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Uso de la teoría de la medida en lacaracterización de la integral de

Lebesgue-Stieltjes

José Villa M.

Universidad Autónoma de AguascalientesDepartamento de Matemáticas y Física

jvilla@correo.uaa.mx

Centro de Investigación en Matemáticas, Julio 2011

José Villa M. (UAA) Integral de Lebesgue-Stieltjes CIMAT 1 / 47

Contenido

1 Introducción

2 Teoría de la Medida

3 Integral de Lebesgue-Stieltjes

4 Ejemplo : El movimiento Browniano

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Contenido

1 Introducción

2 Teoría de la Medida

3 Integral de Lebesgue-Stieltjes

4 Ejemplo : El movimiento Browniano

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Introducción a las EDE con ruido aditivo

Muchos fenómenos naturales se pueden modelar por medio de EDO

ddt X (t) = a(X (t)), X (0) = x0.

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Introducción a las EDE con ruido aditivo

Muchos fenómenos naturales se pueden modelar por medio de EDO

ddt X (t) = a(X (t)), X (0) = x0.

En forma integral,

X (t) = x0 +∫ t

0a(X (s))ds.

Las soluciones de estas equaciones son curvas suaves X (t) querepresentan el estado del sistema a cada instante.

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Ejemplo :

El crecimiento poblacional, según la teoría de Maltus, cumple (a > 0)

ddt X (t) = aX (t), X (0) = x0.

En este caso la solución es

X (t) = x0eat .

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El crecimiento poblaciónal, según la teoría de Maltus, cumpleX (t) = x0eat :

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Un comportamiento más real es de la forma :

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RuidoLa modelación matemática por medio de EDO, en cierto modoasume que se conocen todos los parámetros involucrados. Esto no esposible en algunas ocaciones. Hay que añadir una perturbaciónaleatoria, ξ = ξ(t) : t ≥ 0

ddt X (t) = a(X (t)) + ξ(t), X (0) = x0.

Podemos escribir

dX (t) = a(X (t))dt + ξ(t)dt, X (0) = x0,

es decirX (t) = x0 +

∫ t

0a(X (s))ds +

∫ t

0ξ(s)ds.

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Ejemplo, continuación :

La ecuaciónX (t) = x0 +

∫ t

0aX (s)ds + W (t),

donde W (t) =∫ t

0 ξ(s)ds, se puede resolver explicitamente

X (t) = x0eat + eat∫ t

0e−asdW (s).

(Derívese)

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Integradores

El propósito es estudiar la integral de funciones f : I → R, dondeI = [a, b], con respecto a integradores adecuados g : I → R :∫ b

af (x)dg(x).

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1 Introducción

2 Teoría de la Medida

3 Integral de Lebesgue-Stieltjes

4 Ejemplo : El movimiento Browniano

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Teoría de la Medida

Definición : Sea X 6= ∅. Una familia A de subconjuntos de X es unaσ-álgebra si :1) X ∈ A.2) Si A ∈ A, entonces Ac ∈ A.3) ∪∞n=1An ∈ A, siempre que An ∈ A, n ∈ N.

(X ,A) se llama espacio medible.

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Ejemplo :

La σ-álgebra de Borel en I = [a, b] se define por

B(I) = σ(conjuntos abiertos en I) =⋂

abiertos en I ⊂ A,A es σ-álgebra en I

A.

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Medidas

Definición : Sean (X ,A) y µ : A → [0,∞]. La función µ es unamedida si1) µ(∅) = 0.2) Si (An) es ajena a pares, entonces

µ

( ∞⋃n=1

An

)=∞∑

n=1µ (An) .

(X ,A, µ) se llama espacio de medida.

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Construcción de medidas :

Teorema (Extensión de Caratheodory) : Sea µ una medida en unaálgebra A. Existe una medida µ∗ en una σ-álgebra A∗ tal queA ⊂ A∗ y µ∗|A = µ.

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Ejemplo : Medida de Lebesgue-Stieltjes

Sea f : I → R una función creciente. Sea

C(I) = (x , y ] : x , y ∈ I.

Definamos la función λf en C(I) por

λf ((x , y ]) = f (y)− f (x).

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Ejemplo : Medida de Lebesgue-StieltjesLa colección

F(I) =

n⋃i=1

Ii : Ii ∈ C(I), Ii ajena, n ∈ N

es una álgebra y

λf

( n⋃i=1

Ii)

=n∑

i=1λf (Ii)

es una medida en F(I).Sin embargo [x , y ] /∈ F(I). Por el TEC se tiene que existe unamedida (Lebesgue-Stieltjes) λ∗f en F(I)∗ que extiende a λf tal que

λ∗f ([x , y ]) = f (y)− f (x−).

Si f (x) = x se llama medida de Lebesgue.

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Funciones medibles

Definición : Decimos que f : X → R es medible si

f −1((−∞, α]) ⊂ A, ∀α ∈ R.

