18.3553916
AGRUPAR DATOS EN 8 CLASES
No. Límites Lím. reales Log. De
clase
Long. Real
de clase
Marcas
de clase
Frec. Frec.
Acum.
Frec.
relativa
Frec. Rel.
Acum
1 75-83 74.5-83.5 8 9 79 2 2 4% 4%
2 84-92 83.5-92.5 8 9 88 7 9 14% 18%
3 93-101 92.5-101.5 8 9 97 7 16 14% 32%
4 102-110 101.5-110.5 8 9 106 12 28 24% 56%
5 111-120 110.5-120.5 8 9 115.5 3 31 6% 62%
6 121-129 120.5-129.5 8 9 125 7 38 14% 76%
7 130-138 129.5-138.5 8 9 134 9 47 18% 94%
8 139-147 138.5-147.5 8 9 143 3 50 6% 100%
HISTOGRAMA (FRECUENCIA)
0
2
4
6
8
10
12
14
74.5 83.5 92.5 101.5 110.5 120.5 129.5 138.5 147.5
POLÍGONO DE FRECUENCIA
0
2
4
6
8
10
12
14
79 88 97 106 115,5 125 154 143
OJIVA (FRECUENCIA)
0
2
4
6
8
10
12
14
79 88 97 106 115,5 125 154 143
HISTOGRAMA (FREC. ACUM.)
0
10
20
30
40
50
60
74.5 83.5 92.5 101.5 110.5 120.5 129.5 138.5 147.5
POLÍGONO DE (FREC. ACUM.)
0
10
20
30
40
50
60
79 88 97 106 115,5 125 154 143
OJIVA (FREC. ACUM.)
HISTOGRAMA (FREC. REL.)
0
5
10
15
20
25
30
74.5 83.5 92.5 101.5 110.5 120.5 129.5 138.5 147.5
POLÍGONO DE (FREC. REL.)
0
5
10
15
20
25
30
79 88 97 106 115,5 125 154 143
OJIVA(FREC. REL.)
HISTOGRAMA (FREC. REL. ACUM.)
0
20
40
60
80
100
120
74.5 83.5 92.5 101.5 110.5 120.5 129.5 138.5 147.5
POLÍGONO DE (FREC. REL. ACUM.)
0
20
40
60
80
100
120
79 88 97 106 115,5 125 154 143
OJIVA(FREC. REL. ACUM.)
MEDIA (DATOS AGRUPADOS)
x= Ʃ f xi
ni=1
n
i
x : Marca de la clase.
f : Frecuencia de la clase.n : Ʃ (suma) de las frecuencias.
i
i
MEDIA (DATOS AGRUPADOS)
2(79) + 7(88) + 7(97) + 12(106) + 3(115.5) + 7(125) + 9(134) + 3(143)
50
No. Límites Lím. reales Log. De
clase
Long. Real
de clase
Marcas
de clase
Frec. Frec.
Acum.
Frec.
relativa
Frec. Rel.
Acum
1 75-83 74.5-83.5 8 9 79 2 2 4% 4%
2 84-92 83.5-92.5 8 9 88 7 9 14% 18%
3 93-101 92.5-101.5 8 9 97 7 16 14% 32%
4 102-110 101.5-110.5 8 9 106 12 28 24% 56%
5 111-120 110.5-120.5 8 9 115.5 3 31 6% 62%
6 121-129 120.5-129.5 8 9 125 7 38 14% 76%
7 130-138 129.5-138.5 8 9 134 9 47 18% 94%
8 139-147 138.5-147.5 8 9 143 3 50 6% 100%
X=
X= 111.63
MEDIANA (DATOS AGRUPADOS)
L +
L : Límite real inferior de la clase mediana.
n : Número total de datos.
: Frec. acum. de la clase ant. de la clase med.
: Frecuencia de la clase mediana.
c : Longitud de la clase real.
1
n
2 Ʃ f 1
f (mediana)
1
Ʃ f 1
c
f (mediana)
MEDIANA (DATOS AGRUPADOS)No. Límites Lím. reales Log. De
clase
Long. Real
de clase
Marcas
de clase
Frec. Frec.
