variables aleatorias y distribuciÓn de probabilidades
Post on 29-Jun-2022
10 Views
Preview:
TRANSCRIPT
VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIOacuteN DE
PROBABILIDADES
HAMLET MATA MATA PROF DE LA UNIVERSIDAD
POLITEacuteCNICA DE EL TIGRE-VENEZUELA httphamletyestadisticaspssjimdocom
Variable Aleatoria es una funcioacuten que asocia un nuacutemero real perfectamente
definido a cada punto muestral A veces las variables aleatorias (va) estaacuten ya impliacutecitas en los puntos muestrales
EJEMPLO 1 Sea el evento la experiencia relacionada con la medicioacuten de la
estatura de 100 individuos Un punto muestral (resultado de un experimento) es ya un nuacutemero (estatura) La va estaacute impliacutecita
EJEMPLO 2 Sea el evento lanzar una moneda 3 veces al aire Si se representa la cara con c y el sello con s entonces el espacio muestral seraacute
Espacio Muestral = ccc ccs csc scc css scs ssc sss
La probabilidad de cada suceso elemental es 18 Por ejemplo p(ccc) = 18 ya
que la probabilidad de sacar cara en una tirada es 12 seguacuten la definicioacuten claacutesica y las tiradas son independientes
DEFINIMOS LA VARIABLE ALEATORIA X nuacutemero de caras que puede tomar
los valores 0 1 2 3 Se buscan todos los puntos muestrales que dan lugar a cada valor de la variable y a ese valor se le asigna la probabilidad del suceso
correspondiente
x Sucesos px
0 zzz 18
1 czz zcz zzc
38
2 ccz czc zcc
38
3 ccc 18
En el caso de las variables discretas como en el ejemplo es una funcioacuten que para
cada valor de la variable da su probabilidad
EJEMPLO 3 Sea el evento experimental lanzar al aire 2 monedas Se sabe que el espacio muestral de este experimento contiene 4 puntos muestra les
S = (c c) (c s) (s c) (s s) donde el primer elemento de cada par indica si
se obtuvo cara (c) o sello (s) en la primera moneda y el segundo lo mismo con
respecto a la segunda moneda La probabilidad de cada punto muestral es entonces 14 Ahora bien normalmente no estamos interesados en los puntos
muestrales sino en cierta magnitud asociada con los puntos muestrales Por Ej Se podriacutea estar interesado en el nuacutemero de caras que hay en cada punto
muestral Si definimos una variable Xi como el nuacutemero de caras en el punto muestral si Xi tomaraacute los valores X1 = 2 X2 = 1 X3 = 1 X4 = 0 Por lo tanto
Xi es una variable aleatoria
Una variable X es una variable aleatoria si es una magnitud susceptible de tomar diversos valores con determinadas probabilidades Es una regla que asocia un
nuacutemero con cada evento simple en el espacio muestra de un experimento Por lo general esta regla se simboliza por medio de las mayuacutesculas X Y o Z
DEFINICIOacuteN Una variable aleatoria es una funcioacuten que asocia un nuacutemero
real a cada elemento del espacio muestral O tambieacuten Una Variable
Aleatoria es una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio
Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un
experimento aleatorio Esta variable aleatoria puede ser discreta o continua Si puede tomar soacutelo un nuacutemero limitado de valores entonces es una variable
aleatoria discreta En el otro extremo si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado entonces se trata de una variable aleatoria continua
La distribucioacuten de probabilidad X se describe por una foacutermula que enuncia la
probabilidad como una funcioacuten de x Es decir la distribucioacuten de X estaacute especificada por la funcioacuten )()( xXPxf x El subiacutendice de )(xf x revela la variable aleatoria de
intereacutes El subiacutendice se omitiraacute cuando no halla ninguna confusioacuten sobre la probabilidad del resultado Puesto que )(xf x estaacute definida como una probabilidad
)(xf x es una funcioacuten que va del conjunto de valores posibles de la variable
aleatoria al intervalo [0 1]
DEFINICIOacuteN La funcioacuten 321k)xX(P)x(f kkx que va del conjunto
de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0 1]
recibe el nombre de funcioacuten de probabilidad Para una variable aleatoria
)( xfX x satisface las siguientes propiedades
x
kx
kx
kkx
1)x(f3
0)x(f2
)xX(P)x(f1
Para todo x
Se ha esgrimido el teacutermino experimento estadiacutestico para representar cualquier
proceso a traveacutes del cual se generan diversas observaciones al azar Con frecuencia no interesan los detalles asociados con cada punto muestral sino
simplemente alguna descripcioacuten numeacuterica del resultado Por ejemplo el espacio muestral que da una descripcioacuten detallada de cada uno de los resultados posibles
de los alumbramientos de una mujer en 3 ocasiones pueden escribirse asiacute S = (Espacio Muestral) = HHH HHM HMH MHH HMM MHM MMH MMM
Si lo que interesa es soacutelo el nuacutemero de hembras que alumbra la mujer entonces
se podriacutea asignar un valor numeacuterico de 0 1 2 oacute 3 a cada uno de los puntos muestrales
Los nuacutemeros 0 1 2 y 3 son cantidades aleatorias que se determinan a traveacutes del
resultado del experimento Se podriacutea pensar como los valores que toma alguna
variable aleatoria X que en este caso representa el nuacutemero hembras que nacen cuando la mujer tiene 3 alumbramientos
DEFINICIOacuteN Si un espacio muestral contiene un nuacutemero finito de posibilidades o una secuencia sin final con igual nuacutemero de elementos que nuacutemeros enteros se
le denomina variable aleatoria discreta (espacio muestral discreto) A una variable aleatoria se le denomina variable aleatoria discreta si su conjunto de
posibles resultados es contable Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un nuacutemero determinado de valores
Las variables aleatorias discretas representan datos que se refieren tales
como el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos en una muestra de m de ellos o el nuacutemero de accidentes en carreteras por antildeo en un estado determinado
EJEMPLO si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz si se tira un dado puede salir un nuacutemero de 1 al 6 en una ruleta el nuacutemero puede tomar un
valor del 1 al 32
El resultado de un experimento estadiacutestico que puede no ser finito ni contable Un ejemplo de este paradigma ocurre cuando se produce una investigacioacuten para
medir las distancias que recorre cierta marca de automoacutevil en una distancia de prueba especificado con 5 litros de gasolina Asumiendo que el trayecto es una
variable que se puede medir con cualquier grado de precisioacuten entonces resulta claro que se tiene un nuacutemero infinito de distancias posibles en el espacio muestral
y que no puede igualarse al nuacutemero de nuacutemeros enteros Si se registrara tambieacuten la cantidad de tiempo en que se efectuacutea el recorrido de la diferentes marcas da
nueva cuenta de los intervalos de tiempos posibles que conforman el espacio muestral serian infinitos en nuacutemero e incontables Se observa con esto que no
todos los espacios muestrales son necesariamente discretos
DEFINICIOacuteN Si un espacio muestral contiene un nuacutemero infinito de
posibilidades iguales al nuacutemero de puntos que se encuentran en un segmento de
liacutenea se le denomina variable aleatoria continua (espacio muestral
continuo) Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un nuacutemero infinito de posibles soluciones Cuando una variable aleatoria puede tomar valores
en una escala continua se le denomina variable aleatoria continua
EJEMPLO El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro de cierto intervalo (4237 kg 423764 kg 42 376541kg etc) la
esperanza media de vida de una poblacioacuten (725 antildeos 7513 antildeos 72 51234 antildeos)
Con frecuencia los valores posibles de una variable aleatoria continua son
precisamente los mismos valores contenidos en el espacio muestral continuo Tal es el caso de aquella variable aleatoria que representa la distancia que cierta
marca de automoacutevil puede recorrer en un camino de prueba con 5 litros de gasolina En la mayoriacutea de los problemas praacutecticos las variables aleatorias
continuas representan datos medidos tales como alturas pesos temperaturas
distancias o periacuteodos de vida posibles
Se puede especular en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de un desarrollo a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo
en un hospital para tratamiento del caacutencer de pulmoacuten no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentos hombres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera Si
los registros diarios del hospital indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria
discreta
Una variable aleatoria es discreta cuando uacutenicamente puede tomar un determinado nuacutemero de valores en un intervalo Por ejemplo la variable aleatoria
Ndeg de caras obtenidas al lanzar 2 monedas es una variable aleatoria discreta en el intervalo (02) Solo puede tomar los valores 0 1 y 2 Si el espacio muestral
consiste en un Conjunto discontinuo de sucesos entonces una variable asociada
con ese conjunto se le llama discreta de otra manera se le llama continua Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un
intervalo Supongamos el experimento de lanzar una moneda hacia una liacutenea marcada en el suelo Supongamos que la distancia maacutexima a que puede caer la
moneda de la marca es 1 metro (entendiendo como distancia la del centro de la moneda a la liacutenea) Si definimos una variable aleatoria X que represente esa
distancia X puede tomar cualquier valor en el intervalo [01]
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS
Una variable aleatoria es un evento numeacuterico cuyo valor se determina mediante un proceso al azar Cuando se asignan valores de probabilidad a todos
los datos numeacutericos posibles de una variable aleatoria X ya sea mediante un
listado o a traveacutes de una funcioacuten matemaacutetica se obtiene como resultado una distribucioacuten de probabilidad La suma de las probabilidades para todos los
resultados numeacutericos posibles debe ser Igual a 10 Pueden denotarse los valores de probabilidad individuales mediante el siacutembolo f(x) lo cual implica que hay
impliacutecita una funcioacuten matemaacutetica mediante P(x = X) lo cual implica que la variable aleatoria puede asumir diversos valores especiacuteficos o simplemente
mediante P(X)
Para una variable aleatoria discreta se pueden enumerar todos los valores numeacutericos posibles de la variable en una tabla con las probabilidades
correspondientes Existen diversas distribuciones estaacutendar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para una amplia gama de variables aleatorias
discretas en aplicaciones de negocios
Para una variable aleatoria continua no es posible enumerar todos los posibles valores fraccionarios de la variable y por lo tanto las probabilidades que se
determinan a traveacutes de una funcioacuten matemaacutetica se ilustran en forma graacutefica mediante una funcioacuten de densidad de probabilidad o curva de probabilidad
EJEMPLO 1 En la Tabla A se muestra el nuacutemero de camionetas que se han solicitado para rentar en una arrendadora de automoacuteviles en un periodo de 50
diacuteas En la uacuteltima columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 diacuteas En la uacuteltima columna de la tabla se incluyen las
frecuencias observadas en ese periodo de 50 diacuteas convertidas en probabilidad Asiacute puede observarse que la probabilidad de que se hayan solicitado exactamente
siete camionetas en un diacutea elegido al azar en ese periodo es de 020 y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o maacutes es de 028 + 020 + 008 =
056
Tabla B Demanda diarios de arrendamiento de camionetas
Durante un periodo de 50 diacuteas
Demandas
Posibles X
Nuacutemero de
Diacuteas
Probabilidad )(XP Valor
Ponderado )( XPX
3 3 006 018
4 7 014 056
5 12 024 120
6 14 028 168
7 10 020 140
8 4 008 064
TOTALES 50 100 665)( XE
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
Las variables aleatorias son aquellas que se relacionan con la ocurrencia de un
fenoacutemeno aleatorio Cuando una de esas variables aleatorias toma diversos valores la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada
como una distribucioacuten de probabilidad lo que se denomina distribucioacuten de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria Las
distribuciones de probabilidad logran representarse a traveacutes de una tabla una graacutefica o una foacutermula en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina
funcioacuten de probabilidad
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETA La variable aleatoria X se dice que es discreta si los nuacutemeros asignados a los sucesos elementales de E son puntos
aislados Sus posibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable Por ejemplo supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces una
moneda no trucada si consideramos la variable aleatoria X = rdquonuacutemero de caras obtenidas en los tres lanzamientosrdquo los valores que puede tomar esta variable
aleatoria son finitos (0123)
Entonces una variable aleatoria discreta adquiere cada uno de sus valores con
cierta probabilidad En el proceso del lanzamiento de una moneda 3 veces la variable X que representa el nuacutemero de sellos toma el valor 2 con una
probabilidad de 38 puesto que 3 de los puntos muestrales igualmente probables dan como resultado 2 sellos y 1 cara Si se suponen arreglos iguales para los
eventos simples del siguiente ejemplo
Un empleado de un depoacutesito le regresa en forma aleatoria tres herramientas de seguridad previamente revisados a tres obreros de un taller Si Sauacutel (S) Jesuacutes
(J) y Boris (B) en ese orden reciben una de las tres herramientas enumere los puntos muestrales para los oacuterdenes posibles de devolucioacuten de las herramientas y
calcule los valores b de la variable aleatoria B que representa el nuacutemero de agrupaciones correctas
SOLUCIOacuteN- Si S J y B representan las herramientas de Saul Jesuacutes y Boris
respectivamente luego los arreglos posibles en los que podriacutean devolverse las herramientas y el nuacutemero de agrupaciones correctas seraacuten
b 3 1 1 0 0 1
Espacio Muestral SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS
La probabilidad de que ninguacuten obrero reciba de nuevo la herramienta que teniacutea es decir la probabilidad de que B tome el valor de cero es 13 Los posibles
valores b de B y sus probabilidades estaacuten dados por
b 0 1 3
P(B = b) 3
1
2
1
6
1
Obseacutervese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades suman 1
Con frecuencia resulta conveniente representar todas las probabilidades de una
variable aleatoria X a traveacutes de una foacutermula Esta foacutermula seria necesariamente funcioacuten de los valores numeacutericos x que se denotaraacuten por f(x) g(x) r(x) y asiacute
sucesivamente Por lo tanto se escribe f(x) = P(X= x) es decir )3X(P)3(f Al
conjunto de pares ordenados (x f(x)) se le denomina funcioacuten de probabilidad o
distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
DEFINICIOacuteN El conjunto de pares ordenados (x f(x)) es una funcioacuten de probabilidad o una distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
si para cada posible resultado x
0)(1 xf
1)(2 xf
)()(3 xfxXP
EJEMPLO- Un envioacute de ocho computadoras similares para un distribuidor
contiene tres defectuosas Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras localice la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de
computadoras imperfectas
SOLUCIOacuteN- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los nuacutemeros posibles de computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante Luego x
puede se cualquiera de los nuacutemeros 0 1 y 2 Entonces
28
3)2X(P)2(f
28
15)1X(P)1(f
28
10)0X(P)0(f
8
2
5
0
3
2
8
2
5
1
3
1
8
2
5
2
3
0
Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es
x
0
1
2
f(x)
28
10
28
15
28
3
EJEMPLO Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS
SC SS y se puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2 Calculando las probabilidades tenemos
P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14
P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24
P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14
Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro
Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente
PROBLEMA
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos
en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen
la misma probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos
calcular la probabilidad de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El evento de que la suma es ocho contiene 5
resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los resultados
para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la tabla 2
Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la
suma al tirar dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que
nos interesa asiacute X = R + V Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de
una variable aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad P definimos una
variable aleatoria como una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8
al lanzar los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62)
ocurrioacute Tambieacuten asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X=8) = P( (26) (35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar
las variables aleatorias por letras mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores
decimos es una variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores
que potencialmente podriacutean ser contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez producidos en el planeta en una fecha
determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten
f(x) = P(X = x) para cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de
la variable X Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la cual se puede reescribir
usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x)
representa una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que
puede tener f(x) obtenemos 1 debido a que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los valores establecidos Por su
definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes caracteriacutesticas 1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1 ( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en
el dominio de f
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
bab
ilid
ad
es
La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variable
aleatoria digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 = 0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra
con la probabilidad podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea
de las barras para representar la probabilidad es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como
P(X 4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) +
P(X = 4) ya que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236 + 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten
sobre el 4 y a su izquierda Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra
funcioacuten partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa de X de la siguiente manera
ix
i ParaxfxXpxf )()()( ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes
son menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple
con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los
eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la
probabilidad pero en la realidad esto no ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones Se puede observar que
en ninguacuten caso las combinaciones toma valores negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten probabiliacutestica son
positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE
VARIABLES DISCRETAS
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta
cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y con ensayos independientes
GEOMEacuteTRICA Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra
grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
DE POISSON Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo un espacio o un lugar Modelos de distribuciones de
probabilidad de variables discretas
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)=
16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de
eacutexito constante y con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en
un periodo de tiempo un espacio o un lugar La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
MEDIA Y DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR DE UNA
DISTRIBUCIOacuteN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media
utilizando la foacutermula n
xf donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual
puede expresarse como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una
variable discreta es
)x(Px
POR EJEMPLO Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en
dos lanzamientos de monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de
una variable discreta es
)x(P)x( 2
POR EJEMPLO Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo
anterior su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor
de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para
identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En
consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno
el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su
variable aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria
discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada
uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos
resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula
matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la
recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante
esta analogiacutea con la mecaacutenica
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
x Sucesos px
0 zzz 18
1 czz zcz zzc
38
2 ccz czc zcc
38
3 ccc 18
En el caso de las variables discretas como en el ejemplo es una funcioacuten que para