Intuitivamente, esto significa que una función f será medible si elconjunto de puntos para los cuales las función, evaluada en estospuntos, supera cualquier nivel es de interés.

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Funciones simples y su integralDefinición : Una función f : X → R se llama simple si toma unnúmero finito de valores.Por ende, si f (X ) = y1, ..., yn, entonces

f =n∑

i=1yi1f −1(yi).

Definición : Sea f ∈ M+(X ,A) simple. La integral de f cra µ es∫fdµ =

∫ ( n∑i=1

yi1f −1(yi)

)dµ

=n∑

i=1yi

∫1f −1(yi)dµ

=n∑

i=1yiµ(f −1(yi)).

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Integral de funciones mediblesLema : Para cada f ∈ M+(X ,A) existe una sucesión (fn) defunciones simples tal que1) fn ≥ 0, medible,2) fn(x) ≤ fn+1(x), ∀x ∈ X , ∀n ∈ N,3) limn→∞ fn(x) = f (x), ∀x ∈ X .

Definición : Si f ∈ M+(X ,A) definimos la integral de f cra µ∫fdµ = lim

n→∞

∫fndµ.

Recuerde que f = f + − f − = (f ∨ 0)− (−f ∨ 0).

Definición : Diremos que f ∈ M(X ,A) es integrable cra µ si∫f +dµ <∞ y

∫f −dµ <∞ y∫

fdµ =∫

f +dµ−∫

f −dµ.

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Descomposición de medidas

Una medida con signo (carga) es, básicamente, una función σ-aditivaque puede tomar valores negativos.

Ejemplo : Sea f : X → R integrable,

ν(A) =∫

Afdµ,

ademásν(A) =

∫A

f +dµ−∫

Af −dµ.

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Descomposición de medidasEjemplo : Sea f : X → R integrable,

ν(A) =∫

Afdµ,

ademásν(A) =

∫A

f +dµ−∫

Af −dµ.

Teorema (Hahn-Jordan) : Sea ν una medida signada en (X ,A).Entonces existen medidas ν+, ν− en (X ,A) tal que

ν = ν+ − ν−.

La medida

|ν| = ν+ + ν−

se llama variación total de ν.José Villa M. (UAA) Integral de Lebesgue-Stieltjes CIMAT 23 / 47

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1 Introducción

2 Teoría de la Medida

3 Integral de Lebesgue-Stieltjes

4 Ejemplo : El movimiento Browniano

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Funciones de variación acotada

Sea I = [a, b] y f : I → R. Se dice que f es de variación acotada si

supπ

N∑i=1|f (ti)− f (ti−1)|<∞,

donde π = t0, . . . , tN, a = t0 < t1 < · · · < tN = b.

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Funciones de variación acotadaSe dice que f es de variación acotada si

supπ

N∑i=1|f (ti)− f (ti−1)| <∞,

donde π = t0, . . . , tN, a = t0 < t1 < · · · < tN = b.

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Una función es de variación acotada si y sólo si es de longitud finita.

|f (tn+1)− f (tn)| ≤√

(f (tn+1)− f (tn))2 + (tn+1 − tn)2

≤ |f (tn+1)− f (tn)|+ |tn+1 − tn|.

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No siempre una función continua es de variación acotada :

0 < 1π2 + 0 <

1π2 + π

< · · · · < 1π2 + Nπ < 1,

N∑i=1| 1

π2 + iπ sin(π2 + iπ)− 1

π2 + (i − 1)π sin(π2 + (i − 1)π)| ≥

N∑i=1

2π2 + iπ .

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Variación total, positiva y negativa

Sea f : I → R. Su variación positiva y negativa respecto a π son

Pπ(f ) =N∑

i=1[f (ti)− f (ti−1)]+ y Nπ(f ) =

N∑i=1

[f (ti)− f (ti−1)]−.

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Variación total, positiva y negativa

Sea f : I → R. Su variación positiva y negativa respecto a π son

Pπ(f ) =N∑

i=1[f (ti)− f (ti−1)]+ y Nπ(f ) =

N∑i=1

[f (ti)− f (ti−1)]−.

Observación : Si I = [a, b],

f (b)− f (a) = Pπ(f )− Nπ(f )⇒ f (b) = (Pπ(f )− Nπ(f )) + f (a).

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Funciones variación positiva y negativa

La función variación positiva es

x 7→ P[a,x ](f ),

donde

P[a,x ](f ) = supπ

Pπ(f ) = supπ

N∑i=1

[f (ti)− f (ti−1)]+.

Análogamente se define la función variación negativa, N[a,x ](f ).

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Funciones variación positiva y negativa

La función variación positiva es

x 7→ P[a,x ](f ),

donde

P[a,x ](f ) = supπ

Pπ(f ) = supπ

N∑i=1

[f (ti)− f (ti−1)]+.

Observación : Si x < y ,

P[a,y ](f ) = P[a,x ](f ) + P[x ,y ](f ).

