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FISICA II — QUIMICA — BIOINGENIERIA- CIVIL — ALIMENTOS 2020
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Universidad Nacional de San Juan FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CÁTEDRA: FÍSICA II TEMAS
COULOMB
CAMPO ELECTRICO
LEY DE GAUSS
DIPOLO ELECTRICO
POTENCIAL
CAPACITORES
ENERGIA
Carreras: Ingeniería Civil
Ingeniería Química
Ingeniería Alimentos
Bioingeniería
Titular : Ing. Adolfo Regalado
Prof. Adjunto : Ing. Susana Carratú Prof. Adjunto : Ing. Raúl Correa
Prof. J.T. Práctico: Ing. Gustavo Regalado
Aytes : Lucia Bravo , Adriana Galvan
FISICA II — QUIMICA — BIOINGENIERIA- CIVIL — ALIMENTOS 2020
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INTRODUCCION
Un factor importante de cualquier curso universitario son las clases. Esto es
especialmente cierto en física, ya que será frecuente que su profesor haga
demostraciones de principios físicos, ejecute simulaciones de computadora o proyecte
videos. Todas éstas son actividades de aprendizaje que lo ayudarán a comprender los
principios básicos de la física. Estos apuntes sirven de introducción al aprendizaje de
la Fisica II que necesariamente se deberá reforzar con la literatura disponible tales
como Resnik- Halliday o Sears- Zemansky .
CARGA ELECTRICA
ELECTRICIDAD
La ciencia de la electricidad nació en Grecia, unos 600 años antes de Cristo, al
observarse que el ámbar frotado con lana atraía objetos livianos. El ámbar que es una
resina fósil dura, quebradiza y de color amarillo, se le llama elektron en griego, de ahí
el nombre dado a esta ciencia.
CARGA ELECTRICA
Hasta este momento, la única fuerza que hemos estudiado con cierto detalle es la gravitatoria. Ahora estamos listos para analizar la fuerza del electromagnetismo, que incluye tanto la electricidad como el magnetismo. Los fenómenos del electromagnetismo ocuparán nuestra atención. Las interacciones del electromagnetismo implican partículas que tienen una propiedad llamada carga eléctrica, es decir, un atributo que es tan fundamental como la masa.
Sean los experimentos que se describen a continuación:
Se frota una varilla de vidrio con seda, se la suspende en un hilo de seda, y se le
acerca el extremo de otra varilla de vidrio, también, frotada con seda. Se observa que
las varillas se repelen.
Se frota una varilla de vidrio con seda, se la suspende de un hilo de seda, y se le
acerca el extremo de una varilla de ebonita (pasta endurecida de caucho, azufre y
aceite de linaza), frotada con una piel. En este caso se observa que las varillas se
atraen.
Se frota una varilla de ebonita con piel, se la suspende, y se le acerca el extremo de
otra varilla de ebonita, también frotada con piel. Se observa que las varillas se repelen.
Los resultados experimentales anteriores se pueden explicar diciendo que al frotar una
varilla se le comunica una carga eléctrica, y que las cargas en las dos varillas ejercen
fuerzas entre sí. Además, las cargas que aparecen en el vidrio son diferentes de las
que aparecen en la ebonita.
Benjamín Franklin denominó positiva a la electricidad que aparece en el vidrio, y
negativa a la que aparece en la ebonita.
Los experimentos antes mencionados muestran entonces que cargas del mismo signo
se repelen, y que cargas de signo opuesto se atraen.
En condiciones adecuadas, todo cuerpo puede cargarse eléctricamente al ser frotado
con otro cuerpo. El signo de la carga que adquiere se puede determinar suspendiendo
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el cuerpo frotado y acercándole una varilla de vidrio o ebonita frotada, y viendo si ésta
es atraída o repelida por el cuerpo.
En la actualidad se acepta que la materia en estado normal o neutro contiene
cantidades iguales de electricidad positiva y negativa. Cuando se frotan dos cuerpos
pasa carga de uno al otro, cargándose positivamente uno, y negativamente el otro.
La carga eléctrica se representa con letra q.
Conductores (de la electricidad):
Son materiales en los cuales la carga eléctrica puede moverse libremente, por
ejemplo, los metales en los cuales los transportadores de carga son los electrones
libres, mientras que las cargas positivas permanecen inmóviles. En otros conductores,
como los electrolitos, se mueven tanto las cargas positivas (aniones), como las
negativas (cationes). Para poder cargar un metal por frotamiento hay que sostenerlo
con un mango de vidrio, ebonita, u otra sustancia no conductora, ya que el cuerpo
humano y la Tierra son buenos conductores de la electricidad.
Aisladores o dieléctricos:
Son materiales en los cuales la carga eléctrica no puede moverse libremente. Ejemplo:
vidrio, ebonita, materiales plásticos, etc.