cada valor de la variable da su probabilidad
EJEMPLO 3 Sea el evento experimental lanzar al aire 2 monedas Se sabe que el espacio muestral de este experimento contiene 4 puntos muestra les
S = (c c) (c s) (s c) (s s) donde el primer elemento de cada par indica si
se obtuvo cara (c) o sello (s) en la primera moneda y el segundo lo mismo con
respecto a la segunda moneda La probabilidad de cada punto muestral es entonces 14 Ahora bien normalmente no estamos interesados en los puntos
muestrales sino en cierta magnitud asociada con los puntos muestrales Por Ej Se podriacutea estar interesado en el nuacutemero de caras que hay en cada punto
muestral Si definimos una variable Xi como el nuacutemero de caras en el punto muestral si Xi tomaraacute los valores X1 = 2 X2 = 1 X3 = 1 X4 = 0 Por lo tanto
Xi es una variable aleatoria
Una variable X es una variable aleatoria si es una magnitud susceptible de tomar diversos valores con determinadas probabilidades Es una regla que asocia un
nuacutemero con cada evento simple en el espacio muestra de un experimento Por lo general esta regla se simboliza por medio de las mayuacutesculas X Y o Z
DEFINICIOacuteN Una variable aleatoria es una funcioacuten que asocia un nuacutemero
real a cada elemento del espacio muestral O tambieacuten Una Variable
Aleatoria es una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio
Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un
experimento aleatorio Esta variable aleatoria puede ser discreta o continua Si puede tomar soacutelo un nuacutemero limitado de valores entonces es una variable
aleatoria discreta En el otro extremo si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado entonces se trata de una variable aleatoria continua
La distribucioacuten de probabilidad X se describe por una foacutermula que enuncia la
probabilidad como una funcioacuten de x Es decir la distribucioacuten de X estaacute especificada por la funcioacuten )()( xXPxf x El subiacutendice de )(xf x revela la variable aleatoria de
intereacutes El subiacutendice se omitiraacute cuando no halla ninguna confusioacuten sobre la probabilidad del resultado Puesto que )(xf x estaacute definida como una probabilidad
)(xf x es una funcioacuten que va del conjunto de valores posibles de la variable
aleatoria al intervalo [0 1]
DEFINICIOacuteN La funcioacuten 321k)xX(P)x(f kkx que va del conjunto
de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0 1]
recibe el nombre de funcioacuten de probabilidad Para una variable aleatoria
)( xfX x satisface las siguientes propiedades
x
kx
kx
kkx
1)x(f3
0)x(f2
)xX(P)x(f1
Para todo x
Se ha esgrimido el teacutermino experimento estadiacutestico para representar cualquier
proceso a traveacutes del cual se generan diversas observaciones al azar Con frecuencia no interesan los detalles asociados con cada punto muestral sino
simplemente alguna descripcioacuten numeacuterica del resultado Por ejemplo el espacio muestral que da una descripcioacuten detallada de cada uno de los resultados posibles
de los alumbramientos de una mujer en 3 ocasiones pueden escribirse asiacute S = (Espacio Muestral) = HHH HHM HMH MHH HMM MHM MMH MMM
Si lo que interesa es soacutelo el nuacutemero de hembras que alumbra la mujer entonces
se podriacutea asignar un valor numeacuterico de 0 1 2 oacute 3 a cada uno de los puntos muestrales
Los nuacutemeros 0 1 2 y 3 son cantidades aleatorias que se determinan a traveacutes del
resultado del experimento Se podriacutea pensar como los valores que toma alguna
variable aleatoria X que en este caso representa el nuacutemero hembras que nacen cuando la mujer tiene 3 alumbramientos
DEFINICIOacuteN Si un espacio muestral contiene un nuacutemero finito de posibilidades o una secuencia sin final con igual nuacutemero de elementos que nuacutemeros enteros se
le denomina variable aleatoria discreta (espacio muestral discreto) A una variable aleatoria se le denomina variable aleatoria discreta si su conjunto de
posibles resultados es contable Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un nuacutemero determinado de valores
Las variables aleatorias discretas representan datos que se refieren tales
como el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos en una muestra de m de ellos o el nuacutemero de accidentes en carreteras por antildeo en un estado determinado
EJEMPLO si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz si se tira un dado puede salir un nuacutemero de 1 al 6 en una ruleta el nuacutemero puede tomar un
valor del 1 al 32
El resultado de un experimento estadiacutestico que puede no ser finito ni contable Un ejemplo de este paradigma ocurre cuando se produce una investigacioacuten para
medir las distancias que recorre cierta marca de automoacutevil en una distancia de prueba especificado con 5 litros de gasolina Asumiendo que el trayecto es una
variable que se puede medir con cualquier grado de precisioacuten entonces resulta claro que se tiene un nuacutemero infinito de distancias posibles en el espacio muestral
y que no puede igualarse al nuacutemero de nuacutemeros enteros Si se registrara tambieacuten la cantidad de tiempo en que se efectuacutea el recorrido de la diferentes marcas da
nueva cuenta de los intervalos de tiempos posibles que conforman el espacio muestral serian infinitos en nuacutemero e incontables Se observa con esto que no
todos los espacios muestrales son necesariamente discretos
DEFINICIOacuteN Si un espacio muestral contiene un nuacutemero infinito de
posibilidades iguales al nuacutemero de puntos que se encuentran en un segmento de
liacutenea se le denomina variable aleatoria continua (espacio muestral
continuo) Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un nuacutemero infinito de posibles soluciones Cuando una variable aleatoria puede tomar valores
en una escala continua se le denomina variable aleatoria continua
EJEMPLO El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro de cierto intervalo (4237 kg 423764 kg 42 376541kg etc) la
esperanza media de vida de una poblacioacuten (725 antildeos 7513 antildeos 72 51234 antildeos)
Con frecuencia los valores posibles de una variable aleatoria continua son
precisamente los mismos valores contenidos en el espacio muestral continuo Tal es el caso de aquella variable aleatoria que representa la distancia que cierta
marca de automoacutevil puede recorrer en un camino de prueba con 5 litros de gasolina En la mayoriacutea de los problemas praacutecticos las variables aleatorias
continuas representan datos medidos tales como alturas pesos temperaturas
distancias o periacuteodos de vida posibles
Se puede especular en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de un desarrollo a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo
en un hospital para tratamiento del caacutencer de pulmoacuten no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentos hombres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera Si
los registros diarios del hospital indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria
discreta
Una variable aleatoria es discreta cuando uacutenicamente puede tomar un determinado nuacutemero de valores en un intervalo Por ejemplo la variable aleatoria
Ndeg de caras obtenidas al lanzar 2 monedas es una variable aleatoria discreta en el intervalo (02) Solo puede tomar los valores 0 1 y 2 Si el espacio muestral
consiste en un Conjunto discontinuo de sucesos entonces una variable asociada
con ese conjunto se le llama discreta de otra manera se le llama continua Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un
intervalo Supongamos el experimento de lanzar una moneda hacia una liacutenea marcada en el suelo Supongamos que la distancia maacutexima a que puede caer la
moneda de la marca es 1 metro (entendiendo como distancia la del centro de la moneda a la liacutenea) Si definimos una variable aleatoria X que represente esa
distancia X puede tomar cualquier valor en el intervalo [01]
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS
Una variable aleatoria es un evento numeacuterico cuyo valor se determina mediante un proceso al azar Cuando se asignan valores de probabilidad a todos
los datos numeacutericos posibles de una variable aleatoria X ya sea mediante un
listado o a traveacutes de una funcioacuten matemaacutetica se obtiene como resultado una distribucioacuten de probabilidad La suma de las probabilidades para todos los
resultados numeacutericos posibles debe ser Igual a 10 Pueden denotarse los valores de probabilidad individuales mediante el siacutembolo f(x) lo cual implica que hay
impliacutecita una funcioacuten matemaacutetica mediante P(x = X) lo cual implica que la variable aleatoria puede asumir diversos valores especiacuteficos o simplemente
mediante P(X)
Para una variable aleatoria discreta se pueden enumerar todos los valores numeacutericos posibles de la variable en una tabla con las probabilidades
correspondientes Existen diversas distribuciones estaacutendar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para una amplia gama de variables aleatorias
discretas en aplicaciones de negocios
Para una variable aleatoria continua no es posible enumerar todos los posibles valores fraccionarios de la variable y por lo tanto las probabilidades que se
determinan a traveacutes de una funcioacuten matemaacutetica se ilustran en forma graacutefica mediante una funcioacuten de densidad de probabilidad o curva de probabilidad
EJEMPLO 1 En la Tabla A se muestra el nuacutemero de camionetas que se han solicitado para rentar en una arrendadora de automoacuteviles en un periodo de 50
diacuteas En la uacuteltima columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 diacuteas En la uacuteltima columna de la tabla se incluyen las
frecuencias observadas en ese periodo de 50 diacuteas convertidas en probabilidad Asiacute puede observarse que la probabilidad de que se hayan solicitado exactamente
siete camionetas en un diacutea elegido al azar en ese periodo es de 020 y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o maacutes es de 028 + 020 + 008 =
056
Tabla B Demanda diarios de arrendamiento de camionetas
Durante un periodo de 50 diacuteas
Demandas
Posibles X
Nuacutemero de
Diacuteas
Probabilidad )(XP Valor
Ponderado )( XPX
3 3 006 018
4 7 014 056
5 12 024 120
6 14 028 168
7 10 020 140
8 4 008 064
TOTALES 50 100 665)( XE
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
Las variables aleatorias son aquellas que se relacionan con la ocurrencia de un
fenoacutemeno aleatorio Cuando una de esas variables aleatorias toma diversos valores la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada
como una distribucioacuten de probabilidad lo que se denomina distribucioacuten de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria Las
distribuciones de probabilidad logran representarse a traveacutes de una tabla una graacutefica o una foacutermula en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina
funcioacuten de probabilidad
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETA La variable aleatoria X se dice que es discreta si los nuacutemeros asignados a los sucesos elementales de E son puntos
aislados Sus posibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable Por ejemplo supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces una
moneda no trucada si consideramos la variable aleatoria X = rdquonuacutemero de caras obtenidas en los tres lanzamientosrdquo los valores que puede tomar esta variable
aleatoria son finitos (0123)
Entonces una variable aleatoria discreta adquiere cada uno de sus valores con
cierta probabilidad En el proceso del lanzamiento de una moneda 3 veces la variable X que representa el nuacutemero de sellos toma el valor 2 con una
probabilidad de 38 puesto que 3 de los puntos muestrales igualmente probables dan como resultado 2 sellos y 1 cara Si se suponen arreglos iguales para los
eventos simples del siguiente ejemplo
Un empleado de un depoacutesito le regresa en forma aleatoria tres herramientas de seguridad previamente revisados a tres obreros de un taller Si Sauacutel (S) Jesuacutes
(J) y Boris (B) en ese orden reciben una de las tres herramientas enumere los puntos muestrales para los oacuterdenes posibles de devolucioacuten de las herramientas y
calcule los valores b de la variable aleatoria B que representa el nuacutemero de agrupaciones correctas
SOLUCIOacuteN- Si S J y B representan las herramientas de Saul Jesuacutes y Boris
respectivamente luego los arreglos posibles en los que podriacutean devolverse las herramientas y el nuacutemero de agrupaciones correctas seraacuten
b 3 1 1 0 0 1
Espacio Muestral SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS
La probabilidad de que ninguacuten obrero reciba de nuevo la herramienta que teniacutea es decir la probabilidad de que B tome el valor de cero es 13 Los posibles
valores b de B y sus probabilidades estaacuten dados por
b 0 1 3
P(B = b) 3
1
2
1
6
1
Obseacutervese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades suman 1
Con frecuencia resulta conveniente representar todas las probabilidades de una
variable aleatoria X a traveacutes de una foacutermula Esta foacutermula seria necesariamente funcioacuten de los valores numeacutericos x que se denotaraacuten por f(x) g(x) r(x) y asiacute
sucesivamente Por lo tanto se escribe f(x) = P(X= x) es decir )3X(P)3(f Al
conjunto de pares ordenados (x f(x)) se le denomina funcioacuten de probabilidad o
distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
DEFINICIOacuteN El conjunto de pares ordenados (x f(x)) es una funcioacuten de probabilidad o una distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
si para cada posible resultado x
0)(1 xf
1)(2 xf
)()(3 xfxXP
EJEMPLO- Un envioacute de ocho computadoras similares para un distribuidor
contiene tres defectuosas Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras localice la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de
computadoras imperfectas
SOLUCIOacuteN- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los nuacutemeros posibles de computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante Luego x
puede se cualquiera de los nuacutemeros 0 1 y 2 Entonces
28
3)2X(P)2(f
28
15)1X(P)1(f
28
10)0X(P)0(f
8
2
5
0
3
2
8
2
5
1
3
1
8
2
5
2
3
0
Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es
x
0
1
2
f(x)
28
10
28
15
28
3
EJEMPLO Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS
SC SS y se puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2 Calculando las probabilidades tenemos
P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14
P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24
P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14
Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro
Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente
PROBLEMA
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos
en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen
la misma probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos
calcular la probabilidad de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El evento de que la suma es ocho contiene 5
resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los resultados
para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la tabla 2
Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la
suma al tirar dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que
nos interesa asiacute X = R + V Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de
una variable aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad P definimos una
variable aleatoria como una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8
al lanzar los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62)
ocurrioacute Tambieacuten asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X=8) = P( (26) (35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar
las variables aleatorias por letras mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores
decimos es una variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores
que potencialmente podriacutean ser contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez producidos en el planeta en una fecha
determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten
f(x) = P(X = x) para cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de
la variable X Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la cual se puede reescribir
usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x)
representa una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que
puede tener f(x) obtenemos 1 debido a que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los valores establecidos Por su
definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes caracteriacutesticas 1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1 ( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en
el dominio de f
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
bab
ilid
ad
es
La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variable
aleatoria digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 = 0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra
con la probabilidad podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea
de las barras para representar la probabilidad es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como
P(X 4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) +
P(X = 4) ya que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236 + 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten
sobre el 4 y a su izquierda Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra
funcioacuten partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa de X de la siguiente manera
ix
i ParaxfxXpxf )()()( ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes
son menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple
con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los
eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la
probabilidad pero en la realidad esto no ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones Se puede observar que
en ninguacuten caso las combinaciones toma valores negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten probabiliacutestica son
positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE
VARIABLES DISCRETAS
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta
cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y con ensayos independientes
GEOMEacuteTRICA Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra
grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
DE POISSON Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo un espacio o un lugar Modelos de distribuciones de
probabilidad de variables discretas
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)=
16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de
eacutexito constante y con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en
un periodo de tiempo un espacio o un lugar La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
MEDIA Y DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR DE UNA
DISTRIBUCIOacuteN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media
utilizando la foacutermula n
xf donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual
puede expresarse como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una
variable discreta es
)x(Px
POR EJEMPLO Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en
dos lanzamientos de monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de
una variable discreta es
)x(P)x( 2
POR EJEMPLO Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo
anterior su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor
de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para
identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En
consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno
el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su
variable aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria
discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada
uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos
resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula
matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la
recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante
esta analogiacutea con la mecaacutenica
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
recibe el nombre de funcioacuten de probabilidad Para una variable aleatoria
)( xfX x satisface las siguientes propiedades
x
kx
kx
kkx
1)x(f3
0)x(f2
)xX(P)x(f1
Para todo x
Se ha esgrimido el teacutermino experimento estadiacutestico para representar cualquier
proceso a traveacutes del cual se generan diversas observaciones al azar Con frecuencia no interesan los detalles asociados con cada punto muestral sino
simplemente alguna descripcioacuten numeacuterica del resultado Por ejemplo el espacio muestral que da una descripcioacuten detallada de cada uno de los resultados posibles
de los alumbramientos de una mujer en 3 ocasiones pueden escribirse asiacute S = (Espacio Muestral) = HHH HHM HMH MHH HMM MHM MMH MMM
Si lo que interesa es soacutelo el nuacutemero de hembras que alumbra la mujer entonces
se podriacutea asignar un valor numeacuterico de 0 1 2 oacute 3 a cada uno de los puntos muestrales
Los nuacutemeros 0 1 2 y 3 son cantidades aleatorias que se determinan a traveacutes del
resultado del experimento Se podriacutea pensar como los valores que toma alguna
variable aleatoria X que en este caso representa el nuacutemero hembras que nacen cuando la mujer tiene 3 alumbramientos
DEFINICIOacuteN Si un espacio muestral contiene un nuacutemero finito de posibilidades o una secuencia sin final con igual nuacutemero de elementos que nuacutemeros enteros se
le denomina variable aleatoria discreta (espacio muestral discreto) A una variable aleatoria se le denomina variable aleatoria discreta si su conjunto de
posibles resultados es contable Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un nuacutemero determinado de valores