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Descomposición de las funciones de variaciónacotada

Teorema : Si f es una función de variación acotada sobre I , entoncesse descompone como diferencia de dos funciones no decrecientes.

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Descomposición de las funciones de variaciónacotada

Teorema : Si f es una función real de variación acotada sobre I ,entonces se descompone como diferencia de dos funciones nodecrecientes.

Demostración. Ya sabemos que

f (x) =[P[a,x ](f ) +

12 f (a)

]−[N[a,x ](f )− 1

2 f (a)].

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Integral de Lebesgue-Stieltjes

Sea g : I → R una función de variación acotada tal que

g = g1 − g2,

con gi función creciente. Si f : I → R es medible, se define∫Ifdg =

∫Ifdg1 −

∫Ifdg2,

cuando ambas integrales son finitas.

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Buenos integradores

Teorema : Sea g : I = [a, b]→ R acotada. La función

µg ((x , y ]) = g(y)− g(x), x < y ,

se extiende a una medida signada en B(I) si y sólo si g es devariación acotada.

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Teorema : Sea g : I = [a, b]→ R acotada. La función

µg ((x , y ]) = g(y)− g(x), x < y ,

se extiende a una medida signada en B(I) si y sólo si g es devariación acotada.Demostración : Sea π = t0 < t1 < · · · < tN−1 < tN,

N∑i=1|g(ti)− g(ti−1)| =

N∑i=1|µg ((ti−1, ti ])|

≤N∑

i=1|µg |((ti−1, ti ])

= |µg |((a, b])<∞.

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Buenos integradores

Teorema : Sea g : I = [a, b]→ R acotada. La función

µg ((x , y ]) = g(y)− g(x), x < y ,

se extiende a una medida signada en B(I) si y sólo si g es devariación acotada.

Demostración. Recíprocamente, si g es de variación acotadaentonces g = g1 − g2, así se tiene la descomposición,

µg = µg1 − µg2 .

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2 Teoría de la Medida

3 Integral de Lebesgue-Stieltjes

4 Ejemplo : El movimiento Browniano

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Sea W = Wt , t ≥ 0 un movimiento Browniano definido en unespacio de probabilidad (Ω,F ,P). Es decir, W es un procesoestocástico que satisface :1) Para cada t0 < t1 < · · · < tn las variables aleatorias Wt0 ,Wt1 −Wt0 , ...,Wtn −Wtn−1 son independientes. Se dice que W tieneincrementos independientes.2) Si s, t ≥ 0, entonces para cada z ∈ R

PWs+t −Ws ≤ z =1√2πt

∫ z

−∞exp

(−x2

2t

)dx .

En este caso se dice que los incrementos de W son Gaussianos yestacionarios.3) Con probabilidad 1, W0 = 0 y las trayectorias t 7→ Wt soncontinuas.

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Proposición : Sea π = t0, ..., tN una partición de [a, b] y||π|| = max1≤i≤N |ti − ti−1|, entonces

N∑i=1|Wti −Wti−1|2 → b − a,

en L2, cuando ||π|| → 0.Demostración : Nótese que

Y 2N = (

N∑i=1|Wti −Wti−1|2 − (b − a))2

= (N∑

i=1[|Wti −Wti−1|2 − (ti − ti−1)])2

= (N∑

i=1Xi)

2 =N∑

i=1X 2

i + 2∑i<j

XiXj .

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E (X 2i ) = 2(ti − ti−1)2, E (XiXj) = 0,

así

E (Y 2N) = 2

N∑i=1

(ti − ti−1)2

≤ 2||π||N∑

i=1(ti − ti−1)

= 2(b − a)||π|| → 0,

cuando ||π|| → 0.

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Teorema : Las trayectorias del movimiento Browniano son c.s. devariación no acotada. Es decir, si (πn) es una sucesión de particionesde [a, b], entonces

N∑i=1|Wti −Wti−1| → ∞, c.s.

cuando ||πn|| → 0.Demostración : Supongamos que, la variación total,

V (W ; a, b) = supπ

N∑i=1|Wti −Wti−1| <∞,

asíN∑

i=1|Wti −Wti−1|2 ≤ max

1≤i≤N|Wti −Wti−1|

N∑i=1|Wti −Wti−1|

≤ ( max1≤i≤N

|Wti −Wti−1|)V (W ; a, b).

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Por otra parte, tenemos que c.s.

max1≤i≤N

|Wti −Wti−1| → 0, ||πn|| → 0.

Por endeN∑

i=1|Wti −Wti−1|2 → 0, en Probabilidad.

Lo que es una contradicción.

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Bibliografía

[1] C.S. Kubrusly (2007), Measure Theory, a First Course, AcademicPress.

[2] E. DiBenedetto (2002), Real Analysis, Birkhauser.

[3] H.H. Kuo (2005), Introduction to Stochastic Integration,Springer.

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Gracias por la Atención

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