Semiconductores:
Son materiales intermedios entre conductores y aisladores en lo relativo a su
capacidad para conducir la electricidad. Ejemplo: silicio y germanio. Tienen muchas
aplicaciones prácticas, entre ellas la construcción de transistores.
LEY DE COULOMB:
Charles de Coulomb fue el primero que midió fuerzas atractivas y repulsivas de origen
eléctrico, y dedujo la ley que lleva su nombre. Para realizar sus experiencias utilizo un
dispositivo, llamado balanza de torsión, en el cual los cuerpos cargados eran
pequeñas esferas.
Coulomb estudió primero cómo variaba el módulo de la fuerza eléctrica (F) con la
distancia (r) entre los centros de las esferas cargadas, manteniendo constantes las
cargas de las esferas y encontró que:
𝐹 ∝1
𝑟2 (1)
Luego estudio cómo variaba el módulo de la fuerza eléctrica con el valor de las cargas
de las esferas (q1 y q2), manteniendo constante la distancia entre las cargas,
encontrando que:
𝐹 ∝ 𝑞1.𝑞2 (2)
De las ecuaciones anteriores (1) y (2), se puede resumir en una sola expresión:
𝐹 ∝𝑞1.𝑞2
𝑟2 (3)
La expresión (3) se puede escribir en forma de igualdad introduciendo una constante
de proporcionalidad:
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𝐹 = (1
4𝜋𝜀0)(
𝑞1.𝑞2
𝑟2)(4)
𝜀0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑐í𝑜
La ecuación (4) es la expresión de la Ley de Coulomb, y es aplicable solo a cargas
puntuales, considerándose como tales a los cuerpos cargados cuyas dimensiones son
pequeñas comparadas con las distancias que las separan de otros cuerpos cargados.
Mediante (4) se puede determinar el módulo de la fuerza de origen eléctrico que aparece sobre cada una de las cargas puntuales, pero para especificar aquella completamente hay que indicar también su dirección y sentido. La dirección de la fuerza es la de la recta que pasa por ambas cargas. En cuanto el sentido, la fuerza es atractiva si ambas cargas son de signo contrario, y es repulsiva si las cargas son de igual signo. Las dos fuerzas obedecen la tercera ley de Newton; siempre tienen la misma magnitud y dirección opuesta, aun cuando las cargas no tengan igual magnitud.
UNIDAD DE CARGA ELECTRICA:
La unidad de carga eléctrica en el sistema internacional es el Coulomb, que se
representa por “ C”, y se define a partir de la unidad internacional de corriente
eléctrica, el ampere, de la siguiente forma: “Un Coulomb es la carga que atraviesa
en un segundo una sección transversal de un conductor por el que circula una
corriente de un ampere”.
𝑞 = 𝐶 (𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏)
𝑖 = 𝐴 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒 ,𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑖)
𝑡 = 𝑠 (𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)
O sea que:
1 𝐶 = 1𝐴
𝑠
De la ecuación (4), el valor de la constante de permitividad resulta:
𝜀0 = 8,85𝑋10−12 𝐶2
𝑁.𝑚2
Haciendo:
𝑘 =1
4𝜋𝜀0
Resulta:
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𝑘 = 9𝑋109𝑁.𝑚2
𝐶2
CONJUNTO DISCRETO DE CARGAS:
Cuando se tienen más de dos cargas puntuales, la ecuación (4) es aplicable a cada
par de ellas.
Ejemplo: se tiene un sistema formado por las cargas q1, q2, y q3. Si r12= distancia
entre q1 y q2, r13= distancia entre q1 y q3, y r23= distancia entre q2 y q3, la fuerza
resultante (F1) sobre la carga q1 es
𝑭𝟏 = 𝑭𝟏𝟐 + 𝑭𝟏𝟑 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍
𝑭𝟏𝟐 :𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑞1 𝑦 𝑞2,𝑑𝑒 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑭𝟏𝟐 =1
4𝜋𝜀0 𝑞1.𝑞2
𝑟122
𝑭𝟏𝟑 :𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑞1 𝑦 𝑞3,𝑑𝑒 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑭𝟐𝟑 =1
4𝜋𝜀0 𝑞1.𝑞3
𝑟132
CUANTIZACIÓN DE LA CARGA:
En épocas de Franklin se creía que la carga eléctrica era un fluido continuo, pero
luego se demostró que no era así, sino que estaba formada por múltiplos enteros de
cierta carga mínima, que vale1,6𝑋10−19𝐶, y que se simboliza por e, es decir:
𝑒 = 1,6𝑋10−19𝐶
Por lo tanto, la carga de cualquier cuerpo se puede expresar así:
𝑞 = 𝑛. 𝑒,𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = ±1, ±2, ±3,… ..