Las variables aleatorias discretas representan datos que se refieren tales
como el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos en una muestra de m de ellos o el nuacutemero de accidentes en carreteras por antildeo en un estado determinado
EJEMPLO si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz si se tira un dado puede salir un nuacutemero de 1 al 6 en una ruleta el nuacutemero puede tomar un
valor del 1 al 32
El resultado de un experimento estadiacutestico que puede no ser finito ni contable Un ejemplo de este paradigma ocurre cuando se produce una investigacioacuten para
medir las distancias que recorre cierta marca de automoacutevil en una distancia de prueba especificado con 5 litros de gasolina Asumiendo que el trayecto es una
variable que se puede medir con cualquier grado de precisioacuten entonces resulta claro que se tiene un nuacutemero infinito de distancias posibles en el espacio muestral
y que no puede igualarse al nuacutemero de nuacutemeros enteros Si se registrara tambieacuten la cantidad de tiempo en que se efectuacutea el recorrido de la diferentes marcas da
nueva cuenta de los intervalos de tiempos posibles que conforman el espacio muestral serian infinitos en nuacutemero e incontables Se observa con esto que no
todos los espacios muestrales son necesariamente discretos
DEFINICIOacuteN Si un espacio muestral contiene un nuacutemero infinito de
posibilidades iguales al nuacutemero de puntos que se encuentran en un segmento de
liacutenea se le denomina variable aleatoria continua (espacio muestral
continuo) Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un nuacutemero infinito de posibles soluciones Cuando una variable aleatoria puede tomar valores
en una escala continua se le denomina variable aleatoria continua
EJEMPLO El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro de cierto intervalo (4237 kg 423764 kg 42 376541kg etc) la
esperanza media de vida de una poblacioacuten (725 antildeos 7513 antildeos 72 51234 antildeos)
Con frecuencia los valores posibles de una variable aleatoria continua son
precisamente los mismos valores contenidos en el espacio muestral continuo Tal es el caso de aquella variable aleatoria que representa la distancia que cierta
marca de automoacutevil puede recorrer en un camino de prueba con 5 litros de gasolina En la mayoriacutea de los problemas praacutecticos las variables aleatorias
continuas representan datos medidos tales como alturas pesos temperaturas
distancias o periacuteodos de vida posibles
Se puede especular en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de un desarrollo a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo
en un hospital para tratamiento del caacutencer de pulmoacuten no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentos hombres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera Si
los registros diarios del hospital indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria
discreta
Una variable aleatoria es discreta cuando uacutenicamente puede tomar un determinado nuacutemero de valores en un intervalo Por ejemplo la variable aleatoria
Ndeg de caras obtenidas al lanzar 2 monedas es una variable aleatoria discreta en el intervalo (02) Solo puede tomar los valores 0 1 y 2 Si el espacio muestral
consiste en un Conjunto discontinuo de sucesos entonces una variable asociada
con ese conjunto se le llama discreta de otra manera se le llama continua Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un
intervalo Supongamos el experimento de lanzar una moneda hacia una liacutenea marcada en el suelo Supongamos que la distancia maacutexima a que puede caer la
moneda de la marca es 1 metro (entendiendo como distancia la del centro de la moneda a la liacutenea) Si definimos una variable aleatoria X que represente esa
distancia X puede tomar cualquier valor en el intervalo [01]
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS
Una variable aleatoria es un evento numeacuterico cuyo valor se determina mediante un proceso al azar Cuando se asignan valores de probabilidad a todos
los datos numeacutericos posibles de una variable aleatoria X ya sea mediante un
listado o a traveacutes de una funcioacuten matemaacutetica se obtiene como resultado una distribucioacuten de probabilidad La suma de las probabilidades para todos los
resultados numeacutericos posibles debe ser Igual a 10 Pueden denotarse los valores de probabilidad individuales mediante el siacutembolo f(x) lo cual implica que hay
impliacutecita una funcioacuten matemaacutetica mediante P(x = X) lo cual implica que la variable aleatoria puede asumir diversos valores especiacuteficos o simplemente
mediante P(X)
Para una variable aleatoria discreta se pueden enumerar todos los valores numeacutericos posibles de la variable en una tabla con las probabilidades
correspondientes Existen diversas distribuciones estaacutendar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para una amplia gama de variables aleatorias
discretas en aplicaciones de negocios
Para una variable aleatoria continua no es posible enumerar todos los posibles valores fraccionarios de la variable y por lo tanto las probabilidades que se
determinan a traveacutes de una funcioacuten matemaacutetica se ilustran en forma graacutefica mediante una funcioacuten de densidad de probabilidad o curva de probabilidad
EJEMPLO 1 En la Tabla A se muestra el nuacutemero de camionetas que se han solicitado para rentar en una arrendadora de automoacuteviles en un periodo de 50
diacuteas En la uacuteltima columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 diacuteas En la uacuteltima columna de la tabla se incluyen las
frecuencias observadas en ese periodo de 50 diacuteas convertidas en probabilidad Asiacute puede observarse que la probabilidad de que se hayan solicitado exactamente
siete camionetas en un diacutea elegido al azar en ese periodo es de 020 y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o maacutes es de 028 + 020 + 008 =
056
Tabla B Demanda diarios de arrendamiento de camionetas
Durante un periodo de 50 diacuteas
Demandas
Posibles X
Nuacutemero de
Diacuteas
Probabilidad )(XP Valor
Ponderado )( XPX
3 3 006 018
4 7 014 056
5 12 024 120
6 14 028 168
7 10 020 140
8 4 008 064
TOTALES 50 100 665)( XE
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
Las variables aleatorias son aquellas que se relacionan con la ocurrencia de un
fenoacutemeno aleatorio Cuando una de esas variables aleatorias toma diversos valores la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada
como una distribucioacuten de probabilidad lo que se denomina distribucioacuten de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria Las
distribuciones de probabilidad logran representarse a traveacutes de una tabla una graacutefica o una foacutermula en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina
funcioacuten de probabilidad
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETA La variable aleatoria X se dice que es discreta si los nuacutemeros asignados a los sucesos elementales de E son puntos
aislados Sus posibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable Por ejemplo supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces una
moneda no trucada si consideramos la variable aleatoria X = rdquonuacutemero de caras obtenidas en los tres lanzamientosrdquo los valores que puede tomar esta variable
aleatoria son finitos (0123)
Entonces una variable aleatoria discreta adquiere cada uno de sus valores con
cierta probabilidad En el proceso del lanzamiento de una moneda 3 veces la variable X que representa el nuacutemero de sellos toma el valor 2 con una
probabilidad de 38 puesto que 3 de los puntos muestrales igualmente probables dan como resultado 2 sellos y 1 cara Si se suponen arreglos iguales para los
eventos simples del siguiente ejemplo
Un empleado de un depoacutesito le regresa en forma aleatoria tres herramientas de seguridad previamente revisados a tres obreros de un taller Si Sauacutel (S) Jesuacutes
(J) y Boris (B) en ese orden reciben una de las tres herramientas enumere los puntos muestrales para los oacuterdenes posibles de devolucioacuten de las herramientas y
calcule los valores b de la variable aleatoria B que representa el nuacutemero de agrupaciones correctas
SOLUCIOacuteN- Si S J y B representan las herramientas de Saul Jesuacutes y Boris
respectivamente luego los arreglos posibles en los que podriacutean devolverse las herramientas y el nuacutemero de agrupaciones correctas seraacuten
b 3 1 1 0 0 1
Espacio Muestral SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS
La probabilidad de que ninguacuten obrero reciba de nuevo la herramienta que teniacutea es decir la probabilidad de que B tome el valor de cero es 13 Los posibles
valores b de B y sus probabilidades estaacuten dados por
b 0 1 3
P(B = b) 3
1
2
1
6
1
Obseacutervese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades suman 1
Con frecuencia resulta conveniente representar todas las probabilidades de una
variable aleatoria X a traveacutes de una foacutermula Esta foacutermula seria necesariamente funcioacuten de los valores numeacutericos x que se denotaraacuten por f(x) g(x) r(x) y asiacute
sucesivamente Por lo tanto se escribe f(x) = P(X= x) es decir )3X(P)3(f Al
conjunto de pares ordenados (x f(x)) se le denomina funcioacuten de probabilidad o
distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
DEFINICIOacuteN El conjunto de pares ordenados (x f(x)) es una funcioacuten de probabilidad o una distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
si para cada posible resultado x
0)(1 xf
1)(2 xf
)()(3 xfxXP
EJEMPLO- Un envioacute de ocho computadoras similares para un distribuidor
contiene tres defectuosas Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras localice la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de
computadoras imperfectas
SOLUCIOacuteN- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los nuacutemeros posibles de computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante Luego x
puede se cualquiera de los nuacutemeros 0 1 y 2 Entonces
28
3)2X(P)2(f
28
15)1X(P)1(f
28
10)0X(P)0(f
8
2
5
0
3
2
8
2
5
1
3
1
8
2
5
2
3
0
Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es
x
0
1
2
f(x)
28
10
28
15
28
3
EJEMPLO Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS
SC SS y se puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2 Calculando las probabilidades tenemos
P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14
P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24
P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14
Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro
Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente
PROBLEMA
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos
en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen
la misma probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos
calcular la probabilidad de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El evento de que la suma es ocho contiene 5
resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los resultados
para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la tabla 2
Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la
suma al tirar dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que
nos interesa asiacute X = R + V Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de
una variable aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad P definimos una
variable aleatoria como una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8
al lanzar los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62)
ocurrioacute Tambieacuten asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X=8) = P( (26) (35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar
las variables aleatorias por letras mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores
decimos es una variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores
que potencialmente podriacutean ser contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez producidos en el planeta en una fecha
determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten
f(x) = P(X = x) para cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de
la variable X Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la cual se puede reescribir
usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x)
representa una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que
puede tener f(x) obtenemos 1 debido a que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los valores establecidos Por su
definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes caracteriacutesticas 1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1 ( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en
el dominio de f
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
bab
ilid
ad
es
La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variable
aleatoria digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 = 0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra
con la probabilidad podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea
de las barras para representar la probabilidad es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como
P(X 4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) +
P(X = 4) ya que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236 + 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten
sobre el 4 y a su izquierda Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra
funcioacuten partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa de X de la siguiente manera
ix
i ParaxfxXpxf )()()( ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes
son menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple
con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los
eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la
probabilidad pero en la realidad esto no ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones Se puede observar que
en ninguacuten caso las combinaciones toma valores negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten probabiliacutestica son
positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE
VARIABLES DISCRETAS
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta
cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y con ensayos independientes
GEOMEacuteTRICA Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra
grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
DE POISSON Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo un espacio o un lugar Modelos de distribuciones de
probabilidad de variables discretas
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)=
16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de
eacutexito constante y con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en
un periodo de tiempo un espacio o un lugar La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
MEDIA Y DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR DE UNA
DISTRIBUCIOacuteN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media
utilizando la foacutermula n
xf donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual
puede expresarse como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una
variable discreta es
)x(Px
POR EJEMPLO Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en
dos lanzamientos de monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de
una variable discreta es
)x(P)x( 2
POR EJEMPLO Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo
anterior su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor
de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para
identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En
consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno
el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su
variable aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria
discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada
uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos
resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula
matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la
recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante
esta analogiacutea con la mecaacutenica
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
liacutenea se le denomina variable aleatoria continua (espacio muestral
continuo) Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un nuacutemero infinito de posibles soluciones Cuando una variable aleatoria puede tomar valores
en una escala continua se le denomina variable aleatoria continua
EJEMPLO El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro de cierto intervalo (4237 kg 423764 kg 42 376541kg etc) la
esperanza media de vida de una poblacioacuten (725 antildeos 7513 antildeos 72 51234 antildeos)
Con frecuencia los valores posibles de una variable aleatoria continua son
precisamente los mismos valores contenidos en el espacio muestral continuo Tal es el caso de aquella variable aleatoria que representa la distancia que cierta
marca de automoacutevil puede recorrer en un camino de prueba con 5 litros de gasolina En la mayoriacutea de los problemas praacutecticos las variables aleatorias
continuas representan datos medidos tales como alturas pesos temperaturas
distancias o periacuteodos de vida posibles
Se puede especular en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de un desarrollo a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo
en un hospital para tratamiento del caacutencer de pulmoacuten no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentos hombres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera Si
los registros diarios del hospital indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria
discreta
Una variable aleatoria es discreta cuando uacutenicamente puede tomar un determinado nuacutemero de valores en un intervalo Por ejemplo la variable aleatoria
Ndeg de caras obtenidas al lanzar 2 monedas es una variable aleatoria discreta en el intervalo (02) Solo puede tomar los valores 0 1 y 2 Si el espacio muestral
consiste en un Conjunto discontinuo de sucesos entonces una variable asociada
con ese conjunto se le llama discreta de otra manera se le llama continua Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un
intervalo Supongamos el experimento de lanzar una moneda hacia una liacutenea marcada en el suelo Supongamos que la distancia maacutexima a que puede caer la
moneda de la marca es 1 metro (entendiendo como distancia la del centro de la moneda a la liacutenea) Si definimos una variable aleatoria X que represente esa
distancia X puede tomar cualquier valor en el intervalo [01]
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS
Una variable aleatoria es un evento numeacuterico cuyo valor se determina mediante un proceso al azar Cuando se asignan valores de probabilidad a todos
los datos numeacutericos posibles de una variable aleatoria X ya sea mediante un
listado o a traveacutes de una funcioacuten matemaacutetica se obtiene como resultado una distribucioacuten de probabilidad La suma de las probabilidades para todos los
resultados numeacutericos posibles debe ser Igual a 10 Pueden denotarse los valores de probabilidad individuales mediante el siacutembolo f(x) lo cual implica que hay
impliacutecita una funcioacuten matemaacutetica mediante P(x = X) lo cual implica que la variable aleatoria puede asumir diversos valores especiacuteficos o simplemente
mediante P(X)
Para una variable aleatoria discreta se pueden enumerar todos los valores numeacutericos posibles de la variable en una tabla con las probabilidades
correspondientes Existen diversas distribuciones estaacutendar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para una amplia gama de variables aleatorias
discretas en aplicaciones de negocios
Para una variable aleatoria continua no es posible enumerar todos los posibles valores fraccionarios de la variable y por lo tanto las probabilidades que se
determinan a traveacutes de una funcioacuten matemaacutetica se ilustran en forma graacutefica mediante una funcioacuten de densidad de probabilidad o curva de probabilidad
EJEMPLO 1 En la Tabla A se muestra el nuacutemero de camionetas que se han solicitado para rentar en una arrendadora de automoacuteviles en un periodo de 50
diacuteas En la uacuteltima columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 diacuteas En la uacuteltima columna de la tabla se incluyen las
frecuencias observadas en ese periodo de 50 diacuteas convertidas en probabilidad Asiacute puede observarse que la probabilidad de que se hayan solicitado exactamente
siete camionetas en un diacutea elegido al azar en ese periodo es de 020 y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o maacutes es de 028 + 020 + 008 =
056
Tabla B Demanda diarios de arrendamiento de camionetas
Durante un periodo de 50 diacuteas
Demandas
Posibles X
Nuacutemero de
Diacuteas
Probabilidad )(XP Valor
Ponderado )( XPX
3 3 006 018
4 7 014 056
5 12 024 120
6 14 028 168
7 10 020 140
8 4 008 064
TOTALES 50 100 665)( XE
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
Las variables aleatorias son aquellas que se relacionan con la ocurrencia de un
fenoacutemeno aleatorio Cuando una de esas variables aleatorias toma diversos valores la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada
como una distribucioacuten de probabilidad lo que se denomina distribucioacuten de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria Las
distribuciones de probabilidad logran representarse a traveacutes de una tabla una graacutefica o una foacutermula en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina
funcioacuten de probabilidad
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETA La variable aleatoria X se dice que es discreta si los nuacutemeros asignados a los sucesos elementales de E son puntos