Acum.
Frec.
relativa
Frec. Rel.
Acum
1 75-83 74.5-83.5 8 9 79 2 2 4% 4%
2 84-92 83.5-92.5 8 9 88 7 9 14% 18%
3 93-101 92.5-101.5 8 9 97 7 16 14% 32%
4 102-110 101.5-110.5 8 9 106 12 28 24% 56%
5 111-120 110.5-120.5 8 9 115.5 3 31 6% 62%
6 121-129 120.5-129.5 8 9 125 7 38 14% 76%
7 130-138 129.5-138.5 8 9 134 9 47 18% 94%
8 139-147 138.5-147.5 8 9 143 3 50 6% 100%
MEDIANA= 101.5 + 25 - 16
129
MEDIANA= 108.25
MODA (DATOS AGRUPADOS)
L +
L : Límite real inferior de la clase mediana.
c : Longitud de la clase real.
Δ : Lím. real de la clase modal.
Δ y Δ : Exceso de la clase inf. y la clase sup.
1
1
cΔ
Δ + Δ
1
21
1 2
1
MODA (DATOS AGRUPADOS)
L +1 cΔ
Δ + Δ
1
21
No. Límites Lím. reales Log. De
clase
Long. Real
de clase
Marcas
de clase
Frec. Frec.
Acum.
Frec.
relativa
Frec. Rel.
Acum
1 75-83 74.5-83.5 8 9 79 2 2 4% 4%
2 84-92 83.5-92.5 8 9 88 7 9 14% 18%
3 93-101 92.5-101.5 8 9 97 7 16 14% 32%
4 102-110 101.5-110.5 8 9 106 12 28 24% 56%
5 111-120 110.5-120.5 8 9 115.5 3 31 6% 62%
6 121-129 120.5-129.5 8 9 125 7 38 14% 76%
7 130-138 129.5-138.5 8 9 134 9 47 18% 94%
8 139-147 138.5-147.5 8 9 143 3 50 6% 100%
Δ 1 = 12-7= 5
Δ 2 = 12-3= 9
MODA (DATOS AGRUPADOS)
L +1 cΔ
Δ + Δ
1
21
Δ 1 = 12-7= 5
Δ 2 = 12-3= 9
101.5 + 9= 5
5 + 9104.7142857
DESV. ESTD. (DATOS AGRUPADOS)
σ= Ʃ [(x – x) 2 (f )]
ni i
i=1
n
√
x : Marca de la clase.
f : Frecuencia de la clase.n : Ʃ (suma) de las frecuencias.
i
i
DESV. ESTD. (DATOS AGRUPADOS)
x : Marca de la clase.
f : Frecuencia de la clase.n : Ʃ (suma) de las frecuencias.
i
i
No. Límites Lím. reales Log. De
clase
Long. Real
de clase
Marcas
de clase
Frec. Frec.
Acum.
Frec.
relativa
Frec. Rel.
Acum
1 75-83 74.5-83.5 8 9 79 2 2 4% 4%
2 84-92 83.5-92.5 8 9 88 7 9 14% 18%
3 93-101 92.5-101.5 8 9 97 7 16 14% 32%
4 102-110 101.5-110.5 8 9 106 12 28 24% 56%
5 111-120 110.5-120.5 8 9 115.5 3 31 6% 62%
6 121-129 120.5-129.5 8 9 125 7 38 14% 76%
7 130-138 129.5-138.5 8 9 134 9 47 18% 94%
8 139-147 138.5-147.5 8 9 143 3 50 6% 100%
DESV. ESTD. (DATOS AGRUPADOS)
σ= [(79-111.63)2 (2) + (88-111.63)2 (7) + (97-111.63)2 (7)
+ (106-111.63)2 (12) + (115.5-111.63)2 (3) + (125-111.63)2 (7)
+ (154-111.63)2 (9) + (143-111.63)2 (3)]
50
√
σ= 23.80004412
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