upn_dinam_s01(2014) (1)
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S01. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
Campos escalares y vectoriales que dependen de una sola variable. Diferenciación total y parcial de un vector. Geometría diferencial. Operaciones vectoriales.
Las corrientes marinas, ¿ se describen escalar o
vectorialmente?
LOGROS
• Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas geométricos y físicos basándose en la teoría de campos escalares y vectoriales, en forma correcta.
CAMPOS ESCALARES
• Si en cada punto (x,y,z) de una región R del espacio se le puede asociar una función Φ(x,y,z), entonces se tiene una función escalar Φ en R.
• Una función escalar define un campo escalar en una región o, en una superficie o en una curva
• Ejemplo. Temperaturas en el interior de un edificio.
3 2(x,y,z) x y z
Distribución de temperaturas en edificios
EJEMPLO
Viga en voladizo sometida a una carga puntual. Distribución de la componente de esfuerzo normal en dirección x para los
pasos de carga representativos
CAMPOS VECTORIALES
• Si en cada punto (x,y,z) de una región R del espacio se le puede asociar un vector V(x,y,z), se tiene una función vectorial.
• Una función vectorial define un campo vectorial en una región del espacio.
• Ejemplo. Las velocidades en cada punto (x,y,z) de un fluido determinan un campo vectorial.
V = (3xy) i + (2x-3z) j + (2x2y2 – z2) k
EJEMPLO
Campo de velocidades de las corrientes marinas a nivel continental
EJERCICIO
• ¿En las figuras mostradas, cuáles representan campos escalares y cuáles son campos vectoriales?, ¿Qué diferencias encuentra en las características de dichos campos?
(a) (b)
(c) (d)
PRODUCTO ESCALAR
• Dados dos vectores,
• el producto escalar se define como
• Propiedades
B
A y B
A B A B cos
A
A B B A
A (B C) A B A C
i j 0
i i 1
k i 0
j k 0
j j 1
k k 1
PRODUCTO VECTORIAL
A y B
C A B A B sen
• Propiedades• Dados dos vectores,
• el producto vectorial se define como
A
B
C
A B B A
A (B C) A B A C
i j k
i i 0
i k j
j k i
j j 0
k k 0
PRODUCTO VECTORIAL
• Otra expresión del producto vectorial
• ¿A qué es igual el producto vectorial de los vectores A y B?
x y z
x y z
i j kA B A A A
B B B
A 3 i 2 j 4 k
B 2 i 2 j k
DERIVADA TOTAL DE UN VECTOR
Si R(u) es una función de la variable escalar u, la derivada total de dicha función respecto de u se expresa como
u 0
dR(u) R(u u) R(u)lim
du u
INTEGRAL DE UN VECTOR
o Si se tiene un vector función de una sola variable escalar, entonces se considera que
o Si se encuentra un vector función que cumple con la siguiente condición:
o Las integrales de R serán
x y zR(u)du i R (u)du j R (u)du k R (u)du.
dS(u)R(u) ,
du
R(u)du S(u) C
b
aR(u)du S(b) S(a)
EJERCICIO
Determinar las magnitudes del vector velocidad y el vector
aceleración de la partícula para t = 0,25
4Sent 2e )t2t3(r2t3
i j k
La posición de una partícula en el espacio está dada por la siguiente expresión vectorial:
El vector aceleración de una partícula en movimiento, se define
por la siguiente expresión:
EJERCICIO
t- ta 2-2
i j
Determinar el vector velocidad y el vector posición de la partícula
para t = 4s, si se sabe que en t = 1s:
2
1
4
1r 1v
i jj
m/s2
m/s m
INTEGRAL CURVILÍNEA O DE LÍNEA
o Sea
o El vector posición de los puntos de una curva C que pasa por los puntos P1 y P2 correspondientes a u=u1 y u=u2, respectivamente.
o Supongamos que C se compone de un número infinito de arcos en los que r(u) tiene derivada continua. Sea A(x,y,z)=Ax
i+Ay j+Az k una función vectorial de posición definida y continua a lo largo de C. La integral de la componente tangencial de A según C desde P1 hasta P2.
r (u) x(u) i y(u) j z(u)k
2
1
P
P C Cz
Cyx
C
dzAdyAdxArdArdA
EJERCICIO
Una partícula es movida a lo
largo de la parábola y = x2 desde
el punto A(-1,1) hasta el punto
B(2,4). Determinar el trabajo
efectuado si el movimiento es
ocasionado por el campo de
fuerza:
Suponga que el arco se mide en
metros y la fuerza en Newtons.
y3x )yx(F 222)y,x(
i j
OPERADOR NABLA
• Se representa por , se le conoce más comúnmente con el nombre de operador nabla, y se define por
• Este operador vectorial goza de propiedades análogas a las de los vectores ordinarios y es de gran utilidad en la determinación de tres magnitudes muy importantes en el campo de la Física y de la Mecánica de Fluidos, denominadas gradiente, divergencia y rotacional,
i j kx y z
OPERACIONES DIFERENCIALES: GRADIENTE
• Sea el campo escalar φ (x,y,z) definida y derivable en cada uno de los puntos (x, y, z) de una cierta región del espacio. El gradiente de φ, viene dado por:
• La componente de grad φ en la dirección de un vector unitario a es igual a
• y se llama “derivada de φ en la dirección de a”, o bien, “derivada de φ según a”.
grad i j kx y z
a
EJERCICIO
La temperatura en cualquier punto de una habitación está dada por la siguiente expresión: T (x,y) = x2/16 + y2/9 . La distancia se mide en metros y la temperatura en ºC. Determinar: a) El gradiente de temperaturas en el punto P (4,3) ; b) b) la componente del gradiente en la dirección de P a Q, donde Q (5,6).
OPERACIONES DIFERENCIALES: DIVERGENCIA
• Sea un campo vectorial dado por:
• La divergencia de V viene dada por
31 2 VV VV
x y z
1 2 3V(x,y,z) V i V k V k
1 2 3V i j k V i V k V kx y z
En el caso de un campo de velocidades, por ejemplo, para un fluido en movimiento, la divergencia nos indica el flujo neto del fluido a través de una superficie.
Divergencia = 0Lo que entra es igual a lo que sale
Divergencia > 0El flujo neto es de salida
OPERACIONES DIFERENCIALES: ROTACIONAL
• Si V(x,y,z) es un campo vectorial derivable, el rotacional de V, representado
• viene dado por
1 2 3V i j k V i V k V kx y z
1 2 3
i j k
Vx y z
V V V
V rot V
EJERCICIO:
Sea el campo vectorial definido por la siguiente función:
)zx( 3xyz yzxF 2232
i j k
Determinar: div y rot en el punto P( 1,-1,2) F F
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