aislados Sus posibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable Por ejemplo supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces una
moneda no trucada si consideramos la variable aleatoria X = rdquonuacutemero de caras obtenidas en los tres lanzamientosrdquo los valores que puede tomar esta variable
aleatoria son finitos (0123)
Entonces una variable aleatoria discreta adquiere cada uno de sus valores con
cierta probabilidad En el proceso del lanzamiento de una moneda 3 veces la variable X que representa el nuacutemero de sellos toma el valor 2 con una
probabilidad de 38 puesto que 3 de los puntos muestrales igualmente probables dan como resultado 2 sellos y 1 cara Si se suponen arreglos iguales para los
eventos simples del siguiente ejemplo
Un empleado de un depoacutesito le regresa en forma aleatoria tres herramientas de seguridad previamente revisados a tres obreros de un taller Si Sauacutel (S) Jesuacutes
(J) y Boris (B) en ese orden reciben una de las tres herramientas enumere los puntos muestrales para los oacuterdenes posibles de devolucioacuten de las herramientas y
calcule los valores b de la variable aleatoria B que representa el nuacutemero de agrupaciones correctas
SOLUCIOacuteN- Si S J y B representan las herramientas de Saul Jesuacutes y Boris
respectivamente luego los arreglos posibles en los que podriacutean devolverse las herramientas y el nuacutemero de agrupaciones correctas seraacuten
b 3 1 1 0 0 1
Espacio Muestral SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS
La probabilidad de que ninguacuten obrero reciba de nuevo la herramienta que teniacutea es decir la probabilidad de que B tome el valor de cero es 13 Los posibles
valores b de B y sus probabilidades estaacuten dados por
b 0 1 3
P(B = b) 3
1
2
1
6
1
Obseacutervese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades suman 1
Con frecuencia resulta conveniente representar todas las probabilidades de una
variable aleatoria X a traveacutes de una foacutermula Esta foacutermula seria necesariamente funcioacuten de los valores numeacutericos x que se denotaraacuten por f(x) g(x) r(x) y asiacute
sucesivamente Por lo tanto se escribe f(x) = P(X= x) es decir )3X(P)3(f Al
conjunto de pares ordenados (x f(x)) se le denomina funcioacuten de probabilidad o
distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
DEFINICIOacuteN El conjunto de pares ordenados (x f(x)) es una funcioacuten de probabilidad o una distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
si para cada posible resultado x
0)(1 xf
1)(2 xf
)()(3 xfxXP
EJEMPLO- Un envioacute de ocho computadoras similares para un distribuidor
contiene tres defectuosas Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras localice la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de
computadoras imperfectas
SOLUCIOacuteN- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los nuacutemeros posibles de computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante Luego x
puede se cualquiera de los nuacutemeros 0 1 y 2 Entonces
28
3)2X(P)2(f
28
15)1X(P)1(f
28
10)0X(P)0(f
8
2
5
0
3
2
8
2
5
1
3
1
8
2
5
2
3
0
Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es
x
0
1
2
f(x)
28
10
28
15
28
3
EJEMPLO Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS
SC SS y se puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2 Calculando las probabilidades tenemos
P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14
P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24
P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14
Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro
Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente
PROBLEMA
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos
en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen
la misma probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos
calcular la probabilidad de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El evento de que la suma es ocho contiene 5
resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los resultados
para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la tabla 2
Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la
suma al tirar dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que
nos interesa asiacute X = R + V Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de
una variable aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad P definimos una
variable aleatoria como una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8
al lanzar los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62)
ocurrioacute Tambieacuten asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X=8) = P( (26) (35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar
las variables aleatorias por letras mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores
decimos es una variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores
que potencialmente podriacutean ser contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez producidos en el planeta en una fecha
determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten
f(x) = P(X = x) para cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de
la variable X Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la cual se puede reescribir
usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x)
representa una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que
puede tener f(x) obtenemos 1 debido a que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los valores establecidos Por su
definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes caracteriacutesticas 1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1 ( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en
el dominio de f
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
bab
ilid
ad
es
La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variable
aleatoria digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 = 0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra
con la probabilidad podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea
de las barras para representar la probabilidad es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como
P(X 4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) +
P(X = 4) ya que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236 + 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten
sobre el 4 y a su izquierda Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra
funcioacuten partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa de X de la siguiente manera
ix
i ParaxfxXpxf )()()( ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes
son menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple
con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los
eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la
probabilidad pero en la realidad esto no ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones Se puede observar que
en ninguacuten caso las combinaciones toma valores negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten probabiliacutestica son
positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE
VARIABLES DISCRETAS
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta
cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y con ensayos independientes
GEOMEacuteTRICA Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra
grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
DE POISSON Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo un espacio o un lugar Modelos de distribuciones de
probabilidad de variables discretas
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)=
16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de
eacutexito constante y con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en
un periodo de tiempo un espacio o un lugar La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
MEDIA Y DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR DE UNA
DISTRIBUCIOacuteN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media
utilizando la foacutermula n
xf donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual
puede expresarse como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una
variable discreta es
)x(Px
POR EJEMPLO Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en
dos lanzamientos de monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de
una variable discreta es
)x(P)x( 2
POR EJEMPLO Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo
anterior su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor
de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para
identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En
consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno
el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su
variable aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria
discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada
uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos
resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula
matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la
recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante
esta analogiacutea con la mecaacutenica
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
Para una variable aleatoria continua no es posible enumerar todos los posibles valores fraccionarios de la variable y por lo tanto las probabilidades que se
determinan a traveacutes de una funcioacuten matemaacutetica se ilustran en forma graacutefica mediante una funcioacuten de densidad de probabilidad o curva de probabilidad
EJEMPLO 1 En la Tabla A se muestra el nuacutemero de camionetas que se han solicitado para rentar en una arrendadora de automoacuteviles en un periodo de 50
diacuteas En la uacuteltima columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 diacuteas En la uacuteltima columna de la tabla se incluyen las
frecuencias observadas en ese periodo de 50 diacuteas convertidas en probabilidad Asiacute puede observarse que la probabilidad de que se hayan solicitado exactamente
siete camionetas en un diacutea elegido al azar en ese periodo es de 020 y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o maacutes es de 028 + 020 + 008 =
056
Tabla B Demanda diarios de arrendamiento de camionetas
Durante un periodo de 50 diacuteas
Demandas
Posibles X
Nuacutemero de
Diacuteas
Probabilidad )(XP Valor
Ponderado )( XPX
3 3 006 018
4 7 014 056
5 12 024 120
6 14 028 168
7 10 020 140
8 4 008 064
TOTALES 50 100 665)( XE
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
Las variables aleatorias son aquellas que se relacionan con la ocurrencia de un
fenoacutemeno aleatorio Cuando una de esas variables aleatorias toma diversos valores la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada
como una distribucioacuten de probabilidad lo que se denomina distribucioacuten de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria Las
distribuciones de probabilidad logran representarse a traveacutes de una tabla una graacutefica o una foacutermula en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina
funcioacuten de probabilidad
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETA La variable aleatoria X se dice que es discreta si los nuacutemeros asignados a los sucesos elementales de E son puntos
aislados Sus posibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable Por ejemplo supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces una
moneda no trucada si consideramos la variable aleatoria X = rdquonuacutemero de caras obtenidas en los tres lanzamientosrdquo los valores que puede tomar esta variable
aleatoria son finitos (0123)
Entonces una variable aleatoria discreta adquiere cada uno de sus valores con
cierta probabilidad En el proceso del lanzamiento de una moneda 3 veces la variable X que representa el nuacutemero de sellos toma el valor 2 con una
probabilidad de 38 puesto que 3 de los puntos muestrales igualmente probables dan como resultado 2 sellos y 1 cara Si se suponen arreglos iguales para los
eventos simples del siguiente ejemplo
Un empleado de un depoacutesito le regresa en forma aleatoria tres herramientas de seguridad previamente revisados a tres obreros de un taller Si Sauacutel (S) Jesuacutes
(J) y Boris (B) en ese orden reciben una de las tres herramientas enumere los puntos muestrales para los oacuterdenes posibles de devolucioacuten de las herramientas y
calcule los valores b de la variable aleatoria B que representa el nuacutemero de agrupaciones correctas
SOLUCIOacuteN- Si S J y B representan las herramientas de Saul Jesuacutes y Boris
respectivamente luego los arreglos posibles en los que podriacutean devolverse las herramientas y el nuacutemero de agrupaciones correctas seraacuten
b 3 1 1 0 0 1
Espacio Muestral SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS
La probabilidad de que ninguacuten obrero reciba de nuevo la herramienta que teniacutea es decir la probabilidad de que B tome el valor de cero es 13 Los posibles
valores b de B y sus probabilidades estaacuten dados por
b 0 1 3
P(B = b) 3
1
2
1
6
1
Obseacutervese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades suman 1
Con frecuencia resulta conveniente representar todas las probabilidades de una
variable aleatoria X a traveacutes de una foacutermula Esta foacutermula seria necesariamente funcioacuten de los valores numeacutericos x que se denotaraacuten por f(x) g(x) r(x) y asiacute
sucesivamente Por lo tanto se escribe f(x) = P(X= x) es decir )3X(P)3(f Al
conjunto de pares ordenados (x f(x)) se le denomina funcioacuten de probabilidad o
distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
DEFINICIOacuteN El conjunto de pares ordenados (x f(x)) es una funcioacuten de probabilidad o una distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
si para cada posible resultado x
0)(1 xf
1)(2 xf
)()(3 xfxXP
EJEMPLO- Un envioacute de ocho computadoras similares para un distribuidor
contiene tres defectuosas Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras localice la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de
computadoras imperfectas
SOLUCIOacuteN- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los nuacutemeros posibles de computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante Luego x
puede se cualquiera de los nuacutemeros 0 1 y 2 Entonces
28
3)2X(P)2(f
28
15)1X(P)1(f
28
10)0X(P)0(f
8
2
5
0
3
2
8
2
5
1
3
1
8
2
5
2
3
0
Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es
x
0
1
2
f(x)
28
10
28
15
28
3
EJEMPLO Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS
SC SS y se puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2 Calculando las probabilidades tenemos
P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14
P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24
P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14
Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro
Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente
PROBLEMA
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos
en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen
la misma probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos
calcular la probabilidad de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El evento de que la suma es ocho contiene 5
resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los resultados
para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la tabla 2
Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la
suma al tirar dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que
nos interesa asiacute X = R + V Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de
una variable aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad P definimos una
variable aleatoria como una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8
al lanzar los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62)
ocurrioacute Tambieacuten asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X=8) = P( (26) (35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar
las variables aleatorias por letras mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores
decimos es una variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores
que potencialmente podriacutean ser contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez producidos en el planeta en una fecha
determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten
f(x) = P(X = x) para cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de
la variable X Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la cual se puede reescribir
usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x)
representa una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que
puede tener f(x) obtenemos 1 debido a que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los valores establecidos Por su
definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes caracteriacutesticas 1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1 ( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en
el dominio de f
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
bab
ilid
ad
es
La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variable
aleatoria digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 = 0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra
con la probabilidad podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea
de las barras para representar la probabilidad es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como
P(X 4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) +
P(X = 4) ya que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236 + 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten
sobre el 4 y a su izquierda Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra
funcioacuten partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa de X de la siguiente manera
ix
i ParaxfxXpxf )()()( ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes
son menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple
con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los
eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la
probabilidad pero en la realidad esto no ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones Se puede observar que
en ninguacuten caso las combinaciones toma valores negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten probabiliacutestica son
positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE
VARIABLES DISCRETAS
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta
cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y con ensayos independientes
GEOMEacuteTRICA Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra
grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
DE POISSON Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo un espacio o un lugar Modelos de distribuciones de
probabilidad de variables discretas
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)=
16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de
eacutexito constante y con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en
un periodo de tiempo un espacio o un lugar La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
MEDIA Y DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR DE UNA
DISTRIBUCIOacuteN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media
utilizando la foacutermula n
xf donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual
puede expresarse como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una
variable discreta es
)x(Px
POR EJEMPLO Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en
dos lanzamientos de monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de
una variable discreta es
)x(P)x( 2
POR EJEMPLO Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo
anterior su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor
de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para
identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En
consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno
el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su
variable aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria
discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada
uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos
resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula
matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la
recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante
esta analogiacutea con la mecaacutenica
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
Un empleado de un depoacutesito le regresa en forma aleatoria tres herramientas de seguridad previamente revisados a tres obreros de un taller Si Sauacutel (S) Jesuacutes
(J) y Boris (B) en ese orden reciben una de las tres herramientas enumere los puntos muestrales para los oacuterdenes posibles de devolucioacuten de las herramientas y
calcule los valores b de la variable aleatoria B que representa el nuacutemero de agrupaciones correctas
SOLUCIOacuteN- Si S J y B representan las herramientas de Saul Jesuacutes y Boris
respectivamente luego los arreglos posibles en los que podriacutean devolverse las herramientas y el nuacutemero de agrupaciones correctas seraacuten
b 3 1 1 0 0 1
Espacio Muestral SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS
La probabilidad de que ninguacuten obrero reciba de nuevo la herramienta que teniacutea es decir la probabilidad de que B tome el valor de cero es 13 Los posibles
valores b de B y sus probabilidades estaacuten dados por
b 0 1 3
P(B = b) 3
1
2
1
6
1
Obseacutervese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades suman 1
Con frecuencia resulta conveniente representar todas las probabilidades de una
variable aleatoria X a traveacutes de una foacutermula Esta foacutermula seria necesariamente funcioacuten de los valores numeacutericos x que se denotaraacuten por f(x) g(x) r(x) y asiacute
sucesivamente Por lo tanto se escribe f(x) = P(X= x) es decir )3X(P)3(f Al
conjunto de pares ordenados (x f(x)) se le denomina funcioacuten de probabilidad o
distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