Cuando una propiedad física solo puede tomar valores discretos, como ocurre con la
carga eléctrica, se dice que la propiedad está cuantizada.
PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA CARGA:
Experimentalmente se comprobó que al frotar el vidrio con seda aparecía en el vidrio
una carga positiva y en la seda una carga negativa de igual magnitud. O sea que al
frotar dos cuerpos no se crea carga, sino que se transporta de un cuerpo al otro. Esto
constituye el principio de conservación de la carga.
CAMPO ELECTRICO:
Al colocar un cuerpo cargado en presencia de otro cuerpo cargado, sobre ambos
aparece una fuerza de origen eléctrico. Esa fuerza desaparece si se retira cualquiera
de los dos cuerpos. O sea, cualquier cuerpo cargado modifica las propiedades del
espacio que lo rodea. A ese espacio se lo llama “campo eléctrico”.
Para determinar si en un punto del espacio existe un campo eléctrico hay que colocar
en dicho punto un cuerpo cargado que se llama carga de prueba (𝒒𝟎), la cual debe
ser puntual, a fin de alterar lo menos posible el campo que se quiere poner de
manifiesto. Además, por convención se considera siempre positiva.
Si sobre la carga de prueba aparece una fuerza de origen eléctrico (F) decimos que en
el punto existe un campo eléctrico (E), el cual se define así:
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𝑬 =𝑭
q0(1)
𝑬 es un vector de igual dirección y sentido que 𝑭 y su módulo es:
E =F
q0
2
Al vector 𝑬 se lo llama también intensidad de campo eléctrico.
De (2), la unidad de 𝑬 en el sistema internacional resulta:
E =N
C(3)
LINEAS DE FUERZA:
Son líneas imaginarias que permiten representar la forma de los campos eléctricos.
Son líneas abiertas que comienzan en una carga positiva y terminan en una carga
negativa.
Existe una relacion entre el vector 𝑬 y las líneas de fuerza:
a) La tangente a una línea de fuerza cualquiera en un punto da la dirección del
vector 𝑬 en ese punto.
b) El número de líneas de fuerza por unidad de área (densidad de líneas) es una
medida del módulo de E. Allí donde las líneas de fuerza están más juntas el
campo es mayor que donde las líneas están más separadas.
CÁLCULO DEL CAMPO ELECTRICO:
Campo debido a una carga puntual
Se tiene una carga puntual q y se quiere calcular el campo eléctrico en un punto
ubicado a una distancia r de aquella. Para ello imaginamos colocar una carga de
prueba en un punto.
De (2), resulta:
E =F
q0
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Según la ley de Coulomb, sobre la carga de prueba actúa una fuerza de módulo:
𝐹 =1
4𝜋𝜀0 𝑞0.𝑞
𝑟2= 𝑘
𝑞0.𝑞
𝑟2
Combinando las expresiones anteriores, resulta:
E =k. q
𝑟2(4)
El campo eléctrico tiene dirección radial, pasa por la carga, apunta hacia afuera, si la
carga es positiva, y hacia adentro, si es negativa.
Campo debido a un grupo de cargas puntuales (Distribución discreta de cargas)
Se tiene un conjunto de cargas puntuales y, se quiere calcular el campo eléctrico en
un cierto punto. Para ello se calculan los campos (𝐸𝑖)creados por cada carga (𝑞𝑖)
como si las demás no existieran, y luego se suman vectorialmente los campos para
hallar el campo resultante (𝐸), o sea:
𝑬 = 𝑬𝒊 5 (𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍)
El modulo del campo creado por cada carga se calcula mediante la siguiente
expresión:
𝐸𝑖 =k. 𝑞𝑖𝑟𝑖
2
Donde 𝑟𝑖 es la distancia de cada carga al punto.
Campo debido a una distribución continua de cargas
Cuando se tiene un cuerpo extenso cargado y se quiere calcular el campo en un punto
P, se divide la carga total en elementos infinitesimales de carga (𝑑𝑞). Luego se calcula
el campo (𝑑𝑬) producido por cada (𝑑𝑞) en el punto P, tratando a los elementos de
carga como si fueran cargas, o sea que el módulo del 𝑑𝑬 es:
𝑑𝐸 =k. dq
𝑟2 (6)
r: distancia del dq al punto P.
El E resultante en P se halla sumando los campos (𝑑𝑬) creados por los infinitos dq,
por lo tanto:
𝐸 = 𝑑𝐸 7 (𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙)
Dipolo eléctrico:
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Está constituido por dos cargas puntuales de igual valor (q) y signo contrario,
separadas una cierta distancia (d). la recta que pasa por ambas cargas se llama eje
del dipolo.
