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Uso de la teoría de la medida en lacaracterización de la integral de
Lebesgue-Stieltjes
José Villa M.
Universidad Autónoma de AguascalientesDepartamento de Matemáticas y Física
Centro de Investigación en Matemáticas, Julio 2011
José Villa M. (UAA) Integral de Lebesgue-Stieltjes CIMAT 1 / 47
Contenido
1 Introducción
2 Teoría de la Medida
3 Integral de Lebesgue-Stieltjes
4 Ejemplo : El movimiento Browniano
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Contenido
1 Introducción
2 Teoría de la Medida
3 Integral de Lebesgue-Stieltjes
4 Ejemplo : El movimiento Browniano
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Introducción a las EDE con ruido aditivo
Muchos fenómenos naturales se pueden modelar por medio de EDO
ddt X (t) = a(X (t)), X (0) = x0.
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Introducción a las EDE con ruido aditivo
Muchos fenómenos naturales se pueden modelar por medio de EDO
ddt X (t) = a(X (t)), X (0) = x0.
En forma integral,
X (t) = x0 +∫ t
0a(X (s))ds.
Las soluciones de estas equaciones son curvas suaves X (t) querepresentan el estado del sistema a cada instante.
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Ejemplo :
El crecimiento poblacional, según la teoría de Maltus, cumple (a > 0)
ddt X (t) = aX (t), X (0) = x0.
En este caso la solución es
X (t) = x0eat .
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El crecimiento poblaciónal, según la teoría de Maltus, cumpleX (t) = x0eat :
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Un comportamiento más real es de la forma :
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RuidoLa modelación matemática por medio de EDO, en cierto modoasume que se conocen todos los parámetros involucrados. Esto no esposible en algunas ocaciones. Hay que añadir una perturbaciónaleatoria, ξ = ξ(t) : t ≥ 0
ddt X (t) = a(X (t)) + ξ(t), X (0) = x0.
Podemos escribir
dX (t) = a(X (t))dt + ξ(t)dt, X (0) = x0,
es decirX (t) = x0 +
∫ t
0a(X (s))ds +
∫ t
0ξ(s)ds.
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Ejemplo, continuación :
La ecuaciónX (t) = x0 +
∫ t
0aX (s)ds + W (t),
donde W (t) =∫ t
0 ξ(s)ds, se puede resolver explicitamente
X (t) = x0eat + eat∫ t
0e−asdW (s).
(Derívese)
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Integradores
El propósito es estudiar la integral de funciones f : I → R, dondeI = [a, b], con respecto a integradores adecuados g : I → R :∫ b
af (x)dg(x).
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2 Teoría de la Medida
3 Integral de Lebesgue-Stieltjes
4 Ejemplo : El movimiento Browniano
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Teoría de la Medida
Definición : Sea X 6= ∅. Una familia A de subconjuntos de X es unaσ-álgebra si :1) X ∈ A.2) Si A ∈ A, entonces Ac ∈ A.3) ∪∞n=1An ∈ A, siempre que An ∈ A, n ∈ N.
(X ,A) se llama espacio medible.
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Ejemplo :
La σ-álgebra de Borel en I = [a, b] se define por
B(I) = σ(conjuntos abiertos en I) =⋂
abiertos en I ⊂ A,A es σ-álgebra en I
A.
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Medidas
Definición : Sean (X ,A) y µ : A → [0,∞]. La función µ es unamedida si1) µ(∅) = 0.2) Si (An) es ajena a pares, entonces
µ
( ∞⋃n=1
An
)=∞∑
n=1µ (An) .
(X ,A, µ) se llama espacio de medida.
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Construcción de medidas :
Teorema (Extensión de Caratheodory) : Sea µ una medida en unaálgebra A. Existe una medida µ∗ en una σ-álgebra A∗ tal queA ⊂ A∗ y µ∗|A = µ.
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Ejemplo : Medida de Lebesgue-Stieltjes
Sea f : I → R una función creciente. Sea
C(I) = (x , y ] : x , y ∈ I.
Definamos la función λf en C(I) por
λf ((x , y ]) = f (y)− f (x).
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Ejemplo : Medida de Lebesgue-StieltjesLa colección
F(I) =
n⋃i=1
Ii : Ii ∈ C(I), Ii ajena, n ∈ N
es una álgebra y
λf
( n⋃i=1
Ii)
=n∑
i=1λf (Ii)
es una medida en F(I).Sin embargo [x , y ] /∈ F(I). Por el TEC se tiene que existe unamedida (Lebesgue-Stieltjes) λ∗f en F(I)∗ que extiende a λf tal que
λ∗f ([x , y ]) = f (y)− f (x−).
Si f (x) = x se llama medida de Lebesgue.
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Funciones medibles
Definición : Decimos que f : X → R es medible si
f −1((−∞, α]) ⊂ A, ∀α ∈ R.