DEFINICIOacuteN El conjunto de pares ordenados (x f(x)) es una funcioacuten de probabilidad o una distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
si para cada posible resultado x
0)(1 xf
1)(2 xf
)()(3 xfxXP
EJEMPLO- Un envioacute de ocho computadoras similares para un distribuidor
contiene tres defectuosas Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras localice la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de
computadoras imperfectas
SOLUCIOacuteN- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los nuacutemeros posibles de computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante Luego x
puede se cualquiera de los nuacutemeros 0 1 y 2 Entonces
28
3)2X(P)2(f
28
15)1X(P)1(f
28
10)0X(P)0(f
8
2
5
0
3
2
8
2
5
1
3
1
8
2
5
2
3
0
Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es
x
0
1
2
f(x)
28
10
28
15
28
3
EJEMPLO Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS
SC SS y se puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2 Calculando las probabilidades tenemos
P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14
P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24
P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14
Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro
Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente
PROBLEMA
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos
en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen
la misma probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos
calcular la probabilidad de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El evento de que la suma es ocho contiene 5
resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los resultados
para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la tabla 2
Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la
suma al tirar dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que
nos interesa asiacute X = R + V Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de
una variable aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad P definimos una
variable aleatoria como una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8
al lanzar los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62)
ocurrioacute Tambieacuten asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X=8) = P( (26) (35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar
las variables aleatorias por letras mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores
decimos es una variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores
que potencialmente podriacutean ser contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez producidos en el planeta en una fecha
determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten
f(x) = P(X = x) para cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de
la variable X Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la cual se puede reescribir
usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x)
representa una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que
puede tener f(x) obtenemos 1 debido a que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los valores establecidos Por su
definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes caracteriacutesticas 1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1 ( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en
el dominio de f
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
bab
ilid
ad
es
La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variable
aleatoria digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 = 0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra
con la probabilidad podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea
de las barras para representar la probabilidad es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como
P(X 4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) +
P(X = 4) ya que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236 + 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten
sobre el 4 y a su izquierda Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra
funcioacuten partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa de X de la siguiente manera
ix
i ParaxfxXpxf )()()( ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes
son menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple
con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los
eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la
probabilidad pero en la realidad esto no ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones Se puede observar que
en ninguacuten caso las combinaciones toma valores negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten probabiliacutestica son
positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE
VARIABLES DISCRETAS
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta
cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y con ensayos independientes
GEOMEacuteTRICA Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra
grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
DE POISSON Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo un espacio o un lugar Modelos de distribuciones de
probabilidad de variables discretas
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)=
16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de
eacutexito constante y con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en
un periodo de tiempo un espacio o un lugar La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
MEDIA Y DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR DE UNA
DISTRIBUCIOacuteN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media
utilizando la foacutermula n
xf donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual
puede expresarse como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una
variable discreta es
)x(Px
POR EJEMPLO Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en
dos lanzamientos de monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de
una variable discreta es
)x(P)x( 2
POR EJEMPLO Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo
anterior su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor
de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para
identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En
consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno
el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su
variable aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria
discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada
uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos
resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula
matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la
recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante
esta analogiacutea con la mecaacutenica
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
28
3)2X(P)2(f
28
15)1X(P)1(f
28
10)0X(P)0(f
8
2
5
0
3
2
8
2
5
1
3
1
8
2
5
2
3
0
Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es
x
0
1
2
f(x)
28
10
28
15
28
3
EJEMPLO Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS
SC SS y se puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2 Calculando las probabilidades tenemos
P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14
P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24
P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14
Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro
Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente
PROBLEMA
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos
en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen
la misma probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos
calcular la probabilidad de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El evento de que la suma es ocho contiene 5
resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los resultados
para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la tabla 2
Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la
suma al tirar dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que
nos interesa asiacute X = R + V Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de
una variable aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad P definimos una
variable aleatoria como una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8
al lanzar los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62)
ocurrioacute Tambieacuten asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X=8) = P( (26) (35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar
las variables aleatorias por letras mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores
decimos es una variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores
que potencialmente podriacutean ser contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez producidos en el planeta en una fecha
determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten
f(x) = P(X = x) para cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de
la variable X Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la cual se puede reescribir
usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x)
representa una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que
puede tener f(x) obtenemos 1 debido a que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los valores establecidos Por su
definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes caracteriacutesticas 1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1 ( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en
el dominio de f
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
bab
ilid
ad
es
La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variable
aleatoria digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 = 0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra
con la probabilidad podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea
de las barras para representar la probabilidad es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como
P(X 4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) +
P(X = 4) ya que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236 + 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten
sobre el 4 y a su izquierda Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra
funcioacuten partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa de X de la siguiente manera
ix
i ParaxfxXpxf )()()( ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes
son menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple
con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los
eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la
probabilidad pero en la realidad esto no ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones Se puede observar que
en ninguacuten caso las combinaciones toma valores negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten probabiliacutestica son
positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE
VARIABLES DISCRETAS
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta
cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y con ensayos independientes
GEOMEacuteTRICA Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra
grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
DE POISSON Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo un espacio o un lugar Modelos de distribuciones de
probabilidad de variables discretas
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)=
16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de
eacutexito constante y con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en
un periodo de tiempo un espacio o un lugar La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
MEDIA Y DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR DE UNA
DISTRIBUCIOacuteN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media
utilizando la foacutermula n
xf donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual
puede expresarse como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una
variable discreta es
)x(Px
POR EJEMPLO Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en
dos lanzamientos de monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de
una variable discreta es
)x(P)x( 2
POR EJEMPLO Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo
anterior su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor
de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para
identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En
consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno
el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su
variable aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria
discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada
uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos
resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula
matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la
recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante
esta analogiacutea con la mecaacutenica
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos
en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen
la misma probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos
calcular la probabilidad de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El evento de que la suma es ocho contiene 5
resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los resultados
para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la tabla 2
Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la
suma al tirar dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que
nos interesa asiacute X = R + V Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de
una variable aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad P definimos una
variable aleatoria como una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8
al lanzar los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62)
ocurrioacute Tambieacuten asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X=8) = P( (26) (35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar
las variables aleatorias por letras mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores
decimos es una variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores
que potencialmente podriacutean ser contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez producidos en el planeta en una fecha
determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten
f(x) = P(X = x) para cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de
la variable X Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la cual se puede reescribir
usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x)
representa una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que
puede tener f(x) obtenemos 1 debido a que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los valores establecidos Por su
definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes caracteriacutesticas 1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1 ( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en
el dominio de f
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
bab
ilid
ad
es
La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variable
aleatoria digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 = 0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra
con la probabilidad podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea
de las barras para representar la probabilidad es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como
P(X 4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) +
P(X = 4) ya que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236 + 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten
sobre el 4 y a su izquierda Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra
funcioacuten partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa de X de la siguiente manera
ix
i ParaxfxXpxf )()()( ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes
son menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple
con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los
eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la
probabilidad pero en la realidad esto no ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones Se puede observar que
en ninguacuten caso las combinaciones toma valores negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten probabiliacutestica son
positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE
VARIABLES DISCRETAS
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta
cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y con ensayos independientes
GEOMEacuteTRICA Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra
grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
DE POISSON Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo un espacio o un lugar Modelos de distribuciones de
probabilidad de variables discretas
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)=
16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de
eacutexito constante y con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en
un periodo de tiempo un espacio o un lugar La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
MEDIA Y DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR DE UNA
DISTRIBUCIOacuteN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media
utilizando la foacutermula n
xf donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual
puede expresarse como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una
variable discreta es
)x(Px
POR EJEMPLO Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en
dos lanzamientos de monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de
una variable discreta es
)x(P)x( 2
POR EJEMPLO Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo
anterior su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor
de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para
identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En
consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno
el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su
variable aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria
discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada
uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos
resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula
matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la
recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante
esta analogiacutea con la mecaacutenica
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores
decimos es una variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores
que potencialmente podriacutean ser contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez producidos en el planeta en una fecha
determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten
f(x) = P(X = x) para cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de
la variable X Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la cual se puede reescribir
usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad del total de las sumas observadas al lanzar dos dados
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x)
representa una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que
puede tener f(x) obtenemos 1 debido a que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los valores establecidos Por su
definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes caracteriacutesticas 1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1 ( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en
el dominio de f
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
bab
ilid
ad
es
La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variable
aleatoria digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 = 0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra
con la probabilidad podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea
de las barras para representar la probabilidad es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como
P(X 4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) +
P(X = 4) ya que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236 + 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten
sobre el 4 y a su izquierda Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra
funcioacuten partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa de X de la siguiente manera
ix
i ParaxfxXpxf )()()( ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes
son menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple
con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los
eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la
probabilidad pero en la realidad esto no ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones Se puede observar que
en ninguacuten caso las combinaciones toma valores negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten probabiliacutestica son
positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE
VARIABLES DISCRETAS
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta
cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y con ensayos independientes
GEOMEacuteTRICA Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra
grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
DE POISSON Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo un espacio o un lugar Modelos de distribuciones de
probabilidad de variables discretas
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)=
16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de
eacutexito constante y con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en
un periodo de tiempo un espacio o un lugar La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
MEDIA Y DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR DE UNA
DISTRIBUCIOacuteN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media
utilizando la foacutermula n
xf donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual
puede expresarse como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una
