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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Microeconomía Superior I:Tema 2

Rafael Salas octubre de 2005

2. Las preferencias del consumidor

1. Enfoque ordinal. Axiomas de la elección racional: supuestos sobre las preferencias.

2. Las curvas de indiferencia. Propiedades. La función de utilidad. La construcción de las funciones de utilidad.

Dos enfoques de la utilidad

1. Enfoque cardinal: marginalistas.La utilidad es medible y comparable

cardinalmente: la utilidad transmite información cuantitativa

Si U(x) = 2U(x'), x es preferido el doble que x' 2. Enfoque ordinal moderno: Hicks

La utilidad es medible pero comparable ordinalemente: la utilidad sólo transmite información cualitativa. Si U(x) > U(x') sólo quiere decir que x es preferido a x', pero no dice nada sobre cuánto más preferido

Es un enfoque más general (no tan restrictivo)

Ejemplos:

La distancia El pesoLa temperatura

•cardinal •cardinal•ordinal

oF 50 100

oC 10 37,8

Es importante en nuestro caso, pues queremos un modelo donde la utilidad optimizada sea ordinal y el resultado de la elección no dependa de la escala de medida

Enfoque ordinal

Establecemos un orden de preferencias que nos clasifique de mejor a peor las cestas de consumo (que no dependa de la escala de medida).

(1) Enfoque axiomático:

Partimos de unos axiomas y el orden de preferencias se establece mediante un mapa de curvas de indiferencia, Hicks 1939

(2) Enfoque de la preferencia revelada, Samuelson 1947

Sólo podemos tener en cuenta situaciones observadas para establecer el orden de preferencias

La relación (débil) de preferencias

La relación de preferencia débil básica:

x ≽ x'

“ La cesta x es al menos tan preferida como la cesta x' ... ”

…y la relación de preferencia estricta…

x ≻ x'“ x ≽ x' ” y no “ x' ≽ x”

Podemos derivar a partir de la anterior la relación de

indiferencia.

x ∽ x'

“ x ≽ x' ” y “ x' ≽ x”

Nótese que

no es x

x'

Nótese que

no es x

x'

Completitud

Transitividad

Continuidad

Monotonicidad

(Estricta) Cuasi-concavidad

Diferenciabilidad

Axiomas (enfoque axiomático)

“ Para todo x,x' Rn+ , bien x ≽ x' , ó

x' ≽ x , ó los dos son verdad (en cuyo caso son indiferentes). ”

...ó ambos (para todas las cestas)

bien...

ó...

Completitud

La idea que transmite es que no se admite la “no comparabilidad”

Gráficamente, no hay “huecos” en el orden de preferencias

Completitud

Definimos tres conjuntos:

PD(x) ={x' Rn+, si x' ≽ x} PREFERIDO DÉBILMENTE A x

MPD(x) ={x' Rn+, si x ≽ x' } MENOS PREFERIDO DÉBILMENTE A x

I(x) ={x' Rn+, si x ∽ x' } INDIFERENTE A x

La completitud implica que dado un x , el resto de cestas de consumo pertenecen a PD(x), a MPD(x) o a I(x)

Completitud

Completitud

Transitividad

Continuidad

Monotonicidad

(Estricta) Cuasi-concavidad

Diferenciabilidad

Axiomas

“ Para todo x,x', x' ' Rn+, si x' ≽ x y

x' ' ≽ x' , entonces x' ' ≽ x. ”

Transitividad

si

y ...

entonces

La idea que transmite es una cierta consistencia en las preferencias y evitar circularidades perversas

Junto con la completitud, son la base de la racionalidad del consumidor (se puede establecer un orden débil de preferencias)

Transitividad

Una cesta de consumo x no puede pertenecer simultáneamente a dos conjuntos de indiferencia diferentes

La demostración se basa en la transitividad de la relación de indiferencia (demostrar)

Implicación: los distintos conjuntos de indiferencia son disjuntos (no se solapan). Su intersección es nula

Transitividad

El conjunto de todas las cestas de consumo posibles se puede particionar en conjuntos de indiferencia disjuntos, con consistencia transitiva

[Todas: se debe a la completitud (demostrar)]

Esta es la base del orden de preferencias, que se crea a partir de esa partición exhaustiva y disjunta en conjuntos de indiferencia

Ejemplos: 1. la altitud referida a las coordenadas geográficas (latitud y longitud) en un mapa topográfico ¿cumplen los axiomas de completitud y transitividad?¿se puede realizar una partición exhaustiva y disjunta?