Intuitivamente, esto significa que una función f será medible si elconjunto de puntos para los cuales las función, evaluada en estospuntos, supera cualquier nivel es de interés.
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Funciones simples y su integralDefinición : Una función f : X → R se llama simple si toma unnúmero finito de valores.Por ende, si f (X ) = y1, ..., yn, entonces
f =n∑
i=1yi1f −1(yi).
Definición : Sea f ∈ M+(X ,A) simple. La integral de f cra µ es∫fdµ =
∫ ( n∑i=1
yi1f −1(yi)
)dµ
=n∑
i=1yi
∫1f −1(yi)dµ
=n∑
i=1yiµ(f −1(yi)).
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Integral de funciones mediblesLema : Para cada f ∈ M+(X ,A) existe una sucesión (fn) defunciones simples tal que1) fn ≥ 0, medible,2) fn(x) ≤ fn+1(x), ∀x ∈ X , ∀n ∈ N,3) limn→∞ fn(x) = f (x), ∀x ∈ X .
Definición : Si f ∈ M+(X ,A) definimos la integral de f cra µ∫fdµ = lim
n→∞
∫fndµ.
Recuerde que f = f + − f − = (f ∨ 0)− (−f ∨ 0).
Definición : Diremos que f ∈ M(X ,A) es integrable cra µ si∫f +dµ <∞ y
∫f −dµ <∞ y∫
fdµ =∫
f +dµ−∫
f −dµ.
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Descomposición de medidas
Una medida con signo (carga) es, básicamente, una función σ-aditivaque puede tomar valores negativos.
Ejemplo : Sea f : X → R integrable,
ν(A) =∫
Afdµ,
ademásν(A) =
∫A
f +dµ−∫
Af −dµ.
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Descomposición de medidasEjemplo : Sea f : X → R integrable,
ν(A) =∫
Afdµ,
ademásν(A) =
∫A
f +dµ−∫
Af −dµ.
Teorema (Hahn-Jordan) : Sea ν una medida signada en (X ,A).Entonces existen medidas ν+, ν− en (X ,A) tal que
ν = ν+ − ν−.
La medida
|ν| = ν+ + ν−
se llama variación total de ν.José Villa M. (UAA) Integral de Lebesgue-Stieltjes CIMAT 23 / 47
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4 Ejemplo : El movimiento Browniano
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Funciones de variación acotada
Sea I = [a, b] y f : I → R. Se dice que f es de variación acotada si
supπ
N∑i=1|f (ti)− f (ti−1)|<∞,
donde π = t0, . . . , tN, a = t0 < t1 < · · · < tN = b.
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Funciones de variación acotadaSe dice que f es de variación acotada si
supπ
N∑i=1|f (ti)− f (ti−1)| <∞,
donde π = t0, . . . , tN, a = t0 < t1 < · · · < tN = b.
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Una función es de variación acotada si y sólo si es de longitud finita.
|f (tn+1)− f (tn)| ≤√
(f (tn+1)− f (tn))2 + (tn+1 − tn)2
≤ |f (tn+1)− f (tn)|+ |tn+1 − tn|.
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No siempre una función continua es de variación acotada :
0 < 1π2 + 0 <
1π2 + π
< · · · · < 1π2 + Nπ < 1,
N∑i=1| 1
π2 + iπ sin(π2 + iπ)− 1
π2 + (i − 1)π sin(π2 + (i − 1)π)| ≥
N∑i=1
2π2 + iπ .
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Variación total, positiva y negativa
Sea f : I → R. Su variación positiva y negativa respecto a π son
Pπ(f ) =N∑
i=1[f (ti)− f (ti−1)]+ y Nπ(f ) =
N∑i=1
[f (ti)− f (ti−1)]−.
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Variación total, positiva y negativa
Sea f : I → R. Su variación positiva y negativa respecto a π son
Pπ(f ) =N∑
i=1[f (ti)− f (ti−1)]+ y Nπ(f ) =
N∑i=1
[f (ti)− f (ti−1)]−.
Observación : Si I = [a, b],
f (b)− f (a) = Pπ(f )− Nπ(f )⇒ f (b) = (Pπ(f )− Nπ(f )) + f (a).
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Funciones variación positiva y negativa
La función variación positiva es
x 7→ P[a,x ](f ),
donde
P[a,x ](f ) = supπ
Pπ(f ) = supπ
N∑i=1
[f (ti)− f (ti−1)]+.
Análogamente se define la función variación negativa, N[a,x ](f ).
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Funciones variación positiva y negativa
La función variación positiva es
x 7→ P[a,x ](f ),
donde
P[a,x ](f ) = supπ
Pπ(f ) = supπ
N∑i=1
[f (ti)− f (ti−1)]+.
Observación : Si x < y ,
P[a,y ](f ) = P[a,x ](f ) + P[x ,y ](f ).