variable discreta es
)x(Px
POR EJEMPLO Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en
dos lanzamientos de monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de
una variable discreta es
)x(P)x( 2
POR EJEMPLO Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo
anterior su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor
de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para
identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En
consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno
el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su
variable aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria
discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada
uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos
resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula
matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la
recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante
esta analogiacutea con la mecaacutenica
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
bab
ilid
ad
es
La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variable
aleatoria digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 = 0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra
con la probabilidad podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea
de las barras para representar la probabilidad es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como
P(X 4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) +
P(X = 4) ya que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236 + 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten
sobre el 4 y a su izquierda Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra
funcioacuten partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa de X de la siguiente manera
ix
i ParaxfxXpxf )()()( ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes
son menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple
con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los
eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la
probabilidad pero en la realidad esto no ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones Se puede observar que
en ninguacuten caso las combinaciones toma valores negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten probabiliacutestica son
positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE
VARIABLES DISCRETAS
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta
cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y con ensayos independientes
GEOMEacuteTRICA Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra
grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
DE POISSON Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo un espacio o un lugar Modelos de distribuciones de
probabilidad de variables discretas
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)=
16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de
eacutexito constante y con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en
un periodo de tiempo un espacio o un lugar La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
MEDIA Y DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR DE UNA
DISTRIBUCIOacuteN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media
utilizando la foacutermula n
xf donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual
puede expresarse como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una
variable discreta es
)x(Px
POR EJEMPLO Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en
dos lanzamientos de monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de
una variable discreta es
)x(P)x( 2
POR EJEMPLO Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo
anterior su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor
de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para
identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En
consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno
el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su
variable aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria
discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada
uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos
resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula
matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la
recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante
esta analogiacutea con la mecaacutenica
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
)(xf P(X=x) = 1
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los
eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la
probabilidad pero en la realidad esto no ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones Se puede observar que
en ninguacuten caso las combinaciones toma valores negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten probabiliacutestica son
positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE
VARIABLES DISCRETAS
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta
cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y con ensayos independientes
GEOMEacuteTRICA Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra
grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
DE POISSON Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo un espacio o un lugar Modelos de distribuciones de
probabilidad de variables discretas
UNIFORME Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)=
16 para valores de x = 1 2 3 4 5 6
BINOMIAL Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de
eacutexito constante y con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
HIPERGEOMEacuteTRICA Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en
un periodo de tiempo un espacio o un lugar La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
MEDIA Y DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR DE UNA
DISTRIBUCIOacuteN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media
utilizando la foacutermula n
xf donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual
puede expresarse como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una
variable discreta es
)x(Px
POR EJEMPLO Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en
dos lanzamientos de monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de
una variable discreta es
)x(P)x( 2
POR EJEMPLO Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo
anterior su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor
de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para
identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En
consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno
el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su
variable aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria
discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada
uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos
resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula
matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la
recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante
esta analogiacutea con la mecaacutenica
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
MEDIA Y DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR DE UNA
DISTRIBUCIOacuteN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
DISCRETAS
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media
utilizando la foacutermula n
xf donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual
puede expresarse como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una
variable discreta es
)x(Px
POR EJEMPLO Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en
dos lanzamientos de monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de
una variable discreta es
)x(P)x( 2
POR EJEMPLO Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo
anterior su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor
de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para
identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En
consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno
el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su
variable aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria
discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada
uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos
resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula
matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la
recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante
esta analogiacutea con la mecaacutenica
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor
de X se repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para
identificar el valor central de la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la proporcioacuten de ensayos en los que X = x En
consecuencia no es necesario realizar el experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de X puede calcularse corno
el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su
variable aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria
discreta se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las ponderaciones la probabilidad relacionada con cada
uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos
resultantes Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE se puede expresar con la siguiente formula
matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X )( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
Tambieacuten se puede decir que La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria
discreta X expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la
recta real entonces E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de probabilidad puede interpretarse mediante
esta analogiacutea con la mecaacutenica
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2
Supoacutengase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El promedio de caras por lanzamiento de las dos
monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del
experimento Por ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que
resulta en 0 1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las
frecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular entonces la media o el promedio de un
conjunto de datos si se conocen los distintos valores que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de observaciones
en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el
nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media
de la distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o
simplemente como cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata
Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor esperado de la variable X y
representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello
seguida de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos
dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2
monedas indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable
aleatoria X por su probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando
luego los resultados Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables aleatorias continuas la definicioacuten del valor
esperado es en esencia la misma soacutelo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales
EJEMPLO Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
SOLUCIOacuteN Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a
partir de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
EJEMPLO En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5
doacutelares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3 doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la
ganancia esperada de jugador
SOLUCIOacuteN El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma
equivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con una
probabilidad igual a 18 Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos del
espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPCCSP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede
ganar y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3
$ si ocurre el evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se
presentan con probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3
monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay
una ganancia esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera
de saber con exactitud cuaacutentas mujeres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera
De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores numeacutericos correspondientes a
cada posible resultado del experimento aleatorio Si los registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115
pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de
frecuencias Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico podemos utilizar este registro para asignar una
probabilidad a cada nuacutemero posible de pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalizacioacuten de la
distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el nuacutemero total de diacuteas
en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de probabilidad
para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor
esperado o esperanza matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variable
aleatoria tome esos valores En la tabla B mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos dan informacioacuten acerca de
la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100 DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles de la
Variable Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que se
observa este nivel (fi)
(2)
Probabilidad de que la variable aleatoria
tome estos valores (3)
Esperanza Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en
una clinicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos
de edad viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere real-
mente que una mujer de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera
al diacutea siguiente En lo concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes
y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado o esperanza matemaacutetica
Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de la
cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha cantidad
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que
salga cara es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale
480000 boliacutevares
SOLUCIOacuteN La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces
nuestra esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el
boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de
Bs1250000 Bs 800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000
iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este resultado indica
que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
SOLUCIOacuteN
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
x 0 1 2 3 )(xf
6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente formula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
En la teoriacutea de probabilidades y estadiacutesticas la funcioacuten de distribucioacuten
acumulativa (FDA) o simplemente funcioacuten de distribucioacuten describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada
distribucioacuten de probabilidad se encontraraacute en un valor menor o igual que x Las funciones de distribucioacuten acumulativa tambieacuten se utilizan para especificar la
distribucioacuten de muacuteltiples variables aleatorias Diremos que F es la Funcioacuten de distribucioacuten acumulada de probabilidad de X
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0) La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y
se denota por F(x0) Entonces )( 0xF es igual a
)()( 000
ixX
xpxXPxF
OBSERVACIONES
1 F(xo) = P[X le xo] = p(x1) + p(x2) + + p(xo)
2 Si X 0 1 2 3 4 entonces
F(0) = P[X le 0] = P(X lt 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X le 1] = P(X le 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)
F(2) = P[X le 2] = P(X le 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) F(3) = P[X le 3] = P(X le 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
etc En general
F(x) = P[X le x-1] + P(X = x) = F(x-1) + p(x)
3 Si X 0 1 2 3 n entonces F(x) = 0 si X lt 0 La acumulada siempre empieza en 0 Siendo funcioacuten de probabilidad no puede tomar valores
negativos F(x) = 1 si X ge n Como en el caso anterior siendo una funcioacuten de probabilidad no puede ser mayor que 1
FORMA DE PRESENTAR LA DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
Si la funcioacuten de probabilidad de X viene dada por
X x1 x2 x3 x4
p( x ) p( x1 ) p( x2 ) p( x3 ) p( x4 )
La funcioacuten de distribucioacuten acumulada F seraacute
CONSIDERACIONES A TOMARSE EN CUENTA EN LA DISTRIBUCIOacuteN
ACUMULADA
)()(
ixX
iii xpxXPxF
EJEMPLOS
Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcioacuten de probabilidad viene dada por
X 0 1 2 3
p(x) 18 38 38 18
a) Obtenga la funcioacuten de distribucioacuten acumulada de X b) Usando la distribucioacuten acumulada encuentre P(X le 2) P(X gt 2)
b) P(1 le X le 2) y P(1 lt X le 2) c)
d)
SOLUCIOacuteN
a) Recordemos que para todo valor de X menor que el miacutenimo valor implica que
F(x) = 0
Del mismo modo para X mayor o igual que el maacuteximo valor de X se tendraacute
F(x) = 1
Tomando en cuenta estos criterios la funcioacuten acumulada viene dada por
b)Puesto que F(a) = P(X le a) entonces
P(X le 2) = F(2) = 78
Usando complemento P(X gt 2) = 1 P(X gt2) = 1 - F(2) = 1 - 78 = 18
Usando propiedades P(1 le X le 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 78 - 48 +
38 = 68
Del mismo modo P(1 lt X le 2) = F(2) - F(1) = 78 - 48 = 38
Si X es una variable aleatoria entonces para cualquier nuacutemero real x0 existe la
probabilidad )( 0xXP del evento 0xX (X toma cualquier valor menor o igual a
x0)
La probabilidad )( 0xXP que depende de la eleccioacuten de x0 es la probabilidad
acumulada hasta x0 que es la funcioacuten distribucioacuten o distribucioacuten acumulada y se denota por F(x0) )()( 00 xXPxF
Ejemplo 7 Encuentre los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo 3
X f(X) F(X)
2 136 136
3 236 336
4 336 636
5 436 1036
6 536 1536
7 636 2136
8 536 2636
9 436 3036
10 336 3336
11 236 3536
12 136 3636
Obseacutervese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =
La graacutefica de la funcioacuten distribucioacuten acumulada de una variable discreta es siempre
una graacutefica escalonada
Fig 6 Funcioacuten distribucioacuten para la variable aleatoria del ejemplo 43
EJEMPLO 8 Halle los valores de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) de la
variable aleatoria X del ejemplo 5
X f(X) F(X)
0 1545 1545
1 2445 3945
2 645 4545
Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento se puede expresar en teacuterminos de la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) donde x1 y
x2 son dos de los valores cualesquiera
Obseacutervese que y son eventos mutuamente exclusivos su unioacuten es
el evento
Por el axioma 3 de probabilidad obtenemos
P( ) = P( ) + P( )
Despejando P se tiene
P = P( ) - P( ) = F(x2) - F(x1)
En consecuencia F(x) determina en forma uacutenica la distribucioacuten de probabilidades
de la variable aleatoria correspondiente
FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si X es una variable aleatoria continua entonces la regla de la correspondencia
que define la funcioacuten distribucioacuten acumulada F(X) es
Hemos usado v para representar la variable de integracioacuten ya que x se usa para
representar al liacutemite superior de la integracioacuten El integrando f es la funcioacuten densidad de probabilidad y al derivar la expresioacuten anterior (Teorema Fundamental
del Caacutelculo) se tiene que
La funcioacuten distribucioacuten acumulada es
F(x0) =
PROPIEDADES DE LA FUNCIOacuteN DISTRIBUCIOacuteN ACUMULADA
2 si X es discreta
si X es continua
Fig 47 Funcioacuten distribucioacuten
3 si X es continua
4 Si X es continua
EJEMPLO 49 Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una funcioacuten densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de
la funcioacuten de distribucioacuten acumulada correspondiente
a
b
SOLUCIOacuteN La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espacio muestral que es igual a 1 Una vez evaluada la integral definida se despeja la
constante c lo cual garantizaraacute que la funcioacuten obtenida es una funcioacuten densidad
de probabilidad
a
b
Sustituyendo el valor de c se obtiene la funcioacuten densidad
La funcioacuten distribucioacuten es entonces la integral de la funcioacuten densidad para
cualquier intervalo (0x) la cual permitiraacute calcular probabilidades para cualquier intervalo
c Para el segundo caso se haraacute lo mismo que para el anterior con la diferencia que tenemos una integral impropia
La funcioacuten densidad es entonces
Las propiedades de la funcioacuten distribucioacuten acumulada son
2 si X es discreta
si X es continua
3 si X es continua
4 Si X es continua
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MAacuteS
IMPORTANTES
DISTRIBUCIOacuteN POISSON La Distribucioacuten de Poisson es una distribucioacuten de probabilidad discreta que enuncia a partir de una frecuencia de ocurrencia media
la probabilidad de ocurrencia de un determinado nuacutemero de eventos durante cierto periodo de tiempo La funcioacuten de masa de la distribucioacuten de Poisson es
Doacutende k es el nuacutemero de ocurrencias del evento o fenoacutemeno (la funcioacuten origina la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces) λ es un paraacutemetro positivo que significa el nuacutemero de veces que se
espera que ocurra el fenoacutemeno durante un intervalo dado Por ejemplo si el suceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en
la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos
usaremos un modelo de distribucioacuten de Poisson con λ = 10times4 = 40 e es la base de los logaritmos naturales (e = 271828 )
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICA La distribucioacuten geomeacutetrica es cualquiera de las
dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un
eacutexito contenido en el conjunto 1 2 3 o la distribucioacuten de probabilidad del nuacutemero Y = X minus 1 de fallos antes del primer eacutexito contenido en el conjunto 0 1
2 3 Cuaacutel de eacutestas es la que uno llama la distribucioacuten geomeacutetricardquo es una cuestioacuten de convencioacuten y conveniencia Si la probabilidad de eacutexito en cada
ensayo es p entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para
obtener un eacutexito es para x = 1 2 3 Equivalentemente la probabilidad de que haya x fallos antes del primer eacutexito es
para x = 0 1 2 3
DISTRIBUCIOacuteN HIPERGEOMEacuteTRICA La distribucioacuten hipergeomeacutetrica es una distribucioacuten discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo
Imagiacutenese que se posee una poblacioacuten de N elementos de los cuales d
pertenecen a la categoriacutea A y N-d a la B La distribucioacuten hipergeomeacutetrica mide la
probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoriacutea A en una muestra de n elementos de la poblacioacuten original La funcioacuten de probabilidad de
una variable aleatoria con distribucioacuten hipergeomeacutetrica puede deducirse a traveacutes de razonamientos combinatorios y es igual a
donde N es el tamantildeo de poblacioacuten n es el tamantildeo de la muestra extraiacuteda d es el nuacutemero de elementos en la poblacioacuten original
que pertenecen a la categoriacutea deseada y x es el nuacutemero de elementos en
la muestra que pertenecen a dicha categoriacutea La notacioacuten
N
n
hace
referencia al coeficiente binomial es decir el nuacutemero de combinaciones
posibles al seleccionar n elementos de un total N
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME DISCRETA En teoriacutea de la probabilidad una
distribucioacuten uniforme discreta es una distribucioacuten de probabilidad que toma un nuacutemero finito de valores con la misma probabilidad donde los elementos de un
conjunto finito son equiprobables Si la distribucioacuten asume los valores reales
su funcioacuten de probabilidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten la funcioacuten escalonada
Su media estadiacutestica es
y su varianza
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL es una distribucioacuten de probabilidad discreta que mide el nuacutemero de eacutexitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli
independientes entre siacute con una probabilidad fija p de ocurrencia del eacutexito entre los ensayos Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotoacutemico
vale decir que uacutenicamente son posibles dos resultados A uno se le designa como eacutexito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso
con una probabilidad q = 1 - p En la distribucioacuten binomial el anterior experimento se repite n veces de forma independiente y se trata de calcular la probabilidad de
un determinado nuacutemero de eacutexitos Para n = 1 la binomial se convierte de hecho en una distribucioacuten de Bernoulli Para representar que una variable aleatoria X
sigue una distribucioacuten binomial de paraacutemetros n y p se escribe
La funcioacuten de probabilidad es
Donde y Siendo las combinaciones
de en ( elementos tomados de en )
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la
distribucioacuten de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos
sucesivos del desarrollo binomial n)qp( donde p expresa la probabilidad de
eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q es la probabilidad de
ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con dicho
evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o
Binomio de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio
elevado a una potencia n que en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la
propiedad de conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n
intentos esta dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces
en n intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de
Pascal Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 esta el
exponente del binomio Ejemplo Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo
de Pascal en donde despueacutes del 1 esta el 5 es decir 1 5 10 10 5 1 De igual
manera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se
comienza por 1 y cada nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el segundo el segundo con el tercero el tercero
con el cuarto cuarto con el quinto el quinto con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada recuerde que el uacuteltimo
nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1 1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y 5)yx( desarrolle los mismos aplicando
el triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL 1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma
el valor 0 3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo
a otro 4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara
o no sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q Verificaacutendose que
p + q = 1
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
EJEMPLO 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000 Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 IJna maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas
Sea X = nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan 3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es
10 Sea X = nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se
reciben con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro
opciones y se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35
experimenta una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de
pacientes que experimentan mejoriacutea Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general
que incluya estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el
experimento (1) la produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de
ensayos que cumplen con un criterio especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no en consecuencia cada
ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las preguntas
soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para
este fin ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de
partes defectuosas la produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos
no tiene ninguacuten efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que
la parte nuacutemero 5 es defectuosa no tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea defectuosa Asimismo a menudo es
razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en cada ensayo es constante En el
experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y soacutelo adivina la
respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como
defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que
toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD
x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce
supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama
variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados
por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de
probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n
ensayos en el caso de un experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x fracasos en un orden especificado Tomando
en cuenta que los ensayos son independientes se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados Cada eacutexito ocurre con
una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)
es xnxqp Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el
experimento que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el
otro el cual esta determinado por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial
de n donde por definicioacuten factorial de cero es igual 1) Como esas particiones son
mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de todas las particiones
diferentes para obtener la formula general o se multiplica xnxqp por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un
fracaso con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos
independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos
binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3 )x(f
6427)x(f
6427
649
641
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un
canal de transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en
los proacuteximos cuatro que seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada
resultado Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento
puede describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el
cuarto bit son erroacuteneos y los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x
(09)4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede
construirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos en
dos grupos El tamantildeo de uno de los grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute formado por los ensayos donde no hay
errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
OTROS EJEMPLO
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada puden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas 1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute 3
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q
Hay que notar que las probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
POR EJEMPLO Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple
con cuatro opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las
respuestas de una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el
nuacutemero de respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos
como E los eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene que
P(X=0)
= P(F1F2F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3)
= (34
)3 = 276
4
= 1middot(34)3middot(1
4)0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3)(F1E2
F3)
(F1 F2 E3)]
=
812
56
=
3middot(34)2middot(1
4)1
P(X=2)
=
P[(E1E2F3) (E1F2
E3) (F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)1middot(1
4)2
P(X=
3)
= P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP
(E3)
= (14
)3 = 164
= 1middot(34)0middot(1
4)3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las
poliacuteticas familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
decisiva en la compra de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70
de las familias Suponga que 4 familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos
ejerza una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en
la seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4 familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son
independiente y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una
influencia decisiva en la seleccioacuten de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos
ejerzan una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se
le deja al estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que
enviacutea la fabrica RANICA a un comerciante se lleva a cabo un procedimiento que consiste en seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero
que presenta defectos Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10 seleccionados Se supone que el nuacutemero de
artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de artiacuteculos iquestCuaacutel es la
probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
10
10
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1010
2
10
91110
100010
1010
2
10
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser
igual al obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los
caacutelculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy
grandes Por tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar
valores de x que son altamente improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica Por lo tanto es de gran importancia
conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial
son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea
de contar Las variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y decimales Cuando la variable es continua el modelo
probabiliacutestico que maacutes se usa es la distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado de
contar sus valores posibles variacutean en forma discreta (a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de medir sus valores
posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables
continuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremos
este paralelo con las discretas
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS La variable aleatoria X seraacute continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos es decir puede tomar cualquier valor de R Por ejemplo si
consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de los
estudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=rdquo peso de los estudiantes de una universidadrdquo esta puede tomar valores entre 30 y maacutes
infinito Entonces Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados liacutemites por ejemplo la estatura de un
estudiante
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua X que
toma todos los valores del intervalo [a b] real sigue una distribucioacuten uniforme de
paraacutemetros a y b si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
10)()(
1
)(
xbsiasibxasiab
axxXPxF
bxasiab
xf
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL Se dice que una variable aleatoria continua X tiene
una distribucioacuten normal o de Gauss de paraacutemetros μ y σ si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La representacioacuten graacutefica asiacute coacutemo los significados de la esperanza y varianza son
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL Se dice que una variable aleatoria continua X
tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para
intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o
[a b] o cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas
tienen la funcioacuten de probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de
modo que cuando sea necesario aclarar a cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias
discretas se definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza 2 y la
desviacioacuten tiacutepica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la
variable
XZ tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada
de X Podemos decir que mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica de X
DISTRIBUCIOacuteN NORMAL
Se llama distribucioacuten normal distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue
el primero que demostroacute la siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la
distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto
con el tiacutetulo de Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que
aparece por primera vez la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se conoce como distribucioacuten de Gauss
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con maacutes frecuencia aparece aproximada en fenoacutemenos reales La graacutefica de su funcioacuten de densidad tiene una forma acampanada y es simeacutetrica respecto de un determinado
paraacutemetro La importancia de esta distribucioacuten radica en que permite modelar numerosos fenoacutemenos naturales sociales y psicoloacutegicos
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de
variables continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania) Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que
encontraraacute la suma de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute
asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra el maestro se dio cuenta
de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un humilde albantildeil
Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A esa edad aprendioacute a leer y
hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la escuela
primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades
de la geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del
duque de Brunswick quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten
le interesaban los claacutesicos y los idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono
regular de diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su
profesor quieacuten se demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era
imposible pero Gauss demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo
negar lo evidente afirmoacute que tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y la fecha de su descubrimiento 30 de
Marzo de 1796 fue importante en la historia de las matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos regulares con la
regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de
un poliacutegono de diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas
contribuyoacute a formar una base para encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y
modo son iguales el aacuterea total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05
Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la
media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos desviacuteos estaacutendar encierran un
95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales Administracioacuten
fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es
propio que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de
densidad cuya graacutefica tiene forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de
frecuencias se aproximan a una curva en forma de campana En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de
una especie pejm tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un
faacutermaco o de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de
adaptacioacuten a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten
normal y sus desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las
magnitudes incluida la inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene expresada por la funcioacuten
Donde
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de
frecuencias altas en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidadLa medida de la distancia al valor central es indicado por la
desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribucioacuten normal de
paraacutemetros μ y σ y se denota X~N (μ σ) si su funcioacuten de densidad estaacute dada por
Donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviacioacuten estaacutendar (σ2 es la varianza) Se llama distribucioacuten normal estaacutendar a aqueacutella en la que sus
paraacutemetros toman los valores μ = 0 y σ = 1
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los
dos paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar
visualmente como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la
proporcioacuten de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica y la representamos asiacute )(N Para cada valor de y se
tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la expresioacuten )(N
representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de
densidad es 1 La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene
forma de campana
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre
los valores a y b es el aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL 1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de
variables existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la
media y un 50 de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es igual a una desviacioacuten tiacutepica () Cuanto mayor sea maacutes aplanada
seraacute la curva de la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un
95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La
media indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de
la graacutefica es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el
valor de maacutes se dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes
plana Un valor pequentildeo de este paraacutemetro indica por tanto una gran
probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por
los valores de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y
varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva (probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza un
sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun
cuando las distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten
patroacuten es necesario referirlas en la misma unidad de medida Esta unidad de
medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles transformados a una
unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en
los tres anaacutelisis con las unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe
quedar claro que las comparaciones uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros
hay un nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente al transformar los valores de todas las distribuciones
normales a los valores de una distribucioacuten normal estandarizada (tipificada)
representada por la curva normal estandarizada
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o
tipificada se llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica
en que las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace posible si se convierten las puntuaciones de ambas
distribuciones a puntuaciones z que corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de densidad curva normal tipificada
CARACTERIacuteSTICA DE LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL TIPIFICADA (REDUCIDA O ESTAacuteNDAR)
No depende de ninguacuten paraacutemetro Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad
equivale al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea
bajo cada mitad de la curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la
distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1 se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para
cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento se distribuyen normalmente Si sabemos que el peso medio en el