El momento de dipolo eléctrico (p), es un vector cuya dirección es la del eje del dipolo,
que apunta hacia la carga positiva, y cuyo modulo es:
𝑝 = 𝑞.𝑑 (8)
Acción de un campo eléctrico sobre una partícula cargada
Si una partícula de masa m y carga q se coloca en una región donde existe un campo
eléctrico E, sobre la partícula aparece una fuerza:
𝑭 = 𝑬 . 𝑞
Esa fuerza produce una aceleración
𝑎 =𝑭
𝑚 (9)
FLUJO DE CAMPO ELECTRICO (ɸ𝑬)
El flujo (ɸ), que es una magnitud escalar, es una propiedad de todos los campos
vectoriales, y se refiere a una superficie imaginaria, abierta o cerrada, entendiéndose
por superficie cerrada a aquella que cierra un volumen.
El flujo de campo eléctrico (ɸ𝐸) se mide por el número de líneas de fuerza que
atraviesan la superficie.
El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada puede ser positivo, nulo
o negativo.
El concepto de flujo de campo eléctrico es muy importante ya que la ley de Gauss, que
es una de las leyes fundamentales del electromagnetismo, se expresa en función de
aquel.
Sea una superficie cerrada en una región donde existe un campo eléctrico E, se divide
la superficie en elementos de superficie de área 𝑑𝑆, normal a la superficie y que
apunta hacia afuera. En cada superficie diferencial se puede dibujar el vector
representativo del campo eléctrico en ese punto, se define el flujo E a través de la
superficie 𝑑𝑆 de la siguiente forma:
𝑑ɸ𝐸 = 𝐸 . 𝑑𝑆 10 (𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟)
Para obtener el flujo de E a través de toda la superficie habrá que sumar los flujos
diferenciales a través de las infinitas superficies diferenciales en que se ha dividido la
superficie total, o sea:
ɸ𝐸 = 𝐸 . 𝑑𝑆 (11)
Donde el símbolo . indica que hay que integrar sobre una superficie cerrada.
De (11) se ve que la unidad de flujo E es:
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ɸ𝐸 =𝑁.𝑚2
𝐶 (12)
LEY DE GAUSS:
Esta ley establece una relacion entre el flujo de E a través de una superficie cerrada e
imaginaria (llamada superficie gaussiana) y la carga neta (𝑞𝑛) encerrada por dicha
superficie, y puede expresarse así:
ɸ𝐸 =𝑞
𝜀0 12
O bien:
ɸ𝐸 = 𝐸 . 𝑑𝑆 =𝑞𝑛
𝜀0 13
La ley de Gauss puede enunciarse así: “El flujo de campo eléctrico a través de una
superficie gaussiana es proporcional a la carga neta encerrada por dicha
superficie”.
La ley de Gauss permite calcular el módulo de campo eléctrico en cualquier punto del
espacio. Su validez es general, pero es fácil de aplicar solo si resulta sencillo resolver
la integral de la ecuación (13). Esto ocurre cuando la distribución de cargas que crea el
campo presenta simetría.
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS:
Para calcular el campo eléctrico en un punto P aplicando la ley de Gauss, conviene
seguir el siguiente procedimiento:
1) Dibujar la superficie gaussiana haciéndola pasar por el punto P.
2) A fin de facilitar la resolución de la integral de la ecuación (13), elegir
adecuadamente la forma de la superficie. Si la distribución de cargas que crea
el campo tiene simetría esférica (caso de una carga puntual, o de una esfera
uniformemente cargada), tomar como superficie gaussiana una esfera con
centro en la carga o concéntrica con la esfera cargada. Si la simetría es
cilíndrica (caso de la línea recta cargada o de un cilindro uniformemente
cargado), tomar como superficie gaussiana un cilindro cuyo eje coincida de la
línea cargada o con el eje del cilindro cargado), etc.
3) Dibujar en el punto P los vectores 𝐸 𝑦 𝑑𝑆 4) Calcular la carga neta. Para ellos solo hay que tener en cuenta las cargas que
están dentro de la superficie gaussiana, independientemente de su posición.
5) Aplicar la ley de Gauss
Densidad de carga:
La carga eléctrica en un cuerpo puede distribuirse a lo largo de una línea (caso de una
varilla cargada), sobre una superficie (caso de una lámina cargada o de cualquier
conductor cargado), o en todo el volumen del cuerpo (caso de cualquier no conductor
cargado). De acuerdo a ello se tienen los diferentes tipos de densidad de carga.