2.El orden de preferencia lexicográfico ¿satisface dichos axiomas?

Completitud y Transitividad

Completitud

Transitividad

Continuidad

Monotonicidad

(Estricta) Cuasi-concavidad

Diferenciabilidad

Axiomas

“ Para todo x Rn+, el conjunto

PD(x) ={x' Rn+, si x' ≽ x} y

MPD(x) ={x' Rn+, si x ≽ x' } son

cerrados ”

Nota aclaratoria sobre la conjuntos cerrados

Un conjunto cerrado es aquel que incluye su frontera.

Una implicación es que el conjunto intersección PD(x) y MPD(x), que llamamos el

conjunto de indiferencia I(x) ={x' Rn+, si x ∽ x' }, es cerrado

también.

Normalmente, I(x) va a ser una curva “contínua”, en el sentido que no tiene

“saltos” o discontinuidades” en ningún punto.

No obstante, esta noción de continuidad puede complicarse pues el conjunto de

indiferencia puede que sea “grueso”. En este sentido se trataría de una

correspondencia y no función de indiferencia propiamente dicha.

En este caso la idea de continuidad se complica. Este caso, no obstante, se

excluirá más adelante con la monotonicidad.

Continuidad

Dada una cesta de consumo A.

El conjunto de indiferencia (en azul) es en este caso una curva “contínua” (aunque podría ser “grueso” y el concepto de continuidad se complicaría)

x1

x2

A

La función de utilidad

completitud

transitividad

continuidad

axiomas 1 a 3 son cruciales ...

U(x) U(x')x x'

La función de utilidad representa el orden de preferencias...Debreu 1959

x1

x2

A

B

C

Existencia de la función de utilidad…

U(x)

100

150

200

Axiomas

EJERCICIOS:

(1) Define y y discute brevemente los axiomas en la teoría de la elección del consumidor: completitud, transitividad y continuidad.

(2) Dadas la completitud y la transitividad, demostrad que dos curvas de indiferencia (con distintos niveles de satisfacción) no se pueden cortar. ¿Y con el mismo nivel de satisfacción?

.

Axiomas

EJERCICIOS:

(3) Representad el orden de preferencias lexicográfico (a modo de diccionario) que se define: Dados x,y

x ≻ y

¿Podemos representarlo por una función de utilidad?

.

2R

2211

11

, yxyxó

yx

Son contínuas

Representan órdenes de preferencias

Por lo tanto, la escala no importa

Asi, si transformamos la función de utilidad utilizando cualquier forma monotóna...el orden de preferencias no varía

Claves de las funciones de utilidad

Irrelevancia de la cardinalización

Dada cualquier función de utilidad...

y, en general, éstas...

( es cualquier función creciente y a es cualquier número real)

…y éstas también

a+( U(x1, x2,..., xn) )

U(x1, x2,..., xn)

( U(x1, x2,..., xn) )

exp(U(x1, x2,..., xn) )

Esta transformación representa las mismas preferencias...

5+log( U(x1, x2,..., xn) )

Una función de utilidadu

0

U(x1,x2)

x2

x1

Curva de indiferencia

Otra función de utilidad que representa las mismas preferenciasu

0

U*(x1,x2)

x2

x1

La misma curva de

indiferencia

Funciones de utilidad

EJERCICIOS:

(4) Dada una función de utilidad U(x), cuáles son transformaciones monótonas V=2U-13, V=1/U2 , V=eU , V=U2 si U>0, y V=U2 si U<0?

(5) Dada una función de utilidad U(x), la transformación V=a+bU(x), a<0 y b>0 representa las mismas preferencias?

(6)¿Son iguales los órdenes de preferencias dados por U= x1 x2 y V= Ln x1 + Ln x2? ¿Y los dados por U= 14x1 + 14x2 y V=

(x1 + x2)

.

Completitud

Transitividad

Continuidad

Monotonicidad

(Estricta) Cuasi-concavidad

Diferenciabilidad

Axiomas que dan forma a la función de utilidad

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Microeconomía Superior I:Tema 2

Rafael Salas octubre de 2005