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Descomposición de las funciones de variaciónacotada
Teorema : Si f es una función de variación acotada sobre I , entoncesse descompone como diferencia de dos funciones no decrecientes.
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Descomposición de las funciones de variaciónacotada
Teorema : Si f es una función real de variación acotada sobre I ,entonces se descompone como diferencia de dos funciones nodecrecientes.
Demostración. Ya sabemos que
f (x) =[P[a,x ](f ) +
12 f (a)
]−[N[a,x ](f )− 1
2 f (a)].
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Integral de Lebesgue-Stieltjes
Sea g : I → R una función de variación acotada tal que
g = g1 − g2,
con gi función creciente. Si f : I → R es medible, se define∫Ifdg =
∫Ifdg1 −
∫Ifdg2,
cuando ambas integrales son finitas.
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Buenos integradores
Teorema : Sea g : I = [a, b]→ R acotada. La función
µg ((x , y ]) = g(y)− g(x), x < y ,
se extiende a una medida signada en B(I) si y sólo si g es devariación acotada.
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Teorema : Sea g : I = [a, b]→ R acotada. La función
µg ((x , y ]) = g(y)− g(x), x < y ,
se extiende a una medida signada en B(I) si y sólo si g es devariación acotada.Demostración : Sea π = t0 < t1 < · · · < tN−1 < tN,
N∑i=1|g(ti)− g(ti−1)| =
N∑i=1|µg ((ti−1, ti ])|
≤N∑
i=1|µg |((ti−1, ti ])
= |µg |((a, b])<∞.
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Buenos integradores
Teorema : Sea g : I = [a, b]→ R acotada. La función
µg ((x , y ]) = g(y)− g(x), x < y ,
se extiende a una medida signada en B(I) si y sólo si g es devariación acotada.
Demostración. Recíprocamente, si g es de variación acotadaentonces g = g1 − g2, así se tiene la descomposición,
µg = µg1 − µg2 .
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2 Teoría de la Medida
3 Integral de Lebesgue-Stieltjes
4 Ejemplo : El movimiento Browniano
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Sea W = Wt , t ≥ 0 un movimiento Browniano definido en unespacio de probabilidad (Ω,F ,P). Es decir, W es un procesoestocástico que satisface :1) Para cada t0 < t1 < · · · < tn las variables aleatorias Wt0 ,Wt1 −Wt0 , ...,Wtn −Wtn−1 son independientes. Se dice que W tieneincrementos independientes.2) Si s, t ≥ 0, entonces para cada z ∈ R
PWs+t −Ws ≤ z =1√2πt
∫ z
−∞exp
(−x2
2t
)dx .
En este caso se dice que los incrementos de W son Gaussianos yestacionarios.3) Con probabilidad 1, W0 = 0 y las trayectorias t 7→ Wt soncontinuas.
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Proposición : Sea π = t0, ..., tN una partición de [a, b] y||π|| = max1≤i≤N |ti − ti−1|, entonces
N∑i=1|Wti −Wti−1|2 → b − a,
en L2, cuando ||π|| → 0.Demostración : Nótese que
Y 2N = (
N∑i=1|Wti −Wti−1|2 − (b − a))2
= (N∑
i=1[|Wti −Wti−1|2 − (ti − ti−1)])2
= (N∑
i=1Xi)
2 =N∑
i=1X 2
i + 2∑i<j
XiXj .
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E (X 2i ) = 2(ti − ti−1)2, E (XiXj) = 0,
así
E (Y 2N) = 2
N∑i=1
(ti − ti−1)2
≤ 2||π||N∑
i=1(ti − ti−1)
= 2(b − a)||π|| → 0,
cuando ||π|| → 0.
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Teorema : Las trayectorias del movimiento Browniano son c.s. devariación no acotada. Es decir, si (πn) es una sucesión de particionesde [a, b], entonces
N∑i=1|Wti −Wti−1| → ∞, c.s.
cuando ||πn|| → 0.Demostración : Supongamos que, la variación total,
V (W ; a, b) = supπ
N∑i=1|Wti −Wti−1| <∞,
asíN∑
i=1|Wti −Wti−1|2 ≤ max
1≤i≤N|Wti −Wti−1|
N∑i=1|Wti −Wti−1|
≤ ( max1≤i≤N
|Wti −Wti−1|)V (W ; a, b).
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Por otra parte, tenemos que c.s.
max1≤i≤N
|Wti −Wti−1| → 0, ||πn|| → 0.
Por endeN∑
i=1|Wti −Wti−1|2 → 0, en Probabilidad.
Lo que es una contradicción.
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Bibliografía
[1] C.S. Kubrusly (2007), Measure Theory, a First Course, AcademicPress.
[2] E. DiBenedetto (2002), Real Analysis, Birkhauser.
[3] H.H. Kuo (2005), Introduction to Stochastic Integration,Springer.
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Gracias por la Atención
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