Densidad lineal de carga (𝝀):
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Si la carga total Q está distribuida a lo largo de una línea de largo L, se define 𝜆 así:
𝜆 =𝑄
𝐿(14)
Densidad superficial de carga (𝝈):
Si la carga total Q está distribuida sobre una superficie de área A, se define 𝜍 así:
𝜍 =𝑄
𝐴 (15)
Densidad volumétrica de carga (𝝆):
Si la carga total Q está distribuida en un volumen V, se define 𝜌 así:
𝜌 =𝑄
𝑉 (16)
APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS:
Ver ejercicios en guía práctica
Dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo:
Sea un dipolo eléctrico formado por dos cargas + q y - q, separados una distancia d,
en un campo eléctrico externo E, que forma un ángulo 𝜃 con el vector momento de
dipolo eléctrico p.
Como se ve en la figura, sobre ambas cargas del dipolo actúan fuerzas iguales y
opuestas, F y –F, cuyo módulo es: F=E.q.
Sobre el dipolo actúa un momento 𝜏 con respecto a un eje perpendicular al plano del
dibujo por el punto S, y cuyo módulo es:
𝜏 = 𝐹.𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑞.𝐸.𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜃
Como p=q.d, se tiene:
𝜏 = 𝑝.𝐸. 𝑠𝑒𝑛𝜃
La ecuación anterior se puede escribir en forma vectorial así:
S
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𝜏 = 𝑝 𝑥 𝐸 (𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙)
La siguiente figura muestra una vista en perspectiva de los tres vectores:
Si un agente exterior quiere cambiar la orientación del dipolo en el campo eléctrico
externo, debe hacer un trabajo W (positivo o negativo). Ese trabajo queda almacenado
como energía potencial U en el sistema formado por el dipolo y el dispositivo usado
para establecer el campo externo. Si el ángulo 𝜃 tiene un valor inicial 𝜃0, el trabajo
para hacer girar el dipolo un ángulo 𝜃 es:
𝑊 = 𝑑𝑊 = 𝜏𝑑𝜃 = 𝑈𝜃
𝜃0
Donde 𝜏 es el módulo del momento que ejerce el agente exterior. Reemplazando 𝜏:
𝑈 = 𝑝.𝐸. 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 = 𝑝.𝐸. −𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃
𝜃0
Tomando por conveniencia 𝜃0 = 90°, se tiene:
𝑈 = −𝑝.𝐸. (𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑐𝑜𝑠90°)
𝑈 = −𝑝.𝐸. 𝑐𝑜𝑠𝜃
La ecuación anterior se puede escribir en forma vectorial así:
𝑈 = −𝑝 .𝐸 (𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟)
4. POTENCIAL ELÉCTRICO
El potencial eléctrico, que es una magnitud escalar, está íntimamente relacionado con
el campo eléctrico y lo mismo que este, permite describir el espacio que rodea a un
cuerpo cargado.
Para todo campo eléctrico debido a una distribución de carga estática, la
fuerza ejercida es conservativa por ese campo.
𝜃
𝜃0
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Para encontrar la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos A y B en un campo
eléctrico, se mueve una carga de prueba de A a B, manteniéndola en equilibrio en todo
momento y se mide el trabajo WAB que debe realizar un agente exterior para mover la
carga de A a B . La diferencia de potencial eléctrico se define así:
VB-VA=WAB/q0 (4.1)
VAB: la diferencia de potencial de A con respecto a B, es igual al trabajo que debe
efectuarse para desplazar con lentitud una UNIDAD de carga de A a B contra la fuerza
eléctrica.
Como WAB puede ser positivo, nulo o negativo, VB puede ser mayor, igual o menor que
VA.
La unidad de diferencia de potencial en el sistema internacional es el volt o voltio (V), o
sea que:
1V=1J/C
En general se toma el punto A en el infinito (o sea a gran distancia de cualquier cuerpo
cargado), y al potencial de A en ese punto se le asigna convencionalmente el valor
cero. Así se puede definir el potencial eléctrico en un p unto. Haciendo VA=0 en la (4.1)
y eliminando subíndices se tiene:
V=W/q0 (4.2)
W: trabajo que un agente exterior debe realizar, para mover la carga de prueba, desde
el infinito al punto considerado.
Como el trabajo WAB es independiente del camino seguido para mover la carga de
prueba de A a B, La diferencia de potencial VB-VA también lo es.
Se llama superficie equipotencial al lugar geométrico de los puntos del espacio que
tienen el mismo potencial eléctrico. Estas superficies se usan para describir el campo
eléctrico en una región del espacio.
De la ecuación (4.1) se puede deducir que no es necesario realizar trabajo para mover
una carga entre dos puntos de la misma superficie equipotencial.
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Se puede probar que las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las
líneas de fuerza y, por consiguiente a E.
RELACION ENTRE EL POTENCIAL Y EL CAMPO ELECTRICO
Sea un agente exterior que mueve la carga de prueba de A hasta B en un campo
eléctrico. La fuerza de origen eléctrico que actúa sobre la carga es FE=q0E. Para mover
la carga, el agente externo debe aplica sobre esta una fuerza F=-q0E.