momento de nacer son 325 Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten
se puede apreciar en la figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg
es de 180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
B)
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por
lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115 C) Una distribucioacuten
63) D)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743 EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096) 3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80
Kg y una desviacioacuten estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los
individuos en esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta
caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla
resultando ser Por lo tanto la probabilidad buscada de que una
persona elegida aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg
es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre 60 y 100 Kg
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe que 977202 )z(P Para la segunda
probabilidad sin embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no
proporcionan el valor de )z(P 2 para valores negativos de la variable Sin
embargo haciendo uso de la simetriacutea de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un
peso entre 60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir
aproximadamente de un 95 Resulta interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el
problema se plantea a la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la
poblacioacuten que se desea estudiar se realizan una serie de mediciones y se desea
extrapolar los resultados obtenidos a la poblacioacuten de origen
EJEMPLO Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa
misma poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una
desviacioacuten estaacutendar muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten
acerca del valor medio real de ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la
teoriacutea estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas
mismas una distribucioacuten normal con igual media que la de la poblacioacuten y
desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten dividida por n En nuestro caso
podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a
partir de la propiedad de la normal se conoce que aproximadamente un 95 de
los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961
Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos pensar en
aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la
poblacioacuten de origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica
subyacente es mucho maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza para la media de una poblacioacuten
EJEMPLO Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante
una va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor
entre 39 y 48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un
valor menor o igual a z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCOacuteMO SE LEE ESTA TABLA
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos
conocer La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
EJEMPLO queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275
Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada
(099702 es decir 997)
ATENCIOacuteN la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde
el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad
concreta en ese punto En una distribucioacuten continua en el que la variable puede
tomar infinitos valores la probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
EJEMPLO Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y
5 La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998
1999791 etc Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115 Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
EJEMPLO el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1
milloacuten de Bs Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada
para ello se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta
probabilidad es 097725
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs
es del 97725
EJERCICIO 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuede que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor
Tenemos un problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es
simeacutetrica respecto al valor medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 09 (90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos
superiores a 557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten
con renta media
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el 08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad
acumulada es del 50 quiere decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de
poblacioacuten con renta media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de
la variable X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297 millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el
60 de la poblacioacuten con un nivel medio de renta
EJERCICIO 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de 25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000
habitantes a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) c) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
d) SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
b)
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
c) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
d) Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt
16) = 00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a
esta edad
EJERCICIO 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59 litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) c) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho
iquestqueacute podriacutea argumentar en su defensa
d) a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 095 (95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de
6787 litros al antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en que nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros
de cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la
bebida
EJERCICIO 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su eacutexito
b) b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se
hayan clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
b) Vamos a ver con ese 77 en que nivel porcentual se ha situado usted para ello
vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada
(ver tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes
como hay 100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual
se podraacute acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT La distribucioacuten t (de Student) es una distribucioacuten de probabilidad que florece
del problema de estimar la media de una poblacioacuten normalmente distribuida cuando el tamantildeo de la muestra es pequentildeo Aparece de manera natural al
realizar la prueba t de Student para la determinacioacuten de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccioacuten del intervalo de confianza para la
diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacioacuten
tiacutepica de una poblacioacuten y eacutesta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra La distribucioacuten t de Student es la distribucioacuten de probabilidad del
cociente
vV
Z donde Z tiene una distribucioacuten normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribucioacuten chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son
independientes Si μ es una constante no nula el cociente
vV
Z es una
variable aleatoria que sigue la distribucioacuten t de Student no central con paraacutemetro de no-centralidad μ
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de
procedimientos un poco diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que por lo general se asocian con la
distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra
caracteriacutestica que permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten
estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las
distribuciones de muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente
normales siendo la aproximacioacuten tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es
adecuada y empeora al decrecer N de modo que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los estadiacutesticos para
pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son
vaacutelidos tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z
dado por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la
poblacioacuten si estos paraacutemetros son desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores
que se pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan
tomar en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos
valores cuya suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10
entonces 10 + b = 36 por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo
conocemos la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute
determinado por el hecho de que los 2 elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la
media de estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima
variable puesto que esa queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad
suponiendo que n es el tamantildeo de la muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar una media de poblacioacuten y se
utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t
alfa = aacuterea a la derecha de t(df alfa)
T~t(df) P(Tgtt(dfalfa))
grados
de libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
DISTRIBUCIOacuteN F Usada en teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten
F es una distribucioacuten de probabilidad continua Tambieacuten se le conoce como distribucioacuten F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribucioacuten F de
Fisher-Snedecor Una variable aleatoria de distribucioacuten F se construye como el
siguiente cociente donde U1 y U2 siguen una distribucioacuten chi-
cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente y U1 y U2 son
estadiacutesticamente independientes
La distribucioacuten F aparece frecuentemente como la distribucioacuten nula de una prueba estadiacutestica especialmente en el anaacutelisis de varianza Veacutease el test F La funcioacuten de
densidad de una F(d1 d2) viene dada por
para todo nuacutemero real x ge 0 donde d1 y d2 son enteros positivos y B es la funcioacuten beta
DISTRIBUCIOacuteN JI CUADRADO La distribucioacuten 2 (de Pearson) llamada Chi
cuadrado o Ji cuadrado es una distribucioacuten de probabilidad continua con un
paraacutemetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria
donde Zi son variables aleatorias normales independientes de
media cero y varianza uno El que la variable aleatoria X tenga esta distribucioacuten se
representa habitualmente asiacute 2
kX Es conveniente tener en cuenta que la
letra griega χ se transcribe al latiacuten como chi y se pronuncia en castellano como ji
Funcioacuten de densidad
donde Γ es la funcioacuten gamma
DISTRIBUCIOacuteN EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribucioacuten exponencial con paraacutemetro szlig Se dice que una variable aleatoria
continua X tiene una distribucioacuten exponencial de paraacutemetro β si su funcioacuten de densidad de probabilidad es
La distribucioacuten exponencial es un caso particular de distribucioacuten gamma con k = 1 Ademaacutes la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucioacuten
exponencial es una variable aleatoria expresable en teacuterminos de la distribucioacuten
gamma
DISTRIBUCIOacuteN UNIFORME (CONTINUA) En teoriacutea de probabilidad y estadiacutestica la distribucioacuten uniforme continua es una familia de distribuciones de
probabilidad para variables aleatorias continuas tales que cada miembro de la familia todos los intervalos de igual longitud en la distribucioacuten en su rango son
igualmente probables El dominio estaacute definido por dos paraacutemetros a y b que son sus valores miacutenimo y maacuteximo La distribucioacuten es a menudo escrita en forma
abreviada como U(ab) La funcioacuten de densidad de probabilidad de la distribucioacuten uniforme continua es
La funcioacuten de distribucioacuten de probabilidad es
001
)(
dondeyxexf
x
BIBLIOGRAFIacuteA
Babbie E (2000) Fundamentos de la Investigacioacuten Social International Thomson
Editores Meacutexico
Benavente del Prado Arturo Nuacutentildeez (1992) Estadiacutestica Baacutesica par Planificacioacuten Editorial Interamericana 6ordf Edicioacuten Meacutexico
Berenso Mark(1992) Estadiacutestica Baacutesica en Administracioacuten Editorial Harla Cuarta Edicioacuten Meacutexico
BestJ W (1987) Como Investigar en Educacioacuten Editorial Morata Madrid ndash Espantildea
Budnick Frank S (1992) Matemaacuteticas Aplicadas para Administracioacuten Economiacutea y Ciencias Sociales Tercera Edicioacuten Editorial McGaw-Hill Interamericana de
Meacutexico SA de CV Meacutexico Caballero Wilfredo (1975) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Editorial ICA Costa Rica
Cadoche L S G Stegmayer J P Burioni y M De Bernardez (1998) Material del Seminario de Encuestas en Educacioacuten impartido viacutea internet por parte de la
Universidad Nacional del Litoral en Santa Fe y de la Universidad Tecnoloacutegica Nacional Regional Santa Fe en la Repuacuteblica de Argentina
Castantildeeda J J(1991) Meacutetodos de Investigacioacuten 2 Editorial McGraw-Hill Meacutexico Carono R Minujin A y Vera G(1982) Manual de teacutecnicas de evaluacioacuten y
ajuste de informacioacuten Estadiacutesticas Fondo de cultura econoacutemica Meacutexico
Chao L(1993) Estadiacutestica para la Ciencia Administrativa Editorial McGraw ndash
Hill 4ta Edicioacuten Colombia Chou Ya-Lun (1972) Anaacutelisis Estadiacutestico Editorial Interamericana Meacutexico
Daniel Wayne W y Otros (1993) Estadiacutestica con Aplicacioacuten a las Ciencias Sociales y a la Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Interamericana de Meacutexico
SA de CV Meacutexico De Oteyza de O E Emma Lam O Carlos Hernaacutendez G y Aacutengel M Carrillo H
(1998) Temas Selectos de Matemaacuteticas Prentice Hall Meacutexico Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002) Censo- Cuestionario- Encuesta
Estadiacutestica Editorial Microsoft corporation USA Erkin Kreyszia (1978) Introduccioacuten a la Estadiacutestica Matemaacutetica Editorial Limusa
SA Meacutexico Ferraacuten Aranaz Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows Anaacutelisis
Estadiacutestico Editorial McGraw-Hill Madrid Ferraacuten Aranaz Magdalena (2001) SPSS para Windows Anaacutelisis Estadiacutestico
Editorial McGraw-Hill Madrid
Filgueira Ester (2001) Anaacutelisis de datos con SPSS Win Alianza Editorial Madrid Freud J E y Otros (1990) Estadiacutestica para la Administracioacuten con Enfoque
Moderno Editorial SA Meacutexico Gomes Rondoacuten Francisco (1985) Estadiacutestica Metodoloacutegica Ediciones Fragor
Caracas Gonzaacutelez Nijad H (1986) Meacutetodos estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial Bourgeoacuten
Caracas Guilford J Y Fruchter B (1984) Estadiacutestica aplicada a la Psicologiacutea y la
Educacioacuten Editorial McGraw-Hill Latinoamericana S A Bogotaacute Hamdan Gonzaacutelez Nijad (1986) Meacutetodos Estadiacutesticos en Educacioacuten Editorial
Bourgeoacuten CA Caracas ndash Venezuela Kevin Richard I (1988) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoamericana Meacutexico Larson Harold J (1985) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades e inferencia
Estadiacutestica Editorial Limusa Meacutexico
Lehmann Charles H (1995) AacuteLGEBRA Editorial limusa SA DE CV Grupo Noriega Editores Meacutexico
Leithold Louis (1992) El Caacutelculo con Geometriacutea Analiacutetica Editorial HARLA Meacutexico
Lincon L CHAO (1996) Estadiacutestica para Ciencias Administrativas Cuarta edicioacuten Editorial McGaw-Hill Usa
Lenin Ry Kubin D(1992) Estadiacutestica para Administradores Editorial
Hispanoameacuterica VI edicioacuten Meacutexico Lopez Casuso R (1984) Introduccioacuten al Caacutelculo de Probabilidades e Inferencia
Estadiacutestica Editorial Instituto de Investigaciones Econoacutemicas UCAB Caracas- Venezuela
Mason Robert (1992) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Economiacutea Ediciones Alfaomega SAN Meacutexico
Mendennaf W y OTROS (1981) Estadiacutestica para Administradores y Economiacutea Editorial Iberoamericana Meacutexico
Mode Elmer B (1988) Elementos de Probabilidades y Estadiacutestica Editorial Reverte MejicanaMeacutexico
Murria R(1993) Estadiacutestica Edicioacuten Interamericana 2da Edicioacuten Meacutexico Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2002) SPSS 11 Guiacutea para
Anaacutelisis de Datos Editorial McGraw-Hill Madrid Pardo Merino Antonio y Ruiz Diacuteaz Miguel Aacutengel (2005) Anaacutelisis de datos con
SPSS 13 Base Editorial McGraw-Hill Madrid
Parzen E (1986) Teoriacutea Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa Meacutexico
Pentildea Daniel y Romo Juan (1999) Introduccioacuten a la estadiacutestica para las Ciencias Sociales Editorial McGraw-Hill Madrid
Peacuterez Loacutepez Ceacutesar 2002 Estadiacutestica aplicada a traveacutes de Excel Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Teacutecnicas Estadiacutesticas con SPSS 12 Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2004) Teacutecnicas de Anaacutelisis Multivariante de Datos Aplicaciones con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2001) Teacutecnicas estadiacutesticas con SPSS Editorial Pearson Prentice Hall Madrid
Peacuterez Loacutepez C (2005) Meacutetodos Estadiacutesticos Avanzados con SPSS Internacional Thomson Editores Spain Madrid
Pugachev V S (1973) Introduccioacuten a la Teoriacutea de Probabilidades Editorial Mir
Moscuacute Rivas Gonzaacutelez Ernesto(1980) Estadiacutestica General Ediciones de la Biblioteca
UCV Caracas ndash Venezuela Ritchey FJ (2002) Estadiacutestica para las Ciencias Sociales Ed McGraw ndash Hill
Meacutexico Saacutenchez Carrioacuten Juan Javier (2004) Manual de anaacutelisis estadiacutestico de los datos
Alianza Editorial Madrid Soto Negrin Armando (1982) Iniciacioacuten a la estadiacutestica Editorial Joseacute Marti
Caracas - Venezuela Spiegel MR y Stephens Larry j (2002) Estadiacutestica Mc Graw Hill Interamericana
de Espantildea SA Madrid Stephen P Shao (1986) Estadiacutestica para Economistas y Administradores de
EmpresaEditorial Herreros Hermanos Sucs SA Meacutexico Stevenson William (1991) Estadiacutestica para la Administracioacuten y Econoacutemica
Editorial Harla Meacutexico
Visauta Vinacua Bienvenido (2002) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows Volumen I Estadiacutestica Baacutesica Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE
ESPANtildeA SAU Meacutexico Visauta Vinacua Bienvenido (2005) Anaacutelisis estadiacutestico con SPSS para Windows
Volumen II Estadiacutestica Multivariante Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE ESPANtildeA SAU Meacutexico
Universidad Nacional Experimental ldquoSimoacuten Rodriacuteguezrdquo (1983) Estadiacutestica 1 Ediciones UNESR Caracas
Walpole R y Myers R (1987) Probabilidad y Estadiacutestica para Ingenieros Editorial Interamericana Meacutexico
Webster Allen L (2001) Estadiacutestica Aplicada a los Negocios y la Economiacutea Editorial McGraw ndash Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA SAU Colombia
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA deCV
Meacutexico Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
BIBLIOWEB
httpssitesgooglecomsiteeducacionvirtualdelsigloxxi
httpssitesgooglecomsiteaprendizajedeestadistica httpssitesgooglecomsiteestadisticaconelspss
httphamletyelaprendizajevirtualjimdocom httpaprendizajevirtuylasticwordpresscom
httphamletylaestadisticaugmajimdocom httpaprendizajevirtuaylasticjimdocom
httpssitesgooglecomsitehamletylastic httphamletyestadisticaspssjimdocom
httpwwwudemycomdraft12005 httprossyindriagosilvajimdocom
httpequposanantoniojimdocom httphamletmudjimdocom
httppostgradougmajimdocom httpwwwbioestadisticaumaeslibro
httpwwwhrcesbioestMdocentehtmltema1
httpwwwmailxmailcomcursoinformaticaspssespanolcapitulo1htm (SPSS) httpwwwaulafacilcominvestigacionspssLecc-6htm (SPSS)
httphomeubalteduntsbarshBusiness-statopre504Shtm httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Continuashtml
httpwwwbioestadisticafreeserverscomfarprohtml httpwwwgestiopoliscomcanalesfinancieraarticulos36estaprohtm
httpwwwhrcesbioestReglin_8html httpwwwmonografiascomtrabajos20estadisticaestadisticashtml
httpnutriservercomCursosBioestadisticaDistribuciones_Bidimensionaleshtml httpwwwterraespersonal2jpb00000tvariablealeatoriahtm
httpwwwterraespersonal2jpb00000tinferenciahtmmuestreoaleatoriosimple
httpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_de_probabilidad httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm
httpsapiensyacommatagusunidad6htm httpziprincondelvagocom00044092
httpwwwseh-lelhaorgregresion1htm httpwwweumednetcurseconmedirintrodhtm
httpencyclopedie-essnykecomarticlesdistribucion_de_probabilidadhtml httpwwwseh-lelhaorgconcor2htm
httpwwwseh-lelhaorgnoparamehtm httpwwwinfufscbrceepasta1art4html
httpwwwinfufscbrceepasta4art1p4html httpbuscarhispavistacomcadena=Aprende+estadistica
httpwwwpsicolunammxCim2000Estadisticajournal_of_statistics_educationhtm
httpwwwstatservcomsoftwareshtml httpwwwstatisticscom
httpe-stadisticabioucmesweb_spssentorno_de_trabajo_del_SPSShtml
httpwwwhrcesbioestIntroducion_chhtml httpwwwhrcesbioestM_docentehtmltema2
httpmemberstripodcom~beatriztverdad5html httpwwwmonografiascomtrabajos5estadmestadmshtml
httpwwwmonografiascomtrabajos10estaestashtml httpplateapnticmeces~jescuderestadisthtm
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf httpwwwfisterracommaterialinvestigadistr_normaldistr_normalhtm
httpwwwcaibesibaeesdevenimentjornades_10_01docEstepa-Jornadas-Mallorcadoc
top related