Si el agente exterior mueve la carga siguiendo un desplazamiento dl, el trabajo
elementa realizado por aquel es:
dW=𝐹 .𝑑𝑙 (Producto escalar)
El trabajo total para mover la carga de A a B es:
𝑊𝐴𝐵 = 𝑑𝑊 = 𝐹 .𝑑𝑙 𝐵
𝐴= −𝑞0𝐸 .𝑑𝑙
𝐵
𝐴 (4.3)
Por definición es VB-VA=WAB/q0, entonces:
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − 𝐸 .𝑑𝑙 𝐵
𝐴 (4.4)
Tomando el punto A en el infinito, haciendo VA=0 y eliminando subíndices, se tiene el
potencial eléctrico en un unto genérico P:
𝑉 = − 𝐸 .𝑑𝑙 𝑃
∞ (4.5)
Para calcular la diferencia de potencial, y el potencial, mediante las ecuaciones (4.4) y
𝐹 𝑑𝑙 q0 𝐹𝐸 A B
𝐸
𝐸
𝐸
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(4.5) es necesario conocer E en la región del espacio por donde se desplaza la carga de
prueba.
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CALCULO DE LA DIFERENCIA DE POTENCIAL
Para calcular la diferencia de potencial entre dos puntos, o el potencial en un punto el
procedimiento a seguir es:
1. En un punto de la trayectoria A-B (punto P) dibujar los vectores E y dl. Recordar que
el vector dl es siempre tangente a la trayectoria y apunta hacia B.
2. Calcular, aplicando la ley de Gauss, la ley de variación del campo eléctrico en la
región del espacio a considerar.
3. Aplicar la ecuación (4.4), o la (4.5) y resolver la integral.
Potencial debido a una carga puntual
Sea una carga puntual q, positiva. Se quiere calcular el potencial en un punto P, a una
distancia r de la carga. Siguiendo el procedimiento indicado, se dibujan los vectores E y
dl en un punto de la trayectoria seguida.
r
Aplicando la Ley de Gauss, se obtiene la ecuación que expresa la variación del campo
eléctrico en el espacio que rodea una carga puntual:
E= k.q/r2
Aplicando la ecuación (4.5), se tiene:
𝑉 = − 𝐸 . 𝑑𝑙 𝑃
∞
= − 𝐸. 𝑑𝑙𝑐𝑜𝑠180°𝑃
∞
= 𝐸.𝑑𝑙𝑃
∞
= 𝑘.𝑞
𝑟2 𝑑𝑙
𝑃
∞
= 𝑘. 𝑞 𝑑𝑙/𝑟2𝑃
∞
Para resolver la integral hay que dejar una sola variable (i o r) dentro del signo de la
integral. Como la variable r representa las distancias medidas a partir de la carga (en
este caso de izquierda a derecha), y l representa los desplazamientos medidos desde el
infinito hacia P (en este cado de derecha a izquierda), y ambas variables se miden sobe
la misma recta de acción, resulta entonces dl= -dr. Luego:
𝑉 = −𝑘. 𝑞 𝑑𝑟/𝑟2𝑟
∞
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En donde se ha reemplazado el límite superior P por el valor que la variable toma en
ese punto.
Resolviendo la integral resulta:
V=k.q/r (4.6)
Potencial debido a una distribución discreta de cargas
Cuando se tiene un sistema formado por un conjunto de cargas puntuales, y se quiere
calcular el potencial eléctrico en un cierto punto, primero se calculan potenciales (Vi)
debidos a cada carga (qi), como si las demás cargas no existieran, y luego se suman
algebraicamente esos potenciales para hallar el potencial resultante (V), o sea:
V=∑Vi (4.7) (Suma algebraica)
El potencial debido a cada carga se calcula mediante la expresión:
V=k. qi/ri donde ri es la distancia de cada carga (qi) al punto.
Como el potencial es un escalar, al calcularlo hay que tener en cuenta el signo de las
cargas.
Potencial debido a una distribución continua de cargas
Cuando se tiene un cuerpo extenso cargado y se quiere calcular el potencial en un
punto P, se divide la carga total en elementos infinitesimales de carga (dq). Luego se
calcula el potencial (dV) debido a cada dq en el punto P, tratando a los elementos de
carga como si fueran cargas, o sea que el dV se calcula con:
dV= k.dq/r (4.8)
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r= distancia del dq al punto P
El V resultante en P se halla integrando la ecuación (4.8):
𝑉 = 𝑑𝑉 = 𝑘.𝑑𝑞/𝑟 (4.9) (Integral escalar)
ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA
La energía potencial eléctrica de un sistema de cargas (U) es el trabajo que un agente
exterior debe realizar para colocar las cargas en su posición, moviéndolas desde el
infinito, donde se supone se encuentran en reposo (o sea sin energía cinética).
Sistema discreto de cargas
Si WI es el trabajo necesario para colocar la carga i en su posición, la energía potencial
eléctrica del sistema es:
U=∑wI (4.10), donde la sumatoria se realiza a partir de i=2, ya que no hay que realizar
trabajo pata colocar la primer carga.
Sistema continuo de cargas
Si De es el trabajo necesario para colocar una carga dq en su posición, la energía
potencial eléctrica del sistema es:
𝑈 = 𝑑𝑊 (4.11) (Integral escalar)
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5. CAPACITORES
Un capacitor o condensador es un conjunto de dos conductores cercanos, de cualquier
forma, cargados con cargas de igual valor y signo contrario. Los conductores que
forman el capacitor se llaman armaduras.
Capacitancia (C)
La capacitancia del capacitor se define así:
C=Q/V (5.1) donde:
Q= carga de una de las armaduras.
V= diferencia de potencial entre armaduras.
La unidad de capacitancia en el sistema internacional es el faradio (F), o sea que:
1F= 1C/V
Aplicaciones
Los capacitores se usan con diferentes fines, entre ellos: a) Para obtener determinadas
configuraciones de campo eléctrico. b) Para almacenar energía. c) Para disminuir
fluctuaciones de voltaje.
CALCULO DE LA CAPACITANCIA
El procedimiento a seguir es.
a) Calcular el campo eléctrico entre las armaduras, aplicando la ley de Gauss.
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b) Calcular la diferencia de potencial entre armaduras. c) Aplicar la ecuación (5.1).
Capacitor de armaduras planas y paralelas.
Sea un capacitor de armaduras de área A, separadas una distancia d. Si la carga de
cada armadura es Q, la densidad superficial de carga es: σ=Q/A (5.2)
Aplicando la ley de Gauss, se demuestra que el campo eléctrico entre las armaduras
vale:
E=σ/ε0 (5.3)
Suponiendo que el modulo del campo es constante entre las armaduras, la diferencia
de potencial entre ellas es:
V=E/d (5.4)
Combinando las ecuaciones (5.2), (5.3) y (5.4), resulta V=Q.d/A.ε0
Luego, la capacitancia es:
C=Aε0/D (5.5)
CAPACITANCIA CON DIELECTRICO
Sean dos capacitores de armaduras paralelas exactamente iguales. En uno se pone un
dieléctrico entre las armaduras, y en el otro no se coloca nada. Si se aplica la misma
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diferencia de potencia a ambos, se comprueba experimentalmente que el capacitor
con dieléctrico adquiere una carga k veces mayor que el capacitor sin dieléctrico o sea:
Qd= k.q (5.6)
Donde k se lama constante dieléctrica del dieléctrico. Esta constante depende del
dieléctrico y su valor se obtiene de tablas, siendo 1 para el vacío, aproximadamente 1
para el aire, y mayor que 1 para los demás dieléctricos.
Teniendo en cuenta la ecuación de definición de capacitancia (C= q/V), y como la
diferencia de potencial V es la misma en ambos casos, resulta:
Cd= k.C (5.7)
O sea que “la capacitancia de un capacitor aumenta si se coloca un dieléctrico entre
sus armaduras”.
Se realiza otra experiencia, cargando ahora los capacitores hasta que adquieren la
misma carga. Se comprueba que para lograr lo anterior, al capacitor con dieléctrico
hay que aplicarle una diferencia de potencial k veces menor que al capacitor sin
dieléctrico, o sea:
Vd= V/k
Luego, lo mismo que antes, resulta que Cd=k. C
Esta conclusión, si bien se obtuvo para un capacitor de armaduras paralelas, es
general.
Lo anterior puede entenderse teniendo en cuenta lo que ocurre cuando se coloca un
dieléctrico en un campo eléctrico.
Sea un capacitor de armaduras paralelas cargado, y llamemos E al campo eléctrico
entre las armaduras cuando existe dieléctrico.
La redistribución de la carga causada por el campo origina la formación de una capa de
carga en cada superficie del material dieléctrico ( q·) , su densidad superficial de carga
se denota con ·. Las cargas no tienen libertad para moverse indefinidamente como lo
harían en un conductor porque cada una está unida a una molécula. En realidad se
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llaman cargas ligadas (q·) para diferenciarlas de las cargas libres ( q) que se agregan y
se retiran de las placas conductoras de un capacitor y su densidad superficial de carga
se denota con En el interior del material, la carga neta por unidad de volumen
permanece igual a cero. Como se ha visto, esta redistribución de carga recibe el
nombre de polarización, y se dice que el material está polarizado. Al colocar un
dieléctrico entre las armaduras, el campo E provoca un reordenamiento de las cargas
de aquel. El dieléctrico, aunque sigue siendo eléctricamente neutro, se polariza,
acumulándose un exceso de carga positiva en un extremo, y de carga negativo en el
otro. Estas cargas originan un campo, E ,̓ opuesto a E.
Ahora, el campo resultante entre las armaduras, Ed, es:
Como 𝐸 y 𝐸′ tienen igual dirección y sentido contrario, el módulo de 𝐸𝑑 es:
𝐸
𝐸𝑑 𝐸′
𝐸𝑑 = 𝐸 + 𝐸′ (Suma vectorial)
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Ed= E-E ̓
Luego, Ed<E, por lo tanto Vd<V, lo cual concuerda con el resultado experimental.
ASOCIAICON DE CAPACITORES
Existen dos tipos básicos de asociación: a) en paralelo. b) en serie.
Asociación en paralelo
La figura muestra tres capacitores, de capacitancias C1, C2 Y C3, conectados en paralelo.
Acá las diferencias de potencial entre armaduras son iguales para los tres capacitores, o sea:
V1=V2=V3=V, mientras que las cargas que adquieren ( q1, q2 y q3) son, en general, distintas.
Se llama capacitor equivalente a los asociados en paralelo, al capacitor único que,
cuando se le aplica la misma diferencia de potencial que a los anteriores, adquiere una
carga igual a la suma de la carga de aquellos, o sea que la capacitancia equivalente es.
C= q/V=(q1+q2+q3)/V=(q1/V1)+(q2/V2)+(q3/V3)
C=C1+C2+C3
En general: C=∑Ci (5.8)
Asociación en serie
←V1→ ←V2→ ←V3→
V
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La figura muestra tres capacitores, de capacitancias C1, C2 y C3, CONECTADOS EN SERIE.
Aca la diferencias de potencial entre armaduras en general son distintas, mientras que
las cargas que adquieren son iguales (q1=q2=q3).
Se llama capacitor equivalente a los asociados en serie, al capacitor único que,
cuando se le aplica la misma diferencia de potencial que al conjunto de los anteriores
(V=V1+V2+V3), adquiere una carga igual a la de aquellos (q=q1=q2=q3), o sea que la
capacitancia equivalente es:
C=q/V= q/(V1+V2+V3)= 1/[(V1/C1)+(V2/C2)+(V3/C3)]
C=1/[(1/C1)+(1/C2)+(1/C3)]
1/C=(1/C1)+(1/C2)+(1/C3)
EN GENERAL: 1/C=∑(1/Ci) (5.9)
ENERGIA ALMACENADA EN UN CAPACITOR
Un capacitor cargado tiene almacenada una energía potencial eléctrica (U) igual al
trabajo (W) que un agente externo realizo para cargarlo. Normalmente un capacitor se
carga conectándolo a una batería, que gasta parte de se energía química para realizar
el trabajo de carga.
Sea un capacitor en un proceso de carga, en el instante en el cual su carga es q y la
diferencia de potencial entre armaduras es V.
El trabajo que un agente exterior debe realizar para darle una carga adicional dq es, de
acuerdo a la definición de diferencia de potencial:
dW=Vdq
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Como V=q/C, resulta: dW=(q/C)dq
El trabajo para cargar totalmente al capacitor es, por lo tanto:
𝑊 = 𝑑𝑊 = 𝑞
𝐶 𝑑𝑞 = 𝑄2/2𝐶
𝑄
0
Luego, la energía potencial eléctrica del capacitor es:
U=Q2/2C (5.10)
Combinando la (5.10) con la ecuación de definición de capacitancia, se puede
demostrar que:
U=CV2/2 (5.11) y U=Q.V/2 (5.12)
DENSIDAD DE ENERGIA
Sea un capacitor de placas planas y paralelas, de armaduras de área A, separadas una
distancia d. Se considera que la energía esta almacenada en el campo eléctrico, o sea
que está distribuida en un volumen igual a A.d
Luego, la densidad volumétrica de energía (energía por unidad de volumen) es:
E=U/A.d= CV2/2Ad (5.13)
Se vio que, en este caso, V=Ed
También se vio que la capacitancia del capacitor es:
C=kAε0/d
Reemplazando C y V en la ecuación (5.13), resulta:
E=kε0.E2/2 (5.14)
Si bien esta expresión se dedujo para un capacitor de armaduras paralelas, su validez
es general. Por lo tanto, en todo punto del espacio donde existe un campo eléctrico
hay almacenada una energía eléctrica, cuyo valor por unidad de volumen es el dado
por la ecuación (5.14).
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